11Cálculo simbólico. Euclides en un detalle de La Escuela de Atenas, de Rafael. (Wikipedia org. Dominio público)

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1 UNIDAD 11Cálculo simbólico E Euclides en un detalle de La Escuela de Atenas, de Rafael. (Wikipedia org. Dominio público) n esta Unidad vamos a realizar una introducción a los programas de cálculo simbólico. Mientras que la mayoría de las calculadoras sólo son capaces de manejar números, los programas de cálculo simbólico aceptan expresiones matemáticas algebraicas y funciones, y resuelven operaciones sobre ellas que van mucho más allá del cálculo de resultados numéricos. Pueden incluso resolver ecuaciones y trabajar con representaciones gráficas en dos y tres dimensiones. Para empezar a conocer este tipo de programas hemos elegido la aplicación Derive, que funciona con sistemas operativos de Windows. Sin embargo, somos conscientes de que cada vez son más los usuarios de otros sistemas operativos. Por ello se ha incluido como adenda una introducción al uso de wxmaxima, programa de distribución libre similar a Derive pero con versiones para Windows, Mac OS y Linux. La adenda está basada en la versión para este último sistema operativo. Conocer las posibilidades que nos ofrecen estos programas nos puede resultar muy útil para el estudio de las materias relacionadas con las matemáticas así como para familiarizarnos con las aplicaciones que encontramos en programas semejantes. Con el estudio de esta Unidad pretendemos alcanzar los siguientes objetivos: 1. Utilizar un programa de cálculo simbólico, resolviendo con él problemas matemáticos sencillos y realizando su representación gráfica.. Adquirir unos conocimientos básicos que nos permitan aprender de manera autónoma el funcionamiento de programas similares. 58

2 Software de cálculo simbólico Permiten Escribir Calcular Resolver Representar Expresión en lenguaje matemático ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. ENTORNO DE TRABAJO DE DERIVE Y ESCRITURA DE EXPRESIONES Descripción del entorno Escritura de expresiones OPERACIONES ARITMÉTICAS INSERTAR TEXTO GUARDAR, RECUPERAR E IMPRIMIR UNA HOJA OPERACIONES SENCILLAS CON POLINOMIOS Simplificar polinomios Expandir polinomios Factorizar polinomios Valor de un polinomio FUNCIONES ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO SIMBÓLICO CON MAXIMA PARA LINUX Entorno de trabajo de wxmaxima para Linux Entrada de expresiones numéricas Introducción de expresiones simbólicas Simplificar expresiones Factorizar polinomios Resolver ecuaciones Representaciones gráficas de funciones

3 11 UNIDAD CÁLCULO SIMBÓLICO 1. Entorno de trabajo de Derive y escritura de expresiones El cálculo simbólico con ordenador consiste en la obtención de resultados mediante programas específicos introduciendo en ellos expresiones matemáticas de todo tipo. Existen varios programas de cálculo simbólico. Uno de los más extendidos es Derive, de Soft Warehouse, que es propiedad de Texas Instrumens. Este programa no es gratuito, pero se puede disponer de forma libre de una versión de evaluación o prueba que permite el uso del programa sin restricciones en cuanto a las funciones que nos permite utilizar pero por un período de tiempo limitado, ya que caduca a los 30 días de su instalación. Por tanto, se recomienda instalar el programa cuando se sepa que se va a poder a empezar a trabajar con él, y no antes. El programa Derive se puede descargar desde este enlace: Descripción del entorno El entorno de trabajo, o interfaz, se compone de las clásicas barras de título, menús, estado y herramientas de las aplicaciones para Windows, además de otras partes específicas del programa. 60

4 1.. Escritura de expresiones En la barra de entrada de expresiones es donde se escriben las expresiones con las que se va a trabajar. Para escribir se puede usar el teclado o los botones con símbolos y letras griegas de los que se dispone en la pantalla. Para trasladar una expresión escrita a la ventana de álgebra hay que pulsar Intro, o bien hacer clic en el botón de validación. Cuando se valida una expresión, aparece en la ventana de álgebra. En esta ventana se pueden poner cuantas expresiones se desee, cada una de las cuales se mostrará con un número precedido por el símbolo de almohadilla (#1, #, etc.). Aparecerá resaltada la expresión que ha llegado a la ventana en último lugar, o la última con la que se ha trabajado. Cuando una expresión ha sido copiada en la ventana de álgebra, se puede modificar o editar. Si es la última con la que se ha trabajado, permanecerá seleccionada y, además, se mostrará en la barra de entrada de expresiones. Si se han escrito otras después, seleccionaremos la expresión con la que queramos trabajar y, bien con el menú Editar Expresión, o haciendo clic con el botón derecho sobre la expresión y eligiendo la opción Editar, lograremos que la expresión aparezca escrita en la barra de entrada de expresiones. Una vez hecho esto, ya podremos modificarla. Las expresiones matemáticas de la ventana de álgebra, una vez seleccionadas, se pueden copiar y pegar total o parcialmente en la barra de entrada de expresiones, con lo que se pueden usar para escribir otras nuevas. Para seleccionar sólo una parte de una expresión que aparece en la ventana de álgebra, hacemos clic sobre ella y luego otra vez clic en la parte de la expresión que se desee.. Operaciones aritméticas Las operaciones más fáciles de realizar con Derive son las aritméticas, por la sencillez de las expresiones. Los operadores habituales son la suma (+), la resta (-), la división (/), la potencia (^) y el tanto por ciento (%). Obtener el resultado de una expresión aritmética es lo que se llama en el programa Simplificar la expresión. Derive puede dar el resultado exacto, en expresión entera, racional o irracional. Por ejemplo, el valor exacto de un cociente puede representarse como un entero o como una fracción. Lo más habitual es escribir la expresión y luego validarla, tras lo cual la expresión aparecerá en la ventana de álgebra. Una vez en ella, con la expresión seleccionada, elegimos en el menú Simplificar Normal. También podemos hacerlo directamente desde la barra de entrada de expresiones: Si se desea ver la expresión completa, y el resultado, con el botón: Si se desea ver en la ventana de álgebra sólo el resultado, con el botón: También se puede pedir al programa que nos dé un valor aproximado como resultado de la simplificación. En el caso de un cociente, si el resultado no es entero, el valor aproximado será un número con decimales. Esta forma de presentación del resultado se especifica seleccionando en la ventana de álgebra la expresión que queremos calcular y escogiendo después en el menú Simplificar Aproximar. Aparecerá un cuadro que nos preguntará el número de dígitos que deseamos incluir. Para aceptar hay que pulsar el botón Aproximar. Si pulsamos Sí, sólo aparecerá una expresión de la operación solicitada. 61

5 11 UNIDAD CÁLCULO SIMBÓLICO También se puede pedir la aproximación una vez escrita la expresión en la barra de entrada. En este caso tenemos, al igual que en el caso de la simplificación normal, dos posibilidades: Que aparezca en la ventana de álgebra tanto la expresión como su resultado aproximado, para lo cual usaremos el botón: Que en la ventana de álgebra sólo aparezca el resultado aproximado, usando el botón: 3. Insertar texto A veces puede resultar útil insertar algún comentario, título, etc. junto a las expresiones matemáticas o a los cálculos. Para ello el programa cuenta con la posibilidad de escribir texto mediante la opción de menú Insertar Objeto de texto, o mediante el botón de inserción de texto. Al seleccionar esta opción aparecerá una barra para insertar texto. El texto quedará situado justo debajo de la última expresión seleccionada. 4. Guardar, recuperar e imprimir una hoja. En Derive, como en casi todos los programas, lo que no se guarda expresamente se pierde al cerrar la aplicación. La opción de menú Archivo Guardar como permite elegir entre dos formatos para guardar el trabajo realizado: a) Formato DWF, que guarda todos los objetos de la hoja. b) Formato MTH, que sólo guarda las expresiones matemáticas y sus anotaciones. Para imprimir la hoja, o la parte seleccionada de la misma, como es habitual, se utiliza el menú Archivo Imprimir. También existe la posibilidad de ver en pantalla el aspecto que tendrá la página una vez impresa mediante Archivo Vista previa. Para modificar aspectos como los márgenes de impresión, entre otros, se utiliza la opción de menú Archivo Configurar página. Actividades 1. Explica cómo se editan las expresiones una vez que aparecen en la ventana de álgebra.. Explica cómo hallarías el resultado de la fracción 4/5. 3. Explica cómo borrar expresiones de la ventana de álgebra. 6

6 5. Operaciones sencillas con polinomios Derive permite realizar diversas acciones con expresiones polinómicas, como simplificar, expandir, factorizar y hallar el valor por sustitución de un valor concreto en la variable Simplificar polinomios Simplificar un polinomio consiste en hallar una expresión equivalente pero más sencilla. Para simplificar se usa el mismo procedimiento que para las operaciones aritméticas: Simplificar Normal. Veamos un ejemplo: # 1: 3 x ( x + 5 x) + x ( x ) # : x ( 3 x + 16 x ) 5.. Expandir polinomios Esta operación consiste en desarrollar un polinomio que se presenta en forma reducida. Se lleva a cabo mediante el menú Simplificar Expandir. En este caso aparece la siguiente ventana: Si se pulsa Sí, aparecerá una expresión con indicación de lo que se va a hacer, pero no el polinomio expandido: Para que en la ventana de álgebra aparezca el polinomio expandido hay que pulsar Expandir : # 1: 3 x ( x + 5 x) + x ( x ) # : x ( 3 x + 16 x ) 3 # 3: 3 x + 16 x x 63

7 11 UNIDAD CÁLCULO SIMBÓLICO 5.3. Factorizar polinomios Factorizar un polinomio es realizar la operación contraria a la expansión. Para ello se utiliza el menú Simplificar Factorizar. Si factorizamos el último ejemplo de polinomio tendremos el siguiente resultado: # 1: 3 x ( x + 5 x) + x ( x ) # : x ( 3 x + 16 x ) 3 # 3: 3 x + 16 x x # 4: x ( 3 x + 16 x ) Si, en vez de sobre una expresión polinómica, se realiza esta operación sobre un número, se obtendrá la descomposición factorial del número Valor de un polinomio Hallar el valor de un polinomio es calcular el resultado una vez sustituidas las variables por valores concretos. Para ello se utiliza el comando Simplificar Sustituir variable y, en el cuadro de diálogo: # 1: 3 x ( x + 5 x) + x ( x ) # : x ( 3 x + 16 x ) # 3: EXPAND( x ( 3 x + 16 x ), Rational, x) Donde pone Nuevo valor se escribe el valor que sustituirá a la variable. En el ejemplo que estamos viendo, si escribimos, por ejemplo, 7, el valor será: # 1: 3 x ( x + 5 x) + x ( x ) # : x ( 3 x + 16 x ) 3 # 3: 3 x + 16 x x # 4: x ( 3 x + 16 x ) # 5 :

8 Actividades 4. Explica cómo simplificar el polinomio 4x(3x 4)+x(3x x + 5) y halla el resultado. 5. Explica cómo expandir el polinomio x(4x )+3x (3x 4 5). 6. Explica para qué sirve el botón Sí en los cuadros de diálogo de Derive. 7. Explica cómo factorizar un polinomio y qué resultado se obtiene. 8. Realiza la conversión del polinomio x 3 +5x en un número entero sustituyendo la variable por Funciones Derive puede tratar un polinomio como si fuera una función, seleccionando una expresión escrita en la ventana de álgebra. También presenta la gran ventaja de que nos permite ver la representación de la función tanto en el plano como en el espacio, mediante las opciones de menú Ventana Nueva ventana D o Ventana Nueva ventana 3D, o bien mediante los botones correspondientes: Con estas opciones se abre una nueva ventana con un sistema de ejes en el plano o en el espacio. Para obtener la representación gráfica hay que pulsar de nuevo los mismos botones. En el ejemplo que tenemos en pantalla, el resultado sería el siguiente, para una gráfica en 3D: Se pueden representar varias funciones en el mismo gráfico o sistema de ejes. Para ello basta con seleccionarlas previamente manteniendo pulsada la tecla Ctrl. 65

9 11 UNIDAD CÁLCULO SIMBÓLICO En la imagen siguiente utilizaremos la función del ejemplo anterior, y además esta otra: y = 5x 3. Esta vez elegimos la representación de ambas funciones en D: 7. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones Derive puede resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones. Si no aparece una igualdad en la expresión, el programa interpreta que se iguala a cero. Para resolver una ecuación hay que seleccionar la expresión y escoger en el menú Resolver Expresión: Si la pantalla anterior se pulsa Resolver, el programa arrojará el resultado correspondiente. Por ejemplo, aquí se presenta una expresión que el programa iguala a cero y despeja el valor de x : 66

10 Para resolver sistemas de ecuaciones, la opción de menú Resolver Sistema presenta la siguiente pantalla, que permite especificar el número de ecuaciones que conforman el sistema: Aparecerá entonces otra pantalla con varias líneas en las que escribiremos la expresión de cada ecuación (en este caso se trata de un sistema de dos ecuaciones): El resultado aparecerá al pulsar Resolver : 67

11 UNIDAD CÁLCULO SIMBÓLICO 11 En el caso de las inecuaciones, no sólo se pueden resolver, sino que además es posible representarlas gráficamente. Por ejemplo, x 3 y, quedaría representada así: Actividades 9. Explica cómo representar gráficamente una función. 10. Explica cómo representar gráficamente, en el mismo sistema de ejes de coordenadas, más de una función. 11. Explica cómo resolver la ecuación x 4 = 4, y cuál sería el resultado. 1. Explica qué sucede si escribimos un polinomio e indicamos al programa que resuelva una ecuación mediante el procedimiento anterior. 13.Explica cómo harías para descomponer en factores primos 5 con Derive. 14. Resuelve con Derive el siguiente sistema de ecuaciones: 5x 3 = y ; 3x + y = 8 e indica qué pasos seguirías. 15. Explica cómo se podría expresar el polinomio x 5x + 6 en forma de producto de polinomios. 68

12 8. Introducción al cálculo simbólico con Maxima para Linux Este apartado constituye, a modo de Anexo a esta Unidad, una muy breve introducción al programa wxmaxima, que es una aplicación de cálculo simbólico de distribución libre y multiplataforma. Existen versiones para los sistemas operativos más conocidos, como Windows, Linux y Mac OS. Esta aplicación tiene la característica, frente a otras aplicaciones similares de cálculo simbólico, de que funciona con línea de comandos. wxmaxima es la adaptación de Máxima a un entorno gráfico de trabajo (GUI o Interfaz Gráfica de Usuario). El programa, así como otros materiales de ayuda, pueden descargarse en la siguiente página: Los usuarios de Linux pueden instalarlo con el gestor de paquetes Synaptic. El objetivo de presentar en esta Unidad una introducción al programa es permitir a aquellas personas que sean usuarias de Linux el aprendizaje de una aplicación de cálculo simbólico de uso extendido con este sistema operativo. Aunque existen versiones para otros sistemas operativos que funcionan exactamente igual, la apariencia (colores, etc) puede cambiar ligeramente de una a otra. En esta Unidad trabajaremos con la versión para Linux. 69

13 11 UNIDAD CÁLCULO SIMBÓLICO 8.1. Entorno de trabajo de wxmaxima para Linux En el entorno de trabajo, bastante parecido al de Derive, se presentan una barra de menús, otra de herramientas, una ventana de álgebra y, en la parte inferior de ésta, una barra o celda de introducción de expresiones y un panel con botones de acceso directo a las principales funciones o herramientas del menú. En la ventana de álgebra aparece un texto con información acerca del programa, seguido de una primera línea que contiene el inductor o prompt, consistente en una i de input (entrada) y un 1, que indica que el programa está esperando la primera expresión. Cuando se escriba una expresión y se pulse Intro, el programa nos dará un resultado y la i será sustituida por una o, de output (salida). La escritura de las expresiones se realiza en la celda de entrada que está situada en la parte inferior del entorno. Cuando se trabaja con Máxima, se van introduciendo expresiones y, mediante las opciones de menú, los botones de herramientas o los botones de acceso directo, se irán obteniendo resultados asociados a ellas. En principio, todas las líneas permanecen en la pantalla por si se quiere volver sobre cualquiera de éstas. Además, al igual que con Derive, podemos copiar y pegar expresiones desde la pantalla a la celda de entrada. Si queremos, no obstante, borrar todo lo que se ha hecho, podemos volver a la pantalla inicial mediante el menú Maxima Reiniciar Maxima. 8.. Entrada de expresiones numéricas La escritura de las expresiones se realiza en la celda de entrada que está situada en la parte inferior del entorno. Los operadores de WxMaxima son los habituales en este tipo de programas, e iguales a los de Derive. Los signos usados son: + : Signo de suma - : Signo de resta * : Signo de multiplicación / : Signo de división ^ : Signo de exponenciación Maxima sigue los criterios habituales de prioridad de operadores de cálculo: primero ejecuta potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones, y finalmente sumas y restas. Por tanto, si queremos escribir dos, que multiplica a equis cuadrado mas uno, debemos poner *(x^+1) Ejemplo Para sumar 1+1, escribimos en la celda de entrada: 1+1 Cuando pulsemos Intro, en la ventana principal aparecerá en primer lugar la expresión que hemos escrito y en la línea siguiente el resultado de la operación. 70

14 ENTRADA DE VARIAS LÍNEAS A LA VEZ En wxmaxima se pueden escribir varias líneas seguidas en la celda de entrada. Para hacer esto debemos escribir al final de cada una de ellas punto y coma (;). Por ejemplo, si escribimos una determinada expresión (x:; y:4; x*y;), el resultado será el siguiente: 71

15 11 UNIDAD CÁLCULO SIMBÓLICO INTRODUCCIÓN DE FRACCIONES Y NÚMEROS Por defecto, cuando introducimos una expresión fraccionaria el resultado va a ser la expresión en forma de quebrado. Si escribimos a continuación %,numer, el resultado será el número decimal: 8.3. Introducción de expresiones simbólicas Para introducir expresiones simbólicas en la barra de entrada escribimos, por ejemplo: a+a/b+c/b. Cuando pulsemos Intro el programa dará como resultado la expresión en el formato adecuado: 8.4. Simplificar expresiones Si en la pantalla hay una expresión algebraica podemos simplificarla pulsando el correspondiente botón de acceso directo a la operación Simplificar: 8.5. Factorizar polinomios Al introducir polinomios en la línea de entrada, es conveniente escribir el operador de producto entre la constante y la variable. Por ejemplo: no escribir x 3x + sino x 3*x +. El motivo es que el programa a veces toma la x como operador y no como variable, y entonces lanza un mensaje de error, ya que el operador de producto es *. Vamos a factorizar el polinomio x 4 1: 7

16 8.6. Resolver ecuaciones Para resolver ecuaciones puede utilizarse el botón correspondiente del panel de botones de acceso directo que aparece en la parte inferior del entorno de trabajo. Por ejemplo, vamos a escribir la expresión: x -3x+5. Pulsamos a continuación Intro y luego pulsamos en Resolver. Aparecerá en la pantalla un cuadro de diálogo en el que se pregunta la variable de la cual se desea obtener las raíces. El resultado será: 73

17 11 UNIDAD CÁLCULO SIMBÓLICO 8.7. Representaciones gráficas de funciones Para representar gráficamente funciones hay que escribirlas y luego pulsar en el botón correspondiente al tipo de gráfico deseado. También se puede representar una función que ya esté escrita en la pantalla seleccionándola y luego pulsando el botón de gráfico, o haciendo clic sobre la selección con el botón secundario del ratón y eligiendo la opción deseada en el menú contextual. Otra manera de hacerlo es utilizar el menú Gráficos. Como ejemplo, seleccionaremos el polinomio escrito en la pantalla anterior, que el programa tomará como función polinómica, asignando la variable Y de forma automática. Si pulsamos el botón Gráficos D aparecerá el siguiente cuadro de diálogo: Pulsando en Aceptar obtendremos el gráfico D: 74

18 Si queremos ver el gráfico en 3D, volvemos a seleccionar el mismo polinomio para tomarlo como función y pulsamos en Gráficos 3D : Con esto finalizamos esta breve introducción a wxmáxima, en la que hemos tratado los aspectos fundamentales para empezar a trabajar con el programa. Esta explicación no pretende abarcar todas las posibilidades del programa, sino únicamente mostrar cómo se trabaja con él, es decir, describir las partes fundamentales de su entorno de trabajo y el uso de la barra de entrada, las líneas de la ventana principal y los botones de acceso directo a funciones. Somos conscientes de que el uso del programa requiere de un aprendizaje más profundo, para lo cual recomendamos los siguientes enlaces en los que se puede encontrar información adicional de sumo interés. Vídeos con temas sobre wxmaxima: Referencia al programa wxmaxima en Wikipedia: 75