Secuencias definidas de manera recursiva

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1 LECCIÓN CONDENSADA 1.1 Secuencias definidas de manera recursiva En esta lección Escribirás definiciones y fórmulas recursivas para patrones y secuencias Aprenderás a reconocer y escribir fórmulas para secuencias aritméticas y geométricas Usarás la recursión para resolver problemas relacionados con la economía y con la geometría fractal Muchos patrones matemáticos pueden describirse usando la idea de recursión. La recursión es un proceso en el cual cada paso de un patrón depende del paso o de los pasos anteriores. El Ejemplo A en tu libro se trata de un patrón que se puede definir de manera recursiva. Lee ese ejemplo, y después lee el siguiente ejemplo. EJEMPLO Cada cuadrado del patrón siguiente tiene una longitud lateral de 1 unidad. Imagina que el patrón continúe. Encuentra el perímetro de la Figura 9. Qué figura tiene un perímetro de 76 unidades? Escribe una definición recursiva para encontrar el perímetro de cualquier figura del patrón. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Solución Los perímetros de las figuras 1 a 4 son 10, 16, 22, y 28, respectivamente. Observa que en cada nueva figura, el perímetro aumenta en 6. Puedes registrar la información para las figuras dadas en una tabla y después continuar con el patrón, para hallar que la Figura 9 tiene un perímetro de 58 unidades y la Figura 12 tiene un perímetro de 76 unidades. He aquí una definición recursiva para el patrón. En ella se establece el valor inicial y se dice cómo calcular cada valor subsiguiente: perímetro de Figura 1 10 perímetro de Figura n perímetro de Figura (n 1) 6 Lee la información entre los Ejemplos A y B en tu libro. Observa que los perímetros del ejemplo anterior representan esta secuencia: 10, 16, 22, 28,... He aquí una fórmula recursiva para la secuencia: u donde n 2 Figura Perímetro Esto significa que el primer término es 10 y que cada término subsiguiente es igual al término anterior más 6. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 1 7

2 DAACLS_678_01.qxd 4/15/04 3:19 PM Page 8 Lección 1.1 Secuencias definidas de manera recursiva (continuación) El Ejemplo B en tu libro presenta otro ejemplo de una secuencia recursiva. Trabaja ese ejemplo por tu cuenta. En las secuencias que has vistos, cada término se genera sumando un número fijo al término anterior. Por ejemplo, en la secuencia de perímetros, se suma 6 a cada término para obtener el siguiente término. Secuencias como ésta se llaman secuencias aritméticas, y el número que se suma se conoce como la diferencia común (porque es la diferencia entre cada término y su inmediato anterior). Lee la definición de secuencia aritmética en tu libro. Investigación: Control de inventario En tu libro, lee el primer párrafo de la investigación. Puedes usar tu calculadora para modelar lo que sucede con el número de calentadores de agua que quedan por fabricar y el inventario en las dos tiendas. He aquí una manera de hacerlo: Presiona {1, 2000, 470, 0} ENTER. Presiona {Ans(1) 1, Ans(2) 50, Ans(3) 40, Ans(4) 10} ENTER. Presiona ENTER repetidamente. En el primer paso se introducen los valores iniciales correspondientes al número de días, el número de calentadores de agua sin fabricar, el inventario en MegaDepot y el inventario en Smalle Shoppe, respectivamente. En el segundo paso se dan las reglas para actualizar los cuatro valores cada día: suma 1 al número de días, resta 50 al número de calentadores sin fabricar, suma 40 al inventario de MegaDepot, y suma 10 al inventario de Smalle Shoppe. Cada vez que presionas ENTER, se actualizan los valores en un día. Observa las preguntas del Paso 2. Para responder a la pregunta a, presiona ENTER hasta que el número de calentadores sin fabricar sea igual o menor que el inventario de MegaDepot. Tu calculadora debe mostrar {18, 1150, 1150, 170}, que indica que los números son iguales en el día 18. Para responder a la pregunta b, presiona ENTER hasta que el inventario de MegaDepot sea mayor que el doble del número de calentadores de agua sin fabricar. Los datos mostrados en la calculadora, {27, 700, 1510, 260}, indican que esto sucede en el día 27. Has visto las secuencias aritméticas, en las que cada término se genera al sumar un número fijo al término anterior. En una secuencia geométrica, cada término se genera al multiplicar el término anterior por una constante. Por ejemplo, 3, 6, 12, 24, 48,...es una secuencia geométrica en la que cada término es 2 veces el término anterior. La regla para esta secuencia es u donde n 2 La constante por la cual los términos de una secuencia geométrica son multiplicados se llama una razón común, porque es la razón entre cada término y el término anterior. En la secuencia anterior, En el Ejemplo C en tu libro se presenta una secuencia geométrica relacionada con un fractal. Trabaja ese ejemplo y luego lee el resto de la lección. 8 CHAPTER 1 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

3 DAACLS_678_01.qxd 4/15/04 3:19 PM Page 9 LECCIÓN CONDENSADA 1.2 Modelación de crecimiento y deterioro En esta lección Explorarás unas secuencias geométricas que modelan crecimiento y deterioro En la lección anterior, viste varios ejemplos de secuencias geométricas. Recuerda que, en una secuencia geométrica, cada término es igual al término anterior multiplicado por una razón común. La regla recursiva para una secuencia geométrica es de la forma r 1. En esta lección explorarás más secuencias geométricas. En la mayoría de las secuencias con las que has trabajado, has usado u 1 como el primer término. En algunos casos, es más significativo considerar el primer término como el término cero, ó. El término cero representa el valor inicial antes de que ocurra cualquier cambio. En el Ejemplo A en tu libro, se usa una fórmula recursiva para modelar el valor decreciente de un auto. Trabaja el Ejemplo A y después lee el ejemplo siguiente. EJEMPLO Solución TV Central cerrará sus puertas al público en 8 semanas. Cada semana hasta que cierre, la compañía planea reducir los precios de la semana anterior en un 15%. Un televisor de pantalla plana actualmente tiene un precio de $899. Escribe una fórmula recursiva para encontrar el precio del televisor después de 8 semanas, si no se ha vendido. Cada semana, el precio del televisor será el 85% del precio de la semana anterior. Sea el precio inicial del televisor, de modo que u 1 represente el valor después de la semana 1 y así sucesivamente. La fórmula recursiva que genera la secuencia de precios semanales es donde n 1 Puedes usar esta regla y tu calculadora para encontrar u 8. Después de 8 semanas, el precio del televisor será $ Investigación: Observación de rebotes Si dejas caer una pelota y dejas que rebote repetidamente, la altura de rebote se hace más pequeña en cada rebote. El patrón de las alturas de rebote puede modelarse mediante una secuencia geométrica. Si tienes acceso a un sensor de movimiento, haz el experimento descrito en el Paso 1 de la investigación en tu libro. La calculadora construirá una gráfica con el tiempo transcurrido desde que accionaste el disparador en el eje x y la altura de (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 1 9

4 DAACLS_678_01.qxd 4/15/04 3:19 PM Page 10 Lección 1.2 Modelación de crecimiento y deterioro (continuación) la pelota en el eje y. Rastrea (Trace) la gráfica para encontrar la altura inicial y la altura de cada rebote. (Estas alturas corresponden a los puntos altos de la gráfica.) Haz una tabla en la que se muestren el número de cada rebote y su altura. Si no puedes reunir tus propios datos, usa los que te damos a continuación. Número de rebote Altura del rebote (pulg) Grafica tus datos en papel y en una calculadora. He aquí una gráfica de los datos anteriores: Calcula la razón de rebote para rebotes consecutivos. altura de rebote razón de rebote altura del rebote anterior [0, 6, 1, 0, 100, 10] Las razones de rebote para los datos anteriores (redondeadas al centésimo más cercano) son 0.79, 0.78, 0.81, 0.76, 0.82, y Escoje un sólo valor que mejor represente la razón de rebote de tu pelota. Para los datos anteriores, usaremos la media, Usa la razón de rebote que escogiste para escribir una fórmula recursiva que modele tu secuencia de alturas de rebote. Usando un valor inicial de 100 pulgadas y una razón de rebote de 0.79, la fórmula es donde n 1 Puedes generar los primeros seis términos en tu calculadora. Compara tus datos experimentales con los términos generados por tu fórmula, y considera las preguntas del Paso 6 en tu libro. En una fórmula recursiva para una secuencia geométrica, te puede ser útil pensar en la razón común como 1 más o menos un cambio porcentual. De modo que, en lugar de r, podrías escribir (1 p) ó (1 p). Por ejemplo, podrías escribir la regla recursiva para el ejemplo de TV Central como (1 0.15)1, indicando que el precio disminuye en un 15% cada semana. Tanto el ejemplo de TV Central como el experimento de las alturas de rebote implican un deterioro, o unas secuencias geométricas que disminuyen. El Ejemplo B en tu libro se trata de ganar un interés compuesto en una cuenta de ahorro. Éste es un ejemplo de crecimiento, o una secuencia geométrica que aumenta. Trabaja el Ejemplo B y después lee el resto de la lección. Observa que si la cuenta de Gloria había ganado un 7% de interés compuesto mensualmente, entonces la fórmula recursiva sería donde n 1 En esta fórmula, n es el número de meses, no el número de años. Usa esta fórmula para calcular el saldo después de un año (12 meses). Cómo se compara con el saldo cuando el interés se calcula anualmente? 10 CHAPTER 1 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

5 DAACLS_678_01.qxd 4/15/04 3:19 PM Page 11 LECCIÓN CONDENSADA 1.3 Una primera mirada a los límites En esta lección Investigarás unas secuencias que, a la larga, se aproximan a un límite Algunas secuencias se aumentan o se disminuyen sin límite. Otras tienen términos que, a la larga, se aproximan a un valor específico, o límite. En esta lección explorarás unas secuencias que tienen límites. Investigación: Dosis de medicina Nuestros riñones filtran nuestra sangre continuamente, eliminando las impurezas. El médico toma esto en cuenta cuando receta la dosis y la frecuencia de una medicina. En esta investigación se simula lo que sucede en el cuerpo de un paciente cuando toma medicina. Si tienes los materiales mencionados en tu libro, lleva a cabo los experimentos descritos. Si no los tienes, piensa en cómo cambiaría la cantidad de medicina. Intenta llevar a cabo la investigación por tu propia cuenta, antes de leer el texto siguiente. El primer experimento se inicia con 1 L de líquido. De éste, 16 ml es de un líquido con tintura, que representa la medicina, y el resto es agua pura, que representa la sangre. Paso 1 Supón que los riñones de un paciente filtran el 25% de la medicina diariamente. Para simular esto, puedes eliminar 1,ó ml de la mezcla y sustituirla con 250 ml de agua pura. Puedes repetir esto muchas veces para simular lo que sucede durante varios días. En esta tabla se muestra la cantidad de medicina diaria en la sangre. Paso 2 La fórmula recursiva que genera la secuencia de la tabla es 16 (1 0.25)1 donde n 1 Paso 3 Puedes usar la siguiente rutina de calculadora para generar más valores: Presiona 16 ENTER. 15 Presiona Ans (1 0.25) ENTER ENTER... En 10 días, la cantidad de medicina en la sangre será menor que 1 ml. 10 Paso 4 Teóricamente, la medicina nunca será eliminada completamente de la sangre. Cada día la cantidad de medicina se multiplica por 0.75, dando una cantidad 5 cada vez más pequeña. Sin embargo, esta cantidad nunca llegará a ser 0 porque no existe un número x 0, tal que 0.75x Paso 5 En la gráfica se muestra lo que sucede a la larga. La cantidad de medicina disminuye rápidamente al principio, pero luego la disminución se frena y se estabiliza cerca de 0 ml. Cantidad de medicina (ml) Día 10 Día Cantidad de medicina (ml) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER (continúa)

6 DAACLS_678_01.qxd 4/15/04 3:19 PM Page 12 Lección 1.3 Una primera mirada a los límites (continuación) En ocasiones, los médicos recetan dosis regulares de medicina para producir y mantener cierto nivel de medicina en el cuerpo. Puedes modificar el experimento para simular lo que sucede cuando un paciente toma medicina diariamente. Este experimento también se inicia con 1 L de líquido. De éste, 16 ml es un líquido con tintura, que representa la medicina, y el resto es agua pura, que representa la sangre. Paso 6 Como antes, supón que los riñones del paciente eliminan el 25% de la medicina diariamente. En este caso, sin embargo, supón que el paciente toma una dosis de 16 ml cada día. Para simular esta situación, puedes eliminar 250 ml de líquido y sustituirla con 234 ml de agua y 16 ml de líquido con tintura. En esta tabla se muestra la cantidad de medicina diaria en la sangre. Paso 7 La fórmula recursiva que genera la secuencia de la tabla 16 (1 0.25)1 16 donde n 1 Paso 8 Si usas tu calculadora para generar muchos términos de la secuencia, encontrarás que empiezan a estabilizarse en alrededor de 64. Así, parece que el líquido en el recipiente nunca se convertirá en pura medicina. Paso 9 En esta gráfica se muestra lo que sucede al nivel de medicina en la sangre después de muchos días. La cantidad aumenta rápidamente al principio, pero después el incremento se frena y se nivela cerca de 64 ml. Cantidad de medicina (ml) Día Cantidad de medicina (ml) Día La eliminación de medicina en el cuerpo humano es un ejemplo de un sistema dinámico o cambiante. Los sistemas dinámicos a menudo alcanzan un punto de estabilidad a largo plazo. Por ejemplo, en el segundo experimento, la cantidad de sangre aumentó rápidamente al principio, pero llegó a estabilizarse. La cantidad asociada con un punto de estabilidad, por ejemplo, 64 ml en el segundo experimento, se conoce como un límite. Hablando matemáticamente, decimos que la secuencia de números asociada con el sistema se aproxima al límite. La secuencia del primer experimento sobre medicina en la sangre tuvo un límite de cero. La secuencia del segundo experimento se corrió y se aproximó a un valor diferente de cero. Una secuencia geométrica corrida incluye la suma de un término en la regla recursiva. El ejemplo en tu libro trata de otra secuencia geométrica corrida. Trabaja ese ejemplo a fondo. 12 CHAPTER 1 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

7 DAACLS_678_01.qxd 4/15/04 3:19 PM Page 13 LECCIÓN CONDENSADA 1.4 Graficación de secuencias En esta lección Explorarás relaciones entre diferentes representaciones de secuencias Encontrarás secuencias que modelan datos Puedes graficar los términos de una secuencia. Por ejemplo, en esta gráfica se representa la secuencia generada por la fórmula recursiva 3 y 1 1, donde n 1. La gráfica parece ser lineal. Es decir, los puntos parecen estar en una recta. La diferencia común, d 1, hace que cada nuevo punto caiga 1 unidad debajo del punto anterior. La gráfica de una secuencia es una gráfica discreta, lo cual significa que está hecha de puntos aislados. No tiene sentido conectar los puntos de la gráfica de una secuencia con una recta o una curva continua, porque el término número n debe ser un número entero (0, 3) (1, 2) (2, 1) (3, 0) 6 (4, 1) (5, 2) (6, 3) n Investigación: Hazlos coincidir En la investigación en tu libro, se muestran unas representaciones de secuencias en forma de tabla, de fórmula, y de gráfica. Debes hacer coincidir cada tabla con la fórmula y la gráfica que representan la misma secuencia. Intenta completar la investigación por tu propia cuenta, antes de seguir leyendo. A continuación tienes las correspondencias correctas, junto con una explicación del razonamiento que podrías usar para llevarlas a cabo. 1, B, iv: El valor inicial es 8, de modo que la fórmula correcta debe ser A o B. La fórmula A da u 1 6, que no corresponde con el valor de la tabla. Los primeros términos generados por la fórmula B son 8, 4, 2, y 1, que corresponden a los valores de la tabla. La fórmula B representa una secuencia decreciente que empieza en 8 y se hace cada vez más pequeña, aproximándose a 0. En la gráfica iv se muestra una secuencia que se ajusta a esta descripción. 2, C, vi: La secuencia se inicia en 0.5, y cada término subsiguiente es 2 veces el término anterior. Esto corresponde a la fórmula C. La gráfica debería iniciar en 0.5 y aumentar a una tasa cada vez más alta. La gráfica correcta debe ser la vi. 3, F, iii: La secuencia tiene un valor inicial de 2. No tiene una diferencia constante ni una razón constante, así que no es puramente aritmética ni geométrica. La única fórmula que se ajusta a esta descripción es F. Las gráficas iii y v tienen un valor inicial de 2. La gráfica v es lineal y, por tanto, representa una secuencia aritmética. La gráfica iii es la correcta. 4, D, v: La secuencia tiene un valor inicial de 2, así que la fórmula correcta debe ser D o F. Usando la fórmula D para generar los primeros siete términos, obtenemos 2, 0, 4, 6, 8, 10, 12. Los valores de los términos 0, 2, 5, y 7 corresponden a los de la tabla, de modo que la fórmula D corresponde a la tabla 4. La gráfica v empieza en 2 y aumenta en 2 unidades con cada punto. Esto coincide con la fórmula D. 5, A, ii: La secuencia tiene un valor inicial de 8, de modo que la fórmula correcta debe ser A o B. Usando la fórmula A para generar los primeros ocho términos, obtenemos 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6. Los términos 0, 1, 3, 5, y 7 (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 1 13

8 DAACLS_678_01.qxd 4/15/04 3:19 PM Page 14 Lección 1.4 Graficación de secuencias (continuación) coinciden con los de la tabla. La gráfica ii empieza en 8 y disminuye en 2 unidades con cada punto. Ésta coincide con la fórmula A. 6, E, i: La secuencia tiene un valor inicial de 4, y cada término es el mismo que el término anterior (esto es, la secuencia tiene una diferencia constante de 0). La fórmula E genera esta secuencia. La gráfica i, que muestra una secuencia en la que cada término es 4, corresponde con la tabla y con la fórmula. He aquí algunas observaciones generales sobre las relaciones entre secuencias, fórmulas recursivas, y gráficas. Las secuencias aritméticas tienen diferencias constantes, reglas recursivas de la forma 1 d, y gráficas lineales con la pendiente igual a la diferencia constante. Si la diferencia constante es positiva, la secuencia aumenta y la gráfica es creciente. Si la diferencia constante es negativa, la secuencia disminuye y la gráfica es decreciente. Las secuencias geométricas tienen razones constantes, reglas recursivas de la forma r1,y gráficas curvas. Si la razón constante es mayor que 1, la secuencia aumenta y la gráfica crece lentamente al principio y después con mayor rapidez. Si la razón constante se encuentra entre 0 y 1, la secuencia disminuye y la gráfica disminuye rápidamente al principio y después con mayor lentitud, aproximándose a 0. Las secuencias geométricas corridas no tienen ni diferencia constante ni razón constante. Tienen reglas recursivas de la forma a1 b ygráficas curvas. En ocasiones los datos reales pueden modelarse con una secuencia aritmética o una geométrica. La forma de la gráfica puede ayudarte a determinar a qué tipo de secuencia pertenece, si existe. En el ejemplo en tu libro, se modela un conjunto de datos con una secuencia geométrica. Trabaja ese ejemplo a fondo, lee el resto de la lección, y después lee el ejemplo siguiente. EJEMPLO Aaron registró el número de problemas de matemáticas que resolvió cada noche durante la última semana y el tiempo que le tomó terminar cada tarea. Encuentra una secuencia que modele aproximadamente estos datos. Problemas Tiempo (min) Solución La gráfica es aproximadamente lineal, de modo que una secuencia aritmética sería un buen modelo. El valor inicial es 0. Para encontrar la diferencia constante, encuentra la pendiente entre los pares de valores consecutivos. Estas pendientes son 7, 7, 8, 8.5, 6, y 5.6, respectivamente. Intenta usar la pendiente mediana, 7, como la diferencia constante. El modelo es, entonces, [0, 16, 1, 0, 100, 10] donde n 1 Agrega estos puntos a tu gráfica, que se muestra aquí. El modelo parece corresponder bien. 14 CHAPTER 1 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

9 DAACLS_678_01.qxd 4/15/04 3:19 PM Page 15 LECCIÓN CONDENSADA 1.5 Préstamos e inversiones En esta lección Usarás lo que has aprendido sobre las secuencias recursivas para calcular el pago mensual de un préstamo Usarás la recursión para calcular el saldo de una cuenta de inversiónes Las fórmulas recursivas son útiles para resolver los problemas relacionados con las finanzas. Investigación: Los grandes gastos de la vida En esta investigación, usarás la recursión para explorar los saldos de los préstamos y las opciones de pago. Trata de completar los pasos por tu propia cuenta, antes de leer el texto siguiente. Parte 1 Supón que consigues un préstamo de $22,000 para comprar un auto nuevo que será pagado en 5 años (60 meses). El banco cobra un interés anual de 7.9%, compuesto mensualmente. Paso 1 La tasa de interés mensual es la tasa de interés anual dividida entre 12, lo cual da , % 2 ó Entonces, el interés del primer mes sobre $22,000 es ($22,000), 2 ó $ El saldo total es, entonces, $22, Si pagas $300 al final del mes, el saldo restante será $21, Paso 2 La regla de recursión para la secuencia de saldos mensuales es donde n 1 Puedes usar tu calculadora para hallar los saldos de los primeros 6 meses. La tabla de la calculadora muestra que el saldo será pagado en 101 meses, ó 8 años y 5 meses. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 1 15

10 DAACLS_678_01.qxd 4/15/04 3:19 PM Page 16 Lección 1.5 Préstamos e inversiones (continuación) Paso 3 Experimenta con otras cantidades de pago. Debes encontrar que $ es el mínimo pago mensual que te permite pagar el préstamo en exactamente 60 meses. Paso 4 Si pagas $ por mes, harás 59 pagos de $445.03, más un pago de $444.92, que es el pago normal de $ menos el sobrepago de $0.11, que puedes ver en la tabla anterior. (No puedes usar el saldo del mes número 59, porque todavía deberías intereses por éste). Por consiguiente, la cantidad total que realmente pagas por el auto es 59($445.03) $ $26, Parte 2 Para hallar el pago mensual de una hipoteca de $146,000 a 30 años (360 meses), con una tasa de interés anual de 7.25%, compuesta mensualmente, usa tu calculadora para experimentar con las reglas de la forma pago donde n 1 Intenta encontrar el menor pago posible, de modo que u y u Debes encontrar que tal pago será de $ La cantidad total que realmente pagarías por la casa es $ $ $358, En el ejemplo en tu libro, se presenta un problema sobre inversiones. Trabaja ese problema por tu cuenta. 16 CHAPTER 1 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish