ANÁLISIS Y DISEÑO DE ALGORITMOS. PRACTICAS

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1 ANÁLISIS Y DISEÑO DE ALGORITMOS. PRACTICAS PRACTICA 1: MEDICIÓN DEL TIEMPO. ALGORITMOS DE ORDENACIÓN Crear un conjunto de funciones que permitan la medición del tiempo de ejecución de los programas, y razonar sobre los problemas que se plantean. Como aplicación, se medirá el tiempo de ejecución de los principales algoritmos de ordenación. 1) Implementar la clase Crono, que va a ser la que vamos a utilizar para medir tiempos. public class Crono { public long mide(); // devuelve el número de centésimas de segundo // trascurridos desde la creación del objeto. [Indicación: usar la función System.currentTimeMillis() ] Un ejemplo de uso viene descrito a continuación: Crono c = new Crono(); long t1, t2, tarda; t1 = c.mide(); // segmento de programa a medir t2 = c.mide(); tarda = t2 t1; System.out.println( el programa ha tardado + tarda ); // pueden hacerse nuevas mediciones sobre el mismo crono t1 = c.mide(); // otro segmento de programa a medir t2 = c.mide(); tarda = t2 t1; System.out.println( el otro programa ha tardado + tarda ); 2) Realmente, lo que acabamos de almacenar en la variable tarda es t2 t1 + t 0, siendo t 0 lo que tarda en ejecutarse la función mide(). a) Cuánto vale t 0? (es decir, cuánto tarda la función que mide el tiempo?) b) Hacemos bien en despreciar este tiempo? Qué error estamos cometiendo? 3) Como aplicación, se medirá lo que tarda en ejecutarse el algoritmo de ordenación por Inserción, para distintos tamaños del vector a ordenar (N = 1.000, 2.000, 5.000, , , , , ) y para distintas disposiciones de los datos originales (creciente, decreciente, todos los elementos iguales, y aleatoria). Cada medición se realizará 10 veces, y los resultados se presentarán mediante 4 tablas (una para cada una de las distintas disposiciones originales de los datos), en donde para cada valor de N se mostrarán las 10 mediciones, la media aritmética de esas diez mediciones, y la media

2 aritmética de las 8 mediciones resultantes de eliminar la mayor y la menor de esas 10 mediciones. a) Por qué es necesario medir más de una vez el tiempo de ejecución de un mismo algoritmo sobre los mismos datos? No debería obtenerse el mismo tiempo todas las veces? b) En caso de que no se obtengan los 10 valores iguales, por qué será? c) Qué técnica estadística podemos aplicar para obtener, a partir de los resultados obtenidos, un valor lo más correcto posible? ( la media? la mediana? la moda? la media de todos los valores menos los dos valores extremos?...) por qué? 4) Finalmente, nos planteamos hacer un análisis comparativo del tiempo de ejecución de algunos de los algoritmos de ordenación. Para el desarrollo de esta práctica se utilizarán los algoritmos de ordenación por Inserción, Selección, ordenación rápida de Hoare (Quicksort) y por Montículos (Heapsort). Para cada uno de estos algoritmos se realizarán una serie de tablas que representan los tiempos medidos dependiendo del número de elementos a ordenar (N = 1.000, 2.000, 5.000, , , , , ) y la disposición original de los datos (creciente, decreciente, todos los elementos iguales, y aleatoria). Cada medición se realizará 10 veces, se eliminarán los dos valores extremos, y se calculará la media de los 8 valores restantes.

3 PRÁCTICA 2. DISEÑO DIVIDE Y VENCERÁS. PRODUCTO DE NÚMEROS GRANDES Aplicando la técnica de diseño Divide y Vencerás calcular el producto de dos números naturales grandes (tienen un numero de cifras superior al que puede representarse en el ordenador). Dados dos números naturales grandes u y v de número de cifras n 1, n 2 respectivamente, una solución pasa por descomponer cada número en dos mitades: u = 10 s w + x v = 10 s y + z donde s = n / 2, siendo n el número de cifras del natural mayor. Según esta expresión el producto puede calcularse como: u v = (10 s w + x ) ( 10 s y + z ) = 10 2s w y + 10 s (w z + x y ) + x z con lo cual se reduce el tamaño de los naturales a multiplicar, procediendo de esta manera hasta que el producto pueda realizarse, es decir que el número de cifras de los naturales a multiplicar sea 2. Para representar estos números naturales grandes se define la clase Numero, que ofrece las siguientes operaciones: public class Numero { public Numero () // constructor. Devuelve un numero grande, con valor 0. public Numero (int m) // constructor. Devuelve un numero grande, con valor m. public Numero (String s) // constructor. Devuelve un numero grande, con valor el // indicado por el String s public String tostring () // transforma un numero grande en un String public int numdigitos () // devuelve el numero de digitos del numero. public int obtdigito(int i) // devuelve el i-ésimo digito del numero (0 i<numdigitos) // convención: 0=unidades, 1=decenas, 2=centenas, etc. public void insdigito(int i, int d) //inserta el digito d en la posicion i, desplazando el resto // a la derecha. (0 i numdigitos)&&(0 d 9) public void desplazar(int e) // multiplica por 10 e. Si e es positivo, sirve para multiplicar // por potencias de 10. Si e es negativo, sirve para dividir // por potencias de 10. Si e es 0, no modifica el numero. Basado en esta clase, y para poder manipular este tipo de números naturales, definimos la clase Calculadora: public class Calculadora { public static Numero suma(numero a, Numero b); public static Numero resta(numero a, Numero b); public static Numero por(numero a, Numero b); public static Numero mult(numero a, Numero b); public static Numero div(numero a, Numero b); public static boolean iguales(numero a, Numero b); public static bolean esmenor(numero a, Numero b);

4 Se pide: a) Implementar la clase Numero, de alguna de las dos formas siguientes. O bien haciendo uso de un vector o una lista de números enteros (cada uno representando un dígito), o bien mediante un String. Así en la primera implementación el número se almacenaría en el vector {4,8,3,6,5,1, y en la segunda implementación en el String b) Implementar la clase Calculadora, suponiendo que se dispone de una implementación de la clase Número. Las operaciones por y mult corresponden ambas a la multiplicación de números naturales, una realizada de forma iterativa, y la otra de forma recursiva siguiendo el algoritmo enunciado al principio de esta práctica. c) Realizar una programa que se dedique a realizar operaciones aritméticas haciendo uso de las clases anteriores, tratando de detectar fallos de funcionamiento.

5 PRÁCTICA 3: ALGORITMOS ÁVIDOS. PROGRAMACIÓN DINÁMICA. EL PROBLEMA DEL CAMBIO Dado un sistema monetario compuesto por monedas de valores T 1,T 2,..., T n, el problema del cambio consiste en descomponer en monedas de curso legal cualquier cantidad dada L, utilizando el menor número posible de monedas de dicho sistema monetario. El problema puede ser resuelto siguiendo distintas estrategias. Por ello se pide implementar y determinar el tiempo de ejecución de cada uno de los siguientes algoritmos, presentando los resultados en una tabla para distintos valores de entrada: 1) Utilizando un diseño ávido. Ordenadas las monedas de mayor a menor valor, y comenzando por la de máximo valor posible, se tomarán cuantas monedas se pueda de ese valor y se continuará de esta manera con las siguientes monedas hasta completar el cambio. 2) Utilizando programación dinámica. Sea n el número de tipos de monedas distintos del sistema monetario, L la cantidad a descomponer y T[1..n] un vector con el valor de cada tipo de moneda. Supondremos que se dispone de una cantidad inagotable de monedas de cada valor. Para resolver este problema siguiendo un diseño recursivo llamaremos C(i,j) (1 i n, 1 j L) al número mínimo de monedas necesario para obtener la cantidad j restringiéndose a los tipos T[1], T[2],..., T[i]. La solución vendrá dada por el valor de C(n,L). Con esto: 2.1.Resolver la ecuación en recurrencia que determina cada valor de C(i,j) mediante un algoritmo recursivo. 2.2.Aplicar programación dinámica para construir una tabla que almacene los distintos valores de C(i, j), que permitan encontrar la solución C(n, L) con un coste polinómico. Para resolver el apartado 2 puede utilizarse la siguiente clase: public class cambio{ //variables de instancia int [] tipodemonedas; // almacena los distintos tipos de monedas int [][] numerodemonedas; //tabla que calcula el número mínimo de monedas int [][] procedencia; // tabla que permite determinar que monedas // intervienen en el cambio public cambio(int [] monedas) //constructor public int Valor(int pos) //devuelve el valor de la moneda que esta almacenada //en la posicion pos del array tipodemonedas public int cambiorecursivo(int cantidad) //calcula el número mínimo de monedas para devolver una cantidad //introducida como parámetro, utilizando un algoritmo recursivo

6 public int cambiodinamica(int cantidad) //calcula el número mínimo de monedas para devolver una cantidad //introducida como parámetro, utilizando Programación Dinámica public int [] quemonedas(int cantidad) //devuelve en un array el número de monedas de cada tipo de la solución //para una cantidad introducida como parámetro private int [][] construirnumerodemonedas(int cantidad) //construye la tabla numerodemonedas private int [][] construirprocedencia(int cantidad) //construye la tabla procedencia public int [][] devolvernumerodemonedas(int cantidad) //devuelve la tabla numerodemonedas

7 PRACTICA 4: DISEÑO VUELTA ATRÁS. DISEÑO RAMIFICACIÓN Y PODA. PROBLEMA DEL LABERINTO Una matriz bidimensional n x n puede representar un laberinto cuadrado. Cada posición contiene un entero no negativo que indica si la casilla es transitable (0) o no lo es (-1). Las casillas [1,1] y [n,n] corresponden a la entrada y salida del laberinto y siempre serán transitables. Dada una matriz con un laberinto, el problema consiste en diseñar un algoritmo que encuentre el camino más corto (en número de pasos), si existe, para ir de la entrada a la salida. El problema puede ser resuelto siguiendo distintas estrategias, se pide implementar y determinar el tiempo de ejecución, presentando los resultados en una tabla en los siguientes casos: 1) Mediante un diseño Vuelta Atrás 2) Mediante un algoritmo de Ramificación y Poda, definiendo un función de mínimo coste y resolviéndolo con una estrategia L-C.