Límites. Definición de derivada.
|
|
- Vanesa Herrero Macías
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Capítulo 4 Límites. Definición de derivada Límites e indeterminaciones Hemos visto en el capítulo anterior que para resolver el problema de la recta tangente tenemos que enfrentarnos a expresiones como esta: y a la pregunta de qué sucede cuando x se acerca más y más a x 0. Y hemos visto un ejemplo, en para el cálculo de 2, en el que esa pregunta tiene una respuesta evidente. Es importante entender que la respuesta no es trivial. En principio, esperamos que, al menos en los casos normales, f(x) se parezca mucho a f(x 0 ) cuando x se acerca a x 0 (volveremos sobre este asunto de los casos normales cuando hablemos de continuidad). Y en tales casos, eso significa que el numerador y el denominador ambos se parecen mucho a 0. Es decir, que estaremos ante una situación que en matemáticas se representa con el símbolo 0/0. Por el momento, usamos este símbolo sólo para indicar que se trata de una situación que exige un análisis más detallado. Y eso significa que el problema de la tangente puede tener solución, pero esa solución exige bastante reflexión. Se trata por tanto de lo siguiente. Tenemos una expresión que depende de x, llamémosla h(x), y queremos saber qué ocurre con esta expresión cuando x se acerca a x 0. Ese problema se representa con el símbolo h(x) que leemos diciendo el ite de h(x) cuando x tiende a x 0. En el problema de la tangente tenemos h(x) = f(x) f(x 0) de manera que resolver ese problema consiste en dar sentido a la pregunta. Se trata de explicar con rigor lo que significa que un cierto número sea la respuesta. Y además, naturalmente, tendremos que ocuparnos del problema de cómo calcular ese número. Ejemplo Es decir, que queremos escribir la conclusión del ejemplo (pág. 25) sobre el cálculo de 2, diciendo que si f(x) = x 2 2, entonces (x 2 2) (x 2 0 2) = = 2x 0 Pero, para que el esfuerzo teórico que vamos a hacer tenga una recompensa generosa, no queremos limitarnos al problema de la tangente. Porque hay otras situaciones en matemáticas en las que surgen problemas similares. 27
2 Ejemplo Supongamos que queremos saber lo que ocurre con la expresión h(x) = (1 + x) 1/x cuando x es un número muy cercano a x 0 = 0. Es decir, nos preguntamos por el valor de (1 + x)1/x x 0 En tal caso, tenemos un número (1 + x) que se parece mucho a 1. En principio podemos pensar que cualquier potencia de un número cercano a 1 estará a su vez cerca de 1. Pero es que lo elevamos a una cantidad muy grande (positiva o negativa). Y si bien es cierto que, por ejemplo, no es menos cierto que (1,00001) 100 1, (1,00001) ,364 De manera que el comportamiento del resultado de una operación como (algo parecido a 1) algo muy grande parece depender de una manera sutil de cuál sea la relación de tamaño entre la base y el exponente. Para describir este tipo de situaciones hablaremos de un problema 1. Más adelante veremos cuál es la respuesta a este problema concreto, que es muy importante. Los problemas de la forma 0 0, 1 y otros similares se denominan indeterminaciones. El impulso inicial para definir los ites viene dado por nuestro deseo de conocer la respuesta a preguntas como estas. Naturalmente, también hay situaciones mucho más sencillas. No necesitamos una teoría muy elaborada para saber que x 2 x2 = 4 aunque por supuesto, la teoría que vamos a desarrollar incluirá estos casos triviales Distancias y valores absolutos Para poder construir la idea de ite que necesitamos, un ingrediente clave es la noción de distancia. Para poder decir con rigor que x está cerca de x 0, debemos ser capaces de expresar formalmente, en el lenguaje de las matemáticas, la distancia entre esos dos puntos. Afortunadamente, disponemos de dicha expresión. Definición (Distancia entre números reales). Si a y b son dos números reales, entonces la distancia entre ellos es el número a b Desafortunadamente, esta expresión utiliza el concepto de valor absoluto, que muchos estudiantes de cálculo encuentran indigesto. Trataremos de hacerlo un poco más ligero. Recordemos la definición: Definición (Valor absoluto). El valor absoluto del número real a es: { a si a 0 a = a si a < 0 Ejemplo (Error común con el valor absoluto). Una de las confusiones más frecuentes al utilizar el valor absoluto se ilustra en este ejemplo, incorrecto: { a 2 a 2 5a + 6 si a 0 5a + 6 = (a 2 5a + 6) si a < 0 28
3 Hemos resaltado la parte incorrecta de esta expresión. La expresión correcta sería: { a 2 a 2 5a + 6 si a 2 5a a + 6 = (a 2 5a + 6) si a 2 5a + 6 < 0 Como puede verse, por este y otros ejemplos similares, el trabajo con valores absolutos exige a su vez una cierta familiaridad con el uso de desigualdades en matemáticas. De hecho, las desigualdades son otro ingrediente fundamental que necesitamos para poder definir los ites y para trabajar con ellos. El trabajo con desigualdades puede ser extremadamente difícil, y es una de las partes más sutiles de las matemáticas. Pero aquí sólo necesitaremos algunas ideas sencillas. El lector de este curso debe asegurarse de que tiene la soltura suficiente como para trabajar con problemas que involucren esas ideas sencillas (como los que aparecen en la lista de problemas del curso). Para el trabajo que vamos a hacer en la siguiente sección hay un resultado sobre valores absolutos y desigualdades que resultará muy útil enseguida: Observación (Intervalos definidos mediante el valor absoluto). El conjunto de números x que cumplen la desigualdad: x a < r coincide con el intervalo de números x que cumplen: a r < x < a + r Es decir, con aquellos números cuya distancia al número a (el centro del intervalo) es menor que r (el radio del intervalo). Con este lenguaje estamos ya preparados para entender la definición del ite Definición formal de ite Continuando la discusión inicial de este capítulo, a estas alturas debemos tener bastante claro al menos una idea informal de lo que hay detrás de la idea de ite. Cuando escribimos h(x) = L siendo L un cierto número, estamos diciendo que si se calcula f en un punto x cercano a x 0, se obtendrá un valor que tal vez no sea L, pero que estará muy cerca de L. Y estará tanto más cerca, cuanto más acerquemos x a x 0. Como puede verse, en esta descripción del ite la idea central es la de distancia. Si queremos ser más precisos, y obtener una definición rigurosa, la mejor forma de pensar en esta definición de ite consiste probablemente en centrarnos en la idea de control del error: Nos fijamos un objetivo de error máximo tolerable, que fijamos mediante un número al que, en este contexto, tradicionalmente se denomina ε. Debemos pensar por tanto que ε será un número pequeño, algo como 0,001 si deseamos cometer un error de milésimas, o como 0, si el tamaño del error máximo debe ser del orden de millonésimas. Vamos a medir entonces el error que se comete al calcular h(x) en lugar de L, y queremos que ese error sea menor que ε. Es decir, queremos que la distancia entre h(x) y L sea menor que ε. Y recordando nuestra discusión sobre distancias de la sección anterior, eso significa que debe cumplirse: Naturalmente, no podemos esperar que ésto ocurra sea cual sea el valor de x que se utilice. Para que el error sea pequeño, debemos tomar x cerca de x 0. Y así llegamos a la versión casi definitiva de la definición de ite: Definición (Definición provisional de ite). Decimos que el ite de h en x 0 es L si, sea cual sea el error máximo ε que hayamos fijado, se puede garantizar que se cumple cuando x está suficientemente cerca de x 0. 29
4 Para convertir esto en una definición formal debemos precisar la parte que aparece subrayada en esta definición. Cuáles son los x que están suficientemente cerca de x 0? Pues todos aquellos cuya distancia a x 0 es pequeña. Una forma de garantizar que esa distancia sea pequeña es tomar un número pequeño que, también siguiendo la tradición, denominaremos δ, y pedir que se cumpla < δ Si por ejemplo tomamos δ = 0,0001, estamos pidiendo que la distancia entre x y x 0 sea menor que una diezmilésima. El número δ es casi la última pieza que nos faltaba en nuestra definición de ite. Pero falta todavía un detalle para que estemos preparados para la definición de ite. El siguiente ejemplo ilustra el tipo de situaciones que queremos evitar: Ejemplo Sea h(x) = La gráfica de esta función tiene este aspecto: { x 2 si x 1 2 si x = 1 El círculo punteado pretende indicar que la gráfica de h está, por así decirlo, agujereada en x 0 = 1, de modo que el valor h(1) = 2 se encuentra situado más arriba, representado por un punto sólido en la figura. Una situación como la de este ejemplo, que sin duda parece bastante artificial, es bastante molesta. Porque, ya que el valor de h(1) parece bastante arbitrario, nos gustaría decir que el ite de h en x = 1 es L = 1. Pero eso choca con la idea de que, para ε pequeño, si tomamos x suficientemente cerca de x 0 = 1 podemos conseguir que sea Porque basta con tomar aquí x = 1 (es decir x = x 0 ; no se puede estar más cerca de x 0!) para obtener h(x) L = h(1) 1 = 2 1 = 1 Y no hay manera de conseguir que esta cantidad, 1, sea menor que el ε pequeño con el que habíamos empezado. La conclusión de este ejemplo es que, para conseguir una definición satisfactoria, debemos añadir una coletilla a la definición provisional: sea cual sea el error máximo ε que hayamos fijado, se puede garantizar que se cumple 30
5 cuando x está suficientemente cerca de x 0, y es distinto de x 0. La novedad es la parte que hemos destacado en esta frase. Y la forma de excluir que sea x = x 0 es escribir 0 < < δ en lugar de simplemente < δ. Ahora sí, con este matiz, ya tenemos todos los ingredientes necesarios para la definición. Definición (Definición de ite). Decimos que el ite de h en x 0 es L si, sea cual sea el error máximo ε que hayamos fijado, se puede elegir un número δ tal que, para todos los x que cumplen 0 < < δ se puede garantizar que se cumple En lenguaje formal: ε > 0 δ : 0 < < δ Hay que pensar en esta definición como una especie de contrato: si tú me dices el error ε que estás dispuesto a admitir, yo me comprometo a encontrar el δ que garantiza que si tomas x a distancia menor que δ de x 0, los valores de h(x) que vas a obtener se parecen al valor L con un error menor que ε Demostrar y calcular ites Cuando nos enfrentamos con un problema de ites, nuestra primera preocupación es averiguar cuál es el número L qué debemos colocar a la derecha de la ecuación: h(x) =?? Una vez que tengamos un candidato a ser ese ese número L, entonces podremos usar la definición para certificar que el ite es cierto. Si no es así, es que hay que buscar mejor el candidato a ser el ite. En principio, este es un esquema de trabajo posible, aunque poco práctico. Por esa razón, en los próximos capítulos vamos a desarrollar un método diferente, que resultará mucho más práctico. Se trata de un método en el que calculamos y a la vez demostramos que el cálculo es correcto. Es decir, que la inmensa mayoría de las veces que usemos los ites no tendremos la necesidad de dar una demostración explícita. La definición de ite sirve, ante todo, como fundamento teórico con el que construir dichos métodos. Los usuarios no matemáticos del Cálculo, científicos e ingenieros, no piensan no necesitan pensar en la definición de ite cuando utilizan esos métodos. Y lo bueno es, precisamente, que no necesitan hacerlo, y aun así el resultado tiene una garantía absoluta de corrección! Aunque la definición de ite va a ser en este curso ante todo una herramienta teórica, es importante que el lector la entienda bien. Y ello es así por dos razones, al menos. En primer lugar porque, siendo el Cálculo una de las disciplinas fundamentales sobre las que descansan la ciencia y la técnica, cualquier lector culto no digamos ya si se trata de alguien que aspira a una formación técnica debe conocer la parte esencial de esta disciplina. Y en segundo lugar, porque hay al menos un aspecto muy práctico en la definición de ite: la definición se puede utilizar para medir el esfuerzo necesario para garantizar la precisión deseada en el cálculo de una función. Veremos en la próxima sección algunos ejemplos detallados de esta afirmación, que deben servir para mejorar nuestra comprensión del significado del ite Ejemplos de demostraciones Empezaremos por un caso muy sencillo, pero que trataremos con mucho detalle, para pasar después al problema de la tangente que hemos usado en ejemplos previos. Dejamos pendiente para una sección posterior el examen de algunos ejemplos en los que no existe el ite. Entender estos ejemplos es crucial. Advertimos al lector de que no debe seguir adelante con la lectura hasta haberse hecho una idea, al menos bastante completa, de cuál es la estructura de una demostración de ites, que le permita completar las demostraciones sencillas que aparecen en los ejercicios que acompañan al curso. 31
6 Ejemplo Vamos a empezar demostrando formalmente algo que intuitivamente es obvio: x 2 x2 = 4 Como hemos dicho antes, nos planteamos la demostración como si se tratará del cumplimiento de un contrato con un cliente. El cliente ha fijado una precisión ε; conviene que el lector piense, para fijar ideas, en un valor concreto, algo como ε = Y espera de nosotros el siguiente resultado: quiere que le demos como respuesta un cierto intervalo de valores de x, cercanos a 2, y que le garanticemos que el valor de h(x) = x 2, calculado para uno cualquiera de esos valores de x se parece a 4 con la precisión dada por ε. Es decir, que el cliente estará satisfecho si al calcular con uno de los x que le entregamos obtiene algo como 3, o como 4, Pero se disgustará si obtiene algo como 3,9: el error en este caso es demasiado grande. Así pues, el criterio de control de calidad que va a usar el cliente viene dado por la expresión: h(x) L = x 2 4 < ε = 10 6 Nuestro objetivo, para satisfacer al cliente, es que nuestros valores de x cumplan x 2 4 < 10 6 De qué herramientas disponemos para conseguir esto? Lo que nosotros controlamos es la distancia entre x y 2. Podemos pedirle al cliente que use un valor de x tan cercano a 2 como queramos. Así pues, lo que controlamos es el tamaño de x 2 Por tanto, la estrategia de la demostración consiste en mostrar que, tomando x 2 suficientemente pequeño, se puede conseguir que x 2 4 sea tan pequeño como se necesite (más pequeño que ε, concretamente). Para mostrar eso, la tarea consiste en establecer alguna relación entre las dos cantidades. En este caso, partimos del objetivo x 2 4 y lo manipulamos para tratar de relacionarlo con la cantidad que controlamos, que es x 2. El primer paso es evidente: x 2 4 = (x 2)(x + 2) = x 2 x + 2 y, en efecto, hemos conseguido hacer aparecer x 2. El problema es que no viene sólo, lo acompaña el factor x + 2. Recordemos que nuestro objetivo es, en resumidas cuentas, demostrar que si x 2 es pequeño, entonces x 2 4 = x 2 x+2 es pequeño. Sabiendo que x 2 es pequeño, podemos entonces asegurar que x 2 x + 2 tiene que serlo? Hay que tener un poco de cuidado. El producto de algo muy pequeño por algo muy grande puede darnos más de una sorpresa. Así que, para conseguir nuestro objetivo, tenemos que demostrar que, si x 2 es pequeño, entonces como consecuencia de ese hecho, el valor de x + 2 no es muy grande. Y entonces tendremos un razonamiento que esencialmente dirá que x 2 4 = x 2 x + 2 = (algo muy pequeño) (algo no muy grande) = (algo muy pequeño) Por lo tanto, lo que nos falta es ser capaces de argumentar que, si x 2 es muy pequeño, entonces x+2 no debe ser muy grande. Pero esto debería estar claro! Si pensamos en x 2 muy pequeño, podemos pensar sin duda que ha de ser, por ejemplo, x 2 < 1. Eso significa, como hemos visto al traducir estas expresiones en intervalos, que 1 < x < 3 Y si tenemos un valor de x entre 1 y 3, es evidente que x+2 < 5. Es decir, como queríamos, al controlar el tamaño de x 2, el tamaño de x + 2 queda automáticamente bajo control. Bueno, cómo usamos todas estas ideas para decidir cuáles son los valores de x que debe usar nuestro cliente? El cliente quiere, recordémoslo: x 2 4 < ε. Es decir, x 2 x + 2 < ε Si empezamos por pedirle al cliente que, en cualquier caso, utilice sólo valores de x que cumplan x 2 < 1, entonces, como hemos visto: x 2 x + 2 < 5 x 2 32
7 Y si tomamos valores de x que garanticen que la expresión de la derecha sea < ε, entonces estaremos garantizando que los deseos del cliente se cumplen. Es decir, que debemos asegurarnos de que sea 5 x 2 < ε Pero es evidente que para que esto se cumpla basta con tomar x 2 < ε. Es decir, que el cliente debe 5 usar valores que cumplan dos condiciones: 1. x 2 < 1 2. x 2 < ε 5 En condiciones normales, para un valor pequeño de ε, cumplir la segunda condición implica que también se cumple la primera. Pero si queremos tener una respuesta que le sirva al cliente sea cual sea el valor de ε que elija, podemos resumir la condición sobre x así: ( x 2 < mín 1, ε ) = δ 5 La expresión a la derecha de la desigualdad es el δ que aparece en la definición de ite, y que define la región de valores de x que el cliente puede usar para obtener la precisión ε deseada. Naturalmente, δ depende de ε. Es importante entender, en el ejemplo que acabamos de detallar, que el valor de δ que hemos obtenido no es desde luego único, y que en cualquier caso, no nos hemos esforzado en conseguir un δ que sea, en algún sentido, el mejor posible. Lo importante en una demostración de ite es que seamos capaces de demostrar que por pequeño que sea el ε con el que se empiece, siempre tenemos un δ que garantiza la precisión deseada. Veamos a continuación el ejemplo de cálculo de 2, con el que venimos trabajando desde el principio del curso. Ejemplo Vamos a demostrar que, para f(x) = x 2 2, se tiene = 2x 0 = L Es decir, que una vez que fijamos un valor de ε, tenemos que demostrar que se puede conseguir que sea: 2x 0 < ε siempre que se tome x suficientemente cerca de x 0. Por lo tanto, procediendo como en el ejemplo anterior, nuestro trabajo pasa por encontrar una relación entre el tamaño de 2x 0 y el de Manipulando la primera expresión: 2x 0 = (x 2 2) (x 2 0 2) 2x 0 = x 2 x 2 0 2x 0 ( ) = ((x + x 0 ) 2x 0 )( ) = Es decir, que en este ejemplo concreto: L = Y por lo tanto se puede tomar simplemente δ = ε. 33
8 4.5. Definición formal de derivada. Continuidad Puntual Con la definición de ite que acabamos de construir, estamos por fin en condiciones de dar una respuesta rigurosa al problema de la tangente. La primera definición que daremos es la definición clásica que el lector encontrará en la mayoría de los textos de cálculo: Definición (Derivada, def. 1). Supongamos que existe el ite Entonces diremos que f es derivable en x 0, y usaremos la notación: f (x 0 ) = El número f (x 0 ) es la derivada de f en x 0. Y la recta de ecuación y = f(x 0 ) + f (x 0 )( ) es la recta tangente a f en x Definición de continuidad puntual Decíamos al principio de este capítulo, que en los casos normales, el ite que se usa para el cálculo de una derivada siempre conduce a una indeterminación de la forma 0/0. Queremos aclarar ahora cuáles son esos casos normales a los que nos referíamos: se trata de aquellos casos en los que se cumple f(x) = f(x 0 ). Por tanto, en esta situación, el numerador de la definición de derivada tiende a 0. Vamos a darle un nombre a estos casos. Definición (Continuidad puntual). La función f(x) es continua en x 0 si se cumple f(x) = f(x 0 ). Veremos en el próximo capítulo, cuando aprendamos más detalles sobre el cálculo de ites, que si la función f no es continua en x 0 entonces no existe la derivada en dicho punto. Además, a medida que avancemos descubriremos que esta propiedad de la continuidad tiene muchas y profundas consecuencias, no sólo relacionadas con el problema de la tangente. 34
Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación
Más detallesDiferenciabilidad. Definición 1 (Función diferenciable). Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Diferenciabilidad. 1. Definición de función diferenciable Después del estudio de los ites de funciones
Más detallesUNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.
UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesHasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Límites y continuidad 1. Límite de funciones de dos variables Hasta ahora hemos evitado entrar en la
Más detalles1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad
Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele
Más detallesFunciones, x, y, gráficos
Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre
Más detallesDatos del autor. Nombres y apellido: Germán Andrés Paz. Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina
Datos del autor Nombres y apellido: Germán Andrés Paz Lugar de nacimiento: Rosario (Código Postal 2000), Santa Fe, Argentina Correo electrónico: germanpaz_ar@hotmail.com =========0========= Introducción
Más detallesUnidad I. 1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal)
Unidad I Sistemas numéricos 1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal) Los computadores manipulan y almacenan los datos usando interruptores electrónicos que están ENCENDIDOS o APAGADOS.
Más detallesCómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1
. ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio
Más detallesCómo ayudar a nuestros hijos e hijas en las tareas escolares si no sabemos euskera?
Cómo ayudar a nuestros hijos e hijas en las tareas escolares si no sabemos euskera? Este documento es un resumen de la charla No sabemos euskera, Cómo ayudar a nuestros hijos e hijas en las tareas escolares?.
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesTema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor
Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,
Más detallesDivisibilidad y números primos
Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos
Más detallesTABLA DE DECISION. Consideremos la siguiente tabla, expresada en forma genérica, como ejemplo y establezcamos la manera en que debe leerse.
TABLA DE DECISION La tabla de decisión es una herramienta que sintetiza procesos en los cuales se dan un conjunto de condiciones y un conjunto de acciones a tomar según el valor que toman las condiciones.
Más detallesEsta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:
Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.
Más detallesCómo ayudarles con las tareas escolares si no sabemos euskera?
Cómo ayudarles con las tareas escolares si no sabemos euskera? Objetivo: desarrollar la autonomía de aprendizaje Tanto si sabemos euskera como si no sabemos euskera, la pregunta que debemos responder los
Más detallesAplicaciones lineales continuas
Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas
Más detallesLección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones
LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce
Más detallesCálculo elemental de límites...
Capítulo 5 Cálculo elemental de ites... Vamos a dedicar este capítulo a tratar de mejorar nuestra relación con los ites, desarrollando el método que ya hemos anunciado, que nos permitirá calcular el ite
Más detallesAnálisis de los datos
Universidad Complutense de Madrid CURSOS DE FORMACIÓN EN INFORMÁTICA Análisis de los datos Hojas de cálculo Tema 6 Análisis de los datos Una de las capacidades más interesantes de Excel es la actualización
Más detallesPrograma diseñado y creado por 2014 - Art-Tronic Promotora Audiovisual, S.L.
Manual de Usuario Programa diseñado y creado por Contenido 1. Acceso al programa... 3 2. Opciones del programa... 3 3. Inicio... 4 4. Empresa... 4 4.2. Impuestos... 5 4.3. Series de facturación... 5 4.4.
Más detalles6 M. C. J. A G U S T I N F L O R E S A V I L A
2..- DEFINICION DE LIMITES. OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de Límite, comprenda la importancia que tiene este concepto en el Cálculo y adquiera habilidad en el cálculo de los Límites más
Más detalles5.1. Organizar los roles
Marco de intervención con personas en grave situación de exclusión social 5 Organización de la acción 5.1. Organizar los roles Parece que el modelo que vamos perfilando hace emerger un rol central de acompañamiento
Más detallesSegmentación de redes. CCNA 1: módulo 10.
CURSO A DISTANCIA CCNA: Técnico experto en redes e Internet. MATERIAL DIDÁCTICO COMPLEMENTARIO: Segmentación de redes. CCNA 1: módulo 10. RUBÉN MUÑOZ HERNÁNDEZ. 1.- INTRODUCCIÓN. Aunque los materiales
Más detallesQUÉ ES LA RENTABILIDAD Y CÓMO MEDIRLA. La rentabilidad mide la eficiencia con la cual una empresa utiliza sus recursos financieros.
QUÉ ES LA RENTABILIDAD Y CÓMO MEDIRLA La rentabilidad mide la eficiencia con la cual una empresa utiliza sus recursos financieros. Qué significa esto? Decir que una empresa es eficiente es decir que no
Más detallesTema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detallesMatrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
Más detallesTema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Más detallesACERCA DEL COACHING. Acerca del Coaching www.innovacionagil.com info@innovacionagil.com Página 1/5
ACERCA DEL COACHING Qué es Coaching? En inglés, la palabra Coaching hace referencia a entrenar, aunque este significado es tan sólo una referencia, pues no es del todo correcto cuando nos referimos a la
Más detallesTiene dudas respecto a su embarazo?
Tiene dudas respecto a su embarazo? Una guía para tomar la mejor decisión para usted Qué debo hacer? Hemos preparado este folleto para las muchas mujeres, adolescentes y adultas, que quedan embarazadas
Más detallesEste es un ejemplo muy sencillo, un esquema de empleados que trabajan en proyectos, en una relación muchos a muchos.
28/04/2012 La teoría de la normalización va perdiendo peso con el paso de los años como herramienta de diseño de bases de datos relacionales en favor de modelos de datos más ricos en su representación,
Más detallesAXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán
Más detallesMamá quiero un móvil nuevo!
Educación para un consumo responsable Mamá quiero un móvil nuevo! Por qué todos los chicos y chicas son consumistas? Confederación Española de Padres y Madres de Alumnos Amenudo tenemos discusiones con
Más detallesMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
CAPÍTULO 14 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL A veces, de los datos recolectados ya organizados en alguna de las formas vistas en capítulos anteriores, se desea encontrar una especie de punto central en función
Más detallesDEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN FÍSICA CURSO 2011/2012
ORIENTACIÓN.1ºESO Carreras de Orientación Una Carrera de Orientación consiste en recorrer en el menor tiempo posible una ruta situada en un terreno desconocido pasando por unos puntos obligados en un orden
Más detallesCifras significativas e incertidumbre en las mediciones
Unidades de medición Cifras significativas e incertidumbre en las mediciones Todas las mediciones constan de una unidad que nos indica lo que fue medido y un número que indica cuántas de esas unidades
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b
La función lineal Una función polinomial de grado uno tiene la forma: y = a 0 + a 1 x El semestre pasado estudiamos la ecuación de la recta. y = m x + b En la notación de funciones polinomiales, el coeficiente
Más detallesY tú, cómo mides tus campañas? Las claves para aumentar tus conversiones.
Y tú, cómo mides tus campañas? Las claves para aumentar tus conversiones. Hoy en día la analítica web resulta esencial para medir la eficacia de nuestras campañas, pero no siempre tenemos claro cómo interpretar
Más detallesLa lección de hoy es sobre Resolver Ecuaciones. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante SEI.2.A1.1
SEI.2.A1.1-Solving Equations-Student Learning Expectation. La lección de hoy es sobre Resolver Ecuaciones. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante SEI.2.A1.1 En esta lección aprenderemos
Más detallesGUÍA TÉCNICA PARA LA DEFINICIÓN DE COMPROMISOS DE CALIDAD Y SUS INDICADORES
GUÍA TÉCNICA PARA LA DEFINICIÓN DE COMPROMISOS DE CALIDAD Y SUS INDICADORES Tema: Cartas de Servicios Primera versión: 2008 Datos de contacto: Evaluación y Calidad. Gobierno de Navarra. evaluacionycalidad@navarra.es
Más detallesUsamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión:
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos
Más detalles3º Grado Educación Infantil Bilingüe Números. Método Singapur y F. Bravo E R
MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN INFANTIL N Enseñamos y aprendemos llos números:: Método Siingapur y Fernández Bravo,, Porr Clarra Garrcí ía,, Marrtta Gonzzál lezz y Crri isstti ina Lattorrrre.. Ú M E R O S
Más detallesTema 2 Límites de Funciones
Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos
Más detallesMÓDULO 2. LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLE
MÓDULO 2. LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLE Índice de contenidos: 1. Ley Financiera de capitalización a interés vencido. 1.1. Equivalencia de capitales. 1.2. Tipos de interés equivalentes.
Más detallesCÓMO CONSEGUIR CLIENTES PARA UN ESTUDIO CONTABLE? Marketing digital para contadores
CÓMO CONSEGUIR CLIENTES PARA UN ESTUDIO CONTABLE? Marketing digital para contadores Si necesitas conseguir clientes para tu estudio o despacho contable, Internet puede ser una excelente herramienta, probablemente
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa
Función Inversa Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.
Más detallesLos números racionales
Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones
Más detallesFunciones de varias variables
Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial
Más detallesPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones
Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces
Más detalles5 razones por las que NO DEBERÍAS ABRIR UNA TIENDA ONLINE
5 razones por las que NO DEBERÍAS ABRIR UNA TIENDA ONLINE Cómo has llegado hasta aquí (y si aún estás a tiempo de darte la vuelta) Si estás pensando en abrir una tienda online, es posible que te encuentres
Más detallesColegio Alexander von Humboldt - Lima. Tema: La enseñanza de la matemática está en un proceso de cambio
Refo 07 2004 15 al 19 de noviembre 2004 Colegio Alexander von Humboldt - Lima Tema: La enseñanza de la matemática está en un proceso de cambio La enseñanza de la matemática debe tener dos objetivos principales:
Más detallesProblemas fáciles y problemas difíciles. Cuando a los niños les planteamos problemas de suma y resta, Laura dejó sin resolver el siguiente problema:
Problemas fáciles y problemas difíciles Alicia Avila Profesora investigadora de la Universidad Pedagógica Nacional Cuando a los niños les planteamos problemas de suma y resta, Laura dejó sin resolver el
Más detallesE 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4
Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),
Más detallesCAPÍTULO III. FUNCIONES
CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85 A DEFINICIÓN
Más detallesTema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice
Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +
Más detallesResortes y fuerzas. Analiza la siguiente situación. Ley de Hooke. 2do Medio > Física Ley de Hooke. Qué aprenderé?
2do Medio > Física Ley de Hooke Resortes y fuerzas Analiza la siguiente situación Aníbal trabaja en una fábrica de entretenimientos electrónicos. Es el encargado de diseñar algunas de las máquinas que
Más detallesFunciones de dos variables. Gráficas y superficies.
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Funciones de dos variables. Gráficas y superficies. Puede ser conveniente la visualización en pantalla
Más detallesCUESTIONARIO CMC.2 (ESO y Bachillerato).
CUESTIONARIO CMC.2 (ESO y Bachillerato). J. Alonso Tapia, F. Vicente, C. Simón y L. Hernández (1991) INSTRUCCIONES Esta prueba contiene una serie de afirmaciones que se refieren a cómo percibes el ambiente
Más detallesby Tim Tran: https://picasaweb.google.com/lh/photo/sdo00o8wa-czfov3nd0eoa?full-exif=true
by Tim Tran: https://picasaweb.google.com/lh/photo/sdo00o8wa-czfov3nd0eoa?full-exif=true I. FUNDAMENTOS 3. Representación de la información Introducción a la Informática Curso de Acceso a la Universidad
Más detallesA continuación voy a colocar las fuerzas que intervienen en nuestro problema.
ísica EL PLANO INCLINADO Supongamos que tenemos un plano inclinado. Sobre él colocamos un cubo, de manera que se deslice sobre la superficie hasta llegar al plano horizontal. Vamos a suponer que tenemos
Más detalles15 CORREO WEB CORREO WEB
CORREO WEB Anteriormente Hemos visto cómo funciona el correo electrónico, y cómo necesitábamos tener un programa cliente (Outlook Express) para gestionar los mensajes de correo electrónico. Sin embargo,
Más detallesUnidad 6 Cálculo de máximos y mínimos
Unidad 6 Cálculo de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente o decreciente. Usará la derivada para calcular los etremos
Más detallesQUÉ SIGNIFICA CREER?
1 QUÉ SIGNIFICA CREER? L La persona es un ser abierto al futuro, es una realidad a hacer. Por lo tanto no es un ser determinado. En Primero medio descubrimos que la persona humana tiene como tarea primera
Más detallesTeoremas de la función implícita y de la función inversa
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Teoremas de la función implícita y de la función inversa 1. El teorema de la función implícita 1.1. Ejemplos
Más detallesUniversidade de Vigo: Píldoras formativas para preparación y realización de videocurrículos PÍLDORA FORMATIVA
PÍLDORA FORMATIVA PREPARACIÓN Y REALIZACIÓN DE VIDEOCURRÍCULOS (2) Contenido del videocurrículo 1 Antes de grabar el videocv hay que escribir un guión (más o menos detallado) en el cual fijar qué tratar
Más detallesActividades con GeoGebra
Conectar Igualdad - "Netbooks Uno a Uno" Actividades con GeoGebra Nociones básicas, rectas Silvina Ponce Dawson Introducción. El GeoGeobra es un programa que permite explorar nociones matemáticas desde
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Límites
Límites Cada rama de las matemáticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma. Nosotros empezamos el estudio del cálculo infinitesimal, que está compuesto del cálculo diferencial
Más detallesLABORATORIO Nº 2 GUÍA PARA REALIZAR FORMULAS EN EXCEL
OBJETIVO Mejorar el nivel de comprensión y el manejo de las destrezas del estudiante para utilizar formulas en Microsoft Excel 2010. 1) DEFINICIÓN Una fórmula de Excel es un código especial que introducimos
Más detallesYa podemos usar el orinal?
Ya podemos usar el orinal? El fin del pañal es un tema que preocupa a los padres desde que los niños nacen, cómo, cuándo, dónde.? Y preguntamos a todos los papás y profesionales que tenemos alrededor y
Más detallesSISTEMAS DE NUMERACIÓN. Sistema decimal
SISTEMAS DE NUMERACIÓN Sistema decimal Desde antiguo el Hombre ha ideado sistemas para numerar objetos, algunos sistemas primitivos han llegado hasta nuestros días, tal es el caso de los "números romanos",
Más detallesLección 9: Polinomios
LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios
Más detallesLección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones
Más detallesUNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS
UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables
Más detallesConjuntos Numéricos. Las dos operaciones en que se basan los axiomas son la Adición y la Multiplicación.
Conjuntos Numéricos Axiomas de los números La matemática se rige por ciertas bases, en la que descansa toda la matemática, estas bases se llaman axiomas. Cuántas operaciones numéricas conocen? La suma
Más detallesPorcentajes. Cajón de Ciencias. Qué es un porcentaje?
Porcentajes Qué es un porcentaje? Para empezar, qué me están preguntando cuando me piden que calcule el tanto por ciento de un número? "Porcentaje" quiere decir "de cada 100, cojo tanto". Por ejemplo,
Más detallesLecturas previas Cuando llegue a su primera sesión de laboratorio debe haber estudiado el contenido de la lectura que aparece a continuación.
Laboratorio 1 Medición e incertidumbre La descripción de los fenómenos naturales comienza con la observación; el siguiente paso consiste en asignar a cada cantidad observada un número, es decir en medir
Más detallesSistemas de numeración
Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan
Más detallesPara representar los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia, mediante símbolos, tendremos en cuenta las siguientes convenciones:
2. Conjuntos 2.1 Introducción El concepto de conjunto, de singular importancia en la ciencia matemática y objeto de estudio de una de sus disciplinas más recientes, está presente, aunque en forma informal,
Más detallesTema 3. Medidas de tendencia central. 3.1. Introducción. Contenido
Tema 3 Medidas de tendencia central Contenido 31 Introducción 1 32 Media aritmética 2 33 Media ponderada 3 34 Media geométrica 4 35 Mediana 5 351 Cálculo de la mediana para datos agrupados 5 36 Moda 6
Más detallesUn juego de cartas: Las siete y media
Un juego de cartas: Las siete y media Paula Lagares Federico Perea Justo Puerto * MaMaEuSch ** Management Mathematics for European Schools 94342 - CP - 1-2001 - DE - COMENIUS - C21 * Universidad de Sevilla
Más detalles= x + x + x + 1 por definición de exponente 2
Equivalencia de expresiones algebraicas En este documento exploramos un concepto simple, en apariencia, enseñado en escuelas de nivel secundaria: la equivalencia de dos expresiones algebraicas Empecemos
Más detallesLa Lección de Hoy es Distancia entre dos puntos. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1
La Lección de Hoy es Distancia entre dos puntos El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1 La formula de la distancia dada a dos pares es: d= (x 2 -x 1 ) 2 + (y 2 -y 1 ) 2 De
Más detallesAdaptación al NPGC. Introducción. NPGC.doc. Qué cambios hay en el NPGC? Telf.: 93.410.92.92 Fax.: 93.419.86.49 e-mail:atcliente@websie.
Adaptación al NPGC Introducción Nexus 620, ya recoge el Nuevo Plan General Contable, que entrará en vigor el 1 de Enero de 2008. Este documento mostrará que debemos hacer a partir de esa fecha, según nuestra
Más detallesCREATIVIDAD E INNOVACIÓN
TALLER DE TALLER DE CREATIVIDAD E INNOVACIÓN Reglas del juego Participar Compartir experiencias Ser curioso, preguntar Objetivos del taller 1 Entender por qué son necesarias la creatividad y la innovación.
Más detallesFICHERO MUESTRA Pág. 1
FICHERO MUESTRA Pág. 1 Fichero muestra que comprende parte del Tema 3 del libro Gestión Financiera, Teoría y 800 ejercicios, y algunas de sus actividades propuestas. TEMA 3 - CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 3.15.
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detallesInterpolación polinómica
9 9. 5 9. Interpolación de Lagrange 54 9. Polinomio de Talor 57 9. Dados dos puntos del plano (, ), (, ), sabemos que ha una recta que pasa por ellos. Dicha recta es la gráfica de un polinomio de grado,
Más detallesCaracterísticas de funciones que son inversas de otras
Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =
Más detallesTEMA 13. FONDOS DE INVERSIÓN
FICHERO MUESTRA Pág. 1 Fichero muestra que comprende parte del Tema 13 del libro Productos y Servicios Financieros,, y algunas de sus actividades y ejercicios propuestos. TEMA 13. FONDOS DE INVERSIÓN 13.6.
Más detallesProcesos Críticos en el Desarrollo de Software
Metodología Procesos Críticos en el Desarrollo de Software Pablo Straub AgileShift Imagine una organización de desarrollo de software que consistentemente cumple los compromisos con sus clientes. Imagine
Más detallesPuedes Desarrollar Tu Inteligencia
Puedes desarrollar tu Inteligencia (Actividad-Opción A) Puedes Desarrollar Tu Inteligencia Una nueva investigación demuestra que el cerebro puede desarrollarse como un músculo Muchas personas piensan que
Más detallesFísica de los Procesos Biológicos Curso 2005/6
Bibliografía: ísica, Kane, Tema 8 ísica de los Procesos Biológicos Curso 2005/6 Grupo 3 TEMA 2 BIOMECÁNICA 2.1 SÓIDO DEORMABE Parte 1 Introducción Vamos a estudiar como los materiales se deforman debido
Más detallesEduardo Kido 26-Mayo-2004 ANÁLISIS DE DATOS
ANÁLISIS DE DATOS Hoy día vamos a hablar de algunas medidas de resumen de datos: cómo resumir cuando tenemos una serie de datos numéricos, generalmente en variables intervalares. Cuando nosotros tenemos
Más detallesUniversidad de la Frontera
Universidad de la Frontera Facultad de Ingeniería, Ciencias y Admistración Departamento de Matemática Actividad Didáctica: El Abaco TALLER # 2 - Sistema Decimal El ábaco es uno de los recursos más antiguos
Más detallesFUENTES DE ALIMENTACION
FUENTES DE ALIMENTACION INTRODUCCIÓN Podemos definir fuente de alimentación como aparato electrónico modificador de la electricidad que convierte la tensión alterna en una tensión continua. Remontándonos
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO 1º) Considérese un número estrictamente positivo del sistema de números máquina F(s+1, m, M, 10). Supongamos que tal número es: z = 0.d 1 d...d s 10 e Responde
Más detallesSISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL
SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,
Más detalles