TRANSMISION DE CALOR UNIDAD 1 TRANSMISION DE CALOR

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1 TRANSMISION DE CALOR UNIDAD 1 TRANSMISION DE CALOR 1

2 TRANSMISION 2 DE CALOR PROLOGO El presente módulo se revisa y actualiza ampliando las aplicaciones de los mecanismos de transferencia de calor a los procesos alimentarios, siendo de mencionar el flujo de calor por conducción en estado inestable o no estacionario y la convección. Se profundiza en los mecanismos de convección que hoy por hoy se constituyen en los más empleados en el ámbito industrial y se presentan bases muy importantes para la aplicación de tecnologías, algunas tradicionalmente no tratadas en las operaciones unitarias como el escaldado, la crioconcentración, y liofilización Igualmente se introduce una herramienta importante, en ingeniería, para el manejo de los diversos procesos y operaciones unitarias como es la simulación operacional empleando programas de computadora. Como ayuda para los estudiantes y en el ánimo de introducirlos a tan interesante campo, se complementa la resolución de problemas mediante el uso de la hoja electrónica, en el programa excel. En estas hojas de cálculo ya se puede hacer simulación a un nivel sencillo y al alcance de los contenidos del presente texto. Para ello el módulo se acompaña de un archivo que contiene tanto las memorias como las hojas de cálculo. 2

3 TRANSMISION DE CALOR INTRODUCCION: Prácticamente todas las operaciones que tienen lugar en la industria de alimentos, implican la generación y/o absorción de energía en la forma de calor. Multitud de equipos en el desarrollo de su trabajo requieren de calor para su servicio o desprenden calor como subproducto o excedente de operación. La termodinámica estudia el calor y su relación con las formas de energía en un sistema previamente seleccionado. La transferencia de calor estudia el flujo o transporte de calor que ocurre en un sistema, las leyes que rigen dicho flujo y su aplicación práctica en los equipos que transfieren el calor. En el presente texto se estudiarán los mecanismos básicos del flujo de calor y los sistemas o métodos cuantitativos de cálculo para su posterior aplicación en operaciones como: Calentamiento o Enfriamiento Evaporación Secado Destilación Humidificación Refrigeración Congelación Liofilización, etc. Dado que algunas de estas operaciones implican transferencia de masa, es importante tener presente las consideraciones sobre balance de materiales y obviamente sobre balance de energía. 3

4 TRANSMISION 4 DE CALOR OBJETIVOS General Definir los mecanismos de transferencia de calor, los coeficientes de transferencia y realizar sus cálculos teóricos de transferencia de calor. Específicos - Identificar los mecanismos de transferencia de calor. - Establecer la ecuación general de transmisión de calor. - Hallar los coeficientes de transferencia de calor. - Realizar cálculos teóricos de procesos de transferencia de calor por conducción, convección y radiación. - Elaborar memorias de cálculo para aplicaciones en problemas de la industria. - Resolver problemas ingenieriles mediante hojas de cálculo. 4

5 TRANSMISION DE CALOR AUTOEVALUACION INICIAL Seleccione la respuesta correcta 1. El calor es una energía debida a: a. movimiento gravitatorio b. posición de los cuerpos c. movimientos moleculares d. interacción atómica 2.- La temperatura es la medida de: a. el contenido de calor de los cuerpos b. el equilibrio de sistemas termodinámicos c. la energía interna de los cuerpos d. calor o frio de los cuerpos 3. El flujo de calor ocurre cuando se tienen cuerpos: a. fríos y calientes b. a diferentes temperaturas c. en diferentes fases e. en diferentes estados 4.- Las unidades del flujo de calor en el sistema MKS son a.- Julios / segundo b.- kilocalorias / segundo c.- kilocalorias / hora d.- calorias / minuto 5. Complete las siguientes afirmaciones: A. El enfriamiento de los alimentos en los cuartos fríos implica la aplicación de la ley de la termodinámica. 5

6 TRANSMISION 6 DE CALOR B. El flujo de calor entre dos cuerpos que se encuentran a diferente temperatura y se ponen en contacto ocurre en el sentido de C. La transmisión de calor ocurre mediante los mecanismos de, y D. El mecanismo de transmisión de calor que ocurre mediante una camisa de vapor como en el caso de una marmita se denomina E. El principal mecanismo de flujo de calor para los sólidos se denomina F. La energía radiante emitida por un cuerpo caliente es transmitida por el espacio en forma de G. La ley referida a la transferencia de calor ( enfriamiento o calentamiento) por convección se denomina H. El mecanismo de transmisión de calor en fluidos que ocurre cuando se inducen artificialmente movimientos que asignan mezcla o turbulencia se denomina 6. Para el escaldado de frutas se prepara agua caliente a 90 o C. Determine la cantidad de calor necesaria para preparar litros de agua que se encuentran 15 o C. El calor específico del agua puede tomarse como 1 cal/gr o C. 7.- Establezca la cantidad de calor que se requiere retirar a 465 kilos de mermelada que se encuentran a 75 o C y debe ser enfriada a 55 o C para su envasado. El calor específico es de 3,2 J / kg o C 8. Una fuente de calor produce kca/hr y se emplea para concentrar una salmuera del 20% al 50%. Asumiendo un aprovechamiento del 70% del calor producido, determine la cantidad de salmuera concentrada por hora, cuando se alimenta a 20 o C. Datos obtenidos de tablas: Entalpía solución al 20%: 34 kcal/kg. Temperatura ebullición: 108 o C. 6

7 TRANSMISION DE CALOR Entalpía solución al 50%: 154 kcal/kg. Temperatura ebullición: 143 o C. Temperatura de ebullición del agua: 100 o C. Calor latente de vaporización del agua: 540 kcal/kg. 7

8 TRANSMISION 8 DE CALOR 1.1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Todo flujo de masa o energía implica una fuerza motriz que ha de vencer una resistencia que se opone al flujo; en el caso de fluidos la fuerza motriz es una presión que se aplica a la masa y vence la viscosidad que posee el fluido; el resultado es un movimiento que puede ser medido por la magnitud conocida como velocidad. La corriente eléctrica o intensidad eléctrica tiene lugar cuando una diferencia de potencial eléctrico vence una resistencia eléctrica. Para la transferencia de calor, la diferencia de temperaturas es la fuerza motriz que vence una resistencia térmica para permitir el flujo de calor, así: Fuerza. Motriz Flujo = = Re sistencia FM R (1-1) El flujo tiene como base de medida la cantidad de masa, peso o energía que se transporta por unidad de tiempo. Para el calor la magnitud a transportar es: calorías en el sistema CGS, kilocalorías en MKS, BTU en el inglés o Julios en el internacional, siendo común para todas ellas el segundo como unidad de tiempo. El flujo de calor, conocido por la letra q se expresa como cantidad de calor Q transportada por unidad de tiempo t. Q q = (1-2) t Con unidades cal kcal BTU ; ; seg. seg. seg. Dadas las cantidades de calor que se transfieren durante un proceso, se acostumbra a usar Kcal/hr, BTU / hr ó Watios. El calor fluyendo de cuerpos o zonas de cuerpos, de alta temperatura a cuerpos o zona de cuerpos a baja temperatura lo hace fundamentalmente en uno ó más de tres mecanismos de transferencia de calor. Ellos son conocidos como CONDUCCION, CONVECCION Y RADIACION mecanismos que en la práctica se presentan en forma individual o simultánea. Para efectos de un estudio teórico, inicialmente se estudiará cada uno en forma independiente para concluir con el estudio simultáneo de ellos Conducción La conducción es un mecanismo de transferencia que ocurre sustancialmente 8

9 TRANSMISION DE CALOR en sólidos y en muy poco grado en fluidos y obedece al cambio de momentum o cantidad de movimiento de los átomos o moléculas de los cuerpos por la variación de la energía interna consecuencia de los cambios de temperatura. En los sólidos el cambio de la cantidad de movimiento trae como consecuencia un arrastre de electrones y en los fluidos en reposo colisiones en las moléculas. Ocurre transferencia de calor por conducción en las paredes de un horno, en placas metálicas de un radiador, en la base de una plancha, en paredes de tuberías, en las cuales fluyen líquidos calientes, etc. Cuando las caras de un objeto están expuestas a diferentes temperaturas ocurre un flujo de calor de la zona de más alta temperatura a la de más baja temperatura. Fourier, Biot y otros investigadores establecieron que el flujo de calor es proporcional directamente al área a través de la cual fluye el calor, al gradiente o diferencia de temperatura e inversa a la distancia que recorre el calor. q α A T / x (1-3) Siendo q el flujo de calor A el área normal o perpendicular al flujo T gradiente o diferencia de temperatura x gradiente de distancia o recorrido. En un comienzo Fourier y col, establecieron para cada sustancia una constante de proporcionalidad K, llamada conductividad térmica para expresar: q = K. A. T / x (1-4) Las unidades para conductividad térmica, deducidas de la ecuación (1-4) son: Kcal m Btu ft W m , , , s m 2 0 C s ft 2 0 F m 2 0 K En la práctica se emplean las unidades siguientes: Kcal Btu W , , , hr m 2 0 C hr ft 2 0 F m 2 0 K Estudios posteriores demostraron que la conductividad térmica no es constante sino que varía en mayor o menor grado con la temperatura; en la mayoría de los sólidos la variación es muy pequeña pero en los líquidos y gases la variación es muy amplia. 9

10 TRANSMISION 10 DE CALOR En los metales los valores de K son altos, en sólidos no metálicos los valores son relativamente bajos en tanto que los líquidos y gases poseen valores bajos como se aprecia en la lista siguiente: K Btu/hr ft 0 F Metales Aleaciones 7-70 Sólidos no metálicos 1-10 Líquido no metálico 0,1-0,4 Materiales aislantes 0,02-0,1 Gases 0,004-0,1 En las figuras 1-7 y 1-8 y Tabla No 1 se dan valores de K para los materiales más comunes en ingeniería. Algunos autores presentan la ecuación (1-4) con signo menos q = - KA dt/ dx (1-5) en concordancia a un gradiente matemático que se toma como estado final menos estado inicial. Dado que el flujo de calor obedece a un gradiente físico o diferencial positivo de temperatura como se establece en la 2ª. ley de la termodinámica, en el presente texto se empleará la ecuación 1-4 tomando siempre como gradiente de temperatura, la diferencia entre la más alta y la más baja. Ejemplo 1. Determinar el flujo de calor a través de la pared de un cuarto cuyas temperaturas superficiales en la pared son -20 o C y 40 o C, la conductividad térmica del material es de 0,8 Kcal/hr m o C y su espesor es de 10 cms. Solución.- Dado que no se especifica el área de la pared, se puede o bien calcular el flujo de calor por unidad de superficie q/a, o el flujo de calor en 1 m 2 de pared. La figura 1 da una representación gráfica del flujo. 10

11 TRANSMISION DE CALOR -20 C 40 O O 2 1 m Q 0,1 m DIAGRAMA DE FLUJO DEL CALOR FIGURA 1 Para la segunda opción, aplicando la ecuación 1-4 y con datos. K = 0,8 Kcal / hr m o C A = 1 m 2 T = 40 - (-20) o C = 60 o C x = 0,1 m Para aplicar la ecuación 1-5 el gradiente matemático de temperatura puede ser 60 o C ó -60 o C, dependiendo de cual temperatura 40 ó -20 se toma como inicial. Con la ecuación (1-4), se establece que el flujo de calor ocurre de la superficie que está a 40 0 C hacia la que está a C. 0.8x1x(40 ( 20)) q = 0.1 Resp: q = 480 Kcal/hr Ejemplo 2. En un ensayo para determinar la conductividad térmica de un material, se empleó un bloque de 1 x 1 pies de área y 1 pulgada de espesor; cuando se tuvo un flujo de 800 BTU/ hr a través del bloque, se registraron temperaturas de 80 y 120 o F en cada una de sus caras. Calcular el valor de la conductividad térmica. Solución. La figura 2 representa gráficamente el flujo de calor Aplicando la ecuación general de la transferencia por conducción, se obtiene el valor de K así: 11

12 TRANSMISION 12 DE CALOR K q. x = A. T Q 1 in. FIGURA 2 Para la resolución del problema inicialmente deben establecerse unidades consistentes, así: con q = 800 BTU/hr x = 1" = 1/12 pies = 0.083' A = 1 x 1 pies = 1 pie 2 T = 120 o F - 80 o F = 40 o F Luego K 800x0.83 = = 1,67BTU / hr. ft. 1x40 0 F Resp. K = 1,67 BTU/hr ft o F Convección La convección es un fenómeno de transferencia que ocurre únicamente en los fluidos y tiene lugar por la mezcla de porciones calientes de un material con porciones frías del mismo. Igualmente existe el mecanismo de convección cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo sólido ó a través de ductos o tuberías que se encuentran a temperatura diferente a las del fluido. En términos generales la convección ocurre cuando se tiene flujo de calor por mezcla o turbulencia. En el flujo laminar o de capas delgadas de los fluidos puede ocurrir 12

13 TRANSMISION DE CALOR transferencia de calor por conducción pero normalmente tiende a cambiarse al mecanismo por convección debido a la formación de remolinos o turbulencia causadas por los cambios de densidad con la temperatura. En la práctica el flujo de calor por convección siempre va acompañado de flujo por conducción debido a que el calor pasa a través de películas o capas laminares en el mecanismo propio de la conducción y no es sencillo o no se acostumbra considerarlos independientes para su aplicación. En su estudio teórico cada mecanismo inicialmente se estudiará por separado, pero en los problemas se plantearán situaciones concordantes con la realidad en la que influyen por lo menos dos de los tres mecanismos existentes. Transferencia de calor por convección ocurre en el calentamiento de una habitación empleando un calentador eléctrico ó de vapor; en el calentamiento de líquidos en recipientes, vasijas y en la industria en innumerables equipos que se denominarán intercambiadores de calor y en los cuales el flujo de calor se efectúa entre la superficie del equipo y el fluido que pasa en contacto con ella. Para facilitar los cálculos de transferencia de calor entre una superficie que se encuentra a una temperatura Ts y un fluido que se desplaza sobre ella a una temperatura Tf si Ts>Tf se ha introducido un coeficiente de transferencia de calor, h, y se aplica la ecuación q = h A (Ts-Tf) (1-6) donde q que es el flujo de calor en dirección normal o perpendicular a la superficie y h coeficiente de transferencia de calor por convección también conocido como coeficiente de película y cuyas unidades son: en sistema internacional W m 2. 0 K y en un sistema, llamémoslo comercial Kcal BTU ; hr. m. C hr. ft. C, A diferencia de la conductividad térmica K, que es especifica para un material a una temperatura dada, el coeficiente de película h, varía de acuerdo a la velocidad del fluido, por consiguiente es función del ducto que transporta el fluido o del tamaño del recipiente que lo contiene, igualmente es función de ciertas propiedades del fluido como son calor específico, densidad, viscosidad y aún de la misma conductividad térmica, propiedades que como bien se sabe varían con la temperatura. 13

14 TRANSMISION 14 DE CALOR Ejemplo 3 Una superficie transfiere 28 Btu / min ft 2 a un fluido que se encuentra a 42 o F. a) Determinar la temperatura de la superficie cuando el coeficiente de película es de 40 Btu/hr ft 2 o F. b) Determinar la temperatura del fluido cuando la superficie conserva su temperatura y el coeficiente varia a 50 Btu/hr ft 2 o F. Solución.- En el problema, típico de convección se dispone para la parte a) de los datos siguientes q/a = 28 Btu / min ft 2 Tf = 42 o F h = 40 Btu / hr ft 2 o F La temperatura de la superficie puede obtenerse de la ecuación 1-6, en la que puede tomarse como área de transferencia de calor 1 ft 2, o expresar la ecuación como: q/a = h(ts-tf), de esta expresión, Ts = q/ah + Tf Para aplicarla, se debe tener consistencia de unidades y el flujo por unidad de área debe llevarse a horas, luego BTU min BTU q/a = x = min ft 2 hr hr ft 2 Reemplazando para Ts 1680 BTU / hr ft 2 Ts = o F Ts = = 84 o F 40 BTU/ hr ft 2 o F b) Siendo el flujo por unidad de área q/a = 1680 Btu / hr ft 2 q 1680 BTU / hr ft 2 Ts - Ta = = = 33,6 o F ha 50 BTU / hr ft o F y Ta = 84,0-33,6 = 50,4 o F Radiación Resp a) Ts = 84,0 o F b) Ta = 50,4 o F 14

15 TRANSMISION DE CALOR Todo cuerpo emite radiaciones que se transmiten a través del espacio o a traves de ciertos cuerpos.. La naturaleza de estas radiaciones se ha planteado por diversas hipótesis, la de Planck establece que las radiaciones están constituidas por fotones o paquetes de energía también llamados quantum. Maxwell en su teoría clásica establece que ellas son ondas electromagnéticas, las dos teorías pueden conjugarse considerando que los paquetes de energía, de carácter electromagnético, viajan en forma ondulatoria. Acorde a la longitud de onda, las radiaciones producen efectos específicos, desde los denominados rayos cósmicos cuyos efectos son de orden termonuclear hasta las ondas hertzianas de amplio uso en las telecomunicaciones y su clasificación se hace por dichos efectos. Así y en secuencias de las más pequeñas longitudes a las más grandes longitudes de onda se tiene: Longitudes de onda metros Rayos cósmicos Rayos gamma a Rayos equis 6 x 10-6 a Ultravioleta 14 x 10-9 a 4 x 10-7 Visibles o luz 0,4 x 10-7 a 0,8 x 10-6 Infrarrojos 0,8 x 10-6 a 4 x 10-6 Radio 4 x 10-6 a 10 4 Ultralargas > 10 4 En todo el espectro se genera calor pero los efectos son notorios en la zona de los rayos infrarrojos y la emisión o absorción de energía radiante térmica ocurre principalmente para estas longitudes de onda. La emisión o absorción de energía radiante en los sólidos y líquidos es un proceso secuencial. Para la emisión de energía, la temperatura interior genera la radiación que fluye hacia el exterior y se emite a través de la superficie,. Para la absorción, la radiación que llega al cuerpo, incide sobre la superficie del mismo y penetra en él, en donde se va atenuando pero aumentando la temperatura del cuerpo. En la mayoría de los sólidos el efecto de la radiación incidente se atenúa a una distancia muy pequeña de la superficie (distancia del orden de micras) y el fenómeno recibe el nombre de RADIACION DE SUPERFICIE. En los gases la radiación actúa sobre todo el volumen, bien sea emitida o absorbida, en este caso se tiene la RADIACION GLOBAL. 15

16 TRANSMISION 16 DE CALOR No toda la radiación que incide sobre un cuerpo es absorbida por el mismo. Parte es reflejada y en algunos la radiación pasa de largo. Igualmente no toda la radiación disponible de un cuerpo es emitida, parte de ésta es retenida. Los cuerpos ideales que absorben toda la energía radiante que incide sobre ellos se llaman cuerpos negros, igual denominación reciben los cuerpos ideales que emiten toda energía radiante disponible. Los cuerpos reales que no absorben o emiten la totalidad de la energía radiante que incide o disponible, reciben el nombres de cuerpos grises. De acuerdo a como se comporta un cuerpo, respecto a la radiación que incide sobre él, se clasifican en: a) Cuerpos Opacos: aquellos que absorben la casi totalidad de la energía radiante y la convierten en calor, son la mayoría de cuerpos que existen en el universo. b) Cuerpos Transparentes: aquellos que dejan pasar la casi totalidad de la energía radiante que llega de ellos, ejemplo de ellos son el cuarzo fundido, el vidrio transparente y gases no polares. c) Cuerpos Reflexivos o Espejos Térmicos: aquellos que reflejan la mayor parte de la radiación incidente, cuerpos metálicos con superficies opacas pulidas y los espejos ópticos son ejemplos. Los cuerpos de color negro y las superficies mate absorben la mayor parte de la radiación incidente transformándolas cuantitativamente en calor. Experimentalmente se ha establecido que la energía radiante emitida por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta a la cual se encuentra. E α T 4 (1-7) Siendo E la energía radiante. Los científicos, Stefan por métodos experimentales y Boltzman por deducciones matemáticas establecieron que la constante de proporcionalidad llamada de Stefan-Boltzman y representada por la letra δ, tiene valores de: 0,1714 x 10-8 Btu/hr ft 2 o R 4 4,878 x 10-8 Kcal/m 2 hr o K 4 0,56697 x 10 W/m 2 o K 4 La ecuación (1-7) se convierte en E = δ T 4 (1-8) Con unidades de E Btu/hr ft 2, Kcal/hr m 2, W/m 2 El flujo de calor por radiación implica un cuerpo emisor, con A 1 que se encuentra a una temperatura T 1 y un cuerpo receptor con A 2 que se encuentra 16

17 TRANSMISION DE CALOR a una temperatura T 2, siendo T 1 >T 2. Cuando los dos cuerpos son negros e infinitos, el flujo de calor por radiación para el cuerpo de área A 2, que absorbe toda la radiación del cuerpo de área A 1 es q = δ A 1 (T T 4 2 ) (1-9) Donde q es el flujo de calor en Btu/hr ó Kcal/hr ó Watios. La ecuación (1-9) expresa lo que se denomina la ley de Stefan-Boltzman. Desde el punto de vista de radiación térmica, se llama cuerpo infinito aquel que recibe toda la radiación que sale de otro cuerpo. El ejemplo más clásico es el de una cuerpo A, encerrado totalmente por un cuerpo B, es decir un objeto dentro de una caja o una esfera. Toda la radiación que sale del cuerpo A ó del objeto llega al cuerpo B ó a la caja. En el capítulo específico de radiación se estudiará la radiación de los cuerpos grises, fundamentada en el fenómeno para los cuerpos negros. Hoy por hoy, la radiación térmica adquiere una preponderante importancia en el aprovechamiento de la fuente térmica más importante de la naturaleza como es el sol. Ejemplo 4 Calcular la energía radiante disponible de un cuerpo negro que se encuentra a 80 o F. Solución.- Para aplicar la ley Stefan-Boltzman se tiene T = ( ) 0 R = R y δ = 0,1714 x 10-8 Btu/hr ft 2 0 R 4 E = δt 4 = 0,1714 X 10-8 X BTU/hr ft 2 0 = 145,7 BTU/hr ft 2 0 Resp 145,7 BTU/hr ft 2 0 Ya se mencionó como en la naturaleza o en la industria el flujo de calor se hace por dos ó los tres mecanismos y es el empleo de la resistencia térmica R, lo que nos permite trabajar la presencia simultánea de los mecanismos Circuito termico - Resistencia termica. En aplicaciones industriales se pueden presentar simultáneamente dos o los tres mecanismos. En la conducción se puede presentar flujo a través de paredes compuestas. Para estos casos se introduce la analogía con los sistemas eléctricos y más concretamente con los circuitos y resistencias. De la ecuación de flujo, igual a fuerza sobre resistencia se obtienen las resistencias térmicas así: T T x Para conducción q = K A --- = ==> R = (1-10) 17

18 TRANSMISION 18 DE CALOR x R K A T 1 Para convección q = h A T = ==> R = (1-11) R h A T T Para radiación q = δ A (T 4 1 -T 4 2 ) ==> R = (1-12) R δa(t 4 1 -T 4 2 ) Teniendo en los tres casos como unidades: hr o F / BTU, hr o C / Kcal, 0 / W El concepto de resistencia permite emplear los llamados círcuitos térmicos, que de acuerdo a los mecanismos o cuerpos involucrados serán en serie o en paralelo. 18

19 TRANSMISION DE CALOR T1 T2 Ta A Tb R1 R2 R3 K1 K2 K3 Ta T1 T2 Tb X1 X2 X3 DIAGRAMA DE FLUJO DE CALOR CIRCUITO TERMICO FIGURA 1-3 R3a Ta 3a Tb Ta Tb 1 2-3b R1 R2 DIAGRAMA DE FLUJO DE CALOR FIGURA 1-4 R3b CIRCUITO TERMICO A B X2 X3 DIAGRAMA DE FLUJO DEL CALOR X4 R3a R1 R2 R4 R5 R3b CIRCUITO TERMICO FIGURA

20 TRANSMISION 20 DE CALOR 1.2. Conducción La conducción se puede estudiar fácilmente a partir de la conducción en los sólidos, ya que no hay interacción de la convección o mejor este último mecanismo no tiene incidencia en los sólidos. Como todas las leyes físicas, la ley básica de la conducción del calor se basa en observaciones experimentales iniciadas por el físico Biot pero planteadas matemáticamente por el físico Joseph Fourier. En muchas situaciones, un material es sometido a un calentamiento o enfriamiento y su temperatura va cambiando a medida que transcurre el tiempo. Al cabo de un lapso de tiempo la temperatura se estabiliza, como en las paredes de los hornos de panadería. Con base al comportamiento de las temperaturas se establecen dos casos particulares que merecen estudios muy enfatizados al comportamiento de las temperaturas del cuerpo o de partes del cuerpo. Cuando la temperatura se mantiene constante a través del tiempo se tiene el estado estacionario o estable y cuando la temperatura cambia con el tiempo se tiene el estado inestable, no estacionario o transitorio Conducción en estado estacionario Recordando que la tasa de operación es la relación entre la fuerza o potencial y la resistencia que se opone a esa fuerza, podemos establecer: Fuerza conductora dt Rata o tasa = = (1-13) Resistencia dr En este caso la fuerza conductora es la diferencia o gradiente de temperatura a lo largo del sólido, siendo necesario que exista una desigualdad de temperaturas para que el calor fluya, como se aprecia en la figura No Con estas consideraciones la ley de transferencia de calor por conducción establece que la tasa o rata de transferencia de calor q, efectuada en una dirección dada, es proporcional al área A normal o perpendicular a la dirección del flujo del calor y al gradiente de temperatura 20

21 TRANSMISION DE CALOR FIGURA 1-6 Flujo de calor en placa plana T (fuerza conductora) en esa dirección, e inversamente proporcional al espesor X en la dirección dada así: dt Adt q = = K (1-14) dr dx Siendo K una propiedad de los cuerpos conocida como conductividad térmica del material. La conductividad térmica, K, es una característica física o propiedad específica del material. El valor de K depende pues del material y de su temperatura, aunque la variación con esta última es relativa y para valores pequeños de T puede considerarse a K como constante. En las figuras 1-7 y 1-8 se relacionan los valores de las conductividades térmicas para diferentes sustancias. La conductividad térmica de los metales en estado sólido y de composición conocida disminuye con la temperatura aunque en las aleaciones el fenómeno se presenta a la inversa. En términos generales, la conductividad térmica puede ser representada en un amplio rango de temperatura por la ecuación general: K = K o [1 +b T +c( T) 2 j (1-15) donde K o es la conductividad a una temperatura de referencia y T la diferencia entre temperatura para K y la temperatura de referencia; b y c son constantes específicas para cada sustancia. Para materiales no homogéneos, la conductividad depende de la densidad 21

22 TRANSMISION 22 DE CALOR aparente lo cual se define como la relación de masa de la sustancia, dividida FIGURA 7 por el volumen total que ocupa, que incluye a su vez el volumen vacío, tal como el de las burbujas de aire o gas, o aun vacíos dentro del material; como regla general para las sustancias no homogéneas la conductividad térmica aumenta al incrementarse la temperatura o la densidad aparente. 22

23 TRANSMISION DE CALOR FIGURA 8 Los líquidos tienen un comportamiento en general similar al de los metales, la conductividad disminuye con el aumento de la temperatura y no varía con la presión. El agua presenta un comportamiento diferente pues muestra aumento de K hasta cerca de los F y luego disminuye teniendo de todas formas la más alta conductividad térmica de los líquidos, con excepción de los metales líquidos. Para los gases el comportamiento en general es opuesto a los líquidos y sólidos; aumentan al elevar la temperatura, siendo independiente de la 23

24 TRANSMISION 24 DE CALOR presión en una franja de presión cercana a la atmosférica. Para altas presiones, el efecto de ésta es muy significativo y debe hacerse corrección. Cuando K varía sensiblemente con la temperatura y se tienen valores grandes de T, puede emplearse sin inducir error apreciable un valor K promedio bien sea de los valores de la constante para las temperaturas inicial o final o al valor de la constante para la temperatura promedio. Los sólidos tienen valor relativamente alto de conductividad térmica en tanto que para la mayoría de los líquidos y gases los valores son bajos. Son pocos los datos seguros y exactos de la conductividad térmica debido principalmente a la dificultad de su medida ya que ella es muy sensible a los cambios aun pequeños de la composición química y estructura física de los cuerpos Flujo de calor en estado estacionario a través de una lámina plana Considerando flujo de calor en una dimensión y a través de una lámina plana como en la figura 1-6, en que la conducción de calor tiene lugar en estado estacionario o en el cual no hay ni acumulación ni desprendimiento de calor en el interior de la lámina para una distancia X, tenemos: Comparando las ecuaciones 1-5 y 1-6 se encuentra que dx x dr = y R = KA KA Igualmente q, tasa de transferencia, es la cantidad de calor Q, transmitida por unidad de tiempo t, es decir: Q q = (1-16) t luego T 2 - T 1 T q = KA = KA (1-17) x x Para estas ecuaciones se tiene como unidades de q Cal/hr o BTU/hr Q Calorías o BTU X metro o pie (ft) A metro 2 o pie 2 (ft 2 ) K Cal-m/m 2 hr 0 C o BTU - ft / ft 2 hr 0 F o watios / m 0 C T 0 C o 0 F 24

25 TRANSMISION DE CALOR t Tiempo en segundos u horas Como ya se había mencionado en las figuras 1-7 y 1-8 se gráfican las conductividades térmicas de algunas sustancias empleadas en Ingeniería. Como puede apreciarse en las figuras, la conductividad térmica es función de la temperatura y muy diferentes para los distintos materiales. Ejemplo 5 Un horno tiene paredes en ladrillo refractario de 1 pie de espesor, con temperatura interior de F y exterior de 70 0 F. Cuál es la tasa de transferencia de calor para una pared de 9 ft 2 de espesor. Solución : Aplicando la ecuación (1-15), con valor de K = 0,25 BTU / (ft hr o F) obtenido de la tabla 1. T q = K A = 0,25 x 9 x = 1.192,5 BTU/hr x 1 Para este ejemplo establezca la consistencia de unidades Resp: 1.192,5 BTU /hr O O 600 F 70 F R DIAGRAMA CIRCUITO TERMICO FIGURA 1-9 Flujo estacionario en una placa plana Ejemplo 6 Se desea construir en ladrillo, la cámara de combustión de una caldera siendo las paredes laterales de 24 ft 2 cada una. La temperatura interior es de F y se busca que la exterior sea de F. Determine el espesor de la pared para tener pérdidas de calor de 3,7 BTU/seg. Solucion: De la ecuación 1-15 obtenemos X 25

26 TRANSMISION 26 DE CALOR K A T X = q Siendo q = Q BTU /seg x (seg / hr ) = 3,7 x = BTU / hr 0,25 x 24 x ( ) y X = = 0,95 ft Nuevamente verifique usted la consistencia de unidades. Resp: 0,95 pies Una pregunta que surge de los dos ejemplos anteriores es pueden construirse paredes en ladrillo de espesores tan definidos como 1 ft (30,5 cm) ó 0,95 ft (28,98 cm) cuando normalmente los ladrillos tienen dimensiones de 25 x 6 x 12 cm? ó qué ocurre con el espesor de la mezcla que se emplea para pegar los ladrillos? Pues bien, los fabricantes de ladrillos refractarios, proveen cementos igualmente refractarios con coeficientes iguales de tal forma que las dimensiones se ajustan haciendo más o menos anchas las juntas o pegues de los ladrillos. Ejemplo 7 Una cava o cuarto frío para almacenamiento de productos perecederos debe ser mantenida a 2 0 C, siendo la temperatura ambiente de 38 0 C. Para aislar las paredes se emplea lámina prensada de corcho, que tiene conductividad térmica de 0,021 BTU ft / ft 2 hr o F a 32 0 F y 0,032 a F. Determine el espesor de la lámina si se espera un flujo de calor de 200 BTU/hr a través de la pared de 25 ft 2. Solucion: Comercialmente se acostumbra a expresar la conductividad térmica en la unidades BTU ft / ft 2 hr o F ó BTU in / ft 2 hr o F, consecuente al espesor de la lámina ( en pies, ft o pulgadas, in ) y a la superficie o área de transferencia ( en pies cuadrados, ft 2 ). Para determinar K se puede tomar la temperatura promedio e interpolar para el valor obtenido C T = = 20 0 C = 68 0 F 2 K para 68 o F es, 26

27 TRANSMISION DE CALOR (68-32) (0,032-0,021) K = 0, = 0, ,002 = 0,023 BTU ft /ft 2 hr 0 F Otro método de encontrar K, es interpolando gráficamente (figura 1-10). Con este valor, reemplazamos en la ecuación 1-14 y tomando T= ( ) C = 36 0 C = 64,8 0 F Luego 0,023 x 64,8 x 25 q = 200 = ===== x = 0,186 ft =2,24 in x Resp: 2,24 in. NOTA: Debe recordarse que para convertir diferencia de temperatura en grados centígrados a grados Farenheit, se multiplica por 1,8 el T. Interpolación gráfica para determinar la conductividad térmica FIGURA 10 En los anteriores ejemplos, se ha tomado la tasa de transferencia de calor a través de una resistencia constituida por un solo cuerpo uniforme de espesor X. El flujo de cualquier energía, como calor o electricidad, puede ser considerado como la relación entre una fuerza conductora y una resistencia; para el caso de la energía eléctrica la tasa de flujo eléctrico se expresa como 27

28 TRANSMISION 28 DE CALOR la relación: I = E/R Siendo E la fuerza conductora o voltaje y R la resistencia. Comparando esta ecuación con la correspondiente a la del calor o ecuación de Fourier, se encuentra que la tasa de flujo de calor es análoga a la intensidad eléctrica. En la industria es de común ocurrencia tener placas planas de diferentes materiales unidas en serie formando un conjunto sólido o pared. El flujo de calor a través de varias resistencias térmicas en serie presenta un comportamiento análogo al flujo de corriente a través de varias resistencias eléctricas en serie. Al tomar un conjunto de placas de diferente material unidas entre sí formando una serie de capas como se aprecia en la figura 1-11 el flujo de calor a través de cada una de ellas es constante y para cada una de ellas puede hacerse un análisis independiente para determinar el flujo de calor. Relacionado a la figura 1-11 las temperaturas interior y exterior del conjunto son Ti y Te respectivamente cuando Ti > Te el flujo ocurrirá en el sentido de izquierda a derecha. Para la primera placa que tiene conductividad térmica K 1 el flujo a través del área común A es FIGURA 11 Flujo de calor a través de placas plana en serie A T1 Ti - T 1 q 1 = K = K 1 A (1-18) X 1 X 1 Para la placa 2 de conductividad K 2 se tiene flujo 28

29 TRANSMISION DE CALOR A T 2 T 1 - T 2 q 2 = K = K 2 A x 2 x 2 y para placa 3 con conductividad K 3 A T 3 T 2 T 3 q 3 = K = K 3 A x 3 x 3 de las anteriores ecuaciones obtenemos q 1 x 1 T 1 = (1-19) A K 1 q 2 x 2 T 2 = A K 2 q 3 x 3 T 3 = A K 3 La caída total de temperatura en todo el sistema es T = Ti - Te = T 1 + T 2 + T 3 (1-20) q 1 x 1 q 2 x 2 q 3 x 3 T = (1-21) A K 1 A K 2 A K 3 Como el flujo de calor es constante a través del sistema q = q 1 = q 2 = q 3, reemplazando en (1-21) y tomando a q común X 1 X 2 X 3 T = q ( ) (1-22) AK 1 A K 2 A K 3 29

30 TRANSMISION 30 DE CALOR Las expresiones dentro del paréntesis corresponden a las resistencias térmicas de cada una de las placas, R 1, R 2, y R 3, ecuación (1-10 ), reemplazando T = q ( R 1 + R 2 + R 3 ) (1-23) despejamos q T q = (1-24) R 1 + R 2 + R 3 expresión que corresponde a la definición de flujo térmico T T 1 T 2 q = = = (1-25) R R 1 R 2 Siendo T la caída total de temperatura del sistema R resistencia total del sistema, así R = R 1 + R 2 + R 3 (1-26) Como en el caso del flujo de corriente a través de una serie de resistencias eléctricas la resistencia total es igual a la suma de las resistencias individuales. Esta analogía lleva a establecer que en un sistema o circuito térmico de placas planas en serie, las caídas de temperaturas son proporcionales a las resistencias térmicas individuales, es decir T T 1 T 2 T = = = (1-27) R R 1 R 2 R 3 Ejemplo 8. Las paredes de un horno, paralelipípedo están construidas de una placa de ladrillo silica -o- cel, de 12 cm. de espesor, con conductividad térmica de 0,09 Kcal m/m 2 hr 0 C y ladrillo común formando capa de 24 cm., la conductividad térmica de esta última es de 1,2 Kcal m/m 2 hr oc. (unidades comerciales). La temperatura en la pared interior del horno es de C y la de la pared exterior es de 85 0 C, Dibujar el circuito térmico correspondiente y determinar las resistencias térmicas, la temperatura de la interfase de los ladrillos y el flujo de calor en Kcal / hr Solución.- En la figura 12 se representa el circuito térmico respectivo. Como el flujo de calor es por m 2, bien puede tomarse como área de transferencia 1 m 2.Se denomina interfase a la zona ó superficie de contacto de los dos materiales. Para la solución se dispone de los siguientes datos 30

31 TRANSMISION DE CALOR X 1 = 12 cm = 0,12 m K 1 = 0,09 Kcal / m hr 0 C ó Kcal m / m 2 hr 0 C A = 1 m 2 Ti = C X 2 = 24 cm = 0,24 m FIGURA 1-12 Distribución de temperatura a través de una placa plana K 2 = 1,2 Kcal/hr m 0 C Te = 85 0 C y se pide determinar R 1, R 2 y T 1 as como q Las resistencias térmicas son X 1 0,12 R 1 = ---- = = 1,33 hr o C / Kcal K 1 A 0,09 x 1 R 2 X 2 0,24 = = = 0,20 hr o C / Kcal K 2 A 1,2 x 1 La resistencia total R = R 1 + R 2 = 1,53 hr o C / Kcal y el flujo de calor 31

32 TRANSMISION 32 DE CALOR T q = = = 467,32 Kcal / hr R 1,53 La temperatura de la interfase se obtiene a partir de la caída de temperatura en el ladrillo sílica -o- cel, acorde a (1-25) T 1 = q x R 1 = 467,32 x 1,33 = 621,53 o C y T1 = Ti - T 1 T 1 = Ti - T 1 T 1 = ,53 = 178,47 0 C Resp R1 = 1,33 hr o C / Kcal R2 = 0,20 hr o C / Kcal R = 1,53 hr o C / Kcal q = 467,32 Kcal/ hr T1= 178,47 0 C La situación representada en la figura 1-12 esquematiza el evento cuando el interior del horno y la pared están a C, y el flujo de calor ocurre unidimensionalmente; sin embargo al iniciarse la operación de calentamiento la temperatura de la pared interior es la ambiente. Suponiendo que ella es de 85 0 C la recta A representa la distribución de temperatura en las paredes. Al ocurrir una exposición brusca de la pared a la temperatura de C, la cara de la pared alcanza dicha temperatura y comienza el flujo de calor al cabo de cierto tiempo; la distribución de la temperatura puede representarse por la curva B. En este Instante, la temperatura para un punto dado P, está aumentando y obviamente ella depende del tiempo, el proceso de transferencia de calor es de conducción de flujo no estacionario. Ya cuando la pared se mantiene en contacto con el foco caliente y el foco frío durante largo tiempo se obtiene el flujo estacionario cuya representación gráfica es la línea C. En este estado estacionario, T es una función exclusiva de la posición y la velocidad de flujo de calor en un punto cualquiera es constante. Al iniciar el estudio de flujo por convección se tomó el flujo unidimensíonal y en una área perpendicular a la dirección del flujo siendo esta área plana Elaboración de la hoja de calculo en procesos térmicos Las Hojas de Cálculo permiten resolver múltiples problemas con base a sencillos programas elaborados ya bien sea para situaciones particulares o situaciones generales. En la elaboración de la Hoja de Cálculo, para problemas de conducción unidimensional en estado estacionario se establece las variables que intervienen en un problema de transferencia de calor y ellas son: 32

33 TRANSMISION DE CALOR Material M Conductividad Térmica K Espesor X Resistencia Térmica R Temperatura Alta Ta Temperatura Baja y Tb Diferencial o gradiente de temperatura T A estas variables se les asignan sendas columnas con los símbolos correspondientes, e igualmente se colocan las unidades consistentes, en los diversos sistemas ingenieriles o en unidades comerciales. Se pueden anotar las palabras, como se muestra en las hojas de cálculo inicialmente presentadas, o los símbolos como se ve en algunos ejemplos presentados en el anexo. Son normales los casos de varias placas o paredes en problemas que se llaman de paredes compuestas; en este caso de deja una fila para totalizar las resistencias y las caídas o diferencias de temperaturas. Normalmente en los problemas de Transferencia de Calor q, para la situación del enunciado, pretende encontrar el flujo q, de calor a través de una pared de área A. Para estas variables se asignan filas tal como se representa en el siguiente cuadro: FLUJO UNIDIMENSIONAL EN PLACAS PLANAS EN SERIE EN ESTADO ESTACIONARIO DETERMINACION DE LA TASA DE TRANSFERENCIA O FLUJO DE CALOR PLACAS PLANAS PRESENTACION DE LA HOJA CAPA MATERIAL K ESPESOR RESISTENCIA Ta Tb Τ kcal/m hr 0 C m 0 C 0 C 0 C AREA metros cuad. Total Total HOJA 1 Es conveniente acompañar el desarrollo del problema con un diagrama de la situación presentada, ya que ello facilita su solución. Se puede adicionar una fila de comprobación para las caídas de temperaturas, las resistencias térmicas o el flujo de calor, obtenidas por un medio diferente a como se calculó en el total. En términos prácticos el problema se plantea, anotando en las casillas respectivas los datos suministrados en el enunciado del problema, u obtenidos de tablas y diagramas. La resolución del problema consiste en realizar un 33

34 TRANSMISION 34 DE CALOR análisis de la situación que permita llenar todos los espacios vacíos. Para la resolución de problemas la fundamentación está en las resistencias térmicas y las analogías con circuitos, de ahí que la resolución por la hoja de cálculo implica siempre el cálculo de las resistencias térmicas. La Hoja de Cálculo es una valiosa ayuda o herramienta para el ingeniero, pero no reemplaza en ninguna circunstancia los conocimientos ni el proceso analítico que obligadamente debe tenerse para la resolución de problemas. Por el contrario para hacer una Hoja de Cálculo se requieren sólidos conocimientos de la temática a trabajar. En principio la resolución a través de la hoja de cálculo es más dispendiosa al plantearla en las memorias de cálculo, no obstante una vez se tenga la experiencia y habilidad adecuadas no se requieren de las memorias salvo para plantear el problema y acudir a referencias bibliográficas como se muestra en próximos ejemplos. En el ejemplo 8 ya presentado, se resolvió en forma convencional, enseguida se hará la presentación para la hoja de cálculo. Es decir se establecerán claramente los datos a consignar en la hoja. En lo posible se debe establecer antes de consignar los datos que se tengan unidades consistentes. En el caso de unidades de fácil conversión ello se puede hacer directamente en la casilla correspondiente como por ejemplo pulgadas a pies en que el valor en pulgadas se transcribe dividiéndolo por 12, o centímetros a metros dividiendo el valor por 100 En el cuadro de presentación de datos se anotan en los respectivos espacios, los valores dados en el ejemplo y que se constituyen en los datos necesarios para resolver el problema. Igualmente se ha tomado como base de cálculo un área de 1 metro cuadrado. FLUJO UNIDIMENSIONAL EN PLACAS PLANAS EN SERIE EN ESTADO ESTACIONARIO DETERMINACION DE LA TASA DE TRANSFERENCIA O FLUJO DE CALOR PLACAS PLANAS PRESENTACION EJEMPLO No. 8 CAPA MATERIAL K ESPESOR RESISTENCIA Ta Tb Τ kcal/m hr 0 C 1 Ladrillo Silica 0,09 0, m 2 Ladrillo 1,20 0,24 85 AREA m 2 1 Total HOJA 1 A En un tercer y cuarto paso se determina: el flujo de calor, aplicando q = T / R y las caídas o diferencial de temperatura aplicando para cada pared T = q x R. Finalmente en un sexto paso se establece la temperatura de la interfase, 0 C 0 C Total 0 C 34

35 TRANSMISION DE CALOR tomando la temperatura alta del primer material y restándole su respectivo diferencial o caída de temperatura. RESOLUCION PASO 1 CAPA MATERIAL K ESPESOR RESISTENCIA Ta Tb Τ kcal/m hr 0 C m hr oc /Kcal 0 C 0 C 0 C 1 Lad. Silica 0,09 0, Ladrillo 1,20 0,24 85 Total Total 715 AREA m 2. 1 FLUJO DE CALOR Kcal/hr m Comprobación PASO 2 CAPA MATERIAL K ESPESOR RESISTENCIA Ta Tb Τ kcal/m hr 0 C m hr oc /Kcal 0 C 0 C 0 C 1 Lad. Silica 0,09 0,12 1, Ladrillo 1,20 0,24 0, Total 1,533 Total 715 AREA m FLUJO DE CALOR Kcal/hr m Comprobación HOJA 1 B PASO 3 CAPA MATERIAL K ESPESOR RESISTENCIA Ta Tb Τ kcal/m hr 0 C m hr o C /Kcal 0 C 0 C 0 C 1 Ladrillo Silica 0,09 0,12 1, Ladrillo 1,20 0,24 0, Total 1,533 Total 715 AREA m 2. 1 FLUJO DE CALOR Kcal/hr m 466,3 Comprobación HOJA 1 C 35

36 TRANSMISION 36 DE CALOR SOLUCION FINAL CAPA MATERIAL K ESPESOR RESISTENCIA Ta Tb Τ kcal/m hr 0 C m hr oc /Kcal 0 C 0 C 0 C 1 Ladrillo Silica 0,09 0,12 1, ,3 621,7 2 Ladrillo 1,20 0,24 0, , ,3 Total 1,533 Total 715 AREA m FLUJO DE CALOR Kcal/hr m 466,3 Comprobación 715 HOJA 1 D A continuación se presentan dos hojas correspondientes a las simulaciones en la cuales se han modificado unas variables. SIMULACION Para diferentes temperaturas CAPA MATERIAL K ESPESOR RESISTENCIA Ta Tb Τ kcal/m hr 0 C m 0 C 0 C 0 C 1 Ladrillo Silica 0,09 0,12 1, ,0 141,3 508,7 2 Ladrillo 1,20 0,24 0, ,3 65,0 76,3 Total 1,5333 Total 585 AREA metros cuad. 1 FLUJO DE CALOR 381,5 Comprobación 585 SIMULACION Para diferentes materiales CAPA MATERIAL K ESPESOR RESISTENCIA Ta Tb Τ kcal/m hr 0 C m 0 C 0 C 0 C 1 Refractario 0,07 0,12 1, ,0 159,7 640,3 2 Ladrillo 1,20 0,24 0, ,7 85,0 74,7 Total 1,9143 Total 715 AREA metros cuad. 1 FLUJO DE CALOR 373,5 Comprobación Flujo de calor en estado estacionario a través de una pared cilíndrica Numerosas aplicaciones industriales de transferencia de calor se hacen a través de las paredes de tubos o tuberías y numerosos equipos de transferencia de calor empleados en la industria de alimentos tienen paredes cilíndricas. 36

37 TRANSMISION DE CALOR Considerando la conducción en flujo estacionario, en una dimensión para un FIGURA 1-13 cilindro hueco, como el mostrado en la figura 1-13, la temperatura es función sólo del radio r del cilindro. Aplicando la ecuación 2 con distancia r. dt q = K A (1-28) dr Siendo A = 2 π r L se obtiene 2 π r L d T q = K (1-29) dr Separando variables e integrando entre r 1 y r 2 y entre T 2 yt 1 Obtenemos: 2 π K L (T 2 - T 1 ) In (r 2 / r 1 ) = q Lo cual nos lleva a: 2 π K L T q = (1-30) In (r 2 / r 1 ) 37

38 TRANSMISION 38 DE CALOR En los cilindros huecos, la resistencia térmica Rc, acorde con la ecuación 1-14 será: In r 2 / r 1 Rc= (1-31) 2 π KL Esta ecuación puede reordenarse para lograr una ecuación similar a la de la placa plana así: In r 2 / r 1 (r 2 - r 1 ) ln (2 π r 2 L / 2 π r 1 L) Xc In (A 2 / A 1 ) R = = = π K L (r 2 - r 1 )2 π K L (A 2 - A 1 ) k Se ha llamado A 2 al área 2 π r 2 L (área exterior del cilindro). Se ha llamado A 1 al área 2 π r 1 L (área interior del cilindro). Se ha llamado Xc al espesor r 2 - r 1. Y llamando A L al área media logarítmica (es decir el promedio logarítmico de las áreas interior y exterior). A 1 - A 0 A L = (1-32) In A 1 / A 0 Obtenemos: Lc R (1) = (1-33) A L K Reemplazando este valor en la ecuación (1-28) T q = K A L (1-34) L ecuación análoga a la (1-17) empleada en flujo de calor a través de placas planas. Volviendo a la ecuación (1-34), el área media logarítmica puede expresarse en función de un radio medio logarítmico r 2 y de una longitud L. 38

39 TRANSMISION DE CALOR 2 π L (r 2 -r 1 ) A L = = 2π r 2 L (1-35) In (r 2 / r 1 ) Siendo: r 2 - r 1 r 2 = (1-36) In (r 2 / r 1 ) Cuando la relación r 2 / r 1 es aproximadamente igual a la unidad puede emplearse para r el valor promedio aritmético. Al tomar una pared cilíndrica compuesta, formada por capas concéntricas en contacto térmico ideal, como se muestra en la figura 1-14, se aplica la ecuación (1-27), para flujo de calor a través de resistencias térmicas individuales y T T 3 T 2 T 1 q = ---- = = = (1-37) R R 3 R 2 R 1 FIGURA 1-14 Capas concéntricas de una pared cilíndrica 39

40 TRANSMISION 40 DE CALOR En donde T 3 = T 3 - T 2 R 3 = 1/A 3 K 3 T 2 = T 2 - T 1 R 2 = 1/A 2 K 2 T 1 = T 1 - T 0 R 1 = 1/A 1 K 1 q = T R = T T 3 2 R + R + R Cuando se conocen las temperaturas T 3 y T 0 y las magnitudes de las resistencias térmicas individuales, se puede encontrar la tasa total de flujo de calor q a través de un área A en un sistema compuesto de varias capas por medio de la ecuación (1-25). Ejemplo 9 Una tubería de acero de 3 de diámetro conduce vapor y está cubierta por una capa de amianto de 1/2 de espesor y a su vez está recubierta con una capa de lana de vidrio de 2 de espesor. Determinar: - La transferencia de calor (pérdidas) en BTU/hr por pie lineal de tubería, si la temperatura exterior del tubo es de F y la exterior a la lana de vidrio es de 70 0 F. - La temperatura de la interfase entre la lana de vidrio y el amianto. De tablas, se tiene Amianto K 1 = 0,120 BIU/hrft 0 F Lana de vidrio K 2 = 0,0317 BIU/hr ft 0 F Solución: Aplicando la ecuación T q = R debe encontrarse R = R 1 + R 2 y acorde a la figura 1-14 In (r 2 / r 1 ) In (r 3 / r 2 ) R 1 = ; R 2 = π K 1 L 2 π K 2 L 40

41 TRANSMISION DE CALOR 1 In (r 3 / r 2 ) In (r 2 / r 1 ) R = ( ) 2 π L K 2 K 1 2 π L T q = (1-38) 1 r 3 1 r In In K 2 r 2 K 1 r 1 Como se pide encontrar pérdidas, por pie de tubería se deduce: q 2 π T = ; L 1 r 3 1 r In In K 2 r 2 K 1 r 1 reemplazando: q 2 π (320-70) O F = L In In q 1570 BTU = = 67, L hr ft Aplicando el valor encontrado de transferencia de calor, se aplica la ecuación (1-30) para encontrar T y luego T 2. Es decir: q/l r 2 T = In π K r 1 Para el amianto T = In = x = 24,73 O F 2 π (0.120)