Planificación docente curso Asignatura: Métodos Matemáticos de la Ingeniería I

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1 Planificación docente curso Asignatura: Métodos Matemáticos de la Ingeniería I Curso: Segundo Semestre: Primero Ciclo: Primero Carácter: Obligatoria de universidad Créditos teóricos: 4.5 Créditos prácticos: 3 Departamento: Ciencias Aplicadas la Ingeniería Naval Profesorado Profesora coordinadora: Alicia Cantón Pire DCAIN Contacto: alicia.canton@upm.es URL: Otros profesores: Leonardo Fernández Jambrina DCAIN Contacto: leonardo.fernandez@upm.es URL: Asignaturas previas Álgebra lineal Álgebra y geometría Cálculo infinitesimal I Cálculo infinitesimal II Objetivos Integrar funciones en recintos del plano y del espacio. Integrar funciones a lo largo de curvas y sobre superficies. Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus problemas de valores iniciales.

2 Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y sus problemas de valores iniciales por métodos matriciales y por transformada de Laplace. Obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange para problemas variacionales con y sin extremos condicionados. Reconocer las funciones diferenciables de variable compleja (funciones holomorfas) y los dominios donde están definidas. Identificar las funciones armónicas. Reconstruir la conjugada armónica de una función armónica dada. Aplicar las fórmulas de Cauchy para resolución de integrales complejas. Resolver integrales complejas mediante el teorema de los residuos, asícomo sus aplicaciones a integrales reales. Método de evaluación El alumno logrará el aprobado con 5 puntos de media entre las tres partes de la asignatura, contando 1/3 cada una de ellas. Para poder hacer la media, es imprescindible que en cada parte de la asignatura se obtengan al menos 4 puntos sobre 10. La documentación relativa a la asignatura estará accesibles en la plataforma Moodle ( a la que se accede como usuario con la dirección de correo-e propia del alumno (@upm.es) y la correspondiente clave. Es preciso estar matriculado de la asignatura. La plataforma Moodle se mantiene desde el Gabinete de Tele-Educación, GATE (gate@upm.es, (mañanas) y (tardes)), quienes podrán solucionar cualquier problema de acceso que el alumno pueda tener. Bibliografía Generales 1. L. Fernández, Métodos Matemáticos de la Ingeniería, ETSIN, Madrid (2008) 2. L. Fernández, Problemas de Métodos Matemáticos de la Ingeniería, ET- SIN, Madrid (2008) 3. J. San Martín, V. Tomeo, I. Uña, Métodos Matemáticos, Thomson, Madrid (2004)

3 Análisis multivariable 1. T.M. Apostol, Calculus. Vol. II, 2 edición, Reverté, Barcelona (1972) (1972) 2. D.A. Danielson, Vectors and Tensors in Engineering and Physics. Addison Wesley, Redwood City (1992) (1970) 3. J.E. Marsden, A.J. Tromba, Cálculo Vectorial, Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina (1991) 4. J.E. Marsden, A.J. Tromba, Cálculo Vectorial: Problemas resueltos, Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina (1991) Limusa (1982) 5. M. Spiegel, Teoría y problemas de análisis vectorial y una introducción al análisis tensorial, Schaum, McGraw-Hill, México (1981) ed., Chelsea, Ecuaciones diferenciales ordinarias 1. F. Ayres, Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales, McGraw-Hill, Madrid (1969) 2. W.E. Boyce, R.C. di Prima, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera, 4 edición, Limusa, México (1998) 3. M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Fourth Edition, Springer-Verlag, New York (1993) 4. M. Fogiel,(Dir.), The Differential Equations Problem Solver, Research and Education Association, REA, New York (1987) 5. A. García, F. García, A. López, G. Rodríguez, A. de la Villa, Ecuaciones diferenciales ordinarias. Teoría y problemas, CLAGSA, Madrid (2006) 6. M.W. Hirsch, S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, San Diego (1974) 7. R.K. Nagle, E.B. Saff, Fundamentals of Differential Equations, Benjamin- Cummings, Redwood City, Cal. (1989) 8. J.M. Sánchez, Ecuaciones Diferenciales, ETSIN, Madrid (2005) 9. G.F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales, con Aplicaciones y Notas Históricas, McGraw-Hill, Madrid (1995) 10. D.G. Zill, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 7 edición, Thomson, México (2001)

4 Análisis complejo 1. L.V. Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill, (1979) 2. R.V. Churchill, J. Ward Brown, Variable Compleja y Aplicaciones, 5 edición, McGraw-Hill, Madrid (1992) 3. E. Linés Escardó, Análisis Matemático IV, 2 edición, UNED, Madrid (1988) 4. J.E. Marsden, M.J Hoffman, Análisis Básico de Variable Compleja, Trillas, México (1996) 5. D. Pestana, J.M. Rodríguez, F. Marcellán, Variable compleja. Un curso práctico, Síntesis (1999) 6. E.G. Phillips, Funciones de Variable Compleja, 2 edición, Editorial Dossat, Madrid (1963) 7. M.R. Spiegel, Teoría y Problemas de Variable Compleja, Schaum-McGraw- Hill, Madrid (1991) Fechas de exámenes Final de febrero: XX de febrero Extraordinario de junio: XX de junio Extraordinario de septiembre: XX de septiembre La duración de los exámenes será aproximadamente tres horas. Confirmar los horarios y fechas de exámenes en los tablones. Programa La asignatura consta de tres partes diferenciadas: 1. Análisis multivariable. 2. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 3. Análisis de variable compleja. Análisis multivariable 1. Repaso de Cálculo infinitesimal: Concepto de diferencial. Derivadas parciales y direccionales. Clases de diferenciabilidad. Matriz jacobiana. 2. Funciones implícitas e inversas: Teorema de la función implícita. Teorema de la función inversa. Sistemas de coordenadas. Cambios de variable o difeomorfismos.

5 3. Integración en el plano y en el espacio: Integrales en abiertos del plano y del espacio. Teorema de Fubini. Cambios de variables. Sólidos de revolución. Momento de inercia y centros de masa. 4. Integración en curvas y superficies: Definiciones de curva y superficie regular. Superficies de revolución. Integración sobre curvas y superficies. Aplicaciones. Ecuaciones diferenciales ordinarias 1. Ecuaciones de primer orden: Definición. Ecuaciones separables. Ecuaciones exactas. Ecuaciones lineales. Métodos aproximados. Existencia y unicidad de soluciones. Ecuaciones autónomas. 2. Sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones de grado superior: Propiedades. Existencia y unicidad de soluciones. Métodos de resolución. Sistemas de ecuaciones lineales. Estabilidad. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de Euler. 3. La transformación de Laplace: Transformaciones integrales. La transformación de Laplace y propiedades. Aplicación a la resolución de problemas de valores iniciales. Análisis complejo 1. Repaso de aritmética compleja: Representaciones de un número complejo. Operaciones elementales. Propiedades. 2. Funciones de variable compleja elementales: Exponencial. Funciones trigonométricas e hiperbólicas y sus inversas. Funciones multivaluadas: logaritmo y raíz cuadrada; determinaciones. 3. Continuidad y derivabilidad: Límites, continuidad. Derivabilidad y holomorfía en C. Condiciones de Cauchy-Riemann. Aplicación a funciones elementales. 4. Integración en el plano complejo: Integrales de línea. Teorema de Cauchy. Teorema de Cauchy-Goursat. Índice de una curva con respecto a un punto. Homología. Fórmulas de Cauchy. Aplicaciones de las fórmulas de Cauchy: teorema de Morera, desigualdades de Cauchy, teorema de Liouville y teorema de d Alembert. 5. Series de potencias: Series de potencias. Tipos de convergencia: puntual, absoluta y uniforme. Radio de convergencia. Funciones analíticas. Teorema de Taylor. Series de Taylor. Operaciones con series de potencias. 6. Series de Laurent: Ceros de funciones holomorfas. Series de Laurent. Radios de convergencia de una serie de Laurent. Teorema de Laurent. Clasificación de singularidades aisladas. Aplicación de las series de Laurent: regla de L Hopital e integración en entornos de singularidades aisladas.

6 Residuos. Teorema de los residuos. Aplicación al cálculo de integrales de variable real.