Realimentación y osciladores

Transcripción

1 Realimentación y osciladores Funcionamento y aplicaciones Ana Maria Escudero Quesada PID_

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3 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Índice Introducción 5 Objetivos 7 1 Circuitos con realimentación 9 11 Concepto de realimentación 9 12 Realimentación positiva Realimentación negativa Funcionamiento básico de un circuito con realimentación Configuración de los circuitos realimentados Red de medida Red de comparación Tipos de realimentación Modelos de amplificador y red de realimentación Efectos de la realimentación Efectos de la realimentación sobre la ganancia Problemas de estabilidad de la ganancia asociados a la realimentación positiva Mejora de la distorsión no lineal introducida por la etapa amplificadora Aumento del ancho de banda Disminución del ruido Adaptación de las impedancias de entrada y de salida Redes prácticas de realimentación Diseño de un amplificador con realimentación Resumen del apartado 65 2 Osciladores Concepto de oscilador Modelo de oscilador Análisis de los circuitos osciladores Osciladores LC Oscilador RC por desplazamiento de fase Oscilador RC en puente de Wien Los osciladores en el mundo real: el cristal de cuarzo El efecto piezoeléctrico Modelo eléctrico del cristal de cuarzo Configuración práctica de un oscilador de cristal de cuarzo Limitaciones de los osciladores de cristal de cuarzo: el efecto deriva 104

4 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores 25 Resumen del apartado Problemas resueltos Enunciados Resolución 107 Resumen 116 Ejercicios de autoevaluación 119 Solucionario 120 Glosario 120 Bibliografía 121

5 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Introducción La realimentación es un concepto ampliamente utilizado en el mundo de la ingeniería y, en particular, en el ámbito de la ingeniería electrónica A grandes rasgos podemos decir que la realimentación consiste en tomar la información o la señal procedente de un circuito electrónico y volverla a introducir en el mismo sistema Este hecho nos proporciona un doble beneficio: En primer lugar, comprender mejor cómo funciona el sistema En segundo lugar, nos permite controlar la señal de salida Para conseguir este doble objetivo, podemos medir la señal de salida real de un circuito y compararla con la señal de salida que queremos Esto es lo que hace precisamente la realimentación De esta manera, obtenemos información de la diferencia entre las dos señales y podemos saber cómo corregir la señal de entrada para que la señal de salida sea la que queremos obtener Imaginad, por ejemplo, que disponemos de un sistema electrónico que es capaz de generar una cierta temperatura Una opción para mantener una habitación a la temperatura que deseamos sería fijar manualmente cuál es la temperatura que queremos que genere el sistema en función de si tenemos frío o calor La realimentación nos permite olvidarnos de esta tarea Cómo? Pues encargándose ella misma de medir la temperatura existente y llevando a cabo las acciones necesarias para generar de manera automatizada la respuesta Así, los dos conceptos clave que nos proporciona la realimentación son, por un lado, la automatización y, por otro, el control del propio sistema En este módulo veremos con detalle en qué consiste el concepto de realimentación y qué aplicaciones tiene en el campo de la electrónica Dado que el de realimentación es un concepto muy amplio, se ha dividido el módulo en dos partes La primera parte del módulo está dedicada a definir el concepto de realimentación Veremos en qué consiste y que existen dos tipos básicos de realimentación: la positiva y la negativa Cada tipo de realimentación tiene unas características determinadas y veremos cómo podemos utilizar una u otra en función de la aplicación que necesitamos implementar A continuación analizaremos un circuito genérico con realimentación, aunque distinguiendo y analizando cada una de sus partes y cómo las podemos interconectar para conseguir el tipo de realimentación que nos interesa También veremos cuáles son los beneficios que nos aportan los circuitos realimentados respecto a los que no tienen esta característica Para acabar esta parte, veremos una serie de circuitos prácticos con realimentación y sus aplicaciones principales

6 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores La segunda parte del módulo la dedicaremos a estudiar un ejemplo particular de sistema con realimentación: los circuitos osciladores Estos circuitos, como veremos, nos permiten obtener una señal periódica con una frecuencia determinada a partir de una pequeña señal en la entrada Una de las aplicaciones más importantes de los osciladores es la generación de señales de sincronización y de reloj En esta parte del módulo comenzaremos definiendo qué entendemos por oscilador y estudiaremos un modelo genérico A continuación veremos circuitos osciladores elaborados con elementos pasivos, como las resistencias, las bobinas y los condensadores Dado que este tipo de osciladores presenta una serie de limitaciones estudiaremos, para acabar con esta parte del módulo, los circuitos osciladores que se fabrican con cristales de cuarzo

7 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Objetivos Los objetivos principales de este módulo son los siguientes: 1 Entender el concepto de realimentación 2 Entender los beneficios que nos aportan los circuitos con realimentación 3 Identificar los dos tipos básicos de realimentación: la realimentación positiva y la realimentación negativa 4 Analizar y diseñar circuitos con realimentación negativa 5 Entender qué es un oscilador a partir del concepto de realimentación positiva 6 Estudiar y analizar los osciladores más comunes 7 Analizar un tipo de oscilador empleado en el mundo real: el oscilador de cristal de cuarzo

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9 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores 1 Circuitos con realimentación Este primer apartado del módulo lo dedicaremos al estudio de la realimentación Estudiaremos los puntos siguientes: Descubriremos qué es la realimentación Veremos que existen dos tipos de realimentación: la realimentación positiva y la realimentación negativa Analizaremos el funcionamiento de un circuito genérico con realimentación Modelizaremos los circuitos realimentados mediante cuadripolos y obtendremos los parámetros que los caracterizan: modelo de circuito, impedancia de entrada e impedancia de salida Analizaremos los efectos positivos y negativos que tiene la realimentación Veremos ejemplos prácticos y reales de circuitos realimentados y las pautas para diseñar uno según unos requisitos de partida 11 Concepto de realimentación Comencemos definiendo qué es la realimentación En términos genéricos, los sistemas electrónicos están formados por una señal de entrada, x i, un circuito que transforma esta señal y una señal de salida, x o La realimentación consiste en tomar la señal de salida y volverla a introducir, junto a la señal de entrada, en el circuito En la figura 1 podéis ver un ejemplo Figura 1 Modelo genérico de circuito: sin realimentación (a) y con realimentación (b) Figura 1 a) b) x i Circuito sin realimentación x o x i x i Amplificador A x o La realimentación consiste en tomar la señal de salida, x o, y reintroducirla de nuevo en el circuito x r Red de realimentación β El circuito de la figura 1a no está realimentado porque la salida, x o, no se vuelve a introducir en el circuito El circuito de la figura 1b es, en cambio, un circuito realimentado porque tomamos las señal de salida, x o, y la volvemos a introducir en el circuito En el primer caso hablamos de circuitos en lazo abierto, ya que no hay realimentación Los sistemas que incorporan realimentación (como es el caso del

10 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores circuito b), se denominan sistemas en lazo cerrado porque se establece un camino físico cerrado entre las señales de entrada y de salida Fijaos en la diferencia entre los dos sistemas En el circuito de la figura 1b hemos introducido dos cambios: Hemos denominado amplificador A al circuito original Hemos introducido un nuevo bloque denominado red de realimentación La realimentación en un circuito consiste en tomar la señal de salida y reintroducirla en el circuito de manera que se forme un lazo o camino físico cerrado Vamos a ver con detalle qué partes tiene un circuito con realimentación Este tipo de circuitos, como podéis ver en la figura 2, está formado por tres etapas o bloques básicos Estos bloques son los siguientes: Amplificador Red de realimentación Bloque comparador Figura 2 Etapas de un circuito con realimentación x i Comparador x i Amplificador A x o Etapa o bloque en un circuito electrónico Denominamos etapa o bloque dentro de un circuito electrónico a una caja negra que toma una señal de entrada, x i, la procesa y proporciona una señal de salida x o Los diagramas de bloques de los circuitos nos permiten describirlos de manera genérica sin la necesidad de especificar todos los componentes reales x r Red de realimentación β Comos podéis ver en la figura 2, introducimos una señal de entrada, denominada x i, en el circuito Esta señal entra en el amplificador como x i y obtenemos la señala de salida, x o Dado que se trata de un circuito con realimentación, tomamos la señal de salida, x o, y la hacemos pasar por el bloque de realimentación Este bloque procesa la señal x o y nos devuelve una señal, que denominaremos señal realimentada, x r A continuación la señal realimentada entra en el bloque comparador Este bloque recibe la señal de entrada y le suma o resta la señal realimentada, de manera que la nueva señal en la etapa amplificadora es x i = x i x r si el bloque comparador suma las señales o x i = x i x r si el bloque comparador realiza la resta de las señales Enumeremos con detalle las partes del circuito realimentado: Figura 2 Los circuitos con realimentación están formados por tres etapas o bloques: amplificador, red de realimentación y comparador Amplificador Es un bloque que toma la señal que tiene en la entrada y la amplifica según el valor que tenga la ganancia A Es decir, x o = Ax i

11 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Entendemos por ganancia la relación entre la señal de salida de un Etapa amplificadora circuito, x o, y la señal de entrada x i, es decir, ganancia = señal de salida señal de entrada (1) Aunque hablamos de etapa amplificadora como dispositivo que amplifica una señal de entrada multiplicándola por el valor A, este parámetro puede tener cualquier valor, y no necesariamente debe ser mayor que 1 Red de realimentación Este bloque toma la señal de salida, x o, la multiplica por el factorβ(beta) y proporciona la señal realimentada x r =βx o que aparece en la entrada del bloque comparador Bloque comparador Este bloque toma la señal que sale del bloque de realimentación, x r, y la suma o resta a la señal de entrada x i Si la señal reintroduicida en el circuito, x i, es la suma de x i y x r (es decir, x i = x i x r), hablaremos de realimentación positiva Si x i es la resta de x i y x r (es decir, x i = x ix r), hablaremos de realimentación negativa Véase también En los subapartados 12 y 13 de este módulo veremos con más detalle cada tipo de realimentación La realimentación positiva consiste en sumar la señal realimentada a la señal de entrada y reintroducir esta suma al bloque amplificador Es decir, x i = x i x r La realimentación negativa consiste en restar la señal realimentada a la señal de entrada y reintroducir esta resta en el bloque amplificador Es decir, x i = x i x r Hemos visto hasta ahora qué entendemos por realimentación y que esta puede ser positiva o negativa A continuación veremos con más detalle en qué consisten estos dos tipos de realimentación y veremos ejemplos de cada uno de ellos 12 Realimentación positiva La realimentación positiva en un circuito consiste en sumar la señal que sale de la red de realimentación, denominada x r en la figura 2, con la señal de entrada x i, de manera que x i, que es la señal de entrada en la etapa amplificadora, es igual a x i x r Bloque comparador Hablaremos de comparación de señales para referirnos a la suma (en el caso de la realimentación positiva) o resta (en el caso de realimentación negativa) de las señales de entrada al circuito, x i, y de la señal que sale del bloque o red de realimentación, x r Por esta razón, este bloque también se denomina sumador o mezclador Ganancias A yβ Las ganancias de amplificación, A, y de realimentación,β, en general son funciones que dependen de la frecuencia y de variable compleja, es decir, dependen de jω En este caso, estos factores se denominan funciones de transferencia y se representan como A(jω) y β(jω) De momento supondremos que son constantes reales que afectan únicamente a la amplitud de las señales

12 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores En la figura 3 podéis ver cómo funciona la realimentación positiva La señal x i que encontramos en la entrada de la etapa amplificadora tiende a incrementarse como resultado de la suma de la señal de entrada y de la señal que sale del bloque de realimentación Dado que esta suma se reintroduce en el circuito, la señal que sale del bloque de realimentación tiende también a crecer, y también la señal de salida, x o Veamos un ejemplo Figura 3 Configuración de un circuito con realimentación positiva Figura 3 x i Comparador x i x r Amplificador A Red de realimentación β x o En la realimentación positiva, la señal reintroducida en el circuito, x i, es igual a x i x r Es decir, a la suma de la señal de entrada y de la señal de realimentación x i = x i x r Si alguna vez habéis acercado un micrófono a un altavoz, seguramente habréis oído un pitido Analizemos por qué sucede esto Suponed que tenéis un micrófono conectado a un altavoz La señal de entrada x i es la voz y la señal de salida x o es la voz amplificada por el altavoz Si nos ponemos muy cerca del altavoz, la señal de salida se realimenta, ya que se vuelve a introducir en el sistema por el micrófono y se añade a la señal de entrada, que es nuestra voz Como resultado aparece una señal de entrada en el altavoz, x i Esta señal es la suma de x i y x r Ahora la salida del altavoz será esta suma multiplicada por el factor A, es decir, x o = A(x i x r) La señal de salida, pues, tiende a crecer indefinidamente En la práctica, los circuitos reales no nos pueden dar señales que crecen indefinidamente; por tanto, la señal de salida del altavoz crecerá hasta llegar a un valor máximo, que corresponde a la saturación del amplificador, momento en el que oiremos el característico pitido de acoplamiento entre el micrófono y el altavoz En la figura 4 podéis ver un ejemplo de cómo podría ser la señal de salida de un circuito con realimentación positiva La señal de salida de nuestro circuito realimentado será en general una tensión o una corriente, dependiendo del tipo de señales con el que trabaje el circuito El ejemplo que acabamos de ver es un ejemplo de realimentación positiva no deseada, pero, como veremos en el apartado 2, hay casos en los que nos interesará tener este tipo de realimentación Por ejemplo, para implementar circuitos osciladores utilizaremos este principio de realimentación positiva, ya que estos sistemas son capaces de generar una señal periódica a partir de una pequeña señal de entrada aplicada durante uns instantes

13 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 4 Ejemplo de señal realimentada positivamente 9 7,2 5,4 3,6 1,8 0-1,8-3,6-5,4-7,2-9 0,0 Saturación Saturació 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 30,0 Figura 4 Por efecto de la realimentación positiva la señal de salida del circuito realimentado tiende a crecer indefinidamente 13 Realimentación negativa La figura 5 muestra el funcionamiento de un circuito con realimentación negativa Figura 5 Ejemplo de señal realimentada negativamente Figura 5 x i Comparador x i x r Amplificador A Red de realimentación β x o Para el caso de la realimentación negativa obtenemos la señal de entrada al amplificador, x i, como la resta de la señal de entrada y de la señal de realimentación Es decir, x i = x i x r x i = x i x r La realimentación negativa, a diferencia de la realimentación positiva, consiste en restar la señal que sale de la red de realimentación (x r) a la señal de entrada (x i ), de manera que la señal reintroducida al circuito x i se puede expresar como x i = x i x r Un ejemplo de realimentación negativa lo encontramos en los termostatos Imaginad que queremos una temperatura ambiente de 20 grados El termostato mide la temperatura del medio (x i ) y le resta esta temperatura que hemos fijado como temperatura deseada En función de este valor (x i 20), el termostato realiza las acciones necesarias generando frío o calor de manera que obtenemos la temperatura deseada cuando x i = x i 20 0

14 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores El concepto de realimentación es un concepto genérico Hasta ahora hemos visto ejemplos de realimentación que se aplican a circuitos Ahora veremos un ejemplo más cotidiano Imaginad que vamos conduciendo por una carretera con una velocidad recomendada de 60 km/h La velocidad de circulación es nuestra señal de entrada x i e iremos levantando o no el pie del acelerador del coche para lograr que la velocidad de circulación sea la recomendada, es decir, x i = x i 60 0 Una vez visto el concepto de realimentación, qué es y cómo son los circuitos realimentados, pasaremos a ver cómo funcionan estos circuitos 14 Funcionamiento básico de un circuito con realimentación Acabamos de ver el concepto de realimentación y los dos tipos básicos de realimentación: la realimentación positiva y la realimentación negativa En este subapartado estudiaremos con más detalle cómo se comporta un circuito con realimentación negativa, aunque el análisis sería el mismo para el caso de la realimentación positiva considerando la suma en lugar de la resta de señales en el bloque comparador Fijaos en el modelo de circuito de la figura 6 Como se ha explicado en el subapartado 11, un circuito con realimentación consta de un bloque amplificador que introduce una ganancia igual a A, una red de realimentación, con una ganancia igual a β y un bloque comparador que suma (realimentación positiva) o resta (realimentación negativa) la señal de salida de la red de realimentación, x r, a la señal de entrada x i En la figura, al tratarse del modelo genérico, dentro del bloque comparador se indican los dos signos para representar que la realimentación puede ser positiva o negativa Figura 6 Diagrama de bloques de un circuito con realimentación Figura 6 x i x r x i Amplificador A x o Los circuitos con realimentación están formados por tres bloques o etapas básicas: amplificador, red de realimentación y comparador Red de realimentación β La señal de salida se puede expresar como: x o = Ax i (2)

15 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores donde x i es la señal en la entrada de la etapa amplificadora y A es la ganancia que introduce esta etapa Pero esta señal es el resultado de sumar o restar (según si la realimentación es positiva o negativa) la señal x r a la señal de entrada Por tanto: x i = x i ± x r (3) Vamos a analizar el caso de la realimentación negativa, es decir, el caso en el que restamos las señales La señal de entrada al circuito realimentado se expresa entonces como: x i = x i x r (4) Recordad que para el caso de realimentación positiva, deberíais sumar en lugar de restar las señales x i y x r La señal x r es la que sale del bloque de realimentación, que tiene una gananciaβ; por tanto, se puede expresar como: x r =βx o (5) La señal de salida del circuito realimentado es, por tanto: x o = Ax i = A(x i x r) = A(x i βx o) (6) Reordenemos la expresión 6 en la que aparece x o para ponerla en función de x i : x o = A 1 Aβ x i (7) La ganancia de un circuito es la señal de salida dividida entre la señal de entrada, es decir, x o/x i Si tomamos la expresión de x o que hemos encontrado en la ecuación 7 y la dividimos por x i, llegamos a calcular esta ganancia, que denominamos A r (ganancia de realimentación) como: A r = xo A = x i 1 Aβ (8) A partir de la expresión 8 definimos las ganancias siguientes: Ganancia A: es la ganancia original de la etapa amplificadora También se denomina ganancia de lazo abierto porque es la ganancia que tendría el circuito si no hubiese ningua red de realimentación conectada Gananciaβ(beta): es la ganancia de la red de realimentación

16 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Ganancia del circuito realimentado A r: corresponde a la ganancia que hemos encontrado en la ecuación 8 A r = A 1 Aβ (9) También se denomina ganancia de lazo cerrado porque es la ganancia global del circuito cuando el bucle realimentación está cerrado Ganancia de lazo: corresponde al factor Aβ Ganancia de retorno: da una idea del grado de realimentación del circuito y corresponde al factor (1 Aβ) (10) Recordad, como se ha indicado en el subapartado 11, que los parámetros A y β que caracterizan el bloque amplificador y la red de realimentación pueden ser funciones dependientes de la frecuencia y de variable compleja, es decir, de la variable jω Supongamos, de momento, que son valores reales y constantes Veamos a continuación qué valores pueden tomar estos dos parámetros A > 0 yβ>0 Qué sucede si tanto A comoβson valores positivos? En este caso, la ganancia de retorno 1Aβ es mayor que 1 y, por tanto, la ganancia de realimentación en lazo cerrado A r = A 1Aβ es menor que la ganancia en lazo abierto (o del amplificador sin realimentar) A En este caso tenemos realimentación negativa y la señal de salida del circuito realimentado es menor que la señal que saldría de la etapa amplificadora sin realimentar A < 0 yβ<0 Lo mismo sucede si tanto A comoβson valores negativos, ya que el producto Aβ es también positivo, y por tanto la ganancia de retorno, 1 Aβ, es mayor que 1 A > 0 yβ<0oa<0yβ>0 Si, en cambio, una de las dos ganancias, A oβ, es negativa y la otra es positiva, el denominador de la ganancia de lazo cerrado, (1 Aβ), es menor que la unidad En este caso la ganancia de lazo cerrado, A r, queda dividida por un factor menor que 1 y, por tanto, es menor que la ganancia de la etapa amplificadora sin realimentar En este caso tenemos realimentación positiva Fijaos en que aunque hemos iniciado el análisis suponiendo realimentación negativa, el tipo de realimentación depende de los valores de los factores A yβ, que nos dirán si la señal realimentada es mayor o menor que la señal que tendríamos en el circuito sin realimentar Observación Qué sucede si alguna de las dos ganancias es cero? Observad que si la ganancia A es cero, la ganancia de realimentación, A r, también lo es Esto es porque el amplificador anula la señal de salida x o Si la gananciaβes cero, la ganancia de realimentación, A r, es igual a la ganancia del circuito sin realimentar, es decir, es como si no tuviésemos la red de realimentación

17 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Para comenzar el análisis del circuito hemos supuesto realimentación negativa Si hubiésemos realizado el análisis suponiendo realimentación positiva, habríamos llegado a la misma conclusión pero habiendo obtenido (1 Aβ) como ganancia de retorno Fijaos en otro caso especial por lo que respecta a la ganancia de lazo cerrado Qué sucede cuando la ganancia de lazo Aβ es igual a 1? En este caso la ganancia de retorno (1 Aβ) es cero y, por tanto, la ganancia total A r es infinita! Esto significa que, matemáticamente hablando, una señal de entrada cualquiera queda multiplicada por una ganancia infinita y nos da una señal de salida infinita En este caso, la señal de entrada x i queda multiplicada por el factor A cuando pasa por la etapa amplificadora y después es atenuada en la misma medida por el factorβde la red de realimentación Dado que el factor Aβ tiene signo negativo, la señal queda invertida en una de las dos etapas, pero después se vuelve a invertir en el bloque comparador a causa de la realimentación negativa y aparece en la entrada del amplificador la misma señal x i que teníamos inicialmente Este comportamiento lo aprovecharemos cuando queramos implementar un circuito oscilador Véase tambien En el apartado 2 de este módulo veremos con detalle el comportamiento de los osciladores En la figura 7 podéis ver qué tipo de realimentación se obtiene en función de los valores de las ganancias A yβ Recordad que en nuestro análisis hemos supuesto que estas dos ganancias son números reales y constantes Cuando A y β tienen el mismo signo (Aβ > 0) tenemos realimentación negativa Cuando estas ganancias tienen signo diferente (Aβ < 0) tenemos realimentación positiva El caso Aβ = 1 es un caso particular de realimentación positiva porque se cumple que Aβ < 0 Figura 7 Tipo de realimentación según los valores de las ganancia A yβ Figura 7 Realimentación positiva β Realimentación negativa Observando los signos de las ganancias A yβpodemos determinar el tipo de realimentación que hay en el circuito A Realimentación negativa Realimentación positiva Aβ = -1 A r

18 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Observad que tenemos dos maneras de determinar el tipo de realimentación de un circuito: Mirando si la señal que sale del bloque de realimentación, x r, se suma o se resta a la señal de entrada, x i Comprobando si el producto de las ganancias, Aβ, es positivo o negativo En la tabla 1 resumimos el tipo de realimentación obtenida en función de los valores de los parámetros A yβque acabamos de ver Tabla 1 Valores de las ganancias y tipo de realimentación Ganancia de lazo Ganancia de retorno Ganancia total Realimentación Aβ > 0 (1 Aβ) > 1 A r < A Realimentación negativa Aβ < 0 (1 Aβ) < 1 A r > A Realimentación positiva Aβ = 1 (1 Aβ) = 0 A r Oscilador Observad que, según los valores de la tabla, el caso en el que el circuito realimentado se comporta como un oscilador (Aβ = 1) es un caso particular de realimentación positiva (Aβ < 0) Para acabar con este subapartado de las ganancias de los circuitos realimentados se debe decir que una práctica muy habitual en el diseño de este tipo de circuitos es hacer que la ganancia de lazo, Aβ, sea mucho mayor que 1, es decir, Aβ >> 1 De esta manera, la expresión de la ganancia total de lazo cerrado A r = A/(1 Aβ) se puede aproximar a la expresión A r 1/β y esta ganancia depende únicamente de la red de realimentación En la práctica, en los circuitos con realimentación hacemos Aβ >> 1 (11) de tal manera que A r 1/β (12) Ejemplo 1 Supongamos que disponemos de una etapa amplificadora sin realimentar o en lazo abierto que tiene una ganancia A = 100 y la ganancia de la red de realimentación esβ=0,19 Calculad cuál es la tensión de salida x o, la de realimentación x r y la de entrada al amplificador x i si aplicamos una señal de entrada de 100 mv

19 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Solución La ganancia del amplificador realimentado es, como hemos visto en la ecuación 9: A r = A 1 Aβ = ,19 = 5 (13) La señal de salida la podemos calcular a partir de la ganancia de lazo cerrado: x o = A rx i = = 500 mv (14) La tensión a la salida de la red de realimentación es: x r =βx o = 0, = 95 mv (15) Y, finalmente, para obtener la tensión de entrada al amplificador, x i, debemos determinar primero si la realimentación es positiva o negativa En este caso la ganancia de retorno (tal como indica la ecuación 10) (1 Aβ) = 20 es mayor que la unidad; por tanto A r < A y tenemos realimentación negativa Así, la señal de entrada a la etapa amplificadora es la resta de la señal de entrada al circuito y de la señal que sale de la red de realimentación: x i = x i x r = = 5 mv (16) Ejemplo 2 Calculad los valores de A r, x o, x r y x i para una etapa amplificadora con realimentación negativa con A = 10 5,β=0,01 y x i = 5 sen(2000πt) Solución Calculemos, en primer lugar, la ganancia del circuito realimentado tal com lo expresa la ecuación 9 A r = A 1 Aβ = = 99,9 (17) 0,01 Observación Observad que en el ejemplo 2 los factores A yβ son factores multiplicativos sin unidades A partir de la ganancia calculada podemos expresar la señal de salida como la señal de entrada multiplicada por esta ganancia total, A r: x o = A rx i = 499,5 sen(2000πt) (18) La señal realimentada, x r, es el resultado de tomar la señal de salida y hacerla pasar por la red de realimentación, que se caracteriza por la gananciaβ Esta señal es: x r = x oβ = 4,995 sen(2000πt) (19) Finalmente, la señal de entrada a la etapa amplificadora la obtenemos restando la señal que sale del bloque de realimentación, x r, de la señal de entrada, ya que nos dicen en el enunciado que se trata de realimentación negativa: x i = x i x r = 0,005 sen(2000πt) (20)

20 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Aunque nos dicen que se trata de una realimentación negativa, vamos a comprobarlo Si hacemos el producto de A yβobtenemos el valor siguiente: Aβ = ,01 = 1000 (21) Según lo que hemos visto en la tabla 1, si el producto Aβ, también denominado ganancia de lazo, es mayor que 0, entonces la ganancia de retorno, 1 Aβ, es mayor que 1 Esto significa que la ganancia total A r será más pequeña que la ganancia del amplificador sin realimentar y, por tanto, dado que la señal de salida del circuito con realimentación es más pequeña que la señal del circuito sin realimentar, tenemos realimentación negativa 15 Configuración de los circuitos realimentados Una vez visto el funcionamiento básico de un circuito realimentado, pasaremos a ver con más detalle cómo funcionan los bloques que lo componen En este subapartado veremos cómo podemos modelizar las etapas amplificadora y de realimentación de los circuitos realimentados El bloque comparador lo representaremos mediante el signo de suma,, para el caso de la realimentación positiva o el de resta,, para el caso de la realimentación negativa En los ejemplos que veremos nos centraremos en el caso de la realimentación negativa Para analizar un circuito con realimentación positiva, el procedimiento sería el mismo pero utilizando la operación suma en el bloque comparador A partir de estos modelos estableceremos cuatro tipos básicos de realimentación y calcularemos los parámetros más importantes para cada uno de ellos Para modelizar cada etapa utilizaremos cuadripolos o bipuertos Un cuadripolo o bipuerto es un circuito electrónico con dos terminales de entrada y dos terminales de salida Este circuito queda totalmente caracterizado cuando determinemos la tensión, la corriente y la impedancia tanto de entrada como de salida En la figura 8 podéis ver en qué consiste un cuadripolo y los parámetros que lo definen Para definir totalmente el cuadripolo nos interesará definir las magnitudes siguientes: Tensión entre los terminales a la entrada y salida del cuadripolo Corriente en sentido entrante al cuadripolo a la entrada y a la salida del cuadripolo Impedancia de entrada e impedancia de salida Las impedancias de entrada y salida son, aplicando la ley de Ohm, la división entre tensión y corriente teniendo en cuenta cómo se han definido estas magnitudes Es decir, para la impedancia de entrada: Z i = v i i i (22) Impedancias Z i y Z o Las impedancias de entrada y de salida en un cuadripolo o bipuerto se definen teniendo en cuenta el sentido de la corriente y de la tensión definidas en la figura 8

21 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 8 Definición y caracterización de un cuadripolo i i i o Cuadripolo v i v o Figura 8 Definición de un cuadripolo o bipuerto y caracterización mediante corrientes, tensiones e impedancias a la entrada y salida del circuito Z i Z o Y, de la misma manera, definimos la impedancia de salida como: Z o = vo i o (23) Fijaos muy bien en cómo se definen los sentidos de las corrientes y de las tensiones para el cálculo de las impedancias de entrada y salida En nuestro modelo de circuito con realimentación utilizaremos un cuadripolo que representará la etapa amplificadora y otro cuadripolo para la red de realimentación, tal como se ha mostrado en la figura 2 del subapartado 11 Según el modo como interconectamos estos bloques, como veremos a continuación, obtendremos un tipo de realimentación u otro Podéis ver el modelo que utilizaremos en la figura 9 Como podéis ver, utilizamos un cuadripolo para la etapa amplificadora y otro cuadripolo para la red de realimentación La conexión en la entrada del circuito se realiza mediante un elemento que hemos denominado red de comparación La conexión en la salida se realiza mediante un elemento que hemos denominado red de medida A continuación veremos con más detalle cada uno de estos elementos: Red de medida Corresponde a la parte del circuito que toma la señal de salida, x o, y la introduce en la red de realimentación Red de comparación Corresponde a la parte del circuito que compara la señal de entrada con la señal de realimentación para obtener la señal de entrada en la etapa amplificadora Esta comparación puede ser una suma (realimentación positiva) o una resta (realimentación negativa) Cuadripolo para la etapa amplificadora Es la etapa que toma la señal de entrada x i, la multiplica por una ganancia determinada y proporciona la señal de salida x o Cuadripolo para la red de realimentación Mide la señal de salida de la etapa amplificadora x o, la procesa multiplicándola por su ganancia característica y proporciona la señal que hemos denominado señal realimentada x r

22 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 9 Interconexión de los cuadripolos amplificador y de realimentación mediante las redes de medida y de comparación x i x i x r Cuadripolo Amplificador Cuadripolo Realimentación x o Figura 9 Los bloques amplificador y la red de realimentación se interconectan mediante una red de comparación a la entrada del circuito y una red de medida a la salida Red de comparación Red de medida Las redes de medida y de comparación nos indican cómo se conectan los cuadripolos amplificador y de realimentación Como podéis ver en la figura 9, el circuito realimentado que contiene estos cuatro elementos también es un cuadripolo o bipuerto, es decir, un circuito con dos terminales de entrada y dos terminales de salida La red de comparación determina cómo conectamos los bloques amplificador y de realimentación en la entrada del circuito La red de medida nos indica cómo realizamos la conexión entre los bloques amplificador y de realimentación en la salida del circuito Véase también En los subapartados 151 y 152 veremos cómo son los bloques de medida y de comparación En el subapartado 153 veremos diferentes tipos de realimentación según cómo utilizemos estas redes de comparación y medida 151 Red de medida La red de medida es la encargada de tomar la señal de salida del circuito, que también es la señal de salida del bloque amplificador, x o, y reintroducirla en la entrada del bloque de realimentación Esta señal de salida puede ser una tensión o una corriente Si lo que queremos es medir la tensión de salida, deberemos conectar los cuadripolos de amplificación y la red de realimentación en paralelo, de manera que ambos estén viendo la misma tensión Podéis ver cómo se realiza esta conexión en la figura 10a Observad que cuando hacemos esta conexión en paralelo, los dos bloques ven la misma tensión Si lo que queremos es medir la corriente de salida del circuito, deberemos hacer que la corriente de salida de la etapa amplificadora sea la misma que la de entrada en el cuadripolo de realimentación Por tanto, conectaremos los dos cuadripolos en serie, tal como se indica en la figura 10b Observad que en este caso, y por encontrarse en serie, toda la corriente que sale del bloque amplificador entra en la red de realimentación Medida de tensión y de corriente Para medir tensión debemos interconectar, en la salida del circuito, los bloques amplificador y de realimentación en paralelo Para medir corriente debemos interconectar los bloques amplificador y de realimentación en serie

23 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 10 a Medida de tensión b Medida de corriente a) b) Figura 10 A b v o A b i o Para medir tensión en la salida del circuito realimentado conectaremos los cuadripolos de ganancia A yβen paralelo Para medir corriente los conectaremos en serie 152 Red de comparación En la red de comparación tomamos la señal realimentada, x r, y la sumamos o restamos a la señal de entrada x i según se trate de realimentación positiva o negativa, tal como hemos visto en el subapartado 11 En este apartado trataremos la realimentación negativa; por tanto, tomaremos la resta de señales de forma que el bloque comparador se encargará de realizar la resta de la señal realimentada, x r, a la señal de entrada, x i Esta resta de señales, como hemos visto para el caso de la red de medida, se puede aplicar a tensiones o a corrientes En la figura 11 podéis ver estos dos casos Figura 11 a Comparación de tensión b Comparación de corriente Figura 11 a) b) ii v i A v i v r b i i i r A b Para comparar (restar) tensiones en la entrada del circuito realimentado, hemos de interconectar los bloques amplificador y de realimentación en serie Para comparar (restar) corrientes, debemos interconectar los bloques amplificador y de realimentación en paralelo 1) Para comparar una tensión se debe cumplir que la tensión en la entrada del bloque amplificador, v i, sea la tensión de entrada, v i, menos la tensión que sale del bloque de realimentación, v r v i = v i v r (24) Si reordenamos la expresión 24 para dejar la tensión de entrada en el bloque amplificador, v i, en función de las tensiones de entrada, v i, y de realimentación, v r, obtenemos lo siguiente:

24 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores v i = v i v r (25) Sabemos que dos tensiones se suman o se restan cuando están en serie; por tanto, para comparar tensiones conectaremos las entradas de los cuadripolos en serie, tal como podemos ver en la figura 11a 2) Si queremos comparar las corrientes, la corriente que entra en el bloque amplificador, i i, deberá ser el resultado de la corriente de entrada al circuito, i i, menos la corriente de realimentación i r: es decir, i i = i i i r (26) i i = i i i r (27) Una corriente se suma o resta a lo largo de ramas diferentes cuando estas ramas se encuentran en paralelo Por tanto, deberemos conectar las entradas de los cuadripolos en paralelo si queremos comparar corrientes En la figura 11b podéis ver cómo se realiza esta conexión Ya hemos determinado que podemos tomar medida de tensiones o corrientes a la salida del circuito y que podemos comparar, es decir, restar, tensiones y corrientes En el subapartado siguiente veremos cómo podemos combinar cada uno de los casos y obtener un tipo de realimentación determinada 153 Tipos de realimentación En los subapartados 12 y 13 hemos visto que existen dos tipos de realimentación básica: la positiva y la negativa, según si el bloque comparador suma o resta las señales de entrada y de realimentación Hemos especificado también que en este apartado nos centraremos en el caso particular de la realimentación negativa Así, para los casos de realimentación que veremos a continuación consideraremos que el bloque comparador resta las señales Si quisiésemos hacer los mismos cálculos para el caso de la realimentación positiva, solo deberíamos considerar que x i = x i x r en lugar de x i = x i x r, pero el análisis seguiría el mismo razonamiento En el subapartado 151 hemos visto que hay dos modos de medir la señal de salida para reintroducirla en el circuito: medida de tensión y medida de corriente En el subapartado 152 hemos visto que hay dos maneras de conectar la salida de la red de realimentación con la entrada de la etapa amplificadora: en serie, para comparar tensiones, y en paralelo, para comparar corrientes Combinando estas dos variables llegamos a los cuatro tipos de realimentación que podéis ver en la figura 12 Observación Recordad que en todos los cálculos consideramos el caso de realimentación negativa; por tanto, x i = x i x r Si quisiésemos analizar el caso de la realimentación positiva, deberíamos optar por x i = x i x r

25 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 12 Configuraciones básicas de realimentación a De tensión en serie b De corriente en serie c De tensión en paralelo d De corriente en paralelo a) b) Figura 12 v i v i v r A b v o v i v i v r A b i o Combinando las conexiones en serie y en paralelo en la entrada y salida del circuito realimentado podemos obtener cuatro tipos básicos de realimentación (negativa en este caso) c) d) i i i i A v o i i i i A i r i r i o b b Estos tipos de realimentación son los siguientes: 1) Realimentación de tensión en serie (figura 12a) En este caso la señal de salida del circuito realimentado es una tensión y la red de realimentación (β) se conecta en paralelo a la salida del bloque amplificador (A) para medir esta tensión La señal de salida de la red de realimentación, v r, también es una tensión que se resta a la señal de entrada v i, y el resultado es: v i = v i v r (28) v i es la entrada de la etapa amplificadora Por esta razón, la conexión de la salida de la red de realimentación y la entrada de la etapa amplificadora están conectadas en serie En los circuitos con realimentación de tensión en serie medimos tensiones y comparamos tensiones 2) Realimentación de corriente en serie (figura 12b) En este caso nos interesa medir la corriente de salida i o de la etapa amplificadora (A) Por tanto, deberemos conectar la entrada de la red de realimentación (β) en serie con la salida del bloque amplificador, ya que de esta manera toda la corriente de salida pasará igualmente por la red de realimentación

26 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Si nuestra señal de entrada es una tensión, deberemos conectar la salida de la red de realimentación (β) y la entrada del amplificador (A) en serie de manera que el bloque comparador pueda trabajar con tensiones y, como en el caso de la realimentación de tensión en serie, la señal de entrada al amplificador v i será el resto de v i y v r Es decir: v i = v i v r (29) En los circuitos con realimentación de corriente en serie medimos corrientes y comparamos tensiones 3) Realimentación de tensión en paralelo (figura 12c) En este tipo de realimentación tomamos la tensión de salida v o que obtenemos de la etapa amplificadora (A) y la introducimos en la red de realimentación (β) Por tanto, la conexión de estos bloques en el punto de salida la realizaremos en paralelo, de manera que los dos bloques vean la misma tensión Respecto a la señal de entrada, en este caso disponemos de una fuente de corriente; por tanto, el bloque comparador deberá trabajar con corrientes Para que la entrada en el bloque amplificador sea el resto de la corriente de entrada, i i, y de la corriente realimentada, i r, es decir: i i = i i i r (30) debemos conectar la salida de la red de realimentación (β) en paralelo con la entrada del amplificador (A) En los circuitos con realimentación de tensión en paralelo medimos tensiones y comparamos corrientes 4) Realimentación de corriente en paralelo (figura 12d) Finalmente, cuando nos interese medir la corriente de salida para reintroducirla en el circuito, conectaremos la salida del amplificador (A) con la entrada de la red de realimentación (β) en serie Si la señal de entrada es una fuente de corriente, conectaremos la entrada del amplificador (A) y la salida de la red de realimentación (β) en paralelo, de manera que el bloque comparador pueda realizar la operación: i i = i i i r (31)

27 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores En los circuitos con realimentación de corriente en paralelo medimos corrientes y comparamos corrientes Observad en la nomenclatura que hemos empleado para especificar los cuatro tipos de realimentación negativa que acabamos de ver Cuando decimos, por ejemplo, realimentación de corriente en serie, la primera parte del nombre nos dice que queremos realimentar corriente y que, por tanto, debemos conectar los bloques en la salida en serie Con la segunda parte del nombre, cuando decimos en serie, nos estamos refiriendo al modo como conectamos la entrada del circuito, y sabemos entonces que nos estamos refiriendo a tensiones Acabamos de ver los cuatro tipos básicos de realimentación según cómo hacemos la conexión de la etapa amplificadora (A) y de la red de realimentación (β) Son los siguientes: Realimentación de tensión en serie Realimentación de corriente en serie Realimentación de tensión en paralelo Realimentación de corriente en paralelo En el subapartado 154 continuaremos ampliando nuestro modelo de circuito realimentado y veremos qué hay dentro de las cajas que hemos denominado A yβ 154 Modelos de amplificador y red de realimentación Ya hemos visto las etapas que forman un circuito realimentado y según el modo en que las interconectamos podemos trabajar con tensiones o corrientes Ahora daremos un paso más en el análisis de los circuitos realimentados y veremos con más detalle qué hay dentro de cada una de estas etapas o bloques Esto dependerá del tipo de realimentación que utilizemos, ya que, como hemos visto en los subapartados 151 y 152, las señales de entrada y salida pueden ser corrientes o tensiones En la figura 13 podéis ver cómo modelizamos las etapas amplificadora y de realimentación según el tipo de realimentación utilizado En la salida del circuito se ha añadido una resistencia de carga R L que nos servirá para medir las tensiones y corrientes del circuito Analicemos con detalle cada uno de los cuatro casos en los subapartados siguientes Para cada tipo de realimentación veremos los puntos siguientes: Modelo de circuito Cálculo de la impedancia de entrada Cálculo de la impedancia de salida

28 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 13 a Realimentación de tensión en serie b Realimentación de corriente en serie c Realimentación de tensión en paralelo d Realimentación de corriente en paralelo a) b) Figura 13 v i v i v r A=Av bv o v o R L v i v r v i A=G m bi o i o R L Para cada tipo de realimentación podemos modelizar el circuito con fuentes de corriente y de tensión y en función de las ganacias A yβ c) d) i i i i A=R m v o R L i i i i A=A i i o R L i r i r bv o bi o Realimentación de tensión en serie Comencemos este subapartado viendo con detalle la realimentación de tensión en serie 1) Modelo de circuito Fijaos en la figura 14, que representa el modelo de la realimentación de tensión en serie La señal de entrada en la etapa amplificadora, v i, es una tensión, y la señal de salida, vo, también lo es Figura 14 Realimentación de tensión en serie Figura 14 v i v i v r A=A v bv o v o R L Para la realimentación de tensión en serie modelizamos el amplificador como un bloque que introduce una ganacia A v y la red de realimentación como un circuito abierto a su entrada y una fuente de tensión de valorβv o en la salida Modelizaremos nuestro amplificador mediante una caja negra que introduce una ganacia A v, donde A v = v o/v i (32) y la denominaremos amplificador de tensión Este parámetro, dado que es la relación entre dos tensiones, no tiene unidades, es decir, es adimensional

29 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores La ganacia A v nos dice cuál es la ganacia de la etapa amplificadora en lazo abierto, es decir, la ganacia del amplificador si no tenemos la red de realimentación conectada Recordad que hacíamos referencia a esta ganacia en el subapartado 14 En este subapartado la denominamos A v para indicar que nos estamos refiriendo al caso particular de un amplificador de tensión Modelizaremos la red de realimentación mediante un circuito abierto en la entrada Este circuito abierto traslada la tensión medida a la salida del circuito, v o, y la reintroduce en el circuito La tensión de salida de la red de realimentación, v r, será esta tensión de entrada, v o, multiplicada por la ganaciaβ De esta manera: v r =βv o (33) La ganaciaβ=v r/v o es también en este caso adimensional, ya que es la relación entre dos tensiones Si tomamos la ecuación de la ganacia total de realimentación que vimos en la ecuación 9, obtenemos la expresión de la ganacia de realimentación para este caso de realimentación de tensión en serie La ganacia del circuito realimentado es la siguiente: A vr = A v 1 A vβ (34) Recordad que en el subapartado 14 habíamos definido la ganacia genérica de realimentación como: A r = A 1 Aβ (35) Con la denominación A vr nos referimos a la ganacia del circuito realimentado para el caso específico de realimentación de tensión en serie Ya hemos visto cuál es la ganacia total de los circuitos con realimentación de tensión en serie Para acabar de caracterizar nuestro circuito, debemos calcular las impedancias de entrada y de salida de nuestro modelo Cuando conectamos una serie de circuitos uno detrás del otro, necesitamos que las impedancias de entrada y salida de nuestro circuito estén adaptadas, es decir, sean iguales o parecidas a las impedancias de los bloques que conectamos a este Esto nos permite transferir un máximo de potencia de un circuito a otro y minimizar las pérdidas de señal Véase también Podéis encontrar información complementaria sobre las impedancias en el anexo I El cálculo de las impedancias es fundamental, ya que muy a menudo necesitaremos conectar nuestro circuito realimentado a otros circuitos

30 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Adaptación de impedancias La adaptación de impedancias consiste en hacer que la impedancia de salida de un circuito sea igual o lo más parecido posible a la impedancia de entrada del circuito que se conecta a continuación Esto se hace para conseguir una máxima transferencia de potencia entre los dos circuitos y para minimizar las pérdidas de potencia Este principio se aplica únicamente en sistemas lineales 2) Cálculo de la impedancia de entrada Fijaos en la figura 15 La señal de salida v o se mide y entra en la red de realimentación La tensión v r es la tensión con la que modelizamos la salida de la red de realimentación, v r =βv o, y esta tensión está en serie con la tensión de entrada, v i, y la tensión que entra en el amplificador, v i La etapa amplificadora se caracteriza con el parámetro R i, que es la resistencia de entrada del amplificador en lazo abierto A partir de estos datos calcularemos la impedancia de entrada del circuito realimentado, que denominaremos R ir, y que será la relación entre la tensión de entrada v i y la corriente de entrada i i R ir = v i i i (36) Figura 15 Cálculo de la impedancia de entrada para la realimentación de tensión en serie Impedancia y resistencia La impedancia, Z, es la relación entre una corriente y una tensión En términos genéricos, la impedancia es una magnitud compleja formada por una parte real (resistencia R) y una parte imaginaria (reactancia X) La impedancia se expresa pues como Z = R jx En los ejemplos que estamos viendo hablamos de impedancias de entrada y salida, Z i y Z o pero empleamos la notación R i y R o Esto se debe a que en estos ejemplos tratamos con magnitudes reales sin parte imaginaria y en este caso impedancia y resistencia son equivalentes v i i i R ir v i v r A v R i bv o v o v o = A v v i R L Figura 15 Calcularemos la impedancia de entrada, R ir, a partir de la corriente i i y de la tensión medidas en la entrada del circuito Calculemos en primer lugar la tensión de entrada Dado que los bloques amplificador y de realimentación en la entrada del circuito están en serie, la tensión v i se puede calcular como la suma de las otras dos tensiones v i y vr v i = v i v r (37) Si aplicamos la ley de Ohm a la resistencia de entrada, R i, que tenéis representada en la figura 15, obtenemos lo siguiente: v i = R i i i (38) Fijaos ahora en v r Hemos modelizado la red de realimentación con una fuente de tensión ideal porque la salida de este blocue es una tensión proporcional, Ley de Ohm La ley de Ohm nos dice que la tensión en los extremos de un conductor eléctrico (V) es proporcional a la resistencia (R) y a la corriente que atraviesa el conductor eléctrico (I), es decir, V = IR

31 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores en un factorβ, a la tensión de entrada de este bloque Por tanto, podemos expresar v r como: v r =βv o (39) Ahora sustituimos estos dos términos en la ecuación 37 de partida y obtenemos lo siguiente: v i = R i i i βv o (40) Pero cuál es la tensión de salida v o? Si os fijáis en la figura 15 podéis ver que v o es el resultado de introducir la señal v i en la etapa amplificadora con ganacia A v Es decir: v o = A vv i (41) Hemos visto en la ecuación 38 que esta tensión de entrada en la etapa amplificadora se puede expresar como v i = R i i i Sustituyendo este término en la ecuación 40 obtenemos lo siguiente: v i = R i i i βa vr i i i (42) Calculemos ahora cuál es la impedancia total de entrada del circuito realimentado, que denominaremos R ir Por la ley de Ohm sabemos que la impedancia de entrada de un circuito es la relación entre la tensión que medimos en la entrada y la corriente que está entrando en el circuito Según la figura 15 estas variables de entrada son v i y i i, y por tanto la impedancia de entrada se puede calcular como R ir = v i /i i Como hemos visto en la expresión 42, v i = R i i i βa vr i i i ; por tanto: R ir = v i i i = R ii i βa vr i i i i i = R i (1 A vβ) (43) La impedancia de entrada de un circuito con realimentación de tensión en serie es: R ir = R i (1 A vβ) (44) Es decir, la impedancia de entrada del circuito realimentado, R ir, es la impedancia del amplificador en lazo abierto sin realimentación, R i multiplicada por el factor (1 A vβ) Recordad, tal como hemos visto en el subapartado 14,

32 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores que este factor era lo que denominábamos ganacia de retorno y nos daba una idea del grado de realimentación del circuito Para el caso de realimentación negativa (1A vβ) es mayor que 1, y por tanto este tipo de realimentación aumenta la impedancia de entrada respecto al amplificador sin realimentar 3) Cálculo de la impedancia de salida Vamos a calcular ahora cuál es la impedancia de salida para esta configuración de realimentación En general, para encontrar la impedancia de salida de un circuito debemos llevar a cabo las acciones siguientes: anular la señal de entrada, ya sea una tensión v i o una corriente i i ; a continuación debemos sustituir la resistencia de carga R L por una fuente de tensión v o, ya que la variable de salida del circuito es una tensión; finalmente, hay que calcular la corriente, i o, de salida, y a partir de aquí la impedancia de salida con la expresión R or = vo i o Vamos a la figura 14 y hacemos las modificaciones necesarias para poder calcular la impedancia de salida: Anulamos la fuente de tensión v i que tenemos en la entrada del circuito Para anular una fuente de tensión y hacer que su valor sea cero, la sustituimos por un cortocircuito Observad esta modificación en la figura 16 Sustituimos la resistencia de carga R L por una fuente de tensión v o, ya que la variable de salida del circuito es una tensión, tal com se ha hecho en la figura 16 Calcularemos la corriente, i o, de salida, y a partir de esto la impedancia de salida como: R or = vo i o (45) En la figura 16 podéis ver el circuito resultante de aplicar estos cambios Figura 16 Cálculo de la impedancia de salida para la realimentación de tensión en serie Figura 16 v i = 0 v i A v v i v r b R o io R or v o A partir de este circuito calcularemos la impedancia de salida Fijaos en que no es necesario considerar aquí la parte de entrada del circuito realimentado que habíamos modelizado en la figura 15 Dado que la rama que entra en el bloque de realimentación es un circuito abierto y está en paralelo con el resto del circuito, esta parte no nos afecta

33 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores respecto al cálculo de la impedancia de salida Observad la figura 16 La etapa amplificadora introduce una ganacia de A v en la señal de entrada v i ; por tanto, podemos modelizar esta etapa como una fuente de tensión de valor A vv i El amplificador también incluye una resistencia de salida R o, que nos vendrá dada La entrada de la red de realimentación es un circuito abierto, de manera que toda la tensión de salida, v o, es reintroducida en el bloque de realimentación Aplicando la ley de Kirchhoff de la tensión a lo largo de un circuito cerrado, la tensión v o tal como la hemos definido se puede expresar como la suma de la tensión que cae en R o más la tensión con la que modelizamos la ganancia introducida por el amplificador: v o = R oi o A vv i (46) Observad que en la figura 8 del subapartado 15 hemos definido un cuadripolo o bipuerto y hemos definido la corriente i o como entrante al cuadripolo Aquí definimos la corriente i o como saliente porque se trata de la salida del circuito Los cálculos que haremos serán coherentes con este sentido definido por la corriente i o La tensión v i que entra en el amplificador, teniendo en cuenta que estamos considerando el caso de realimentación negativa, es: Ley de Kirchhoff de las tensiones Esta ley nos indica que la suma de tensiones a lo largo de un circuito que forma un lazo cerrado debe ser cero Matemáticamente se expresa como P n vn = 0 En el anexo I podéis encontrar información addicional sobre la ley de Kirchhoff de las tensiones v i = v i v r (47) Pero hemos hecho la señal de entrada nula, es decir, hemos impuesto la condición v i = 0 para poder calcular la impedancia de salida Por tanto: v i = v r (48) Recordad también que la tensión que sale del bloque de realimentación en este caso es la tensión que aparece en la entrada, v o, multiplicada por la ganancia β, es decir, v r =βv o Así, si sustituimos en la ecuación 48 tenemos: v i = βv o (49) Sustituimos esta expresión en la ecuación 46 para obtener v o: v o = R oi o A vβv o (50) Reordenamos los términos en esta expresión y queda: v o(1 A vβ) = R oi o (51)

34 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Entonces aplicamos la ley de Ohm y obtenemos la impedancia de salida: R or = vo i o (52) Finalmente, mediante la ecuación 51 calculamos esta impedancia La impedancia de salida de los circuitos con realimentación de tensión en serie es: R or = R o 1 A vβ (53) Dado que estamos teniendo en cuenta un caso de realimentación negativa, el factor (1 A vβ) es mayor que la unidad y, por tanto, la impedancia de salida del circuito con realimentación R or es menor que la impedancia de salida del amplificador sin realimentar o en lazo abierto, R o, en un factor igual a la ganancia de retorno (1 A vβ) En este subapartado hemos visto los puntos siguientes: Modelizamos la realimentación de tensión en serie con un amplificador de tensión respecto a la etapa amplificadora y con un circuito abierto y una fuente de tensiónβv o respecto a la red de realimentación La ganancia del circuito realimentado es la siguiente: A vr = A v 1 A vβ (54) La impedancia de entrada de los circuitos con realimentación de tensión en serie es la siguiente: R ir = R i (1 A vβ) (55) La impedancia de salida de los circuitos con realimentación de tensión en serie es la siguiente: R or = R o 1 A vβ (56)

35 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Realimentación de corriente en serie Veamos ahora el segundo tipo de configuración de circuito con realimentación: la realimentación de corriente en serie 1) Modelo de circuito Consideremos ahora el caso de la realimentación de corriente en serie tal como se presentaba en la figura 17 Figura 17 Realimentación de corriente en serie Figura 17 v i v i v r A=G m bi o i o R L Para la realimentación de corriente en serie modelizamos el amplificador como un bloque que introduce una ganancia G m y la red de realimentación como un cortocircuito a su entrada y una fuente de tensión de valorβi o a la salida En este caso estamos midiendo la corriente de salida y la reintroducimos mediante la red de realimentación La salida de la red de realimentación está conectada en serie con la entrada del amplificador, es decir, estamos comparando tensiones y, por tanto, podemos aplicar la ley de Kirchhoff de tensiones y llegar a la expresión siguiente: v i = v i v r (57) El modelo de amplificador que utilizaremos aquí es un bloque que introduce una ganancia que denominaremos G m y que se calcula de la manera siguiente: G m = i o/v i (58) Observad que a diferencia del caso anterior, donde la ganancia A v era la relación entre dos tensiones y no tenía unidades (recordad la ecuación 35), en este caso G m es la relación entre una corriente y una tensión y se mide en siemens (la inversa del ohm), que es la unidad de la conductancia Por esta razón, denominaremos a nuestro amplificador amplificador de transconductancia Este tipo de amplificador adquiere una tensión a la entrada y la transforma en una corriente de salida G m representa la ganancia en lazo abierto del amplificador de transconductancia, es decir, la ganancia que tiene la etapa amplificadora cuando no está conectada la red de realimentación Conductancia y siemens La conductancia eléctrica es la inversa de la resistencia eléctrica y se representa con el símbolo G La conductancia se mide en siemens (S) Estas unidades representan la inversa de los ohms (Ω) De esta manera, G = 1 R S Dado que estamos midiendo corrientes en la salida del circuito nos interesará que toda la corriente i o sea reintroducida en la red de realimentación Así, modelizaremos la entrada de la red de realimentación mediante un cor-

36 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores tocircuito para que pase toda la corriente La tensión de salida de la red de realimentación, v r, será la corriente que tiene en la entrada i o multiplicada por la gananciaβ Lo podemos expresar de la manera siguiente: v r =βi o (59) La gananciaβ = v r/i o se mide en ohms Observad que sus unidades son las inversas a las de la ganancia de la etapa amplificadora, G m, que en este caso se mide en siemens, como acabamos de ver Si tomamos la ecuación 9 y como ganancia A tomamos la ganancia de transconductancia G m, podemos expresar la ganancia total del circuito realimentado por esta configuración como: G mr = G m 1 G mβ (60) donde G m es la ganancia del amplificador de transconductancia en lazo abierto Vamos, a continuación, a calcular las impedancias de entrada y salida para esta configuración de realimentación 2) Cálculo de la impedancia de entrada Haremos el cálculo de la impedancia de entrada a partir del esquema presentado en la figura 18 Esta impedancia la calcularemos a partir de la ley de Ohm y considerando la tensión y la corriente en la entrada del circuito: R ir = v i i i (61) Figura 18 Cálculo de la impedancia de entrada para la realimentación de corriente en serie Figura 18 v i i i R ir v i v r bi o R i i o =G m v i R L La impedancia de entrada es la impedancia que vemos desde los terminales de entrada del cuadripolo que representa el circuito con realimentación En este caso, la impedancia es un número real (sin parte imaginaria) y la denominaremos resistencia de entrada del circuito realimentado, R ir Observad que la señal de salida del circuito es una corriente, i o, que entra en la red de realimentación La tensión v r es la tensión con la cual modelizamos la salida de la red de realimentación v r =βi o y esta tensión está conectada en

37 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores serie con la tensión de entrada y la tensión que entra en el amplificador Como en el caso de la configuración de tensión en serie, la etapa amplificadora se caracteriza con el parámetro R i, que es la resistencia de entrada del amplificador en lazo abierto La impedancia de entrada al circuito realimentado se calculará como la relación entre v i y i i, es decir: R ir = v i i i (62) Las tensiones en la entrada son las siguientes: v i = v i v r (63) Aplicando la ley de Ohm podemos expresar la tensión v i como: v i = R i i i (64) Y la tensión que sale del bloque de realimentación, como podéis ver en la figura 18, es: v r =βi o (65) Sustituyendo en la expresión 63 obtenemos: v i = R i i i βi o (66) De la expresión 58 deducimos que i o = G mv i, y v i = R ii i según la expresión 64 Si sustituimos estos términos en la ecuación 66 llegamos a la expresión siguiente: v i = R i i i βg mr i i i (67) Ahora sustituimos este valor de v i en la expresión inicial de la impedancia de entrada (equació 62) El valor de la resistencia de entrada de un circuito con realimentación de corriente en serie es el siguiente: R ir = R i (1 G mβ) (68) Es decir, la impedancia de entrada del circuito realimentado es la impedancia del amplificador en lazo abierto (sin realimentación) multiplicada por el factor (1 G mβ), también denominado ganancia de retorno Observad que

38 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores obtenemos la misma expresión de impedancia de entrada que en el caso de realimentación de tensión en serie Esto se debe a que la impedancia de entrada está determinada por el modo como conectamos la salida de la red de realimentación y la entrada de la etapa amplificadora En este caso, aunque se miden variables diferentes, la conexión en la entrada del circuito es en los dos casos en serie Observad que, tanto en el caso de la configuración de realimentación de tensión en serie como en este caso de realimentación de corriente en serie, la impedancia de entrada del circuito realimentado es mayor que la impedancia de entrada del circuito sin realimentar 3) Cálculo de la impedancia de salida Fijémonos ahora en la impedancia de salida Recordad que debemos hacer las modificaciones siguientes en el circuito para calcularla: Anulamos la señal de entrada, v i Tomamos el modelo de circuito con realimentación de corriente en serie que hemos visto en la figura 17 y anulamos la fuente de tensión de la entrada con un cortocircuito, como podemos ver en la figura 19 De esta manera v i = 0 Sustituimos la resistencia de carga R L por una fuente de tensión ideal v o Calculamos la corriente que entra en el circuito desde la fuente de tensión v o Fijaos en que en nuestro modelo de la figura 17 la corriente i o sale del cuadripolo La impedancia de salida de un cuadripolo se calcula como la relación de tensión y corriente entrantes Por tanto, cuando calculemos i o deberemos cambiarle el signo para calcular esta impedancia de salida Calculamos la impedancia de salida mediante la expresión siguiente: R or = vo i o (69) En la figura 19 podéis ver el circuito resultado de aplicar estos cambios Figura 19 Cálculo de la impedancia de salida para la realimentación de corriente en serie Figura 19 v i = 0 v i G mv i v r R o i o R or v o Calcularemos la impedancia de salida del circuito con realimentación de corriente en serie como la relación entre v o y la corriente que entra en el circuito, es decir, i o (observad que i o tiene sentido saliente)

39 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Sabemos que el amplificador de la figura 19 introduce una ganancia de G m en la señal de entrada v i y que la salida es una corriente; por tanto, modelizaremos esta etapa amplificadora como una fuente de corriente de valor G mv i El amplificador también incluye una resistencia de salida R o Dado que el modelo de amplificador es una fuente de corriente y la resistencia de salida representa pérdidas de la señal, la resistencia R o se pone en paralelo y representa la rama por la que se pierde parte de la corriente que da la fuente de corriente ideal Supondremos que la realimentación de corriente es ideal y, por tanto, la entrada de la red de realimentación se comporta como un cortocircuito, de manera que toda la corriente de salida i o se reintroduce en el circuito En la figura 19 podéis ver que la etapa de realimentación se ha modelizado mediante un cortocircuito Aplicamos ahora la ley de Kirchhoff de las corrientes La suma de corrientes que entran en el nodo (fijaos en que está indicado con un punto negro en la figura 19) es igual a la suma de corrientes que salen; por tanto: Ley de Kirchhoff de las corrientes Esta ley nos indica que la suma de corrientes que entran en un punto de unión de varias ramas debe ser cero Matemáticamente se expresa como P n in = 0 G mv i = i o vo R o (70) Por otro lado, sabemos que la tensión que entra en el amplificador es: v i = v i v r (71) Pero hemos hecho la señal de entrada nula, y por tanto la señal v i la podemos expresar como: v i = v r (72) Y la tensión, v r, que sale del bloque de realimentación, sabemos que es la corriente de entrada al bloque, i o, multiplicada por el factorβ, tal como habíamos visto en la figura 17 Por tanto, la tensión de entrada en la etapa amplificadora es: v i = βi o (73) Sustituimos en la ecuación 70 y obtenemos la expresión siguiente: G mβi o = i o vo R o (74) Unidades de las ganancias G m yβ Recordad que para el caso de la realimentación de corriente en serie la ganancia G m se mide en siemens y la gananciaβse mide en ohms

40 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Reordenamos los términos y llegamos a la expresión siguiente: v o = R oi o(1 G mβ) (75) Recordad que en la figura 8 del subapartado 15 hemos definido la corriente i o como entrante en el cuadripolo Aquí definimos la corriente i o como saliente por el hecho de que se trata de la salida del circuito Asimismo, para tener este hecho en cuenta se debe invertir el signo en la expresión 75 y, por tanto, llegamos al resultado siguiente: R or = R o(1 G mβ) (76) Como estamos viendo un caso de realimentación negativa, el factor (1 G mβ) es mayor que la unidad, y por tanto la impedancia de salida del circuito con realimentación R or es mayor que la impedancia de salida del amplificador sin realimentar o en lazo abierto, R o Esta diferencia es un factor igual a la ganancia de retorno (1 G mβ) Observad que para el caso de la realimentación de tensión en serie esta im- R pedancia de salida era R or = o 1A vβ, según la expresión 53 Esta diferencia se debe al hecho de que en ese caso interconectábamos la salida del circuito en paralelo y en este caso lo hacemos en serie Realimentación negativa y ganancia de retorno Como hemos visto en el subapartado 14, cuando tenemos realimentación negativa el producto Aβ es positivo y, por tanto, la ganancia de retorno, que se expresa como (1 Aβ) (en este caso la ganancia A la hemos denominado G m), es mayor que la unidad En este subapartado hemos visto los puntos siguientes: Modelizamos la realimentación de corriente en serie con un amplificador de transconductancia respecto a la etapa amplificadora y con un cortocircuito y una fuente de tensiónβi o respecto a la red de realimentación La ganancia del circuito realimentado es la siguiente: G mr = G m 1 G mβ (77) La impedancia de entrada de los circuitos con realimentación de corriente en serie es la siguiente: R ir = R i (1 G mβ) (78) La impedancia de salida de los circuitos con realimentación de corriente en serie es la siguiente: R or = R o(1 G mβ) (79)

41 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Realimentación de tensión en paralelo En este subapartado analizaremos el caso de la realimentación de tensión en paralelo 1) Modelo de circuito En la figura 20 podéis ver cuál es el modelo de circuito para este tipo de realimentación Figura 20 Realimentación de tensión en paralelo Figura 20 i i i i i r A=R m bv o v o R L Para la realimentación de tensión en paralelo modelizamos el amplificador como un bloque que introduce una ganancia R m y la red de realimentación como un circuito abierto a su entrada y una fuente de corriente de valorβv o a la salida Observad que para esta configuración estamos midiendo la tensión de salida del circuito, como hemos visto para el caso de realimentación de tensión en serie, pero en este caso nuestra señal de entrada al circuito es una corriente, es decir, el bloque comparador trabaja con corrientes y por tanto podemos expresar la corriente de entrada como i i = i i ir Esta suma de corrientes se consigue conectando la entrada del amplificador y la salida de la red de realimentación en paralelo Respecto a la salida del circuito, dado que estamos midiendo tensión, deberemos conectar la salida del bloque amplificador y la entrada de la red de realimentación en paralelo En este caso modelizaremos nuestro amplificador mediante un cuadripolo que introduce una ganancia R m, definiendo R m como la relación entre la tensión de salida v o y la corriente de entrada i i En este caso la ganancia del amplificador tiene unidades medidas en ohms Así, el amplificador que utilizamos también se denomina amplificador de transresistencia y lo que hace es tomar una corriente de entrada y transformarla en una tensión de salida v o Respecto al modelo de la red de realimentación, utilizaremos un circuito abierto en la entrada, ya que estamos midiendo tensión, y de esta manera nos aseguramos que toda la tensión v o entra de nuevo en el circuito La salida de este bloque es la corriente i r, que será igual a la gananciaβmultiplicada por la señal

42 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores de entrada en este bloque, v o El factorβ=i r/v o tiene unidades de siemens Recordad que los siemens son la inversa de los ohms y, dado que la ganancia en la etapa amplificadora son ohms, tenemos que las unidades de la ganancia β son la inversa La ganancia total del circuito realimentado para esta configuración la podemos expresar como: R mr = R m 1 R mβ (80) donde R m es la ganancia del amplificador de transresistencia en lazo abierto Observad que es la expresión de la ganancia de realimentación que hemos visto en el subapartado 14 pero en este caso sustituyendo la ganancia del bloque amplificador genérico A por la ganancia R m que caracteriza un tipo de amplificador concreto: el amplificador de transresistencia A continuación calcularemos las impedancias de entrada y salida para esta configuración de realimentación 2) Cálculo de la impedancia de entrada Haremos el cálculo de la impedancia de entrada a partir del esquema presentado en la figura 21 Figura 21 Cálculo de la impedancia de entrada para la realimentación de tensión en paralelo Figura 21 i i R ir v i i r i i R i bv o v o =R m i i v o R L Para calcular la impedancia de entrada del circuito realimentado, R ir, debemos encontrar la corriente i i y la tensión v i en la entrada del circuito Observad que no tenemos en cuenta cómo se modeliza el circuito realimentado en la salida, ya que esta parte la tendremos en cuenta cuando queramos calcular la impedancia de salida La señal de salida v o se mide y entra en la red de realimentación La corriente i r es la corriente con la que modelizamos la salida de la red de realimentación i r =βv o y esta corriente se resta a la corriente de entrada al circuito i i para obtener la expresión siguiente: i i = i i i r (81)

43 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores La etapa amplificadora la modelizamos mediante una resistencia de entrada R i, que es la resistencia de entrada del amplificador en lazo abierto La impedencia de entrada al circuito realimentado se calculará como la relación entre i i y v i, es decir: R ir = i i /v i (82) Las corrientes en la entrada del circuito son las siguientes: i i = i i i r = v i R i βv o (83) y sabemos que v o = R mi i ; por tanto: i i = v i R i βr mi i (84) Aplicando la ley de Ohm para calcular i i obtenemos: i i = v i R i (85) Sustituimos la expresión de i i de la ecuación 85 en la expresión 84 De esta manera, se obtiene el valor de i i, y es el siguiente: i i = v i R i βr m v i R i (86) Tomamos la ecuación 86, que nos da el valor de la corriente de entrada i i en función de la tensión de entrada v i, y sustituimos este valor de i i en la expresión 82 y obtenemos lo siguiente: R ir = R i 1 R mβ (87) Es decir, la impedancia de entrada del circuito realimentado en paralelo es la impedancia del amplificador en lazo abierto (sin realimentación) dividida por el factor (1 R mβ), también denominado ganancia de retorno En el caso de realimentación negativa ((1 R mβ) > 1, como hemos visto en el subapartado 14), la impedancia de entrada para el circuito realimentado que utiliza un comparador de corriente es, pues, más pequeña que la impedancia de entrada en el amplificador sin realimentar R i

44 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores 3) Cálculo de la impedancia de salida Calculemos ahora la impedancia de salida: Anulamos la señal de entrada Observad que en este caso la señal de entrada es una corriente y, por tanto, la manera de hacer que esta corriente sea cero es sustituir la fuente de corriente por un circuito abierto De esta manera, no hay paso de corriente En la figura 22 podéis ver cómo se ha realizado esta modificación en la entrada del circuito A continuación sustituimos la resistencia de carga R L por una fuente de tensión ideal v o En la figura 22 podéis ver cómo se ha realizado esta modificación en la salida del circuito Calculamos la corriente que entra en el circuito desde la fuente de tensión v o Observad que en nuestro modelo de la figura 20 la corriente i o sale del cuadripolo La impedancia de salida de un cuadripolo se calcula como la relación de tensión y corriente entrante Por tanto, cuando calculemos i o deberemos cambiarle el signo para calcular esta impedancia de salida Calculamos la impedancia de salida mediante la expresión siguiente: R or = vo i o (88) En la figura 22 podéis ver el circuito resultado de aplicar estos cambios Figura 22 Cálculo de la impedancia de salida para la realimentación de tensión en paralelo Figura 22 i i = 0 i i R o R m i i i o v o Para calcular la impedancia de salida del circuito realimentado es necesario encontrar las señales i o y v o Esta impedancia de salida se calcula como R or = vo i o i r R or Sabemos que el amplificador de la figura 22 introduce una ganancia de R m en la señal de entrada i i y que la salida es una tensión; por tanto, podemos modelizar el amplificador como una fuente de tensión con valor R mi i El amplificador también incluye una resistencia de salida R o Supondremos que la realimentación de tensión es ideal y, por tanto, la entrada de la red de realimentación se comporta como un circuito abierto, de manera que toda la tensión v o se reintroduce en el circuito

45 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores La corriente que entra en el amplificador es: i i = i i i r (89) Pero hemos hecho la señal de entrada nula Y por otro lado i r =βv o; por tanto: i i = βv o (90) Aplicamos la ley de Kirchhoff de las tensiones a la malla donde se encuentra la fuente señal de salida v o teniendo en cuenta el sentido entrante en el circuito de la corriente i o y llegamos a la expresión siguiente: v o = i or o R mi i = i or o R mβv o (91) Ahora reordenamos los términos para separar los que dependen de v o y los que dependen de i o y llegamos a la expresión siguiente: v o(1 R mβ) = i or o (92) De esta manera, calculamos la impedancia de salida: R or = v o/i o = R o 1 R mβ (93) Si os fijáis en la expresión de la impedancia de salida, esta tiene la misma forma que el caso de la realimentación de tensión en serie, donde la impedancia de salida se calculaba como R or = vo i o = R o 1A vβ (recordad la expresión 53) Esto es porque en ambos casos estamos midiendo tensión y el cálculo de la impedancia de salida se realiza teniendo en cuenta la parte de salida del circuito realimentado En ambos casos la impedancia total de salida queda dividida por la ganancia de retorno 1 Aβ, y por tanto para el caso de la realimentación negativa (ganancia de retorno mayor que 1) esta impedancia de salida es menor respecto a la impedancia en lazo abierto del amplificador En este subapartado hemos visto los puntos siguientes: Modelizamos la realimentación de tensión en paralelo con un amplificador de transresistencia respecto a la etapa amplificadora y con un circuito abierto y una fuente de corrienteβv o respecto a la red de realimentación La ganancia del circuito realimentado es la siguiente: R mr = R m 1 R mβ (94)

46 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores La impedancia de entrada de los circuitos con realimentación de tensión en paralelo es la siguiente: R ir = R i 1 R mβ (95) La impedancia de salida de los circuitos con realimentación de tensión en paralelo es la siguiente: R or = R o 1 R mβ (96) Realimentación de corriente en paralelo En este subapartado analizaremos el último de los cuatro casos de realimentación negativa que nos hemos propuesto estudiar: el de realimentación de corriente en paralelo 1) Modelo de circuito En esta configuración medimos la corriente de salida, i o, para reintroducirla en el circuito, y el bloque comparador trabaja con corrientes, ya que la fuente de señal de la entrada es una corriente Podéis ver esta configuración en la figura 23 Figura 23 Realimentación de corriente en paralelo Figura 23 i i i i i r A=A i βi o i o R L Para la realimentación de corriente en paralelo modelizamos el amplificador como un bloque que introduce una ganancia A i y la red de realimentación como un cortocircuito en su entrada y una fuente de corriente de valorβi o en la salida Comenzamos modelizando el amplificador La señal de entrada para este bloque es la corriente i i La señal de salida es otra corriente, io La relación entre estas dos señales es la ganancia del amplificador, y la denominaremos A i Dado que es una relación entre corrientes, esta ganancia es adimensional Nuestro amplificador será, pues, un amplificador de corriente con ganancia A i en el que introducimos una corriente de entrada y obtenemos una corriente de salida

47 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores La gananciaβ, por otra parte, se calcula dividiendo la señal de salida de la red de realimentación i r entre la señal de entrada al mismo bloque, i o Por tanto, β = i r/i o Dado que estamos midiendo corriente, modelizaremos la red de realimentación como un cortocircuito en la entrada La salida la modelizaremos como una fuente de corriente con el valor siguiente: i r =βi o (97) La ganancia total del circuito realimentado para esta configuración la podemos expresar a partir de la ecuación 9 Observad que habíamos visto que A r = A 1Aβ En este caso, la única diferencia es que en lugar de un amplificador genérico consideramos un amplificador de corriente, y por tanto debemos sustituir la ganancia genérica A por la ganancia específica A i Esta ganancia, A i, nos indica que el amplificador es de corriente y es la ganancia del amplificador de corriente en lazo abierto A ir = A i 1 A i β (98) 2) Cálculo de la impedancia de entrada La impedancia de entrada la calcularemos a partir del esquema presentado en la figura 24 Figura 24 Cálculo de la impedancia de entrada para la realimentación de corriente en paralelo Figura 24 i i R ir v i i i i r R_i bi o i o =A i i i R L Modelizamos la parte de entrada del circuito realimentado para poder calcular cuál es la impedancia de entrada del circuito Recordad que el cálculo de las impedancias es muy importante para poder conectar nuestro circuito con otros bloques y poder tener las impedancias adaptadas La señal de salida i o se mide y entra en la red de realimentación La corriente i r es la corriente con la que modelizamos la salida de la red de realimentación i r = βi o y esta corriente se resta a la corriente de entrada al circuito i i para obtener i i Es decir, i i = i i i r La etapa amplificadora la modelizamos mediante una resistencia de entrada R i, que es la resistencia de entrada del amplificador en lazo abierto La impedancia de entrada al circuito realimentado se calculará como la relación entre i i y v i Lo expresamos de la manera siguiente: R ir = v i i i (99)

48 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Las corrientes en la entrada del circuito son: i i = i i i r = i i βi o (100) Sabemos que i o = A i i i y que i i = v i /R i Sustituimos estos dos términos en la ecuación 100 y llegamos a la expresión siguiente: i i = v i R i A i β v i R i (101) Volvemos a la expresión inicial de la impedancia de entrada del circuito (equació 99) y sustituimos el valor de i i de manera que obtenemos esta impedancia de entrada La impedancia de entrada de un circuito con realimentación de corriente en paralelo es la siguiente: R ir = R i 1 A i β (102) La impedancia de entrada del circuito realimentado en paralelo (nos estamos fijando únicamente en la entrada del circuito) es la impedancia del amplificador en lazo abierto (sin realimentación) dividida por el factor (1A i β), también denominado ganancia de retorno, tal como habíamos visto en el subapartado 14 En el caso de realimentación negativa (1 A i β > 1, podéis recordar la tabla 1) la impedancia de entrada para el circuito realimentado que utiliza un comparador de corriente es, por tanto, menor que la impedancia de entrada al amplificador sin realimentar R i 3) Cálculo de la impedancia de salida Calcularemos la impedancia de salida, R or = v o/i o, a partir del esquema de la figura 25 Recordad que habíamos definido la impedancia de salida de un cuadripolo como la relación entre la corriente i o entrante al cuadripolo y la tensión v o entre los terminales de salida Lo podéis ver en la figura 8 del subapartado 15 La corriente definida allí es entrante, mientras que aquí está definida com saliente Esta diferencia de sentido la tendremos en cuenta cuando hagamos los cálculos, dado que i o se define, por un lado, como corriente de salida del circuito realimentado y, por otro lado, por definición, la impedancia de salida de un circuito se mide según la corriente entrante Para poder calcular la impedancia de salida del circuito debemos hacer las modificaciones siguientes: Anulamos la señal de entrada Como estamos analizando un circuito con realimentación de corriente en paralelo, la señal de entrada es una corrien-

49 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores te (esto nos lo indica el término en paralelo) Para ello, debemos hacer que la corriente de entrada, i i, sea nula Por tanto, la sustituimos por un circuito abierto, como podéis ver en la parte de entrada del circuito de la figura 25 Figura 25 Cálculo de la impedancia de salida para la realimentación de corriente en paralelo Figura 25 i i i o Calcularemos la impedancia de salida del circuito a partir de los valores de i o y de v o i i =0 R o v o A i i i i r R or A continuación sustituimos la resistencia de carga R L por una fuente de tensión ideal v o En la figura 25 podéis ver cómo se ha llevado a cabo esta modificación a la salida del circuito Calculamos la corriente i o que entra al circuito desde la fuente de tensión v o Calculamos la impedancia de salida mediante la expresión siguiente: R or = vo i o (103) El amplificador de la figura 25 introduce una ganancia de A i en la señal de entrada i i y la salida es una corriente; por tanto, podemos modelizar el amplificador como una fuente de corriente con valor A i i i El amplificador también incluye una resistencia de salida R o Supondremos que la realimentación de corriente es ideal, y por ende la entrada de la red de realimentación se comporta como un cortocircuito, de manera que toda la corriente i o entra de nuevo al circuito La corriente que entra al amplificador es: i i = i i i r (104) La corriente de entrada i i es nula, ya que para hacer este cálculo hemos anulado la fuente de corriente dejándola en circuito abierto Y, por otro lado, sabemos que la corriente que sale del bloque de realimentación es la corriente de salida i o multiplicada por la gananciaβ, es decir, i r = i oβ, de modo que la corriente que entra en la etapa amplificadora es:

50 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores i i = βi o (105) Cuál es la tensión de salida v o que debemos calcular para encontrar la impedancia de salida del circuito realimentado? Observad que es la tensión que corresponde a R o Esta tensión es el valor de la resistencia R o multiplicado por la corriente que la atraviesa, que denominaremos i Ro Tal como hemos definido el sentido de las corrientes en la figura 25, y aplicando la ley de Kirchhoff de las corrientes al nodo donde se interconectan las tres ramas en la salida del circuito, obtenemos lo siguiente: A i i i = i Ro i o (106) Así pues, la tensión que corresponde a R o, que también es la tensión de salida que buscamos, es: v o = R oi Ro = R o(a i i i i o) (107) Hemos visto que la corriente i i tiene el valor βi o Lo sustituimos en la ecuación 107 y obtenemos: v o = R o(a i βi o i o) = R oi o(a i β 1) (108) En este punto debemos tener en cuenta que la impedancia de salida se define por una corriente entrante en el cuadripolo y aquí la hemos definido como una corriente saliente Por tanto, debemos cambiar el signo de la ecuación 108 En este caso y reordenando términos: v o = R oi o(1 A i β) (109) De esta manera calculamos la impedancia de salida: R or = vo i o = R o(1 A i β) (110) Para esta configuración y considerando el caso de realimentación negativa, la impedancia de salida del circuito con realimentación aumenta respecto a la impedancia de salida R o del circuito amplificador sin realimentación

51 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores En este subapartado hemos analizado los circuitos con realimentación de corriente en paralelo y hemos visto los puntos siguientes: Modelizamos la realimentación de corriente en paralelo con un amplificador de corriente respecto a la etapa amplificadora y con un cortocircuito y una fuente de corrienteβi o respecto a la red de realimentación La ganancia del circuito realimentado es la siguiente: A ir = A i 1 A i β (111) La impedancia de entrada de los circuitos con realimentación de corriente en paralelo es la siguiente: R ir = R i 1 A i β (112) La impedancia de salida de los circuitos con realimentación de corriente en paralelo es la siguiente: R or = R o(1 A i β) (113) Tabla resumen de los cuatro tipos de realimentación negativa En la tabla 2 podéis ver un resumen de las características de los cuatro tipos de realimentación negativa estudiados en este subapartado Tabla 2 Configuraciones basicas de realimentación negativa Realimentación Entrada Salida Ganancia R ir R or Amplificador De tensión en serie v i v o A vr = Av 1A vβ R i (1 A vβ) R o 1A vβ Tensión De corriente en serie v i i o G mr = Gm 1G mβ R i (1 G mβ) R o1 G mβ Transconductancia De tensión en paralelo i i v o R mr = Rm 1R mβ De corriente en paralelo i i i o A ir = A i 1A i β R i 1R mβ R o 1R mβ Transresistencia A i 1R i β R o(1 A i β) Corriente Es importante recordar cuáles son las unidades de las ganancias A yβpara cada caso En la tabla 3 podéis ver cuáles son estas unidades para cada tipo de realimentación

52 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Tabla 3 Unidades de las ganancias A yβ Realimentación Ganancia A De tensión en serie A v = vo v i De corriente en serie G m = io v i De tensión en paralelo R m = vo i i De corriente en paralelo A i = io i i Unidades A Gananciaβ Unidadesβ Unidades ganancia realimentación Adimensional β = vr Adimensional Adimensional v o Siemens Ohms Adimensional β = vr i o Ohms Siemens β = ir v o Siemens Ohm β = ir i o Adimensional Adimensional Resumiendo este subapartado, podemos decir que hay cuatro tipos de realimentación negativa Cada una proporciona una ganancia diferente Según el tipo de amplificador que utilicemos podemos fijar una ganancia determinada Los amplificadores que podemos utilizar son: Amplificadores de tensión: una tensión en la entrada y una tensión en la salida Amplificadores de transconductancia: una tensión en la entrada y una corriente en la salida Amplificadores de transresistencia: una corriente en la entrada y una tensión en la salida Amplificadores de corriente: una corriente en la entrada y una corriente en la salida La realimentación en serie aumenta la impedancia de entrada, mientras que la realimentación en paralelo la disminuye Si la ganancia de lazo Aβ es muy grande, esta impedancia se tiende a comportar como un circuito abierto o un cortocircuito, respectivamente Respecto a la impedancia de salida, en los circuitos realimentados por tensión esta es más baja que respecto a la impedancia de salida del mismo circuito sin realimentar En los circuitos realimentados por corriente, en cambio, esta impedancia de salida aumenta En este subapartado hemos visto los cuatro tipos de realimentación negativa que podemos obtener según el modo en que interconectemos los bloques amplificador y de realimentación A continuación veremos qué efectos tiene la realimentación sobre los circuitos 16 Efectos de la realimentación En este subapartado veremos cuáles son los efectos cualitativos de la realimentación de circuitos Comenzaremos con los inconvenientes En el subapartado 161 veremos que el principal inconveniente de la realimentación negativa es una reducción global de la ganancia En el subapartado 162 veremos que la realimentación puede introducir problemas de estabilidad en la ganancia de los circuitos A continuación pasaremos a ver qué ventajas obtenemos con la realimentación En el subapartado 163 veremos que la realimentación mejora la distorsión no lineal introducida por la etapa amplificadora Posteriormente, en el subapartado 164, veremos cómo la realimentación nos permite incrementar la amplitud de banda Uno de los efectos más beneficiosos de la

53 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores realimentación es la reducción del ruido Lo veremos en el subapartado 165 Para acabar, en el subapartado 166, veremos cuál es la utilidad de poder controlar las impedancias de entrada y salida de los circuitos con realimentación 161 Efectos de la realimentación sobre la ganancia En el subapartado 14 hemos visto que la ganancia A r para todo el circuito realimentado se puede obtener a partir de la expresión: A r = A 1 Aβ (114) Si el denominador (1 Aβ) es mayor que 1, la ganancia total del circuito es menor que la ganancia que presenta el amplificador sin realimentar Es decir, en el caso de realimentación negativa la ganancia del circuito se reduce respecto a la ganancia del circuito sin realimentar Si trabajamos con señales de amplitud pequeña y esta reducción representa un problema para el funcionamiento del circuito, la podemos compensar agregando etapas adicionales de amplificación a la salida de nuestro circuito realimentado De esta manera podemos trabajar con señales de una amplitud determinada siempre que lo necesitemos 162 Problemas de estabilidad de la ganancia asociados a la realimentación positiva Recordad la tabla 1 del subapartado 14 Si la ganancia de retorno 1 Aβ es menor que la unidad, entonces la ganancia del circuito realimentado, A r, es menor que la ganancia de la etapa amplificadora sin realimentar El inconveniente principal de este hecho es la inestabilidad en la ganancia, ya que una pequeña variación de la ganancia del amplificador A nos lleva a una gran variación de A r Veamos un ejemplo para dos valores habituales de A yβ Suponed que A = 10 yβ = 0,0999 Con estos datos ya sabemos que se trata de realimentación positiva, tal como habíamos mostrado en la figura 7, ya que la ganancia de lazo Aβ es menor que cero, y por tanto la ganacia del circuito con realimentación, A r, es mayor que la ganancia del circuito sin realimentar, A Esta ganancia de lazo tiene el valor siguiente: Aβ = 10 0,0999 = 0,999 (115) La ganancia total del circuito con realimentación es: A r = A 1 Aβ = ,999 = 10 0,001 = 104 (116) Si ahora el parámetro A varía y pasa a tener un valor de 9,9, es decir, varía en un 1 %, la ganancia es:

54 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores A r = A 1 Aβ = 9,99 = 900,81 (117) 1 0,989 Observad que A r ha disminuido en más de un 90 % Así, uno de los problemas de la realimentación positiva es la inestabilidad de la ganancia Otro inconveniente de la realimentación positiva es que a menudo se amplifican también señales no deseadas y ruido Adicionalmente, cuando se da la condición siguiente: Aβ = 1 (118) aparecen oscilaciones en la salida del circuito Este puede ser un efecto deseado cuando queremos implementar un oscilador, como veremos en el apartado 2, pero no en otros casos 163 Mejora de la distorsión no lineal introducida por la etapa amplificadora Los amplificadores son dispositivos complejos que están formados por componentes que no tienen un comportamiento ideal Esto provoca que, dependiendo de la señal de entrada, la señal de salida no sea exactamente la señal de entrada multiplicada por una ganancia, A, tal como hemos considerado a lo largo del módulo Véase también Los amplificadores se estudian en el módulo El amplificador operacional de esta asignatura Como se ha comentado al final del subapartado 14, una de las estrategias de diseño de los circuitos realimentados es hacer que la ganancia de lazo sea mucho más grande que la unidad, de tal modo que si Aβ >> 1, la ganancia de todo el circuito se puede aproximar por: A r 1/β (119) Es decir: Si Aβ >> 1 A r 1/β (120) Considerando que las redes de realimentación se construyen con elementos mucho más estables y lineales como pueden ser resistencias y condensadores, la introducción de la realimentación tiende a estabilizar la ganancia de todo el circuito, ya que esta ganancia total depende únicamente del factor β Por esta razón, podemos decir que la red de realimentación compensa los efectos de distorsión no lineal introducidos por la etapa amplificadora

55 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores 164 Aumento del ancho de banda Uno de los efectos de la realimentación negativa es que la ganancia total A r es menor que la ganancia del amplificador en lazo abierto, es decir, que el amplificador sin realimentación Observad la figura 26, donde se muestra la respuesta en frecuencia de un amplificador sin realimentar y la del mismo amplificador realimentado En la figura, el intervalo de frecuencias f 2 f 1 representa el margen de frecuencias para las que tenemos respuesta del circuito sin realimentar, mientras que el intervalo f r2 f r1 es el margen de frecuencias para el que hay respuesta del amplificador realimentado En la figura podéis comprobar cómo el ancho de banda del amplificador realimentado f r2 f r1 es mayor que el ancho de banda del amplificador sin realimentación f 2 f 1 Figura 26 Respuesta en frecuencia de un amplificador con realimentación y sin ella Figura 26 A Amplificador en lazo abierto Amplificador con realimentación La respuesta en frecuencia de un circuito nos indica cómo responde el circuito a una señal sinusoidal de una determinada frecuencia ƒ ƒ 1r ƒ 1 ƒ 2 ƒ 2r Este efecto de aumento de ancho de banda con la realimentación negativa se debe al hecho de que en este tipo de realimentación, dado que se introduce una pérdida en la ganancia, la pendiente de caída de la ganancia del circuito sin realimentar queda también desvaído o suavizado por esta pérdida de ganancia 165 Disminución del ruido En la realimentación negativa, tomamos la señal de salida y la restamos a la señal de entrada De esta manera lo que hacemos es oponer la respuesta del circuito a la entrada y compensar todas las variaciones o perturbaciones que se dan en la entrada Este principio también se aplica a una señal de entrada en la que tengamos ruido Este se verá compensado y en parte anulado por efecto de la realimentación negativa Es decir, el factor (1 Aβ) divide el ruido de entrada al circuito cuando este está realimentado negativamente Sin embargo, el problema es que cuanto mayor es el factor (1 Aβ) y más ruido eliminemos, menor es la ganancia del circuito realimentado, ya que como hemos visto en la ecuación 9: A r = A 1 Aβ (121) Deberemos llegar, pues, a una solución de compromiso y elegir unos valores de A yβque nos proporcionen una ganancia acceptable y que a la vez reduzcan tanto como sea posible el ruido de entrada

56 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores 166 Adaptación de las impedancias de entrada y de salida Como hemos visto en el subapartado 153, el tipo de realimentación que se configura tiene un efecto sobre las impedancias de entrada y de salida del circuito realimentado Según midamos tensión o corriente a la salida del circuito o comparemos tensiones o corrientes en la entrada obtendremos un aumento o una disminución de las impedancias de entrada y salida Dado que el valor de las impedancias depende de los parámetros A y β, la realimentación nos permite ajustar estas impedancias Esta característica es muy importante, ya que cuanto más adaptadas estén las impedancias de entrada y salida a otros bloques de un sistema más complejo, mejor será la transferencia de potencia entre el circuito que esté conectado a la entrada de nuestro circuito realimentado (adaptación de la impedancia de entrada) y el circuito que esté conectado a continuación de nuestro circuito realimentado (adaptación de la impedancia de salida) En este punto ya hemos visto que la realimentación tiene algunos efectos negativos y otros positivos A continuación veremos una red práctica de realimentación para ejemplificar lo que hemos visto hasta ahora 17 Redes prácticas de realimentación Hasta ahora hemos utilizado esquemas de bloques para modelizar tanto la etapa amplificadora como la red de realimentación Hemos visto que estos elementos estaban formados por fuentes controladas de corriente y tensión y resistencias Estos modelos nos han permitido analizar los cuatro tipos de realimentación negativa y calcular los parámetros más relevantes de ellos En este subapartado os presentaremos circuitos realimentados realizados con componentes reales Figura 27 Circuitos prácticos de realimentación: a De tensión en serie b De corriente en serie c De tensión en paralelo d De corriente en paralelo Figura 27 a) b) R s v i A v i R 1 v s v r R 2 b v o R L R s i o v s b A v r R L R 1 En la implementación de circuitos reales realimentados se pueden utilizar amplificadores operacionales como etapa amplificadora y resistencias para construir la red de realimentación c) d) b i r R 1 R s i i i i A i s v o R L i s R s i i b i i i r A R 2 i o R 1 R L

57 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores En la figura 27 podéis ver los cuatro tipos de realimentación negativa que habíamos visto en el subapartado 153 La etapa amplificadora está hecha con un dispositivo que se denomina amplificador operacional En la figura este elemento está simbolizado mediante un bloque en forma de triángulo y con una ganancia A En la figura 28 podéis ver cómo se representa este elemento Véase también Los amplificadores se estudian en el módulo El amplificador operacional de esta asignatura Figura 28 Representación del amplificador operacional Figura 28 x i A x o =A x i Los amplificadores operacionales multiplican la señal de entrada, x i, por una ganancia A, de manera que la señal de salida es x o = AX i Respecto a este módulo consideraremos que el amplificador operacional toma una señal en la entrada y la multiplica por una ganancia, es decir: x o = Ax i (122) como habíamos visto en el subapartado 11 Según el tipo de amplificador del que se trate*, este bloque convierte tensiones en corrientes y viceversa La red de realimentación para los cuatro casos está formada por resistencias, como se ve en la figura 27, donde se ha indicado este bloque con un recuadro para cada caso La ganancia de la red de realimentación es la que se ve en la tabla 4 * Amplificador de tensión, de corriente, de transconductancia o de transresistencia Tabla 4 Gananciaβde las configuraciones de realimentación con amplificador operacional De tensión en serie De corriente en serie De tensión en paralelo Tipos de realimentación De corriente en paralelo β β = vr = R 2 v o R 1 R 2 β = vr = R i o 1 β = ir = 1 v o R 1 β = ir = R 1 i o R 1 R 2 Los modelos de la figura 27 incluyen una resistencia R s para las fuentes de tensión y de corriente En la práctica, estas fuentes no son ideales y tienen pequeñas pérdidas Esta resistencia R s representa estas pérdidas Identifiquemos el tipo de realimentación para los cuatro circuitos de la figura Para determinar si tenemos realimentación en serie o en paralelo en la entrada de cada circuito, debemos tener en cuenta lo siguiente: Si podemos expresar la tensión de entrada en el amplificador operacional, v i, como resta de la tensión de entrada v i y la tensión que sale del bloque de realimentación v r, entonces la realimentación se hace en serie Si podemos expresar la corriente de entrada al amplificador operacional, i i, como resta de la corriente de entrada i i y la corriente que sale del bloque de realimentación i r, entonces la realimentación se hace en paralelo

58 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Para determinar si el circuito se realimenta con tensión o corriente, haremos lo siguiente: Sustituimos la resistencia de carga R L por un cortocircuito Si se anulan las señales de entrada en la red de realimentación, significa que tenemos realimentación de tensión Sustituimos la resistencia de carga R L por un circuito abierto Si se anulan las señales de entrada en la red de realimentación, significa que tenemos realimentación de corriente El tipo de realimentación será el siguiente: 1) Para la figura 27a: La tensión en la entrada del bloque amplificador, v i, se puede expresar como resta de v s y v r En cambio, no se cumple lo mismo para las corrientes de entrada Este hecho nos indica que la realimentación se efectúa en serie Sustituimos la resistencia de carga, R L, por un circuito abierto y por un cortocircuito (fijaos en las figuras 29a y 30a) En el primer caso aun tenemos tensión y corriente en la entrada del bloque de realimentación En el segundo caso, la red de realimentación queda cortocircuitada y, por tanto, no tenemos tensión ni corriente (ya que la corriente pasará por el cortocircuito) Este hecho nos indica que tenemos realimentación de tensión Por tanto, el circuito es un ejemplo de realimentación de tensión en serie Figura 29 Sustitución de la resistencia de carga por un circuito abierto Figura 29 a) b) R s v i A v i R 1 v s v r R 2 β v o R s i o v s β A v r R 1 Sustituimos la resistencia de carga, R L, por un circuito abierto Si las señales de entrada a la red de realimentación se anulan podemos decir que el circuito hace realimentación de corriente c) d) β R s i i i r R 1 i i A i s i i i R s s i i A i r R 2 v o β R 1 i o

59 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 30 Sustitución de la resistencia de carga por un cortocircuito a) b) R s v i A v i R 1 v s v r R 2 β c) d) β R s i i i i i r R 1 v o i s i i i i A A R s i r R 2 i o v s i s R s β A v o β R 1 v r i o R 1 Figura 30 Sustituimos la resistencia de carga, R L, por un cortocircuito Si las señales de entrada a la red de realimentación se anulan, podemos decir que el circuito hace realimentación de tensión 2) Para la figura 27b: La tensión a la entrada del bloque amplificador, v i, se puede expresar como resta de v s y v r En cambio, no se cumple lo mismo para las corrientes de entrada Este hecho nos indica que la realimentación se hace en serie Sustituimos la resistencia de carga, R L, por un circuito abierto y por un cortocircuito (fijaos en las figuras 29b y 30b) En el primer caso la corriente de salida es cero y no hay ninguna conexión entre las señales de salida del amplificador y la red de realimentación En el segundo caso, en cambio, la corriente que sale del amplificador hace caer una tensión a R 1, y por tanto ni tensión ni corriente son nulas Este hecho nos indica que la realimentación es de corriente Por tanto, este circuito es un ejemplo de realimentación de corriente en serie 3) Para la figura 27c: La corriente de entrada del bloque amplificador, i i, se puede expresar como resta de i s y i r En cambio, no se cumple los mismo para las tensiones Este hecho nos indica que la realimentación se hace en paralelo Sustituimos la resistencia de carga, R L, por un circuito abierto y por un cortocircuito (fijaos en las figuras 29c y 30c) En el primer caso tenemos una tensión de salida diferente de cero y la corriente que sale del amplificador operacional produce una tensión a R 1 En el segundo caso, si sustituimos R L por un cortocircuito, la tensión de salida se anula y la corriente tiende a pasar por el cortocircuito en lugar de pasar por la red de realimentación Este hecho nos indica que la realimentación es de tensión Por tanto, este circuito es un ejemplo de realimentación de tensión en paralelo

60 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores 4) Para la figura 27d: La corriente de entrada del bloque amplificador, i i, se puede expresar como resta de i s y i r En cambio, no se cumple lo mismo para las tensiones Este hecho nos indica que la realimentación se hace en paralelo Sustituimos la resistencia de carga, R L, por un circuito abierto y por un cortocircuito (fijaos en las figuras 29d y 30d) En el primer caso la salida del amplificador operacional queda aislada de la red de realimentación Es decir, se anulan las señales de entrada al bloque amplificador En cambio, en el segundo caso continuamos teniendo tanta tensión como corriente en el bloque de realimentación que proviene del amplificador operacional Este hecho nos indica que la realimentación es de corriente Por tanto, este circuito es un ejemplo de realimentación de corriente en paralelo En este subapartado hemos visto cuatro configuraciones de circuitos con realimentación que se emplean en la práctica A continuación veremos un ejemplo numérico que nos servirá para ilustrar lo que hemos visto hasta ahora Ejemplo 3 Para el circuito con realimentación de la figura 31 determinad los puntos siguientes: 1) Tipos de realimentación 2) Ganancia de la red de realimentación,β 3) Ganancia total del circuito realimentado, A r Figura 31 Ejemplo de circuito realimentado v i A = kW v i 2,7kW v r R L v o Solución 1) Comencemos por determinar qué tipo de realimentación tenemos Si miramos la entrada del circuito, donde está la fuente de entrada podemos ver que la tensión de entrada al circuito, la tensión de entrada al bloque amplificador y la tensión de realimentación, v r, están en serie, ya que encontramos la relación siguiente: v i = v i vr (123) Respecto a la salida del circuito, donde encontramos v o, aplicaremos el criterio que acabamos de ver: sustituir la resistencia de carga por un circuito abierto o un cortocircuito y ver qué efecto tiene esto sobre la señal que entra en el bloque de realimentación

61 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Vamos a sustituir la resistencia de carga R L por un circuito abierto para comprobar si tenemos realimentación de corriente Si hacéis esta operación sobre el circuito de la figura 31, podéis ver que tenemos una tensión de salida en el circuito y una corriente que entra a la red de realimentación Tenemos, por tanto, señal de entrada al bloque de realimentación Ahora sustituimos la resistencia de carga R L por un cortocircuito En este caso estamos haciendo que la salida del amplificador sea nula, es decir, que la tensión v o, que es la que entra en el bloque de realimentación, sea nula Qué sucede con la corriente de salida? En este caso pasará todo por el cortocircuito Así, cuando sustituimos R L por un cortocircuito podemos ver que no hay señales de entrada al bloque de realimentación, ya que este queda cortocircuitado Esto nos indica que tenemos realimentación de tensión Por tanto, este caso es el de un circuito con realimentación de tensión en serie 2) Lo siguiente que nos piden es calcular la ganancia de la red de realimentación,β Observad que la red de realimentación está formada por las dos resistencias La tensión de realimentación que se reintroduce al circuito, v r, es la que corresponde a la resistencia de 2,7 kω a lo largo de la rama formada por esta misma resistencia y la de 68 kω Asumimos que no circula corriente adicional por la rama que entra al amplificador operacional y que está entre las dos resistencias En una rama de resistencias en serie la tensión de una resistencia es el valor de la tensión total entre los extremos de la rama multiplicada por el valor de esta resistencia y dividido entre la suma total de resistencias Es decir: v Ri = V ir i P i R i (124) Estos tipos de circuitos se denominan divisores de tensión Aplicando esta regla a nuestro caso sabemos que la tensión que corresponde a la resistencia de 2,7 kω, que es la tensión de realimentación v r, es: v r = v o 2,7 2,7 68 (125) Esto lo aplicamos suponiendo que no circula corriente por la rama del amplificador que se encuentra entre las dos resistencias La gananciaβse define como la división de la señal de salida del bloque de realimentación, v r, dividido entre la señal de entrada en este bloque, v o Así, el valor deβes el siguiente: β = vr 2,7 = = 0,038 (126) v o 2,7 68 3) Finalmente, nos piden la ganancia total del circuito realimentado Para calcular esta ganancia de realimentación, y teniendo en cuenta que Aβ = ,038 = 3800 >> 1, podemos utilizar la expresión 11, que habíamos visto en el subapartado 14 A r 1 = 26,31 (127) β Observad que si utilizáis la expresión sin aplicar esta aproximación el resultado es muy similar: A r = A 1 Aβ = = 26,30 (128) 0,038

62 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores 18 Diseño de un amplificador con realimentación Hasta ahora hemos visto cómo podemos modelizar un circuito con realimentación y qué propiedades nos aporta este tipo de circuitos Pero qué sucede si en lugar de analizar un circuito con realimentación lo que queremos es diseñarlo y construirlo? En este subapartado haremos precisamente esto: a partir de unas especificaciones de partida, veremos qué tipo de realimentación nos conviene y cómo haremos el diseño del circuito elegido Una manera de llevar a cabo la implementación de un circuito con realimentación es seguir el procedimiento que veremos a continuación: 1) En primer lugar, decidiremos qué tipo de realimentación queremos y fijaremos el valor de la ganancia que sea necesaria Habrá que consultar la tabla 2 para recordar las variables de entrada y salida (tensiones y corrientes) y las impedancias de entrada y salida para cada tipo de configuración Debéis tener en cuenta que el valor óptimo de las impedancias dependerá de cada caso particular y de qué conectemos a la entrada y la salida de nuestro circuito realimentado 2) Una vez determinada la configuración, la podemos implementar con componentes electrónicos reales según los diferentes tipos de realimentación presentados en la figura 27, donde se utilizan amplificadores operacionales y resistencias Podemos incluir dentro de la red de realimentación alguna resistencia variable que nos permita ajustar la ganancia de la red de realimentación β 3) El paso siguiente consiste en elegir los valores de las resistencias de la red de realimentación La combinación de estas resistencias nos debe dar el valor deβque hemos fijado Muchas veces veremos que diferentes valores de las resistencias nos dan un mismo valor de β Cómo elegimos, pues, las resistencias más oportunas? Seguiremos el criterio siguiente: a) Para las realimentaciones en serie intentaremos seleccionar valores de resistencias pequeños De esta manera, conseguiremos que la red de realimentación no introduzca una resistencia grande de entrada porque esto reduciría la amplitud de la señal de salida Recordad los circuitos realizados con componentes reales y con realimentación en serie que hemos visto en las figuras 27a y 27b Observad que si en estos circuitos hacemos las resistencias de la red de realimentación pequeñas, entonces un máximo de tensión v o es reintroducida en la entrada de la etapa amplificadora b) Para las realimentaciones en paralelo, en cambio, intentaremos seleccionar valores de resistencias grandes, ya que en este caso las señales de entrada son corrientes y debemos intentar no cortocircuitar la entrada de la etapa amplificadora Observad las figuras 27c y 27d, en las que los dos circuitos están realimentados en paralelo, es decir, trabajan con corrientes en la entrada Si hacemos las resistencias de la red de realimentación grandes, gran parte de la corriente de entrada i i entra en la etapa amplificadora (i i ) Si, en

63 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores cambio, hiciésemos estas resistencias pequeñas (un cortocircuito en el caso más extremo), toda la corriente marcharía para la rama de realimentación c) Para las realimentaciones de tensión el criterio es seleccionar resistencias grandes para obtener impedancias de salida grandes, ya que esto nos permite medir el máximo de tensión y reintroducirla así al circuito mediante la red de realimentación Observad las figuras 27a y 27c En estos dos casos tenemos realimentación de tensión Poniendo valores de resistencias grandes en la red de realimentación conseguimos que un máximo de tensión caiga en la resistencia de carga R L d) Para las realimentaciones de corriente elegiremos valores de resistencia pequeños porque la entrada a la red de realimentación está en serie con la carga y las resistencias grandes dificultan el paso de corriente hacia a la red de realimentación Lo podéis comprobar en las figuras 27b y 27d, que representan dos configuraciones de realimentación de corriente Si hacemos pequeños los valores de las resistencias de la red de realimentación, conseguimos hacer pasar un máximo de corriente para este bloque del circuito En muchos casos, por ejemplo, si queremos una configuración de realimentación de tensión en serie, veremos que estos criterios se contradicen, ya que, por un lado, debemos elegir valores de resistencias pequeños porque nos interesa que de la tensión que existe en la entrada la máxima caiga en la entrada del bloque amplificador Pero, por otro lado, dado que realimentamos el circuito con una tensión nos interesan resistencias grandes para transferir la máxima tensión de salida en la entrada de la red de realimentación Por ejemplo, queremos configurar un circuito con realimentación de corriente en paralelo Dado que trabajamos con corrientes en la entrada del circuito nos interesa una resistencia de entrada muy grande de tal modo que la máxima corriente en la entrada vaya hacia el bloque amplificador Observad el caso extremo: si la resistencia de entrada fuese un cortocircuito, estaríamos cortocircuitando la entrada del bloque amplificador y toda la corriente de la fuente pasaría por este cortocircuito Pero, por otro lado, dado que estamos realimentando el circuito con corriente, nos interesa una resistencia pequeña Si esta resistencia fuese muy grande, un circuito abierto en el caso extremo, no entraría corriente en el bloque de realimentación En estos casos debemos llegar a una solución intermedia y encontrar unos valores de resistencias que nos vayan bien tanto en la entrada como en la salida del bloque de realimentación Observad que para los casos de realimentación en serie de corriente (valores de resistencias bajos tanto en la entrada como en la salida del bloque de realimentación) y realimentación en paralelo de tensión (valores de resistencias grandes tanto en la entrada como en la salida del bloque de realimentación) no hay ningún conflicto 4) El paso siguiente es analizar el circuito para verificar que se cumplen los requisitos iniciales de diseño Los valores de la tabla 2 son aproximados y consideran que las fuentes de señal y el resto de los componentes del circuito son ideales

64 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Veamos todas estas consideraciones mediante un ejemplo Ejemplo 4 Queremos diseñar un amplificador con realimentación Disponemos de una fuente de señal de entrada con una resistencia interna, R s, de 2 kω La resistencia de carga R L es de 50Ω Queremos que nuestro amplificador realimentado libere en la salida (en la resistencia de carga R L ) una tensión que sea 10 veces la tensión de la fuente de entrada Nos dicen que el bloque amplificador tiene una resistencia de entrada R i igual a 5 kω, una resistencia de salida R o igual a 100Ωyuna ganancia en lazo abierto (es decir, sin red de realimentación) igual a 10 4 A partir de estos datos, diseñad la red de realimentación que nos permita obtener la ganancia que se pide Solución Dado que nos piden una tensión de salida proporcional a una tensión de entrada utilizaremos un amplificador de tensión Recordad que vimos los tipos de amplificadores disponibles según si las señales de entrada y salida son tensiones o corrientes en la tabla 2 Modelizaremos nuestro circuito realimentado tal como se muestra en la figura 32 Figura 32 R s Amplificador v i R i R o A v v i v s v i R 1 R L v o v r R 2 Red de realimentación Observad que en la etapa amplificadora hemos modelizado nuestro amplificador de tensión con una resistencia de entrada, R i, una fuente ideal de tensión que toma la tensión en la entrada del amplificador y la multiplica por A v y una resistencia de salida R o El amplificador de tensión requiere la configuración de realimentación de tensión en serie Observad las recomendaciones que se han hecho en el inicio de este apartado en referencia al valor de las resistencias de la red de realimentación: Por un lado, la configuración en serie (suma de tensiones en la entrada del circuito) recomienda valores de resistancias pequeñas De esta manera, la máxima tensión de entrada v i va a parar a la entrada del bloque amplificador Por otro lado, la realimentación de tensión (la señal de salida v o se reintroduce en el circuito a través del bloque de realimentación) nos recomienda valores de resistencias grandes A causa de estas dos recomendaciones deberemos buscar un valor intermedio para las resistencias de la red de realimentación En el enunciado se señala que se requiere una ganancia total del circuito realimentado A vr de 10 La expresión 11 nos dice que se puede aproximar la ganancia del circuito realimentado, A vr, para: A vr 1 β (129)

65 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores y de ahí podemos calcular la gananciaβque debe tener la red de realimentación que estamos buscando: β = 1 = 1 = 0,1 (130) A vr 10 De la tabla 2 podemos extraer los valores de las impedancias de entrada y salida del circuito con realimentación de tensión en serie, que son las siguientes: R ir = R i (1 A vβ) (131) R or = R o (1 A vβ) (132) En este caso los valores concretos dados por el enunciado son R ir = 5 MΩ y R or = 0,1Ω En el subapartado 17 hemos visto cómo podemos implementar la red de realimentación para cada uno de los cuatro tipos de realimentación estudiados con resistencias En la tabla 4 hemos visto que para el caso de realimentación de tensión en serie podemos emplear dos resistencias y que la gananciaβse puede expresar como podéis ver en la línea correspondiente a la realimentación de tensión en serie de la tabla 4: β = R 2 R 1 R 2 (133) Teniendo en cuenta que la gananciaβdebe ser igual a 0,1 llegaremos a la igualdad siguiente: β = R 2 R 1 R 2 = 0,1 (134) y reordenando la ecuación 134 llegamos a la relación siguiente entre R 1 y R 2 : R 1 = 9R 2 (135) Acabamos de encontrar cuál es la relación entre R 1 y R 2 que nos da una gananciaβigual a 0,1 Vamos a ver qué valores numéricos podemos dar a estas resistencias Analicemos la red de realimentación Qué sucede si elegimos unos valores extremadamente pequeños para R 1 y R 2? Imaginad el caso extremo, R 1 y R 2 como cortocircuitos En este caso no está entrando tensión en el bloque de realimentación y toda la tensión de salida, v o, recae en la resistencia de carga R L, ya que cuanto más pequeñas son R 1 y R 2, menos tensión habrá en estas Así, nos interesan valores de resistencias relativamente grandes Pero, por otro lado, si R 1 y R 2 son muy grandes, pongamos el caso extremo de que son circuitos abiertos, no caerá tensión en la entrada del bloque amplificador Así, nos interesan valores de resistencias relativamente pequeños Elegiremos, pues, un valor de R 2 que sea inferior a R i para que caiga más tensión en la entrada del bloque amplificador Teniendo en cuenta estas consideraciones, podemos elegir R 2 = 500 kω, y por tanto R 1 = 4500 kω 19 Resumen del apartado Acabamos este primer apartado del módulo con un resumen de lo que hemos visto hasta ahora Hemos comenzado el apartado con el subapartado 11,

66 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores definiendo qué entendemos por realimentación A grandes rasgos la realimentación consiste en tomar la señal de salida de un circuito y reintroducirla de nuevo al circuito En los subapartados 12 y 13 hemos visto que existen dos tipos de realimentación básicos: la realimentación positiva y la realimentación negativa El tipo de realimentación depende de si sumamos o restamos la señal de realimentación a la señal de entrada en el circuito A continuación, en el subapartado 14, hemos analizado con detalle la realimentación negativa y hemos encontrado las ganacias que caracterizan un circuito con realimentación: la ganancia de la etapa amplificadora o en lazo abierto, A la ganancia de la red de realimentaciónβ la ganancia global de realimentación, A r = A 1Aβ la ganancia de lazo Aβ la ganancia de retorno 1 Aβ Aquí hemos visto que existen dos maneras de ver si un circuito tiene realimentación positiva o negativa: Comprobando si la señal de realimentación, x r, se suma o se resta a la señal de entrada al circuito x i Inspeccionando la ganancia A r y comprobando si esta es mayor (realimentación positiva) o más pequeña (realimentación negativa) que la ganancia de lazo abierto A Una vez vistos los conceptos básicos sobre realimentación, en el subapartado 15 hemos profundizado en la configuración de los circuitos con realimentación En particular, hemos supuesto realimentación negativa y hemos visto que según cómo conectemos la entrada y la salida del bloque amplificador y de la red de realimentación (que hemos considerado cuadripolos, es decir, circuitos con dos terminales de entrada y dos terminales de salida), podemos llegar a una de las configuraciones siguientes posibles: Realimentación de tensión en serie Realimentación de corriente en serie Realimentación de tensión en paralelo Realimentación de corriente en paralelo Para cada configuración hemos descrito qué modelo se ha empleado para cada bloque, la ganancia total del circuito que nos aporta y las impedancias de entrada y de salida La utilización de una configuración u otra dependerá del uso que queramos hacer de ella en cada caso

67 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores En el subapartado 16 hemos visto algunos efectos, tanto positivos como negativos, que tienen los circuitos con realimentación Finalmente, hemos acabado el apartado presentando circuitos con realimentación elaborados con componentes electrónicos reales (en el subapartado 17) y proponiendo una metodología de diseño de un circuito con realimentación a partir de unas especificaciones (subapartado 18) El apartado siguiente se dedicará a ver el tema de osciladores A grandes rasgos, podemos decir que un oscilador es un circuito con realimentación positiva y que cumple ciertas condiciones

68 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores 2 Osciladores En el apartado 1 hemos visto cuáles son los principios de la realimentación y hemos visto que existen dos tipos básicos de realimentación: la positiva y la negativa También hemos visto que bajo unas condiciones específicas un circuito realimentado se puede comportar como un oscilador Cuáles son estas condiciones? Recordad la tabla 1 En ella hemos visto que según los valores de las ganancias A yβnuestro circuito realimentado proporcionará realimentación negativa o positiva Fijaos en el caso: Aβ = 1 (136) Este valor es un caso particular de realimentación positiva (ya que Aβ < 0) y nos da la ganancia siguiente del circuito realimentado: A r = A 1 Aβ = (137) Esta es la condición que debe cumplir un circuito realimentado para comportarse como un oscilador Un oscilador es un caso particular de tipo de realimentación positiva La condición que se debe cumplir es que la ganancia de lazo, Aβ sea igual a 1 Esto nos da una ganancia del circuito realimentado A r = Recordad que A es la ganancia del bloque amplificador sin realimentar yβes la ganancia de la red de realimentación En este apartado entraremos en detalle en el concepto de oscilador y veremos algunas aplicaciones A continuación, estudiaremos un modelo de este tipo de circuitos y veremos diferentes implementaciones prácticas Finalizaremos con el estudio del oscilador de cristal de cuarzo, por ser uno de los que se utiliza muy a menudo en la práctica En particular, veremos los puntos siguientes: Veremos qué es un oscilador y para qué sirve Veremos la condición de Barkhausen, que es una condición que se debe cumplir en los circuitos osciladores

69 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Veremos un modelo genérico de oscilador que nos permitirá estudiar su funcionamiento Analizaremos algunos de los circuitos osciladores más habituales, como los osciladores LC y RC Veremos los osciladores de cristal de cuarzo, que se usan cuando necesitamos más precisión que la que nos proporcionan los osciladores LC y RC 21 Concepto de oscilador Un oscilador es un circuito que genera una señal periódica a partir de una señal continua de entrada, es decir, actúa como conversor de señal continua en señal alterna Las formas de onda generadas pueden ser sinusoidales, cuadradas, triangulares, etc Así, la señal de salida de un oscilador queda caracterizada por una amplitud, una frecuencia y una forma de onda Qué aplicaciones tiene un oscilador en el campo de la electrónica? Los receptores de televisión, por ejemplo, utilizan osciladores que generan señales periódicas triangulares para hacer una selección de las imágenes Los ordenadores, por otro lado, utilizan osciladores de onda cuadrada para generar señales de sincronización Otra aplicación de los osciladores es la generación de señales de reloj que se pueden aplicar, por ejemplo, en la implementación de relojes que utilizamos en la vida cotidiana o para sincronizar señales en sistemas electrónicos más complejos Realimentación y osciladores Recordad lo que hemos visto en el subapartado 14 Aquí apuntamos que un oscilador es un caso particular de circuito con realimentación positiva En efecto, la realimentación positiva se da cuando la ganancia de lazo, Aβ es menor que cero Un circuito realimentado se comporta como oscilador cuando la ganancia de lazo, Aβ, es igual a 1 Recordad la tabla 1 Como hemos visto en el apartado 1, los osciladores utilizan el principio de realimentación positiva para generar las señales periódicas de salida La ganancia del circuito realimentado, A r, tal como lo hemos expresado en la ecuación 9, es: A r = A 1 Aβ (138) Cuando la ganancia de lazo, Aβ, es menor que cero, tenemos realimentación positiva, ya que la ganancia del circuito realimentado, A r, es mayor que la ganancia del circuito sin realimentar, A Existe un caso particular de la realimentación positiva: qué sucede cuando la ganancia de lazo es la siguiente? Aβ = 1 (139) Pues que A r, la ganancia de realimentación vista en la ecuación 138, es matematicamenté infinita Este hecho nos permite tomar una pequeña perturbación o pequeña señal en la entrada del circuito y hacerla crecer hasta que se estabiliza, tal como podéis ver en la figura 33 Por qué hablamos de una pequeña perturbación en la entrada? Fijaos en que hemos dicho que la ganancia

70 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores de realimentación en este tipo de circuitos es infinita Para hacer funcionar un circuito oscilador, debemos aplicar una señal de entrada Observad la figura 33 El circuito oscilador comienza a responder a la señal de entrada y proporciona una señal de salida que comienza a crecer en amplitud Si mantuviésemos la señal de entrada, la señal de salida crecería hasta el infinito Una vez alcanzada una determinada amplitud, podemos dejar de aplicar la señal de entrada y la salida se mantiene estable Figura 33 Señal de salida generada por un oscilador Figura 33 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 Transitorio Oscilador de estabilidad Un circuito oscilador puede generar una señal periódica estable a partir de un impulso finito de entrada La salida del oscilador comienza siendo nula y crece hasta alcanzar una determinada amplitud de salida -2,0-4,0-6,0-8,0-10,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 24,0 26,0 28,0 30,0 32,0 34,0 36,0 38,0 Según el rango de frecuencias generadas por el oscilador los podemos clasificar en los grupos siguientes: Generadores de baja frecuencia: son aquellos que proporcionan señales entre 1 Hz y 100 khz El espectro de frecuencias audibles entre 20 Hz y 20 khz se encontraría dentro de este grupo Este tipo de osciladores se suelen implementar con circuitos RC, como veremos en el subapartado 23 Generadores de alta frecuencia: proporcionan señales por encima de los 100 khz y se utilizan habitualmente para sintonizar frecuencias de radio Las configuraciones más habituales para estos generadores de alta frecuencia son los circuitos LC y los osciladores de cristal Circuitos LC Un circuito LC es un circuito eléctrico que está formado por bobinas y condensadores Este tipo de circuito se caracteriza por que existe una frecuencia, que se denomina frecuencia de resonancia, igual a f =, que proporciona un máximo de la señal de sálida 1 2π LC Circuitos RC Un circuito RC es un circuito eléctrico que está formado por resistencias y condensadores Este tipo de circuito se caracteriza por proporcionar una respuesta transitoria exponencial del tipo e RC t Véase también Podéis consultar el anexo para más información sobre los circuitos RC 22 Modelo de oscilador Acabamos de ver cuáles son los principios básicos de un oscilador En este subapartado veremos cómo podemos modelizar este tipo de circuitos En la

71 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores figura 34 podéis ver un modelo genérico de oscilador Está compuesto por las partes siguientes: Un circuito amplificador de la señal Este bloque está formado normalmente por componentes electrónicos activos, como son amplificadores operacionales y transistores En este apartado consideraremos este bloque como una caja negra que proporciona una ganancia A determinada Un circuito de realimentación Está formado normalmente por elementos pasivos, como bobinas, resistencias, condensadores o cristales, como veremos en los subapartados 23 y 24 Véase también Los amplificadores operacionales y los transistores se estudian en los módulos El amplificador operacional y El transistor Figura 34 Modelo genérico de oscilador con realimentación positiva Figura 34 t v i v r v i Amplificador A Realimentación β v o t El circuito oscilador genera una señal estable a partir de una pequeña perturbación de entrada Observad que las partes de nuestro circuito con realimentación son las que ya hemos visto en el apartado 1 de este módulo Ahora, sin embargo, como indica el signo positivo del bloque comparador en la figura 34, estamos considerando que la realimentación es positiva Veamos ahora cómo funciona un oscilador, desde que se introduce la señal de entrada hasta que obtenemos la respuesta del circuito en forma de onda Considerad que las ganancias que caracterizan los bloques amplificador y de realimentación son A yβ, respectivamente En t = 0 introducimos una señal de entrada continua denominada v i La señal de salida es v o = Av i A continuación la señal de salida llega al bloque de realimentación, y por tanto v r =βv o Fijaos en las señales v i y v r La señal de entrada en la etapa amplificadora es v i = v i v o Las señales v i y v o se suman porque estamos considerando el caso de realimentación positiva Si ahora hacemos que v r sea igual a la señal inicial de entrada v i, podemos dejar de aplicar la señal de entrada v i, ya que v r está actuando como señal de entrada Esto significa que podemos generar una señal de salida indefinida únicamente a partir de una señal de duración limitada en tiempo en la entrada Es decir, podemos elegir la fuente de señal v i y el circuito continúa proporcionando señal de salida De dónde sale la energía necesaria para proporcionar señal de salida si no tenemos señal de entrada? Pues sale de los elementos activos de la etapa amplificadora, amplificadores y transistores

72 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Continuemos analizando el circuito oscilador Si igualamos las señales v i y v r, obtenemos lo siguiente: v r = v i (140) Sabemos que la tensión que proviene del bloque de realimentación, v r, es la tensión que hay en la entrada de este bloque, v o, multiplicada por la ganancia β Sustituimos esta tensión v r en la expresión 140 y llegamos a: βv o = v i (141) Pero la señal de salida, v o, es igual a la señal de entrada en la etapa amplificadora multiplicada por la ganancia A Si en este momento suponemos que la señal de entrada es únicamente la señal de realimentación v r, entonces: v o = Av r (142) Y si ahora sustituimos en la expresión 141 obtenemos lo siguiente: Aβv i = v i (143) A partir de aquí llegamos a la condición siguiente para que el circuito pueda continuar funcionando únicamente a partir de la señal que proviene del bloque de realimentación: Aβ = 1 (144) El producto Aβ, como vimos en el subapartado 14, se denomina ganancia de lazo, y cuando este factor es igual a 1 se produce oscilación Esta condición se denomina criterio de Barkhausen y da lugar a las dos condiciones siguientes: El ángulo de desfase entre las señales de entrada y salida en el bloque de realimentación debe ser cero, es decir, la parte imaginaria de la expresión Aβ debe ser igual a cero Esto es equivalente a decir que las señales de entrada y de salida de la red de realimentación deben estar en fase Observad que esta condición se aplica al bloque de realimentación Las señales de entrada y de salida del circuito realimentado pueden o no estar en fase Aβ = 0 (145) Observación Observad que en la ecuación 139 hemos establecido la condición de oscilación como Aβ = 1 Esto es porque la ganancia A r de la ecuación 138 está calculada para el caso de realimentación negativa Si hacemos los cálculos de A r considerando realimentación positiva, llegaremos a A r = A y de ahí obtenemos 1Aβ la condición Aβ = 1 El módulo de la ganancia de lazo, Aβ, debe ser igual a 1 Aβ = 1 (146)

73 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Qué sucede si no se cumple esta condición? Fijaos en la figura 35 Imaginad que tenemos una señal de salida sinusoidal y que de repente cambiamos la ganancia de lazo Aβ y la hacemos menor que 1 Esta situación está representada en la figura 35a Esto significa que cada vez que la señal de salida vuelva a la entrada la estaremos multiplicando por un factor menor que 1 Según vaya pasando el tiempo, nuestra señal sinusoidal se irá desvaneciendo Esto sucede porque estamos trabajando con sistemas dinámicos que proporcionan una respuesta transitoria seguida de la respuesta en régimen permanente Si estuviésemos trabajando con sistemas estáticos, la respuesta del circuito sería directamente la señal de entrada multiplicada por la ganancia de realimentación A r Figura 35 Efectos del factor Aβ sobre la oscilación a) b) Ab < 1 Ab > 1 6,0 6,0 4,0 4,0 2,0 2,0 0,0 0,0-2,0-2,0-4,0-4,0-6,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0-6,0 0,0 2,0 4,0 6,0 4,0 2,0 0,0-2,0-4,0-6,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 c) Ab = 1 Si, por el contrario, esta ganancia Aβ es mayor que 1 (figura 35b), tendremos el efecto contrario y la señal tenderá a incrementar su amplitud indefinidamente, ya que cada vez que se reintroduce la señal en el circuito este tiene una amplitud mayor En el caso de que la ganancia de lazo Aβ sea igual a 1 (figura 35c), la señal de salida se mantiene estable En la práctica, y a causa de diferentes efectos, tanto ambientales como de los propios componentes electrónicos, es muy dificil hacer que el producto Aβ sea exactamente igual a 1 Lo que se recomienda normalmente es que Aβ sea ligeramente superior a 1 Esto nos asegura que la señal de salida se generará Figura 35 Si el valor de Aβ es menor que 1, la amplitud de la oscilación tiende a desvanecerse Si el factor Aβ es mayor que 1, la amplitud de la oscilación tiende a crecer Con un valor de Aβ igual a 1 conseguimos que la oscilación sea estable

74 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores inicialmente y que no se irá desvaneciendo con el tiempo, ya que Aβ > 1 Para asegurar que la señal generada no crezca indefinidamente, se pueden utilizar etapas adicionales que limiten la señal de salida Estas etapas adicionales se denominan circuitos limitadores Nosotros en este módulo consideraremos que la condición de oscilación se da para el valor exacto Aβ = 1 Una vez conocida la condición que se debe dar para obtener una señal periódica en la salida de un oscilador, en el subapartado siguiente estudiaremos diferentes maneras de implementar un circuito oscilador y revisaremos que esta condición se cumple 23 Análisis de los circuitos osciladores En este subapartado se presentan diferentes tipos de osciladores utilizados en la práctica Analizaremos cada uno de los casos y veremos cómo cumplir la condición de Barkhausen y los parámetros más relevantes para cada uno Comenzaremos por los osciladores más sencillos, los formados por bobinas y condensadores, y llegaremos hasta un tipo de oscilador muy utilizado en la práctica: el oscilador de cristal de cuarzo 231 Osciladores LC El primer tipo de oscilador que veremos son los de tipo LC Los osciladores están formados por una etapa amplificadora y una red de realimentación, como hemos visto al inicio de este apartado Para la etapa amplificadora se utilizan normalmente amplificadores operacionales y transistores Respecto a la red de realimentación, utilizaremos bobinas y condensadores, como veremos en los subapartados 232 y 233 Antes de comenzar con el análisis de osciladores LC, recordemos brevemente cómo funcionan las bobinas y los condensadores: 1) Una bobina es un componente eléctrico que es capaz de almacenar energía en forma de campo magnético La bobina se carga cuando aumenta la corriente eléctrica que la atraviesa, mientras que se descarga devolviendo la energía almacenada al circuito cuando la corriente disminuye La impedancia de una bobina recibe el nomnre de reactancia inductiva, X L, y su valor es: Véase también Podéis encontrar información complementaria sobre bobinas y condensadores en el anexo de esta asignatura X L = jωl (147) donde j es la unidad imaginaria y ω, la frecuencia de trabajo Considerando, según la ley de Ohm, que podemos expresar una tensión como producto de

75 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores corriente por impedancia, podemos obtener la tensión en los extremos de la bobina de la manera siguiente: V = X L I = jωli (148) Fijaos en que aparece el término j en el cálculo de la tensión Esto significa que la tensión medida en los extremos de la bobina está avanzada 90 grados respecto a la corriente que la atraviesa Qué sucede cuando le aplicamos una corriente continua, es decir, cuando el término jω es nulo porque la frecuencia de la señal,ω, es cero? En este caso no hay variación de corriente y la impedancia de la bobina X L = jωl es igual a cero cuandoωes cero Entonces la tensión de salida es también cero y la bobina se comporta como un cortocircuito 2) Un condensador es un dispositivo en el que almacenamos energía eléctrica El condensador se carga cuando aumenta la diferencia de potencial entre sus extremos y se descarga cuando esta diferencia de potencial disminuye La impedancia de un condensador recibe el nombre de reactancia capacitiva y su valor es: X C = 1 jωc (149) donde j es la unidad imaginaria y ω, la frecuencia de trabajo Aplicaremos, com lo hemos hecho antes para el caso de la bobina, la ley de Ohm, y obtenemos la expresión siguiente para calcular la tensión en los extremos del condensador: V = X C I = 1 jωc I (150) Aislando la corriente medida en los extremos del condensador encontramos la expresión siguiente para la corriente que atraviesa un condensador: I = jωcv (151) es decir, la corriente que atraviesa el condensador está multiplicada por el factor jω y, por tanto, avanzada 90 grados respecto a la tensión aplicada entre sus extremos Cuando aplicamos una señal constante en un condensador, es decir, una señal conω=0, la impedancia se vuelve infinita y el condensador se comporta como un circuito abierto Una vez repasadas las bobinas y los condensadores, pasemos a ver cómo podemos utilizar estos dos elementos para construir un oscilador de tipo LC

76 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores El oscilador ideal LC Fijaos en la figura 36 Este circuito está formado por un bobina, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor Analicemos ahora cómo se comporta este circuito LC Figura 36 Oscilador LC Figura 36 a) V C L b) V C L El oscilador LC está formado por una fuente de tensión que nos da la energía inicial para poder poner en marcha el oscilador, un condensador y una bobina Inicialmente, como podéis ver en la parte a de la figura 36, conectamos una fuente de alimentación continua al condensador El condensador se va cargando hasta llegar a una tensión máxima V, que es la misma que nos da la fuente de alimentación El circuito se quedará en esta situación de estabilidad hasta el momento en el que movemos el interruptor y conectamos el condensador con la bobina, por lo que queda la fuente de alimentación desconectada Ahora tenemos un lazo formado únicamente por el condensador y la bobina, como podéis ver en la parte b de la figura 36 La bobina, que está inicialmente descargada, se va cargando mediante el condensador, que ha ido acumulando energía mientras estaba conectado a la fuente de alimentación Ahora encontramos la bobina totalmente cargada y el condensador descargado; por tanto, ahora es la bobina la que se descarga y transfiere así su energía al condensador, y así sucesivamente Fijaos en que hemos conseguido generar una señal oscilante sin necesidad de mantener la fuente de alimentación conectada La utilidad de la fuente de tensión es la de proporcionar una tensión inicial al condensador Una vez conseguida, esta energía se mantiene pasando de la bobina al condensador y del condensador a la bobina indefinidamente Este, sin embargo, es el caso de un circuito ideal En la práctica, sabemos que las bobinas y los condensadores no son ideales y que disipan energía a medida que pasa el tiempo Como veremos más adelante, los osciladores reales incluyen elementos activos, como transistores, que son los elementos que proporcionan esta energía Ahora veremos cómo son las señales de entrada y salida en este oscilador Los podéis ver en la figura 37 En la parte superior (figura 37a) se representa la señal de entrada, que es un impulso de tensión de duración finita y que

77 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores sirve para cargar el condensador Fijaos en que mientras hay señal de entrada (figura 37a) el condensador se va cargando según una curva exponencial (figura 37b) Figura 37 Señales generadas por el oscilador LC: tensión de entrada, tensión en el condensador y corriente en la bobina Figura 37 a) 1,2 0,8 0,4 0 v i En un circuito oscilador de tipo LC aplicamos una señal de entrada de duración finita y se generan, tanto en el condensador como en la bobina, señales sinusoidales estables -0,4-0,8-1,2 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 b) 1,2 V c 0,8 0,4 0-0,4-0,8-1,2 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 c) 1,2 I L 0,8 0,4 0-0,4-0,8-1,2 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 Una vez alcanzada la tensión que proporciona la fuente, podemos considerar que el condensador está cargado En el momento en el que desconectamos la fuente de tensión mediante el interruptor y hacemos la conexión entre el condensador y la bobina, el circuito comienza a oscilar Fijaos en la figura 37c La bobina está inicialmente descargada y la corriente que la atraviesa, I L, es nula Una vez conectamos el condensador y desconectamos la fuente de tensión (momento en el que hacemos cero la señal v i ) comienza a circular corriente por ella Fijaos en la tensión V C y la corriente I L que circulan por el circuito LC Cuando la tensión V C es máxima, la corriente I L es cero y de la misma ma-

78 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores nera los máximos de la corriente coinciden con los ceros de tensión A qué se debe este hecho? Pues al hecho de que corriente y tensión están desfasadas 90 grados Ahora ya sabemos cómo podemos construir un oscilador LC ideal a partir de un condensador y de una bobina, pero qué valores de L y C debemos elegir? Y cómo afectarán estos valores al parámetro más importante de un oscilador, que es la frecuencia de oscilación? Recordad que lo que nos interesa de este tipo de circuito es generar una señal periódica con una determinada frecuencia Revisad las expresiones que hemos visto para las impedancias de la bobina (ecuación 147) y el condensador (ecuación 149) Estas impedancias o reactancias dependen de la frecuencia angularω La impedancia de la bobina es la siguiente: La impedancia del condensador es la siguiente: X L = jωl (152) X C = 1 jωc (153) Impedancia, resistencia y reactancia Recordad que en términos genéricos una impedancia es un número complejo formado por una parte real ( resistencia) y por una parte imaginaria reactancia En el caso de bobinas y condensadores, la impedancia tiene únicamente parte imaginaria Por esta razón, podemos hablar indistintamente de impedancia o reactancia de bobinas y condensadores Independientemente de los valores de L y C hay una frecuencia angularωque hace que las impedancias sean iguales y se produzca una máxima transferencia de energía entre la bobina y el condensador Cuando esto sucede se da el fenómeno de la resonancia La frecuencia de resonancia provoca que la amplitud de la señal de salida sea máxima En osciladores LC esto sucede cuando las impedancias de la bobina y del condensador son iguales Para calcular cuál es esta frecuencia, haremos iguales los valores absolutos de las impedancias de la bobina y del condensador De esta manera, obtenemos lo siguiente: X L = X C (154) Ahora sustituimos los valores de estas impedancias y las igualamos En este caso obtenemos la ecuación siguiente: jωl = 1 jωc (155)

79 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores El valor j representa el valor unitario del eje imaginario de la impedancia Al trabajar con módulos, y dado que solo tenemos este componente imaginario sin parte real, llegamos a la igualdad siguiente: ωl = 1 ωc (156) Ahora debemos aislar la frecuencia angularωde la manera siguiente: ω 2 = 1 LC (157) Y llegamos a la expresión siguiente: ω = r 1 LC (158) Teniendo en cuenta que la relación entre la frecuencia lineal f y la frecuencia angularωes la siguiente: ω = 2πf (159) Podemos calcular la frecuencia de oscilación de un oscilador LC ideal como sigue: f = 1 2π LC (160) Como hemos indicado al principio de este subapartado, en la práctica las bobinas y los condensadores no son ideales, y por tanto no pueden mantener la señal de salida indefinidamente A continuación veremos dos tipos de osciladores que incluyen elementos activos: el oscilador de Hartley y el oscilador de Colpitts En particular estos osciladores utilizan transistores Oscilador de Hartley Véase también Los transistores los veremos con detalle en el módulo El transistor de esta asignatura Para este módulo observad cómo está hecha la red de realimentación y cómo podemos calcular la frecuencia de salida de la señal generada El oscilador de Hartley es un oscilador con una red de realimentación de tipo LC Lo podéis ver en la figura 38 La etapa amplificadora, señalada en la figura con este nombre, está formada por un dispositivo denominado transistor bipolar En este subapartado consideraremos este dispositivo como lo hemos hecho hasta ahora, es decir, como un dispositivo que proporciona una ganancia A Véase también En el módulo El transistor estudiaréis con más detalle los transistores bipolares

80 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 38 Oscilador LC de Hartley Etapa amplificadora Red de realimentación Figura 38 El oscilador de Hartley tiene como etapa amplificadora un transistor bipolar y como red de realimentación una bobina y un condensador C L variable La red de realimentación, también señalada en la figura con este nombre, está compuesta por un condensador y una bobina con un valor que se puede modificar Modificando el valor de esta bobina podemos ajustar la frecuencia de salida Observad que la red de realimentación contiene una bobina y un condensador, como en el caso del oscilador LC que hemos visto en el subapartado 231 Por el mismo razonamiento que hemos hecho ahí, la frecuencia de oscilación estará determinada por la misma expresión que ya hemos visto (ecuación 160) La frecuencia de oscilación del oscilador de Hartley es: f = 1 2π LC (161) En este caso, la inductancia L es un parámetro que podemos variar para conseguir una determinada frecuencia de oscilación En el caso del oscilador LC esta frecuencia era fija una vez elegidos los componentes El oscilador de Hartley se utiliza para generar señales en altas frecuencias Oscilador de Colpitts En este subapartado estudiaremos otro oscilador que, como en el caso del oscilador de Hartley que acabamos de ver, está formado por un transistor bipolar como etapa amplificadora y bobinas y condensadores como red de realimentación El oscilador de Colpitts, tal como podéis ver en la figura 39, es similar al oscilador de Hartley En este caso, sin embargo, la bobina tiene un valor constante (en el oscilador de Hartley la bobina es variable) y se utiliza un divisor de ten-

81 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores sión formado por las capacidades C 1 y C 2 (en el oscilador de Hartley hay una única capacidad, C, constante) Figura 39 Oscilador LC de Colpitts Figura 39 Etapa amplificadora Red de realimentación El oscilador de Colpitts tiene como etapa amplificadora un transistor bipolar y como red de realimentación una bobina y dos condensadores L C 1 C 2 Este oscilador se utiliza para generar frecuencias por encima de 1 MHz y es más estable, es decir, nos da unas frecuencias más concretas que el oscilador de Hartley para frecuencias por encima de los 30 MHz La frecuencia de oscilación, como hemos visto para los osciladores LC ideales y de Hartley, también es en este caso: f = 1 2π LC (162) pero ahora la capacidad para considerar está determinada por la asociación en serie de C 1 y C 2, es decir C = C 1C 2 C 1 C 2 (163) En este subapartado hemos estudiado el oscilador ideal LC y hemos visto cómo podemos utilizar este circuito como red de realimentación para construir los osciladores de Hartley y de Colpitts Hemos visto que este tipo de osciladores se utiliza para generar frecuencias altas En los subapartados 232 y 233 veremos una segunda familia de osciladores, los que incluyen en la red de realimentación resistencias y condensadores Por esta razón, este tipo de osciladores se denominan osciladores de tipo RC y se utilizan, en general, para obtener señales de frecuencias bajas

82 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores 232 Oscilador RC por desplazamiento de fase En este subapartado veremos el primero de los dos osciladores de tipo RC más ampliamente utilizados En la figura 40 se muestra el diagrama de bloques del oscilador denominado RC por desplazamiento de fase Como podéis observar, el circuito consta de un bloque amplificador con ganancia A y una red de realimentación formada por resistencias y condensadores Consideraremos la ganancia A como una constante que caracteriza el bloque amplificador A continuación, vamos a calcular cuál es la gananciaβque introduce la red de realimentación Esta ganancia es la relación entre la tensión de salida y la tensión de entrada a la red de realimentación, es decir: β = vr v i (164) Recordad que una ganancia siempre es la relación entre la señal de salida dividida entre la señal de entrada y que en este caso v o y v r son las tensiones de entrada y salida, respectivamente, de este bloque Figura 40 Oscilador RC para desplazamiento de fase v r Amplificador A v o C C C R R R i 3 i 2 i 1 Red de realimentación β Para analizar la red de realimentación, utilizaremos la ley de Kirchhoff de las tensiones, que nos dice que la suma de tensiones en cada malla o lazo cerrado de la red debe ser cero Apliquemos, pues, la ley de Kirchhoff de las tensiones a cada una de las tres mallas que forman el circuito de realimentación Observad que la impedancia del condensador se expresa como Z C Comencemos por la primera malla, la que contiene la corriente i 1 en la figura 40 Haciendo que la suma de tensiones a lo largo de la malla sea cero llegamos a la expresión siguiente: Véase también En el anexo de esta asignatura podéis encontrar más información sobre las leyes de Kirchhoff i 1 Z C (i 1 i 2 )R v o = 0 (165) Fijaos en que v o es la tensión de salida del circuito y también es la tensión que corresponde al conjunto resistencia-condensador de esta primera malla

83 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Aplicamos ahora la ley de Kirchhoff de tensiones a la segunda malla, la que contiene i 2, y llegamos a: (i 2 i 1 )R i 2 Z C R(i 2 i 3 ) = 0 (166) Si hacemos lo mismo para la tercera malla, llegamos a la ecuación siguiente: R(i 3 i 2 ) i 3 Z C i 3 R = 0 (167) Podemos poner estas ecuaciones en forma matricial para poder resolver el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas por el método de Cramer: Z C R R 0 R 2R Z 6 C R R Z C R i 1 i 2 i v o = (168) La tensión de salida del bloque de realimentación, v r, es la tensión que entra en la etapa amplificadora y, si os fijáis en la figura 40, es también la tensión que corresponde a la resistencia R que se encuentra en la salida de la red de realimentación, y esta tensión es: Método o regla de Cramer La regla de Cramer nos permite encontrar la solución de un sistema lineal de ecuaciones utilizando determinantes La incógnita x j se calcula como la división de los determinantes de las matrices A j y A, es decir, x j = A j A es la matriz de A coeficientes de las incógnitas y A j es la misma matriz, pero ahora hemos sustituido la columna j por el vector de términos independientes v r = i 3 R (169) Por tanto, para encontrar v r deberíamos encontrar primero la corriente i 3 Si partimos de la expresión 168 y aplicamos la regla de Cramer, podemos deducir este valor de la manera siguiente: Z C R R v o R Z C 2R 0 0 R 0 v i 3 = or 2 = (Z C R)[(Z C 2R) 2 R 2 ] R 2 (Z C 2R) Z C R R 0 R Z C 2R R 0 R Z C 2R (170) Y ahora ya podemos encontrar la tensión de realimentación v r a partir de la corriente i 3 según la expresión 169: v r = i 3 R = v or 3 (Z C R)[(Z C 2R) 2 R 2 ] R 2 (Z C 2R) (171) Si ahora hacemosβ=v r/v o llegamos a la expresión siguiente: β = R 3 Z 3 C 5Z2 C 6Z CR 2 R 3 (172)

84 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Ya tenemos calculada la ganancia β de la red de realimentación La ganancia de la etapa amplificadora es A, como podéis ver en la figura 40 Vamos ahora a aplicar el criterio de Barkhausen para que nuestro circuito realimentado se comporte como un oscilador Hemos visto este criterio en el subapartado 22, y nos dice que para que el circuito con realimentación se comporte como un oscilador la ganancia de lazo, Aβ, debe ser igual a 1 Esta restricción incluye las dos condiciones siguientes: El ángulo de la ganancia de lazo, Aβ, debe ser nulo Esto significa que la parte imaginaria de este producto, Aβ, debe ser cero El módulo de la ganancia de lazo, Aβ, debe ser igual a 1 Vamos, pues, a aplicar estas condiciones a la ganancia de retorno Supondremos aquí que A es un valor real y constante La gananciaβla hemos encontrado mediante la expresión 172 La ganancia de lazo, producto Aβ, la podemos expresar como sigue: Aβ = AR 3 Z 3 C 5Z2 C 6Z CR 2 R 3 (173) La parte imaginaria de esta expresión es la que incluye términos en jω Los nombres reales (aquí los términos que dependen únicamente de la resistencia R o la ganancia A) no tienen parte imaginaria Los términos que dependen de Z 2 C tampoco tienen parte imaginaria, ya que j2 = 1 Por tanto, únicamente tienen parte imaginaria los términos que dependen de Z C (recordad que la impedancia de un condensador se expresa como Z C = 1 jωc, como hemos visto en la ecuación 149) o de Z C elevado a un exponente impar (como ZC 3 ) Figura 41 Ejemplo de número complejo Figura 41 B Im(j) AjB Re Los números complejos tienen la forma A jb y están formados por una parte real y una parte imaginaria La parte real corresponde a la proyección del número complejo sobre el eje real, la parte imaginaria corresponde a la proyección del número complejo sobre el eje imaginario y va siempre acompañada del término j A

85 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores 1) Queremos que la parte imaginaria de la ecuación 173 sea cero, es decir: " # AR 3 Im ZC 3 5Z2 C R 6Z = 0 (174) CR 2 R 3 Teniendo en cuenta que solo los términos en Z c y en Z 3 c contribuyen a la parte imaginaria, esta ecuación se puede simplificar y queda así: Im[Z 3 C 6Z C R 2 ] = 0 (175) Suma de números complejos La suma de dos números complejos es otro número complejo con parte real igual a la suma de las partes reales de los números complejos por sumar y con parte imaginaria igual a la suma de las partes imaginarias de los nombres complejos por sumar Es decir, la suma de A jb y C jd es (A C) j(b D) Sustituyendo Z C por su valor 1/(jωC) llegamos a: 1 ω 3 C 3 6R2 ωc = 0 (176) Reordenando la expresión 176 llegamos a la ecuación siguiente: 1 ω 3 C 3 = 6R2 ωc (177) Si ahora invertimos las dos fracciones de la igualdad de la ecuación 177 obtenemos la expresión siguiente: ω 3 C 3 1 = ωc 6R 2 (178) Término Z 2 C Observad que Z C = 1 es un jωc término imaginario, ya que únicamente tiene componente en jω El término ZC 2 es igual a 1 j 2 ω 2 C 2 Recordad que j se define como j = 1; por tanto j 2 = 1 y ZC 2 = 1 ω 2 C Ved cómo esta última expresión 2 es real y no depende del término imaginario j En la expresión 178 podemos simplificar unaωyuna C, ya que aparece multiplicando a los dos lados de la igualdad Llegaremos a la expresión siguiente: ω 2 C 2 1 = 1 6R 2 (179) Si aislamos la frecuencia angularωen esta expresión llegaremos a: ω = 1 6R2 C = 1 (180) 2 6RC Así, la frecuencia de funcionamiento del oscilador estará determinada por los valores de la resistencia y el condensador 2) La segunda parte del criterio de Barkhausen nos dice que el módulo de la ganancia Aβ debe ser igual a 1, tal como hemos visto en el subapartado 22 Recordad ahora la ecuación de la ganancia de lazo para este circuito (ecuación 173) Con la primera parte del criterio de Barkhausen hemos hecho que

86 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores la parte imaginaria de esta expresión sea cero Así, en la expresión de la ganancia de lazo solo quedan los términos que son números reales, ya que todo lo que depende de jω lo hemos hecho cero para cumplir la primera parte del criterio de Barkhausen Así, partiendo de la ecuación siguiente (ecuación 173): Aβ = AR 3 Z 3 C 5Z2 C 6Z CR 2 R 3 (181) Y haciendo la parte imaginaria igual a cero, como hemos hecho con la expresión 174: " # AR 3 Im ZC 3 5Z2 C R 6Z = 0 (182) CR 2 R 3 Nos quedan los términos siguientes, que serán puramente reales: AR 3 5ZC 2 R3 = 1 (183) Sabemos que Z 2 C = 1 ω 2 C 2 Por tanto, llegamos a la expresión siguiente: AR 3 R R ω 2 C 3 = 1 (184) 2 5 Sustituimosωpor el valor que hemos encontrado en la expresión 180 y obtenemos lo siguiente: AR R R 3 = 1 (185) 6R 2 C 2 C2 Y operando sobre esta última expresión llegamos a la ecuación siguiente: AR 3 30R 3 R 3 = 1 (186) Aquí podemos simplificar la ecuación eliminando el término R 3 y llegamos al siguiente: A 30 1 = 1 (187) Así, A puede tomar dos posibles valores, 29 y 29, ya que ambos hacen cumplir el criterio de Barkhausen para el módulo de la ganancia de retorno, que debe ser igual a 1 Dado que la solución A = 29 introduce un desfase adicional de 180 grados en la solución, nos quedamos con el valor siguiente de A:

87 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores A = 29 (188) Observad que la ganancia obtenida para el bloque amplificador es una constante y no depende de los elementos pasivos del circuito, es decir, de las resistencias y condensadores Si como, hemos visto en la figura 35 del subapartado 22, el valor de A es más pequeño que 29, el término Aβ será menor que 1 y, por tanto, la señal de salida tenderá a desvanecerse Si, en cambio, el valor de A es mayor que 29, el término Aβ será mayor que 1 y la señal de salida tenderá a crecer Es precisamente este valor de ganancia A = 29 el que nos proporciona una señal de salida sinusoidal estable y con amplitud y frecuencia estables Observación En términos de números complejos un número negativo se puede ver como un número real positivo desfasado 180 grados y que dibujaríamos en la parte negativa del eje real 233 Oscilador RC en puente de Wien Los osciladores RC por desplazamiento de fase son sencillos de implementar y funcionan fácilmente, pero uno de los problemas más graves que presentan es el de la estabilidad de la frecuencia de salida Para aplicaciones que requieran una precisión mayor en la frecuencia, podemos utilizar el oscilador en puente de Wien, que incrementa esta estabilidad de la señal de salida Este oscilador se utiliza típicamente para aplicaciones de audio y otras aplicaciones de frecuencias medias y bajas hasta 1 MHz En la figura 42 podéis ver el esquema de bloques de este oscilador Figura 42 Figura 42 Oscilador en puente de Wien v i v r C R Amplificador A C R vo Red de realimentación Puente de Wien β El oscilador en puente de Wien está formado por una etapa amplificadora con ganancia A y una red de realimentación con ganancia β, que es un puente de Wien Este puente de Wien está formado por una rama con un condensador y una resistencia en serie y otra rama con un condensador y una resistencia en paralelo Max Wien Como podéis ver, este oscilador está formado por un amplificador con ganancia A y una red de realimentación formada por una resistencia y un condensador en serie conectadas con otra resistencia y un condensador en paralelo Esta red de realimentación también recibe el nombre de puente de Wien porque fue desarrollada por Max Wien Fue un físico alemán y director del Instituto de Física de la Universidad de Jena Llevó a cabo diferentes trabajados sobre corrientes y oscilaciones eléctricas El puente de Wien data del año 1891 Comenzaremos analizando el puente de Wien, que es la parte que aparece recuadrada en la figura 42 y que actúa como red de realimentación La ganancia de este bloque,β, es la fracción de señal de salida del bloque amplificador que se reintroduce en el circuito una vez atravesada la red de realimentación Observad que el puente de Wien actúa como un divisor de tensión Véase también Podéis encontrar información complementaria de los divisores de tensión en el anexo de esta asignatura

88 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores La tensión v r de realimentación es la tensión que hay en el condensador y en la resistencia que se encuentran en paralelo La impedancia equivalente de estos dos elementos en paralelo, Z p, es el producto dividido entre la suma de las impedancias individuales: Z p = RZ C R Z C (189) La impedancia total de la malla es la suma de las impedancias R y C en serie más la impedancia equivalente de la rama en paralelo, Z p, que acabamos de encontrar con la expresión 189 Z tot = R Z C RZ C R Z C (190) La porción de señal de entrada que corresponde a la rama en paralelo (y, por tanto, la gananciaβque estamos buscando) es la impedancia de esta rama dividida entre la impedancia total, ya que la malla formada por R, C y Z p es un divisor de tensión: β = RZ C RZ C R Z C RZC RZ C (191) Multiplicando numerador y denominador de esta expresión por R Z C llegamos a: RZ β = C R 2 3RZ C ZC 2 (192) Dividimos numerador y denominador por el término Z C y llegamos a: R β = (193) R 2 Z C 3R Z C Recordad que la impedancia de un condensador es, según la expresión 149: Z C = 1 jωc (194) Sustituimos la expresión de la impedancia del condensador en la ecuación 193 y llegamos a la ecuación siguiente: β = R R 2 jωc 3R 1 jωc (195)

89 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Reordenando la ecuación anterior obtenemos lo siguiente: β = R 3R j(r 2 ωc 1 ωc ) (196) Por tanto, la ganancia de lazo, Aβ, es: Aβ = AR 3R j(ωr 2 C 1 ωc ) (197) Aplicamos ahora el criterio de Barkhausen como hemos visto en el subapartado 22: 1) Debemos hacer, en primer lugar, que la parte imaginaria de la ganancia de lazo sea nula: ωr 2 C 1 ωc = 0 (198) Criterio de Barkhausen Recordad que debemos aplicar el criterio de Barkhausen, que nos dice que Aβ debe ser igual a 1 para conseguir que el circuito con realimentación se comporte como un oscilador y así encontramos la frecuencia de oscilación del circuito: ω = 1 RC (199) y en términos de frecuencia y recordando queω=2πf llegamos a: f = 1 2πRC (200) Frecuencias angular y lineal 2) La segunda parte del criterio de Barkhausen nos dice que la ganancia de lazo, una vez hemos hecho nula la parte imaginaria, debe ser igual a 1 Dado que hemos hecho la parte imaginaria de la ganancia de lazo igual a cero, únicamente nos quedan los términos reales Es decir, nuestra ganancia de lazo es ahora: Aβ = AR 3R Igualando el módulo de esta expresión a 1 encontramos lo siguiente: (201) AR 3R = 1 (202) La frecuencia angular,ω, medida en radianes por segundo, nos indica cómo varía el ángulo de una señal representada en el plano complejo Cada 2π radianes, la señal de salida da una vuelta entera al plano complejo La frecuencia lineal, f, se expresa en hercios y nos indica el número de vueltas dado por la señal representada en el plano complejo por unidad de tiempo Por esta razón ω = 2πf Aislamos la ganancia de la etapa amplificadora, A, en esta última expresión, y obtenemos que A = 3 Ejemplo 5 Calculad las frecuencias máxima y mínima de oscilación considerando que las resistencies del puente de Wien son dos potenciómetros que varían siempre al mismo tiempo y

90 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores tienen el mismo valor Los valores mínimo y máximo son 1 kω y 100 kω Los condensadores tienen una capacidad de 0,01µF Solución Comencemos calculando la frecuencia mínima de oscilación Según la expresión 200 la frecuencia de oscilación es inversamente proporcional a los valores de R y C Así, la frecuencia mínima se da cuando el valor de la resistencia R es el máximo f min = 1 = 15,9 Hz (203) 2π(100kΩ)(0,01µF) Si utilizamos la misma expresión para calcular la frecuencia máxima de oscilación y sustituimos el valor de R por el valor más pequeño dado en el enunciado, llegaremos al resultado siguiente para la frecuencia máxima: f max = 1 = 159,2 khz (204) 2π(1kΩ)(0,01µF) Con este ejemplo acabamos el estudio de los osciladores RC en puente de Wien En el subapartado 23 hemos visto dos tipos básicos de osciladores: Osciladores LC (subapartado 231) En particular hemos visto el oscilador LC ideal y los osciladores de Hartley y Colpitts Estos osciladores se utilizan muy a menudo para trabajar en frecuencias altas Osciladores RC En particular hemos visto el oscilador RC por desplazamiento de fase (subapartado 232) y el puente de Wien (subapartado 233) Estos osciladores se utilizan muy a menudo para trabajar en frecuencias medias y bajas Uno de los problemas más frecuentes que presentan los osciladores que acabamos de ver es el de la precisión de la frecuencia de salida Esta precisión dependerá de cada aplicación Existe, por otra parte, un compromiso entre precisión y coste: cuanta más precisión necesitemos, más alto será el coste de los circuitos osciladores Para aplicaciones en las que la precisión sea un factor crítico, utilizaremos un tipo de oscilador específico: el oscilador de cristal de cuarzo En el subapartado siguiente lo vemos con más detalle 24 Los osciladores en el mundo real: el cristal de cuarzo Como acabamos de ver, la mayoría de los osciladores de tipo LC y RC que hemos estudiado son fáciles de implementar Como contrapartida, sin embargo, presentan ciertos problemas de precisión El oscilador de cristal de cuarzo está diseñado para proporcionar una máxima precisión en la frecuencia de salida En este subapartado veremos con detalle este tipo de osciladores Los osciladores de cristal de cuarzo proporcionan la frecuencia más exacta y precisa de los circuitos que hemos estudiado hasta ahora Cuando en una

91 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores aplicación determinada esta precisión sea crítica, utilizaremos los osciladores de cristal de cuarzo Normalmente se utilizan para hacer relojes muy precisos y aplicaciones de sincronización Comenzaremos este subapartado explicando cuál es el efecto piezoeléctrico y cómo lo podemos utilizar para generar vibraciones en ciertas frecuencias A continuación veremos cómo podemos modelizar un cristal de cuarzo con componentes eléctricos que ya conocemos: bobinas, condensadores y resistencias Este modelo nos permitirá poder analizar circuitos en los que esté presente un cristal de cuarzo También nos permitirá ver cuáles son las frecuencias que se pueden generar con un cristal de cuarzo y cómo podemos seleccionar una concreta Para finalizar este subapartado, veremos algunas limitaciones que tienen los osciladores de cristal de cuarzo 241 El efecto piezoeléctrico Los osciladores de cristal son circuitos electrónicos que utilizan la propiedad piezoeléctrica que tienen algunos cristales, ya sean naturales o sintéticos El efecto piezoeléctrico consiste en que cuando aplicamos una fuerza mecánica entre las caras del cristal se genera una diferencia de potencial entre estas mismas caras Este efecto es reversible, de manera que si aplicamos una diferencia de potencial entre las caras del cristal, se generan fuerzas mecánicas que deforman el material Imaginad ahora que aplicamos un potencial eléctrico entre las caras del cristal Este potencial podría consistir en una tensión alterna Qué sucede entonces desde el punto de vista mecánico? Pues que las fuerzas mecánicas que se generan debidas al estímulo eléctrico generan una vibración que reproduce de manera muy precisa la frecuencia de la señal de entrada En la figura 43 podéis ver qué sucede dentro del cristal cuando aplicamos una fuerza o una señal eléctrica, respectivamente Figura 43 Efecto piezoeléctrico y piezoeléctrico inverso Figura 43 V V El efecto piezoeléctrico produce, cuando aplicamos una fuerza mecánica sobre un material de este tipo, una separación de cargas y un potencial eléctrico Y al revés, cuando aplicamos un potencial eléctrico el material se deforma como si hubiésemos aplicado una fuerza mecánica El efecto piezoeléctrico permite obtener un potencial eléctrico cuando aplicamos una fuerza mecánica a un cristal o una deformación mecánica cuando aplicamos un potencial eléctrico

92 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Pero por qué se produce el efecto piezoeléctrico? Cuando aplicamos una fuerza mecánica entre las caras del cristal se produce una separación de cargas eléctricas dentro del material y este es capaz de generar una diferencia de potencial en respuesta a esta fuerza Recíprocamente, cuando aplicamos una diferencia de potencial, la separación de cargas genera unas fuerzas internas dentro del material que lo llegan a deformar Algunos de los cristales naturales con esta propiedad son el cuarzo, la turmalina o las sales de Rochelle Dado que los cristales de cuarzo presentan una buena relación entre coste, resistencia del material y efectividad piezoeléctrica, se utilizan ampliamente para la fabricación de circuitos de radiofrecuencia y filtros El cristal de cuarzo que encontramos de manera natural tiene forma de prisma hexagonal y para que sea utilizable en circuitos electrónicos hay que cortarlo en láminas rectangulares Una vez cortado se introduce entre dos láminas de metal y es entre estas dos láminas donde aplicaremos la señal eléctrica de entrada La vibración del cristal de cuarzo, es decir, la frecuencia de salida, reproduce la frecuencia de la señal de entrada que estamos aplicando Si tomamos un cristal de cuarzo y aplicamos un potencial eléctrico entre sus caras, obtendremos que el cristal oscila a aquella frecuencia y nos da una cierta amplitud de oscilación Si hacemos la prueba y aplicamos varias frecuencias de señal eléctrica en el cristal, veremos que para algunas frecuencias el cristal oscila con más amplitud que para otras Existen también otras frecuencias para las que el cristal no oscilará La frecuencia de la señal de entrada que nos da un máximo en la amplitud de la señal de salida se denomina frecuencia de resonancia La frecuencia de resonancia es aquella frecuencia de la señal de entrada que genera una amplitud máxima en la señal de salida Es decir, que proporciona una vibración del cristal de cuarzo máxima Esta frecuencia depende de las características físicas de cada material y del espesor del cristal que utilicemos Cuanto más amplia es la pieza de cristal, más pequeña es su frecuencia de resonancia y al revés, cuanto más estrecha es, resonará a frecuencias más elevadas De esta manera, podemos controlar en el proceso de fabricación o corte de la pieza cuál queremos que sea esta frecuencia El fenómeno de la resonancia se da en ciertas frecuencias y en los múltiples enteros de estas frecuencias La primera frecuencia en la que encontramos el fenómeno de resonancia se llama frecuencia fundamental o mínima El resto de las frecuencias que aparecen por encima de la fundamental, también denominadas sobretonos, son múltiples enteros de la frecuencia fundamental Resonancia El fenómeno de la resonancia en los cristales de cuarzo se da únicamente en ciertas frecuencias concretas y en sus múltiples enteros

93 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Así, por ejemplo, si aplicamos una señal eléctrica a un cristal y vemos que este genera una frecuencia mecánica máxima a 1 MHz, sabemos que si aplicamos señales al cristal a 2 MHz, 3 MHz, etc, estos también proporcionarán vibraciones de salida máximas Podemos calcular la frecuencia fundamental, f o, de un cristal a partir de la expresión siguiente: f o = K t (205) En esta ecuación el parámetro t representa el espesor del cristal El parámetro K es una característica del cristal que estará determinada por sus especificaciones: tipo de material, forma de corte o temperatura Entre estas variables, la temperatura tiene un efecto muy relevante en la frecuencia de oscilación del cristal Un cambio grande de temperatura puede hacer variar la frecuencia de oscilación, tal como se indica a continuación: f = Kf o C (206) donde f o es la frecuena fundamental del cristal de cuarzo medida en MHz, K el coeficiente del cristal y C la variación de temperatura en grados Celsius Variación de un parámetro f representa la variación de frecuencia que se da entre las situaciones finales e inicial Siempre que queramos representar una diferencia entre dos valores de una magnitud, emplearemos este símbolo seguido de la magnitud en cuestión El factor t, como acabamos de ver, representa el espesor de la pieza, tal como podéis ver en la figura 44 Para conseguir frecuencias de resonancia altas deberemos cortar un cristal muy estrecho En la práctica esto tiene un límite, ya que cuanto más estrecho sea el cristal también será más fragil, y habitualmente encontraremos cristales de cuarzo que funcionan adecuadamente hasta los 10 MHz de frecuencia fundamental Utilizando frecuencia de sobretono podemos llegar hasta los 100 MHz Para frecuencia más altas, deberemos utilizar otros tipos de cristal más adecuados o sintetizadores de frecuencia digitales Figura 44 Cristal de cuarzo utilizado en circuitos electrónicos Cristal de cuarzo Frecuencias fundamentales y de sobretono La primera frecuencia en la que encontramos que la vibración del cristal es máxima es la denominada frecuencia fundamental Las frecuencias de sobretono son múltiples enteros de la frecuencia fundamental y en estas frecuencias también aparecen máximos de vibración para los cristales con efecto piezoeléctrico Contactos Figura 44 t (grosor) Terminales El cristal de cuarzo utilizado en circuitos electrónicos queda caracterizado por su espesor, t, y una constante que depende del material Veamos un ejemplo para ilustrar cómo podemos encontrar esta frecuencia de resonancia de un cristal de cuarzo

94 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Exemple 6 Calculad la frecuencia fundamental de un cristal de cuarzo con un espesor de 10 µm y un coeficiente K = 10 Cómo varía la frecuencia si se produce un incremento de temperatura de 10 grados? Y si se produce una disminución de la temperatura de 5 grados? Solució Comenzamos aplicando la fórmula que nos da la frecuencia fundamental del cristal en función del factor K y del espesor del cristal, t Como habíamos visto mediante la expresión 205, podemos encontrar esta frecuencia fundamental como sigue: f o = K t = 10 = 10 MHz (207) Si ahora se produce un incremento de temperatura de 10 grados, se producirá un cambio en la frecuencia fundamental, ya que esta depende de la temperatura La variación de frecuencia respecto a la frecuencia fundamental calculada antes está determinada por la expresión 206: f = Kf o C = = 1 khz (208) Por tanto, la frecuencia de salida será la que se ha calculado inicialmente más la variación que se ha producido por el cambio de temperatura, es decir: f o = fo f = 10,001 MHz (209) Veamos ahora qué sucede si se produce una disminución de temperatura de 5 grados En este caso la variación de frecuencia es: f = Kf o C = = 500 Hz (210) Y la nueva frecuencia de oscilación es ahora la siguiente: f o = fo f = 9,9995 MHz (211) Observad que en este caso, dado que la temperatura disminuye, la variación de frecuencia es negativa y obtenemos una frecuencia más pequeña que la inicial 242 Modelo eléctrico del cristal de cuarzo Acabamos de ver qué es un oscilador de cristal y cómo podemos calcular el parámetro fundamental: la frecuencia fundamental de resonancia que genera el cristal También hemos visto cómo se comporta el cristal de cuarzo cuando varía la temperatura En este subapartado veréis un modelo de cristal de cuarzo modelizado con componentes eléctricos que ya conocemos: condensadores, bobinas y resistencias A partir de este modelo estudiaremos con detalle el comportamiento del oscilador Podéis ver este modelo genérico equivalente en la figura 45, donde modelizamos el cristal de cuarzo con una capacidad C o en paralelo con un condensador, una bobina y una resistencia que se encuentran en serie

95 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 45 Modelo eléctrico de un cristal de cuarzo C o C L R Figura 45 Podemos modelizar un cristal de cuarzo mediante una rama formada por un condensador, una resistencia y una bobina en serie y otra rama en paralelo a la primera formada por una capacidad que denominamos C o Veamos ahora el comportamiento del cristal En estado de reposo, es decir, cuando el cristal no está vibrando, y dado que estamos hablando de un material dieléctrico que separa dos láminas de metal, el modelo equivalente es el de un condensador con capacidad C o, también denominada capacidad de encapsulamiento En estado de vibración aparece en el modelo una rama en paralelo a esta capacidad de encapsulación formada por una bobina, una capacidad y una resistencia Estos elementos representan las propiedades siguientes del cristal: La inductancia L representa el equivalente eléctrico de la masa La capacidad C modela la conformación o distribución geométrica de las partes del cristal La resistencia R representa las fuerzas de fricción interna y pérdidas del material Analicemos ahora cuál es la frecuencia de resonancia del modelo equivalente que se alcanza cuando las reactancias, o partes imaginarias de la impedancia, se compensan y se anulan Calcularemos las frecuencias de resonancia para los dos casos siguientes: Frecuencia de resonancia en serie, f s, que es la frecuencia de resonancia de la rama RLC Frecuencia de resonancia en paralelo, f p, correspondiente a la frecuencia de resonancia de todo el lazo Para el cálculo de estas dos frecuencias necesitaremos obtener primero la impedancia de entrada del circuito Recordad que la impedancia de un condensador en función de la frecuencia de la señal de entrada se obtiene a partir de la expresión siguiente, como habíamos visto en el subapartado 231: Z C = 1 jωc = 1 j2πfc (212) Véase también Podéis encontrar información adicional sobre las impedancias de condensadores y bobinas en el anexo de esta asignatura

96 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores dondeωes la frecuencia angular en radianes por segundo, f es la frecuencia en hercios y C la capacidad medida en faradays La reactancia capacitiva (parte imaginaria de la impedancia, en este caso la impedancia es únicamente imaginaria) cuantifica la resistencia que introduce el condensador al paso de los electrones Cuanto más alta es la frecuencia, más fácilmente pasan los electrones La impedancia de la bobina se puede obtener a partir de la expresión siguiente: Z L = jωl = j2πfl (213) dondeωes la frecuencia angular expresada en radianes por segundo, f es la frecuencia de la señal de entrada en hertzios y L es la inductancia medida en henrys La reactancia inductiva cuantifica la resistencia que se introduce en las variaciones de corriente Cuanto más varía la corriente que atraviesa una bobina, más resistencia opone esta Impedancia, resistencia y reactancia La impedancia de un elemento electrónico tiene una parte real, que es la resistencia, y una parte imaginaria, que es la reactancia Hay dispositivos, como las resistencias, en los que toda la impedancia es real (no tienen parte imaginaria) Otros dispositivos, como bobinas y condensadores, tienen una impedancia puramente imaginaria, es decir, reactancia Para calcular la impedancia de entrada de nuestro modelo de oscilador tomamos en primer lugar la rama RLC En este caso, las impedancias de cada elemento están en serie y la impedancia total equivalente de esta rama del circuito es la suma de las impedancias individuales: Z s(jω) = Z R Z L Z C (214) Ahora sustituimos cada impedancia por su valor y llegamos a la expresión siguiente: 1 Z s(jω) = R jωl j ωc (215) Multiplicamos y dividimos el término que incluye la bobina por ωc para poder operar sobre la parte imaginaria de la impedancia y obtenemos lo siguiente: Z s(jω) = R ω2 LC 1 ωc j (216) En la práctica, el término de la ecuación 216 donde aparece la resistencia R es mucho menor que el término imaginario y, por tanto, podemos considerar que no influye en el cálculo de la impedancia de la rama en serie Estos valores prácticos son de un centenar de ohms para la resistencia R, unos pocos henrys para la inductancia L y en torno de picofaradays para la capacidad C Veamos un ejemplo donde aparecen valores habituales para R, L y C Ejemplo 7 Calculad la impedancia de la rama en serie de un circuito modelo de cristal de cuarzo para los valores siguientes: R = 100Ω L = 1 H, C = 1 pf Haced los cálculos para una frecuencia de 1 MHz

97 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Solución Aplicamos la expresión 216, que nos da la impedancia de la rama en serie de oscilador y llegamos al resultado siguiente: Z s(jω) = R ω2 LC 1 j = 100 4π ωc 2π j = 100 2, j (217) Como podéis ver, el término real que aparece en la ecuación 217 y que corresponde a la resistencia es mucho más pequeño que el término imaginario que depende de la frecuencia (de la bobina y del condensador) Por esta razón y para simplificar los cálculos, podemos considerar que la resistencia no tiene efecto sobre el cálculo de la impedancia de la rama en serie, y podemos aproximar la ecuación 216 por la expresión siguiente: Z s(jω) ω2 LC 1 ωc j (218) Vamos a ver ahora cuál es la impedancia de la rama paralela que está compuesta por el condensador con capacidad C o La impedancia de este condensador es la siguiente: Z p(jω) = 1 ωc o j (219) Una vez tenemos la impedancia de las dos ramas, calcularemos la impedancia total del modelo del oscilador de cristal de cuarzo Recordad que el equivalente de dos impedancias en paralelo es el inverso de la suma de los inversos, y que para el caso de dos elementos esta expresión deriva en producto dividido entre suma: Z T (jω) = Zs(jω)Zp(jω) Z s(jω) Z p(jω) (220) Si tomamos las expresiones par Z s(jω) y Z p(jω) que hemos encontrado en las ecuaciones 218 y 219, llegamos a la expresión siguiente: 2 Z T (jω) = (ω LC1 ωc j)( 1 ( ω2 LC1 ωc ωc o j) j) ( 1 ωc o j) (221) Operando sobre la expresión anterior obtenemos lo siguiente: Z T (jω) = ω 2 LC1 ω 2 CC o ω 2 LCC oc oc ωcc o j (222)

98 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Simplificamos el términoωcc o que aparece tanto en el numerador como en el denominador: Z T (jω) = ω 2 LC1 ω (ω 2 LCC o C o C)j (223) A continuación bajamos el términoωque nos ha quedado en el denominador de la fracción de arriba y subimos el término j del denominador sin olvidarnos de multiplicar por 1 Llegamos, pues, a la expresión siguiente: Recordad que 1 j = j Z T (jω) = ω 2 LC 1 ω(c C o (ω 2 LCC o)) j (224) La impedancia Z(ω) (o reactancia, ya que la parte real de la impedancia la hemos aproximado por cero), se puede representar gráficamente en función deωtal como se presenta en la figura 46 Figura 46 Representación gráfica de la impedancia del cristal de cuarzo en función deω z(ω) 0 ω_s ω_p ω Como podéis ver, por la expresión de la impedancia total de entrada del cristal de cuarzo, hay dos frecuencias especiales: una frecuencia que nos da una impedancia de entrada mínima e igual a cero y una frecuencia que nos da una impedancia de entrada máxima e igual a infinito La primera frecuencia la denominaremos frecuencia de resonancia en serie Cuando aplicamos una señal de entrada al cristal de cuarzo a esta frecuencia, la impedancia de entrada es nula La segunda frecuencia la denominaremos frecuencia de resonancia en paralelo o frecuencia de antirresonancia Cuando aplicamos una señal de entrada al cristal de cuarzo a esta frecuencia, la impedancia de entrada es infinita Observación Observad que las frecuencias de resonancia en serie y en paralelo se aplican a la impedancia total del modelo del cristal de cuarzo que hemos calculado en la ecuación 224, y no a cada rama (rama en serie y rama en paralelo) del modelo Para encontrar cuál es la frecuencia que nos dará la impedancia igual a cero, es decir, la frecuencia de resonancia en serie, hay que igualar el numerador de

99 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores la expresión 224 que nos da el valor de la impedancia a cero, ya que cuando esto sucede Z T (jω) = 0 Tomamos, pues, el numerador de la expresión de la impedancia y lo igualamos a cero: ω 2 s LC 1 = 0 (225) Ahora sustituimos la frecuencia angularωpor 2πf y llegamos a: 2πf 2 s LC 1 = 0 (226) Aislamos el término f s y llegamos a la expresión siguiente: f s = 1 2π LC (227) De la misma manera, para encontrar la frecuencia de resonancia en paralelo que produce una impedancia idealmente infinita, igualaremos el denominador de la expresión de la impedancia (fórmula 224) a cero, ya que cuando el denominador es cero, el valor de la impedancia es infinito ω p(c C o (ω 2 plcc o))j = 0 (228) Si sustituimosω p por 2πf p y aislamos f p llegamos a la expresión siguiente: 1 f p = q (229) 2π L CCo CC o El cálculo de estas dos frecuencias, f s (ecuació 227) y f p (ecuació 229), nos sirve para determinar cuál será la frecuencia de oscilación real de nuestro circuito y esta frecuencia de oscilación se encuentra entre los valores de f s y f p Fijaos en que la expresión para encontrar la frecuencia de resonancia en paralelo (expresión 229) es la misma que la de la frecuencia de resonancia en serie (expresión 227) pero habiendo sustituido la capacidad C por el equivalente de las capacidades C y Co, ya que en nuestro modelo de cristal estas capacidades están en serie (están atravesadas por una misma corriente) Dado que la capacidad equivalente de C o y C siempre será más pequeña que cualquiera de estas por separado, f p siempre es ligeramente superior a f s En la práctica esta diferencia suele ser menor del 1 %

100 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Ejemplo 8 Calculad las frecuencias de resonancia en serie y paralelo del cristal de cuarzo caracterizado con los parámetros siguientes: L = 3 H, C = 0,05 pf, C o = 10 pf Solución Tomamos la expresión para la frecuencia en serie que habíamos visto en la ecuación 227 y encontramos lo siguiente: 1 f s = p = 411 khz (230) 2π 3 0, Para calcular f p calcularemos primero la capacidad equivalente formada por C y C o Esta capacidad es el producto dividido entre la suma de los valores de las capacidades individuales Aplicando este cálculo obtenemos la expresión 231 para la capacidad equivalente CC o C C o = 0,0498 pf (231) Y a continuación ya podemos calcular la frecuencia de resonancia en paralelo utilizando la expresión 229 tal como sigue: 1 f p = p = 412 khz (232) 2π 3 0, Si empleamos este cristal de cuarzo como oscilador, podemos garantizar que la frecuencia que nos proporcionará estará entre estos dos valores Como hemos mencionado, la diferencia entre las frecuencias de resonancia en serie y en paralelo suele ser menor del 1 % 243 Configuración práctica de un oscilador de cristal de cuarzo Como hemos visto en el subapartado 242, el cristal de cuarzo tiene dos frecuencias de resonancia: la frecuencia de resonancia en serie, f s, y la frecuencia de resonancia en paralelo, f p En el primer caso, cuando operamos en f s, la impedancia equivalente que presenta el cuarzo es nula En el segundo caso, cuando operamos en f p, la impedancia equivalente es muy grande (infinita, idealmente) Como hemos visto en el subapartado 154, cuando estudiábamos los tipos de realimentación en un circuito, cuando interconectamos diferentes bloques en un circuito debemos tener en cuenta la adaptación de impedancias de manera que la transmisión de señal sea óptima Así, cuando utilicemos un cristal de cuarzo en un circuito deberemos seleccionar si queremos que trabaje en modo en serie o paralelo según la impedancia que nos interese en cada momento En este subapartado veremos cómo podemos utilizar un cristal de cuarzo dentro de una red de realimentación utilizando los modos en serie o paralelo Oscilador de cuarzo en modo de resonancia en serie En la figura 47 se ve un ejemplo de oscilador real hecho con un cristal de cuarzo

101 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 47 Circuito oscilador con cristal de cuarzo y transistor BJT Vcc Figura 47 R 1 Red de realimentación Cuarzo C C L Vo Ejemplo de utilización de un cristal de cuarzo en modo en serie dentro de una red de realimentación con transistor BJT R 2 R E C E Fijaos en las diferentes partes del circuito Por un lado, disponemos de un transistor BJT que actúa como etapa amplificadora Observad también la parte que denominamos red de realimentación Como hemos visto a lo largo de este módulo, esta parte del circuito toma la señal de salida, v o en este ejemplo, y la reintroduce en la etapa amplificadora, en este caso en una de las entradas del transistor Esta red de realimentación está formada por un cristal de cuarzo y un condensador que denominamos C c El cristal está conectado en serie dentro de la red de realimentación Cuando el circuito trabaja en la frecuencia de resonancia en serie, la impedancia que presenta el cristal es mínima (nula, idealmente), y la cantidad de realimentación proporcionada al circuito es la máxima posible Véase también El transistor BJT lo veréis con más detalle en el módulo El transistor En este módulo nos quedaremos con el hecho de que este elemento nos proporciona una ganancia en lazo abierto A, como hemos visto durante este módulo La capacidad C C es una capacidad que se denomina de acoplamiento El efecto de este condensador es menospreciable cuando trabajamos a frecuencias altas (que son las frecuencias habituales de trabajo del cristal de cuarzo) y nos permite bloquear cualquier componente continuo (frecuencias nulas) en la red de realimentación Las resistencias R 1, R 2, R E, la capacidad C E y la bobina L se utilizan para configurar el modo de operación del transistor, pero en este subapartado no entraremos en detalle En la figura 48 podéis ver otro ejemplo de utilización de cristal de cuarzo que es óptimo cuando el cristal trabaja en la frecuencia en serie Observad que la red de realimentación es la misma que la de la figura 47 En este caso, sin embargo, utilizamos otro tipo de transistor denominado FET

102 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 48 Circuito oscilador con cristal de cuarzo y transistor FET Vcc Figura 48 Red de realimentación Cuarzo L Ejemplo de utilización de un cristal de cuarzo en modo en serie dentro de una red de realimentación con transistor FET Vo C c R g En el subapartado siguiente vamos a ver dos ejemplos de utilización de un cristal de cuarzo en un circuito oscilador en el que la frecuencia de trabajo óptima es la frecuencia de resonancia en paralelo Oscilador de cuarzo en modo de resonancia en paralelo En la figura 49 podéis ver cómo podemos introducir un cristal de cuarzo en la red de realimentación para obtener un oscilador Figura 49 Circuito oscilador con cristal de cuarzo y transistor BJT Vcc L Figura 49 Ejemplo de utilización de un cristal de cuarzo en modo paralelo dentro de una red de realimentación con transistor BJT R 1 V o C 1 C B R 2 R E Cuarzo C 2 Red de realimentación

103 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Para la etapa amplificadora se ha utilizado un transistor BJT y una serie de resistencias, un condensador y una bobina que se utilizan para la configuración del transistor Fijaos en la red de realimentación Como podéis ver, está formada por un cristal de cuarzo y dos condensadores, C 1 y C 2 El cristal se encuentra conectado en paralelo con el resto de los elementos de la red de realimentación Cuando trabajamos a la frecuencia de resonancia en paralelo, la impedancia del cristal es máxima y esto nos da un máximo de voltaje entre los extremos del cristal Véase también En el módulo El transistor de esta asignatura estudiaréis con detalle el transistor BJT Este circuito es una variante del oscilador de Colpitts Recordad este oscilador que se mostraba en la figura 39 y comparad la configuración con la que se muestra en la figura 49 Si os fijáis, hemos sustituido la bobina L del oscilador de Colpitts por un cristal de cuarzo Recordad que el sentido de utilizar cristales de cuarzo es que este componente nos permite obtener una señal con una frecuencia muy precisa A continuación se muestra un segundo ejemplo de oscilador de cuarzo trabajando a la frecuencia de resonancia en paralelo (figura 50) Este oscilador se conoce con el nombre de oscilador de Miller controlado por cristal Figura 50 Circuito oscilador con cristal de cuarzo y transistor FET Figura 50 L s Vcc C Ejemplo de utilización de un cristal de cuarzo en modo paralelo dentro de una red de realimentación con transistor FET Red de realimentación Cuarzo R L R s C s En este caso se utiliza un transistor FET como etapa amplificadora Este transistor está configurado mediante una bobina, L s, un condensador variable, C, y los elementos R s y C s Lo que nos interesa de todo este bloque es que nos proporciona una ganancia de lazo abierto A La red de realimentación la podéis encontrar indicada en la figura 50 Cuando el circuito trabaja a la frecuencia de resonancia en paralelo, con una impedancia de cuarzo máxima, obtenemos un máximo de voltaje en los extremos del cuarzo, como en el ejemplo de la figura 49

104 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Con este último ejemplo acabamos este subapartado dedicado a ejemplos de circuitos reales en los que utilizamos cristales de cuarzo para construir osciladores En el subapartado siguiente veremos un problema que presentan estos osciladores: el efecto deriva 244 Limitaciones de los osciladores de cristal de cuarzo: el efecto deriva Hasta ahora, en este subapartado 24 dedicado a los osciladores de cristal de cuarzo hemos visto que su funcionamiento se basa en el denominado efecto piezoeléctrico (subapartado 241) A continuación, en el subapartado 242 hemos estudiado cómo podemos modelizar un cristal de cuarzo y hemos calculado qué frecuencias genera el oscilador Para finalizar el estudio de los cristales osciladores debemos mencionar una limitación que presentan: el fenómeno de la deriva, que produce que a lo largo del tiempo las frecuencias generadas puedan dejar de ser precisas A causa de factores como la temperatura o el desgaste del material, la frecuencia de oscilación puede variar ligeramente respecto a la frecuencia original En un reloj, por ejemplo, una frecuencia por debajo de la deseada se traduciría en el hecho de que se retrasaría sistemáticamente Aunque hemos presentado el fenómeno de la deriva como una limitación, en los cristales de cuarzo este efecto es realmente pequeño y sus valores habituales son de 0,1 ppm (partes por millón) Esta deriva produciría que un reloj se llegara a adelantar o retrasar 1 segundo después de 300 años 25 Resumen del apartado Este segundo apartado del módulo lo hemos dedicado a estudiar los osciladores En el subapartado 21 hemos visto que un oscilador es un caso particular de circuito con realimentación positiva y para el que la ganancia Aβ es igual a 1 Debemos tener en cuenta que hemos llegado a este resultado a partir de la fórmula de la ganancia de realimentación negativa que habíamos encontrado en el apartado 1 En el subapartado 22 hemos estudiado un modelo genérico de oscilador y hemos realizado el análisis de la ganancia del circuito teniendo en cuenta que se trata de un circuito con realimentación positiva Por ello, en este caso la ganancia se expresa como: A r = A 1 Aβ (233)

105 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores A partir de aquí hemos llegado al criterio de Barkhausen o condición de oscilación, que nos dice que la ganancia Aβ debe ser igual a 1 en módulo y el desfase de señales en el bloque de realimentación debe ser nulo En el subapartado 23 hemos estudiado dos familias básicas de osciladores: los osciladores LC y los osciladores RC Hemos visto que estos osciladores son sencillos de implementar pero a veces presentan problemas de precisión Para generar oscilaciones muy precisas se utilizan los osciladores de cristal de cuarzo, tal como hemos visto en el subapartado 24 En referencia a estos osciladores, hemos visto que aprovechan un efecto natural que se denomina efecto piezoeléctrico (subapartado 241) y hemos buscado un modelo de cristal de cuarzo hecho con componentes electrónicos (subapartado 242) para poder estudiar su comportamiento En el subapartado 243 hemos visto un oscilador realizado con cristal de cuarzo, incluyendo todas las etapas que lo forman, y finalmente en el subapartado 244 hemos hablado del efecto deriva de los osciladores

106 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores 3 Problemas resueltos En este apartado os proponemos un conjunto de problemas que os servirán para consolidar y aplicar los conceptos que hemos visto a lo largo del módulo En el subapartado 31 podéis encontrar los enunciados y en el subapartado 32 podéis consultar las soluciones 31 Enunciados Problema 1 Calculad los diferentes tipos de ganancia de un amplificador con realimentación negativa con parámetros A = 2000 yβ=0,1 Problema 2 Calculad la ganancia de circuito realimentado, A r, y las impedancias de entrada y de salida de un amplificador con realimentación de tensión en serie con A = 300, R i = 1,5 kω, R o = 50 kω yβ=1/15 Problema 3 Calculad la ganancia de realimentación, A r, para el circuito con realimentación de la figura 51 Figura 51 Circuito con realimentación múltiple β 1 x i A 1 A 2 A 3 β 2 x o Problema 4 Encontrad la gananciaβyla ganancia total, A r para el circuito de la figura 52 La ganancia de la etapa amplificadora es A = 10 5 y el valor de las resistencias es R 1 = 1,8 kω y R 2 = 200Ω

107 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Figura 52 Circuito con realimentación de tensión en serie R s v i v s R 1 R L v v o r R 2 Problema 5 Calculad la capacidad C para que un oscilador de desplazamiento de fase opere a 2,5 khz Las resistencias de la red de realimentación tienen un valor de 12 kω Problema 6 Diseñad un oscilador en puente de Wien tal que genere una frecuencia de oscilación de 1 khz Problema 7 Calculad la frecuencia de oscilación para un oscilador Colpitts con C 1 = 750 pf, C 2 = 2500 pf y L = 40µH Problema 8 Calculad las frecuencias de resonancia en serie y paralelo para un cristal de cuarzo con los parámetros siguientes: L = 1 H, C = 0,01 pf, R = 1 kω y C o = 20 pf 32 Resolución Problema 1 Según lo que hemos visto en el subapartado 14, en un circuito con realimentación hemos definido las ganancias siguientes: Ganancia de lazo abierto, A Esta es la ganancia del amplificador sin realimentar En este caso, estos datos nos los dan en el enunciado y A = 2000 Ganancia de la red de realimentación, β Es la ganancia que introduce el bloque de realimentación y en este caso esβ=0,1

108 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Ganancia de bucle cerrado, A r Es la ganancia total del circuito cuando el bloque amplificador y la red de realimentación están connectados Como hemos visto en la expresión 9, esta ganancia se expresa como: A r = A 1 Aβ (234) Si sustituimos en esta expresión los valores de A yβdados en el enunciado, el resultado es: A r = 2000 = 9,95 (235) ,1 Ganancia de lazo, Aβ Según los valores dados en el enunciado Aβ = 200 Ganancia de retorno, 1 Aβ Tomando A = 2000 yβ=0,1 el valor de esta ganancia es 201 Problema 2 Los amplificadores con realimentación de tensión en serie son circuitos que miden tensión a la salida del circuito Así, la conexión en la salida del circuito está hecha en paralelo porque la tensión de salida en el circuito es la misma que la tensión de entrada al bloque de realimentación (recordad que una conexión en paralelo se caracteriza por que existe la misma tensión entre los puntos de conexión) En el enunciado también nos indican que la conexión a la entrada del circuito está hecha en serie De esto deducimos que la señal en la entrada del circuito también son tensiones, ya que el bloque comparador del circuito realimentado suma o resta tensiones y sabemos que dos o más tensiones se suman (o restan, según el signo) cuando están en serie En la figura 53 podéis ver la configuración de tensión en serie Figura 53 Configuración de un circuito realimentado de tensión en serie v i A v o v i v r b

109 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores En la tabla 5 recuperamos ahora las expresiones de la tabla 2 que hemos visto en el subapartado 153 y que hacen referencia a este tipo de configuración Tabla 5 Realimentación negativa de tensión en serie Realimentación Entrada Salida Ganancia R ir R or Amplificador De tensión en serie v i v o A vr = Av 1A vβ R i (1 A vβ) R o 1A vβ Tensión Por tanto, calculamos la ganancia del circuito realimentado con la expresión: A vr = A v 1 A vβ (236) Observad que la ganancia del amplificador, denominada A en el enunciado, es aquí A v, ya que así es como hemos denominado la ganancia de la etapa amplificadora para el caso particular de la realimentación de tensión en serie Si sustituimos ahora los datos del enunciado tenemos: A vr = /15 = 300 = 14,28 (237) 21 La impedancia de entrada la encontramos a partir de la expresión siguiente, tal como se especifica en la tabla 5: R ir = R i (1 A vβ) (238) Si utilizamos los valores dados en el enunciado encontramos lo siguiente: R ir = 1500( /15) = 31,5 kω (239) Como hemos visto en el subapartado 154, la impedancia de entrada para los circuitos con realimentación de tensión en serie aumenta respecto a la impedancia de entrada del circuito sin realimentar Calculamos ahora la impedancia de salida con la expresión siguiente, que también podéis encontrar en la tabla 5: R or = R o 1 A vβ (240) Y en este caso con los valores dados en el enunciado llegamos a: R or = = = 2,4 kω (241) /15 21 Y como hemos visto en el subapartado 154, la impedancia de salida para los circuitos con realimentación de tensión en serie disminuye respecto a la impedancia de entrada del circuito sin realimentar

110 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Problema 3 Comenzamos analizando el bloque que contiene los bloques con ganancia A 2 yβ 2 En la figura 54 podéis ver esta parte del circuito sombreada; se trata de un amplificador con realimentación, tal como hemos visto en el subapartado 11 Figura 54 Circuito con realimentación múltiple β 1 x i A 1 A 2 A 3 β 2 x o La ganancia de esta parte del circuito la expresamos utilizando la ecuación 9: A r2 = A 2 1 A 2 β 2 (242) Ahora sustituimos esta parte del circuito por un bloque con la ganancia equivalente que hemos calculado, como podéis ver en la figura 55 Figura 55 Circuito con realimentación múltiple β 1 x i A 1 A r2 = A 2 1A 2 β 2 A 3 x o Fijaos en que ahora tenemos tres etapas encadenadas y un segundo bloque de realimentación caracterizado por la gananciaβ 1 La ganancia equivalente de las tres etapas en cadena se puede calcular como el producto de la ganancia de cada etapa, ya que, si os fijáis, la señal de salida de la primera etapa es la señal en la entrada de esta etapa multiplicada por la ganancia A 1, es decir, x i A 1 Si ahora introducimos esta señal en la segunda etapa, esta señal queda multiplicada por la segunda ganancia, ya que en esta etapa lo que hace es multiplicar por A r2 lo que ve en su entrada, y por tanto la salida de la segunda etapa es (x i A 1)A r2 Análogamente, si hacemos pasar toda esta señal por la tercera etapa, esta toma la señal de entrada x i A 1A r2 y la multiplica por A 3, de manera que la salida de las tres etapas es x i A 1A r2 A 3

111 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Esta ganancia total, que denominaremos A r, es la siguiente: A r = A 1 A r2 A 3 (243) Sustituimos la ganancia A r2 que hemos encontrado en la expresión 242 y llegamos a: A r = A 1 A 2 1 A 2 β 2 A 3 (244) Ahora podemos sustituir estos tres bloques por un bloque con esta ganancia equivalente, como podéis ver en la figura 56 Figura 56 Circuito con realimentación múltiple β 1 x i A 2 A r =A 1 A 1A 3 2 β 2 x o Y fijaos en que el esquema que resulta de aquí es el mismo que el del circuito realimentado básico que ya hemos visto en el subapartado 11, en el que la ganancia se expresa según la ecuación 9 como: A r = A 1 Aβ (245) La ganancia A en este caso es la que hemos calculado en la ecuación 244 yβ es aquíβ 1 A partir de esto calculamos la ganancia total del circuito como: A r = A r 1 A rβ 1 (246) Y expresando esta ganancia en función de las ganancias de cada uno de los bloques individuales llegamos a la expresión siguiente: A r = 1 A A 2 1 1A 2β 2 A 3 A 1 A 2 1A 2β 2 A 3 β 1 (247) Problema 4 La relación entre la tensión de realimentación v r que se reintroduce en el circuito y la tensión de salida v o está determinada por el divisor de tensión formado por R 1 y R 2 Es decir:

112 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores β = R = = 0,1 (248) R 1 R Sabemos que la ganancia total del circuito realimentado está determinada por la expresión 9 y es: A r = A 1 Aβ (249) Si ahora sustituimos los valores dados en el enunciado llegamos a: = 9,999 (250) 1 (0,1)(100000) Fijaos en que como Aβ >> 1, podemos aproximar la ganancia total con A f 1/β = 10 Problema 5 Recordad el oscilador por desplazamiento de fase que hemos visto en el subapartado 232 y que podéis ver en la figura 40 Después de aplicar la condición de Barkhausen habíamos llegado a la expresión 180: f = 1 2πRC 6 (251) En este caso nos dan la frecuencia de oscilación Reordenando la ecuación 251 para encontrar el valor de C en función del resto de los datos obtenemos lo siguiente: C = 1 2πRf 6 (252) Si sustituimos aquí los valores dados en el enunciado, obtenemos el valor del condensador que dará la frecuencia de oscilación demandada: C = 1 2π = 2,17 nf (253) 6 Problema 6 En este problema nos piden diseñar un oscilador en puente de Wien, tal que genere una señal de salida a 1 khz Este tipo de circuitos los hemos visto en el subapartado 233 Aquí hemos visto que un oscilador en puente de Wien está formado por una etapa amplificadora y por una red de realimentación que contiene dos condensadores y dos resistencias (lo podéis ver en la figura 42)

113 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Aplicando la primera parte del criterio de Barkhausen (haciendo la parte imaginaria de la ganancia de lazo igual a cero), llegamos a la ecuación 200: f = 1 2πRC (254) Queremos que la frecuencia de salida sea de 1 khz, por tanto, podemos elegir la combinación de valores de R y C que nos dé esta frecuencia de salida Por ejemplo, si tomamos una resistencia de 2 kω entonces debemos elegir un condensador con valor 79,5 nf O bien si fijamos un valor del condensador de 1 nf, entonces debemos elegir una resistencia de valor de 159 kω La segunda parte del criterio de Barkhausen nos dice que el módulo de la ganancia de lazo debe ser igual a 1 En el subapartado 233 vimos que aplicando esta condición llegábamos a la conclusión de que la ganancia de la etapa amplificadora, A, debía ser igual a 3 Con estos parámetros ya tenemos diseñado nuestro oscilador en puente de Wien Problema 7 En el subapartado 231 dedicado en los osciladores LC hemos visto el oscilador de Colpitts Este oscilador está formado por un transistor como etapa amplificadora (nosotros en este módulo solo consideraremos que es un dispositivo que introduce una ganancia A), una bobina y dos condensadores en serie Lo podéis recordar en la figura 39 La frecuencia de oscilación en estos osciladores es la siguiente, tal como hemos visto: f = 1 2π LC (255) La capacidad en esta expresión es la capacidad equivalente de dos condensadores en serie, es decir: C = C 1C 2 C 1 C 2 (256) Sustituimos los valores que nos dan en el enunciado para calcular la capacidad equivalente: C = C 1C 2 = C 1 C = 576,9 pf (257)

114 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Y finalmente la frecuencia de oscilación es la siguiente: 1 f = 2π p = 1,04 MHz (258) , Problema 8 Como hemos visto en el subapartado 242, los cristales de cuarzo tienen dos frecuencias características: la frecuencia de resonancia en serie y la frecuencia de resonancia en paralelo La primera es la frecuencia de resonancia de la rama RLC Recordad que la frecuencia de resonancia nos da un máximo en la amplitud de la señal de salida En este caso, y como hemos visto mediante la expresión 227, podemos encontrar esta frecuencia como se indica a continuación: f s = 1 2π LC (259) Si sustituimos los valores que nos dan en el enunciado, llegaremos al resultado siguiente: 1 f s = 2π p = 1,59 MHz (260) 1 0, Fijaos en que esta expresión solo depende de la inductancia y de la capacidad de la rama RLC en serie La frecuencia de resonancia en paralelo nos da un máximo de amplitud de señal en el lazo cerrado, es decir, teniendo en cuenta la capacidad C o, tal como hemos visto en el modelo eléctrico de cristal de cuarzo (subapartado 242) La expresión que nos da esta frecuencia es la 229 y se muestra a continuación: 1 f p = q (261) 2π L CCo CC o Observad que ahora aparece una capacidad equivalente en el denominador de esta expresión que no es más que la capacidad equivalente de dos condensadores en serie, como ya hemos visto Así, calculamos esta capacidad equivalente: CC o = 0, C C o 0, = 0,009 pf (262)

115 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Sustituyendo el resto de los valores llegamos al cálculo de la frecuencia que nos piden: 1 f p = 2π p = 1,67 MHz (263) 1 0,

116 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Resumen Este módulo lo hemos dividido en dos apartados: en el primer apartado hemos visto la realimentación y los tipos de realimentación negativa más habituales En el segundo apartado nos hemos centrado en el estudio de los osciladores, que son un caso particular de realimentación positiva En el primer apartado hemos visto que la realimentación consiste en tomar la señal de salida de un circuito y reintroducirla de nuevo en el circuito Un circuito con realimentación está formado por los elementos siguientes: Etapa amplificadora Red de realimentación Bloque comparador que suma o resta la señal de realimentación a la señal de entrada Existen dos tipos de realimentación: Realimentación positiva: suma la señal de realimentación a la señal de entrada Tiende a incrementar la señal de entrada Realimentación negativa: resta la señal de realimentación a la señal de entrada Tiende a disminuir la señal de entrada La ganancia de un circuito con realimentación es: A r = A 1 Aβ (264) donde A es la ganancia de la etapa amplificadora yβla ganancia de la red de realimentación De los dos tipos de realimentación, nos hemos centrado en la realimentación negativa y hemos visto cuatro tipos de realimentación negativa, según el modo como se conectan la etapa amplificadora y el bloque de realimentación en la entrada y en la salida del circuito La primera parte del nombre con el que denominamos estos tipos de realimentación hace referencia a la variable que miden a la salida (corriente o tensión) La segunda parte hace referencia a cómo conectamos los bloques en la entrada del circuito Estos tipos de realimentación negativa son los siguientes: Realimentación de tensión en serie Realimentación de corriente en serie

117 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Realimentación de tensión en paralelo Realimentación de corriente en paralelo A continuación hemos visto los efectos que la realimentación introduce en los circuitos electrónicos Los inconvenientes principales que introduce la realimentación son los siguientes: Pérdida de ganancia respecto al circuito sin realimentar en el caso de realimentación negativa Inestabilidad de la ganancia del circuito realimentado en caso de realimentación positiva Las mejoras que introduce la realimentación son las siguientes: Mejora de la distorsión no lineal que introduce el bloque amplificador Mejora del ancho de banda disponible Disminución del ruido Adaptación de las impedancias de entrada y de salida del circuito realimentado Una vez vistos los principios teóricos de los circuitos realimentados, los hemos aplicado al diseño de un circuito práctico con realimentación A continuación hemos pasado al apartado 2, dedicado a los osciladores Hemos definido qué entendemos por oscilador: un circuito con realimentación positiva que cumple el criterio de Barkhausen Un oscilador, pues, como circuito con realimentación está compuesto por un bloque amplificador, un bloque de realimentación y un bloque comparador que en este caso suma (realimentación positiva) la señal realimentada a la señal de entrada El criterio de Barkhausen establece las condiciones para que un circuito con realimentación positiva se comporte como un oscilador Estas condiciones son las siguientes: El ángulo de desfase entre las señales de entrada y salida en el bloque de realimentación debe ser cero Es decir, la parte imaginaria de la ganancia de lazo, Aβ, debe ser igual a cero (o un múltiplo entero de 2π) El módulo de la ganancia de lazo, Aβ, debe ser igual a 1 Una vez visto el criterio de Barkhausen, lo hemos aplicado a los ejemplos de oscilador que hemos estudiado Los osciladores que hemos visto son los siguientes: Osciladores ideales LC Oscilador de Hartley

118 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Oscilador de Colpitts Oscilador RC para desplazamiento de fase Oscilador RC en puente de Wien Finalmente, hemos estudiado con detalle un tipo de oscilador que se utiliza muy frecuentemente: el oscilador de cristal de cuarzo Hemos visto cómo está hecho y sus dos modos de operación básicos: el modo en serie y el modo en paralelo Hemos acabado el apartado y el módulo mencionando el problema de la deriva como limitación fundamental de este tipo de oscilador

119 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Ejercicios de autoevaluación 1 Para un circuito con realimentación de tensión en paralelo, la etapa amplificadora debe ser a) un amplificador de tensión b) un convertidor de corriente en tensión o de transresistencia c) un convertidor de tensión en corriente o de transconductancia d) un amplificador de corriente 2 La ganancia de lazo, generalmente, a) es mucho más pequeña que 1 b) es mucho más grande que 1 c) no puede ser igual a 1 d) está entre 0 y 1 3 La impedancia de entrada de un circuito con realimentación de corriente en serie es a) generalmente mayor que la impedancia de entrada en lazo abierto o del amplificador sin realimentar b) igual a la impedancia de entrada del amplificador sin realimentar c) generalmente menor que la impedancia de entrada del amplificador sin realimentar d) idealmente cero 4 La realimentación negativa reduce a) el factor de realimentaciónβ b) la tensión de entrada c) la distorsión d) la ganancia en lazo abierto 5 La transconductancia de un amplificador es la relación (división) entre a) la tensión de salida y la corriente de entrada, v o/i i b) la tensión de salida y la tensión de entrada, v o/v i c) la corriente de salida y la corriente de entrada, i o/i i d) la corriente de salida y la tensión de entrada, i o/v i 6 Un oscilador siempre requiere un amplificador con a) realimentación positiva b) realimentación negativa c) ambos tipos de realimentación d) una red de realimentación LC 7 El oscilador en puente de Wien es útil a) a frecuencias altas b) a frecuencias bajas y medias c) utilizado con una red LC d) para señales de entrada pequeñas 8 El oscilador de desplazamiento de fase incluye generalmente a) dos bloques de tipo RC b) tres bloques de tipo RC c) un filtro en doble T d) un bloque de tipo LC 9 Un material con efecto piezoeléctrico es a) el cuarzo b) las sales de Rochelle c) la turmalina d) Todas las anteriores 10 Las frecuencias de resonancia en serie y paralelo de un cristal de cuarzo a) están muy cerca b) están muy separadas c) son iguales d) son frecuencias bajas

120 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Solucionario 1 b; 2 b; 3 a; 4 c; 5 d; 6 a; 7 b; 8 b; 9 d; 10 a Glosario amplificador m Parte de un circuito con realimentación que multiplica la señal de entrada por una ganancia A amplificador de corriente m Dispositivo que genera una corriente de salida amplificada por una ganancia a partir de una corriente de entrada amplificador de tensión m Dispositivo que genera una tensión de salida amplificada por una ganancia a partir de una tensión de entrada amplificador de transconductancia m Dispositivo que genera una corriente de salida amplificada por una ganancia a partir de una tensión de entrada amplificador de transresistencia m Dispositivo que genera una tensión de salida amplificada por una ganancia a partir de una corriente de entrada criterio de Barkhausen m En circuitos osciladores, son las condiciones que se deben cumplir para que el circuito genere una señal periódica a amplitud constante cuadripolo o bipuerto m Circuito que se compone de dos terminales de entrada y dos terminales de salida Un cuadripolo queda caracterizado si conocemos la corriente, la tensión y la impedancia en los terminales de entrada y de salida deriva f En un oscilador, error que se produce en la precisión de la frecuencia de salida por factores ambientales o desgaste de los elementos del circuito efecto piezoeléctrico m Propiedad que presentan algunos materiales consistente en que se deforman mecánicamente cuando aplicamos una diferencia de potencial entre sus caras y viceversa frecuencia de resonancia f En un circuito oscilador es aquella frecuencia que da un máximo en la amplitud de la señal periódica generada ganancia f En un circuito, relación (división) entre la señal de salida y la señal de entrada oscilador m Circuito que es capaz de generar una señal de salida periódica de amplitud y frecuencia constantes a partir de un impulso de entrada finito en tiempo realimentación f Acción de tomar parte o toda la señal de salida de un circuito y reinyectarla en la entrada del mismo circuito realimentación negativa f En un circuito con realimentación, acción de restar la señal de realimentación a la señal de entrada en el circuito realimentación positiva f En un circuito con realimentación, acción de sumar la señal de realimentación a la señal de entrada al circuito red de comparación f Parte de un circuito con realimentación que suma o resta la señal que sale del bloque de realimentación a la señal de entrada al circuito red de medida f Parte de un circuito con realimentación que toma una corriente o tensión en la salida del circuito y la reinyecta a la red de realimentación red de realimentación f Parte de un circuito con realimentación que procesa la señal de salida del circuito y devuelve una señal que sumaremos o restaremos a la señal de entrada Se caracteriza por la gananciaβ sobretono m Múltiplo entero de la frecuencia de resonancia En estas frecuencias la amplitud de la señal periódica generada por el oscilador también es máxima

121 CC-BY-SA PID_ Realimentación y osciladores Bibliografía Boylestad, Robert; Nashelsky, Robert Electrónica: teoría de circuitos y dispositivos electrónicos (8 a ed) Pearson, Prentice Hall Hambley, Allan R Electrónica (2 a ed) Pearson, Prentice Hall Malvino, Albert Paul (2000) Principios de electrónica Madrid: McGraw-Hill

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