Álgebra Lineal

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1 Unidad responsable: Unidad que imparte: Curso: Titulación: Créditos ECTS: ETSEIB - Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial de Barcelona MAT - Departamento de Matemáticas GRADO EN INGENIERÍA DE MATERIALES (Plan 2010). (Unidad docente Obligatoria) GRADO EN INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES (Plan 2010). (Unidad docente Obligatoria) GRADO EN INGENIERÍA QUÍMICA (Plan 2010). (Unidad docente Obligatoria) 6 Idiomas docencia: Catalán, Castellano Profesorado Responsable: Garcia Planas, Maria Isabel Otros: Competencias de la titulación a las cuales contribuye la asignatura Específicas: 1. Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización. Transversales: 04 COE. COMUNICACIÓN EFICAZ ORAL Y ESCRITA: Comunicarse de forma oral y escrita con otras personas sobre los resultados del aprendizaje, de la elaboración del pensamiento y de la toma de decisiones; participar en debates sobre temas de la propia especialidad. 05 TEQ. TRABAJO EN EQUIPO: Ser capaz de trabajar como miembro de un equipo interdisciplinar ya sea como un miembro más, o realizando tareas de dirección con la finalidad de contribuir a desarrollar proyectos con pragmatismo y sentido de la responsabilidad, asumiendo compromisos teniendo en cuenta los recursos disponibles. 02 SCS. SOSTENIBILIDAD Y COMPROMISO SOCIAL: Conocer y comprender la complejidad de los fenómenos económicos y sociales típicos de la sociedad del bienestar; capacidad para relacionar el bienestar con la globalización y la sostenibilidad; habilidad para utilizar de forma equilibrada y compatible la técnica, la tecnología, la economía y la sostenibilidad. 07 AAT. APRENDIZAJE AUTÓNOMO: Detectar deficiencias en el propio conocimiento y superarlas mediante la reflexión crítica y la elección de la mejor actuación para ampliar este conocimiento. 1 / 5

2 Metodologías docentes A las sesiones de teoría se presenta el cuerpo teórico básico ilustrando con ejemplos las nociones y resultados más importantes. A las sesiones de problemas se comentan los ejercicios y problemas que previamente ha resuelto el estudiante con objeto de consolidar los conceptos introducidos a las clases de teoría y a la vez se plantean problemas de modelización con los cuales contrastar las potencialidades del álgebra en las ciencias aplicadas y la ingeniería. A las sesiones de taller de álgebra se trabajará con la herramienta de *software matemático *Matlab y/o *Octave para introducir métodos efectivos de cálculo de rangos de matrices, resolución de sistemas de ecuaciones y cálculo de valores y vectores propios. A las sesiones de actividades dirigidas se trabajará la muestra de trabajos mediante el *e-*portafoli. Los estudiantes se distribuyen por grupos (54 horas presenciales, 24h de teoría, 24h de problemas, 6h de actividades dirigidas), cada uno de los cuales se divide en dos subgrupos para las sesiones de taller de Álgebra (6h presenciales). Objetivos de aprendizaje de la asignatura Los objetivos son los siguientes: i) Proporcionar un tratamiento comprensivo de la Teoría de Matrices requeridas por las diferentes disciplinas tecnológicas. En este sentido los conceptos y técnicas que se introducen se ilustran con aplicaciones elementales a la ingeniería. En el mismo sentido, se presentan herramientas informáticas adecuadas por el tratamiento de casos con dimensiones elevadas. ii) Iniciar en la manipulación de matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones diferencias de gran aplicación a diferentes áreas de la ingeniería. En este sentido se muestran aplicaciones de la teoría de matrices a diferentes campos tales como cadenas de Markov, modelos económicos, análisis numérico entre otros. iii) Adquisición de los conocimientos y principios básicos sobre la geometría de los espacios vectoriales. iv) Comprensión del papel que juegan las aplicaciones lineales en el contexto de los espacios vectoriales y su relación con lo el álgebra matricial. Horas totales de dedicación del estudiantado Dedicación total: 150h Horas grupo grande: 56h 37.33% Horas grupo mediano: 0h 0.00% Horas grupo pequeño: 4h 2.67% Horas actividades dirigidas: 0h 0.00% Horas aprendizaje autónomo: 90h 60.00% 2 / 5

3 Contenidos UNIDAD 1: Estructuras algebraicas Dedicación: 45h Grupo grande/teoría: 4h Grupo mediano/prácticas: 6h Actividades dirigidas: 2h Aprendizaje autónomo: 31h NÚMEROS COMPLEJOS: formas binómica y exponencial; operaciones; aplicación a las corrientes alternas (fasores, impedancia, potencia reactiva). POLINOMIOS Y FRACCIONES RACIONALES: raíces; fórmula de Taylor; factorización en polinomios primeros; descomposición de un fracción racional en fracciones simples; aplicaciones (primitivas, antitransformada de Laplace, Z,...). MATRICES y DETERMINANTES: operaciones y tipos particulares de matrices; determinando de una matriz cuadrada (propiedades elementales, cálculo); rango de una matriz; aplicaciones a los sistemas Lineales de Control (controlabilidad, índice de dcontrolabilidad,...). SISTEMAS De ECUACIONES: compatible/incompatible, determinado/indeterminado; resolución (Gauss, Rouché- Frobenius, Cramer); ejemplos y aplicaciones (leyes de Kirchoff, flujos en redes, modelos de dieta, modelo reticular por la distribución de la temperatura, modelo económico de Leontief,...); inversión de matrices; resolución con Matlab (descomposición LU,...). UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Dedicación: 45h Grupo grande/teoría: 8h Grupo mediano/prácticas: 6h Actividades dirigidas: 2h Aprendizaje autónomo: 27h ESPACIOS VECTORIALES: definición; ejemplos (magnitudes físicas vectoriales, magnitudes eléctricas, vibraciones, modelos demográficos por cohortes,...); bases, coordenadas, dimensión; representación matricial de un vector y de una familia de vectores, su rango; cambios de coordenadas, matriz de cambio de base; ejemplos y aplicaciones (códigos de colores, redes cristalográficas, diagramas geológicos ternarios,...). SUBESPACIOS VECTORIALES: bases adaptadas; subespacios definidos por ecuaciones y por generadores; aplicación al análisis de circuitos ( a salto de mata de malla, tensiones de nudo); intersección y suma de subespacios, suma directa; aplicación a Sistemas Lineales de Control (estados alcanzables según los controles disponibles). PRODUCTO ESCALAR ORDINARIO: definición, bases ortonormales APLICACIONES LINEALES: definición y determinación; matriz de una aplicación lineal; cambio de base; rango y determinante; núcleo e Imagen; aplicación a Sistemas Lineales de Control (matriz de controlabilidad de observabilidad, descomposición de Kalman); inyectividad, exhaustividad y biyectividad; isomorfismos. 3 / 5

4 UNIDAD 3: REDUCCIÓN DE APLICACIONES LINEALES Dedicación: 30h Grupo grande/teoría: 8h Grupo mediano/prácticas: 4h Actividades dirigidas: 1h Aprendizaje autónomo: 15h DIAGONALIZACIÓN: subespacios invariantes; vectores y valores propios; ejemplos y aplicaciones (el buscador Google, modos propios de vibración, direcciones principales de tensión/deformación, ejes principales de inercia, distribuciones estacionarias en sistemas discretos, pulso de un sistema lineal de control,... ); matrices diagonalilzables; cálculo de valores y vectores propios, polinomio característico, multiplicidad algebraica y geométrica; criterio de diagonalización, casos particulares (valores propios diferentes, simétricas, circulantes...); aplicaciones (tensor de inercia, tensores tensión y deformación, matrices de acoplamiento magnético,...); determinación de los signos de los valores propios de matrices simétricas; aplicaciones (determinación de extremos relativos, clasificación de cónicas,...); cálculo de valores y vectores propios usando Matlab y/o Octave; MATRICES NO DIAGONALIZABLES: forma canónica de Jordan, bases de Jordan. UNIDAD 4: APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA LINEAL A LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES DISCRETOS Dedicación: 30h Grupo grande/teoría: 4h Grupo mediano/prácticas: 9h Grupo pequeño/laboratorio: 0h Actividades dirigidas: 1h Aprendizaje autónomo: 16h ECUACIONES EN DIFERENCIAS: *EED lineales homogéneas; resolución por el polinomio característico; ejemplos (Fibonacci, oscilaciones de los precios,...). SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: resolución por las potencias de la matriz del sistema; cálculo en el caso diagonalizable; propiedades dinámicas (valor propio dominante, comportamiento asintótico, puntos de equilibrio, estabilidad,...); ejemplos y aplicaciones: modelos de población, modelos presa/depredador, índice de accesibilidad de los nudos de una red,..). Planificación de actividades TALLER DE ÁLGEBRA Dedicación: 10h Grupo pequeño/laboratorio: 10h Introducción al Matlab, introducción de vectores y matrices, manipulación simbólica, polinomios, ceros de polinomios, resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Obtención de valores y vectores propios. Material de soporte: Enunciados de las prácticas 4 / 5

5 Sistema de calificación La evaluación constará de cuatro notas obtenidas de: - Una prueba parcial a medio cuatrimestre (EP), en la fecha que determine la Escuela. - Una prueba sobre el Taller de Álgebra (TE), que se realizará en el horario del Taller. - Control de las actividades dirigidas (e-portafolio) (AD) - El examen final (EF), en la fecha que fije la Escuela. La nota final (NF) se calculará de la siguiente forma: NF= 20% AD + 10% TE + 30% EP +40% EF En caso de no superar la asignatura el alumno(a) tiene la posibilidad de ser rervaluado en la fecha que fije la escuela (mes de julio) La nota de reavaluación se calculará de la siguiente manera NF= 20% AD + 10% ET + 70% ER donde ER es la nota obtenida en el examen de reevaluación Normas de realización de las actividades Sólo en la prueba sobre el taller de álgebra se dejará emplear material informático. En el resto de pruebas de evaluación se dejará consultar una hoja-formulario (máximo una hoja DIN.A4). No se podrá usar calculadora. Bibliografía Básica: Lay, David C. Álgebra Lineal y sus aplicaciones. 3a ed. México: Pearson Educación, ISBN Quarteroni, A. ; Saleri, F. Cálculo Científico con Matlab y Octave. Milano: Springer, ISBN Garcia Planas, Maria Isabel ; Tarragina Romero, Sonia. Herramientas de álgebra lineal y matricial para la ingeniería. Barcelona: Les autores, ISBN Garcia Planas, Maria Isabel ; Magret Planas, Maria dels Dolors. Eines d'àlgebra Lineal i Matricial per a Enginyers. Barcelona: Les autores, ISBN Garcia Planas, Maria Isabel. Álgebra Lineal. Problemas resueltos. Barcelona: Iniciativa Digital Politècnica, ISBN Complementaria: Garcia Planas, Maria Isabel ; Dominguez Garcia, José Luis. Introducción a la teoría de matrices positivas. Aplicaciones [en línea]. Barcelona: Iniciativa Digital Politècnica, 2013 [Consulta: 30/07/2014]. Disponible a: < ISBN Otros recursos: En a la página de la asignatura que se encuentra en Atenea hay recursos como por ejemplo listado de problemas, con las resoluciones; recopilación de exámenes anteriores, con las resoluciones. e-portafolio docente del profesor 5 / 5