1. DEFINICION DE ENERGIA ESPECIFICA

Transcripción

1 ENERGIA ESPECIFICA

2 1. DEFINICION DE ENERGIA ESPECIFICA El concepto de energía específica, desarrollado en 191 por Bakmeteff, deriva de la ecuación de Bernoulli antes mostrada. Cuando la distribución de p presiones en la sección es hidrostática, la carga piezométrica z es constante y la carga de presión p y, siendo y el tirante del flujo en el canal. De esta forma la carga hidráulica total en la sección referida al fondo del canal (tomando z=0 en el fondo del canal) es lo que se define como energía v específica (E) E P m g Para canales de pendiente suave la energía específica resulta: vm E y g Despreciando los efectos de no-uniformidad (coef. de Coriolis = 1): E v m y g Una expresión de la energía específica en función del caudal () se escribe de la siguiente manera: E y ga Para canales rectangulares de ancho b, definiendo el gasto específico (q) como q = /b se obtiene la siguiente expresión de la energía específica: E q y gy OBS: De ahora en más la notación que se utilizará es energía para referirse a E (energía específica) y carga para referirse a H (carga hidráulica total). UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

3 . CURVA DE ENERGIA La ecuación de la energía para un canal rectangular, de pendiente suave y con q distribución uniforme de velocidad, es E y, que se puede rescribir gy q como la siguiente ecuación: ( E y ) y Cte. Esta ecuación de tercer grado g tiene una raíz negativa y raíces reales positivas que se denominan tirantes alternos. Al graficar el tirante contra la energía específica resulta una curva con dos asíntotas y un mínimo. En el caso general se observa que para un caudal y nivel de energía dados existen dos tirantes que tienen la misma energía. En el punto mínimo sucede para un nivel de energía dado existe un único tirante y. A partir de ese punto singular se distinguen dos ramas dentro de la curva. La rama superior, con asíntota que se aproxima a la recta a 45 grados ( E = y ), y la rama inferior con asíntota horizontal que se aproxima al eje de la energía específica. En la rama superior de la curva la componente de velocidad es más pequeña, predominando la componente debida al tirante. Por el contrario en la rama inferior la componente más significativa es la de la velocidad. El tirante correspondiente al mínimo de la curva se denomina tirante crítico, por lo que la rama superior de la curva es la rama subcrítica (tirantes mayores que el tirante crítico) y la rama inferior de la curva es la rama supercrítica (tirantes menores que el tirante crítico). UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

4 Para encontrar el tirante crítico (mínimo de la curva) basta con derivar la de da B expresión de la energía respecto al tirante 1 1 e igualar a dy ga dy ga cero. Definiendo el tirante hidráulico D = A / B resulta que la energía mínima se da v v cuando D. Si se define el número de Froude como Fr la energía g gd mínima se da cuando F r = 1. B Una expresión más habitual del número de Froude es Fr. Obsérvese ga que la rama superior de la curva (E,y) corresponde a flujos con Fr<1 (flujos subcríticos) y la rama inferior a números de Fr>1 (flujos supercríticos). Para el caso particular de canales rectangulares el tirante crítico (yc) cumple 1 q con la relación: y c y también resulta la siguiente relación entre la g energía crítica y el tirante crítico: E c y c Para verificar que este extremo relativo de la curva es efectivamente un mínimo d E q se debe cumplir que la derivada segunda sea positiva ( para 4 dy g y y c canales rectangulares). La variación de la curva energía tirante cuando varía el caudal específico es como se muestra en la figura. Obsérvese además que para el caso de canal con pendiente pronunciada ( E y cos ) la asíntota para la ga rama superior ya no es a 45º sino que depende justamente de la pendiente de fondo del canal. El número de Froude en el caso de canal con pendiente pronunciada se define B como: Fr ga cos UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

5 . CURVA CAUDAL ESPECIFICO TIRANTE (q,y). Para el caso de canal rectangular se estudia como varía el caudal específico q para un nivel de energía dado: E y y ; o sea: q gey gy g Esta curva cumple q = 0 para dos tirantes diferentes (y = 0 e y = E). Luego para cada caudal específico, hasta un valor máximo de q, se tienen dos valores de tirante para un nivel de energía dado. Analizando los extremos de esta curva resulta que dq q dy g y E y se anula para dos raíces (y = 0 ; y = / E). La primera de ellas resulta q = 0 en tanto la segunda, que coincide con el 8 tirante crítico, implica q g E. Obsérvese además que en este último caso 7 d q ge resulta un máximo ya que dy q La existencia de tirante crítico implica que: Es la condición de flujo para la cual circula un caudal dado con el mínimo nivel de energía específica. Es la condición de flujo para la cual con un nivel de energía específica dado circula el máximo caudal. UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

6 4. IDEA DE HIDRÁULICAMENTE CONECTADOS. La celeridad de una onda de pequeña amplitud, definida como la velocidad de la onda relativa a la velocidad del medio en la cual es transportada, vale: Continuidad: y dv dy V W 0 Cantidad de movimiento: g dy dv V W 0 Combinando ambas se halla: W V gy Por tanto resulta la celeridad: c gy Es factible mostrar que de forma más general la celeridad de una onda de pequeña amplitud vale: c g D g A B Como puede observarse la celeridad de la onda de pequeña amplitud resulta v v ser el denominador de la expresión del número de Froude, Fr gd c En el caso de flujo supercrítico se tiene V c, por lo que la velocidad absoluta de la onda hacia aguas arriba valdrá W V c que resulta ser un valor negativo. Esto es la onda nunca alcanza a remontar el flujo. En el caso de flujo subcrítico se tiene V c, por lo que la velocidad absoluta de la onda hacia aguas arriba valdrá W V c que resulta ser un valor positivo. En este caso entonces la onda sí alcanza a remontar el flujo. En la situación particular de flujo crítico la celeridad de la onda de pequeña amplitud coincide exactamente con la velocidad del flujo. UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

7 Se dice por tanto que el flujo subcrítico está controlado desde aguas abajo, ya que las perturbaciones que introduzca al flujo aguas abajo de una cierta sección terminarán finalmente incidiendo en la condición del flujo en esa sección. Por el contrario el flujo supercrítico se dice está controlado desde aguas arriba, ya que el flujo en una determinada sección nunca se enterará de las perturbaciones que sufra el flujo en una sección ubicada aguas abajo de la primera. Observación: Las ecuaciones de cantidad de movimiento y de energía, una vez aplicadas correctamente y dado su origen común, conducen a los mismos resultados. No obstante la selección de la ecuación a aplicar en cada caso dependerá de la situación particular en estudio. La ecuación de la energía normalmente tiene las siguientes ventajas: Facilidad computacional Simplicidad conceptual Escalar En cuanto a sus desventajas: No provee información direccional Difícilmente aplicable a situaciones con alta disipación interna de carga La ecuación de cantidad de movimiento tiene como ventajas: Provee información direccional Es aplicable en tanto las pérdidas de carga por efecto de las tensiones de corte externas no sean muy significativas Entre sus desventajas se cuenta: Conceptual y computacionalmente más compleja Difícilmente aplicable cuando existen fuerzas externas actuando A continuación se verán algunos ejemplos típicos de aplicación de la ecuación de la energía, como son las transiciones de fondo y ancho en canales, UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

8 abordándose la utilización de la ecuación de cantidad de movimiento, por ejemplo para el cálculo de esfuerzos y resaltos, en el tema. UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

9 5. TRANSICIONES. Una transición en canal puede definirse como un cambio en la sección del canal; por ejemplo un cambio en el ancho del canal o en su pendiente de fondo. Estos cambios geométricos pueden desarrollarse en largas distancias o pueden ser súbitos. Una transición usualmente se diseña de forma que las pérdidas de carga sean pequeñas, de forma que en el desarrollo de este ítem se adoptará la hipótesis de conservación de carga en la transición. 5.1 TRANSICIÓN POR ESCALÓN H1 = H (pérdidas despreciables) E1 = H1 ; E = H - Δz De 1 pasa a porque para pasar a debería o bien subir el caudal o bien perder aún más energía hasta el yc y luego recuperar hasta. La tercer raíz de la ecuación resulta absurda pues daría un tirante negativo. Nótese que existe un límite superior para la altura del escalón para un flujo con un nivel de energía dado. Si el incremento en el nivel de fondo supera ese valor límite resulta que la condición de energía con la que viene el flujo no es suficiente para sortear la transición. En dicho caso el flujo se altera en la sección aguas arriba de la sección de transición, donde se genera una condición de flujo con mínima energía (sección crítica). Observar que sucedería si se elevase el escalón por encima de ese nivel máximo: Disminución de caudal específico, o Crecimiento del nivel aguas arriba del escalón UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

10 ué sucede aguas abajo (aa) del escalón en ese caso? Variación de los tirantes Ecuación de la energía total o carga u H z y g Derivando respecto a la distancia longitudinal se obtiene dh donde dh/ es el cambio de carga en la dirección longitudinal del canal (-Sf), dz/ es el cambio de elevación del fondo del canal (pendiente de fondo en la dirección longitudinal del canal = - So). Si el canal es prismático, o sea A no depende de x, entonces ga ga Reescribiendo se obtiene entonces dz dy d ga d da dy dy ga dy B Fr dy dy so s 1 Fr f Si la carga se conserva, entonces Sf = 0. dy so 1 Fr Entonces, observar que dy/ cambia según el flujo sea crítico o supercrítico Flujo subcrítico ; Fr < 1 ; dy/ tiene el mismo signo que So ; ejemplo: si el fondo sube (dz/>0), So es negativo entonces el tirante baja. Flujo supercrítico ; Fr > 1 ; dy/ tiene signo opuesto que So ; ejemplo: si el fondo sube (dz/>0), So es negativo entonces el tirante sube. UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

11 Observar que sucede con la cota del nivel de agua: t=y+z dz dt (Se llega a Fr (1 Fr ) 0, o sea tiene un comportamiento similar al anterior). Ejemplo 1: Un canal rectangular de ancho b 1 = metros transporta un caudal de 4,5 m/s. En una sección determinada del mismo existe un escalón de = 0,5 metros, para luego volver a la cota de fondo original. El tirante aguas arriba del escalón es de 1,66 metros. Se pide: a) Determinar el tirante arriba del escalón, b) Determinar la altura máxima que puede tener el escalón para no afectar el flujo aguas arriba de la misma. Solución: Según las ecuaciones presentadas anteriormente en este capitulo, la energía aguas arriba del escalón puede calcularse de la siguiente manera: 1,5 E1 y1 1,66 1, 70m ga 9,81 1,66 Como no existe perdidas de carga en el escalón se debe verificar que E 1 = E, entonces: E y y ga 1,454 y y 0,5 9,81 0,051 0 y y 0,051 1,454 E y 1 Esta última ecuación tiene soluciones las cuales se presentan a continuación: y 1,40m 0, 0 m La solución negativa no tiene sentido físico. Luego de las dos soluciones positivas debe analizarse cuál de las dos corresponde a la solución del problema. Para ello se calculara el tirante crítico para saber qué tipo de flujo era el original: b Fr 1 y cr 0, 61m ga gb y gb UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

12 Por lo tanto y 1 > y cr, entonces el flujo original es subcritico. Como el escalón no provoca cambio de flujo (hecho que se comprobara en la parte b del problema), entonces y = 1,40m. b) Para la resolución de la segunda parte del problema, se volverá a recurrir a el tirante critico calculado anteriormente. y cr 0, 61m Sustituyendo en la ecuación de energía, se obtiene: Ecr1 y cr 0, 9m ga cr Realizando el balance de energía nuevamente entre dos secciones, aguas arriba y aguas abajo del escalón: E z Ecr z 0, 79m 1 max 1 max Como z max > z, entonces la contracción no introduce cambio de flujo como se había asumido en la parte a del problema. 5. TRANSICIÓN POR CONTRACCIÓN. Razonando análogamente al caso anterior, pero suponiendo ahora que la sección es no uniforme a lo largo del canal y que el canal es rectangular y horizontal (para simplificar las cuentas) se llega a : Por lo tanto: dy ( 1 Fr UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez ) db Fr y B Para flujos subcríticos Signo(dy/) = Signo(dB/), o sea que si el ancho se reduce (db/<0) entonces el tirante disminuye.

13 Para flujos supercríticos Signo(dy/) = - Signo(dB/), o sea que si el ancho se reduce (db/<0) entonces el tirante aumenta. Observar que en este caso también existe un límite para el cual se puede contraer la sección. Si el ancho se reduce más allá de ese valor la condición de energía con la que viene el flujo no es suficiente para superar la contracción y se perturbará el flujo aguas arriba de la transición, de forma similar a la vista anteriormente para el caso de transición en el nivel de fondo. Ejemplo : Un canal rectangular de ancho b 1 = metros transporta un caudal de 4,5 m /s. En una sección determinada del mismo se produce una contracción puntual del ancho pasando a b = 1,5 metros, para luego volver al ancho original. El tirante aguas arriba de la contracción es de 1,66 metros. Se pide: c) Determinar el tirante en la contracción, d) Determinar el ancho mínimo que puede tener la contracción para no afectar el flujo aguas arriba de la misma. Solución: Según las ecuaciones presentadas anteriormente en este capitulo, la energía aguas arriba de la contracción puede calcularse de la siguiente manera: 1,5 E1 y1 1,66 1, 70m ga 9,81 1,66 1 Como no existe perdidas de carga en la contracción se debe verificar que E 1 = E, entonces: UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

14 E y y ga 1,704 y y 1,5 9,81 1,5 y 0,051 0 y 0,051 1,704 E y 1 Esta última ecuación tiene soluciones las cuales se presentan a continuación: y 1,50m 0,66 0 m La solución negativa no tiene sentido físico. Luego de las dos soluciones positivas debe analizarse cuál de las dos corresponde a la solución del problema. Para ello se calculara el tirante crítico para saber qué tipo de flujo era el original: b Fr 1 y cr 0, 61m ga gb y gb Por lo tanto y 1 > y cr, entonces el flujo original es subcritico. Como la contracción no provoca cambio de flujo (hecho que se comprobara en la parte b del problema), entonces y = 1,5m. b) Para la resolución de la segunda parte del problema, se volverá a recurrir a la ecuación de Fr = 1, para calcular ahora el tirante critico en la contracción. F r b ga gb y 1 gb y Sustituyendo en la ecuación de energía, se obtiene: E y ga gb ycr ycr ycr ycr 1, 14m g b y 1 cr Sustituyendo en la ecuación de Fr = 1, se puede calcular el ancho mínimo que puede tener la contracción sin afectar el flujo aguas arriba: gb y b min gy cr b min 1,19m Como b min > b, entonces la contracción no introduce cambio de flujo como se había asumido en la parte a del problema. UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

15 CONCEPTO DE SECCION DE CONTROL. Por definición, una sección de control es cualquier sección en la que exista una condición que determine una relación única entre tirante y gasto. A partir de ello se deduce que una vez conocido el tirante en dicha sección es posible calcular el gasto a través de ella y viceversa. Las secciones de control, en especial las de control con tirante crítico, son especialmente atractivas para medidas de flujo. En este sentido existen una serie de dispositivos para medida de flujos en canales, como por ejemplo los medidores Parshall y los vertederos de cresta ancha, que operan bajo el procedimiento de producir una sección de flujo crítico, para a partir de la medida del tirante determinar el caudal que circula. En el apartado anterior se mostró que la condición de flujo crítico (mínima energía específica) se puede producir en un canal ya sea aumentando su nivel de fondo así como reduciendo su ancho, o mediante una combinación de ambas acciones. dy dz 1 Para la situación en la que existe un escalón de fondo, el lugar Fr 1 exacto en donde se produce esta condición de flujo crítico resulta ser en el d z extremo del escalón o sea el punto más alto (dz/ = 0 ; 0). Fr A B dy < Para la situación en la que existe una contracción en el ancho de la sección dy db Fr y ( 1 Fr ), la condición de flujo crítico se alcanza cuando el ancho B es un mínimo ( db/ = 0 ; d B B dy > 0 ) y UdelaR - FI - IMFIA E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez