Algoritmos exactos y heurísticos para minimizar el adelantamiento y retraso ponderados en una máquina con una fecha de entrega común

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1 Algoritmos... en una máquina con una fecha de entrega común Algoritmos exactos y heurísticos para minimizar el adelantamiento y retraso ponderados en una máquina con una fecha de entrega común R. Alvarez-Valdés, E. Crespo, J.M. Tamarit Universitat de València Villa, M. Fulgencia Universitat Politècnica de València RESUMEN En la planificación Just-In-Time (JIT) no sólo se penaliza el retraso sino también el adelanto en la ejecución de las tareas. En nuestro trabajo consideramos el problema de planificación de una máquina donde el objetivo es minimizar el coste total ponderado del atraso y el adelanto con un fecha de entrega común. Partiendo de los trabajos anteriores que nos describen las características de las soluciones óptimas hemos desarrollado diferentes modelos que proporcionan soluciones de una gran calidad comparadas con las existentes hasta ahora en la literatura. Palabras clave: Secuenciación; Una máquina; Adelanto y retraso; Heurísticas; Programación Cuadrática Clasificación JEL (Journal Economic Literature): C65 Área temática: Programación Matemática XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional 1

2 Alvarez-Valdés, Crespo, Tamarit y Villa 1 INTRODUCCIÓN En la planificación Just-In-Time (JIT) se penaliza tanto el retraso en la ejecución de las tareas como el adelanto de las mismas. Las tareas atrasadas suponen descontento del cliente, penalizaciones en los contratos, pérdidas de ventas y reputación... Pero también las tareas adelantadas tienen efectos no deseables tales como costes de almacenamiento y seguros, costes de oportunidad del dinero invertido en el exceso de inventario y deterioro del producto. Por tanto, los criterios relacionados tanto con el retraso como el adelanto han suscitado una atención creciente en la investigación de la planificación de máquinas. En nuestro trabajo consideramos el problema de planificación de una máquina donde el objetivo es minimizar el coste total ponderado del atraso y el adelanto con un fecha de entrega común. El problema puede definirse tal como exponemos a continuación. Sean n tareas que han de ser procesadas en una máquina, todas ellas con una fecha de entrega común d. Para cada tarea i, el tiempo de proceso es p i y las penalizaciones por periodo de adelanto o de retraso α i y β i respectivamente. No están permitidas interrupciones en las tareas, todas ellas están disponibles en el periodo cero y las máquinas están siempre disponibles. Si llamamos C i al tiempo total de finalización de la tarea i podemos expresar la función objetivo como min n i α i E i + β i T i, donde E i = max{d C i, 0} y T i = max{c i d, 0}. Cuando trabajamos con esta función objetivo hay que distinguir dos casos. En el caso no restrictivo la fecha de entrega es mayor o igual que la suma de todos los tiempos de proceso, por tanto no influye en la secuencia óptima de las tareas. En el caso contrario, el restrictivo, la fecha de entrega puede afectar a la secuenciación óptima. Trabajos previos sobre el problema considerado demuestran que siempre hay una solución óptima que satisface tres propiedades: 2 XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional

3 Algoritmos... en una máquina con una fecha de entrega común 1La solución no contiene ningún periodo ocioso entre tareas consecutivas (Cheng and Kahlbacher). 2 La planificación óptima tiene forma de V alrededor de la fecha de entrega común. Las tareas acabadas antes de la fecha de entrega están secuenciadas en orden no creciente del valor p i /α i mientras que las que empiezan en o después de la fecha de entrega están secuenciadas en orden no decreciente de p i /β i (Baker and Scudder). Algunos autores dicen que la forma es de W considerando la posibilidad de un tarea intermedia que empiece antes de d y acabe después. 3 En la planificación óptima o bien una tarea empieza en el tiempo cero o bien hay una que acaba en la fecha de entrega (Hoogeveen and van de Velde). Los procedimientos de solución deben tener en cuenta estas propiedades para diseñar sus estrategias de construcción y mejora. En nuestro trabajo proponemos modelos cuadráticos para el problema y estudiamos su capacidad de producir soluciones óptimas y aproximadas para problemas grandes. 2 FORMULACIONES DEL PROBLEMA De acuerdo con la propiedad 3 podemos clasificar las instancias en dos clases: aquellas en los que la solución óptima tiene una tarea que acaba en la fecha de entrega y aquellas en las que comienza en el tiempo cero. Si en una instancia se dan las dos condiciones la clasificamos en la primera clase. Ésta incluye problemas que aparecen en la literatura como no restringidos porque la suma de los tiempos de proceso de todas las tareas es menor que la fecha de entrega, pero también los problemas en los que, aunque no todos las tareas pueden ser procesados antes de la XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional 3

4 Alvarez-Valdés, Crespo, Tamarit y Villa fecha de entrega, aquellas tareas que una solución óptima incluiría antes de la fecha de entrega caben en el intervalo (0,d). La segunda clase corresponde a las instancias donde el intervalo (0,d) está completament lleno (de hecho habria más tareas dentro de él si fuera más grande) y la secuencia de tareas empieza en el tiempo cero. Hemos desarrollado un modelo diferente para cada una de estas clases de problemas. 2.1 Modelo 1: Problemas con una tarea que acaba en la fecha de entrega s.t. min α i b i b j p j + β i a i a j p j (1) i j>i, inb i j i, ina n b i p i d (2) i=1 a i + b i =1 i =1, 2,...,n (3) a i,b i {0, 1} i =1, 2,...,n (4) 1, si la tarea i acaba en o antes de d b i = 0, en otro caso. i =1, 2,.., n 1, si la tarea i comienza en o después de d a i = 0, en otro caso. i =1, 2,.., n (5) (6) Este primer modelo nos determina las tareas anteriores y posteriores a la fecha de entrega. Una vez clasificados en los dos grupos su posición relativa dentro de cada uno de ellos viene determinada por la propiedad 2 de la solución óptima. 4 XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional

5 Algoritmos... en una máquina con una fecha de entrega común 2.2 Modelo 2: Problemas con una tarea que comienza en el tiempo cero min i α i b i (d b j p j )+ β i a i (T d j i, inb i a j p j ) j>i, ina + (1 b i a i )β i (T d a j p j ) (7) i j s.t. n b i p i d (8) i=1 n a i p i T d (9) i=1 a i + b i 1 i =1, 2,...,n (10) a i + b i n 1 (11) i a i,b i {0, 1} i =1, 2,...,n (12) El segundo modelo desarrollado considera la posibilidad de que puede aparecer una tarea que empiece antes de d y acabe después. Por tanto, la función objetivo se calcula considerando 3 términos. La contribución de las tareas anteriores a d (primer término de la ecuación) se calcula desde el instante inicial; la de las posteriores (segundo término) se calcula desde el final de la secuencia T = i p i y la de la tarea intermedia, si existe, se valora en el tercer término. 2.3 Un modelo auxiliar Para los problemas en los que d no afecta al óptimo la solución proporcionada por el primer modelo es la óptima. Los otros son resueltos óptimamente por el segundo modelo. Sin embargo, no es fácil decidir a priori si una instancia pertenece a la primera o la segunda clase. Aparte del caso obvio donde T = i p i <dhay otras muchas instancias para las que la clasificación no está clara. XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional 5

6 Alvarez-Valdés, Crespo, Tamarit y Villa Para evitar esta dificultad proponemos solucionar un modelo auxiliar en el que el valor de d no está fijado: min α i b i b j p j + β i a i a j p j i j>i, inb i j i, ina (13) s.t. a i + b i =1 i =1, 2,...,n (14) a i,b i {0, 1} i =1, 2,...,n (15) 1, si la tarea i acaba en o antes de d b i = 0, en otro caso. i =1, 2,.., n 1, si la tarea i comienza en o después de d a i = 0, en otro caso. i =1, 2,.., n (16) (17) Una vez solucionado el mismo podemos obtener d = i b i p i, y la solución conseguida será óptima del problema original si d d. Como se puede comprobar en los resultados computacionales este modelo cuadrático se resuelve eficientemente y proporciona directamente la solución óptima del problema. Si d >d, la solución del modelo no es posible para el problema original. En este caso trabajaremos con el segundo modelo que es difícil de resolver para instancias grandes pero la solución del primero nos proporciona una solución factible y, por tanto, una cota superior de la solución óptima. 3 RESULTADOS COMPUTACIONALES 3.1 Instancias utilizadas El estudio computacional usa el conjunto de instancias generadas por Biskup y Feldman. Éste incluye instancias con 10, 20, 50, 100, 200, 500 y 1000 tareas, y 6 XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional

7 Algoritmos... en una máquina con una fecha de entrega común para cada tamaño, se usan cuatro tipos diferentes de fechas de entrega: d = γ i p i, donde γ = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8. Por tanto, ya que ninguna de ellas satisface i p i >d, son todas restringidas. Combinando tamaño y fechas de entrega tenemos 28 tipos para cada uno de los cuales se generaron aleatoriamente 10 instancias, lo que da un total de 280 instancias. Las penalizaciones por retraso son algo superiores a las del adelantamiento y, por tanto, las soluciones óptimas tienden a tener más tareas antes de la fecha de entrega que después. Como consecuencia los problemas con γ = 0.2 yγ = 0.4 pertenecen a la clase en los que, en el óptimo, una tarea empieza en el instante cero, mientras que cuando γ =0.8 un tarea acaba exactamente en la fecha de entrega. Cuando γ = 0.6 la clasificación no está clara. Dado que estas instancias han sido usadas por todos los autores mencionados podemos comparar nuestras soluciones con las mejores soluciones obtenidas hasta ahora. 3.2 Un esquema algorítmico para usar los diferentes modelos De acuerdo con las relaciones entre los diferentes modelos y sus características computacionales hemos diseñado un esquema algorítmico para resolver cada instancia de manera óptima si es posible y, en caso contrario, heurísticamente. Paso 1: Resolver el modelo auxiliar Si d d, parar. La solución obtenida és la óptima. Paso 2: Resolver el modelo 1 La solución obtenida es posible para el problema original y, por tanto, su valor es una cota superior de la solución óptima para la instancia. XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional 7

8 Alvarez-Valdés, Crespo, Tamarit y Villa Paso 3: 1.Sin 20, Resolver el modelo 2 La solución obtenida es la óptima para la instancia. 2. Si n>20, resolver el modelo 2 puede ser muy largo. Podemos tomar la solución posible del Paso 2 o tratar de mejorarla con búsqueda local. 3.3 Resultados de los modelos Los modelos descritos anteriormente se resolvieron utilizando CPLEX 9.0. El modelo auxiliar resolvió casi (111) la mitad de las 280 instancias. En concreto, prácticamente todas las de γ =0.8 y la mayoría de las de γ =0.6. En los problemas mayores pusimos un límite al tiempo y, según nos indican las distancias a las cotas, las soluciones obtenidas fueron muy próximas a las óptimas. El principal inconveniente de este modelo es que cuando d >dpara una instancia dada, la solución no es posible para el problema original y hay que usar otro de los modelos. Todas las instancias de 10 tareas se resolvieron óptimamente con los modelos 1 ó2. En las instancias de 20 tareas, aunque se sospechaba que muchas de las soluciones conocidas eran las óptimas, no había garantía de ello. Nuestros modelos consiguieron las soluciones óptimas de todas ellas. En concreto, el modelo 1consiguió elóptimo en 29 de las 40 instancias y se quedó a una distancia entre el 0,11% y el 0,17% en los restantes. En estos casos restantes, resueltos con el modelo 2, el tiempo empleado, aunque razonable, había crecido enormemente respecto a las instancias de 10 tareas lo que imposibilitaba su utilización en instancias de mayor tamaño. En los casos de 50 tareas ninguno de los óptimos que no resolvió el modelo auxiliar era conocido previamente y los que no resolvió el modelo 1no lo pudo 8 XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional

9 Algoritmos... en una máquina con una fecha de entrega común hacer el modelo 2 en un tiempo razonable. El modelo 1consiguió, excepto en un caso donde se queda a una distancia del 0,03%, todos los óptimos o las mejores soluciones conocidas lo que nos indica que, cuando crece el tamaño, el modelo 1 produce soluciones óptimas o muy buenas. En las instancias de 100 tareas los resultados son similares a los de 50 pero aquí se igualan todas las mejores soluciones. Cuando tenemos 200 tareas ninguno de los óptimos que no resolvió el modelo auxiliar era conocido previamente. Este modelo proporciona todos los óptimos para las instancias de γ =0.8 ydeγ =0.6. Para los otros valores de γ, aunque no se puede garantizar la optimalidad de las soluciones conseguidas por el modelo 1, éste proporciona la mejor solución conocida para 16 de las 20 no resueltas por el modelo auxiliar. En los casos de 500 tareas obtenemos resultados similares a los casos de 200 pero, como el tamaño es mayor el modelo 1, bate más claramente a los heurísticos previos. En las instancias mayores, las de 1000 tareas, de nuevo el modelo 1 mejora la mayoría de las soluciones conocidas, 34 de 40. En resumen, hay que señalar básicamente dos hechos: en primer lugar, aparte de lo dicho para las instancias de 10 tareas, obtenemos todos los óptimos en las de 20 tareas, casi la mitad en los casos de 50 a 500 e incluso unos pocos de 1000 tareas. En segundo lugar, el modelo 1puede ser considerado un excelente heurístico para aquellos casos en los que no consigue la solución óptima. La condición de que una tarea haya de acabar exactamente en la fecha de entrega tiene una mala influencia en la calidad de las soluciones para pequeñas instancias, lo que obliga a utilizar el modelo 2, pero es insignificante para las grandes. En estos casos la solución proporcionada por el modelo 1parece estar muy próxima al óptimo para instancias muy grandes. XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional 9

10 Alvarez-Valdés, Crespo, Tamarit y Villa Por último, hemos de señalar que inicialmente pensamos en implementar procedimientos de búsqueda local. Sin embargo los resultados conseguidos por los modelos descritos eran de tan buena calidad que consideramos que las mejoras que podía obtener la búsqueda local no compensaban, en la inmensa mayoría de los casos, el esfuerzo computacional. 4 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Baker, K.R. and Scudder, G.D. (1990). Sequencing with earliness and tardiness penalties: A review. Oper. Res., 38, Biskup, D. and Feldman, M. (2001). Benchmarks for scheduling on a single machine against restrictive and unrestrictive common due dates. Comput. Oper. Res., 28, Cheng, T.C.E. and Kahlbacher, H.G. (1991). A proof for the longest-job-first in one-machine scheduling. Naval Res. Logist., 38, Hoogeveen, J.A. and van de Velde, S.L. (1991). Scheduling around a small common due date. Eur. J. Oper. Res., 55, XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional