UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CARRERA: Licenciatura en Física PLAN DE ESTUDIOS: 2010 ASIGNATURA: Análisis Matemático IV CÓDIGO: 2240 DOCENTE ENCARGADA: Adriana María González, Mgtr. en Matemática Aplicada CUERPO DOCENTE: Leopoldo Buri, Licenciado en Matemática AÑO ACADÉMICO: 2014 RÉGIMEN: Cuatrimestral RÉGIMEN DE CORRELATIVIDADES: Aprobada Análisis Matemático II Regular Análisis Matemático III CARGA HORARIA TOTAL: 112 horas TEÓRICOS: 4 horas PRÁCTICOS: 4 horas LABORATORIOS: No hay CARÁCTER DE LA ASIGNATURA: Obligatoria A) CONTEXTUALIZACIÓN DE LA ASIGNATURA: Segundo Año Segundo Cuatrimestre

2 B) OBJETIVOS PROPUESTOS 1. Lograr que los alumnos apliquen correctamente los conocimientos adquiridos en materias previas destacando las diferencias y similitudes que aparecen en el estudio de las funciones complejas de una variable compleja respecto a las funciones por ellos conocidas. 2. Lograr que los alumnos aprendan a valorar la importancia del rigor matemático junto a las aplicaciones, incluyendo el uso de la teoría de los residuos y de las integrales curvilíneas en el cálculo de integrales reales. 3. Iniciar a los estudiantes en el conocimiento de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias uno de los campos de mayor aplicación de la Matemática. 4. Preparar a los estudiantes para proseguir estudios con mayor especialización. C) CONTENIDOS BÁSICOS DEL PROGRAMA A DESARROLLAR Números Complejos. Funciones de una Variable Compleja. Funciones Analíticas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones Elementales. Integrales Curvilíneas. Fórmula Integral de Cauchy. Series de Potencias. Residuos y Polos. Series de Fourier. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. D) FUNDAMENTACIÓN DE LOS CONTENIDOS Los temas desarrollados en esta asignatura profundizan los conocimientos matemáticos adquiridos previamente y son fundamentales para interpretar múltiples aplicaciones físicas y matemáticas. E) ACTIVIDADES A DESARROLLAR CLASES TEÓRICAS: En las clases de esta asignatura se trata de fomentar la participación de todos los estudiantes en los desarrollos teóricos y prácticos. Ello sucede especialmente en aquéllos que tienen aplicación directa en sus estudios específicos generando un intercambio enriquecedor. En cada uno de los temas considerados se pretende incrementar su intuición geométrica y física. CLASES PRÁCTICAS: Los alumnos deben resolver ejercicios y problemas relacionados con los conceptos teóricos impartidos (para alcanzar una buena habilidad en los cálculos y afianzar los conocimientos conseguidos). CLASES DE TRABAJOS PRÁCTICOS DE LABORATORIO: No hay F) NÓMINA DE TRABAJOS PRÁCTICOS Las guías de Trabajos Prácticos son 8 (ocho) y se corresponden con cada una de las Unidades y del Seminario mencionados en el Programa Analítico. G) HORARIO DE CLASES: miércoles y jueves de 14 a 16 horas (Teóricos) lunes de 16 a 18 horas y jueves de 16 a 18 horas (Prácticos)

3 HORARIO DE CLASES DE CONSULTAS: miércoles de 16 a 17 horas (Teóricos) jueves de 18 a 19 horas (Prácticos) H) MODALIDAD DE EVALUACIÓN CONDICIONES DE REGULARIDAD: 80% de asistencia a las clases prácticas, aprobación de un Examen Parcial/Recuperatorio escrito (se evalúa parte práctica de la materia) y un Seminario grupal oral (se evalúa parte teórico-práctica de la asignatura). De acuerdo al Régimen de Alumnos y de Enseñanza de Grado de la Universidad Nacional de Río Cuarto. CONDICIONES DE PROMOCIÓN: No hay EVALUACIÓN FINAL: Para alumnos regulares, Examen Final escrito (se evalúa la parte teórica de la materia). Para alumnos libres, Examen Final escrito (se evalúan las partes teórica y práctica de la materia). De acuerdo al Régimen de Alumnos y de Enseñanza de Grado de la Universidad Nacional de Río Cuarto.

4 PROGRAMA ANALÍTICO A) CONTENIDOS Unidad I: Números Complejos Definición. Operaciones fundamentales. Propiedades. Representación geométrica. Ejemplos. Conjugados y Valores absolutos. Desigualdades. Forma polar. Interpretación geométrica de las operaciones fundamentales. Ejemplos. Potencias enteras. Teorema de De Moivre. Raíces n-ésimas. Potencias racionales. Ejemplos. Unidad II: Funciones de una Variable Compleja Conceptos preliminares: entorno, punto de acumulación, punto interior, punto frontera, región, región abierta, región acotada, región cerrada, región conexa, dominio, ejemplos. Funciones complejas de una variable compleja: definición, dominio de definición, imagen, uniformidad, representación geométrica, ejemplos, límite, unicidad del límite, relación entre límite de una función compleja de una variable compleja y límite de una función real de dos variables reales, propiedades sobre límites, ejemplos, continuidad, propiedades y relaciones fundamentales, ejemplos, derivación, relación entre continuidad y derivación, reglas básicas de derivación, ecuaciones de Cauchy-Riemann, condición necesaria (suficiente) para que una función sea derivable en un punto de su dominio, ejemplos, función analítica, función entera, punto singular, condiciones necesarias (suficientes) para que una función sea analítica en un punto de su dominio, ejemplos, función armónica, funciones armónicas conjugadas, ejemplos. Unidad III: Funciones Elementales Función Exponencial: definición, propiedades, identidades, periodicidad, ejemplos. Funciones Trigonométricas: definición, propiedades, identidades, periodicidad, diferencias notables respecto a las funciones trigonométricas reales, ceros, ejemplos. Funciones Hiperbólicas: definición, propiedades, identidades, relaciones con las funciones trigonométricas, ceros, ejemplos. Función Logarítmica: definición, propiedades, ramas, punto de ramificación, corte de rama, identidades, ejemplos. Función Potencial: definición, propiedades, ramas, potencias complejas, ejemplos. Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas Inversas: definición, propiedades, ramas, ejemplos. Unidad IV: Integrales Curvilíneas Integral definida de una función compleja de una variable real. Curva de Jordan. Contorno. Contorno cerrado. Integral curvilínea de una función compleja de una variable compleja. Propiedades. Ejemplos. Teorema de Cauchy-Goursat. Dominios simple y múltiplemente conexos. Extensión del Teorema de Cauchy- Goursat a ciertos dominios múltiplemente conexos. Integrales indefinidas. Fórmula

5 Integral de Cauchy. Fórmulas Integrales para Derivadas de Funciones Analíticas. Ejemplos. Derivadas de funciones analíticas. Teorema de Morera. Módulo máximo de funciones. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental del Álgebra. Ejemplos. Unidad V: Series de Potencias Teorema de Taylor. Series de Taylor y de Maclaurin. Ejemplos. Desarrollo de Laurent. Propiedades fundamentales de las series infinitas de números complejos. Convergencia absoluta y uniforme de series de potencias. Círculo de Convergencia. Ejemplos. Continuidad, derivación e integración de series de potencias. Unicidad de la representación de una función en este tipo de series. Operaciones. Ejemplos. Ceros de funciones analíticas. Unidad VI: Residuos y Polos Residuos. Teorema de los Residuos. Ejemplos. Polos. Singularidad esencial. Métodos para calcular residuos. Aplicación de las integrales curvilíneas y de la teoría de residuos para calcular integrales reales impropias e integrales definidas de funciones trigonométricas. Ejemplos. Método para calcular integrales reales alrededor de un punto de ramificación. Ejemplos. Unidad VII: Series de Fourier Conceptos preliminares: función par, función impar, función periódica, función casi-continua, producto interior de dos funciones, norma de una función, funciones ortogonales, funciones ortonormales, conjunto ortogonal de funciones, conjunto ortonormal de funciones, ejemplos. Series Trigonométricas: Aproximación n-ésima de Fourier de una función definida sobre [- π, π ], Serie de Fourier de una función definida sobre [- π, π ], convergencia de dicha serie, Coeficientes de Fourier de una función definida sobre [- π, π ], ejemplos, desarrollo de Fourier de una función definida sobre un intervalo simétrico, desarrollo de Fourier de una función definida sobre un intervalo cualquiera, desarrollo de Fourier en senos o en cosenos, ejemplos. Seminario: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Conceptos preliminares: clasificación, terminología y notación, orden, solución, condición inicial y problema de valores iniciales. Ecuaciones diferenciales separables de primer orden. Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. Ejemplos. Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden. Factores integrantes. Ejemplos. Ecuaciones diferenciales lineales de primer y segundo orden con coeficientes constantes. El Wronskiano. Método de variación de parámetros. Método de los coeficientes indeterminados. Ejemplos. B) CRONOGRAMA Unidad I: 3 clases Unidad II: 6 clases Unidad III: 3 clases Unidad IV: 4 clases Unidad V: 4 clases

6 Unidad VI: 3 clases Unidad VII: 3 clases Seminario: 2 clases Examen Parcial: 24 de octubre Examen Recuperatorio: 31 de octubre Seminario: 12 y 14 de noviembre C) BIBLIOGRAFÍA Advanced Engineering Mathematics de E. Kreyszig. Editorial John Wiley & Sons. Estados Unidos (1993). (1 ejemplar disponible) Complex Variables with Applications de David Wunsch. Addison-Wesley - Series in Mathematics. U. S. A. (1983). (1 ejemplar disponible) Ecuaciones Diferenciales Aplicadas de M. R. Spiegel. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana. México (1993). (12 ejemplares disponibles) Ecuaciones Diferenciales (con Aplicaciones de Modelado) de D. G. Zill. International Thomson Editores. México (1997). (10 ejemplares disponibles) Ecuaciones Diferenciales (con Aplicaciones y Notas Históricas) de G. F. Simmons. Editorial McGraw Hill Interamericana. España (1993). (2 ejemplares disponibles) Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (con Métodos de Variable Compleja y de Transformaciones Integrales) de Hans Weinberger. Editorial Reverté. España (1970). (4 ejemplares disponibles) Ecuaciones Diferenciales. Problemas Lineales y Aplicaciones de F. Marcellán, L. Casasús y A. Zarzo. Editorial McGraw-Hill Interamericana. España (1990). (2 ejemplares disponibles) Funciones de Variable Compleja de César Trejo. Colección Harper. México (1974). (1 ejemplar disponible) Variable Compleja de Arthur Hauser. Editorial Fondo Educativo Interamericano. Colombia (1973). (2 ejemplares disponibles) Variable Compleja y Aplicaciones de Ruel Churchill y James Ward Brown. Editorial McGraw-Hill Interamericana. España (2004). (5 ejemplares disponibles) Mg. Adriana María González