SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA, PREDICCIÓN DE VARIABLES METEOROLÓGICAS EN LA CIUDAD DE ILO

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1 SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA, PREDICCIÓN DE VARIABLES METEOROLÓGICAS EN LA CIUDAD DE ILO César Félix Mamani Rolando Perca Rossana Juárez Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa, Departamento Académico de Física RESUMEN: Este trabajo se realizó con la finalidad de pronosticar el comportamiento temporal de las variables meteorológicas: velocidades de viento, radiación solar, temperatura y humedad en la ciudad de ILO; para así poder hacer uso de los potenciales: eólico, térmico y solar en la construcción de dispositivos que utilicen estas energías; así como también en el análisis de difusión de contaminantes gaseosos atmosféricos. Para ello fue necesario analizar las distribuciones temporales de estas variables y realizar un análisis estadístico de predicción estocástica de series temporales. Siguiendo la metodología BOX-JENKINS, se realizaron transformaciones Box-Cox para los datos de distribución de las variables meteorológicas convirtiendo a distribuciones de ruido blanco, esto es, estacionarias y de varianza aproximadamente cero. Luego sobre las series transformadas se obtuvo las gráficas de FAS (función de auto correlación simple) y FAP (función de auto correlación parcial), determinando los modelos predictivos estadísticos en ecuaciones de diferencias. Este trabajo se realizó con ayuda del software SPSS 12.0, [1], [3]. Palabras-clave: modelos arima, variables meteorológicas. 1.-INTRODUCCION La ciudad de Ilo se encuentra ubicada en la costa sur del Perú a 1250 Km de Lima y 200 Km. al norte de la frontera con Chile. Uno de los principales problemas ambientales en la ciudad es la contaminación atmosférica. El monitoreo continuo tiene como finalidad medir las concentraciones de contaminantes provenientes de la industria minero metalúrgica tal como el SO 2, estos datos obtenidos forman parte de la base de datos de contaminantes atmosféricos, los mismos que se están utilizando en la elaboración del estudio de calidad del aire en el Gesta Zonal con el fin de mejorar los fenómenos de contaminación atmosférica en Ilo. El equipo meteorológico es indispensable para identificar y visualizar panorámicamente la procedencia y ocurrencia de la contaminación atmosférica. Los parámetros meteorológicos son medidos a través de sensores que miden la velocidad y dirección del viento (anemómetro), humedad relativa y temperatura (Termo_Higrómetro), y radiación solar (piranómetro), los cuales se encuentran instalados en una torre de 10 metros de altura. Los datos meteorológicos se generan continuamente y son grabados en un datalogger. Con el propósito de identificar la asociación e influencia de las variables meteorológicas en el comportamiento de los fenómenos difusivos de contaminantes atmosféricos en la ciudad de Ilo se realizó un estudio de generación de modelos de predicción estadística de las variables meteorológicas: velocidad de viento, radiación solar, humedad y temperatura, [9]. Se utilizó la metodología de Box- Jenkins para obtener modelos ARIMA univariados de las series temporales consideradas. Se establecen funciones de correlación cruzada (FCC) entre las series de residuales que permitan establecer pesos y retrasos entre las variables, para una posterior modelación mediante procesos ARIMA multivariantes que incluyen las variables meteorológicas antes mencionadas. El periodo de tiempo estudiado fue el mes de enero del 2005[ Rev. Esp. Salud Publica v.73 n.1]. 2.- DESCRIPCIÓN: VARIABLES METEOROLOGICAS a.-velocidad de viento Los datos de velocidad de viento fueron calculados como promedios aritméticos de las velocidades medidas en lapsos de 10 minutos, se utilizó datos de una estación sinóptica meteorológica (ESIME) con unidad de medición en m/s, [5].

2 b.-temperatura Temperatura ambiente promedio de lapsos de 10 minutos (se toman muestras cada minuto), su unidad de medición es C. c.-humedad Los datos de humedad relativa fueron el promedio de las mediciones realizadas en un intervalo de 10 minutos (se toman muestras cada minuto), su unidad de medición es en %. d.-radiación solar La radiación solar (global) son los valores promedio medidos en lapsos de 10 minutos (se toman mediciones cada minuto), su unidad de medición es W/m² TECNICAS DE PREDICCION ESTADISTICA: MODELOS ARIMA a) Proceso Autorregresivo de Media Móvil ARMA (p,q) Un proceso [X t ] es autorregresivo de media móvil si: X t - Ø 1 X t Ø p X t-p = a t - θ 1 a t-1 - θ 2 a t θ q a t-q + c, (1) donde: [a t ] es un proceso de ruido blanco, a t es independiente de las medidas de la variable de interés, X t. Utilizando los operadores de retardo: la ecuación (1) puede ser escrita de forma más sintética: Ø p (B) = 1- Ø 1 B - - Ø p B p Θ q (B) = 1- θ 1 B -. - θ q B p, (2a) (2b) Ø p (B) X t = Θ q (B) a t + c (3) Existen también los procesos: Autoregresivo (AR(p)), para el cual el operador Θ q (B) es nulo y el de Media Móvil (MA(q)), para el cual el operador Ø p (B) es nulo. b) Proceso Autorregresivo Integrado de Media Móvil ARIMA (p,d,q) Un proceso [X t ] es autorregresivo integrado de media móvil de orden (p,d,q) si: (1- Ø 1 B - Ø p B p ) d X t = (1- θ 1 B-... -θ q B q )a t + c, (4) donde: [a t ] es un proceso de ruido blanco y es el operador diferencia: X t = (1-B) X t = X t - X t 1,, d X t = (1-B ) d X t = (1-B) d-1 (X t - X t-1 ), (5) equivalentemente: donde: Ø p (B) W t = θ q (B) a t + c, (6) W t = d X t (7) Luego el proceso ARIMA (p,d,q) para X t es equivalente al proceso ARMA(p,q) para W t. Si el proceso [W t ] es estacionario el proceso ARIMA para X t quedará caracterizado por la FAS y la FAP del proceso [W t ] y por d, el orden de diferenciación del proceso original [X t ], [4]. 3.-PROCEDIMIENTO: Nos proponemos hacer una predicción certera de las variables meteorológicas: velocidad de viento, radiación solar, humedad y temperatura, [7]. Así, en base al análisis de las distribuciones de series temporales de las cuatro variables meteorológicas encontraremos modelos predictivos estadísticos los

3 VELOCIDAD-VIENTO(m/s) cuales serán validados en primera instancia y luego realizaremos las predicciones. Estos modelos toman en cuenta la historia detallada de los datos paso a paso (bajo operadores de diferencia), este es el detalle que diferencia de otros métodos de predicción y que hace de este el más confiable ANÁLISIS DE LA SERIE TEMPORAL VELOCIDAD DE VIENTO Se analizó 744 datos de velocidades de viento, [2], [6], correspondientes al mes de enero de 2005 que corresponden a la ciudad de Ilo. a. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE VARIANZA Haciendo uso del software SPSS, graficamos las velocidades de viento en función al tiempo, Fig. 1, en este caso promedios horarios, se obtuvo la siguiente gráfica: :00:00 13:00:00 23:00:00 0:00 1:00 05:00:00 15:00:00 0:00 1:00 2:00 07:00:00 :00 03:00:00 13:00:00 23:00:00 0:00 1:00 05:00:00 15:00:00 0:00 HORA Figura 1. Gráfica de la serie temporal de promedios horarios observada (mes enero-2005) Al observar la gráfica; esta presenta un comportamiento estacionario debido a que no existe ningún tipo de pauta regular de comportamiento periódico que justifique la estacionalidad, [8], [13]. Seguidamente mostramos la prueba de homogeneidad de varianza, [4], obtuvimos un estadístico de Levene de 2,093 correspondendiente a un valor de significancia = 02 < 5 (intervalo de confianza) por tanto se rechaza la hipótesis nula de que la varianza sea constante en el tiempo.en consecuencia nuestra serie necesita de una transformación para este caso de la transformación Box- Cox, según la ecuación: Y ( ) t Y t 1 ; 0 ln Yt 0 Luego de una serie de transformaciones, obteniendo λ = 0,5 del primer caso de la ecuación (8) y bajo una prueba adicional de homocedasticidad de Levene, obtenemos la Tabla 1: (8) Tabla 1 Prueba de Homogeneidad de Varianza Estadístico de Levene Significancia VIENTO Basado en media 1,237 0,205 Observemos en la Tabla 1, que la significancia = > 0,05 con lo cual la transformación aplicada es la correcta es decir se proseguirá el análisis sobre esta serie transformada. b. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD EN MEDIA Y DETERMINACION DEL ORDEN p DEL MODELO Una inspección en la gráfica de la serie evidencia que la esta no muestra ningún tipo de tendencia creciente o decreciente. Por tanto una tentativa sería suponer que la serie es estable en media. Para

4 FAS FAP confirmar esto se recurre a las gráficas de autocorrelación simple y parcial graficadas sobre los 100 primeros retardos y se obtuvo la Fig. 2: Grafica de la FAS Grafica de la FAP Limite Confianza Confidence Limits de corre Coefficient NUMERO DE RETARDOS NUMERO DE RETARDOS Figura 2 Funciones de autocorrelación simple y parcial para datos de velocidad de viento Como la serie transformada es estable en media y en varianza; y para estabilizar la media no se recurrió a ningún tipo de diferencia regular, entonces se podría tratar de un modelo ARIMA (p,q). Pero, para confirmar esto recurriremos a la estimación de la FAP (función de autocorrelacion parcial), Fig. 2, la cual confirma que existen solo dos coeficientes no nulos fuera del intervalo de confianza por tanto p=2 y según el fundamento teórico es factible proponer un modelo AR (p). La representación de la FAP muestra que los p = 2 primeros coeficientes son no nulos y el resto cero. Y la FAS muestra una mezcla de exponenciales y sinusoidales. Por tanto, una primera tentativa podría ser suponer un modelo AR (2). c. AJUSTE DEL MODELO AR (2) Una vez deducido el modelo se procede a ajustarlo a la serie transformada. Realizando el ajuste se generan 744 datos nuevos con sus respectivos intervalos de confianza :00:00 12:00:00 10:00:00 08:00:00 06:00:00 04:00:00 02:00:00 00:00:00 00:00:00 :00 20:00:00 18:00:00 :00 VIENTO Fit (VIENTO1)de AR(2) 95% LCL 95% UCL HORA Figura 3 Ajuste del modelo AR(2), para el ultimo día de enero 2005 Como se podrá observar los datos generados se aproximan a los datos reales y se encuentran dentro del intervalo de confianza. En la Fig. 3; LCL es el límite inferior, UCL es el límite superior.fif (viento1) es la serie estimada mediante el modelo y viento es la serie observada. Observemos la excelente aproximación. d. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS PARA EL MODELO AR(2) Un proceso autorregresivo AR (p) es gobernado por la siguiente ecuación en diferencias: Y Ø Y... Y E. (9) t 1 t 1 Øp t p t En nuestro caso resultó: Yt 1,211 Yt 1 0, 303 Yt 2 E (10) t

5 RADIAC(w/m2) e. PREDICCIÓN CON EL MODELO AR (2) Una vez que se ha validado el modelo de ajuste se procede a predecir datos a tiempo futuro, pero para nuestro caso debido a que só lo hemos trabajado con datos de un mes se pronosticará datos para el primer día del mes de febrero. Por tanto la gráfica para el tiempo de predicción es la siguiente. 5,00 FIF_2 LCL_2 UCL_2 VIENTO3 4,00 3,00 2,00 1,00 :00 0:00:00 2:00:00 6:00:00 5:00:00 4:00:00 3:00:00 7:00:00 :00 8:00:00 10:00:00 1:00 12:00:00 13:00:00 14:00:00 15:00:00 :00 :00 1:00 18:00:00 20:00:00 23:00:00 :00 2:00 hora Figura 4. Predicción para el primer día del mes de febrero ANÁLISIS DE LA SERIE TEMPORAL RADIACIÓN SOLAR Se analizó sobre los 744 datos de radiación solar que corresponden a la ciudad de Ilo. a. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE VARIANZA La Fig. 5, muestra los datos de radiación solar en promedios horarios para el mes de enero Dia Figura 5 Serie de datos de radiación solar (mes de enero 2005) Los datos presentan un comportamiento estacional debido a que existe un tipo de pauta regular de comportamiento periódico ya que en un periodo de un día se repite el mismo pico, [10]. Podemos decir entonces, que su varianza no es constante, pero para comprobar esta hipótesis recurriremos a la prueba de Levene, esta otorga un valor de significancia = 0,000 < 5 (intervalo de confianza) por tanto se rechaza la hipótesis nula de que la varianza sea constante en el tiempo. En consecuencia nuestra serie necesita de una transformación, para este caso de la transformación Box-Cox. Según la ecuación (8) calculamos el valor de λ y después de una serie de transformaciones obtuvimos λ = 0,3 La Tabla 2 muestra la prueba de homocedasticidad de la serie transformada, con significancia = 0.977>5 con lo cual la transformación aplicada es aceptable. Tabla 2 Prueba de Homogeneidad de Varianza Estadístico de Levene Significancia RAD1 Basado en media

6 FAS FAS FAS b. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD EN MEDIA La serie no muestra tendencia creciente ni decreciente, es de suponer que sea estable en media. Veamos la gráfica de autocorrelación para los 100 primeros retardos, Fig. 6. Se muestra efectivamente que no hay tendencia creciente ni decreciente, es necesario al menos una diferencia estacional para estabilizar la serie rad1 y también una diferencia regular para eliminar la estructura positiva de la parte regular. Grafica de la Fas NUMERO DE RETARDOS Figura 6. Autocorrelación simple para la serie temporal de radiación solar Con la ayuda del SPSS, en la opción crear series temporales se hizo toda esta operación y también para comprobar la estabilización de la parte estacional. Presentamos la gráfica de la FAS pero únicamente para intervalos de comportamiento periódico, es decir solo para los retardos estacionales. Fig. 7. Grafica de Diff (RAD1_1,1,24) Grafica de SDIFF(RAD1_1,1,24) NUMERO DE RETARDOS NUMERO DE RETARDOS Figura 7. FAS para retardos estacionales y regulares de la serie temporal de radiación solar. Los coeficientes autocorrelativos caen dentro de la banda de confianza, solo el primer coeficiente está fuera, pero esto no implica que la serie necesite de otra diferencia estacional. Por tanto, con esto queda determinado automáticamente los órdenes tanto de diferencia regular como de diferencia estacional las cuales son d=1 y D=1 en consecuencia estamos ya hablando de un modelo ARIMA (p1q)(p1q) 24. c. DETERMINACIÓN DE LOS ORDENES p y q DEL MODELO ARIMA(p1q)(P1Q) 24 Como la serie transformada es estable en media y en varianza; para estabilizar la media no se recurrió a ningún tipo de diferencia regular, entonces se podría tratar de un modelo ARIMA (p,q).pero para confirmar esto recurrimos a la estimación de la FAP, Fig. 8

7 FAS FAS PARCIAL FAS FAS PARCIAL Grafica de FAS de diff de rad1 RAD Numero de retardos Transforms: difference (1), seasonal difference (1, period 24) Numero de retardos Transforms: difference (1), seasonal difference (1, period 24) Figura 8 FAP para retardos estacionales y regulares de la serie temporal de radiación sola. Pocos retardos. Según el gráfico de la FAP observamos que todos los coeficientes caen dentro de la banda de confianza por tanto una tentativa seria suponer que p = 0 y q=0. d. DETERMINACIÓN DE P Y Q DEL MODELO ARIMA (p1q)(p1q) 24 Como la serie transformada es estable en media y en varianza, para estabilizar la media no se recurrió a ningún tipo de diferencia regular entonces se podría tratar de un modelo ARIMA (p,q). Pero para confirmar esto recurriremos a la estimación de la FAP, Fig. 9 RAD1 RAD Numero de retardos Transforms: difference (1), seasonal difference (1, period 24) Numero de retardos Transforms: difference (1), seasonal difference (1, period 24) Figura 9 FAP para retardos estacionales y regulares de la serie temporal de radiación solar. Muchos retardos Podemos observar que Q = 1 y P = 0. En consecuencia estamos ya deduciendo para radiación solar el modelo: ARIMA (010)(011) 24. e. AJUSTE DEL MODELO ARIMA (010)(011) 24 El ajuste correspondiente para el último día de enero, se muestra en la Fig. 10. Como se puede observar los datos generados se aproximan a los datos reales y se encuentran dentro del intervalo de confianza. Aquí, LCL es el límite inferior, UCL es el límite superior.fif es la serie estimada mediante el modelo y RAD1 es la serie transformada. El resultado es muy bueno. El modelo a utilizar es el autoregresivo integrado de media móvil: En nuestro caso el modelo es: Φ P (B s ) Ø p (B) (1- B) d (1- B s ) D X t = Θ Q (B s )θ q (B) a t + c (11) (1- B) (1- B 24 ) X t = ( B 24 ) a t (12)

8 temperatura(ºc) RAD1 Fit Arima 0 95% LCL % UCL DIA/ HORA Figura 10. Ajuste para el último día de enero del modelo ARIMA (010)(011) 24 f. PREDICCIÓN CON EL MODELO ARIMA(010)(011) 24 Una vez que se ha logrado validar el modelo de ajuste se procede a la predicción para el primer día de febrero del año 2005, esta predicción lo mostraremos en la Fig RAD1 Fit DE ARIMA 95% LCL 95% UCL DIA/HORA Figura. 11. Predicción para el primer día del mes de febrero 2005 A continuación mostramos los resultados de ajuste y predicción para distribuciones de temperatura y humedad del mismo periodo de medición para las anteriores variables ANÁLISIS DE LA SERIE TEMPORAL TEMPERATURA a. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE VARIANZA 26,00 24,00 22,00 20,00 18,00 16, :00 10:00 7:00 4: :00 4:00 7:00 10: :00 10:00 7:00 4: :00 4:00 7:00 10:00 1 Tiempo (horas) Figura 12. Serie de datos de radiación solar, promedios horarios (mes de enero 2005) Valor de significancia sin transformación = 01 < 5 (intervalo de confianza) por tanto se rechaza la hipótesis nula de que la varianza sea constante en el tiempo. Valor de significancia luego de las transformaciones = 0,623 > 0,05 con λ = 0,5.

9 ACF ACF parcial b. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD EN MEDIA Y DETERMINACION DE LOS ORDENES P DEL MODELO temprtra1 temprtra1 1,0 0,5 Límites confidenciales Límite inferior de confianza 1,0 Límites confidenciales Límite inferior de confianza 0,5 0,0 0,0-0,5-0,5-1,0-1, No de retardos No de retardos Figura 13. Funciones de autocorrelación de datos de Temperatura, enero 2005 c. AJUSTE DEL MODELO AR (2) Modelo AR (2). 0,22 temprtra1 FIT_1 LCL_1 UCL_1 0,21 0,20 0,19 :00 2:00:00 4:00:00 3:00:00 5:00:00 7:00:00 6:00:00 8:00:00 1:00 10:00:00 :00 12:00:00 14:00:00 13:00:00 15:00:00 :00 :00 18:00:00 20:00:00 1:00 2:00 0:00:00 23:00:00 :00 tiempo(horas) Figura 14. Ajuste para el último día de enero del modelo AR(2), para temperatura. Buena aproximación observar las líneas azul (datos reales) y verde (datos ajustados). d. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS PARA EL MODELO AR (2) Yt 10,95Y t 1 10, 686Yt 2 E (13) t e. PREDICCIÓN CON EL MODELO AR (2) FIT_2 LCL_2 UCL_2 0,23 0,22 0,21 0,20 2:00:00 :00 3:00:00 6:00:00 5:00:00 4:00:00 12:00:00 1:00 10:00:00 :00 8:00:00 7:00:00 15:00:00 14:00:00 13:00:00 2:00 20:00:00 1:00 18:00:00 :00 :00 0:00:00 23:00:00 :00 TIEMPO(horas) Figura 15. Predicción para el primer día del mes de febrero 2005

10 ACF ACF parcial HUMEDAD(%) ANÁLISIS DE LA SERIE TEMPORAL HUMEDAD a. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE VARIANZA 100,00 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 TIEMPO(horas) Figura 16. Serie de datos de humedad, promedios horarios (mes de enero 2005) Valor de significancia sin transformación = > 5 (intervalo de confianza) por tanto se acepta la hipótesis nula de que la varianza sea constante en el tiempo. No necesitamos de transformaciones. b. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD EN MEDIA y DETERMINACION DE LOS ORDENES P DEL MODELO HUMEDAD HUMEDAD 1,0 Límites confidenciales Límite inferior de confianza 1,0 Límites confidenciales 0,5 Límite inferior de confianza 0,5 0,0 0,0-0,5-0,5-1,0-1, No de retardos No de retardos Figura17. Funciones de autocorrelación de datos de Temperatura, enero 2005 c. AJUSTE DEL MODELO AR (2) Modelo AR (2). 90,00 HUMEDAD FIT_1 LCL_1 UCL_1 80,00 70,00 60,00 50,00 2:003:00 4:00 5:006:00 7:00 8:00 14:00 13:00 12: :00 15:00 18: :00 23:00 0:00 TIEMPO(horas) Figura 18. Ajuste para el último día de enero del modelo AR(2), para temperatura.

11 d. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS PARA EL MODELO AR (2) Yt 11,949Y t 1 11, 735Yt 2 E (14) t e. PREDICCIÓN CON EL MODELO AR (2) 100,00 FIT_2 LCL_2 UCL_2 90,00 80,00 70,00 60,00 2:003:00 13: :00 8:00 7:00 5:006:00 4:00 12:00 15:00 14:00 18:00 20: :00 0:00 tiempo(horas) 4. CONCLUSIONES Y ANÁLISIS Figura 19. Predicción para el primer día del mes de febrero Mediante la Metodología Box Jenkins se ha logrado construir un modelo matemático para lo cual se ha ajustado los datos reales observados de velocidades de viento, radiación solar, temperatura y humedad. 2. Comparando los datos reales y los generados por el modelo estos se encuentran dentro del intervalo de 95% confianza. 3. Los residuos de dicho ajuste se aproximan a un proceso de ruido blanco cuya carga media es cero, su varianza es constante y sigue una distribución normal. 4. El modelo matemático AR (2), Proceso Autorregresivo, está preparado para posteriores trabajos de predicción de un campo de velocidades de viento. 5. En cuanto al pronóstico del campo de velocidades de viento nos pronostica velocidades no muy precisas pero que caen dentro del rango de intervalo de confianza. Esto debido a que los datos de velocidad varían mucho con respecto al tiempo y para una mejor predicción utilizando estos modelos, se precisa un análisis con mayor cantidad de datos, [11], [12]. 6. Para el caso de radiación solar nos hemos encontrado con un caso de serie temporal estacional para la cual un ajuste óptimo fue la del modelo ARIMA, con lo cual los datos se ajustaron a dicho modelo muy bien. 7. La capacidad de predicción del modelo ARIMA para radiación solar se hizo para un día. Por lo tanto para comprobar que dichos datos predichos fueron correctos se comparó con datos conocidos del mes de febrero los cuales se aproximaron mucho a los predichos. 8. En cuanto al análisis de las series temperatura y humedad para ambas se logró un modelo AR (2) y los residuos se aproximan a un proceso de ruido blanco con media cero, varianza constante y distribución normal. 9. Así se logró las predicciones para un día es decir se generó 24 datos nuevos que corresponden al mes posterior de enero tanto de humedad como de temperatura. 10. Cabe concluir que de todas las series temporales estudiadas en este proyecto solo en el caso de la humedad no se realizó ningún tipo de transformación matemática.

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