INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES INGENIERÍA ELECTRICISTA INGENIERÍA MECÁNICA INGENIERÍA QUÍMICA

Transcripción

1 PROGRAMA ANALÍTICO DEPARTAMENTO: CIENCIAS BÁSICAS CARRERAS: INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES INGENIERÍA ELECTRICISTA INGENIERÍA MECÁNICA INGENIERÍA QUÍMICA ASIGNATURA: CÁLCULO II CÓDIGO: 0402 AÑO ACADÉMICO: 2014 PLANES DE ESTUDIOS: UBICACIÓN EN EL PLAN DE ESTUDIO: 1er. CUATRIMESTRE DE 2do. AÑO DOCENTE A CARGO: EQUIPO DOCENTE: Dr. Guillermo Bossio Profesor Adjunto Dr. Guillermo Bossio Profesor Adjunto Ing. Alba Lema Profesora Adjunta Dr. Daniel Forchetti Profesor Adjunto Ing. David Palumbo Profesor Adjunto Mg. Ing. Javier Zizzias Jefe de Trabajos Prácticos Ing. Leticia Firman Ayudante de Primera Alumno Alvaro Aguilar Ayudante de Segunda RÉGIMEN DE ASIGNATURAS: ASIGNACIÓN DE HORAS: Aprobada Regular Semanales: 6 Totales Teóricas: 45 Prácticas Resolución de problemas: 45 Laboratorio: - Proyecto: - Trabajo de campo: - CARÁCTER DE LA ASIGNATURA: Obligatoria Programa Analítico Página 1 de 12

2 OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA: Los objetivos más relevantes de la asignatura son los siguientes: Que el alumno reconozca las principales funciones y superficies que se utilizan en diversas cuestiones de física e ingeniería. Que el alumno sea capaz de resolver problemas de optimización restringida y no restringida. Que el alumno interprete la utilidad de los operadores gradiente, divergencia, rotor, laplaciano, etc. Que el alumno desarrolle alguna destreza en el cálculo de integrales de línea, de superficie y múltiples en general, interpretando el valor que poseen en las aplicaciones. Que el estudiante adquiera habilidad en la resolución de problemas y capacidad de análisis en la colección y organización de datos, así como la estimación de los resultados que se presentan en el estudio del cálculo vectorial. Que el alumno se apoye en la utilización de fenómenos físicos de modo que le permitan comprender el concepto de vectores y funciones de varias variables. Establecer estrategias que le permitan al alumno el estudio del cálculo vectorial con el nivel requerido. APORTES DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO INGENIERÍA ELECTRICISTA Establecer las bases necesarias que permiten la comprensión de la electricidad y magnetismo y la técnica electromagnética, base fundamental de todas las áreas de la Ingeniería Eléctrica. INGENIERÍA MECÁNICA Aplicar el cálculo vectorial en la solución de problemas y actividades que impliquen la optimización de sistemas, diseño y evaluación de proyectos. INGENIERÍA QUÍMICA Proporciona las herramientas indispensables para investigar, diseñar, controlar y optimizar diferentes procesos. INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Aplicar el cálculo vectorial en la solución de problemas y actividades que impliquen la optimización de sistemas, diseño y evaluación de proyectos, así como desarrollar el pensamiento abstracto. En todos los casos los conocimientos adquiridos permitirán al egresado desarrollar las habilidades necesarias en procedimientos matemáticos, para aplicarlos en la solución de problemas de Ingeniería. Programa Analítico Página 2 de 12

3 CONTENIDOS: CONTENIDOS GENERALES Los contenidos de las unidades se organizaron de manera que ofrezcan suficiente oportunidad para el razonamiento y la reflexión, buscando eficientemente problemas de aplicación. A modo de introducción, se realiza un breve repaso de vectores y de las ecuaciones de la recta y el plano. Se estudian las superficies cuádricas en general y se describen los sistemas de coordenadas más usados en el espacio bi y tridimensional. Finalmente, se presentan las funciones que serán objeto de estudio en el presente curso, esto es, funciones escalares de variable vectorial y funciones vectoriales, exponiéndose sobre la representación de las mismas. Los contenidos que restan se presentan en dos secciones diferentes, diferenciadas por la naturaleza de las funciones involucradas. Una de ellas está destinada al estudio de las funciones escalares de varias variables. Se las estudia desde el punto de vista analítico y mediante gráficas y conjuntos de nivel. Se presentan nociones básicas sobre límite y continuidad generalizando estos conceptos al caso de funciones vectoriales. Se abordan temas como: derivada parcial, derivada direccional, gradiente y diferencial, asociando a este último la idea de aproximación lineal. Se analiza la regla de la cadena de varias variables y se enuncia el Teorema de la función implícita. Se estudian las derivadas parciales de orden superior y su aplicación a aproximaciones mediante el uso de la serie de Taylor. Las ideas y conceptos anteriores se aplican a problemas de optimización restringida y no restringida. Se aborda el estudio de la integral definida de varias variables, como así también en diferentes sistemas de coordenadas y se estudian las aplicaciones más frecuentes. En la otra sección se aborda el estudio de las funciones vectoriales, estudiando la representación paramétrica de curvas. Se definen y analizan geométricamente la velocidad y la aceleración, como así también la curvatura y torsión. Se estudian las superficies parametrizadas y a continuación se presenta el concepto de integrales a lo largo de trayectorias y sobre superficies, cómo calcularlas y sus aplicaciones más frecuentes. Se expone la divergencia y el rotacional, en término de densidad de flujo y de circulación respectivamente. Luego encontramos su expresión para diferentes sistemas de coordenadas. Por último, se analizan los tres teoremas fundamentales del cálculo vectorial y se los utiliza en numerosas aplicaciones. Programa Analítico Página 3 de 12

4 CONTENIDOS ANALÍTICOS PRIMERA PARTE: INTRODUCCIÓN. Tema I Geometría analítica en el espacio. I.1 Breve repaso de vectores. I.1.1 Representación geométrica de los vectores. I.1.2 Longitud de un vector. I.1.3 Producto escalar, producto vectorial y producto mixto. I.2 Ecuaciones de la recta y el plano. I.2.1 Ecuaciones de la recta. I.2.2 Ecuaciones del plano. I.3 Superficies cuádricas. I.3.1 Ecuación general de las cuádricas. I.3.2 Representación gráfica de las cuádricas. I.3.3 Esfera I.3.4 Elipsoide I.3.5 Paraboloide I Paraboloide elíptico I Paraboloide hiperbólico I.3.6 Hiperboloide I Hiperboloide de una hoja I Hiperboloide de dos hojas I.3.7 Cono I.4 Superficies cilíndricas I.5 Superficies de revolución I.6 Invariantes. I.7 Sistemas de coordenadas. I Sistemas de coordenadas en : cartesianas y polares. I Sistemas de coordenadas : cartesianas, esféricas y cilíndricas. I.7.3 Ecuación de las superficies cuádricas en otros sistemas de coordenadas. Tema II II.1 II.2 Funciones en cálculo vectorial. Funciones en cálculo vectorial. II.1.1 Funciones escalares. II.1.2 Funciones vectoriales. Representación de curvas y superficies. II.2.1 Conjunto de puntos. II.2.2 Las curvas y superficies como gráficas e imágenes de funciones. II Representación de curvas en II Representación de curvas en II Representación de superficies en II.2.6 Representación de superficies en 2 Programa Analítico Página 4 de 12

5 II.3 Conjuntos de nivel. II.3.1 Curvas de nivel II.3.2 Superficies de nivel SEGUNDA PARTE: FUNCIONES ESCALARES. Tema III Límite y continuidad. III.1 III.2 Tema IV IV.1 IV.2 IV.3 IV.4 IV.5 IV.6 Tema V Límite y continuidad. III.1.1 n Definición de límite para funciones de 1. III.1.2 Límites sucesivos y restringidos III.1.3 Funciones contínuas Generalización de los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales. III.2.1 n m Definición de límite para funciones de. III.2.2 Continuidad de funciones vectoriales Diferenciación de funciones escalares de varias variables. Derivadas parciales. IV.1.1 Interpretación geométrica. IV.1.2 Cálculo de derivadas parciales. Linealidad local y el diferencial. IV.2.1 Interpretación geométrica de la linealidad local. IV.2.2 Plano tangente. IV.2.3 Diferenciabilidad. Gradiente y derivadas direccionales. IV.3.1 Derivada direccional. Interpretación geométrica. IV.3.2 Cálculo de derivadas direccionales. IV.3.3 Vector gradiente. IV.3.4 Propiedades del vector gradiente IV.3.5 Aplicaciones sencillas Derivación de funciones compuestas, implícitas e inversas. IV.4.1 Composición de funciones. IV.4.2 Regla de la cadena. Matriz jacobiana. IV.4.3 Teorema de la Función Implícita. IV.4.4 Función inversa. Diferenciales de orden superior. Fórmula de Taylor de varias variables. IV.6.1 Contacto de orden n IV.6.2 Polinomio aproximante IV.6.3 Fórmula de Taylor para 2 variables. IV.6.4 Fórmula de Taylor para más variables. Optimización. V.1 Extremos locales: Optimización no restringida. V.1.1 Funciones de dos variables. Condiciones necesarias. V.1.2 Condiciones suficientes de extremo relativo. V.2 Extremos de funciones con variables ligadas: Optimización restringida. V.2.1 Métodos de resolución: Composición de funciones Multiplicadores de Lagrange. Tema VI Integrales múltiples. VI.1 Integrales dobles. Programa Analítico Página 5 de 12

6 VI.2 VI.3 VI.4 VI.5 VI.1.1 Definición de integral doble. VI.1.2 Propiedades de la integral doble. VI.1.3 Interpretación geométrica de la integral doble - Teorema de Fubini VI.1.4 Integrales dobles sobre rectángulos. VI.1.5 Integrales dobles sobre regiones más generales. VI.1.6 Cambio en el orden de integración. Integrales triples. VI.2.1 Definición de integral triple. VI.2.2 Propiedades de la integral triple. VI.2.3 Integrales triples sobre regiones rectangulares. VI.2.4 Integrales triples sobre regiones más generales. Cambio de Variables. Fórmula del cambio de variables. VI.3.1 Cambio de variables en Integrales simples VI.3.2 Cambio de variables en Integrales dobles VI.3.3 Cambio de variables en Integrales triples Fórmula del cambio de variables Aplicaciones de las integrales dobles. Aplicaciones de las integrales triples. TERCERA PARTE: FUNCIONES VECTORIALES. Tema VII Curvas y superficies parametrizadas. VII.1 VII.2 Curvas parametrizadas. VII.1.1 Longitud de arco. VII.1.2 Reparametrización. VII.1.3 El sistema de referencia T ˆ N ˆ B ˆ. VII.1.4 Componentes de la aceleración. VII.1.5 Curvatura de flexión, círculo osculador y curvatura de torsión. Superficies parametrizadas. VII.2.1 Área de una superficie y el versor normal. Tema VIII Campos vectoriales. Integrales curvilíneas y de superficies. VIII.1 Campos vectoriales. VIII.1.1 Definición. VIII.1.2 Representación gráfica. Líneas de flujo. VIII.1.3 Algunos ejemplos de campos vectoriales. VIII.2 Integrales de trayectoria. VIII.2.1 Definición. VIII.2.2 Aplicaciones. VIII.3 Integrales de línea. VIII.3.1 Definición. VIII.3.2 Trabajo y circulación. VIII.4 Integrales de funciones escalares sobre superficies. VIII.4.1 Definición. VIII.4.2 Aplicaciones. VIII.5 Integrales de funciones vectoriales sobre superficies. VIII.5.1 Orientación de una superficie. VIII.5.2 Flujo. Tema IX Operadores diferenciales sobre campos vectoriales. IX.1 Divergencia. Programa Analítico Página 6 de 12

7 IX.2 IX.3 IX.4 IX.5 IX.6 IX.7 Tema X IX.1.1 La divergencia del campo v, como una densidad volumétrica de flujo. IX.1.2 Cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas. Rotor. IX.2.1 Densidad superficial de circulación alrededor de una dirección n (normal al plano de circulación). La componente del rotor de v en esa dirección. IX.2.2 Cálculo del rotor en coordenadas cartesianas. Propiedades de los operadores divergencia y rotor Aplicaciones. Divergencia y rotor en otros sistemas de coordenadas. Interpretación gráfica de la divergencia y rotor de un campo vectorial. Campos vectoriales conservativos. Teoremas integrales del cálculo vectorial. X.1 Teorema de Stokes. X.2 Teorema de Green. X.3 Teorema de Gauss - Ostrogradski o de la divergencia. X.4 2 Teorema de la divergencia en. X.5 Aplicaciones de los teoremas Integrales METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA: Las clases tendrán modalidad teórico práctica y serán del tipo expositivas, pretendiendo que las mismas sean una herramienta más para la comprensión y el aprendizaje. En el transcurso de las clases se alentará a los estudiantes a pensar en forma visual y numérica. Se desarrollarán fundamentos conceptuales y estrategias para la resolución de problemas. Las guías de trabajos prácticos contendrán ejercicios y preguntas de repaso. Los ejercicios estarán orientados a estimular el pensamiento crítico y se pretende que ofrezcan una revisión de los métodos, ideas y aplicaciones claves. Para responder las preguntas de repaso, el estudiante deberá reflexionar sobre los conceptos y verbalizar su comprensión, sin calcular respuestas numéricas, siendo estas preguntas apropiadas para ejercicios de redacción. Por último, se concertarán dos clases semanales de tres horas cada una, y se trabajará en dos comisiones. Programa Analítico Página 7 de 12

8 MODALIDAD DE EVALUACIÓN: Exámenes escritos I (parciales) Se concertarán tres exámenes parciales en las fechas señaladas en el cronograma. Consistirán en la resolución de problemas teórico prácticos o ejercicios prácticos sobre los temas que se evalúen en cada parcial y preguntas o desarrollos teóricos. La calificación de cada examen será APROBADO (si se resuelve correctamente entre un 50% y un 70% del examen) DESAPROBADO (si no se logra resolver correctamente al menos un 50% del examen) PROMOCIONADO (Nota) (si se resuelve correctamente 70% o más del examen, la nota Exámenes escritos II (recuperatorios) será %obtenido 10 ) Se podrá acceder a un examen recuperatorio por cada parcial, con la finalidad de mejorar la calificación obtenida en los mismos. El examen tendrá características similares al parcial que se recupera. La calificación obtenida en el recuperatorio (sea mayor, igual o menor que la obtenida en el parcial que se recupera) será la definitiva. Los recuperatorios tendrán lugar al final del cuatrimestre en la fecha indicada en el cronograma. La calificación de los recuperatorios tendrá iguales características que la de los parciales. Trabajos Prácticos Consistirán en la resolución de problemas teórico prácticos o ejercicios prácticos sobre los temas de cada unidad que serán asignados por los docentes de cada comisión y deberán ser entregados dentro de los plazos preestablecidos. Condiciones para regularizar la materia Estarán en condiciones de regularizar la materia quienes hayan aprobado y/o promocionado los tres parciales y los trabajos prácticos. Condiciones para promocionar la materia Estarán en condiciones de promocionar la materia quienes hayan obtenido la calificación promocionado en los tres parciales y hayan aprobado los trabajos prácticos. La nota final será un promedio de las notas obtenidas en los parciales. Programa Analítico Página 8 de 12

9 MODALIDAD DE EVALUACIÓN EN EXÁMENES FINALES Examen final escrito (final teórico práctico) Consistirá en la resolución de ejercicios prácticos y/o teórico-prácticos sobre diferentes temas de la materia. Cada ejercicio tiene asignado un porcentaje y para aprobar hace falta tener al menos un 50% sobre cada una de las partes fundamentales de la asignatura. La calificación de cada examen estará comprendida en una escala del cero al diez. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: DÍAS Y HORARIOS DE CLASES Consultar los horarios actualizados en: COMISIÓN INGENIERÍA ELECTRICISTA y EN TELECOMUNICACIONES Docentes: Guillermo Bossio y Daniel Forchetti LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES Aula 1 Aula 1 Planta Piloto Planta Piloto COMISIÓN INGENIERÍA QUÍMICA Docentes: Alba Lema y Javier Zizzias LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES Aula 16 Aula 16 Pab. 1 Pab. 1 COMISIÓN INGENIERÍA MECÁNICA Docentes: David Palumbo y Leticia Firman LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES Aula 6 Aula 6 Pab. 1 Pab. 1 Programa Analítico Página 9 de 12

10 CRONOGRAMA DE LA MATERIA (COMISIONES MARTES Y JUEVES) Semanas Fecha Clase Detalle de temas (modalidad teórico práctico) 1 11 de marzo 1 13 de marzo de marzo 3 20 de marzo de marzo 5 27 de marzo de abril 7 3 de abril de abril 9 10 de abril de abril de abril de abril 13 Presentación de la materia Geometría analítica en el espacio I.1 Breve repaso de vectores I.2 Ecuaciones de la recta y el plano. I.3 Superficies cuádricas Geometría analítica en el espacio I.4 Superficies cilíndricas I.5 Superficies de revolución I.6 Invariantes I.7 Sistemas de coordenadas Funciones en cálculo vectorial II.1 Funciones en cálculo vectorial II.2 Representación de curvas y superficies Funciones en cálculo vectorial II.2 Representación de curvas y superficies II.3 Conjuntos de nivel Límite y Continuidad III.1 Límite y Continuidad III.2 Generalización d los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales. Diferenciación de funciones escalares de varias variables IV.1 Derivadas parciales IV.2 Linealidad local y el diferencial Diferenciación de funciones escalares de varias variables IV.2 Linealidad local y el diferencial IV.3 Gradiente y derivadas direccionales Diferenciación de funciones escalares de varias variables IV.3 Gradiente y derivadas direccionales IV.4 Derivación de funciones compuestas, implícitas e inversas Diferenciación de funciones escalares de varias variables IV.4 Derivación de funciones compuestas, implícitas e inversas Diferenciación de funciones escalares de varias variables IV.5 Diferenciales de orden superior IV.6 Fórmula de Taylor de varias variables Optimización V.1 Extremos locales: Optimización no restringida Optimización V.2 Extremos de funciones con variables ligadas: Optimización restringida Integrales múltiples Vl.1 Integrales dobles Integrales múltiples Vl.2 Integrales triples Vl.3 Cambio de variables Primer Parcial - Temas I.1 al IV.3 inclusive Programa Analítico Página 10 de 12

11 8 29 de abril de mayo 15 8 de mayo de mayo de mayo de mayo de mayo de mayo de mayo 22 Integrales múltiples Vl.5 Aplicaciones de las integrales dobles Vl.4 Aplicaciones de las integrales triples Curvas y superficies parametrizadas VII.1 Curvas parametrizadas Curvas y superficies parametrizadas VII.1 Curvas parametrizadas VIl.2 Superficies parametrizadas Campos vectoriales. Integrales curvilíneas y de superficie VIII.1 Campo vectorial VIII.2 Integrales de trayectoria Campos vectoriales. Integrales curvilíneas y de superficie VIII.3 Integrales de línea Campos vectoriales. Integrales curvilínes y de superficie VIII.4 Integrales de funciones escalares sobre superficies VIII.5 Integrales de funciones vectoriales sobre superficies Operadores diferenciales sobre campos vectoriales IX.1 Divergencia IX.2 Rotor Operadores diferenciales sobre campos vectoriales IX.3 Aplicaciones IX.4 Divergencia y rotor en otros sistemas de coordenadas IX.5 Interpretación gráfica de la divergencia y rotor IX.6 Propiedades de los operadores divergencia y rotor IX.7 Campo vectoriales conservativos Teoremas integrales del cálculo vectorial X.1 Teorema de Stokes X.2 Teorema de Green Segundo Parcial Temas IV.4 al VI.4 inclusive Teoremas integrales del cálculo vectorial de junio 23 X.3 Teorema de la divergencia en divergencia en 3 X.4 Teorema de la divergencia en divergencia en 2 05 de junio Teoremas integrales del cálculo vectorial X.5 Aplicaciones de los teoremas integrales Tercer Parcial - Tema VII.1 al X.5 15 Recuperatorio Parciales Programa Analítico Página 11 de 12

12 BIBLIOGRAFÍA: Bibliografía Básica Título Autor/s Editorial Año de Edición Cálculo II (Apuntes de la cátedra) Cálculo vectorial Lema, Morelli 2014 Pita Ruiz Prentice Hall Hispanoamericana S.A Ejemplares Disponibles Cálculo Vectorial 5ª Ed. Mariden y Tromba Addison-Wesley Cálculo Vectorial Mariden y Tromba Addison-Wesley Bibliografía de Consulta Título Autor/s Editorial Año de Edición Ejemplares Disponibles Cálculo. Varias variables George B. Thomas Addison Wesley Pearson Cálculo - 9a ed Cálculo International Thompson STEWART JAMES Multivariable Editores Cálculo Diferencial Pérez, Hernández y International Thompson de varias variables montaner Editores 2002 Cálculo de varias Besada, García, Mirás, Prentice Hall 2001 variables Cálculo y geometría analítica. Vol. II Cálculo de varias variables Vol. 2 Cálculo de varias variables Vásquez Larson, Hostetler, Edwards Mc. Graw Hill 1999 BRADLEY, SMITH Prentice Hall 1998 Mc Callum, gleason, Hughes Hallett Compañía Editorial Continental 1998 Firma Docente Responsable Firma Secretario Académico Programa Analítico Página 12 de 12