Introducción al álgebra conmutativa

Transcripción

1 Felipe Zaldívar Introducción al álgebra conmutativa 16 de febrero de 2011

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3 Prefacio Desde Descartes (geometría coordenada) hasta Hilbert (variedades algebraicas y álgebras conmutativas) y Grothendieck (esquemas y anillos conmutativos), una de las ideas más fructíferas en matemáticas ha sido la de la dualidad o correspondencia entre el álgebra y la geometría. Esta correspondencia establece que para cada concepto o afirmación en el álgebra se tiene un concepto o afirmación correspondiente en geometría. La formulación precisa de esta dualidad o correspondencia es por medio de una equivalencia entre las categorías asociadas. Por ejemplo, el teorema de los ceros de Hilbert muestra que la categoría de variedades algebraicas (afines) sobre un campo algebraicamente cerrado es equivalente a la categoría (opuesta) de álgebras conmutativas finitamente generadas sin elementos nilpotentes (i.e., álgebras reducidas). Otro ejemplo es el teorema de Serre que muestra que la categoría de haces vectoriales sobre una variedad algebraica afín es equivalente a la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre el álgebra de funciones regulares en la variedad. Varias de estas dualidades permean explícita o implícitamente los temas considerados en este libro que, como otros ilustres antecesores, inició como un apéndice a unas notas de geometría algebraica, y por un severo caso de apendicitis es que ahora, después de una cirugía mayor, se ha independizado sin olvidar su origen, como lo delatan los ejemplos geométricos distribuidos a lo largo del texto. Los requisitos para el libro son mínimos, usualmente adquiridos en la licenciatura: una introducción a la teoría de anillos, campos y teoría de Galois como en [17]. Los métodos homológicos se introducen al mínimo y con aplicaciones al álgebra conmutativa inmediatos. El libro hereda de los textos clásicos, principalmente Bourbaki [2], Zariski-Samuel [19], Atiyah-MacDonald [1], Matsumura [8] y Kunz [6], varias demostraciones y formas de presentar los temas. El lenguaje categórico. El lector atento ya habrá notado que del lenguaje de la teoría de categorías se asume lo esencial: categorías, funtores, transformaciones naturales. En un tiempo, ya muy pretérito, los textos de este nivel comenzaban listando el lenguaje y notación de conjuntos que se iban a usar. Quizá las líneas que siguen sean la evolución natural de lo anterior: una categoría C consiste de una familia de V

4 VI Prefacio objetos Ob(C ) y una familia de flechas o morfismos Fl(C ) entre (algunos) pares de objetos de C que satisfacen las condiciones mínimas siguientes: (0) Si A,B Ob(C ), denotamos a la familia de flechas entre A y B mediante Hom C (A,B) y si f Hom C (A,B) usaremos la notación f : A B y diremos que f es una flecha o morfismo de A a B. (1) Existe una composición de flechas compatibles, es decir, siempre que f : A B y g : B C sean dos flechas de C se tiene una flecha g f : A C. Es decir, se tiene una función Hom C (A,B) Hom C (B,C) Hom C (A,C) que manda al par ( f,g) a la composición g f. (2) La composición anterior es asociativa, es decir, siempre que f Hom C (A,B), g Hom C (B,C), h Hom C (C,D), se tiene que h (g f ) = (h g) f. (3) Para todo A Ob(C ) se tiene una flecha id A Hom C (A,A), llamada la flecha identidad y que satisface que para cualquier flecha f Hom C (B,C), las composiciones f id B = f y id C f = f. Ejemplo 1. La categoría de conjuntos tiene como objetos a los conjuntos y como flechas a las funciones entre conjuntos. En este ejemplo la composición de flechas es la composición de funciones. Ejemplo 2. La categoría de grupos tiene como objetos a los grupos y como flechas a los homomorfismos entre grupos. En este ejemplo la composición de flechas es la composición de homomorfismos. Ejemplo 3. La categoría de espacios topológicos tiene como objetos a los espacios topológicos y como flechas a las funciones continuas entre espacios. En este ejemplo la composición de flechas es la composición de funciones. Ejemplo 4. La categoría de espacios vectoriales sobre un campo K tiene como objetos a los K-espacios vectoriales y como flechas a las transformaciones K-lineales entre éstos. En este ejemplo la composición de flechas es la composición de transformaciones lineales. Si A y B son dos categorías, un funtor (covariante) entre A y B, denotado F : A B es un par de funciones: F : Ob(A ) Ob(B) y F : Fl(A ) Fl(B)

5 Prefacio VII tales que para todo f Hom A (A,B) y todo g Hom A (B,C) se tiene que F(g f ) = F(g) F( f ) Hom B (F(A),F(C)) (preserva composiciones), y para todo id A Fl(A ) se tiene que (preserva identidades). F(id A ) = id F(A) Hom B (F(A),F(A)) Ejemplo 5. La identidad id C : C C (identidad en objetos e identidad en morfismos) es un funtor. Si F : A B y G : B C son funtores, la composición G F : A C (definida en forma obvia en objetos y morfismos) también es un funtor. Ejemplo 6. Si G es la categoría de grupos y C es la categoría de conjuntos, asociando a cada grupo G Ob(G ) el conjunto subyacente, i.e., olvidando que G es un grupo, se tiene el funtor que olvida F : G C, definido en los morfismos (homomorfismos de grupos) considerando estos sólo como funciones entre conjuntos. Se tienen funtores que olvidan similares para la categoría de espacios topológicos, o para la categoría de espacios vectoriales (aquí se puede recordar que cada espacio vectorial V es un grupo abeliano (aditivo) o recordar que es un conjunto, es decir se tienen funtores que olvidan: o F : K-espacios vectoriales Grupos abelianos Es decir, hay distintos niveles de olvidos. G : K-espacios vectoriales Conjuntos. Ejemplo 7. Si C es la categoría de conjuntos y K es un campo, se tiene el funtor L : C K-espacios vectoriales que asocia a cada conjunto B el K-espacio vectorial V = B con base B. Este funtor se define para una función entre conjuntos asociando a ésta la transformación lineal determinada por su valor en las bases correspondientes. Si F,G : A B son dos funtores, una transformación natural ϕ : F G entre los funtores F y G es una función ϕ : Ob(A ) Fl(B) que asocia a cada objeto A de A una flecha ϕ A : F(A) G(A) en B de tal manera que si f : A B es una flecha de A los diagramas siguientes conmutan

6 VIII Prefacio F( f ) F(A) F(B) ϕ A ϕ B G(A) G( f ) G(B). Ciudad de México, Septiembre de 2010 Felipe Zaldívar.

7 Índice general 1. Anillos, ideales y el espectro primo Ideales El anillo cociente Dominios de factorización única Operaciones con ideales El teorema chino del residuo Ideales primos y máximos El espectro primo de un anillo Radicales y el nilradical El espectro primo como funtor contravariante Irreducibilidad El espectro máximo Conjuntos algebraicos afines Conjuntos algebraicos afines e ideales radicales Módulos y álgebras Operaciones con módulos Sucesiones exactas Propiedades de exactitud del Hom Producto tensorial de módulos Propiedades de exactitud del producto tensorial Planitud Álgebras Producto tensorial de álgebras Conjuntos algebraicos afines y K-álgebras Anillos de coordenadas Morfismos entre variedades afines Producto tensorial de álgebras y producto de variedades afines Producto fibrado de espectros primos IX

8 X Índice general 3. Localización, finitud y el teorema de los ceros Anillos de fracciones Localización e ideales Álgebras finitas y de tipo finito. Integridad El lema de normalización de Noether El teorema de los ceros de Hilbert Los teoremas de subida y bajada de Cohen-Seidenberg Propiedades locales Anillos noetherianos y artinianos Anillos noetherianos El teorema de la base de Hilbert El lema de Nakayama El teorema de intersección de Krull Ideales primarios Descomposición primaria El asociado de un ideal Descomposición primaria en anillos noetherianos Anillos artinianos Series de composición Anillos de valuación discreta y de Dedekind Anillos de valuación Valuaciones discretas Anillos de valuación discreta Anillos de Dedekind Traza, norma y discriminante de campos de números La norma de un ideal Factorización única de ideales El grupo de clases de ideales Finitud del grupo de clases de ideales Dimensión de álgebras y anillos noetherianos Grado de trascendencia de K-álgebras afines Dimensión de Krull de un anillo La altura de un ideal El teorema del ideal principal de Krull Anillos locales regulares y espacios tangentes Topologías, filtraciones y completaciones Grupos topológicos Filtraciones Sucesiones y filtraciones Completaciones Propiedades de exactitud Anillos y módulos graduados

9 Índice general XI El lema de Artin-Rees Noetherianidad de una completación Localización y límites directos El lema de Hensel Anillos henselianos Algebras separables Derivaciones y diferenciales de Kähler Las sucesiones fundamentales Diferenciales y extensiones de campos Extensiones separablemente generadas p-bases de Teichmüller Referencias

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11 Capítulo 1 Anillos, ideales y el espectro primo Un anillo (conmutativo) con uno es un grupo abeliano (A,+) con un producto A A A que es asociativo, conmutativo, distribuye a la suma y tiene neutro multiplicativo. Ejemplos importantes de anillos conmutativos son el anillo de enteros Z, campos (tales como Q, R, C), el anillo de enteros módulo un entero dado, Z/nZ (éste es un campo si y sólo si n es primo), y si K es un campo el anillo de polinomios en n indeterminadas K[x 1,...,x n ]. Un morfismo de anillos es una función f : A B entre anillos que respecta la suma y producto de éstos, es decir, f (a + b) = f (a) + f (b) y f (ab) = f (a) f (b). La función identidad id A : A A es un morfismo de anillos y la composición de dos morfismos de anillos también lo es. Si B es un anillo, un subanillo de B es un subconjunto A B que es anillo con las operaciones de B restringidas a A. Así, la inclusión i : A B es un morfismo de anillos y es inyectivo. De ahora en adelante, a menos que se diga lo contrario, todos los anillos son conmutativos y los morfismos de anillos llevan el uno en el uno. Ideales. Si A es un anillo, un ideal I de A es un subgrupo aditivo I A tal que para todo a A y x I se tiene que ax I. Claramente la intersección de cualquier familia de ideales de A es de nuevo un ideal de A. Si S A es cualquier subconjunto, el ideal generado por S es la intersección de todos los ideales de A que contienen a S. Usaremos la notación S para el ideal generado por S. Así S = { i a i s i : sumas finitas con a i A,s i S }. Cuando S = {s 1,...,s n } es finito, usaremos la notación s 1,...,s n para el ideal generado por S y diremos que éste es un ideal finitamente generado. En el caso particular cuando S = {s} consta de un único elemento, diremos que s es un ideal principal. El anillo cociente. Si A es un anillo e I A es un ideal, en el grupo abeliano (aditivo) A/I de clases laterales de A módulo I se define un producto mediante (a + I)(b + I) = ab + I. Es fácil ver que este producto está bien definido, i.e., no depende de la elección de los representantes de las clases laterales dadas y hace de A/I un anillo 1

12 2 1 Anillos, ideales y el espectro primo conmutativo con uno al que se llama el anillo cociente de A módulo I. El cero de A/I es I y el uno es 1 + I. La función natural ρ : A A/I dada por ρ(a) := a + I es un morfismo suprayectivo de anillos al que se conoce como el epimorfismo canónico. Dominios de factorización única. En el anillo de enteros Z, todo entero no cero ni unidad se puede factorizar, en forma única, como producto de enteros primos. A continuación probaremos que lo mismo es cierto para el anillo más importante en geometría algebraica: el anillo de polinomios con coeficientes en un campo K[x 1,...,x n ]. Comenzamos recordando los conceptos pertinentes. En un dominio entero A un elemento irreducible o primo es un elemento π A no nulo ni unidad tal que siempre que π = ab con a,b A, se tiene que a o b es una unidad. Si todo elemento no nulo ni unidad de A se puede escribir en forma única (salvo unidades o el orden de los factores) como producto de irreducibles, se dice que A es un dominio de factorización única o DFU. Todo dominio de ideales principales (DIP) es un DFU, en particular todo dominio euclidiano es un DFU. Los ejemplos más importantes de dominios euclidianos son Z y K[x], con K un campo. Observe que si A es un DFU y π es un primo tal que π ab con a,b A, entonces π a o π b ya que escribiendo a y b como producto de primos, entonces la factorización en primos de ab se obtienen pegando las de a y b por lo que si π aparece como factor en ab es porque ya estaba en a o en b. Nuestro objetivo ahora es probar que, si K es un campo, el anillo de polinomios K[x 1,...,x n ] es un DFU. Note que ya sabemos que K[x 1 ] lo es (de hecho, es un dominio euclidiano y así es un DIP; sin embargo, el anillo K[x 1,x 2 ] no es un DIP ya que el ideal x 1,x 2 no es principal). La demostración será por inducción sobre el número n de variables y el paso principal es la demostración de que si A es un DFU entonces A[x] también es un DFU. Con este objetivo necesitaremos los resultados siguientes sobre la factorización de polinomios. Un polinomio f (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n A[x] se dice que es primitivo si mcd(a 0,...,a n ) = 1 (o una unidad). El contenido de un polinomio g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m A[x] es c(g) := mcd(b 0,...,b m ), el cual está definido salvo unidades. Así g(x) A[x] es primitivo si y sólo si c(g) = 1 (o una unidad). Obsérvese que cualquier polinomio g(x) A[x] se puede escribir de la forma g(x) = d f (x) con d = c(g) y f (x) primitivo simplemente factorizando el mcd de los coeficientes de g(x). Es claro que la suma de dos polinomios primitivos en general no es primitivo, sin embargo se tiene: Lema 1.1 (Gauss) Si A es un DFU y f (x), g(x) en A[x] son primitivos, entonces su producto f (x)g(x) también es primitivo. Demostración. Si f (x) = a 0 + a 1 x + + a m x m y g(x) = b 0 + b 1 x + + b n x n, a i,b j A, supongamos que f (x) g(x) = c 0 + c 1 x + + c r x r no es primitivo. Entonces, mcd(c 0,...,c r ) 1, y así existe un primo π A tal que π c k para todos los k = 0,...,r. Ahora, como f (x) es primitivo, este primo π no divide a todos los coeficientes a i. Sea pues a s el primer coeficiente de f (x) no divisible por π. Similarmente, sea b t el primer coeficiente de g(x) no divisible por π. Consideremos ahora al coeficiente c s+t de f (x) g(x):

13 1 Anillos, ideales y el espectro primo 3 c s+t = (a 0 b s+t + a 1 b s+t a s 1 b t+1 ) + a s b t +(a s+1 b t 1 + a s+2 b t a s+t b 0 ) y obsérvese que como π a i, 0 i s 1, entonces π divide al primer paréntesis en la ecuación de arriba, y similarmente π divide al segundo paréntesis. Y como por hipótesis π c s+t, entonces π debe dividir a a s b t, en contradicción con el hecho de que π no divide a a s ni a b t. Corolario 1.2 Si A es un DFU y f (x), g(x) en A[x], entonces c( f g) = c( f )c(g). Se sigue que todo factor de un polinomio primitivo en A[x] también es primitivo. Demostración. Escribamos f = c( f ) f 1, g = c(g)g 1 con f 1,g 1 primitivos. Entonces, f g = c( f )c(g) f 1 g 1, donde f 1 g 1 es primitivo por el lema anterior. Se sigue que c( f g) = c( f )c(g). Corolario 1.3 (Lema de Gauss) Sea A un DFU con campo de fracciones K. Si un polinomio f (x) A[x] es irreducible, entonces considerado como polinomio en K[x] también es irreducible. Obsérvese que como, obviamente, si f (x) es irreducible en K[x] también es irreducible en A[x], entonces el lema de Gauss de hecho dice: f (x) A[x] es irreducible en A[x] si y sólo si f (x) es irreducible en K[x]. Demostración. Supongamos primero que f (x) A[x] es primitivo. Si f (x) = p(x) q(x), con p(x), q(x) K[x], escribamos con a i /b i K, y p(x) = a 0 /b 0 + (a 1 /b 1 )x + + (a m /b m )x m, q(x) = a 0/b 0 + (a 1/b 1)x + + (a n/b n)x n con a i /b i K. Si b = b 0 b 1 b m y b = b 0 b 1 b n, entonces p(x) = (1/b)b p(x) y q(x) = (1/b )b q(x), con b p(x) y b q(x) en A[x]. Más aún, si d es el contenido de b p(x) y d es el contenido de b q(x), entonces b p(x) = d u(x) y b q(x) = d v(x) con u(x),v(x) A[x] primitivos. Se sigue que y así f (x) = p(x)q(x) = 1 b (d u(x)) 1 b (d v(x)) = dd bb u(x)v(x) = s t u(x)v(x) t f (x) = s u(x)v(x) y como f (x) es primitivo, entonces c(t f (x)) = t, y también, como u(x) y v(x) son primitivos, el producto u(x)v(x) es primitivo y así c(s u(x)v(x)) = s. Se sigue que t = c(t f (x)) = c(s u(x)v(x)) = s, i.e., s = t y por lo tanto f (x) = u(x) v(x)

14 4 1 Anillos, ideales y el espectro primo con u(x),v(x) A[x]. Finalmente, si f (x) A[x] no es primitivo, escribamos f (x) = d g(x) con g(x) A[x] primitivo. Si f (x) se factoriza en K[x] como f (x) = p(x)q(x), entonces d g(x) = f (x) = p(x)q(x) y así ( 1 ) g(x) = d p(x) q(x) con (1/d) p(x),q(x) K[x], y entonces por la primera parte de la demostración, como g(x) es primitivo, entonces g(x) = u(x)v(x) con u(x),v(x) A[x]. Se sigue que f (x) = d g(x) = (d u(x))v(x) con d u(x),v(x) A[x]. Teorema 1.4 Si A es un DFU, entonces A[x] también lo es. Demostración. De la factorización f = c( f ) f 1 se sigue que los elementos irreducibles de A[x] deben buscarse entre los polinomios constantes y los polinomios primitivos. Ahora, un polinomio constante c es irreducible si y sólo si c es irreducible en A y un polinomio primitivo es irreducible si y sólo si no tiene un factor primitivo de grado menor por 1.2. Por lo tanto, todo polinomio no nulo ni unidad de A[x] es un producto de elementos irreducibles. Supongamos ahora que se tienen dos factorizaciones en irreducibles de f A[x]: f = c 1 c m f 1 f r = d 1 d n g 1 g s con los c i,d j constantes y f i,g j polinomios primitivos. Entonces c( f ) = c 1 c m = d 1 d n (salvo unidades de A) y como A es un DFU se debe tener que m = n y, reordenando si hiciera falta, c i = d i salvo unidades de A. Cancelando se sigue que ( ) f 1 f r = g 1 g s (salvo unidades de A). Ahora, si K es el campo de cocientes de A, viendo a los polinomios anteriores en K[x], por el lema de Gauss los f i,g j son irreducibles en K[x], y como este anillo es un DFU, la igualdad ( ) implica que r = s y, reordenando si hiciera falta, f i = g i salvo unidades en K. Pero, si f i = (u i /v i )g i con u i /v i no cero (i.e., una unidad en K), entonces v i f i = u i g i y como f i y g i son primitivos, calculando contenidos la igualdad anterior implica que u i = v i salvo unidades en A; se sigue que u i /v i es una unidad de A. Corolario 1.5 Si K es un campo, entonces K[x 1,...,x n ] es un DFU. Operaciones con ideales. Si I,J son ideales de A, su suma es el ideal I + J = {a + b : a I,b J}

15 1 Anillos, ideales y el espectro primo 5 es obvio que éste es un ideal y es el menor ideal de A que contiene a I y J. En general, si {I j } j Γ es una familia de ideales, la unión de ideales no es un ideal. Se define la suma de ideales j Γ I j como el ideal generado por la unión S = j Γ I j. Por lo tanto, I j = {a i1 x i1 + + a in x in : con los a i j A y los x i j I i j }. j Γ Es decir, j Γ I j es el ideal dado por las combinaciones lineales finitas de elementos de la unión de los ideales I j. El ideal generado por los productos {ab : a I,b J} se llama el producto de los ideales I y J, y se denota por IJ. Así, IJ = { i a i b i : sumas finitas con a i I,b i J }. Es claro que IJ I e IJ J y por lo tanto IJ I J. Por recursión se define el producto de un número finito de ideales I 1,...,I n y se denota por I 1 I n. La correspondencia entre ideales inducida por un epimorfismo. Si f : A B es un morfismo de anillos, el núcleo ker f = {a A : f (a) = 0} es un ideal de A y si I A es cualquier ideal, el epimorfismo canónico ρ : A A/I tiene como núcleo a I. De hecho, ρ induce una correspondencia biunívoca entre la familia de ideales del anillo cociente A/I y la familia de ideales de A que contienen a I {ideales de A que contienen a I} ρ {ideales de A/I} dada por J ρ(j) con inversa J ρ 1 J. El teorema chino del residuo. Dos ideales I,J de A se dice que son coprimos si I + J = 1 = A. Note que si I,J son coprimos entonces IJ = I J, lo cual es parte del teorema siguiente: Teorema 1.6 (Teorema chino del residuo) Si I 1,...,I n son ideales de A coprimos por pares, i.e., I i + I j = A, para i j, entonces la función ρ 1 φ : A A/I 1 A/I n dada por a (a+i 1,...,a+I n ) es un epimorfismo con núcleo I 1 I n = I 1 I n. Demostración. Supongamos primero que n = 2. Como I 1 + I 2 = A, existen x i I i tales que 1 = x 1 + x 2. Entonces, dado el elemento (a 1 + I 1,a 2 + I 2 ) A/I 1 A/I 2, para x = a 1 x 2 + a 2 x 1 A escribiendo x 2 = 1 x 1 se tiene que x + I 1 = a 1 x 2 + a 2 x 1 + I 1 = a 1 a 1 x 1 + a 2 x 1 + I 1 = a 1 + I 1 y similarmente x + I 2 = a 2 + I 2 por lo que φ(x) = (x + I 1,x + I 2 ) = (a 1 + I 1,a 2 + I 2 ) y así φ es suprayectiva. También, en el caso n = 2, el núcleo de φ está formado

16 6 1 Anillos, ideales y el espectro primo por los x A tales que x + I 1 = I 1 y x + I 2 = I 2, es decir, tales que x I 1 I 2, como se quería. Resta probar que I 1 I 2 = I 1 I 2. Claramente I 1 I 2 I 1 I 2. Para la otra inclusión, como I 1 + I 2 = A escribamos 1 = x 1 + x 2 como antes. Si x I 1 I 2, entonces x = x1 = x(x 1 + x 2 ) = xx 1 + xx 2 I 1 I 2. Supongamos ahora que n > 2. Mostraremos que los ideales I 1 e I 2 I n son coprimos. En efecto, como I 1 e I i son coprimos, para i 2, existen elementos a i I 1 y b i I i tales que a i + b i = 1 para i 2 y por lo tanto el producto i 2 (a i + b i ) = 1 y además está en el ideal I 1 + I 2 I n y por lo tanto I 1 + I 2 I n = A, como se quería. Podemos entonces aplicar el caso n = 2 a estos dos ideales, en particular para el elemento (1,0) A/I 1 A/(I 2 I n ) por el caso n = 2 existe un y 1 A tal que (y 1 + I 1,y 1 + I 2 I n ) = (1 + I 1,0 + I 2 I n = (1,0) y así y 1 I 2 I n de donde se sigue que y 1 I i para todo i 2, es decir, φ(y 1 ) = (1,0,...,0). En forma análoga se encuentran elementos y 2,...,y n A tales que φ(y i ) = (0,...,1,...,0) (1 en el lugar i y 0 en las otras coordenadas). Así, dado (x 1 + I 1,...,x n + I n ), el elemento x = i x i y i A es tal que φ(x) = (x 1 + I 1,...,x n + I n ) lo cual muestra que φ es suprayectiva. Claramente el núcleo de φ es la intersección i I i y sólo resta probar que es igual a I 1 I n. Por inducción podemos suponer que i 2 I i = I 2 I n, y como mostramos antes, I 1 e I 2 I n son coprimos y así por el caso n = 2 se tiene que I 1 ( i 2 I i ) = I1 (I 2 I n ), como se quería. Ideales primos y máximos. Un ideal propio p A se dice que es primo si siempre que ab p se tiene que a p ó b p. Equivalentemente, p es primo si y sólo si A/p no es el anillo cero y es un dominio entero. En un DFU los ideales primos son los ideales principales generados por un elemento irreducible: Lema 1.7 Sean A un dominio entero y π un ideal principal no trivial de A. (1) Si π es primo, entonces π es irreducible. (2) Si A es un DFU, entonces π es primo si y sólo si π es irreducible. Demostración. Si π es primo, π 0 y π 1, entonces π no es cero ni unidad. Si π = ab, entonces ab π y como éste es un ideal primo, entonces a π o b π. Si a π escribiendo a = πc se tiene que π = ab = πcb y cancelando se tiene que 1 = cb, i.e., b sería una unidad y por lo tanto π es irreducible. Esto prueba (1) y una implicación de (2). Para la implicación faltante, si π es irreducible y ab π entonces π ab y como π es irreducible, por lo observado antes del lema se sigue que π a o π b, i.e., a π o b π y por lo tanto π es un ideal primo.

17 1 Anillos, ideales y el espectro primo 7 Corolario 1.8 Si K es un campo, un ideal principal f en K[x 1,...,x n ] es primo si y sólo si f es irreducible. Un ideal propio m A se dice que es máximo si para todo ideal I de A tal que m I A se tiene que m = I ó I = A. Equivalentemente, m es máximo si y sólo si A/m es un campo. Como todo campo es dominio entero, se sigue que todo ideal máximo es primo. Sin embargo, no todo ideal primo es máximo, por ejemplo el ideal cero 0 Z es primo (porque Z es dominio entero) pero no es máximo. Todo anillo no trivial tiene al menos un ideal máximo como una consecuencia directa del lema de Zorn 1 ya que si A es el conjunto de todos los ideales propios de A (i.e., distintos de A), ordenando A mediante la inclusión de ideales, como 0 A, entonces A /0 y si C A es una cadena, para cualesquiera I,J C se tiene que I J ó J I por lo que la unión M = I C I es un ideal de A. Claramente M es un ideal propio ya que si 1 M entonces 1 I para algún I C, en contradicción con el hecho de que los ideales de A son propios. Por el lema de Zorn se sigue que A tiene elementos máximos. Una forma equivalente de formular la afirmación anterior es: todo ideal propio I A está contenido en un ideal máximo de A, lo cual se sigue al considerar el anillo cociente A/I. Proposición 1.9 (1) Si I 1,...,I n son ideales de A y p es un primo que contiene a la intersección j I j, entonces p I j, para algún j. De hecho, si p I 1 I n, entonces p I j, para algún j. Más aún, si j I j = p, entonces p = I j, para algún j. (2) Si p 1,...,p n son ideales primos de A y J es un ideal contenido en i p i, entonces J p i, para algún i. (3) Si m es un ideal máximo de A, entonces para todo entero n > 0, el único ideal primo que contiene a m n es m. Demostración. (1): Supongamos que la afirmación es falsa, i.e., que p I i para todo i. Entonces, para cada i existe un x i I i p y así x 1 x n I 1 I n I 1 I n pero x 1 x n p porque éste es primo. Una contradicción, y por lo tanto p I i, para algún i. Finalmente, si p = i I i, entonces p I i para cada i y por el resultado del párrafo anterior p = I i, para algún i. (2): Por inducción sobre n para la contrapositiva: Si J no está contenido en ningún p i, entonces J no está contenido en la unión de los p i. Para n = 1 no hay nada qué probar. Supongamos ahora que n > 1 y que el resultado es válido para n 1. Entonces, fijando cualquier i se tiene que si J p j, para todo j i, entonces J j i p j, por hipótesis de inducción. Por lo tanto, para este i, existe un elemento x i J tal que x i p j para todo j i. Si sucediera que uno de estos x i también satisface que x i p i, entonces x i i p i y ya acabamos. Supongamos entonces que para todo i estos x i p i, y consideremos el elemento 1 Si (A, ) es un conjunto parcialmente ordenado en el cual toda cadena C A (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior en A (i.e., existe un c A tal que u c para todo u C), entonces A tiene al menos un elemento máximo, i.e., un elemento m A para el cual no existe x A con x m y tal que m x,

18 8 1 Anillos, ideales y el espectro primo x = n i=1 x 1 x i 1 ˆx i x i+1 x n (donde ˆx i quiere decir omitir x i ) y note que como cada x j J, entonces x J, pero como x j p j para j i, entonces x p j para toda j, incluyendo j = i y por lo tanto x J i p i. (3): Si un primo p m n, entonces por la parte (1) se tiene que p contiene a un factor, que debe ser m, y como m es máximo, entonces p = m. El espectro primo de un anillo. Al conjunto de ideales primos de un anillo A se le denota por SpecA = {p A : p es un ideal primo de A} y se le llama el espectro primo de A. Si f : A B es un morfismo de anillos y si q B es un ideal primo, entonces su imagen inversa f 1 (q) es un ideal primo de A, ya que si ab f 1 (q) entonces f (a) f (b) = f (ab) q y así f (a) q ó f (b) q, es decir, a f 1 (q) ó b f 1 (q). Se tiene así la función a f : SpecB SpecA dada por a f (q) = f 1 (q). A continuación mostraremos que SpecA tiene una topología natural y con esta topología la función asociada a un morfismo de anillos f : A B es continua. La definición de SpecA generaliza lo que sucede en geometría algebraica, vea la página 17 o el capítulo 1 de [17], donde para una variedad afín sus puntos corresponden a ideales máximos en su anillo de coordenadas. El cambio de ideales máximos a ideales primos se debe, principalmente, al hecho de que, dado un morfismo de anillos, la imagen inversa de un ideal máximo no siempre es máximo, el ejemplo más sencillo es para la inclusión i : Z Q donde el ideal 0 es máximo en Q, pero i 1 (0) = 0 no es máximo en Z. Sin embargo, si I A es un ideal y ρ : A A/I es el epimorfismo canónico, entonces bajo la correspondencia biunívoca entre ideales de A/I e ideales de A que contienen a I se tiene que: Corolario 1.10 Si I A es un ideal y ρ : A A/I es el epimorfismo canónico, entonces (1) p es primo en A (que contiene a I) si y sólo si ρ(p) es primo de A/I. (2) m es máximo en A (que contiene a I) si y sólo si ρ(m) es máximo en A/I. La topología de Zariski en SpecA. Se introduce una topología en SpecA asociando a cada subconjunto E de A el conjunto V (E) = {p SpecA : p E} SpecA formado por los ideales primos de A que contienen a E. Comenzamos observando que si E E son dos subconjuntos de A, entonces V (E) V (E ). En particular, si I = E es el ideal generado por los elementos de E, entonces V (E) V (I), y de hecho se tiene que V (E) = V (I) ya que para la otra inclusión, si p E entonces el

19 1 Anillos, ideales y el espectro primo 9 ideal primo p contiene a los generadores de I y por lo tanto contiene a I. Podemos entonces restringirnos a considerar sólo los conjuntos V (I) para I un ideal de A. Que estos conjuntos definen los cerrados en una topología de SpecA es parte del lema siguiente: Lema 1.11 Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces, (1) V (A) = /0 y V (0) = SpecA. (2) Si I, J son ideales de A, entonces V (IJ) = V (I) V (J). ( ) ( ) (3) Si I j son ideales de A, entonces V I j = V I j = V (I j ). j j j (4) Si I J son ideales de A, entonces V (I) V (J). Demostración. (2): Si p V (I) V (J) entonces p I o p J y así p IJ por ser p ideal. Recíprocamente, si p V (IJ) y si p V (J), entonces existe un b J tal que b p, y como para todo a I se tiene que ab IJ p y p es primo con b p, entonces ab p implica que a p y por lo tanto I p. (3): Note que un ideal primo p contiene a la suma j I j si y sólo si p contiene a cada I j ya que la suma j I j es el menor ideal que contiene a todos los I j. La parte (1) es obvia y (4) se probó antes del enunciado del lema. A la topología definida por los cerrados V (I) anteriores, se le llama la topología de Zariski en SpecA. Se tiene la construcción recíproca de V (I): dado un subconjunto U SpecA se define I(U) := p. Las propiedades siguientes son inmediatas: p U Lema 1.12 Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces, (1) Si U U SpecA, entonces I(U) I(U ). (2) I( iu i ) = i I(U i ). (3) I({p}) = p. Mostraremos a continuación, que bajo ciertas condiciones, las correspondencias anteriores son inversas una de la otra, y para probar ésto necesitaremos las propiedades y conceptos adicionales siguientes: Radicales y el nilradical. Si I A es un ideal, su radical es el conjunto I := {a A : a t I para algún entero t 1}. Es fácil probar que I es un ideal de A que contiene a I y el ejercicio 1 lista las propiedades básicas de esta construcción. Para el caso particular del ideal 0 A el

20 10 1 Anillos, ideales y el espectro primo radical 0 se llama el nilradical del anillo A y algunas veces lo denotaremos por nila. Note que 0 = nila consta de los elementos a A para los cuales existe un entero t 1 tal que a t = 0, a estos elementos se les conoce como nilpotentes y por lo tanto nila consiste de todos los elementos nilpotentes de A. Proposición 1.13 Si I A es cualquier ideal, entonces I = p I p, la intersección de todos los ideales primos de A que contienen a I. En particular, el nilradical nila es la intersección de todos los ideales primos de A. Demostración. Si a I y p I es un ideal primo que contiene a I, entonces para algún entero n 1 se tiene que a n I p y como p es primo, entonces a p y así a p I p. Recíprocamente, si a p I p y si sucediera que a I, entonces a n I para todo n 1. Así, la familia F de ideales J de A que contienen a I pero tales que a n J para todo n 1 es no vacía ya que contiene a I, y si damos a F el orden inducido por la inclusión, para cualquier cadena C de ideales J i en F, su unión J = J i pertenece a F porque si no fuera así alguna potencia de a estaría en J y por lo tanto en algún J i, una contradicción. Claramente J es una cota superior de la cadena y así, por el lema de Zorn, F contiene un elemento máximo q para el orden dado por la inclusión. Mostraremos que q es un ideal primo. En efecto, si xy q y si sucediera que x q y y q, entonces los ideales q + x y q + y contienen propiamente a q y así, por la maximalidad de q, estos ideales no están en F y por lo tanto a m q + x y a n q + y, para algunos m,n 1. Escribiendo a m = q + rx y a n = q + sy, con q,q q se tiene que a m+n = a m a n = (q + rx)(q + sy) = qq + qsy + q rx + rsxy q porque xy q. Esto contradice el hecho de q F. Así, q es primo y a q porque a n q para todo n 1, lo cual de nuevo es una contradicción con el hecho de a se escogió en la intersección de todos los primos que contienen a I. Lema 1.14 Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces, (1) V (I) = V ( I). (2) Si I, J son ideales de A, entonces V (I) V (J) si y sólo si I J. (3) Si I A, entonces I(V (I)) = I. (4) Si U SpecA, entonces V (I(U)) = U (la cerradura de U). Demostración. Para (1), como I I, de (4) se sigue que V (I) V ( I). Para la otra inclusión recuerde que I es la intersección de todos los ideales primos que contienen a I y por lo tanto si p V (I) entonces p I y así p q I q = I, i.e., p V ( I). Para la parte (2), observe primero que J J I implica que V (I) = V ( I) V ( J) = V (J). Recíprocamente, si V (I) V (J), entonces p V (I) p p V (J) y por lo tanto J I. Para (3) observe que I = p I p = p V (I) p = I(V (I)). Para (4), como V (I(U)) es un cerrado que contiene a U entonces V (I(U)) U; recíprocamente, si V (I) es

21 1 Anillos, ideales y el espectro primo 11 un cerrado que contiene a U, entonces para todo p U, I p y así I I(U) y por lo tanto V (I) V (I(U)). Corolario 1.15 Las correspondencias siguientes invierten inclusiones y son inversas una de la otra: {subconjuntos cerrados de SpecA} I V {ideales radicales de A}. Corolario 1.16 (1) Para todo p SpecA, la cerradura de {p} está dada por {p} = V (p). Se sigue que {p} es cerrado si y sólo si p es máximo. (2) El espacio SpecA es T 0. Demostración. Por definición, I{p} = p y así, por 1.14 (4) y 1.12 (3), {p} = V (I{p}) = V (p). Para la parte 2, si p,q SpecA son dos puntos distintos, entonces p q o q p y por la parte 1 esto quiere decir que q {p} = V (p) o p {q} = V (q). El espectro de un anillo como funtor contravariante. A cada anillo conmutativo A le hemos asociado un espacio topológico SpecA y es fácil ver que esta asociación define un funtor contravariante de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de espacios topológicos, ya que si φ : A B es un morfismo de anillos (siempre pediremos que φ(1) = 1), sabemos que si q B es un ideal primo, su imagen inversa φ 1 (q) A también es un ideal primo de tal forma que se tiene la función asociada a φ : SpecB SpecA dada por a φ(q) := φ 1 (q) y resulta que ésta es continua en la topología de Zariski, ya que si I es un ideal de A, para V (I) SpecA se tiene que ( a φ) 1 (V (I)) = V (φ(i)). En efecto, p a φ 1 (V (I)) a φ(p) V (I) φ 1 (p) V (I) φ 1 p I p φ(i) p V (φ(i)). Lema 1.17 Sea φ : A B un morfismo de anillos tal que todo b B se puede escribir de la forma b = uφ(a) con u invertible en B (lo cual sucede, por ejemplo, si φ es suprayectiva). Entonces, a φ : SpecB SpecA es un homeomorfismo de SpecB en su imagen. Demostración. (1) Mostraremos primero que para todo subconjunto E B existe un subconjunto E A tal que V (E) = V (φ(e )). En efecto, para cada b E B por hipótesis existen u B y a A tales que b = uφ(a); sea E A el conjunto de todas esas a A obtenidas al variar b E. Note entonces que si p V (E), i.e., si p E, entonces p φ(e ) ya que todos los elementos φ(a) φ(e ) son tales que φ(a) = bu 1 con b p y u 1 B por lo que φ(a) p. La inclusión recíproca es similar. (2) Note ahora que como los espectros son espacios T 0 y como a φ 1 (V (E )) = V (φ(e )), se sigue que a φ es inyectiva.

22 12 1 Anillos, ideales y el espectro primo (3) Finalmente, por la parte (1) y la fórmula a φ 1 (V (E )) = V (φ(e )) = V (E), se sigue que a φ(v (E)) = V (E ) y por lo tanto a φ es cerrada y continua y así, como es inyectiva, es un homeomorfismo sobre su imagen. La consecuencia siguiente puede considerarse un ejemplo (obtener el espectro del cociente en términos del anillo dado): Corolario 1.18 Sean A un anillo e I A un ideal. Entonces, el epimorfismo canónico ρ : A A/I induce un homeomorfismo de SpecA/I en el subespacio cerrado V (I) de SpecA. Demostración. El epimorfismo canónico da una correspondencia biyectiva entre los ideales (respectivamente, ideales primos) de A/I con los ideales (respectivamente, ideales primos) de A que contienen a I. Corolario 1.19 Los espacios topológicos SpecA y Spec(A/ 0) son canónicamente homeomorfos. Demostración. El corolario anterior identifica Spec(A/ 0) con V ( 0) = V (0) = Spec A. Irreducibilidad. Si X es un espacio topológico, un subespacio no vacío Z de X se dice que es irreducible si no se puede escribir como la unión de dos subconjuntos cerrados propios de Z. Lema 1.20 Sea X un espacio topológico arbitrario. Son equivalentes: (1) X es irreducible. (2) Si U 1,U 2 son subconjuntos abiertos no vacíos de X, entonces U 1 U 2 /0. (3) Todo subconjunto abierto no vacío de X es denso en X. Demostración. (1) (2): Si U 1 U 2 = /0, tomando complementos X = (X U 1 ) (X U 2 ) con X U i cerrados propios de X y así, por hipótesis, se debe tener que X = X U 1 o X = X U 2, i.e., U 1 = /0 o U 2 = /0, una contradicción. (2) (1) es similar. (1) (3) es directo de la definición de densidad. Corolario 1.21 Sea Y X un subconjunto de un espacio topológico X. Si Y es irreducible entonces su cerradura Y es irreducible. Demostración. Un abierto U intersecta a Y si y sólo si intersecta a Y. Una componente irreducible de un espacio topológico X es un subconjunto irreducible máximo de X. Por el corolario anterior, las componentes irreducibles son cerradas y así, en el caso del espectro primo, las componentes irreducibles son de la forma V (I), que por 1.18 son homeomorfas a Spec(A/I). Proposición 1.22 Sea X un espacio topológico. Entonces, (1) Cada subconjunto irreducible de X está contenido en una componente irreducible. (2) X es la unión de sus componentes irreducibles.

23 1 Anillos, ideales y el espectro primo 13 Demostración. La parte (2) se sigue de (1) ya que para todo x X el conjunto {x} es irreducible y así, por (1), está contenido en una componente irreducible de X. Para probar (1) usaremos el lema de Zorn. Sea W X un subconjunto irreducible y sea F la familia de subconjuntos irreducibles de X que contienen a W. Como W F, entonces F /0, y si {X i } i Λ es una cadena en F, entonces su unión Y = i Λ X i también está en F ya que X Y y Y es irreducible porque si U 1,U 2 son abiertos de X tales que U i Y /0, entonces existen índices i 1,i 2 Λ tales que U i X ik /0 para j = 1,2, y como {X i } es una cadena podemos suponer que X i2 X i1 y por lo tanto U i X ik /0, pero como X ik son irreducibles por 1.20 se sigue que U 1 U 2 X ik /0 y por lo tanto U 1 U 2 Y /0 que por 1.20 implica que Y es irreducible, y por lo tanto Y F. Claramente Y es cota superior de esta cadena y así, por el lema de Zorn, F debe tener un elemento máximo, que es, por definición, una componente irreducible de X que contiene a W, como se quería. Corolario 1.23 El espacio topológico SpecA es irreducible si y sólo si A/ 0 es un dominio entero, o equivalentemente si el nilradical 0 es un ideal primo. Demostración. Por el corolario anterior podemos asumir que 0 = 0. Ahora, si SpecA fuera reducible existirían cerrados X 1, X 2 contenidos propiamente en SpecA tales que SpecA = X 1 X 2 y por lo tanto I(X 1 ) I(X 2 ) = I(X 1 X 2 ) = I(SpecA) = nil(a) = 0 y los ideales I(X 1 ) e I(X 2 ) no serían 0 por la correspondencia 1.15 y porque I(SpecA) = 0. Entonces se tendrían elementos no nulos f I(X 1 ) y g I(X 2 ) y su producto f g I(X 1 ) I(X 2 ) = 0, i.e., A no sería un dominio entero. Recíprocamente, si A no fuera dominio entero existirían elementos f, g distintos de cero en A tales que f g = 0. Note que como f 0 entonces V ( f ) SpecA ya que de lo contrario I(V ( f )) = I(SpecA) = 0 y por lo tanto se tendría que f = 0. Similarmente, V (g) SpecA. Ahora, como f g = 0 entonces SpecA = V (0) = V ( f g) = V ( f ) V (g) y así SpecA sería reducible. Corolario 1.24 (1) En la correspondencia entre subconjuntos cerrados de Spec A e ideales radicales de A, (ver 1.15), los subconjuntos cerrados irreducibles corresponden a los ideales primos de A. En particular, las componentes irreducibles de SpecA corresponden a ideales primos mínimos. (2) La aplicación x {x} establece una biyección entre los puntos de SpecA y los subconjuntos cerrados irreducibles de SpecA. En otras palabras, todo subconjunto cerrado irreducible de SpecA admite un único punto genérico. NOTA. Si X es cualquier espacio topológico y W X, un punto x W se dice que es un punto genérico de W si W = {x}. Observe que si W tiene un punto genérico, entonces W es irreducible ya que {x} es irreducible y así, por 1.21, {x} también lo es. Demostración. (1): Si p es ideal primo, por 1.18 V (p) = SpecA/p y como el nilradical de A/p es p = p, la última igualdad porque p es primo, entonces por 1.21, como A/p es dominio entero, se sigue que SpecA/p = V (p) es irreducible. (2) Si Y SpecA es un cerrado irreducible, entonces I(Y ) es un ideal primo p de A por la parte 1 y así, para p = I(Y ) se tiene que

24 14 1 Anillos, ideales y el espectro primo {p} = V (I{p}) = V (p) = Y la penúltima igualdad por 1.14(3) y la última porque p = I(Y ) y 1.14(4). Se sigue que p es un punto genérico de Y. Supongamos ahora que q es otro punto genérico de Y. Entonces, Y = {q} = V (I{q}) = V (q), la última igualdad por 1.12(3). Ahora, como I(Y ) = p, la igualdad anterior implica que p = I(Y ) = I(V (q)) = q. En ocasiones, es más fácil trabajar con una base sencilla de la topología de Zariski en SpecA y el lema siguiente nos da una tal base: Lema 1.25 Sea A un anillo conmutativo y para cualquier f A denotemos por D( f ) al abierto dado por el complemento del cerrado V ( f ). A los abiertos D( f ) := Spec A V f los llamaremos abiertos distinguidos. (1) Si f,g A, entonces D( f g) = D( f ) D(g). En particular, D( f ) = D( f n ). (2) D( f ) D(g) si y sólo si g f =: f. (3) D( f ) = D(g) si y sólo si f = g, lo cual equivale a que los ideales primos mínimos que contienen a f y g son iguales. En particular, esto sucede si f = ug con u A una unidad. (4) Los conjuntos D( f ), variando f A, forman una base para la topología de Spec A. (5) Si { f i } i Λ es una familia de elementos de A, entonces SpecA = D( f i ) si y sólo si 1 f i : i Λ, i.e., si y sólo si el ideal generado por los f i es todo A. (6) SpecA es cuasicompacto. Demostración. (1): Por 1.11(2), V ( f g) = V ( f ) V (g) y el resultado se sigue tomando complementos. Para (2), recordemos que f = f p p. Usando esta igualdad se tiene la primera equivalencia en: i Λ g f existe un ideal primo p con f p pero g p existe un ideal primo p tal que p D( f ) pero p D(g) D( f ) D(g). La parte (3) se sigue de la parte (2) o de 1.14(3) y 1.14(1). Para (4), si U = SpecA V (I) es cualquier abierto, note que p I f p para todo f I p V ( f ) para todo f I p f IV ( f ) i.e., V (I) = f I V ( f ) y por lo tanto al tomar complementos

25 1 Anillos, ideales y el espectro primo 15 U = SpecA V (I) = SpecA V ( f ) = ( ) SpecA V ( f ) = D( f ). f I f I f I Para (5), observe que SpecA = i D( f i ) si y sólo si todo punto p SpecA no contiene a algún f i, i.e., si y sólo si ningún ideal primo p contiene al ideal f i : i Λ, y esto sucede si y sólo si este ideal es todo A. Para (6), observe primero que basta probar que cualquier cubierta por abiertos básicos D( f ) tiene una subcubierta finita. Para probar esto último, en la demostración previa observe que 1 f i : i Λ si y sólo si existe un subconjunto finito f j1,..., f jn de los f i y escalares a 1,...,a n A tales que 1 = n i=1 a i f ji y por lo tanto 1 f ji : 1 i n, que por la parte 5 implica que SpecA = D( f j1 ) D( f jn ). Ejemplos. Los ejemplos siguientes ilustran la correspondencia funtorial: Anillos conmutativos Espectros primos. Ejemplo 1. Si K es un campo, su único ideal primo es el 0 y así SpecK = {0}. Ejemplo 2. Sea K un campo y consideremos el anillo de polinomios K[x]. Éste es un DIP y sus primos son el ideal 0 y los ideales máximos de K[x]. Es claro que V (0) = SpecK[x], es decir, la cerradura de 0 es todo el espacio SpecK[x] por lo que 0 es un punto genérico de SpecK[x]. Los otros puntos de SpecK[x], correspondientes a ideales máximos (que son todos los primos porque K[x] es DIP) m i (con m i polinomio irreducible de K[x]) son puntos cerrados, ya que, como K[x] es dominio de factorización única, para cualquier ideal I = f = 0 de K[x], se tiene que V (I) = V f = { m i SpecK[x] : m i f } es el conjunto de divisores primos de f (x) y así V (I) es un subconjunto finito de SpecK[x], en particular, si m i es irreducible, V ( m i ) = { m i }. En el caso cuando K es algebraicamente cerrado, los ideales máximos de K[x] corresponden a polinomios m i de grado 1, digamos m i = x a i con a i K y por lo tanto, los puntos cerrados de Spec K[x] corresponden biyectivamente a los elementos de K mediante x a i a i, que son los puntos de la recta (afín) K, de tal forma que SpecK[x] = K {punto genérico} : 0 a x x a 0

26 16 1 Anillos, ideales y el espectro primo Ejemplo 3. En el caso cuando K no es algebraicamente cerrado se tienen otros ideales primos en K[x] además de los de la forma x a. Por ejemplo, si K = R, por el teorema fundamental del álgebra hay dos tipos de ideales primos (máximos) en R[x]: De la forma x λ con λ R, como antes, y De la forma x 2 + bx + c con b,c R tales que b 2 4c < 0. Note que estos últimos ideales se pueden factorizar como x γ x γ, con γ C R. Así, los puntos cerrados de SpecR[x] corresponden a números reales o a pares conjugados de números complejos no reales. Observe también que Spec R[x] tiene un único punto no cerrado, correspondiente al ideal primo cero. El espectro máximo. Antes de tratar de generalizar el ejemplo anterior para considerar el espectro primo SpecK[x 1,...,x n ] de un anillo de polinomios en n variables con coeficientes en un campo K (algebraicamente cerrado), comenzamos observando que los ideales x 1 a 1,...,x n a n con a i K son ideales máximos de K[x 1,...,x n ] porque los cocientes K[x 1,...,x n ]/ x 1 a 1,...,x n a n K (el isomorfismo es f (x 1,...,x n ) f (a 1,...,a n )). Un tal ideal x 1 a 1,...,x n a n corresponde a una n-ada ordenada (a 1,...,a n ) K n, por lo que podemos indentificar al conjunto de ideales máximos anteriores con K n. En el capítulo 3 (3.22 página 71) probaremos el teorema de los ceros de Hilbert que afirma que éstos son todos los ideales máximos de K[x 1,...,x n ] cuando K es algebraicamente cerrado. Aceptando lo anterior, e identificando el ideal máximo x 1 a 1,...,x n a n con la n-ada ordenada (a 1,...,a n ) K n, podemos visualizar a los ideales máximos en SpecK[x 1,...,x n ] como los puntos de K n. En otras palabras, podemos pensar que K n SpecK[x 1,...,x n ] y para hacerlo más formal conviene definir el espectro máximo de un anillo A como el conjunto Specm(A) = {m A : m es un ideal máximo de A}, de tal forma que, si K es algebraicamente cerrado K n = SpecmK[x 1,...,x n ] identificando cada ideal máximo x 1 a 1,...,x n a n con el punto (a 1,...,a n ). El paso siguiente es ver cómo la topología de Zariski de SpecK[x 1,...x n ] se restringe al subconjunto K n = SpecmK[x 1,...,x n ]. Para ésto, considere un ideal I

27 1 Anillos, ideales y el espectro primo 17 K[x 1,...,x n ] y el conjunto cerrado V (I) SpecK[x 1,...,x n ]. Su restricción a K n es V(I) := V (I) SpecmK[x 1,...,x n = {m SpecmK[x 1,...,x n ] : m I}. El objetivo entonces es dilucidar lo que significa geométricamente el hecho de que m I. Para ésto, observe que si f = f (x 1,...,x n ) I es cualquier elemento, entonces f m = x 1 a 1,...,x n a n y por lo tanto el punto correspondiente (a 1,...,a n ) K n es un cero de f. Por lo tanto, identificando al ideal m = x 1 a 1,...,x n a n con el punto (a 1,...,a n ) K n, el que m I quiere decir que el punto (a 1,...,a n ) es un cero común a todos los polinomios de I. En otras palabras, podemos identificar V(I) := {m = x 1 a 1,...,x n a n SpecmK[x 1,...,x n ] : m I} = {(a 1,...,a n ) K n : f (a 1,...,a n ) = 0 para todo f I}. Conjuntos algebraicos afines. Hemos mostrado que los cerrados del subespacio K n SpecK[x 1,...,x n ] son los conjuntos de la forma V(I) = {(a 1,...,a n ) K n : f (a 1,...,a n ) = 0 para todo f I} a los que se llama conjuntos algebraicos afines. La topología correspondiente en K n se llama la topología de Zariski y se dice que K n es el espacio afín de dimensión n sobre K. Cuando el conjunto algebraico afín V(I) K n es irreducible, diremos que V(I) es una variedad algebraica afín o variedad afín. Note que como todo ideal propio I K[x 1,...,x n ] está contenido en un ideal máximo m que, por el teorema de los ceros de Hilbert, es de la forma m = x 1 a 1,...,x n a n, se sigue que (a 1,...,a n ) V(I) y por lo tanto estos conjuntos no son vacíos para I K[x 1,...,x n ]. A la luz de la discusión anterior, no es de extrañar que en geometría algebraica se haya definido primero el espectro máximo Specm(A) de un anillo A, ya que ésto es lo natural y es un punto de vista que conviene usar, y se usa. Note que Specm(A) es el conjunto de puntos cerrados de Spec A. Una desventaja, no pequeña, del espectro máximo es que si f : A B es un morfismo de anillos, en general no se tiene la función asociada a f : Specm(B) Specm(A). Los ejemplos 4 al 9 siguientes, de conjuntos o variedades afines, ilustran la naturaleza geométrica del espectro máximo, considerando ideales del anillo de polinomios K[x 1,...,x n ] con K algebraicamente cerrado. Comenzamos retomando el caso de una variable del ejemplo 2: Ejemplo 4. Supongamos que K es algebraicamente cerrado. En la recta afín K 1, cuáles son sus conjuntos algebraicos? Para comenzar, como el anillo K[x] es un DIP, entonces todo conjunto algebraico V K 1 es de la forma V = V( f ) para un polinomio f K[x], y como K es algebraicamente cerrado entonces f (x) se factoriza como f (x) = c(x a 1 ) (x a k ) con c,a i K y por lo tanto V( f ) = {a 1,...,a n },

28 18 1 Anillos, ideales y el espectro primo es decir, los conjuntos algebraicos de K 1 son los conjuntos finitos, el espacio total y el vacío. Lo anterior sirve para mostrar que la topología de Zariski en K 1 es muy débil y bastante diferente de la topología usual en K 1 = K, por ejemplo si K = C, ya que en C 1 = C se tienen más cerrados en la topología métrica usual que en la topología de Zariski. Note también que los cerrados en la topología de Zariski son cerrados en la topología métrica ya que los polinomios son funciones continuas en la topología usual. Ejemplo 5. Si E K[x 1,...,x n ] es un conjunto finito de polinomios lineales, la variedad V(E) K n se llama una K-variedad lineal que, esencialmente es estudiada por el álgebra lineal. Ejemplo 6. Si E K[x 1,...,x n ] consiste de un único polinomio no constante f K[x 1,...,x n ], a la variedad V(E) =: V( f ) K n se le llama una hipersuperficie. Si f es de grado 1, se dice que V( f ) es un hiperplano afín en K n. En el caso particular cuando n = 2, V( f ) es una curva en K 2 y es una recta si f es lineal. En el capítulo 4 se probará que todos los ideales I K[x 1,...,x n ] tienen un número finito de generadores, el teorema de la base de Hilbert (4.2 página 88), y por lo tanto todo conjunto algebraico afín V(I) es una intersección finita de hipersuperficies. Ejemplo 7. Si K es un campo, dada a una matriz m n con entradas en K, desplegando sus renglones la podemos pensar como un elemento de K mn. Entonces, si m = n, el grupo lineal especial SL n (K) K n2 de matrices cuadradas n n con determinante 1, es un conjunto algebraico afín porque el determinante es un polinomio, es decir, para (x i j ) n n, su determinante det(x i j ) K[x 11,x 12,...,x nn ]. En forma similar se muestra que el grupo ortogonal O n (K) de matrices cuadradas A tales que A T A = id n es un conjunto algebraico afín. Conjuntos algebraicos afines e ideales radicales. Antes de ver otros ejemplos, veamos cómo se restringe la función I : {subconjuntos de SpecA} {ideales radicales de A}, en el caso cuando A = K[x 1,...,x n ] con K algebraicamente cerrado, al subespacio SpecmA. Denotemos esta restricción por I. Así, por definición, para cualquier subconjunto U SpecmK[x 1,...,x n ] se tiene que I(U) = m U m K[x 1,...,x n ]. Note ahora que, identificando U SpecmK[x 1,...,x n ] = K n con un subconjunto de K n, se tiene que f I(U) = m f m para todo m U m U f m = x 1 a 1,...,x n a n para todo m U f (a 1,...,a n ) = 0 para todo (a 1,...,a n ) U.

29 1 Anillos, ideales y el espectro primo 19 Es decir, para U SpecmK[x 1,...,x n ] = K n, el ideal I(U) está dado por todos los polinomios en K[x 1,...,x n ] que se anulan en los puntos de U. Observe ahora que I(U) es un ideal radical, ya que si f I(U), entonces f r I(U) para algún r 1, y por lo tanto para todo punto a = (a 1,...,a n ) U se tiene que f r (a) = 0, es decir, ( f (a)) r = 0 y consecuentemente f (a) = 0, es decir, f I(U). Hemos mostrado así que I(U) I(U), y la otra inclusión siempre se tiene. Veamos algunos ejemplos de cómo se calcula el ideal I(U), para algunos U K n = SpecmK[x 1,...,x n ]. Ejemplo 8. Para K algebraicamente cerrado, I(K n ) = 0. Antes de probar este resultado, note que no es trivial. Por ejemplo, si K es un campo finito, digamos K = F q, el polinomio de Frobenius f (x) = x q x F q [x] se anula en todos los puntos de U = F 1 q, pero no es el polinomio cero, es decir, I(F 1 q) 0. Sin embargo, si K es un campo infinito (cuando K es algebraicamente cerrado, claramente es infinito) se tiene que I(K n ) = 0. Note que lo anterior equivale a demostrar que si K es un campo infinito, entonces I(K n ) = I(SpecmK[x 1,...,x n ]) = m = 0, m ideal máximo es decir, que la intersección de todos los ideales máximos del anillo K[x 1,...,x n ] es cero. A la intersección de todos los ideales máximos de un anillo A se le llama el radical de Jacobson del anillo A. Demostraremos el resultado deseado por inducción sobre n 1. El caso n = 1 es porque si f I(K 1 ) K[x] no fuera cero, como el número de raíces de f es que su grado, esto contradice el que K es infinito. Supongamos ahora que el lema es válido para n 1 y sea f I(K n ). Supongamos que f 0. Observe primero que K n 1 K n identificando (α 1,...,α n 1 ) K n 1 con (α 1,...,α n 1,0) K n. Factorizando las potencias x k en los monomios de f, escribamos ( ) f = a k (x 1,...,x n 1 )x k n + y note que no puede suceder que k = 0 (i.e., que no aparezca la variable x n en f ) porque entonces f K[x 1,...,x n 1 ] se anula en todo K n, en particular en K n 1 y así f = 0, por hipótesis de inducción. Podemos entonces suponer que k 1 y que a k (x 1,...,x n 1 ) 0 (no es el polinomio cero). Entonces, por hipótesis de inducción se tiene que a k I(K n 1 ) y por lo tanto existe un punto (α 1,...,α n 1 ) K n 1 tal que a k (α 1,...,α n 1 ) 0. Substituyendo el punto (α 1,...,α n 1 ) en todos los coeficientes a i en ( ) se obtiene el polinomio en una variable: f = a k (α 1,...,α n 1 )x k n + K[x n ] donde el coeficiente a k (α 1,...,α n 1 ) 0 y por lo tanto f tiene gr( f ) raíces, i.e., no se puede anular en todo K 1, i.e., existe α n K = K 1 tal que 0 f (α n ) = f (α 1,...,α n 1,α n ), i.e., no se anula en todo K n.

30 20 1 Anillos, ideales y el espectro primo Parte de la importancia del ideal I(U), para U K n = SpecmK[x 1,...,x n ] radica en que detecta cuándo el subespacio U es irreducible, para U un conjunto algebraico (i.e., cerrado) de K n : Proposición 1.26 Un conjunto algebraico V K n es irreducible si y sólo si su ideal asociado I(V ) es un ideal primo. Demostración. Si V es irreducible y si f,g K[x 1,...,x n ] son tales que f g I(V ), entonces poniendo W 1 = V( f ), W 2 = V(g), se tiene que V = (V W 1 ) (V W 2 ), con los espacios de la derecha cerrados y por lo tanto, ya que V es irreducible, se sigue que V = V W 1 o V = V W 2, es decir, V W 1 o V W 2, por lo que f I(W 1 ) I(V ) o g I(W 2 ) I(V ), i.e., I(V ) es ideal primo. Recíprocamente, si I(V ) es un ideal primo, supongamos que existen cerrados (i.e., conjuntos algebraicos afines) W 1,W 2 tales que V = W 1 W 2 con W i V. Por 1.2 se tiene que I(V ) = I(W 1 ) I(W 2 ) y además, por la inyectividad de I, I(V ) I(W i ). Por lo tanto, existen polinomios f i I(W i ) I(V ) y como los I(W i ) son ideales, entonces f 1 f 2 I(W i ) y consecuentemente f 1 f 2 I(W 1 ) I(W 2 ) = I(V ), una contradicción con la hipótesis de que I(V ) es primo. Ejemplo 9. K n es irreducible ya que, por el ejemplo 8, su ideal I(K n ) = 0, que es primo. Ejemplo 10. Si f K[x,y] es un polinomio irreducible, entonces p = f es un ideal primo y por lo tanto X = V( f ) K 2 es irreducible. Note que esta variedad algebraica es la curva afín definida por f (x,y) = 0. Las figuras siguientes son algunas curvas en R 2, todas ellas irreducibles excepto la última: V y 2 x 3 V y 2 x 2 (x + 1)

31 1 Anillos, ideales y el espectro primo 21 V x 2 + y 2 1 V (y x 2 )(y x) El resultado siguiente, y su corolario, son los análogos para el especto máximo de 1.14 y 1.15, pero la parte medular requiere el teorema de los ceros de Hilbert cuya demostración se hará más adelante. Teorema 1.27 Sea K un campo algebraicamente cerrado. (1) Si V es un subconjunto arbitrario de K n, entonces V V(I(V )), y la igualdad se tiene si y sólo si V es un subconjunto algebraico afín. (2) Si J es un ideal de K[x 1,...,x n ], entonces J I(V(J)). Más aún, IV(J) = J y por lo tanto la igualdad IV(J) = J se tiene si y sólo si J es un ideal radical. Demostración. Para (1), si P V, entonces para todo f I(V ) se tiene que f (P) = 0 y por lo tanto f V(I(V )) y así V V(I(V )). Supongamos ahora que V = V(J) es algebraico afín. Entonces, J I(V ) y como la función V invierte inclusiones 1.11 se sigue que V = V(J) V(I(V )) y por lo tanto se tiene la igualdad V = V(I(V )). Recíprocamente, si V = V(I(V )), entonces V es algebraico, por definición. Para (2), si f J, entonces para todo P V(J) se tiene que f (P) = 0 y por lo tanto J IV(J). La segunda afirmación de la parte (2) es (una parte de) el contenido del teorema de los ceros de Hilbert y su demostración se pospondrá hasta la sección sobre este teorema. Un consecuencia inmediata del teorema anterior es que las correspondencias {subconjuntos algebraicos de K n } I V {ideales radicales de K[x 1,...,x n ]} invierten inclusiones y son inversas una de la otra. Esta es una perfecta correspondencia que traduce la geometría de los conjuntos algebraicos afines a una situación algebraica.

32 22 1 Anillos, ideales y el espectro primo Ahora, aprovechando que ya se tiene una visión geométrica de los subconjuntos cerrados del espectro máximo SpecmK[x 1,...,x n ] con K algebraicamente cerrado, podemos ilustrar geométricamente lo que sucede cuando se toma el espacio más grande, el espectro primo SpecK[x 1,...,x n ], en los ejemplos que siguen: Ejemplo 11. Sea K un campo y consideremos SpecK[x,y]. De nuevo, como K[x,y] es dominio entero, 0 es ideal primo, su cerradura es todo SpecK[x,y] y así 0 es un punto genérico. Ahora, desafortunadamente K[x, y] no es un DIP (por ejemplo, el ideal x,y no es principal). Para ver algunos ejemplos de puntos en SpecK[x,y], por el ejemplo 4 para n = 2, los ideales x a,y b, con a,b K, son máximos. Pero además de los ideales máximos anteriores, hay otros ideales primos, a saber los ideales f (x,y) con f K[x,y] irreducible (por ejemplo, f (x,y) = y x 2 o f (x,y) = y 2 x 3 ). Más adelante probaremos que estos son todos los ideales primos de K[x,y]: la idea geométrica es que los primos (máximos) x a,x b corresponden a puntos (a,b) K 2, i.e., de dimensión cero; los primos f (x,y) con f irreducible son curvas f (x,y) = 0, i.e., de dimensión 1; al ideal 0 de alguna manera lo pensaremos de dimensión 2 (aunque en toda esta discusión no hemos definido el concepto de dimensión) y esto cubre todas las posibilidades geométricas en Spec K[x, y]. Resumiento, los ideales máximos en Spec K[x, y] corresponden a los puntos en K 2 y además SpecK[x,y] contiene al punto genérico 0 y a los puntos correspondientes a curvas f (x, y) = 0 asociadas a polinomios irreducibles f : SpecK[x,y] = K 2 { 0 } { f (x,y) : f (x,y) irreducible} : punto genérico en el eje Y 0 x punto genérico de K 2 y punto genérico en el eje X x a,y b punto cerrado punto genérico en la curva f (x,y) Ejemplo 12. Generalizando el ejemplo anterior, sea K un campo algebraicamente cerrado y consideremos el espectro SpecK[x 1,...,x n ], y para ser concretos consideremos el caso n = 3, i.e., SpecK[x,y,z]. De nuevo, por el teorema de los ceros de Hilbert, los ideales x a,y b,z c, para a,b,c K son todos los máximos de K[x,y,z], y a los primos anteriores los pensamos como puntos (a,b,c) K 3, i.e.,

33 1 Anillos, ideales y el espectro primo 23 de dimensión 0. También, el ideal 0 es primo y su cerradura es todo SpecK[x,y,z], i.e., 0 es un punto genérico de SpecK[x,y,z]. De nuevo, tenemos para cada polinomio irreducible f K[x,y,z] el ideal primo f (x,y,z) con el cual asociamos la hipersuperficie f (x,y,z) = 0 y pensamos a estos primos como de dimensión 2. Sin embargo, estos no son todos los primos de K[x,y,z], nos faltan los de dimensión 1, por ejemplo el ideal x,y es primo ya que el cociente K[x,y,z]/ x,y K[z] es un dominio entero; de hecho, hay muchos primos unidimensionales y más adelante veremos que corresponden a curvas irreducibles : una respuesta geométrica a una pregunta algebraica: cuáles son los primos de K[x,y,z]? Resumiendo, SpecK[x,y,z] = K 3 { 0 } {otros primos}. De aquí puede inferirse lo que sucede en el caso general: SpecK[x 1,...,x n ] contiene, como subespacio de puntos cerrados, al espacio afín K n y además un punto p Z por cada subvariedad (irreducible) Z A n K de dimensión 1: SpecK[x 1,...,x n ] = K n { 0 } {p Z : Z K n variedad irreducible de dim 1}. Ejemplo 13. Si A = K[x,y], con K algebraicamente cerrado, e I = xy, por el ejemplo 12 sabemos que SpecA = SpecK[x,y] es K 2 junto con puntos de dimensiones 1 y 2. Por la proposición 1.18, SpecK[x,y]/ xy se identifica con V xy SpecK[x,y], y este subespacio cerrado incluye, por ejemplo, los puntos 0-dimensionales (a,0) y (0, b), i.e., los ejes coordenados, y también los primos unidimensionales x y y. Ejemplo 14. En general, si K es algebraicamente cerrado y V K n es un conjunto algebraico afín con ideal I = I(V ) K[x 1,...,x n ] y anillo de coordenadas K[V ] := K[x 1,...,x n ]/I, su espectro asociado es SpecK[V ] y el epimorfismo canónico ρ : K[x 1,...,x n ] K[V ] induce el monomorfismo de espectros a ρ : SpecK[V ] SpecK[x 1,...,x n ] y recordando que los ideales máximos de K[V ] corresponden a ideales máximos de K[x 1,...,x n ] que contienen a I y los ideales máximos de K[V ] corresponden a los puntos de V, entonces podemos identificar a V con el subconjunto de puntos cerrados de SpecK[V ]. Además, SpecK[V ] tiene un punto genérico por cada subvariedad algebraica (irreducible) Z V de dimensión 1. Espectros de tipo aritmético. Los anillos que consideraremos en este caso son anillos finitamente generados sobre Z y están naturalmente asociados a problemas de origen aritmético, ya sea como anillos de enteros en campos de números, o asociados a problemas diofantinos (soluciones a ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros o racionales). Comenzamos con el prototipo de todos estos ejemplos: Ejemplo 15. Para el anillo Z, SpecZ = {0, 2, 3, 5,..., p,...}. Ahora, V 0) = SpecZ por lo que este espacio es irreducible y 0 es un punto genérico. Ahora,

34 24 1 Anillos, ideales y el espectro primo como Z es DIP, todos sus ideales son de la forma I = a por lo que si a = 0, entonces V ( a ) = { p SpecZ : p a }, y como p a p a, entonces V ( a ) = { p : p es primo y p a}. Explícitamente, si a = p e 1 1 pe r r, entonces V ( a ) = { p 1,..., p r }. Así, los abiertos de SpecZ se obtienen como complementos de conjuntos finitos de primos ( botando subconjuntos finitos de primos ). Note también que, como Z es un DIP, los ideales primos son máximos y así cada punto p SpecZ es cerrado: V p = { p } p 0 Ejemplo 16. Consideremos la inclusión ϕ : Z Z[i] del anillo Z en el anillo de enteros gaussianos. El morfismo inducido a ϕ : SpecZ[i] SpecZ es simplemente a ϕ(p) = ϕ 1 (p) = p Z = p, para p = 0 ó p primo de Z. Como Z[i] es dominio entero, entonces 0 es ideal primo y claramente a ϕ(0) = 0. Por otra parte, sabemos que los ideales primos de Z[i] son factores de primos de Z, y para los primos de Z, el 2 se factoriza en Z[i] como 2 = (1 i)(1 + i) = i(1 i) 2 (donde i es una unidad de Z[i]), entonces arriba del 2 hay un primo elevado al cuadrado, a saber (1 i) y decimos que 2 se ramifica en Z[i]; para los primos impares, si p 3 (mód 4), entonces p permanece primo en Z[i] (decimos que p es inerte ) y si p 1 (mód 4), entonces p se factoriza en Z[i] como producto de dos primos a+bi conjugados, i.e., p = (a + bi)(a bi) (decimos que p no se ramifica ) lo cual corresponde al caso cuando el primo p se puede escribir como la suma de dos cuadrados. Podemos visualizar la situación anterior como sigue: Spec Z[i] a ϕ SpecZ m + 1 4n Ejercicios 1.1. En el párrafo antes de 1.1 usamos que en un DFU dados dos elementos existe su máximo común divisor y éste es único salvo unidades. Demuestre formalmente lo anterior Si A es un DFU y a,b A son coprimos, i.e., su máximo común divisor es una unidad, y si a bc en A, demuestre que a c.

35 1 Anillos, ideales y el espectro primo Si A es un anillo y A[[x]] es el anillo de series de potencias formales con coeficientes en A, demuestre que f = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + A[[x]] es una unidad si y sólo si a 0 es unidad de A Si K es un campo, demuestre que K[[x]] es un DFU Sea I A un ideal. Considere su radical: I := {a A : a n I para algún entero n 1}. Demuestre que: (i) I es un ideal de A. (ii) I I. (iii) I = I. (iv) IJ = I J = I J. En general, si {Ii } es una familia finita de ideales de A, demuestre que i I i = i Ii. (v) I + J = I + J. (vi) Si p es primo, entonces p n = p, para todo entero n 1. (vii) Se puede definir el radical de cualquier subconjunto E A, aún cuando E no es un ideal, en general. Demuestre que i E i = i Ei para cualquier familia de subconjuntos E i A. (vii) I = A si y sólo si I = A. (viii) Si I, J son ideales de A tales que I y J son coprimos, demuestre que I, J son coprimos Calcule el nilradical del anillo Z/nZ Por el ejercicio 5(iii) se tiene que I = I. Un ideal J A tal que J = J se llama un ideal radical. Así, I es un ideal radical. Demuestre que I es el menor ideal radical que contiene a I Si I A es un ideal propio, demuestre que I es un ideal radical si y sólo si I es la intersección de ideales primos Si I, J son ideales de A, demuestre que (J : I) := {a A : ax J para todo x I} A es un ideal de A. Decimos que (J : I) es el ideal que traslada I a J. En el caso particular cuando J = 0, al ideal (0 : I) que traslada I a 0, se le llama el anulador de I. Demuestre que:

36 26 1 Anillos, ideales y el espectro primo (i) ( i J i : I) = i(j i : I). (ii) (J : i I i ) = i(j : I i ). (iii) Si D = x 0(0 : x) es el conjunto de divisores de cero de A, demuestre que D = x 0 (0 : x) Si A es un anillo, un elemento a A se dice que es idempotente si a 2 = a. Demuestre que a A es idempotente si y sólo si 1 a es idempotente Si A es un anillo, demuestre que las propiedades siguientes son equivalentes: (i) A tiene sólo un ideal primo. (ii) Todo elemento de A es una unidad o es nilpotente. (iii) A/nilA es un campo Un anillo A se dice que es reducido si nila = 0. Si A es cualquier anillo conmutativo, demuestre que A/nilA es reducido Si K es un campo y p(x) K[x], demuestre que el anillo K[x]/ p(x) es reducido si y sólo si p(x) no es divisible por el cuadrado de algún polinomio no constante Si I nila y u A es tal que u es una unidad de A/I, demuestre que u es unidad de A Si u es una unidad del anillo A y x A es nilpotente, demuestre que u + x es una unidad de A Si p es un ideal primo de A e I,J son ideales de A tales que I p y J p, demuestre que IJ p Si I A es un ideal finitamente generado tal que I = I 2, demuestre que I está generado por un idempotente, i.e., un e I tal que e 2 = e Si A 0 es un anillo no trivial, demuestre que el conjunto SpecA de ideales primos de A tiene elementos mínimos con respecto a la inclusión Si φ : A B es un morfismo de anillos y si f A, demuestre que a φ 1 (D( f )) = D(φ( f )) Si φ : A B es un morfismo de anillos y si J B es cualquier ideal, demuestre que a φ(v (J)) = V (φ 1 (J)) Si φ : A B es un morfismo de anillos y si q SpecB, muestre que φ induce el monomorfismo φ q : A/ a φ(q) B/q tal que el diagrama siguiente conmuta A φ B A/ a φ(q) φ q B/q

37 1 Anillos, ideales y el espectro primo 27 con las flechas verticales las canónicas. Demuestre que, para todo f A se tiene que φ q ( f + a φ(q)) = (φ( f ) + q). Concluya que a φ es continua Si φ : A B y ψ : B C son morfismos de anillos, demuestre que a (ψ φ) = a φ a ψ Si φ : A B es un morfismo de anillos, demuestre que la imagen a φ(specb) es densa en SpecA si y sólo si kerφ es nilpotente Sean A un anillo y f,g A. Demuestre que g f V ( f ) V (g) g f Demuestre que un espacio topológico irreducible es conexo. Dé un contraejemplo de espacio conexo que no sea irreducible Demuestre que en un espacio topológico Hausdorff los puntos son los únicos subconjuntos irreducibles Si I,J A son ideales, demuestre que Spec(A/(I J)) = Spec(A/I) Spec(A/J) Con las mismas hipótesis, quién es Spec(A/(I + J))? Si K es algebraicamente cerrado, para los ideales I = x K[x,y] y J = x 2 K[x, y], identifique los subconjuntos cerrados (afines) V(I) y V(J). Demuestre que la inclusión x 2 x induce el epimorfismo K[x,y]/ x 2 K[x,y]/ x, que a su vez induce la inclusión V(x) = SpecmK[x,y]/ x K[x,y]/ x 2 = V(x 2 ). Puede identificar, geométricamente, ambos lados de la inclusión anterior? Encuentre las tres componentes irreducibles del conjunto algebraico afín dado por V(5x 2 y 3 z,xz 5x) K 3.

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39 Capítulo 2 Módulos y álgebras Si A es un anillo, un A-módulo es un grupo abeliano M junto con una acción A M M, denotada por (a,x) ax, que satisface las condiciones siguientes: (i) a(x + y) = ax + ay, para a A, x,y M. (ii) (a + b)x = ax + bx, para a,b A, x M. (iii) (ab)x = a(bx), para a,b A, x M. (iv) 1x = x, para 1 A, x M. Ejemplo 1. Si K es un campo, un K-módulo es un K-espacio vectorial. Ejemplo 2. Un Z-módulo es un grupo abeliano. Ejemplo 3. Todo anillo A es un A-módulo. Morfismos. Si M, N son A-módulos, un A-morfismo es una función f : M N que es A-lineal, i.e., que satisface: f (x + y) = f (x) + f (y) f (ax) = a f (x) para todo x,y M y a A. Si f : M N es un A-morfismo, diremos que es un epimorfismo si es suprayectivo. Diremos que es un monomorfismo si es inyectivo y diremos que es un isomorfismo si es biyectivo. En ocasiones usaremos las notaciones M N para un epimorfismo, M N para un monomorfismo y M N si hay un isomorfismo entre M y N, en cuyo caso diremos que M y N son isomorfos. Ejemplo 4. Si M, N son K-espacios vectoriales, un K-morfismo es una transformación K-lineal. Si M, N son grupos abelianos, un Z-morfismo es un homomorfismo de grupos. Si f : M N y g : N T son A-morfismos, su composición g f : M T es un A-morfismo. La función identidad id : M M dada por id(x) = x es un morfismo. Si f,g : M N son dos A-morfismos, su suma f +g : M N es la función dada por ( f + g)(x) := f (x) + g(x). Claramente f + g es un morfismo. Similarmente, si 29

40 30 2 Módulos y álgebras a A se define la función a f : M N mediante (a f )(x) := a f (x) y también es un morfismo. Así, el conjunto de todos los A-morfismos de M a N, denotado por es un A-módulo. Hom A (M,N) Proposición 2.1 Si M es un A-módulo, se tiene un isomorfismo natural Hom A (A,M) M. Demostración. Defina φ : Hom A (A,M) M enviando un f : A M a φ( f ) := f (1). Operaciones con módulos. Si M es un A-módulo, un A-submódulo de M es un subconjunto N M tal que es módulo con las operaciones de M. Así, N es submódulo de M si y sólo si N M es un subgrupo aditivo y es cerrado bajo multiplicación por los escalares de A. Si N M es un submódulo, se define el módulo cociente M/N como el grupo abeliano aditivo de clases laterales de N en M con la estructura de A-módulo dada por: a(x+n) := ax+n, para a A y x+n M/N. La función ρ : M M/N dada por ρ(x) := x + N es un morfismo suprayectivo. Si f : M N es un A-morfismo, su núcleo es y su imagen es ker f := {x M : f (x) = 0} Im( f ) := { f (x) N : x M}. Ambos son submódulos de los módulos correspondientes. El conúcleo de f es y la coimagen de f es Coker( f ) := N/Im f Coim( f ) := M/ker f, sin embargo la coimagen no es muy interesante en este caso porque se tiene el resultado siguiente: Teorema 2.2 (Noether) Si f : M N es un A-morfismo, entonces f induce un isomorfismo f : M/ker f Im f tal que le diagrama siguiente conmuta: ρ M M/ker f f f Im f N

41 2 Módulos y álgebras 31 Demostración. Si x + ker f M/ker f, se define f (x + ker f ) := f (x). Se muestra fácilmente que f está bien definida, hace conmutar el diagrama, i.e., f ρ = f y es un isomorfismo. Intersección y suma de módulos. Si {M i } i Γ es una familia de A-módulos, su intersección i Γ M i es un submódulo de cada M i. Si todos los M i son submódulos de un A-módulo M, se define la suma i Γ M i como el conjunto M i := { } i x i M : sumas finitas con x i M i i Γ que claramente es un A-módulo y es el menor submódulo de M que contiene a todos los M i. Si S es un subconjunto de un A-módulo M, la intersección de todos los submódulos de M que contienen a S es un submódulo de M y se dice que es el submódulo generado por el conjunto S y se denota por S, y se dice que los elementos de S son los generadores de S. Claramente, S = { i a i x i : sumas finitas con a i A y x i S }. Si S = {x 1,...,x n } es un conjunto finito, escribiremos S = x 1,...,x n, y diremos que S es un submódulo finitamente generado. En particular, si S = {x}, observe que x = Ax = {ax : a A} y por lo tanto, si S = {x 1,...,x n }, entonces x 1,...,x n = n i=1 Ax i. Producto directo y suma directa de módulos. Si {M i } i Γ es una familia de A- módulos, su producto directo es el conjunto M i := { (x i ) : x i M i para todo i Γ } i Γ de todas las Γ -adas ordenadas con x i M i para cada i Γ y con las operaciones definidas componente a componente, i.e., (x i ) + (y i ) := (x i + y i ) a(x i ) := (ax i ). Se tienen epimorfismos naturales p i : i M i M i definidos por las proyecciones p i (x i ) = x i en el i-ésimo factor. La suma directa de la familia anterior es el conjunto M i := { (x i ) M i : con casi todos los x i = 0 } i i Γ

42 32 2 Módulos y álgebras donde por casi todos queremos decir todos, excepto por un número finito. Las operaciones en la suma directa definen también componente a componente. Se tienen monomorfismos naturales i j : M j M j definidos, para x j M j, por las inclusiones i j (x j ) = (...,0,x j,0,...), es decir, la Γ -ada con 0 en todas las componentes excepto en la componente j-ésima donde se tiene a x j. Observe que si el conjunto de índices Γ es finito, entonces i Γ M i i Γ M i. Si L = i Γ A es una suma directa de copias del anillo A indexadas por Γ, diremos que L es un A-módulo libre. En general, cualquier A-módulo L isomorfo a una suma directa de la forma i Γ A se dirá que es un módulo libre. En ocasiones usaremos la notación A (Γ ) := i Γ A. Note que los elementos de A (Γ ) se pueden expresar en forma única como sumas finitas de la forma a i γ i con a i A y γ i Γ i donde Aγ i A para todo γ i Γ. A los elementos de Γ se les llama los generadores del módulo libre A (Γ ). Observe que todo A-módulo M es cociente de un A-módulo libre ya que se tiene el epimorfismo A (M) M dado enviando un generador x M a sí mismo. Cuando Γ = {1,...,n}, usaremos la notación A n para la suma directa ni=1 A de n copias de A. Sucesiones exactas. Una sucesión de A-módulos y A-morfismos f i 1 f M i 1 M i i Mi 1 se dice que es exacta en M i si Im f i 1 = ker f i. Diremos que es una sucesión exacta si lo es en cada M i. Lema 2.3 (1) Una sucesión 0 M f M es exacta si y sólo si f es inyectivo. (2) Una sucesión M g M 0 es exacta si y sólo si g es suprayectivo. (3) Si N M es un submódulo, se tiene la sucesión exacta 0 N i M ρ M/N 0 donde i : N M es la inclusión de N en M, que obviamente es un morfismo, y ρ : M M/N es el epimorfismo canónico. Demostración. Todo es obvio. Una sucesión exacta de la forma se dice que es una sucesión exacta corta. 0 M M M 0

43 2 Módulos y álgebras 33 El lema del quinto y el lema de la serpiente. Los dos resultados siguientes, que combinan la conmutatividad de unos diagramas con la exactitud de los renglones correspondientes, a pesar de ser elementales serán de gran utilidad en secciones subsiguientes. Proposición 2.4 (El lema de la serpiente) Dado el diagrama conmutativo siguiente, con renglones exactos: M f M g M 0 α 0 N f N Existe una sucesión exacta de la forma β γ g N kerα ˆf kerβ ĝ kerγ δ Cokerα ˆf Cokerβ ĝ Cokerγ donde los morfismos entre núcleos son las restricciones de f y g y los morfismos entre conúcleos son los inducidos por f y g. Más aún, si f es inyectiva, entonces ˆf también lo es, y si g es suprayectiva entonces ĝ también lo es. El morfismo δ se llama el morfismo de conexión o de frontera. Demostración. El punto importante es la definición del morfismo de conexión δ : kerγ Cokerα. Dado x kerγ, como g es suprayectivo existe un x M tal que g(x) = x. Por la conmutatividad del cuadrado de la derecha g β(x) = γg(x) = γx = 0 y por lo tanto βx kerg = Im f (por la exactitud del renglón inferior); por lo tanto, existe un único y N tal que f (y ) = βx (es único porque f es inyectivo). Ahora, como Cokerα = N /Imα, entonces y Cokerα. Se define δ(x) := y. Note que en la definición de δ(x) hay un punto donde se tiene que hacer una elección (cuando se usa que g es suprayectivo). Supongamos que z M también satisface que g(z) = x. Entonces, x z kerg = Im f (por la exactitud del renglón superior) y así existe un único x M tal que f x = x z. Se sigue que β(x) β(z) = β(x z) = β( f x ) = f αx Im f = kerg y como f 1 β(x) = y entonces y f 1 (βz) = f 1 (βx) f 1 (βz) = f 1 f αx = αx es decir, y difiere de la otra elección f 1 (βz) por un elemento de Imα, i.e., y está bien definida en el cociente N /Imα = Cokerα, como se quería. Resumiendo, δ está bien definido y, abusando de la notación, su definición es δx := f 1 βg 1 x, que en un diagrama se ve como:

44 34 2 Módulos y álgebras x g 1 x y f 1 β βx que, con un poco de imaginación, recuerda a una serpiente. La verificación de que la sucesión del enunciado es exacta, es rutina. Proposición 2.5 (El lema del quinto) Dado el diagrama conmutativo siguiente, con renglones exactos M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 f 1 f 2 N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 f 3 f 4 f 5 (1) Si f 2 y f 4 son suprayectivas, f 5 es inyectiva, entonces f 3 es suprayectiva. (2) Si f 2 y f 4 son inyectivas, f 1 es suprayectiva, entonces f 3 es inyectiva. (3) Si f 1, f 2, f 4 y f 5 son biyectivas, entonces f 3 es biyectiva. Demostración. Etiquete las flechas horizontales y cacería en el diagrama. Propiedades de exactitud del Hom. Si f : M M es un A-morfismo y N es cualquier A-módulo, entonces f induce un A-morfismo f : Hom A (M,N) Hom A (M,N) definido, para α Hom A (M,N) mediante f (α) = α f : M M α N. Se verifica directamente que f es un morfismo. Similarmente, si f : N N es un morfismo y M es cualquier módulo, entonces f induce el morfismo f : Hom A (M,N) Hom A (M,N ) definido, para α Hom A (M,N) mediante f (α) = f α : M Lema 2.6 (1) Si M f α N f N. f M g M son morfismos y N es otro módulo, entonces (g f ) = f g : Hom A (M,N) g Hom A (M,N) f Hom A (M,N). (2) Si N f N g N son morfismos y M es otro módulo, entonces f (g f ) = g f : Hom A (M,N ) Hom A (M,N) g Hom A (M,N ). Demostración. Cálculos directos.

45 2 Módulos y álgebras 35 f Teorema 2.7 (1) Si 0 M M g M 0 es una sucesión exacta y N es otro módulo, entonces la sucesión siguiente es exacta: 0 Hom A (M,N) g Hom A (M,N) Hom A (M,N). f (2) Si 0 N f N g N 0 es exacta y M es otro módulo, entonces la sucesión siguiente es exacta: f 0 Hom A (M,N ) Hom A (M,N) g Hom A (M,N ). Demostración. (2): Primero, f es inyectiva ya que si f (α) = 0, entonces f α = 0 : M N, i.e., para todo x M se tiene que f (α(x)) = 0 y como f es inyectivo, ésto implica que α(x) = 0 para todo x M, i.e., α = 0. Segundo, mostraremos que Im f kerg, o lo que es lo mismo, mostraremos que g f = 0. Pero como g f = (g f ) y como Im f = kerg por hipótesis, entonces g f = 0 y por lo tanto g f = (g f ) = 0 = 0. Finalmente, mostraremos que kerg Im f. En efecto, dado β kerg se tiene que 0 = g (β) = g β y así para toda x M se tiene que g(β(x)) = 0, i.e., β(x) kerg y por la exactitud de la sucesión de la hipótesis, β(x) kerg = Im f, existe x N tal que f (x ) = β(x). Como f es inyectiva, esta x N es única con la propiedad de que f (x ) = β(x). Definimos la función α Hom A (M,N ) mediante α(x) = x y se verifica fácilmente que es un morfismo. Note entonces que f (α) = f α : M N N satisface que para todo x M, ( f α)(x) = f (α(x)) = f (x ) = β(x) y por lo tanto f (α) = f α = β, i.e., β Im f, i.e., kerg Im f, como se quería. La parte (1) se demuestra en forma similar. Producto tensorial de módulos. Sean M, N, P tres A-módulos. Una función A- bilineal f : M N P es una función que es A-lineal en cada una de sus dos variables, es decir, fijando la segunda variable, digamos y N, la función f (,y) : M P es un A-morfismo, y similarmente fijando la primera variable, f (x, ) : N P es un A-morfismo. Podemos entonces considerar el conjunto de todas las funciones A-bilineales anteriores, al que denotaremos por Bil A (M N,P) y nos preguntamos por la existencia de un sólo A-módulo, digamos T, tal que las funciones A-bilineales f : M N P correspondan a funciones A-lineales f : T P, de tal forma que ( ) Bil A (M N,P) Hom A (T,P) (diremos en este caso que T linealiza las funciones bilineales con dominio M N.) La respuesta a esta pregunta es afirmativa: existe un tal módulo T y es único con la

46 36 2 Módulos y álgebras propiedad ( ) anterior. En efecto, sean M y N dos A-módulos y sea L el A-módulo libre A (M N). Entonces, los elementos de L son sumas finitas de la forma a i (x i,y i ) con a i A y (x i,y i ) M N. i Sea R L el submódulo generado por los elementos de la forma: (x + x,y) (x,y) (x,y) (x,y + y ) (x,y) (x,y ) (ax,y) a(x,y) (x,ay) a(x,y) y sea T := L/R. Para cada elemento básico (x,y) M N L = A (M N) denotemos con x y a su clase lateral (x, y) + R en T = L/R. Entonces, T está generado por los x y, y la función φ : M N T dada por φ(x,y) := x y es A-bilineal, ya que, por ejemplo, (x + x ) y = (x + x,y) + R = (x,y) + (x,y) + [(x + x,y) (x,y) (x,y)] + R la última igualdad es porque el término entre paréntesis es uno de los generadores de R. Similarmente para las otras igualdades necesarias para mostrar que φ es bilineal. Hemos así construido un A-módulo T y una función A-bilineal φ : M N T. El par (T,φ) satisface la propiedad universal siguiente: Proposición 2.8 Si P es cualquier A-módulo y si f : M N P es una función A-bilineal, entonces existe un único A-morfismo f : T P que hace conmutar el diagrama siguiente M N f P es decir, f φ = f. φ T Demostración. Como f está definida en los básicos del módulo libre L, entonces f se puede extender por linealidad a todo L. Ahora, como f es A-bilineal, entonces se anula en los generadores de R y así en todo R. Pasando al cociente f induce el A-morfismo f : T P. Las definiciones hacen evidente que el diagrama conmuta. Finalmente, si h : T P es tal que h φ = f, restringiendo a los generadores se tiene que f (x,y) = h φ(x,y) = h(x y) por lo que h coincide con f en los generadores x y de T y por lo tanto h = f en todo T. Note que otra forma de leer esta proposición es que a cada función bilineal f : M N P le corresponde en forma única una función lineal f : T P, la f

47 2 Módulos y álgebras 37 correspondencia dada con el auxilio de la función bilineal φ : M N T. Equivalentemente, la proposición nos dice que para dar una función lineal con dominio T basta dar una función bilineal con dominio M N. Esto nos dice que: Corolario 2.9 Existe un isomorfismo entre Bil A (M N,P) y Hom A (T,P), dado por f f φ, es decir, la correspondencia ( ). El A-módulo T anterior es único, salvo isomorfismo. Demostración. Sólo resta probar que si T y una función bilineal ψ : M N T satisfacen lo enunciado en la proposición anterior, con T reemplazando T y ψ reemplazando φ, entonces T T. En efecto, para el caso especial de la función A-bilineal φ : M N T se tiene que, por la propiedad anterior de T y ψ, que el diagrama del lado izquierdo siguiente conmuta M N ψ T φ φ T M N φ T ψ T Similarmente, por la propiedad de T y la función φ (de la proposición anterior), para la función A-bilineal ψ : M N T, se tiene que el diagrama del lado derecho anterior conmuta. Entonces, considerando la composición ψ φ se tiene que el diagrama del lado izquierdo siguiente conmuta: ψ M N ψ T ψ T M N ψ φ φ T φ φ ψ T Similarmente para el diagrama del lado derecho. Pero como las funciones id T e id T hacen conmutar los diagramas respectivos, por la unicidad de las funciones marcadas con flechas punteadas se debe tener que ψ φ = id T y φ ψ = id T, es decir T T. Gracias al corolario anterior, si M,N son dos A-módulos, el módulo T es único, salvo isomorfismo, y lo podemos denotar entonces por T = M A N, y decimos que T es el producto tensorial de M y N. A la aplicación bilineal φ : M N M A N la llamaremos la aplicación canónica del producto tensorial. Note que T = M A N está generado por los elementos (llamados tensores) de la forma x y con (x,y) M N. Si el anillo A no cambia en toda la discusión, escribiremos M N en lugar de M A N. Observe que, en virtud de la bilinealidad de la aplicación canónica φ : M N M N, se tienen relaciones como (ax + by) z = a(x z) + b(y z). Las propiedades siguientes son inmediatas:

48 38 2 Módulos y álgebras Proposición 2.10 (1) Si M es cualquier A-módulo, entonces M A A M. (2) Si M y N son A-módulos, entonces existe un isomorfismo natural M A N N A M. (3) Si M, N, P son A-módulos, se tiene un isomorfismo natural M A (N A P) (M A N) A P. Demostración. Estas propiedades se prueban fácilmente, por ejemplo para (2) observe que la aplicación φ : M N N A M dada por φ(v,w) = w v es bilineal y así por la propiedad del producto tensorial induce una única función lineal φ : M A N N A M tal que φ(v w) = w v. Similarmente se tiene una aplicación lineal ψ : N A M M A N tal que ψ(w v) = v w, y se prueba fácilmente que φ y ψ son inversas una de la otra. Propiedades de exactitud del producto tensorial. Si f : M N y g : M N son A-morfismos, entonces la función f g : M M N A N dada por ( f g)(x,x ) = f (x) g(x ) es A-bilineal y por lo tanto induce un A-morfismo f g : M A M N N tal que ( f g)(x x ) = f (x) g(x ). Si M f M f M y N g N g N son A-morfismos, entonces en M N f g M N f g M N se tiene que ( f g) ( f g ) = ( f f ) (g g ) ya que ambas funciones tienen los mismos valores en x y. Teorema 2.11 Si 0 M módulo, entonces es exacta. f M g M 0 es una sucesión exacta y N es otro M A N f id M A N g id M A N 0 Demostración. Para mostrar que Im( f id) ker(g id) debemos mostrar que (g id)( f id) = 0. Pero, por el párrafo previo al enunciado, (g id) ( f id) = (g f ) id = 0, la última igualdad porque g f = 0. Para mostrar que ker(g id) Im( f id), considere el diagrama siguiente

49 2 Módulos y álgebras 39 M A N f id M A N ρ g id φ M A N 0 (M A N)/Im( f id) donde ρ es epimorfismo canónico y note que, como Im( f id) ker(g id), entonces g id induce el morfismo φ por paso al cociente, i.e., el triángulo en el diagrama conmuta. Mostraremos que φ es un isomorfismo, y note que una vez hecho ésto se tiene que ker(g id) = ker(φ ρ) = ker(ρ) = Im( f id) que es lo que se quería. Para mostrar que φ es un isomorfismo, construiremos su inversa, ψ : M A N (M A N)/Im( f id) como sigue: defina p : M N (M A N)/Im( f id) para (x,y) M N escogiendo para x M un x M (porque g es suprayectiva) tal que g(x) = x y poniendo p(x,y) := x y. Se verifica fácilmente que p está bien definida, es bilineal y el morfismo ψ que induce es inverso de φ. Resta mostrar que g id es suprayectiva y para ésto note que si x i y i M A N, como g es suprayectiva existen x i M tales que g(x i ) = x i, y se tiene que ( ) (g id) x i y i = g(x i ) y i = x i y i. Teorema 2.12 (El isomorfismo de adjunción) Si M, N, P son A-módulos, se tiene un isomorfismo natural ϕ : Hom A (M A N,P) Hom A (M,Hom A (N,P)). Demostración. Para α Hom A (M A N,P) defina ϕ(α): M Hom A (N,P) como la función que asigna a x M el morfismo ϕ(α)(x): N P dado, para y N, como ϕ(α)(x)(y) := α(x y). Es claro que, tanto ϕ(α) como ϕ son A- morfismos. Para mostrar que ϕ es inyectivo, supongamos que ϕ(α) = 0, i.e., para todo x M, ϕ(α)(x) = 0, i.e., para todo y N, 0 = ϕ(α)(x)(y) = α(x y), para todo x y M A N, y por lo tanto α = 0. Para mostrar que ϕ es suprayectiva, dado f : M Hom A (N,P), defina α : M N P mediante α(x,y) := f (x)(y). Se verifica directamente que α es bilineal y por lo tanto induce ˆα : M A N P tal que ϕ( ˆα) = f. Planitud. En el teorema 2.11, no necesariamente f id es inyectivo, por ejemplo, dada la sucesión de Z-módulos 0 Z f Z Z/nZ 0 donde f es multiplicación por n 2, i.e., f (x) = nx, y ρ es el epimorfismo canónico, claramente esta es una sucesión exacta corta. Sin embargo al tensorar con N = Z/nZ, el morfismo ρ

50 40 2 Módulos y álgebras Z Z Z/nZ f id Z Z Z/nZ no es inyectivo, porque para todo x y Z Z Z/nz se tiene que ( f id)(x y) = f (x) id(y) = nx y = x ny = x 0 = 0 y así f id es el morfismo cero pero Z Z Z/nZ Z/nZ 0. Un A-módulo N se dice que es plano si para toda sucesión exacta de A-módulos de la forma 0 M f M g M 0 se tiene que la sucesión es exacta. 0 M A N f id M A N g id M A N 0 Ejemplo 5. El anillo A, considerado como A-módulo, es plano. Esto se sigue de la propiedad (1) en En general, como el producto tensorial conmuta con sumas directas (vea el ejercicio 3), entonces todo módulo libre es plano. Como vimos antes, el Z-módulo Z/2Z no es plano. En general, todo grupo abeliano de torsión no es plano. El resultado siguiente nos dice que para verificar si un módulo es plano, basta verificar la condición de la definición para módulos finitamente generados: Proposición 2.13 Sea M un A-módulo. Entonces, M es plano si y sólo si para todo monomorfismo 0 N 0 N 0 con N 0,N 0 finitamente generados, la sucesión 0 M A N 0 M A N 0 es exacta. Demostración. Para la implicación no trivial, supongamos que 0 N N es una sucesión exacta de A-módulos arbitrarios y supongamos que z = x i y i M A N es tal que (id f )(z) = 0. Sea N 0 el submódulo de N generado por los y i anteriores, por lo que N 0 es finitamente generado. Como 0 = (id f )( x i y i ) = x i f (y i ) M A N, recordando que M A N = A M N /R (vea la construcción antes de 2.8), entonces (x i, f (y i )) R y así (x i, f (y i )) es una suma finita de los generadores de R. Sea N 0 N el submódulo generado por los f (y i ) y los elementos de N que ocurren como segundas coordenadas de los generadores de R en la expresión de (x i, f (y i )) como suma finita de generadores de R. Entonces, N 0 es finitamente generado y x i f (y i ) = 0 en f M A N 0. Entonces, 0 N 0 N 0 es exacta con N 0 y N 0 finitamente generados y id f así, por hipótesis, M A N 0 M A N 0 es inyectiva y como z = x i y i M A N 0 es tal que (id f )(z) = 0, entonces z = 0. Módulos fielmente planos. Como vimos en el párrafo anterior, los módulos Z/2Z y Z/3Z, por ejemplo, no son planos. Peor aún, note que f

51 2 Módulos y álgebras 41 Z/2Z Z Z/3Z = 0 porque el uno del lado izquierdo es el 3 que es cero en el lado derecho y el 1 del lado derecho es el 2 que es cero del lado izquierdo. Un A-módulo M se dice que es fielmente plano si es plano y para todo A-módulo N, la igualdad M A N = 0 implica que N = 0. Proposición 2.14 Sea M un A-módulo. Las propiedades siguientes son equivalentes: (1) M es fielmente plano. (2) Una sucesión de A-módulos ( ) 0 N f N g N 0 es exacta si y sólo si la sucesión 0 M A N id f M A N gid g M A N 0 es exacta. Demostración. (1) (2): Como M es plano, la exactitud de ( ) implica la exactitud al tensorar con M. Recíprocamente, supongamos que la sucesión obtenida al tensorar ( ) con M es exacta. Queremos probar que ( ) es exacta. Primero mostraremos que f es inyectivo. En efecto, sea N 0 = ker f. La exactitud de la sucesión obtenida al tensorar con M implica que 0 = ker(id f ) = M A N 0 y como M es fielmente plano, la igualdad anterior implica que N 0 = 0, i.e., ker f = 0, como se quería. En forma análoga se demuestra la exactitud de ( ) en los otros lugares. (2) (1): Claramente (2) implica que M es plano. Supongamos ahora que M A N = 0 y considere la sucesión ( ) 0 N y note que al tensorar esta sucesión con M se obtiene la sucesión exacta porque M A N = 0 por hipótesis. Por (2) la exactitud de esta última sucesión implica la exactitud de ( ), lo cual sólo es posible si N = 0. Álgebras. Si f : A B es un morfismo de anillos y M es un B-módulo, defina la acción de A en M mediante a x := f (a)x, para a A, x M y donde f (a)x es la acción dada de f (a) B en x M. Dejamos como el ejercicio 12 el probar que con esta acción, M es un A-módulo. Diremos entonces que el B-módulo M se vuelve un A-módulo por cambio de anillos o restricción de escalares. En particular, el anillo B mismo es un A-módulo por cambio de anillos usando f. Así, B tiene dos estructuras algebraicas, es un anillo y un A-módulo y ambas estructuras son compatibles (como el grupo aditivo es el mismo, lo anterior se refiere sólo al producto, y para probar

52 42 2 Módulos y álgebras esta compatibilidad, suponga que b B está en la imagen de f, es decir, b = f (a) con a A, entonces, para todo x B, a x := f (a)x = bx, donde a la izquierda se tiene el producto como módulo y a la derecha como anillo). En la situación anterior, se dice que B es una A-álgebra, es decir, una A-álgebra es un anillo B junto con un morfismo de anillos f : A B. Si B y C son dos A-álgebras, un morfismo de A- álgebras φ : B C es un morfismo de anillos tal que el diagrama siguiente conmuta: B f A φ g C es decir, φ f = g. Note que como el anillo A actúa en B y C mediante los morfismos f : A B y g : A C, respectivamente, si φ : B C es un morfismo de A-álgebras, entonces para todo a A y x B se tiene que φ(ax) = aφ(x), lo cual puesto explícitamente en términos de f y g quiere decir φ( f (a)x) = g(a)φ(x) porque ax = f (a)x y aφ(x) = g(a)φ(x). Note que poniendo x = 1 en la igualdad anterior se obtiene la conmutatividad del diagrama de arriba. Ejemplo 6. Todo anillo A es una Z-álgebra ya que se tiene el morfismo natural Z B que manda 1 Z al 1 B y así n Z va a dar al n 1 B. Ejemplo 7. Observe que si K es un campo y A es una K-álgebra (no trivial, i.e., A 0), el morfismo K A es inyectivo (a menos que A = 0, por supuesto) y así podemos identificar a K con su imagen en A y pensar que K es un subanillo de A. La K-álgebra más importante en geometría algebraica es la K-álgebra de polinomios K[x 1,...,x n ]. Producto tensorial de álgebras. Si k es un anillo y A,B son dos k-álgebras, en particular son k-módulos (por cambio de anillos, vea el ejercicio 12) y así podemos considerar su producto tensorial A k B que es un k-módulo y de hecho es una k- álgebra. En efecto, para comenzar es un anillo, es decir, se tiene un producto µ : (A k B) (A k B) A k B que es asociativo, conmutativo, distribuye a la suma y tiene uno. Para definir µ, observe que se tiene una función A B A B A k B dada por (a,b,a,b ) aa bb que es k-lineal en cada una de sus variables y por lo tanto (vea el ejercicio 10) induce un k-morfismo A k B k A k B A k B, que podemos escribir como (A k B) k (A k B) A k B que a su vez, por 2.9, corresponde a una función k-bilineal

53 2 Módulos y álgebras 43 µ : (A k B) (A k B) A k B tal que µ(a b,a b ) = aa bb. Se verifica fácilmente que A k B es un anillo con la multiplicación µ y de hecho es un k-módulo. Observe ahora que si ˆf : B A k B y ĝ : A A k B son los morfismos dados por ˆf (b) = 1 b y ĝ(a) = a 1, entonces el cuadrado siguiente conmuta, i.e., ĝ f = g ˆf : k f A g B ˆf ĝ A k B En efecto, en A k B la estructura de k-módulo está dada por y así r (a b) = (ra) b := ( f (r)a) b = a (rb) := a (g(r)b) ĝ f (r) = f (r) 1 = 1 g(r) = ˆf g(r). Observe también que A k B es una k-álgebra, con la estructura definida por el morfismo de anillos k A k B dado por a f (a) 1 = 1 g(a), donde f : k A y g : k B, son los morfismos de anillos que dan a A y B las estructuras de k-álgebras respectivas. A continuación mostramos que A k B junto con los morfismos ˆf y ĝ están unívocamente determinados: Proposición 2.15 (Propiedad universal del producto tensorial de álgebras) Si A y B son dos k-álgebras con morfismos estructurales f : k A y g : k B, entonces la terna (A k B, ˆf,ĝ) que hace conmutativo el cuadrado del diagrama anterior es tal que, si M es otra k-álgebra junto con morfismos φ : A M y ψ : B M tales que f φ = ψ g, entonces existe un único morfismo ϑ : A k B M tal que los triángulos laterales del diagrama siguiente conmutan, i.e., ϑ ĝ = φ y ˆf ϑ = ψ: k f A g B ˆf ĝ A k B φ ψ Demostración. Defina θ : A B M mediante θ(a,b) := φ(a)ψ(b) y observe que θ es k-bilineal y así, por la propiedad universal del producto tensorial 2.8, induce un morfismo ϑ : A k B M tal que ϑ(a b) = φ(a)φ(b). Entonces, si a A, y si b B, ϑ M ϑ ĝ(a) = ϑ(a 1) = φ(a)ψ(1) = φ(a)

54 44 2 Módulos y álgebras ϑ ˆf (b) = ϑ(1 b) = φ(1)ψ(b) = ψ(b) es decir, los dos triángulos conmutan. Ahora, si ξ : A k B M es otro morfismo tal que ξ ĝ = φ y ξ ˆf = ψ, entonces para todo generador a b de A k B, escribiendo a b = (a 1)(1 b) = ĝ(a) ˆf (b) (usando el producto µ definido arriba), se tiene que ξ (a b) = ξ (ĝ(a) ˆf (b)) = ξ (ĝ(a))ξ ( ˆf (b) = φ(a)ψ(b) = ϑ(a b) i.e., ξ = ϑ. Conjuntos algebraicos afines y K-álgebras. La álgebra más importante en geometría algebraica, es la K-álgebra de polinomios K[x 1,...,x n ], con K algebraicamente cerrado. En en capítulo 1, en las secciones sobre conjuntos algebraicos afines, le hemos asociado a cada ideal I K[x 1,...,x n ] el conjunto algebraico afín V(I) K n, ya sea como el conjunto de ideales máximos de K[x 1,...,x n ] que contienen a I (que por 1.10 corresponde al conjunto de ideales máximos del cociente K[x 1,...,x n ]/I) o, equivalentemente, como el conjunto de puntos de K n que son ceros comunes de todos los polinomios de I: V(I) = {m SpecmK[x 1,...,x n ] : m I} = Specm(K[x 1,...,x n ]/I) = {(a 1,...,a n ) K n : f (a 1,...,a n ) = 0 para todo f I} y es esta última interpretación la que permite visualizar estos objetos algebraicos como objetos geométricos: conjuntos algebraicos afines. Anillos de coordenadas. Así como el anillo K[x 1,...,x n ] está naturalmente asociado al espacio afín K n, a cada variedad algebraica V K n se le asocia, en forma natural, su anillo de coordenadas afín identificando los polinomios que definen la misma función en V, es decir, se define K[V ] := K[x 1,...,x n ]/I(V ). Observación. Los elementos φ del anillo de coordenadas K[V ] de una K-variedad V K n se pueden considerar como funciones φ : V K, ya que si φ = f +I K[V ], con f K[x 1,...,x n ], para P = (a 1,...,a n ) V se define φ(p) := f (a 1,...,a n ), y notamos que este valor no depende del representante f de la clase lateral φ, ya que si g es otro tal representante, se tiene que f g I(V ) y así f (a 1,...,a n ) g(a 1,...,a n ) = 0, para todo (a 1,...,a n ) V.

55 2 Módulos y álgebras 45 Ejemplo 8. Las coordenadas x i K[V ] = K[x 1,...,x n ]/I(V ) las podemos ver como funciones x i : V K que asignan a cada punto P = (a 1,...,a n ) V su i-ésima coordenada x i (P) := a i. Observación. El anillo K[V ] es el menor anillo de funciones en V que contiene a las funciones coordenadas del ejemplo 8 y al campo K (sus elementos vistos como funciones constantes). Una consecuencia directa de 1.26 es: Corolario 2.16 Un subconjunto algebraico afín V K n es irreducible si y sólo si su anillo de coordenadas K[V ] es un dominio entero. Morfismos entre variedades afines. Ya que hemos definido variedades algebraicas afines, para poder compararlas necesitamos definir morfismos entre ellas, donde la idea es pensar a un morfismo como una función definida por polinomios o cocientes de ellos. Para formalizar ésto comenzamos definiendo las funciones regulares en una variedad afín, análogas a las funciones holomorfas en una superficie de Riemann. Aplicaciones polinomiales. Si V K n y W K m son conjuntos algebraicos afines, una función f : V W se dice que es una aplicación polinomial si existen polinomios f 1,..., f m K[x 1,...,x n ] tales que para todo punto P V se tiene que f (P) = ( f 1 (P),..., f m (P) ). Observe que si W = K 1 = K, una aplicación polinomial f : V W = K es un elemento del anillo de coordenadas K[V ], vistos éstos como funciones V K. Proposición 2.17 Sean V K n, W K m conjuntos afines. Denotemos mediante K[x 1,...,x n ] y K[y 1,...,y m ] a los anillos polinomiales correspondientes. Entonces, una función f : V W es una aplicación polinomial si y sólo si y j f K[V ], para todas las funciones coordenadas y j K[W] (del ejemplo 8): V f f j W K m K y j Demostración. Si f está dada por ( f 1,..., f m ), entonces la composición y j f calculada en un punto P es y j f (P) = y j ( f 1 (P),..., f m (P)) = f j (P) la cual es una función polinomial porque f j lo es y así y j f K[V ]. Recíprocamente, si f = ( f 1,..., f m ) y suponemos que y j f = f j K[V ] = K[x 1,...,x n ]/I(V ) para toda j, entonces existen F j K[x 1,...,x n ] tales que f j F j (mód I(V )) y por lo tanto para todo P V se tiene que f j (P) = F j (P) y así f = (F 1,...,F m ) con cada F i un polinomio y así f es polinomial. Ejemplo 9. Para la curva afín C = V(y 2 x 3 x 2 ) R 2 (la cúbica nodal), la función

56 46 2 Módulos y álgebras f : R 1 = R C R 2 R 1 f C dada por f (t) = (t 2 1,t 3 t) es una aplicación polinomial. Claramente está dada por polinomios y sólo es necesario verificar que su imagen cae en la curva C, lo cual es un cálculo directo. Note que f es inyectiva en R 1 {±1} y que f ( 1) = (0,0) = f (1) (decimos entonces que la curva nodal tiene un punto doble en el origen). La composición de aplicaciones polinomiales se define en forma natural como sigue: si V K n, W K m, U K r son conjuntos afines y si f : V W y g : W U son aplicaciones polinomiales, entonces la composición de funciones usual g f : V U es polinomial ya que si f = ( f 1,..., f m ) con los f i K[x 1,...,x n ] y si g = (g 1,...,g r ) con los g j K[y 1,...,y m ], entonces g f está dada por los polinomios g 1 ( f 1,..., f m ),...,g r ( f 1,..., f m ) K[x 1,...,x n ]. Claramente la identidad id V : V V es una aplicación polinomial. Hemos así mostrado que las variedades afines junto con las aplicaciones polinomiales entre ellas forman una categoría y así podemos definir el que una aplicación polinomial f : V W entre conjuntos afines sea un isomorfismo pidiendo que exista una aplicación polinomial g : W V tal que f g = id W y g f = id V. El resultado siguiente relaciona la categoría anterior con una categoría algebraica: Teorema 2.18 Sean V K n, W K m conjuntos afines. (1) Una aplicación polinomial f : V W induce un morfismo de K-álgebras f : K[W] K[V ]. (2) Recíprocamente, cualquier morfismo de K-álgebras ϕ : K[W] K[V ] es de la forma ϕ = f para una única aplicación polinomial f : V W. En otras palabras, se tiene una biyección

57 2 Módulos y álgebras 47 {Aplicaciones polinomiales f : V W} Hom K-álg (K[W],K[V ]) dada por f f. (3) La correspondencia anterior es contravariante, i.e., si f : V W y g : W U son aplicaciones polinomiales, entonces (g f ) = f g. Una consecuencia inmediata es que f : V W es un isomofismo si y sólo si f : K[W] K[V ] es un isomorfismo de K-álgebras. Demostración. (1): La función polinomial f : V W induce f : K[W] K[V ] por medio de la composición con f, es decir, si g K[W] la vemos como una función g : W K, entonces f (g) := g f : V f W g K. Se prueba fácilmente que f es un K-morfismo. (2): Sean y j K[W] = K[Y 1,...,Y m ]/I(V ) las funciones coordenadas del ejemplo 8. Usando el morfismo dado ϕ : K[W] K[V ] calculándolo en las y j obtenemos que ϕ(y j ) K[V ] y ponemos entonces f j := ϕ(y j ). Considere entonces la función f : V K m dada por las f j, i.e., f (P) = ( f 1 (P),..., f m (P)). Como las f j son polinomiales entonces f es una aplicación polinomial y sólo falta verificar que su imagen está en W. Para ésto, supongamos que g I(W) K[Y 1,...,Y m ]; entonces porque g I(W). Se sigue que g(y 1,...,y m ) = 0 K[W] ϕ(g(y 1,...,y m )) = 0 K[V ] porque ϕ es morfismo. Pero como g tiene coeficientes en K y ϕ es K-morfismo, entonces 0 = ϕ(g(y 1,...,y m )) = g(ϕ(y 1 ),...,ϕ(y m )) = g( f 1,..., f m ). Ahora, las f i son funciones en V y g( f 1,..., f m ) K[V ] es la función dada por P g( f 1 (P),..., f m (P)), la cual hemos visto que se anula para todo g I(W), y como W es el conjunto de ceros de I(W), se sigue que ( f 1 (P),..., f m (P)) W, i.e., f (P) W, como se quería. Resta probar que para la aplicación polinomial f anterior se tiene que f = ϕ : K[W] K[V ]. Para ésto, basta verificarlo en los generadores y i del dominio. Ahora, como f = ( f 1,..., f m ) y los f i = ϕ(y i ), entonces f (y j ) = y j f = f j = ϕ(y j ) como se quería. En forma análoga se prueba que f es única con la propiedad de que f (y j ) = ϕ(y j ). (3): Directo usando la asociatividad de la composición de funciones.

58 48 2 Módulos y álgebras Ejemplo 10. La aplicación polinomial f : R 1 = R C = V(y 2 x 3 ) dada por f (t) = (t 2,t 3 ) R 1 f C no es un isomorfismo porque el morfismo de R-álgebras correspondiente f : R[C] = R[x,y]/ y 2 x 3 R[t] está dado por x t 2, y t 3, por lo que la imagen de f es la R-álgebra generada por t 2,t 3, i.e., R[t 2,t 3 ] que no es todo R[t]. Este ejemplo nos sirve también para notar que a pesar de que f es una aplicación polinomial biyectiva, su inversa no es polinomial. De hecho, su inversa g : C R 1 está dada por: { 0 si x = y = 0, (x,y) y/x si x 0 que no es polinomial. Ejemplo 11. Si C = V(y x 2 ) K 2 es la parábola afín: C K 2 π K 1 la proyección π : C K 1 en la primera coordenada: π(x,y) = x es polinomial y su inversa es la parametrización de la parábola ϕ : K 1 C K 2 dada por ϕ(t) = (t,t 2 ). Claramente ϕ es polinomial y es inversa de π. El hecho de que ϕ es un

59 2 Módulos y álgebras 49 isomorfismo también puede verse algebraicamente ya que el morfismo que induce en los anillos de coordenadas ϕ : K[C] K[K 1 ] está dado mediante x t donde K[C] = K[x,y]/ y x 2 K[x] y K[K 1 ] K[t]. Producto tensorial de álgebras y producto de variedades afines. Para comenzar, observe que se tiene una biyección obvia K m K n K m+n dada por ( (x 1,...,x m ),(y 1,...,y n ) ) (x 1,...,x m,y 1,...,y n ). Como queremos, al menos, un homeomorfismo entre K m K n y K m+n, observemos que algebraicamente la biyección anterior proviene de notar que el anillo de polinomios K[x 1,...,x m ] es el anillo de coordenadas de la variedad afín K m, y similarmente para K n = SpecmK[y 1,...,y n ]. Se tiene además que el producto tensorial de estas dos K-álgebras de polinomios es K[x 1,...,x m ] K K[y 1,...,y n ] K[x 1,...,x m,y 1,...,y n ] como el lector comprobará en el ejercicio 21, y las observaciones previas nos dicen que el producto K m K n se debe definir como K m K K n = Specm ( K[x 1,...,x m ] K K[y 1,...,y n ] ), donde usamos el subíndice en K m K K n para indicar que estamos considerando en este producto la topología de Zariski. En el caso general, si V K m y W K n son dos variedades afines, dadas por V = SpecmK[V ] = Specm(K[x 1,...,x m ]/I) W = SpecmK[w] = Specm(K[y 1,...,y n ]/J) se define su producto V K W K m K n K m+n como V K W = Specm(K[V ] K K[W]), donde usamos el subíndice V K W para recordar que lo anterior no es un producto cartesiano, en general. El ejercicio 22 pide probar que V K W es la variedad algebraica cuyo ideal está generado por I(V ) e I(W) en K[x 1,...,x m,y 1,...,y n ]. Ahora, la propiedad universal 2.15 del producto tensorial de estas dos K-álgebras dice que el producto tensorial K[V ] K K[W] satisface que para cualquier otra K- álgebra Λ y morfismos φ y ψ que hacen conmutar el cuadrado externo del diagrama siguiente, existe un único morfismo ϑ : K[V ] K K[W] Λ que hace conmutar los dos triángulos del diagrama:

60 50 2 Módulos y álgebras Λ ψ ϑ φ K[V ] K K[W] f K[V ] g g K[W] En términos de los espectros máximos correspondientes, la propiedad universal anterior se traduce en la propiedad universal siguiente para el producto de variedades V K W = Specm(K[V ] K K[W]): K f Specm(Λ) a φ a ϑ SpecmK[V ] SpecmK SpecmK[W] a g SpecmK[W] a ψ a f SpecmK[V ] a g a f SpecmK donde si escribimos U = SpecmΛ, { } = Specm K, V = Specm K[V ], etcétera, de tal forma que el diagrama anterior queda como: U a φ a ϑ V K W a g W a ψ a f V a g a f { } la propiedad universal del producto V K W = SpecmK[V ] SpecmK SpecmK[W] es que en el diagrama anterior el cuadrado interior conmuta y para cualquier otra variedad U junto con morfismos a φ y a ψ que hacen conmutar el cuadrado externo, existe un único morfismo de variedades afines a ϑ que hace conmutar los triángulos correspondientes. Se dice entonces que V K W es el producto fibrado de las variedades V y W. Como SpecmK = { } es un punto, los morfismos V { } y W { } son los únicos posibles, y el diagrama anterior se suele simplificar de la forma siguiente:

61 2 Módulos y álgebras 51 a φ W a g U a ϑ V K W con la formulación correspondiente de la propiedad universal. a ψ Producto fibrado de espectros primos. Con la experiencia anterior, si ahora se tienen dos espectros primos SpecA y SpecB, observando que cualquier anillo A es una Z-álgebra ya que se tiene el morfismo de anillos natural Z A dado por 1 1, entonces podemos formar el producto tensorial A Z B y se define el producto fibrado de los espectros primos como V SpecA SpecZ SpecB = Spec(A Z B). a f Ejercicios 2.1. Si m,n son enteros coprimos, muestre que (Z/mZ) Z (Z/nZ) = Si M,N,P son A-módulos, demuestre que M A (N P) (M A N) (M A P) En general, demuestre que el producto tensorial conmuta con sumas directas, i.e., si {N i } i Λ es una familia de A-módulos y M es cualquier otro A-módulo, demuestre que se tiene un isomorfismo ( ) M A N i (M A N i ). i Γ i Γ 2.4. Demuestre que M es plano si y sólo si para toda sucesión exacta de la forma 0 N f N se tiene que la sucesión 0 M A N id f M A N es exacta Si {M i } es una familia de A-módulos, demuestre que i M i es plano si y sólo si cada M i es plano Si M,N son A-módulos planos, demuestre que M A N es plano Si 0 M M M 0 es una sucesión exacta de A-módulos con M,M finitamente generados, demuestre que M es finitamente generado.

62 52 2 Módulos y álgebras 2.8. Si M M 0 es exacta y M es finitamente generado, demuestre que M es finitamente generado Si A es un anillo, I A es un ideal y M es un A-módulo, demuestre que (A/I) A M M/IM Si M 1,...,M n y P son A-módulos, una función A-multilineal f : M 1 M n P es una función que es A-lineal en cada una de sus variables. (i) Generalizando la construcción del producto tensorial de dos módulos, construya el producto tensorial M 1 A A M n y demuestre que se tiene una función A-multilineal canónica φ : M 1 M n M 1 A A M n que satisface la propiedad universal 2.8 correspondiente. (ii) Concluya, como en 2.9, que se tiene un isomorfismo Mult A (M 1 M n,p) Hom A (M 1 A A M n,p) Si A,B son dos k-álgebras, demuestre que su producto tensorial A k B, es único, salvo isomorfismo, con la propiedad universal establecida en Sugerencia: Vea la demostración de la unicidad del producto tensorial de módulos en Si f : A B es un morfismo de anillos y M es un B-módulo, defina la acción de A en M mediante a x := f (a)x, para a A, x M y donde f (a)x es la acción dada de f (a) B en x M. Demuestre que con esta acción, M es un A-módulo. Diremos entonces que el B-módulo M se vuelve un A-módulo por cambio de anillos o restricción de escalares Si f : A B es un morfismo de anillos y M es un A-módulo, considerando a B como A-módulo por cambio de anillos, se tiene el A-módulo M B := B A M. Demuestre que M B es un B-módulo mediante b(b x) := bb x. Se dice que M B se obtuvo por extensión de escalares. (i) Demuestre que si M es finitamente generado como A-módulo, entonces M B es finitamente generado como B-módulo. (ii) Demuestre que si M es plano como A-módulo, entonces M B es plano como B-módulo Sean f : A B un morfismo de anillos y M un B-módulo. Si M es finitamente generado como B-módulo y B es finitamente generado como A-módulo, demuestre que M es finitamente generado como A-módulo Si M es un A-módulo, demuestre que M es finitamente generado si y sólo si existe un epimorfismo A n M Un A-módulo M es simple si M 0 y sus únicos submódulos son el cero y el total. Demuestre que todo módulo simple es cíclico, i.e., es generado por un sólo elemento. Más aún, si M es simple, demuestre que todo endomorfismo no nulo f : M M es un isomorfismo. Este resultado se conoce como el lema de Schur.

63 2 Módulos y álgebras Si f : A B es un morfismo de anillos y B es fielmente plano como A-módulo (por cambio de anillos usando f ), demuestre que para todo A-módulo M el morfismo M M A B dado por x x 1, es inyectivo. En particular, si M = A, f : A B es inyectivo Dado el diagrama conmutativo siguiente, con renglones exactos: 0 M f M g M α 0 N f N β γ g N demuestre que existe un único morfismo α : M N que hace que el diagrama aumentado conmute. Más aún, si β y γ son isomorfismos, entonces α también lo es Sea M un A-módulo. Demuestre que M es plano si y sólo si para todo ideal I A finitamente generado el morfismo I A M A A M M es inyectivo. Sugerencia: Para la implicación no trivial, si 0 N N es exacta, a la luz de 2.13, primero considere el caso cuando M es libre y luego en el caso general M es cociente de un libre Si A 0 es un anillo y A m A n, demuestre que m = n. Sugerencia: Reduzca al caso cuando A es un campo Demuestre que se tiene un isomorfismo de K-álgebras: K[x 1,...,x m ] K K[y 1,...,y n ] K[x 1,...,x m,y 1,...,y n ] Sean V = V(I) = SpecmK[x 1,...,x m ]/I y W = V(J) = SpecmK[y 1,...,y n ]/J dos conjuntos algebraicos afines. Suponga además que I y J son radicales. Demuestre que V K W es el conjunto algebraico afín cuyo ideal I(V K W) está generado por I(V ) e I(J) en K[x 1,...,x m,y 1,...,y n ] Si V y W son dos variedades afines (i.e., son conjuntos algebraicos irreducibles), demuestre que V K W también es irreducible.

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65 Capítulo 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros Una técnica usual al estudiar objetos geométricos es la de concentrarse cerca de un punto o en una vecindad del punto y muchas propiedades geométricas se pueden deducir de este proceso localizado. Similarmente, en teoría de números al estudiar congruencias, por ejemplo, módulo un entero n, factorizando el entero n como producto de potencias de primos, en muchas ocasiones basta estudiar estas congruencias módulo un primo p o potencias p r de este primo. Este proceso de localización tiene gran importancia, no sólo en geometría y teoría de números, sino en el álgebra en general y en otras ramas de la matemática. En la primera parte de este capítulo se algebriza el proceso de localización generalizando la construcción del campo de los números racionales Q a partir del dominio entero Z. En la segunda parte de este capítulo estudiamos la noción de dependencia entera, de crucial importancia en teoría de números y geometría algebraica. En la teoría de números algebraicos se estudian extensiones de campos Q K donde todos los elementos α K son raíces de un polinomio mónico f (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 con coeficientes en Q y decimos que estos elementos son algebraicos (sobre Q). Es natural entonces el considerar aquellos elementos α K que sean raíces de un polinomio mónico con coeficientes en Z, y se dice que estos elementos de K son enteros algebraicos de K. Como parte de un resultado más general se probará que el conjunto O K de elementos de K que son enteros algebraicos, es un subanillo de K que contiene a Z: O K K Z Será hasta el capítulo 5 cuando se estudiarán más propiedades aritméticas de estos anillos de enteros. Resulta que esta teoría de origen aritmético tiene una contraparte geométrica: una variedad algebraica V puede estudiarse como un cubriente (ramificado) de un espacio afín K n y esta situación exhibe una similitud algebraica con las extensiones de anillos donde los elementos del anillo grande satisfacen un polinomio mónico con coeficientes en el anillo pequeño. En esta segunda parte probaremos el lema de normalización de Noether que formaliza lo anterior y como Q 55

66 56 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros una consecuencia casi inmediata obtendremos el teorema de los ceros de Hilbert, un resultado de gran importancia para la geometría algebraica y que habíamos dejado pendiente desde el capítulo 1. Anillos de fracciones. Si A es un anillo y S A es un subconjunto multiplicativo, i.e., 1 S y a,b S implica que ab S, se define la relación (que resulta de equivalencia, como se verificará en el ejercicio 1) en A S mediante (a,s) (b,t) existe u S tal que u(at bs) = 0. En el conjunto cociente S 1 A := A S/ denotamos a la clase de equivalencia de (a,s) como [a,s] o como a/s y se definen las operaciones de suma y producto como si fueran fracciones o elementos de Q: a s + b t := at + bs st y a b ab := s t st y resulta que, para comenzar, están bien definidas, y hacen de S 1 A un anillo conmutativo con uno, donde el cero o neutro aditivo es 0/s, para cualquier s S y el uno es s/s, para cualquier s S. Más aún, se tiene un morfismo de anillos ϕ : A S 1 A dado por ϕ(a) := a/1, al que se llama el morfismo canónico, que en general no es inyectivo. Al anillo S 1 A se le conoce como el anillo de fracciones de A con respecto a S. Ejemplo 1. La construcción anterior generaliza la construcción del campo de números racionales Q a partir del dominio entero Z, donde S = Z {0}. De hecho, en general, si A es un dominio entero y S = A {0}, entonces S es un subconjunto multiplicativo y S 1 A =: K(A) resulta un campo al que se le llama el campo de fracciones de A. En este caso, el morfismo ϕ : A K(A) es inyectivo. Las primeras propiedades del anillo S 1 A son: Lema 3.1 Si S A es cualquier conjunto multiplicativo y ϕ : A S 1 A es el morfismo canónico, entonces: (1) s S ϕ(s) es unidad de S 1 A, i.e., ϕ(s) ( S 1 A ). (2) ϕ(a) = 0 as = 0 para algún s S. En otras palabras, kerϕ = {a A : existe s S tal que sa = 0}. (3) Todo a/s S 1 A es de la forma ϕ(b)ϕ(t) 1, para b A, t S. Demostración. Sólo probaremos (1). En este caso note que si s S entonces 1/s S 1 A y se tiene que ϕ(s) (1/s) = (s/1)(1/s) = s/s = 1. De hecho, el anillo S 1 A junto con el morfismo canónico ϕ : A S 1 A están determinados por la propiedad (1) del lema anterior: Teorema 3.2 (Propiedad universal del anillo de fracciones) Sea ϕ : A S 1 A el morfismo canónico. Si f : A B es cualquier otro morfismo de anillos tal que f (S) B, entonces existe un único morfismo de anillos ˆf : S 1 A B tal que el diagrama siguiente conmuta:

67 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 57 A f B ϕ S 1 A Demostración. Los elementos de S 1 A son clases de equivalencia de la forma a/s y escogiendo un representante (a,s) a/s ponemos ˆf (a/s) := f (a) f (s) 1, recordando que por hipótesis f (s) B y por lo tanto f (s) 1 B. Observe ahora que si (a,s ) a/s es otro representante, entonces existe u S tal que u(as a s) = 0, y aplicando f a esta igualdad se obtiene que f (u)( f (a) f (s ) f (a ) f (s)) = 0 donde f (u) B por lo que f (a) f (s ) = f (a ) f (s) con f (s), f (s ) B y así f (a) f (s) 1 = f (a ) f (s ) 1, y consecuentemente ˆf es una función. Claramente es un morfismo porque f lo es, y si a A entonces ˆf (ϕ(a)) = ˆf (a/1) = f (a) f (1) 1 = f (a), i.e., el diagrama anterior conmuta. Supongamos ahora que g : S 1 A B es otro morfismo tal que g ϕ = f. Para mostrar que ˆf = g, sea a/s S 1 A arbitarrio. Escribiendo a/s = (a/1)(1/s) en S 1 A, notamos que g(a/1) = g(ϕ(a)) = f (a) y g(1/s) = g ( (s/1) 1) = g ( ϕ(s) 1) = ( g ϕ(s) ) 1 = f (s) 1 y así g(a/s) = g(a/1)g(1/s) = f (a) f (s) 1 = ˆf (a/s). Como una consecuencia inmediata, las tres propiedades del lema anterior determinan S 1 A salvo isomorfismo: Corolario 3.3 Si S A es un subconjunto multiplicativo y f : A B es un morfismo de anillos tal que (1) f (S) B. (2) f (a) = 0 existe s S tal que as = 0. (3) Todo b B es de la forma f (a) f (s) 1, con a A, s S. Entonces, existe un único isomorfismo ˆf : S 1 A B tal que el diagrama siguiente conmuta: ϕ A S 1 A Demostración. La típica de objetos que satisfacen propiedades universales. Lema 3.4 Si f : A B es cualquier morfismo de anillos y S A, T B son subconjuntos multiplicativos tales que f (S) T, entonces f induce un morfismo ˆf : S 1 A T 1 B tal que ˆf (a/1) = f (a)/1, para todo a A. f ˆf ˆf B

68 58 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros Demostración. Esto se sigue de la propiedad universal 3.2 ya que en el diagrama A f B ϕ A S 1 A ˆf ϕ B T 1 B como f (S) T, entonces ϕ B f (s) es una unidad en T 1 B para todo s S y así por 2.2 existe un único ˆf que hace conmutar el diagrama, i.e, ˆf (a/s) = f (a)/ f (s). Ejemplo 2. Si p A es un ideal primo, entonces S = A p es multiplicativo. Se suele usar la notación A p := S 1 A. Note que A es un dominio entero si y sólo si el ideal 0 A es primo. Por lo tanto A 0 = K(A) es el campo de fracciones de A. Mostraremos a continuación que A p es un anillo local, i.e., un anillo con un único ideal máximo. Al anillo A p se le llama la localización de A en p. En el corolario siguiente probaremos que el ideal máximo del anillo local A p es el ideal pa p generado por la imagen de p en A p. Al campo A p /pa p se le llama el campo residual del anillo local (A p,pa p ) y lo denotaremos por k(p). Corolario 3.5 Si p es un ideal primo de A, entonces A p es un anillo local con ideal máximo el ideal generado por la imagen de p en A p pa p = {a/s A p : a p}. El campo residual k(p) = A p /pa p del anillo local (A p,pa p ) es isomorfo al campo de fracciones del dominio entero A/p. Demostración. Si a/t pa p, entonces a p y así a S = A p por lo que a/t A p es una unidad. Se sigue que pa p es un ideal máximo. Por otra parte, si I es cualquier ideal de A p e I pa p, entonces existe u I pa p y así u A p y por lo tanto I = A p. Se sigue que pa p es el único ideal máximo de A p. En el lema 3.4, poniendo S = A p por lo que S 1 A = A p y si f : A A/p es el epimorfismo canónico observe que T = f (S) = A/p {0} es un conjunto multiplicativo porque A/p es un dominio entero y así T 1 (A/p) = K(A/p) es el campo de fracciones de A/p. Se tiene entonces que ˆf : A p K(A/p) es suprayectivo porque siendo f : A A/p suprayectivo, para todo (x +p)/t K(A/p), con x +p A/p y t T = f (S) se tiene que t = f (s) para algún s S y así ˆf (x/s) = f (x)/ f (s) = (x + p)/t. Finalmente, si I = ker ˆf, entonces se tiene el isomorfismo de Noether inducido por ˆf A p /I K(A/p) y por lo tanto I deber ser máximo y así I = pa p porque A p es local. Como k(p) = A p /pa p, ya acabamos.

69 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 59 Ejemplo 3. Si p Z es un entero primo, Z p = {a/s Q : p s} y se tiene que p Z p = {pa/s Q : p s} y su campo residual es Z p / p Z p Z/pZ. Ejemplo 4. Si f A y S = { f n : n 0}, entonces S es multiplicativo. Usaremos la notación A f := S 1 A. Lema 3.6 (Rabinowitzch) Si f A y A f es la localización de A con respecto al conjunto multiplicativo S = { f n ; n 0}, entonces la función A[t]/ ft 1 A f dada por a n t n + + a 1 t + a 0 a n / f n + + a 1 / f + a 0 es un isomorfismo. Demostración. Si f = 0 ambos anillos son cero y así podemos suponer que f 0. Ahora, en el anillo A[t]/ ft 1 se tiene que 1 = ft, donde t es la clase de t en el cociente, y por lo tanto f es una unidad. Sea φ : A B cualquier morfismo de anillos tal que φ( f ) sea una unidad en B. Entonces, φ se extiende a un morfismo a i t i φ(a i )φ( f ) i : A[t] B (i.e., mandando t en φ( f ) 1 ) el cual se factoriza a través de A[t]/ ft 1 : A A[t] φ B A[t]/ f T 1 porque ft 1 φ( f )φ( f ) 1 1 = 1 1 = 0, y como φ( f ) es una unidad en B este morfismo que extiende φ : A B a A[t]/ ft 1 es único con esta propiedad. Se sigue que este cociente tiene la propiedad universal de A f y por lo tanto es isomorfo a A f por medio de un isomorfismo que fija a A y manda t a f 1. Ejemplo 5. Si A es cualquier anillo y S 0 A es el subconjunto de elementos de A que no son divisores de cero, i.e., S 0 = { f A : (0 : f ) = 0}, entonces S 0 es un conjunto multiplicativo ya que claramente 1 S 0 y si a,b S 0 entonces ab S 0 porque si abx = 0, se sigue que a(bx) = 0 y así bx = 0 y por lo tanto x = 0. El anillo S 1 0 A se conoce como el anillo total de fracciones de A. Note que el morfismo canónico ϕ : A S 1 0 A es inyectivo, ya que si ϕ(a) = 0, entonces a/1 = 0/s y así existe t S 0 tal que t(sa 0) = 0, i.e., tsa = 0 con ts S 0, i.e., no es divisor de cero, y por lo tanto a = 0. Más aún, S 0 es el mayor subconjunto multiplicativo S de A tal que A S 1 A es inyectivo, porque por 3.1(2) el núcleo del morfismo canónico inyectivo anterior es {a A : existe s S tal que sa = 0} y como este núcleo es cero entonces a = 0, i.e., (0 : s) = 0 para todo s S y por lo tanto S S 0.

70 60 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros Localización e ideales. Si S A es multiplicativo, ϕ : A S 1 A es el morfismo canónico y J S 1 A es un ideal, entonces su imagen inversa es el ideal ϕ 1 (J) = {a A : a/1 J} y si I A es un ideal, el ideal generado por la imagen ϕ(i) en S 1 A es S 1 I := ϕ(i)s 1 A = {a/s S 1 A : a I, s S}. Observe ahora que si S I /0, entonces S 1 I contiene una unidad y por lo tanto es el anillo total S 1 A. Así, algo de la estructura de ideales de A se pierde al pasar a S 1 A, pero como el lema siguiente muestra, algo se mantiene: Proposición 3.7 Si S A es multiplicativo, entonces (1) S 1 (ϕ 1 (J)) = J, para todo ideal J S 1 A. (2) ϕ 1 (S 1 p) = p, para todo ideal primo p A disjunto con S. (3) Más aún, P ϕ 1 P es una biyección entre el conjunto de todos los ideales primos de S 1 A y el conjunto de ideales primos de A disjuntos con S, de hecho, la inversa es la función p S 1 p. Demostración. (1): Sea J S 1 A un ideal. Si a/s S 1 (ϕ 1 J), entonces a ϕ 1 (J), i.e., a/1 = ϕ(a) J y así a/s = (1/s)(a/1) J, i.e., S 1 (ϕ 1 J) J. Recíprocamente, si a/s J, entonces a/1 = (s/1)(a/s) J, i.e., a ϕ 1 (J) y por lo tanto a/s S 1 (ϕ 1 J), i.e., J S 1 (ϕ 1 J). (2): Sea p A un ideal primo disjunto con S. Si a p, entonces a/1 S 1 p, i.e., ϕ(a) = a/1 S 1 p por lo que a ϕ 1 (S 1 p) y así p ϕ 1 (S 1 p). Para la otra inclusión, si a ϕ 1 (S 1 p) entonces a/1 S 1 p, i.e., a/1 = a /s para algún a p y s S. Se sigue que t(as a ) = 0 para algún t S, y así ast = a t p. Como st p entonces a p y por lo tanto ϕ 1 (S 1 p) p. (3): Si p A es un primo disjunto con S, sea S A/p la imagen de S bajo el epimorfismo A A/p. Claramente S es un subconjunto multiplicativo de A/p y se tiene que ( ) S 1 (A/p) S 1 A/S 1 p porque, como se verificará en el ejercicio 2, el lado derecho tiene la propiedad universal requerida. Finalmente, como A/p es un dominio entero y S no contiene al cero, entonces S 1 (A/p) es un dominio entero y por lo tanto el lado derecho de ( ) también es un dominio entero y consecuentemente S 1 p es un ideal primo de S 1 A. Como la imagen inversa de un primo es primo, entonces P ϕ 1 P manda primos de S 1 A en primos de A y las dos correspondencias anteriores son inversa una de la otra. La consecuencia siguiente es análoga a 1.18 en el sentido de que identifica el espectro de una localización S 1 A en términos del espectro de A:

71 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 61 Corolario 3.8 (1) El morfismo ϕ : A S 1 A induce la biyección a ϕ : SpecS 1 A {p SpecA : p S = /0} SpecA. (2) En particular, si p A es un ideal primo, entonces el morfismo canónico induce una biyección entre el conjunto de ideales primos de A p y el conjunto de ideales de A que están contenidos en p. En otras palabras, el morfismo canónico ϕ : A A p induce una biyección a ϕ : SpecA p {q SpecA : q p} SpecA. (3) Si S = {1, f, f 2, f 3,...} A, los primos de S 1 A = A f corresponden a los primos de A que no contienen a f. Es decir, Spec(A f ) {p SpecA : f p} = D( f ). Se sigue que el abierto básico D( f ) se identifica canónicamente con SpecA f. Una motivación para la definición de la topología de Zariski. Para hacer más clara la analogía con la definición de variedad algebraica afín, consideremos la interpretación siguiente de los cerrados V (I) de SpecA: dado un ideal primo p de A, consideremos el anillo localizado A p y sea m p su ideal máximo (que, de hecho, es el ideal pa p generado por p en A p ) y sea k(p) := A p /m p su campo residual y note que k(p) es también el campo de cocientes del dominio entero A/p. Se tienen entonces morfismos canónicos A A/p k(p) y así, a cada elemento f A le podemos asignar su imagen f +p en A/p A p /m p = k(p) y decimos que éste es el valor f (p) de f en p, y se tiene así una función f definida en SpecA y cuyo codominio varía, ya que a diferentes puntos p SpecA les corresponden valores f (p) k(p) donde el campo k(p) está variando con p. Sin embargo, pensemos a los elementos f A como funciones f : SpecA k(p) dadas por la regla de correspondencia p f (p) y donde estos valores caen en codominios que cambian con los puntos de SpecA. Ejemplo 6. Para A = Z y p = p, si f = m Z, su valor en p es m (mód p) en k(p) = F p = Z/pZ (ya que en este caso, Z/pZ Z p /pz p ). Regresando ahora a la analogía con la definición de una variedad algebraica, observe que aún cuando la definición de la función f : SpecA k(p) no es tal ya que los codominios están variando, sí tiene sentido la frase los ceros de f A, que en el contexto anterior quiere decir que la clase lateral f (p) = f + p es cero en el campo k(p), i.e., f p, y por lo tanto podemos hablar del lugar geométrico de f como el conjunto de puntos en SpecA donde f vale cero. Note que en esta definición se están usando los ceros de los distintos campos residuales k(p), y como

72 62 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros se quiere que las funciones f sean continuas, usando que el 0 k(p) debe ser cerrado, entonces su imagen inversa V ( f ) SpecA debe ser cerrado; más aún, como la intersección arbitraria de cerrados debe ser cerrada ésto nos lleva a definir, para cualquier conjunto E A, V (E) como el conjunto de ceros comunes, en SpecA, de los elementos de I, i.e., V (E) = {p SpecA : f (p) = 0 para todo f E}, = {p SpecA : f p para todo f E}, = {p SpecA : p E}, que es la definición que se dio en el capítulo 1. Similarmente, para la construcción recíproca, dado un subconjunto U SpecA, se tiene la interpretación siguiente: I(U) := { f A : f (p) = 0 para todos los p U} = { f A : f p para todos los p U} = p, p U el ideal de los elementos que se anulan en U. Con las dos interpretaciones anteriores, la analogía entre la definción de la topología de Zariski en una variedad afín (ceros de un ideal de polinomios) y la topologa de Zariski en el espectro primo, es clara. Algebras finitas y de tipo finito. Integridad. Sean A B anillos de tal forma que B es una A-álgebra. Diremos que B es una A-álgebra finita si B es finitamente generado como A- módulo, i.e., si existen α 1,...,α n B tales que todo b B es una combinación lineal de los α i con coeficientes en A: b = a 1 α a n α n con los a i A. Diremos que B es de tipo finito sobre A si existen α 1,...,α n B tales que todo elemento b B es un polinomio en los α i con coeficientes en A, i.e., existe un polinomio f A[x 1,...,x n ] tal que b = f (α 1,...,α n ). Si b B, diremos que b es entero sobre A si existe un polinomio mónico φ(x) = x m + a m1 x m a 1 x + a 0 A[x] tal que φ(b) = 0. Diremos que B es entero sobre A si todo elemento de B es entero sobre A. Claramente toda A-álgebra finita es de tipo finito, el polinomio correspondiente es de primer grado f = a 1 x 1 + +a n x n. También, B es una A-álgebra de tipo finito si y sólo si existe un epimorfismo de A-álgebras

73 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 63 sencillamente definiendo α i = ϕ(x i ). ϕ : A[x 1,...,x n ] B Ejemplo 7. Si A B son anillos, todo elemento α de A es entero sobre A ya que es raíz del polinomio mónico x α A[x]. Ejemplo 8. Para Z Q, los racionales r/s Q que son enteros son los elementos de Z. En efecto, si a/b Q es un racional, podemos suponer que a y b son coprimos y como se tiene una igualdad de la forma b n + r n 1 b n r a 1 b + r 0 = 0 a n a n 1 multiplicando por b n queda con r i Z a n + r n 1 a n 1 b + + r 1 ab n 1 + r 0 b n = 0 de donde se sigue que b divide a a n y como mcd(a,b) = 1 entonces b a pero siendo coprimos ésto sólo es posible si b = ±1 y por lo tanto a/b Z, como se quería. Lema 3.9 Sean A B anillos y α B. Son equivalentes: (1) α es entero sobre A. (2) El subanillo A[α] B es finitamente generado como A-módulo. (3) Existe un subanillo C con A C B tal que α C y C es finitamente generado como A-módulo. Demostración. (1) (2): Como α es entero sobre A se tiene que y por lo tanto α n = (a n 1 α n a 1 α + a 0 ) 1,α,...,α n 1 α n+1 = a n 1 α n (a n 2 α n a 1 α 2 + a 0 α) 1,α,...,α n 1 y por inducción, para todo k 0: α n+k = (a n 1 α n+k a 1 α k+1 + a 0 α k ) 1,α,...,α n 1 de donde se sigue que todas las potencias α t con t 0 están el el A-módulo 1,α,...,α n 1 y como estas potencias generan A[α], entonces éste es un A-módulo finitamente generado. (2) (3): Sea C = A[α]. (3) (1): Sea y 1,...,y n un conjunto de generadores de C como A-módulo, i.e., C = Ay Ay n. Como α C, los y i C y C es un anillo entonces αy i C y escribiendo estos elementos en términos de los generadores y i de C:

74 64 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros αy i = a i1 y a in y n con los a i j A y la igualdad anterior se puede escribir como n j=1 ( δi j α a i j ) y j = 0 con 1 i n y δ i j una delta de Kronecker el cual es un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas en y 1,...,y n. Por la regla de Cramer se tiene que det(δ i j α a i j ) y i = 0 para todo i, y como C está generado por los y i se sigue que det(δ i j α a i j ) C = 0 y así para el 1 C se tiene que det(δ i j α a i j ) 1 = 0, i.e., det(δ i j α a i j ) = 0. Finalmente, desarrollando el determinante det(δ i j x a i j ) (poniendo la indeterminada x en lugar de α) se obtiene un polinomio con coeficientes en A que se anula en α y este polinomio es mónico porque el término de grado x n proviene del producto de los elementos de la diagonal principal (x a 11 ) (x a nn ). Se sigue que α es entero sobre A. Corolario 3.10 Si A B son anillos y α 1,,α n B son enteros sobre A, entonces A[α 1,...,α n ] es un A-módulo finitamente generado. Demostración. Inducción sobre n. Corolario 3.11 Si A B son anillos y α,β B son enteros sobre A, entonces α ±β y αβ son enteros sobre A. Demostración. Por el corolario anterior A[α, β] es finitamente generado sobre A y como α ± β y αβ están en A[α,β], por la parte (3) del lema anterior se sigue que son enteros sobre A. Corolario 3.12 Si A B son anillos y A := {α B : α es entero sobre A}, entonces A es un anillo y A A B. Demostración. Directo del corolario anterior. El anillo A se llama la cerradura entera de A en B. Si A = A, se dice que A es integralmente cerrado en B. Si A es un dominio entero y K es su campo de fracciones, A se llama la cerradura entera de A y si A es integralmente cerrado en su campo de fracciones, se dice que A es integralmente cerrado. Ejemplo 9. Todo dominio de factorización única (DFU) es integralmente cerrado. Note que ésto generaliza el ejemplo 8 y la demostración es similar: si A es un DFU con campo de fracciones K y si a/b K es entero sobre A, si suponemos que a/b A, entonces existe un elemento irreducible p A tal que p b pero p a. Por otra parte, como a/b es entero sobre A se tiene una ecuación polinomial (a/b) n + c n 1 (a/b) n c 1 (a/b) + c 0 con c i A. Multiplicando por b n se obtiene la ecuación a n + c n 1 a n 1 b + + c 1 ab n 1 + c 0 b n = 0

75 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 65 donde p divide a cada término de la izquierda excepto a lo más a a n y así debe dividir a a n y como es irreducible debe dividir a a, lo cual es una contradicción. Corolario 3.13 Si A B son anillos, son equivalentes: (1) B es una A-álgebra finita. (2) B es una A-álgebra de tipo finito y es entera sobre A. Demostración. (1) (2): Toda A-álgebra finita es de tipo finito. Más aún, como B es finitamente generado como A-módulo, por la parte (3) del lema 3.9 anterior B es entera sobre A. (2) (1): Por hipótesis existen α 1,...,α n B tales que B = A[α 1,...,α n ], y como los α i son enteros sobre A, entonces por el lema 3.9 anterior (de hecho, por el corolario 3.10) B = A[α 1,...,α n ] es un A-módulo finitamente generado. Corolario 3.14 (Transitividad de la dependencia entera) Si A B C son anillos con C entero sobre B y B entero sobre A, entonces C es entero sobre A. Demostración. Si α C se tiene una ecuación polinomial ( ) α n + b n 1 α n b 1 α + b 0 = 0 con los b i B y el anillo A[b 0,...,b n 1 ] es un A-módulo finitamente generado por 3.10 ya que los b i son enteros sobre A. Como la ecuación ( ) tiene coeficientes en A[b 0,...,b n 1 ] entonces α es entero sobre este anillo y así A[b 0,...,b n 1 ][α] es finitamente generado como A[b 0,...,b n 1 ]-módulo. Se sigue que A[b 0,...,b n 1 ][α] es finitamente generado como A-módulo y por lo tanto α es entero sobre A por 3.9. Proposición 3.15 Sean A un dominio entero con campo de fracciones K y L es un campo que contiene a K. Si α L es algebraico sobre K, entonces existe un d A tal que dα es entero sobre A. Demostración. Como es algebraico α satisface una ecuación polinomial α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 = 0 con los a i K. Sea d el común denominador de los a i de tal forma que da i A y multipliquemos la igualdad anterior por d n para obtener que se puede reescribir como d n α n + a n 1 d n α n a 1 d n α + a 0 d n = 0 (dα) n + a n 1 d(dα) n a 1 d n 1 (dα) + a 0 d n = 0 donde los coeficientes a n 1 d,...,a 1 d n 1,a 0 d n A y así la igualdad anterior muestra que dα es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en A, i.e., dα es entero sobre A.

76 66 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros Corolario 3.16 Sean A un dominio entero con campo de fracciones K y L una extensión algebraica de K. Entonces L es el campo de fracciones de la cerradura entera de A en L. Demostración. Por la proposición anterior todo α L se puede escribir como α = β/d con β entero sobre A y d A, i.e, α = β/d con β,d en la cerradura entera de A en L. Lema 3.17 Sean A un dominio entero integralmente cerrado (por ejemplo, un DFU) y L una extensión finita del campo de fracciones K de A. Entonces, α L es entero sobre A si y sólo si su polinomio mónico irreducible Irr(α,K) tiene coeficientes en A. Demostración. Si f (x) = Irr(α,K) y α es entero sobre A, entonces existe una ecuación polinomial para α: (1) α m + a m 1 α m a 1 α + a 0 = 0 con los a i A Si ˆα es cualquier conjugado de α, i.e., una raíz de Irr(α,K), se tiene un K- isomorfismo K(α) φ K( ˆα) que manda α en ˆα. Aplicando φ a la igualdad (1) se sigue que K ˆα m + a m 1 ˆα m a 1 ˆα + a 0 = 0 lo cual muestra que ˆα es entera sobre A. Así, todos los conjugados de α son enteros sobre A y de la relación de Viète entre los coeficientes y raíces de un polinomio se sigue que los coeficientes de Irr(α,K) son enteros sobre A y como estos coeficientes están en K que es el campo de fracciones de A y como A es integralmente cerrado, entonces estos coeficientes están en A, como se quería. La otra implicación es trivial. Proposición 3.18 Sea A un dominio entero con campo de fracciones K y sea L una extensión finita de K. Si α L es entero sobre A, entonces su norma Nm L/K (α) K también es entera sobre A y, de hecho, Nm L/K (α) A, y α divide a Nm L/K (α) en el anillo A[α]. Demostración. Sea f (x) = Irr(α,K) = x r +a r 1 x r 1 + +a 0 y sea F/K un campo de descomposición de f (x). Escribamos f (x) = (x α 1 ) (x α r ) con α 1 = α, α 1 α r = ±a 0 y los α i F. Como α es entero sobre A cada uno de sus conjugados α i también lo es y por lo tanto

77 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 67 ( r Nm L/K (α) = i=1 α i ) [L:K(α)] es entero sobre A. Más aún, como a 0 A por el lema anterior, entonces Nm L/K (α) = ±a n/r 0 A, con n = [L : K] y r = [K(α) : K]. Ahora, de la igualdad 0 = α r + a r 1 α r a 1 α + a 0 = α ( α r 1 + a r 1 α r a 1 ) + a0 se sigue que α divide a a 0 en A[α] y por lo tanto divide a Nm L/K (α) = ±a n/r 0. Si K es un campo y A es una K-álgebra de tipo finito sobre K y A es un dominio entero, diremos que A es una K-álgebra afín. Si K(A) es el campo de fracciones de A, entonces la extensión de campos K/K(A) K A K(A) es finitamente generada (con generadores los mismos elementos que generan A como K-álgebra) y al grado de trascendencia de K(A) sobre K se le llama también el grado de trascendencia de A sobre K y usamos la misma notación grtr K (A) = grtr K K(A). Teorema 3.19 (Lema de normalización de Noether) Si K es un campo y A es una K-álgebra afín de grado de trascendencia n, entonces existen α 1,...,α n A algebraicamente independientes sobre K tales que A es entera sobre el subanillo K[α 1,...,α n ] generado por los α i : K K[α 1,...,α n ] A. Demostración. Por hipótesis A es una K-álgebra de tipo finito y así existe un epimorfismo K[x 1,...,x m ] A, i.e, A = K[x 1,...,x m ]/p, con p un ideal primo (porque A es dominio entero) y claramente n m. Usaremos inducción sobre m n. Si m = n las imágenes α i de las variables x i deben ser algebraicamente independientes y así p = 0, A = K[α 1,...,α n ] = K[x 1,...,x n ] y no hay nada que probar. Supongamos entonces que m > n y p 0. Basta entonces mostrar la existencia de una subálgebra B A generada por m 1 elementos tal que A es entera sobre B ya que aplicando la hipótesis de inducción a B existirían elementos α 1,...,α n B algebraicamente independientes sobre K y tales que B es entero sobre K[α 1,...,α n ] y por la transitividad de la dependencia entera se seguiría inmendiatemente que A es entera sobre K[α 1,...,α n ], que es lo que se quiere probar. Resta mostrar la existencia de la subálgebra B con las propiedades requeridas y para ésto observe primero que los m generadores α i de A (imágenes de las x i en A) no pueden ser algebraicamente independientes porque m > n y grtr K A = n. Así, existe una relación no trivial de dependencia algebraica entre ellas: (1) f (α 1,...,α m ) = 0

78 68 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros es decir, con f (x 1,...,x m ) p {0}. Para abreviar la notación consideremos multiíndices ν = (r 1,...,r m ) N m (pensamos que 0 N) y escribamos X ν := x r 1 1 x r m. Así podemos escribir el polinomio f anterior como (2) f (X) = ν N m a ν X ν p {0}. La idea ahora es hacer un cambio de variables (3) y i = x i x b i m 1 i m 1 donde notamos que K[x 1,...,x m ] = K[y 1,...,y m 1,x m ] de tal forma que al substituir (3) en (2) se obtenga un polinomio de la forma (4) f (X) = ax e m + q 1 (Y )x e 1 m + + q e (Y ) con a K, e 1 y q j (Y ) K[y 1,...,y m 1 ]. Para darnos una idea de lo que hay que hacer, desarrollemos los monomios que se obtienen al substituir (3) en (2), para ν = (i 1,...,i m ) y β = (b 1,...,b m 1,1): a ν X ν = a ν x i 1 1 x i 2 2 x i m 1 m 1 xi m m = a ν (y 1 + x b 1 m ) i 1 (y 2 + x b 2 m ) i2 (y m 1 + x b m 1 m ) i m 1 x i m = a ν x i 1b 1 +i 2 b 2 + +i m 1 b m 1 +i m m + términos que mezclan xm j y los y i = a ν x ν β m + términos que mezclan x j m y polinomios q(y 1,...,y m 1 ) donde hemos usado el producto escalar ν β = (i 1,...,i m 1,i m ) (b 1,...,b m 1,1) = i 1 b 1 + i 2 b i m 1 b m 1 + i m. Como lo anterior sucede para cada monomio de (2), para obtener (4) debemos mostrar que se puede elegir el vector (multi-índice) β = (b 1,...,b m 1,1) para el cambio de variables (3) de tal manera que exista un multi-índice ν 0 en (2) tal que el producto escalar ν 0 β sea estrictamente mayor que los otros ν β. De esta manera se obtendrá (4) como se desea. Para hacer lo anterior, escojamos un entero b > 1 que sea mayor que todas las componentes de los vectores ν = (i 1,...,i m ) que ocurren en (2), i.e., con a ν 0. Así, todas los componentes i j de los vectores ν satisfacen que 0 i j b 1, es decir, los vectores ν están en el cubo [0,b 1] m (donde sólo consideramos puntos con coordenadas enteras, i.e, [0,b 1] m = [0,b 1] m Z m. Ordenemos lexicográficamente los vectores ν de [0,b 1] m y considere el vector β = (b m 1,b m 2,...,b,1) N m y la función ϕ m : [0,b 1] m [0,b m 1] dada por ϕ m (ν) := ν β = i 1 b m 1 + i 2 b m i m 1 b + i m. Note que como cada i j < b, la imagen de ϕ m está en el codominio indicado. Afirmación: La función ϕ m es biyectiva y preserva el orden.

79 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 69 Aceptando por un momento la afirmación anterior, se sigue que existe un vector ν 0 tal que a ν0 0 y es el mayor ν tal que a ν 0. Por la biyección que preserva el orden ϕ m, el producto escalar satisface que ν 0 β > ν β para todo ν ν 0 tal que a ν 0. Se sigue que el polinomio f de (2), usando el cambio de variable (3) es de la forma (4) deseada. Note que si ϑ i = α i α b i m, por (1) se sigue que α m es raíz del polinomio f (ϑ 1 + x b 1 m,...,ϑ m 1 + x b m 1 m,x m ) K[ϑ 1,...,ϑ m 1 ][x m ] que tiene la forma (4). Dividiendo este polinomio por el coeficiente a de x m se obtiene un polinomio mónico el cual muestra a α m como un entero sobre el anillo K[ϑ 1,...,ϑ m 1 ], y claramente los α 1,...,α m 1 también son enteros sobre K[ϑ 1,...,ϑ m 1 ] porque α i = ϑ i + α b i m y los términos del lado derecho son enteros sobre K[ϑ 1,...,ϑ m 1 ]. Se sigue que A = K[α 1,...,α m ] es entera sobre B := K[ϑ 1,...,ϑ m 1 ], como se quería. Resta probar la afirmación usada en la parte final de la demostración del lema de normalización de Noether: Demostración. Note primero que la función está dada como un producto escalar ϕ m (i 1,...,i m ) = ϕ m : [0,b 1] m [0,b m 1] m j=1 i j b m j = (i 1,...,i m ) (b m 1,...,b 1,1). Demostraremos que ϕ m es biyectiva y preserva el orden por inducción sobre m. Si m = 1, ϕ 1 : [0,b 1] 1 [0,b 1 1] es la identidad ϕ 1 (i 1 ) = i 1 b 0 = i 1. (i) Supongamos ahora que la afirmación es válida para m y sea ϕ m+1 : [0,b 1] m+1 [0,b m+1 1]. Para ν = (i 1,...,i m,i m+1 ) [0,b 1] m+1 considere su proyección ν = (i 1,...,i m ) [0,b 1] m y observe que la función [0,b 1] m+1 [0,b 1] m [0,b 1] dada por ν (ν,i m+1 ) es una biyección que preserva los órdenes lexicográficos. Note ahora que ϕ m+1 (ν) = (i 1,...,i m,i m+1 ) (b m,b m 1,...,b,1) = i 1 b m + + i m b + i m+1 = b(i 1 b m i m 1 b + i m ) + i m+1 = bϕ m (ν) + i m+1.

80 70 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros (ii) Observamos primero que ϕ m+1 tiene el codominio indicado ya que, por hipótesis de inducción ϕ m (ν) b m 1 y así, por la igualdad de (i), ϕ m+1 (ν) = bϕ m (ν) + i m+1 b(b m 1) + i m+1 b m+1 b + i m+1 b m+1 b + b 1 ya que i m+1 b 1 = b m+1 1. (iii) Probaremos ahora que ν < ν en [0,b 1] m+1 implica que ϕ m+1 (ν) < ϕ m+1 (ν ). En efecto, ν < ν quiere decir que ν < ν ó ν = ν e i m+1 = i m+1. En el primer caso la hipótesis de inducción implica que ϕ m (ν) < ϕ m (ν ) y así ϕ m (ν ) ϕ m (ν)+1 por lo que ϕ m+1 (ν ) = bϕ m (ν ) + i m+1 b ( ϕ m (ν) + 1 ) + i m+1 = bϕ m (ν) + b + i m+1 > bϕ m (ν) + i m+1 ya que i m+1 b 1 < b = ϕ m+1 (ν), es decir, ϕ m+1 (ν ) > ϕ m+1 (ν), como se quería. En el segundo caso, ν = ν e i m+1 < i m+1, y se tiene que ϕ m+1 (ν ) = bϕ m (ν ) + i m+1 = bϕ m (ν) + i m+1 < bϕ(ν) + i m+1 = ϕ m+1 (ν), como se quería. Finalmente, observe que como ϕ m preserva el orden, entonces ϕ m es inyectiva, y como el cardinal de [0,b 1] m es b m que es igual al cardinal de [0,b m 1], se sigue que ϕ m es biyectiva, como se quería. Para demostrar el teorema de los ceros de Hilbert, necesitaremos un resultado de Zariski que es consecuencia del lema siguiente: Lema 3.20 Sean K L anillos tales que L es entero sobre K. Si L es un campo entonces K es un campo. Demostración. Mostraremos que todo elemento a 0 de K tiene inverso multiplicativo. Como 0 a K L y L es campo, entonces 1/a L y como L es entero sobre K entonces para 1/a existe un polinomio mónico tal que f (1/a) = 0, i.e., f (x) = x n + b n 1 x n b 1 x + b 0 K[x] y multiplicando por a n 1 obtenemos que 1 a n + b n 1 a n b 1 a + b 0 = 0

81 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 71 y así K es un campo. 1 a = b n 1 ab n 2 a n 1 b 1 K Corolario 3.21 (Lema de Zariski) Si K L son campos con L de tipo finito, entonces L/K es una extensión algebraica y por lo tanto L/K es una extensión finita. Demostración. Sea n = grtr K L. Por el lema de normalización de Noether existen α 1,...,α n L algebraicamente independientes sobre K y tales que L es entera sobre K[α 1,...,α n ]. Por el lema anterior se sigue que K[α 1,...,α n ] es un campo. Ahora, como las α i son algebraicamente independientes sobre K entonces K[α 1,...,α n ] es un anillo de polinomios, y como es un campo se debe entonces tener que n = 0 y por lo tanto L/K es algebraica. Teorema 3.22 (Teorema de los ceros de Hilbert) Si K es un campo algebraicamente cerrado, entonces: (1) Los ideales máximos del anillo K[x 1,...,x n ] son de la forma con los a i K. m = x 1 a 1,...,x n a n (2) Si I K[x 1,...,x n ] es un ideal, entonces V(I) /0. (3) Para todo ideal I K[x 1,...,x n ] se tiene que I(V(I)) = I. Demostración. Para la parte (2) podemos suponer que I es máximo, ya que de lo contrario tomando m máximo tal que I m, como V(m) V(I), si probamos que V(m) /0 entonces V(I) /0. Ahora, para la parte (1), claramente el ideal x 1 a 1,...,x n a n es máximo porque el cociente K[x 1,...,x n ]/ x 1 a 1,...,x n a n K. Por otra parte, si m es máximo, el cociente K[x 1,...,x n ]/m es un campo extensión de K: K K[x 1,...,x n ] K[x 1,...,x n ]/m =: L donde L es de tipo finito sobre K y así, por el corolario anterior, L/K es algebraica y como K es algebraicamente cerrado entonces K = L = K[x 1,...,x n ]/m. Se sigue que, para todo 1 i n y para x i + m L existe a i K tal que x i + m = a i, i.e., x i a i m y por lo tanto x 1 a 1,...,x n a n m y como el ideal x 1 a 1,...,x n a n es máximo se sigue que y por lo tanto m = x 1 a 1,...,x n a n V(m) = V x 1 a 1,...,x n a n = {(a 1,...,a n )} = /0.

82 72 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros Lo anterior demuestra las primeras dos partes del teorema. Para (3), observe primero que I IV(I), ya que si f I entonces f m I para algún m 1 y por lo tanto si P V(I), se debe tener que 0 = f m (P) = f (P) m y así f (P) = 0, i.e., f IV(I). Recíprocamente, si f I, como I = I p p, con los p primos, entonces f I quiere decir que existe un primo p tal que I p pero f p. Sea ˆf la clase de f en A = K[x 1,...,x n ]/p y considere la localización A ˆf y note que este anillo no es cero porque ˆf no es nilpotente. Sea m un ideal máximo de A ˆf. Note que como K[x 1,...,x n ] es una K-álgebra de tipo finito, entonces A y A ˆf también lo son. Además se tiene una extensión de campos K K[x 1,...,x n ] A A ˆf A ˆf /m donde A ˆf /m es de tipo finito sobre K. Por 3.18 la extensión es algebraica y como K es algebraicamente cerrado, entonces K = A ˆf /m y las imágenes t i A ˆf /m = K de las x i K[x 1,...,x n ] definen el punto P = (t 1,...,t n ) K n y se tiene que: (i) P V(I), ya que para todo g I, como I p, entonces g se anula en P porque las t i son imágenes de las x i pasando al cociente por m p. (ii) f (P) 0 ya que por la elección de p se tiene que f p. Claramente (i) y (ii) implican que f IV(I). Otra demostración del lema de normalización de Noether. En geometría algebraica es importante tener otra demostración del lema de normalización de Noether donde el cambio de variables y i = x i x b i m sea lineal. Esto es posible en el caso cuando el campo K es infinito, que es lo que se tiene en geometría algebraica donde K es algebraicamente cerrado. Para poder demostrar lo anterior, necesitaremos usar que si un polinomio f K[x 1,...,x n ] se anula en todo K n, entonces f = 0 es el polinomio cero. Para un campo finito K = F q lo anterior no es cierto, por ejemplo el polinomio f (x) = x q x F q [x] se anula en todo F q (por el teorema pequeño de Fermat) pero no es el polinomio cero. Lema 3.23 Sea K un campo infinito. Si 0 f K[x 1,...,x n ], entonces, V( f ) K n. Demostración. Inducción sobre n 1. El caso n = 1 es porque si f K[x] no es cero, el número de raíces de f es que su grado, y K es infinito. Supongamos ahora que el lema es válido para n 1 variables y sea 0 f K[x 1,...,x n ]. Observe primero que K n 1 K n identificando (α 1,...,α n 1 ) K n 1 con (α 1,...,α n 1,0) K n. Factorizando las potencias x i n en los monomios de f, escribamos ( ) f = a k (x 1,...,x n 1 )x k n + y note que si no aparece la variable x n en f, entonces f K[x 1,...,x n 1 ] y por hipótesis de inducción existe un punto (α 1,...,α n 1,0) K n 1 K n tal que f no se anula en ese punto. Podemos entonces suponer que x n aparece en f y que a k (x 1,...,x n 1 ) 0 (no es el polinomio cero). Entonces, por hipótesis de inducción

83 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 73 existe un punto (α 1,...,α n 1 ) K n 1 tal que a k (α 1,...,α n 1 ) 0. Substituyendo el punto (α 1,...,α n 1 ) en todos los coeficientes a i en ( ) se obtiene el polinomio en una variable: f = a k (α 1,...,α n 1 )x k n + K[x n ] donde el coeficiente a k (α 1,...,α n 1 ) 0 y por lo tanto f tiene gr( f ) raíces, i.e., no se puede anular en todo K, i.e., existe α n K tal que 0 f (α n ) = f (α 1,...,α n 1,α n ), i.e., no se anula en todo K n. Lema 3.24 Si K es un campo infinito y f K[x 1,...,x n ] es un polinomio no nulo de grado d, entonces existe un cambio de variables lineal x i = x i a i x n, para 1 i n 1, y con a i K, tales que el polinomio f (x 1 + a 1 x n,...,x n 1 + a n 1 x n,x n ) K[x 1,...,x n 1,x n ] tiene un término de la forma cx d n, con c K. Demostración. Escribamos x i = x i a i x n, para alguna elección de a i K, 1 i n 1. Sea f d la componente homogénea de f de grado d y escribamos f = f d + g, con g de grado n 1. Entonces, f (x 1 + a 1 x n,...,x n 1 + a n 1 x n,x n ) = f d (a 1,...,a n 1,1)x d n + términos de grado menor en x n ya que cada monomio de grado d en f d es de la forma ax e 1 1 xe n n con e i = d, y al substituir x i por x i, 1 i n 1 el monomio queda de la forma a((x 1 + a 1 x n ) e1 (x n 1 + a n 1 x n ) e n 1 x e n n donde al expandir los binomios notamos que al juntar los términos de mayor grado en x n queda a(a e 1 1 xe 1 n a e n 1 n 1 xe n 1 n x e n n ) = a(a e 1 1 ae n 1 n 1 1)xe n n = m d (a 1,...,a n 1,1)xn d porque e i = d, de donde se sigue la afirmación con f d = m d. Finalmente, notamos ahora que f d (x 1,...,x n 1,1) es un polinomio en x 1,..., x n 1 que no es nulo, porque de lo contrario f no tendría grado d; se sigue que V( f d ) K n por el lema anterior. Así, existen a 1,...,a n 1 K tales que f d (a 1,...,a n 1,1) 0 y poniendo c = f d (a 1,...,a n 1,1) se sigue la conclusión del lema. Los teoremas de subida y bajada de Cohen-Seidenberg. Si A B son anillos con B entero sobre A, hay una relación entre las cadenas de ideales de A y las de B, los teoremas de subida y bajada de Cohen-Seidenberg que a continuación probaremos. En su demostración usaremos el lema de Krull siguiente: Lema 3.25 (Krull) Sean I A un ideal y S A un subconjunto multiplicativo tal que S I = /0. Entonces, el conjunto M = {J A : J es un ideal tal que I J y J S = /0}

84 74 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros tiene un elemento máximo y éste es un ideal primo. Demostración. Sea C = {J λ } λ Λ una cadena en M y sea J := λ Λ J λ. Entonces, J es un ideal de A, I J y J S = /0. Por el lema de Zorn M tiene un elemento máximo, digamos p. Supongamos ahora que ab p y que a,b A p. Como a a y b b, entonces p a + p y p b + p y así, por la maximalidad de p se debe tener que ( a + p) S /0 y ( b + p) S /0. Por lo tanto, existen p, p p y r,r A tales que y consecuentemente ra + p S y r b + p S (ra + p)(r b + p ) = rr ab + rap + r bp + pp p S (porque en el lado derecho ab p y los otros sumandos tienen un factor p o p de p), pero lo anterior es una contradicción con el hecho de que p S = /0. Se sigue que p es primo. NOTA. Si S = {1}, el lema anterior muestra que todo ideal propio I (lo cual es lo que dice I S = I {1} = /0) está contenido en un ideal máximo. Lema 3.26 Sean A B anillos con B entero sobre A. Sea J B un ideal e I = A J. Entonces, (1) B/J es entero sobre A/I (2) Si J contiene un elemento que no es divisor propio de cero, entonces I 0. Demostración. Claramente A/I es un subanillo de B/J y si b+j A/J, como b B es entero sobre A, entonces satisface una ecuación polinomial de la forma b n + a n 1 b n a 1 b + a 0 = 0, con los a i A. Reduciendo módulo J se obtiene que (b + J) n + (a n 1 + I)(b + J) n (a 1 + I)(b + J) + (a 0 + I) = 0 que muestra que b + J es entero sobre A/I. Para la parte (2), si 0 b J no es divisor de cero y satisface la ecuación de dependencia entera b n + a n 1 b n a 1 b + a 0 = 0, con los a i A, podemos asumir que a 0 0 ya que si no fuera así, factorizando a b lo podemos cancelar porque no es divisor de cero y obtenemos de esta manera una ecuación de grado menor. Se sigue que 0 a 0 J A = I y por lo tanto I 0. Lema 3.27 Sean A B anillos con B entero sobre A. Entonces, (1) Si I A es un ideal (en particular, I es subanillo de B), entonces IB son los elementos de B que son enteros sobre I.

85 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 75 (2) Para todo ideal primo p A existe un ideal primo P B tal que 1 P A = p. En otras palabras, la función SpecB SpecA dada por P P A es suprayectiva. (3) Si P 1 P 2 son primos de B tales que P 1 A = P 2 A, entonces P 1 = P 2. Demostración. Si α B es entero sobre I, entonces satisface una ecuación α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 = 0 con los a i I. Se sigue que α n = a n 1 α n 1 a 1 α a 0 IB y por lo tanto α IB. Recíprocamente, si α IB, entonces una potencia α m IB y la podemos escribir como α m = n i=1 a ib i con a i I y b i B. Como los b i son enteros sobre A, entonces A[b 1,...,b n ] es un A-módulo finitamente generado y α m = n i=1 a ib i IA[b 1,...,b n ]. Por el ejercicio 22 se sigue que α m es entero sobre I y así satisface una ecuación (α m ) k + a k 1 (α m ) k a 1 (α m ) + a 0 = 0 con los a i I, y por lo tanto α satisface la ecuación α mk + a k 1 α m(k 1) + + a 1 α m + a 0 = 0 con los a i I,, es decir, α es entero sobre I. Para (2), si p es un ideal primo de A, considere el conjunto multiplicativo S = A p. Como pb B y B es entero sobre A, por la parte (1) los elementos α de B que son enteros sobre p son los α pb y así satisfacen una ecuación de la forma α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 = 0 (n > 0, a i p). Si sucediera que α pb S (en particular α A), entonces α n p y como p es primo se tendría que α p, en contradicción con el hecho de que α S = A p. Se sigue que pb S = /0 y así por el lema de Krull 3.25 existe un primo P B tal que pb P y P S = /0, lo cual implica que P A = p, como se quería. Para (3), pongamos p = P 1 A = P 2 A. Por la parte (1) del lema anterior B/P 1 es entero sobre A/p y como P 2 P 1, entonces P 2 /P 1 es un primo de B/P 1 y además (A/p) (P 2 /P 1 ) = ( A/(P 2 A) ) ( ) P 2 /P 1 = 0. Por la parte (2) del lema anterior se debe tener que P 2 /P 1 = 0, ya que B/P 1 es dominio entero. Se sigue que P 1 = P 2. Teorema 3.28 Sean A B anillos con B entero sobre A. Entonces, (1) Si P 0 P 1 P n es una cadena de primos de B y si p i = P i A, entonces p 0 p 1 p n es una cadena de primos de A. (2) (Teorema de subida de Cohen-Seidenberg). Para toda cadena de primos p 0 p 1 p n de A y para cualquier primo P 0 de B arriba de p 0, existe una cadena de primos P 0 P 1 P n de B tales que p i = P i A. (3) (Teorema de bajada de Cohen-Seidenberg). Supongamos además que A y B son dominios enteros con A integralmente cerrado (en su campo de fracciones K). Si p 0 p 1 son primos de A y P 1 es un primo de B arriba de p 1, entonces existe un primo P 0 de B arriba de p 0 y tal que P 0 P 1. Demostración. Claramente los ideales p i están encadenados porque los P i lo están. Que las inclusiones son propias es la parte (3) del lema anterior. Para (2), por 3.27 (2) 1 Se suele decir que arriba de cualquier primo de A hay algún primo de B.

86 76 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros existe P 0 arriba de p 0. Supongamos por inducción que ya se construyó una cadena P 0 P k de primos de B arriba de p 0 p k. Entonces, para p k = P k A y para la extensión de anillos A/p k B/P k, que es entera por 3.26, y para el ideal primo p k+1 /p k de A/p k, por el lema 3.27 (2) existe un primo P k+1 /P k de B/P k arriba de p k+1 /p k y por lo tanto P k+1 es un primo de B arriba de p k+1. Para (3), observe que los conjuntos S 0 = A p 0, S 1 = B P 1 y S = S 0 S 1 = {ab : a S 0,b S 1 } B son multiplicativos y además S i S. Mostraremos que ( ) p 0 B S = /0. Note que una vez probado ( ), por el lema de Krull 3.25, existe un primo P 0 B tal que p 0 B P 0 y P 0 S = /0. Por lo tanto P 0 S 1 = /0 y consecuentemente P 0 P 1 y de P 0 S = /0 se sigue que P 0 A = p 0. La inclusión P 0 P 1 es propia por 3.27(3). Esto prueba la parte (3) y así sólo resta demostrar ( ). Para ésto, supongamos que existe un c p 0 B S. Entonces, c es entero sobre p 0 y así su mónico irreducible Irr(c,K) tiene coeficientes en p 0 : Irr(c,p 0 ) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a i p 0. Ahora, como c S, entonces c = ab con a S 0,b S 1, y el polinomio mónico irreducible de b = c/a es Irr(b,p 0 ) = x n + a n 1 a xn a 1 a n 1 x + a 0 a n y como b es entero sobre A, entonces los coeficientes a i /a n i de este polinomio están en A. Poniendo a i /a n i = ρ i A, se sigue que a i = a n i ρ i con ρ i A, y como a i p 0 y a p 0, entonces ρ i p 0 y por lo tanto b es entero sobre p 0 y así, por 3.27(1) se sigue que b p 0 B P 1, en contradicción con el hecho de que b S 1 = B P 1, y ésto prueba ( ). Propiedades locales. Si A es un anillo arbitrario, al localizarlo en un ideal primo p, el anillo A p es, de cierta forma, más sencillo que el anillo A, por ejemplo A p es un anillo con un único ideal máximo y los ideales de A p se corresponden biyectivamente con los ideales de A contenidos en p. Todo ésto se captura al decir que A p es un anillo local. Muchas de las propiedades del anillo A siguen siendo válidas para sus localizaciones A p. Por ejemplo, si A es un dominio entero, entonces cada A p también es un dominio entero ya que si (a/s)(b/t) = 0 en A p, entonces ab/st = 0 en A p y así existe r A p tal que r(ab) = 0, y como r 0 y A es dominio entero, entonces ab = 0 en A y así a = 0 ó b = 0, por lo que a/s = 0 ó b/t = 0 en A p. En general, si un anillo A tiene una propiedad P y si los localizados A p también tienen la propiedad, uno puede esperar que la demostración sea razonable. Esta expectativa se conoce como el paso de global a local.

87 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 77 Recíprocamente, si cada anillo localizado A p tiene la propiedad P, en general será difícil probar que el anillo A tiene esa misma propiedad. Ésto es lo que se conoce como el paso de local a global. La propiedad P se dice que es una propiedad local del anillo A si y sólo si pasa de local a global y viceversa, para todo ideal primo p de A. Si M es un A-módulo y P es una propiedad de módulos, en forma similar se define el que P sea una propiedad local. Si φ : M N es un A-morfismo y P es una propiedad de morfismos, se dice que P es una propiedad local si y sólo si la satisfacen las localizaciones φ p : M p N p, para todo ideal primo p de A. A continuación probamos algunos ejemplos de propiedades locales. Ser cero es una propiedad local: Proposición 3.29 Sea M un A-módulo. Son equivalentes: (1) M = 0. (2) M p = 0, para todo ideal primo p de A (3) M m = 0, para todo ideal máximo m de A. Demostración. Claramente (1) (2) (3). Para (3) (1), supongamos que M 0 y sea 0 x M. Pongamos I = (0 : x). Entonces, I A porque 1 I ya que x 0. Por lo tanto, existe un ideal máximo m tal que m I. Localizando en m, considere x/1 M m = 0. Entonces, x/1 = 0 y así existe s A m tal que sx = 0 y por lo tanto s (0 : x) = I m, una contradicción porque s m. Ser reducido es una propiedad local: Corolario 3.30 Sea A un anillo. Son equivalentes: (1) A es reducido. (2) A p es reducido, para todo ideal primo p de A. (3) A m es reducido, para todo ideal máximo m de A. Demostración. Recordemos que un anillo es reducido si su único elemento nilpotente es el cero, i.e., si su nilradical nila = 0. Ahora, por el ejercicio 14, localización conmuta con la formación de nilradicales y así nila p = (nila) p. Entonces el corolario de sigue de la proposición anterior aplicada a M = nila. Ser inyectivo, suprayectivo o biyectivo, son propiedades locales: Proposición 3.31 Sea φ : M N un A-morfismo. Son equivalentes: (1) φ es inyectivo (respectivamente, suprayectivo o biyectivo). (2) φ p : M p N p es inyectivo (respectivamente, suprayectivo o biyectivo), para todo ideal primo p de A. (3) φ m : M m N m es inyectivo (respectivamente, suprayectivo o biyectivo), para todo ideal máximo m de A.

88 78 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros Demostración. (1) (2): 0 M φ φ p N exacta implica que 0 M p N p es exacta, porque la localización es un funtor exacto. Como antes, (2) (3) es porque todo máximo es primo. Para (3) (1), sea M := kerφ de tal forma que se tiene φ la sucesión exacta 0 M M N. De nuevo, como localizar es un funtor exacto se sigue que 0 M m φ m M m N m es una sucesión exacta, y como φ m es inyectivo, por hipótesis, se sigue que M m = 0 para todo ideal máximo de A y así, por la proposición anterior, M = 0 y por lo tanto φ es inyectiva. Para el caso de suprayectividad, invierta las flechas anteriores. Ser plano es una propiedad local: Proposición 3.32 Sea M un A-módulo. Son equivalentes: (1) M es plano como A-módulo. (2) M p es plano como A p -módulo, para todo ideal primo p de A. (3) M m es plano como A m -módulo, para todo ideal máximo m de A. Demostración. (1) (2): Supongamos que 0 N N es una sucesión exacta de A p -módulos y tensoremos con M p para formar la sucesión 0 N Ap M p N Ap M p la cual queremos probar que es exacta. Para los módulos en esta sucesión se tienen los isomorfismos N Ap M p N Ap A p A M N A M y similarmente N Ap M p N A M y así la sucesión anterior se puede escribir como 0 N A M N A M, la cual es exacta porque M es plano como A-módulo y la sucesión exacta 0 N N la podemos pensar como de A-módulos, por cambio de anillos usando el morfismo canónico ρ : A A p. Como siempre, (2) (3) es trivial. Para (3) (1), si 0 N φ N es exacta, como localizar es un funtor exacto, entonces para todo ideal máximo m se tiene que 0 N m φ m N m es exacta y así 0 N m φ m id Am M m N m Am M m es exacta porque M m es plano. Por el ejercicio 12 tensorar y localizar conmutan y así la sucesión exacta anterior se puede escribir como la sucesión exacta 0 (N (φ id) m A M) m (N A M) m, lo cual implica que 0 N A M φ id N A M es exacta, por la proposición anterior. Ser integralmente cerrado es una propiedad local: Proposición 3.33 Sea A un dominio entero. Son equivalentes: (1) A es integralmente cerrado. (2) A p es integralmente cerrado, para todo ideal primo p de A. (3) A m es integralmente cerrado, para todo ideal máximo m de A.

89 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 79 Demostración. Sea K el campo de fracciones de A. Claramente, K es el campo de fracciones de A p, para todo ideal primo p de A. Sea A la cerradura entera de A en K y sea f : A A la inclusión. Por el lema siguiente, la cerradura entera de A p en K es (A) p y la inclusión de A p (A) p es la localización f p : A p (A) p. Entonces, A es integralmente cerrado si y sólo si f es un epimorfismo, lo cual por una proposición anterior y las observaciones previas, sucede si y sólo si f p es suprayectiva, para todo ideal primo o máximo de A, i.e., si y sólo si A p es integralmente cerrado. Lema 3.34 Sean A B anillos, A la cerradura entera de A en B y S A un subconjunto multiplicativo. Entonces, S 1 A es la cerradura entera de S 1 A en S 1 B. Demostración. De A A B se sigue que S 1 A S 1 A S 1 B, y por el ejercicio 18, S 1 A es entero sobre S 1 A. Por otro lado, si b/s S 1 B es entero sobre S 1 A, se tiene una ecuación de dependencia entera (b/s) n + (a n 1 /s n 1 )(b/s) n (a 1 /s 1 )(b/s) + a 0 /s 0 = 0 con a i A, s i S. Sea t = s 0 s n 1 S y multipliquemos ambos lados de la ecuación anterior por (st) n para obtener que (bt) n + c n 1 (bt) n c 0 = 0 con los c i A lo cual muestra que bt es entero sobre A y por lo tanto bt A y así b/s = bt/st S 1 A. Ejercicios 3.1. Verifique que la relación usada para definir el anillo de fracciones S 1 A es, en efecto, de equivalencia En la demostración de la parte 3 de 3.7 compruebe que S es un conjunto multiplicativo de A/p y que se tiene el isomorfismo S 1 (A/p) S 1 A/S 1 p Sean A un anillo y S A cualquier subconjunto. Es claro que existen subconjuntos multiplicativos S A que contienen a S, por ejemplo S = A. También, la intersección de subconjuntos multiplicativos es multiplicativo. Entonces, la intersección de todos los subconjuntos multiplicativos de A que contienen a S es un subconjunto multiplicativo de A y se llama el subconjunto multiplicativo generado por S. Es el menor subconjunto multiplicativo de A que contiene a S. (1) Demuestre que el subconjunto multiplicativo generado por S consiste de todos los productos finitos de elementos de S. (2) Sean f : A B un morfismo de anillos, S A, T B subconjuntos multiplicativos tales que f (S) T y ˆf : S 1 A T 1 B el morfismo inducido 3.4. Suponga además que T es igual al subconjunto multiplicativo de B generado por f (S).

90 80 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros Si f es inyectiva demuestre que ˆf lo es también. Si f es suprayectiva demuestre que ˆf lo es también Si S A, es multiplicativo y f : A B es un monomorfismo de anillos tal que f (S) B, demuestre que ˆf en 3.2 también es inyectivo Si S T son subconjuntos multiplicativos de un anillo A, demuestre que existe un único morfismo ϕ : S 1 A T 1 A tal que el diagrama siguiente conmuta A S 1 A ϕ 2 ϕ ϕ 1 T 1 A 3.6. Si (A,m) es un anillo local, demuestre que A A m. Sugerencia: A m = A Localización de módulos. Si M es un A-módulo y S A es un conjunto multiplicativo, como en el ejercicio 1 verifique que se tiene la relación de equivalencia en M S dada por (x,s) (y,t) existe u S tal que u(tx sy) = 0. El conjunto cociente se denota por S 1 M y a la clase de equivalencia de (x,s) se le denota por x/s S 1 M. Compruebe entonces que se tienen bien definidas las operaciones siguientes: (i) Suma: Para x/s,y/t S 1 M, x s + y t tx + sy :=. st (ii) Acción de S 1 A en S 1 M: Para a/s S 1 A y x/s S 1 M, a s x ax := t st. Demuestre que, con las operaciones anteriores, S 1 M es un S 1 A-módulo. Note que, por cambio de anillos (o restricción de escalares) mediante el morfismo canónico ϕ : A S 1 A, se sigue que S 1 M también es un A-módulo. En los casos particulares cuando S = A p, para p un ideal primo, se usará la notación M p = S 1 M. También, cuando S = { f n : n 0}, usaremos la notación M f = S 1 M Si f : M N es un A-morfismo, demuestre que f induce un S 1 A-morfismo S 1 f : S 1 M S 1 N dado por x/s f (x)/s. Si g : N P es otro A-morfismo, demuestre que S 1 (g f ) = S 1 (g) S 1 ( f ). Se sigue que es un funtor covariante. S 1 : A-mód S 1 A-mód

91 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros Demuestre que S 1 es un funtor exacto. Se sigue que, si M M es un submódulo, entonces S 1 M S 1 M es un monomorfismo y por lo tanto S 1 M se puede ver como un submódulo de S 1 M Usando la observación final del ejercicio anterior, si S A es multiplicativo, demuestre que si N,N son submódulos de M, entonces: (i) S 1 conmuta con sumas finitas, i.e., S 1 (N + N ) = S 1 N + S 1 N. (ii) S 1 conmuta con intersecciones finitas, i.e., S 1 (N N ) = S 1 N S 1 N. (iii) S 1 conmuta con cocientes, i.e., S 1 (M/N) S 1 M/S 1 N Si S A es multiplicativo y M es un A-módulo, demuestre existe un único S 1 A-isomorfismo ψ : S 1 A A M S 1 M tal que ψ((a/s) x) = ax/s, para todo a A, s S, x M. Sugerencia: Muestre que S 1 A M S 1 M dada por (a/s,x) ax/s es A-bilineal y use la propiedad universal del producto tensorial para definir unívocamente a ψ. Para la inyectividad, dada una suma finita de elementos del dominio use un denominador común para caracterizar los elementos de S 1 A A M y cuando este elemento va a dar a cero, use la relación de equivalencia que define a S 1 M Si M,N son A-módulos y S A es multiplicativo, demuestre que se tiene un único S 1 A-isomorfismo ψ : S 1 M S 1 A S 1 N tal que ψ((x/s) (y/t)) = (x y)/st. S 1 (M A N) Si S A es multiplicativo, por el ejercicio 10, S 1 conmuta con sumas finitas e intersecciones finitas de ideales. Demuestre que conmuta con productos finitos de ideales y con la formación de radicales, i.e., si I A es un ideal, demuestre que S 1 I = S 1 I Si S A es multiplicativo, demuestre que nil(s 1 A) = S 1 (nila) Si S A es cualquier conjunto multiplicativo, escojamos un conjunto de indeterminadas {x s } s S indexadas por S. Considere el anillo de polinomios A[x s : s S] y el ideal I generado por los polinomios de la forma sx s 1, variando s S. Sea i : A A[x s : s S]/I el morfismo natural. Demuestre que A[x s : s S]/I es naturalmente isomorfo al anillo de fracciones S 1 A. Sugerencia: Vea el lema Un A-módulo M se dice que es fiel si siempre que a M es tal que am = 0 se tiene que a = 0. Si A B son anillos y α B, demuestre que α es entero sobre A si y sólo si existe un A-submódulo fiel M B finitamente generado tal que αm M Si A es un dominio entero integralmente cerrado en su campo de fracciones K y si f (x) A[x] es mónico, demuestre que todo factor mónico de f (x) en K[x] de hecho está en A[x]. Sugerencia: basta considerar factores mónicos irreducibles de f (x).

92 82 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros Si A B son anillos con B entero sobre A y S A es un subconjunto multiplicativo, demuestre que S 1 B es entero sobre S 1 A Demuestre que el lema de Zariski 3.21 se sigue del teorema de los ceros de Hilbert El lema 3.18 se puede mejorar: si K L son dominios enteros tales que L es entero sobre K, demuestre que L es un campo si y sólo si K es un campo Si A B son anillos y B es entero sobre A, demuestre que m B es un ideal máximo si y sólo si m A es máximo Si A B son anillos, I A es un ideal y α B, demuestre que las afirmaciones siguientes son equivalentes: (i) α es entero sobre I. (ii) A[α] es un A-módulo finitamente generado y α IA[α]. (iii) Existe un subanillo A C B tal que α C, C es finitamente generado como A-módulo y α IC Si A B son dominios enteros con campos de fracciones K y L respectivamente. Demuestre que si L/K es algebraica y simple, i.e., existe un elemento primitivo α L tal que L = K(α), entonces existe un elemento primitivo en B Sea K un campo. Demuestre que toda K-álgebra A K[x] es de tipo finito sobre K Si A B son anillos con B entero sobre A, demuestre que la función SpecB SpecA de 3.26 es cerrada Si A es un anillo y G Aut(A) es un subgrupo finito del grupo de automorfismos de A (i.e., el conjunto de isomorfismos de A en A con la composición como operación de grupo), sea A G el subanillo de G-invariantes de A, i.e., el conjunto de puntos fijos de A bajo la acción de G: A G := {a A : σ(a) = a para todo σ G}. (i) Demuestre que A es entero sobre A G. Sugerencia: Si a A, muestre que a es raíz del polinomio σ G (x σ(a)) y que este polinomio es mónico y tiene coeficientes en A G. (ii) Si S A es un subconjunto multiplicativo tal que σs S, para todo σ G, sea S G := S A G. Claramente S G es un subconjunto multiplicativo de A G. Demuestre que la acción de G en A se extiende a una acción G S 1 A S 1 A. (iii) En la situación del inciso anterior, demuestre que (S G ) 1 A G (S 1 A) G. (iv) Si p es un ideal primo de A G y P es el conjunto de primos P de A tales que P A G = p, demuestre que G actúa transitivamente en P. Concluya que P es finito.

93 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 83 (v) Si A es un dominio entero, K es su campo de fracciones y L/K es una extensión finita, normal y separable, sea G = Gal(L/K) el grupo de Galois de L/K y sea B la cerradura entera de A en L. Demuestre que σb = B para todo σ G y que A = B G. (vi) Si A es un dominio entero, K es su campo de fracciones y L/K es una extensión finita, sea B la cerradura entera de A en L. Demuestre que para todo primo p de A, el conjunto de primos P de B tales que P A = p es finito Si I A es un ideal propio, demuestre que S = {1+a : a I} es multiplicativo y que los ideales primos de S 1 A se corresponden biyectivamente con los ideales primos p de A tales que p + I A Si S A es multiplicativo e I A es un ideal tal que I S = /0, demuestre que existe un ideal primo p tal que I p y p S = / Si K es un campo, demuestre que el anillo de series formales en n indeterminadas K[[x 1,...,x n ]] (vea los ejercicios 34 y 35 del capítulo 1) es un anillo local con ideal máximo x 1,...,x n Si A B son anillos con B entero sobre A y para un primo p A sólo hay un primo q B arriba de p, demuestre que B p B q. Sugerencia: B p B A A p es local con ideal máximo q Si f M no es nilpotente, entonces A f 0 y así A f contiene un ideal primo. Concluya que p SpecA p = nila Muestre que ser dominio entero no es una propiedad local. Note que en el texto probamos que se tiene el paso de global a local, así que lo que debe fallar es el paso de local a global Sean A un dominio entero y M un A-módulo. Un elemento x M se dice que es de torsión si (0 : x) 0, i.e., si existe 0 a A tal que ax = 0. (i) Si t(m) := {x M : x es de torsión}, demuestre que t(m) es un submódulo de M. A t(m) se le llama el submódulo de torsión de M. Si t(m) = 0 se dice que M es libre de torsión. Si t(m) = M se dice que M es de torsión. (ii) Demuestre que t(m) es de torsión. (iii) Demuestre que M/t(M) es libre de torsión. (iv) Si φ : M N es un A-morfismo, demuestre que φ(tm) tn. (v) Si 0 M M M es exacta, demuestre que 0 tm tm tm es exacta. (vi) Si K es el campo de fracciones de A y M K A M es el morfismo x 1 x, demuestre que tm es el núcleo del morfismo anterior. (vii) Si S A es multiplicativamente cerrado, demuestre que t(s 1 M) = S 1 (tm) Si A es un dominio entero, demuestre que ser libre de torsión es una propiedad local.

94 84 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros Demuestre que ser iguales es una propiedad local, i.e., si M,N son A-módulos, las afirmaciones siguientes son equivalentes: (i) M = N. (ii) M p = N p, para todo ideal primo p de A. (iii) M m = N m, para todo ideal máximo m de A. Sugerencia: Considere los cocientes (M + N)/N y (M + N)/M Sean M un A-módulo, N M un submódulo y x M un elemento. Demuestre estar en N es una propiedad local, es decir, las afirmaciones siguientes son equivalentes: (i) x N. (ii) x/1 N p, para todo ideal primo p de A. (iii) x/1 N m, para todo ideal máximo m de A. Donde x/1 es la imagen canónica de x en el módulo localizado correspondiente. Sugerencia: Use la negación de la proposición 3.29 aplicada a (N + x )/N Sean M un A-módulo y {x i } i Γ, con x i M. Demuestre generar es una propiedad local, es decir, las afirmaciones siguientes son equivalentes: (i) {x i } i Γ M genera M. (ii) {x i /1} i Γ M p genera M p, para todo ideal primo p de A. (iii) {x i /1} i Γ M m genera M m, para todo ideal máximo m de A. Donde x i /1 es la imagen canónica de x i en el módulo localizado correspondiente Demuestre que ser exacta es una propiedad local, i.e., demuestre que las afirmaciones siguientes son equivalentes: (i) La sucesión M f M g M es exacta. (ii) La sucesión M p f p g p M p M p es exacta para todo ideal primo p de A. (iii) La sucesión M m f m g m M m M m es exacta para todo ideal máximo m de A Una sucesión exacta corta 0 M f M g M 0 h se escinde si existe un A-morfismo h : M M tal que g h = id M. Demuestre que la sucesión exacta corta anterior se escinde si y sólo si el A-morfismo dado por g (α) := g α, es suprayectivo. g : Hom A (M,M) Hom A (M,M ) Un A-módulo M se dice que es finitamente presentado si existe un n N y una sucesión exacta corta de la forma 0 K A n M 0

95 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros 85 con K finitamente generado. Es decir, M es finitamente generado y el núcleo de A n M también es finitamente generado. Dé un ejemplo de un A-módulo finitamente generado que no sea finitamente presentado Sea S A un subconjunto multiplicativo y sean M,N dos A-módulos. Para cada A-morfismo f : M N le hemos asociado el S 1 A-morfismo S 1 f : S 1 M S 1 N dado por S 1 f (x/s) := f (x)/s. Demuestre que la función f S 1 f : Hom A (M,N) Hom S 1 A (S 1 M,S 1 N) es un A-morfismo. Concluya que el A-morfismo anterior induce un S 1 A-morfismo φ : S 1( Hom A (M,N) ) Hom S 1 A (S 1 M,S 1 N) Para φ : S 1( Hom A (M,N) ) Hom S 1 A (S 1 M,S 1 N), demuestre que: (i) (ii) Si M es finitamente generado, entonces φ es inyectivo. Si M es finitamente presentado, entonces φ es un isomorfismo El que una sucesión exacta corta se escinda es una propiedad local cuando el último módulo es finitamente presentado, i.e., si M es un A-módulo finitamente presentado, demuestre que las afirmaciones siguientes son equivalentes: (i) La sucesión exacta corta 0 M f M g M 0 se escinde. f p M p (ii) La sucesión exacta corta 0 M p ideal primo p de A. f m g p M p 0 se escinde, para todo (iii) La sucesión exacta corta 0 M m M m M m 0 se escinde, para todo ideal máximo m de A Un morfismo de anillos f : A B es plano si B es plano como A-módulo. El morfismo f se dice que es fielmente plano si B es fielmente plano como A-módulo. Si (A,m) y (B,n) son anillos locales, un morfismo de anillos f : A B se dice que es un morfismo local si f (m) n. Si f : (A,m) (B,n) es un morfismo local, demuestre que f es plano si y sólo si f es fielmente plano Si M es un A-módulo finitamente generado y M A k(m) = 0 para todo ideal máximo m de A, demuestre que M = 0. Aquí, k(m) := A m /ma m es el campo residual del anillo local A m. Sugerencia: M A k(m) M m /mm m Si f : A B es un morfismo de anillos y M es un B-módulo tal que M A k(p) = 0 para todo ideal primo p de A, demuestre que M = 0. Aquí, k(p) es el campo residual de A p Si (A,m) es un anillo local y M,N son dos A-módulos finitamente generados, demuestre que M A N = 0 si y sólo si M = 0 ó N = 0. Sugerencia: Vea el ejercicio 17 de 1. g m

96 86 3 Localización, finitud y el teorema de los ceros Sea A un anillo. Demuestre que D( f ) = /0 A f = 0 f es nilpotente Sean A un anillo, S A un subconjunto multiplicativo y M un A-módulo. Demuestre que (i) (ii) lima f S 1 A. f S limm A A f S 1 M. f S Si f : A B es un morfismo plano (vea el ejercicio 3.44), demuestre que para todo q SpecB, si p = a f (q) SpecA se tiene que a f q : SpecB q SpecA p es suprayectiva En 3.8 demuestre que las funciones biyectivas correspondientes son homeomorfismos Si f : A B es un morfismo de anillos, S A es multiplicativo, muestre que f (S) B es multiplicativo. Para la función continua a f : SpecB SpecA, identificando SpecS 1 A con su imagen en SpecA (por el ejercicio anterior) y Spec f (S) 1 B con su imagen en SpecB, demuestre que: (i) (ii) a S 1 f : Spec f (S) 1 B SpecS 1 A es la restricción de a f : Spec SpecA. Spec f (S) 1 B = ( a f ) 1 (SpecS 1 A) Sean f : A B un morfismo de anillos, p SpecA, S = A p y f (S) B como en el ejercicio anterior. Sea a f : SpecB SpecA. Demuestre que la fibra ( a f ) 1 (p) de a f en p es homeomorfa al espectro Spec(k(p) A B), donde k(p) = A p /pa p es el campo residual del anillo local A p Sea, p SpecA, ϕ : A A p el morfismo canónico y a ϕ : SpecA p SpecA la función continua correspondiente. Demuestre que la imagen de SpecA p es la intersección de todas las vecindades abiertas de p en SpecA Sean f : A B un morfismo de anillos, I A un ideal y J = f (I)B el ideal generado por su imagen en B. Sea f : A/I B/J inducido por f, i.e., f (a+i) = f (a)+ J. Identificando Spec(A/I) V(I) SpecA y Spec(B/J) V(J) SpecB, demuestre que a f : Spec(B/J) Spec(A/I) es la restricción de a f : SpecB SpecA Sean A B anillos con B entero sobre A y sea a i : SpecB SpecA inducida por la inclusión i : A B. Demuestre que a i se restringe a un homeomorfismo a i : SpecmB SpecmA.

97 Capítulo 4 Anillos noetherianos y artinianos Muchos anillos de importancia, tanto en geometría algebraica como en teoría de números, satisfacen ciertas condiciones de finitud que se suelen expresar mejor, siguiendo a Noether y Artin, en términos de condiciones de cadena en sus ideales. Ejemplos de especial importancia son los anillos de polinomios con coeficientes en un campo K[x 1,...,x n ] y el anillo de enteros Z. Anillos noetherianos. Un anillo A es noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados. Proposición 4.1 Si A es anillo, son equivalentes: (1) A es noetheriano. (2) Toda cadena ascendente de ideales propios I 1 I 2 I n se estaciona, i.e., existe un entero m tal que I m = I m+1 =. (3) Todo conjunto no vacío de ideales propios de A tiene un elemento máximo, i.e., un ideal que no está contenido en ninguno de los ideales de la familia dada. Demostración. (1) (2): Sea I := I j. Como los ideales I j están encadenados, entonces I es un ideal de A y es propio porque los I j lo son. Por hipótesis I es finitamente generado, digamos I = a 1,...,a n, donde notamos que para m suficientemente grande se tiene que a i I m y por lo tanto I I m, i.e., I k = I m para toda k m. (2) (3): Si F es una familia no vacía de ideales propios de A que no contiene un elemento máximo, entonces para cualquier I 1 F existe un I 2 F tal que I 1 I 2. De esta manera se construye una cadena que no se estaciona. (3) (1): Si I A es un ideal propio, sea F la familia de ideales contenidos en I de la forma a 1,...,a m. Por hipótesis esta familia tiene un elemento máximo, digamos a 1,...,a n. Entonces, para todo a I se tiene que a 1,...,a n,a a 1,...,a n, 87

98 88 4 Anillos noetherianos y artinianos y como éste es máximo se sigue que a 1,...,a n,a = a 1,...,a n y por lo tanto a a 1,...,a n y así I = a 1,...,a n. Ejemplo 1. El anillo Z es un DIP y por lo tanto es noetheriano. Todo campo K es noetheriano y el anillo de polinomios K[x 1,...,x n ] también es noetheriano por el teorema siguiente: Teorema 4.2 (Teorema de la base de Hilbert) Si A es un anillo noetheriano, entonces A[x] también lo es. En particular, si K es un campo, entonces el anillo de polinomios K[x 1,...,x n ] es noetheriano. Demostración. La segunda afirmación se sigue de la primera por inducción. Para demostrar la primera afirmación, mostraremos que si A[x] no fuera noetheriano entonces A no lo es. Supongamos entonces que A[x] no es noetheriano y sea I A[x] un ideal que no es finitamente generado. Sea f 1 I de grado mínimo. Escojamos f 2 I f 1 de grado menor (el cual existe porque I no es finitamente generado). Iterando este proceso, escojamos f k+1 I f 1,..., f k de grado menor. Por la elección de los f i, sus grados n i satisfacen que n 1 n 2. Más aún, si a i es el coeficiente de grado de f i, entonces a 1 a 1,a 2 A es una cadena de ideales de A que no se estaciona, ya que si lo hiciera, digamos se tendría una igualdad de la forma a 1,...,a k = a 1,...,a k,a k+1 a k+1 = k i=1 r i a i con los r i A y poniendo g := f k+1 k i=1 r i x n k+1 n i f i I f 1,..., f k este es un polinomio de grado gr(g) < gr( f k+1 ) porque el coeficiente a k+1 de f k+1 se cancela en a k+1 x n k+1 k i=1 r i x n k+1 n i a i x n i = a k+1 x n k+1 k i=1 r i a i x n k+1 = 0 porque k i=1 r ia i = a k+1, lo cual contradice la minimalidad del grado de f k+1. Observación. En el capítulo 1, página 17, se definieron los conjuntos algebraicos afines V(I) K n para I K[x 1,...,x n ] un ideal, con K algebraicamente cerrado. Por el teorema de la base de Hilbert, todos estos ideales son finitamente generados, digamos I = f 1,..., f k con f i I. Se sigue que V(I) = V( f 1 ) V( f k ),

99 4 Anillos noetherianos y artinianos 89 es decir, todos los conjuntos algebraicos afines son la intersección un número finito de hipersuperficies V( f i ) K n (vea el ejemplo 6 del capítulo 1 en la página 18). Dicho en otras palabras, en la definición de los conjuntos algebraicos afines V(I) basta considerar conjuntos finitos de polinomios (que generen el ideal I). Localización preserva la noetherianidad: Proposición 4.3 Si A es noetheriano y S A es multiplicativo, entonces S 1 A también es noetheriano. Demostración. Si J es cualquier ideal de S 1 A, entonces ϕ 1 J A es finitamente generado y por lo tanto S 1 ϕ 1 J también es finitamente generado, pero por 3.7 este último ideal es J. Corolario 4.4 Ser noetheriano es una propiedad local, es decir, para un anillo A las afirmaciones siguientes son equivalentes: (1) A es noetheriano. (2) A p es noetheriano, para todo p SpecA. (3) A m es noetheriano, para todo m SpecmA. Demostración. Se sigue del ejercicio 37 del capítulo 3. Recordemos ahora del capítulo 1, página 18, que si U SpecmK[x 1,...,x n ], entonces I(U) = m U m; en particular para U = SpecmK[x 1,...,x n ] se tiene que I(Specm(K[x 1,...,x n ])) = m SpecmK[x 1,...,x n ] y dejamos como el ejercicio 27 el probar que si K es un campo infinito, entonces I(Specm(K[x 1,...,x n ])) = 0 (note que en particular si K es algebraicamente cerrado, el ejemplo 2 en la página 93 prueba el caso correspondiente). Si A es cualquier anillo, a la intersección de todos los ideales máximos de A se le llama el radical de Jacobson de A y lo denotaremos por J(A). Así, el ejercicio 27 citado anteriormente, pide probar que J(K[x 1,...,x n ]) = 0. Lema 4.5 Si A es un anillo y c A, entonces c J(A) si y sólo si 1 ac A (una unidad) para todo a A. Demostración. Si 1 ac no es una unidad, entonces está contenido en un ideal máximo m de A y como c J(A) m entonces ac m y por lo tanto 1 m, lo cual es imposible. Recíprocamente, si c m para algún ideal máximo, entonces m+ c = 1 y por lo tanto 1 = m + ac para algún m m y c A. Se sigue que 1 ac = m m y por lo tanto no es una unidad. m

100 90 4 Anillos noetherianos y artinianos Teorema 4.6 (Lema de Nakayama) Sean I A un ideal tal que I J(A) y M un A-módulo finitamente generado. (1) Si M = IM, entonces M = 0. (2) Si N es un submódulo de M tal que M = N + IM, entonces M = N. Demostración. (1): Si x 1,...,x n generan M, por hipótesis podemos escribir x i = a i j x j con los a i j I. j Entonces, x 1,...,x n son soluciones del sistema de n ecuaciones en n incógnitas (δ i j a i j )x j = 0 donde δ i j es una delta de Kronecker j y así, por la regla de Cramer det(δ i j a i j ) x i = 0 para toda i. Observe ahora que en la expansión del determinante anterior todos los sumandos tienen un factor en I excepto el término correspondiente a la diagonal que es de la forma (1 a 11 ) (1 a nn ); por lo tanto el determinante anterior se expande como un 1 más una suma de elementos de I, digamos 1+c con c I J(A). Se sigue que d = det(δ i j a i j ) A porque de lo contrario existiría un ideal máximo m tal que d m, y como d = 1 + c con c J(A), entonces c m y consecuentemente 1 m, una contradicción. Por lo tanto, det(δ i j a i j ) A. Así, la igualdad det(δ i j a i j ) x i = 0 implica que x i = 0 para todo i y por lo tanto M = 0. (2): La hipótesis dice que M/N = (N + IM)/N = I(M/N) y así por la parte (1) se sigue que M/N = 0, i.e., M = N. Un caso importante del lema de Nakayama es cuando A es un anillo local, i.e., cuando tiene sólo un ideal máximo m. Observe entonces que todo elemento u A m es una unidad porque de lo contrario estaría contenido en un ideal máximo diferente de m. Se sigue que A m = A. Corolario 4.7 (Lema de Nakayama) Sean (A, m) un anillo local y M un A-módulo finitamente generado. (1) Si M = mm, entonces M = 0. (2) Si N es un submódulo de M tal que M = N + mm, entonces M = N. Observación. Si (A,m) es un anillo local, viendo al ideal m como un A-módulo, para el A-módulo cociente m/m 2, como m anula a m/m 2, la acción A m/m 2 m/m 2 se factoriza a través del epimorfismo canónico al campo residual ρ : A A/m =: k(m), i.e., se tiene un diagrama conmutativo: A m/m 2 ρ id k(m) m/m 2 m/m 2

101 4 Anillos noetherianos y artinianos 91 de tal forma que m/m 2 es un k(m)-espacio vectorial. Corolario 4.8 Sea (A, m) un anillo noetheriano local. Entonces, m es un ideal finitamente generado por los elementos α 1,...,α n si y sólo si sus clases residuales módulo m 2 generan m/m 2 como k(m)-espacio vectorial. En particular, el número mínimo de generadores de m es igual a la dimensión del k(m)-espacio vectorial m/m 2. Demostración. Si α 1,...,α n generan m, claramente sus clases residuales generan el cociente m/m 2. Recíprocamente, si sus clases residuales α i + m 2 generan m/m 2, entonces m = α 1,...,α n + m 2. Como A es noetheriano, entonces m es finitamente generado y así aplicando la segunda parte del lema de Nakayama con M = m y N = α 1,...,α n se sigue que m = α 1,...,α n. Lema 4.9 En un anillo noetheriano todo conjunto de generadores de un ideal contiene un conjunto finito de generadores. Demostración. Si I = A, 1 I se puede escribir como 1 = r 1 a r n a n con los a i en cualquier conjunto de generadores de I. Se sigue que I está generado por a 1,...,a n. Supongamos ahora que I A es un ideal propio y sea Λ un conjunto de generadores de I. Sea F el conjunto de ideales generados por subconjuntos finitos de Λ. Como A es noetheriano F tiene un elemento máximo m y este m debe contener a todos los elementos de Λ (si no fuera así añadiendo cualquier otro elemento de Λ a los generadores de m se obtendría otro ideal mayor que m) y por lo tanto m = I. Teorema 4.10 (Teorema de intersección de Krull) Si A es un anillo noetheriano e I un ideal tal que I J(A), entonces n 1 I n = 0. Demostración. Mostraremos primero que, para cualquier ideal I en un anillo noetheriano (1) I n = I I n. n 1 Note entonces que, en el caso cuando I J(A), por el lema de Nakayama se sigue que n 1 I n = 0, como se quería. Basta entonces probar (1) y para comenzar note que la inclusión es obvia. Para la otra inclusión, sean a 1,...,a r generadores de I. Entonces, I n consiste de las sumas finitas n 1 λ i1 i r a i 1 1 a i r r λ i1 i r A. i 1 + +i r =n En otras palabras, I n consiste de los elementos de la forma g(a 1,...,a r ) para algún polinomio homogéneo g(x 1,...,x r ) A[x 1,...,x r ] de grado n. Denotemos con H m al conjunto de polinomios homogéneos f de grado m tales que f (a 1,...,a r ) n 1 I n y sea J el ideal de A[x 1,...,x r ] generado por m H m. Por el lema anterior existe

102 92 4 Anillos noetherianos y artinianos un conjunto finito { f 1,..., f k } de elementos de m H m que genera a J. Sean d i = gr( f i ) y sea d = máx{d i }. Si b n 1 I n, en particular b I d+1 y por lo tanto b = f (a 1,...,a r ) para algún polinomio homogéneo f de grado d +1. Por definición f H d+1 J = f 1,..., f k y así existen g i A[x 1,...,x r ] tales que f = g 1 f g k f k. Como f y los f i son homogéneos, podemos omitir de cada g i los términos que no sean de grado gr( f ) gr( f i ) = d + 1 d i > 0 y suponer que los g i son homogéneos de grado d +1 d i > 0 y por lo tanto no son constantes. Entonces, g i (a 1,...,a r ) I ya que los a i I y los g i son homogéneos no constantes. Por lo tanto b = f (a 1,...,a r ) = g i (a 1,...,a r ) f i (a 1,...,a r ) I I n i n 1 lo cual demuestra (1), como se quería. Corolario 4.11 Si A es noetheriano e I A es un ideal, entonces I n = {x A : existe a I tal que (1 a)x = 0}. n 1 Demostración. Si M = I n, en la demostración del teorema anterior se mostró que IM = M. Ahora, si S = 1 + I, entonces S es un subconjunto multiplicativo de A y note que para todo a/s en el ideal S 1 I S 1 A (donde a I,s S) se tiene que 1 + a s = s + a s donde s S = 1+I implica que s = 1+a con a I por lo que s+a = 1+(a+a ) 1 + I y así 1 + a/s (S 1 A) y por lo tanto a/s J(S 1 A) por 4.5, es decir, S 1 I J(S 1 A) donde S 1 A es noetheriano por 4.3. Observe ahora que de M = IM se sigue que S 1 M = (S 1 I)(S 1 M). Como S 1 I J(S 1 A), por el lema de Nakayama se sigue que S 1 M = 0. Finalmente, como A es Noetheriano, entonces M es finitamente generado; se sigue que la igualdad S 1 M = 0 es equivalente a que exista s S tal que sm = 0. En efecto, claramente sm = 0 implica que S 1 M = 0. Recíprocamente, si S 1 M = 0, escribamos M = a 1,...,a m ; entonces los a i /1 generan S 1 M como S 1 A-módulo, y como S 1 M = 0 lo anterior quiere decir que a i /1 = 0, i.e., existe s i S tal que s i a i = 0, para toda 1 i m. Poniendo s = s 1 s m S se tiene que sa i = 0 para toda i y por lo tanto sm = 0. Proposición 4.12 Si A es un anillo noetheriano, todo ideal I contiene una potencia de su radical I. En particular, su nilradical es nilpotente. Demostración. Como A es noetheriano, podemos suponer que I está generado por a 1,...,a n. Entonces, para cada i una potencia a r i i I. Por lo tanto, para cada elemento α 1 a α n a n de I (α i A) en la potencia (α 1 a α n a n ) r 1+ +r n

103 4 Anillos noetherianos y artinianos 93 al expandirla cada uno de sus sumandos tiene un factor de la forma a r i i para algún i y por lo tanto está en I. Proposición 4.13 Si K es un campo y A una K-álgebra de tipo finito, entonces, J(A) = 0 = nila. En particular, si A es reducido, entonces J(A) = 0. Demostración. Como nila = p y los máximos son primos, entonces nila J(A). Recíprocamente, si f J(A) queremos mostrar que f es nilpotente. Supongamos que no lo es; entonces A f 0 y así existe un ideal máximo m A f, y como A f A[T ]/ f T 1 por 3.6, entonces A f es una K-álgebra de tipo finito, porque A lo es y consecuentemente A[T ] también lo es. Se sigue que A f /m es una extensión de tipo finito de K y así, por 3.21 es una extensión algebraica. Sea ρ : A A f el morfismo canónico. Entonces ρ induce un monomorfismo A/ρ 1 (m) A f /m, i.e., A/ρ 1 (m) es una K-subálgebra de A f /m. Por 3.20 se sigue que A/ρ 1 (m) es un campo y por lo tanto ρ 1 (m) es un ideal máximo de A. Note ahora que f ρ 1 (m) porque ρ( f ) es una unidad de A f. Finalmente, el hecho de que f no esté en el ideal máximo ρ 1 (m) de A contradice el que f J(A). Se sigue que f es nilpotente, como se quería. Ejemplo 2. Si K es un campo algebraicamente cerrado y p K[x 1,...,x n ] es un ideal primo, el anillo A = K[x 1,...,x n ]/p es una K-álgebra de tipo finito y es un dominio entero (en particular es reducido) y así la proposición anterior dice que J(A) = 0. Proposición 4.14 Si A es noetheriano, m A es máximo y ma m es el ideal máximo del anillo local A m, entonces para todo n 0 la función A/m n A m /(ma m ) n dada por a+m n (a/1)+(ma m ) n es un isomorfismo. Más aún, induce isomorfismos m k /m n (mam ) k /(ma m ) n para toda k < n. Demostración. La segunda afirmación se sigue de la primera aplicando el lema del quinto ya que se tiene el diagrama conmutativo siguiente, para todo k < n: 0 m k /m n A/m n A/m k 0 (ma m ) k /(ma m ) n A m /(ma m ) n A m /(ma m ) k 0 y por lo tanto basta probar la primera afirmación. Sean S = A m y ϕ : A A m el morfismo canónico (que induce la función que queremos probar que es un isomorfismo). Para mostrar que A/m n A m /(ma m ) n es inyectiva, notamos primero que S 1 (m n ) = (ma m ) n y así debemos mostrar que ϕ 1 S 1 (m n ) = m n. Para ésto, si a ϕ 1 S 1 (m n ), entonces ϕ(a) = a/1 S 1 (m n ) y así a/1 = b/s con b m n y s S. Se sigue que tsa m n para algún t S y por lo tanto tsa = 0 en A/m n. Por 0

104 94 4 Anillos noetherianos y artinianos otra parte, el único ideal máximo que contiene a m n es m por 1.9, y por la correspondencia con los ideales del cociente A/m n se sigue éste es un anillo local cuyo único ideal máximo es m/m n, y como t,s S = A m, entonces ts m/m n debe ser una unidad en A/m n, y así la igualdad tsa = 0 implica que a = 0 en A/m n, i.e., a m n. Hemos así mostrado que ϕ 1 S 1 (m n ) m n. La otra inclusión es directa. Resta probar que A/m n A m /(ma m ) n es suprayectiva. Para ésto, sea a/s A m, i.e., a A y s A m. Como antes, el único ideal máximo de A que contiene a m n es m y por lo tanto ningún ideal máximo contiene a s y m n, i.e., s + m n = A. Se sigue que existen x A y b m n tales que sx + b = 1. Como s es invertible en A m /(ma m ) n, entonces a/s es el único elemento de este anillo tal que s(a/s) = a. Como s(ax) = a(1 b) con b m n, entonces ab (ma m ) n por lo que la imagen de ax en A m satisface que s(ax) = a en A m /(ma m ) n y por lo tanto ax/1 = a/s, es decir ϕ(ax) = a/s. Ejemplo 3. Si p Z es primo, entonces Z p /pz p Z/pZ y en general, Z p /p n Z p Z/p n Z. Ideales primarios. Un ideal q de A es primario si es propio y ab q implica que a q o b n q para algún n 1. Equivalentemente, q A es primario si y sólo si todos los divisores de cero de A/q son nilpotentes (ya que si q es primario y si xy = 0 en A/q y si x 0, entonces xy q y x q y como q es primario se tiene que y n q para algún n 1, i.e., y n = 0 y por lo tanto y es nilpotente. El recíproco es similar). Ejemplo 4. Todo ideal primo p de A es primario. Ejemplo 5. En Z los ideales 0 y p n, para p primo, son primarios. En efecto, 0 es primo y así es primario. Ahora, si p > 1 es primo de Z y si xy p n, entonces p n xy y si p n x, entonces algún p k y, 1 k n y así y = p k t por lo que y n = p kn t n, i.e., y n p n. Ejemplo 6. En K[x,y] el ideal q = x 2,y es primario porque en K[x,y]/ x 2,y K[x]/ x 2 (se muere la variable y) los divisores de cero son los múltiplos de x y por lo tanto son nilpotentes porque x 2 = 0 en el cociente. Lema 4.15 Si q es primario, entonces q es un ideal primo. Demostración. Si ab q, entonces (ab) n q para algún n 1 y así a n q ó b mn q. En cualquier caso, a q ó b q. Si q es primario y p = q, diremos que q es p-primario. Ejemplo 7. En Z el ideal 0 es 0-primario, y para p Z primo los ideales p n son p -primarios porque p n = p ya que si a p n, entonces a t p n, i.e,

105 4 Anillos noetherianos y artinianos 95 a t = p n u p y por lo tanto a p. Recíprocamente, si a p, entonces a n p n y así a p n. Mostraremos ahora que estos son todos los ideales primarios de Z. En efecto, si I = a Z es un ideal primario, entonces I = 0 o p. En el primer caso I = 0 ya que Z no tiene nilpotentes. En el segundo caso, a = I I = p por lo que p a, y escribiendo a = p m u con p u, si sucediera que u > 1, entonces existiría otro primo q tal que q u y así a = p m u = p m q n v con p,q v y notamos que I = a q y consecuentemente p = I q = q, i.e., p q por lo que p = q. Se sigue que u = 1 y a = p m, como se quería. Lema 4.16 Sean m un ideal máximo y q un ideal arbitrario. Son equivalentes: (1) q es m-primario. (2) q = m. (3) m es el único primo mínimo que contiene a q. Demostración. Claramente (1) (2) y (2) (3) por definición de radical. Para (3) (1) note que la hipótesis implica que A/q tiene un único ideal primo, a saber, m/q. En efecto, si q /q A/q es primo, entonces q q y así (3) implica que m q y como m es máximo se sigue que q = m. Por lo tanto, nil(a/q) = m/q y así los elementos de m/q son nilpotentes y como A/q es local con ideal máximo m/q, los elementos de A/q fuera de m/q son unidades. Corolario 4.17 Si m es máximo, entonces las potencias m k son m-primarios. Lema 4.18 Si f : A B es un morfismo de anillos y q B es primario, entonces f 1 (q) A es primario. Demostración. Si ab f 1 (q) y a f 1 (q), entonces f (a) f (b) = f (ab) q y como f (a) q se sigue que f (b) n q, i.e., b n f 1 (q), para algún n 1. Lema 4.19 Si q 1,...,q n son p-primarios (para el mismo p), entonces q = q i es p-primario. Demostración. q = q i = q i = p. Ahora, si ab q con b q, entonces ab q i para todo i y existe un j tal que b q j, y como q j es primario se tiene que a t q j para algún t 1 y así a q j = p = q, i.e., a r q, para algún r. Si I es un ideal de A y x A, considere el ideal que traslada x a I (vea el ejercicio 9 de la página 25) (I : x) := {a A : ax I} y note que claramente x I implica que (I : x) = A. Lema 4.20 Sean q un ideal p-primario de A y x A. (1) Si x q, entonces (q : x) es p-primario y así (q : x) = p. (2) Si x p, entonces (q : x) = q.

106 96 4 Anillos noetherianos y artinianos Demostración. (1): Mostraremos primero que (q : x) = p: Si a (q : x), entonces a n (q : x) para algún n 1. Así, a n x q y como x q, entonces a mn q y así a q = p. Recíprocamente, si a p como p = q entonces a t q y así a t (q : x), i.e., a (q : x). Ahora, si ab (q : x) entonces abx q y como q es p-primario se sigue que a n q o bx q. En el primer caso se tiene que a n (q : x) y en el segundo caso se tiene que b (q : x) y por lo tanto (q : x) es primario. Para (2), claramente q (q : x) y para la otra inclusión, si a (q : x) entonces ax q con x p = q, i.e., para todo n 1 se tiene que x n q. Como q es primario se sigue que a q. Descomposición primaria. Una descomposición primaria de un ideal I de A es una expresión de I como intersección finita de ideales primarios: m ( ) I = q i. i=1 Hay ejemplos de ideales que no tienen una tal descomposición primaria. En la sección siguiente veremos que si A es noetheriano todos sus ideales admiten una descomposición primaria. Una descomposición primaria ( ) se dice que es mínima si: (i) Los ideales primos q i = p i son distintos (ii) Ninguno de los q i puede ser omitido de ( ), es decir, para todo i = 1,...,n, q j q i. j i Observación. Si I admite una descomposición primaria ( ), entonces admite una descomposición primaria mínima ya que, por 4.19 podemos combinar ideales primarios con el mismo radical y así (i) se puede tener. Para (ii), note que cualquier q i en ( ) que no satisfaga (ii) puede ser omitido. Los ideales primos p i = q i que ocurren en una descomposición primaria mínima de I se dice que pertenecen o que están asociados a I. Si I es cualquier ideal de A, los ideales primos mínimos de I son los elementos mínimos del conjunto V (I) de ideales primos que contienen a I. Note que si I es un ideal propio, entonces existe un ideal máximo que lo contiene y por lo tanto I tiene ideales primos que lo contienen. Cuando I admite una descomposición primaria sus ideales primos mínimos son los radicales de los ideales primarios de la descomposición de I: Proposición 4.21 Si I = q 1 q n, con los q i primarios y p i = q i, entonces los ideales primos mínimos de I son los elementos mínimos del conjunto {p 1,...,p n }. Demostración. Para comenzar, observe que como p i = q i, entonces q i p i y por lo tanto I = q 1 q n p i y así cada p i contiene a I. Ahora, si p es un primo que contiene a I, entonces p n i=1 q i y por lo tanto

107 4 Anillos noetherianos y artinianos 97 p = n n p qi = p i i=1 i=1 y así p p i para algún i (porque si no fuera así, para cada i existiría un a i p i p y a 1 a n i p i p, una contradicción con el hecho de que p es primo), vea también 1.9. La proposición anterior nos dice que, cuando I admite una descomposición primaria, I tiene un conjunto finito de primos mínimos que lo contienen y por lo tanto su radical I es una intersección finita de primos. El teorema siguiente nos dice que los primos asociados a I están unívocamente determinados por I: Teorema 4.22 (Primer teorema de unicidad) Si I = q 1 q n es una descomposición primaria mínima de I y p i = q i, entonces {p 1,...,p n } = { (I : x) : (I : x) es primo y x varía en A}. En particular, el conjunto {p 1,...,p n } es independiente de la elección de la descomposición primaria de I. Demostración. Para cualquier x A se tiene que (I : x) = ( q i : x ) = (q i : x) y por lo tanto (I : x) = (qi : x) = (q i : x) = x q i p i la última igualdad por Ahora, si (I : x) es primo, la igualdad anterior implica que es igual a uno de los p i ya que, poniendo p := (I : x), la igualdad dice que p p i para todo i y el argumento en paréntesis de la demostración de la proposición 4.21 anterior (vea también 1.9) dice que p p i, para algún i y por lo tanto (I : x) = p = p i. Recíprocamente, para ver que cada p i = q i es de la forma (I : x) observe que para cada p i existe un a i j i q j q i porque la descomposición primaria es mínima. Por el lema 4.20 se sigue que (q i : a i ) = p i y para j i se tiene que a i q j y así (q j : a i ) = A. Por lo tanto (I : ai ) = ( ( ) q j : a i ) = j i q j : a i (qi : a i ) ( ) = j i q j : a i (qi : a i ) = A p i = p i. El asociado de un ideal. Si I es un ideal de A, al conjunto Ass(I) := { (I : x) : (I : x) es primo y x varía en A}

108 98 4 Anillos noetherianos y artinianos se le llama el asociado del ideal I. Así, el primer teorema de unicidad dice que si I admite una descomposición primaria, I = q 1 q n y p i = q i, entonces Ass(I) = {p 1,...,p n } y los ideales primos p i se dice que están asociados al ideal I. Los elementos minimales de Ass(I) se conocen como los primos aislados asociados a I. Los primos asociados que no son aislados se llaman primos encajados. Ejemplo 8. En A = K[x,y], K un campo, para el ideal I = x 2,xy se tiene la descomposición primaria I = x 2,xy = p 1 p 2 2 con p 1 = x, p 2 = x,y porque el ideal p 1 = x es primo (por lo tanto, primario) ya que el cociente K[x,y]/ x K[y] y el ideal p 2 = x,y es máximo, porque K[x,y]/ x,y K, y por lo tanto el ideal p 2 2 = x,y 2 es p 2 -primario. Aquí los primos asociados son p 1 y p 2 y notamos que p 1 p 2 por lo que p 1 es un primo aislado y p 2 es un primo encajado. Note que en este ejemplo I = p 1 p 2 2 = p 1 p 2 2 = p 1 p 2 = p 1 pero I no es un ideal primario porque en el cociente K[x,y]/ x 2,xy se tiene que xy = 0 por lo que y es divisor de cero, pero no es nilpotente. En el ejemplo anterior note que se tiene también otra descomposición primaria diferente I = x 2,xy = x x 2,y, donde x 2,y es x,y -primario por el ejemplo 6. NOTA. Los términos aislado y encajado provienen de la geometría, ya que si I K[x 1,...,x n ], con K algebraicamente cerrado, el ideal I define la variedad afín V(I) K n (véase la página 17 del capítulo 1) y los primos aislados de I corresponden a los puntos genéricos (vea la página 13 del capítulo 1) de las componentes irreducibles de V(I) ya que la cerradura de {p} es toda la componente irreducible correspondiente, y los primos encajados corresponden a subvariedades de estas componentes irreducibles, i.e., variedades encajadas en las componentes irreducibles. En el ejemplo 8 anterior, si K es algebraicamente cerrado, la variedad afín V(I) = V x 2,xy K 2 es la intersección del eje coordenado x (correspondiente a los ceros de x 2 ) y la unión de los dos ejes coordenados x, y (correspondiente a los ceros de xy) por lo que V(I) es el eje x, que es irreducible. De hecho, corresponde al primo aislado x, i.e., V(I) = V x y el primo encajado x,y corresponde al origen {(0,0)} = V x,y encajado en el eje x.

109 4 Anillos noetherianos y artinianos 99 Este ejemplo ilustra la unicidad de los primos asociados a un ideal que admite una descomposición primaria, pero también ilustra la no unicidad de los ideales primarios involucrados en la descomposición. De hecho, lo que el ejemplo muestra adicionalmente es que en las dos descomposiciones siempre aparecen los factores correspondientes a los primos aislados y esto es precisamente lo que nos dirá el segundo teorema de unicidad. Antes de demostrarlo, mostraremos que en un anillo noetheriano todos los ideales tienen una descomposición primaria. Descomposición primaria en anillos noetherianos. Un ideal I de A es irreducible 1 si para cualesquiera ideales J 1,J 2 tales que I = J 1 J 2 se tiene que I = J 1 ó I = J 2. El resultado principal es que en un anillo noetheriano todo ideal admite una descomposición primaria. Teorema 4.23 Sea A un anillo noetheriano. Entonces, (1) Todo ideal irreducible es primario. (2) Todo ideal de A es una intersección finita de ideales irreducibles. Consecuentemente, todo ideal de A es una intersección finita de ideales primarios. Demostración. (1): Si I es irreducible, supongamos que xy I y que y I. Queremos probar que x n I, para algún n. Como A es noetheriano, la cadena de ideales (I : x) (I : x 2 ) se estaciona, i.e., (I : x n ) = (I : x n+1 ) =, para algún n 1. Se sigue que ( ) ( x n + I) ( y + I) = I. En efecto, si a ( x n + I) ( y + I), escribiendo a = x n s + b y a = yt + b, con b,b I, lo segundo implica que ax = xyt +b x I y lo primero implica que x n+1 s = ax bx I. Por lo tanto s (I : x n+1 ) = (I : x n ) y así a = x n s+b I. La otra inclusión es obvia. Ahora, como I es irreducible, la igualdad ( ) junto con la hipótesis de que y I (por lo que ( y + I) I) implican que ( x n + I) = I y por lo tanto x n I, como se quería. Finalmente, si (2) fuera falsa, el conjunto de ideales para los cuales la afirmación (2) es falsa sería no vacío y como A es noetheriano este conjunto tendría un elemento máximo, digamos I. Así, I es reducible y lo podemos escribir como I = J 1 J 2 con I J i. Por la maximalidad de I cada J i es una intersección finita de irreducibles y juntándolas se tiene que I es intersección finita de irreducibles, una contradicción. El segundo teorema de unicidad. Para probar que las intersecciones de ideales aislados asociados a un ideal descomponible no dependen de la descomposición 1 Este concepto coincide con el de espacio irreducible para el caso del subespacio V (I) de SpecA, ya que V (I) = V (J 1 J 2 ) = V (J 1 ) V (J 2 ) y así I es irreducible si y sólo si V (I) es un subespacio irreducible. Vea la página 12 del capítulo 1.

110 100 4 Anillos noetherianos y artinianos primaria del ideal, necesitaremos estudiar primero cómo se comportan los ideales primarios bajo localización. Proposición 4.24 Sean S A un conjunto multiplicativo y q A un ideal p- primario. (1) Si S p /0, entonces S 1 q = S 1 A. (2) Si S p = /0, entonces S 1 q es un ideal S 1 p-primario de S 1 A. Más aún, bajo el morfismo de localización ϕ : A S 1 A, la imagen inversa de S 1 q en A es q. Así, bajo la correspondencia entre ideales de S 1 A e ideales de A inducida por ϕ, ideales primarios de S 1 A corresponden a ideales primarios de A. Demostración. (1): Si s S p, entonces para algún n 1, s n S q ya que p = q. Se sigue que S 1 q = {a/s : a q, s S} contiene a s n /1 que es una unidad de S 1 A y por lo tanto S 1 q = S 1 A. (2): Si S p = /0, entonces para todo s S, as q implica que a q (ya que como s n S entonces s n no puede estar en q para algún n porque lo contrario implicaría que s p, en contradicción con la hipótesis). Por lo tanto, si a/s S 1 A está en S 1 q, entonces a q y como q A, entonces S 1 q S 1 A. Ahora, si (x/s)(y/t) S 1 q y x/s S 1 q, entonces x q y como éste es primario se sigue que y n q, para algún n 1, y por lo tanto (y/t) n = y n /t n S 1 q y así S 1 q es primario. Ahora, como el radical conmuta con localización, entonces S 1 q = S 1 q = S 1 p, y S 1 p es primo porque p lo es. Finalmente, por 4.18, la imagen inversa de un ideal primario es primario. Si I A es un ideal y S A es multiplicativo, a la imagen inversa de S 1 I, bajo el morfismo de localización ϕ : A S 1 A, lo denotaremos por S(I). Proposición 4.25 Sean S A un subconjunto multiplicativo, I A un ideal descomponible e I = n i=1 q i una descomposición primaria mínima de I. Sean p i = qi y supongamos que los q i están numerados de tal forma que S intersecta a p k+1,...,p n y es disjunto con p 1,...,p k. Entonces, k S 1 I = S 1 q i y k S(I) = q i i=1 i=i y éstas son sus descomposiciones primarias mínimas. Demostración. Se tiene ( ) S 1 I = S 1( n ) k q i = S 1 q i, i=1 i=1 la última igualdad por 4.24 ya que si S p i /0 entonces S 1 q i = S 1 A. También, por 4.24, si S p i = /0, entonces los S 1 q i son S 1 p i -primarios. Por otra parte, como los p i son distintos, entonces los S 1 p i, 1 i k, también lo son y así ( ) es una

111 4 Anillos noetherianos y artinianos 101 descomposición primaria mínima por la correspondencia biunívoca de Finalmente, tomando las imágenes inversas, bajo el morfismo de localización, de ambos lados en ( ), obtenemos que S(I) = ϕ 1( ) S 1 I = ϕ 1( k ) k S 1 q i = ϕ 1( S 1 ) k q i = q i i=1 i=1 i=1 por la segunda parte de Un subconjunto Σ Ass(I) se dice que es aislado si siempre que p Ass(I) es tal que p p para algún p Σ, se tiene que p Σ. Por ejemplo, si Σ es un subconjunto de primos aislados de Ass(I), entonces Σ es un conjunto aislado. Observación. (1) Si Σ Ass(I) es aislado, entonces S = A p Σ p es multiplicativamente cerrado. De hecho, la observación es válida para todo subconjunto Σ SpecA. (2) Si Σ Ass(I) es aislado y S = A p Σ p, entonces para todo p Ass(I) se tiene que p Σ p S = /0 p Σ p S /0. La observación (1) es porque si a,b S, entonces a,b p para todo p Σ, y como los p son primos, entonces ab p para todo p Σ y por lo tanto ab S. Para (2), la primera parte es por la definición de S. Para la segunda parte, observe que si p Σ, entonces p p Σ p porque si se tuviera la inclusión entonces se tendría que p p, para algún p Σ por 1.9, y como Σ es aislado ésto último implicaría que p Σ, una contradicción; se sigue que p S /0, por definición de S. Teorema 4.26 (Segundo teorema de unicidad) Sean I A un ideal descomponible e I = n i=1 q i una descomposición primaria mínima. Si Σ = {p i1,...,p ik } Ass(I) es un conjunto aislado, entonces q i1 q ik es independiente de la descomposición primaria mínima de I. Demostración. Si S = A p Σ p, por la observación (2), para todo p Ass(I), p S = /0 si p Σ, y p S /0 si p Σ, y por la proposición anterior S(I) = q i j = q i1 q ik p i j Σ y así q i1 q ik es independiente de la descomposición ya que S(I) sólo depende de Σ Ass(I) y el primer teorema de unicidad dice que los primos de Ass(I) no dependen de la descomposición. Anillos artinianos. Un anillo A es artiniano si toda cadena descendente de ideales de A:

112 102 4 Anillos noetherianos y artinianos I 1 I 2 se estaciona, i.e., existe un n tal que I n = I n+k para toda k 0. Proposición 4.27 Si A es un anillo, son equivalentes: (1) A es artiniano. (2) Todo conjunto no vacío de ideales de A tiene un elemento mínimo, i.e., un ideal que no contiene propiamente otro ideal de la familia. Demostración. Se sigue del lema de Zorn. Vea 4.1. Ejemplo 9. Z es noetheriano pero no es artiniano porque la cadena de ideales a a 2 no se estaciona, si a 0,±1. Similarmente, si K es un campo, el anillo de polinomios K[x] es noetheriano pero no es artiniano. Proposición 4.28 Un anillo artiniano tiene dimensión 2 de Krull cero. En otras palabras, en un anillo artiniano todo ideal primo es máximo. Demostración. Sea p un ideal primo en un anillo artiniano A. Entonces, B = A/p es un dominio entero artiniano. Para cualquier elemento no nulo b B la cadena de ideales b b 2 se estaciona, i.e., b n = b n+1 =, para algún n 1. En particular, b n = b n+1 c para algún c B y n 1. Como b 0 y B es un dominio entero, podemos cancelar b n de la igualdad anterior y obtener que 1 = bc, i.e., b es una unidad y por lo tanto todo elemento distinto de cero de B es invertible y así B es un campo y consecuentemente p es máximo. Corolario 4.29 En un anillo artiniano el nilradical y el radical de Jacobson son iguales. Demostración. J(A) = máximos m = primos p = nila. Proposición 4.30 Un anillo artiniano tiene sólo un número finito de ideales máximos. Demostración. Si F es el conjunto de todas las intersecciones finitas m 1 m r de ideales máximos de un anillo artiniano A, por 4.27 F tiene un elemento mínimo m 1 m n. Por lo tanto, para cualquier ideal máximo m de A se tiene que m es uno de los m i en la intersección anterior porque si no fuera así, como m no puede estar contenido propiamente en ningún m i por maximalidad, entonces existirían a i m i m para cada i, y el elemento a 1 a n m 1 m n pero no estaría en m (porque éste es primo). Así, m m 1 m n m 1 m n, lo cual contradice la minimalidad de este último. 2 En lo que sigue, y hasta antes del capítulo 6 donde se estudia la dimensión de Krull de un anillo arbitrario, sólo consideraremos el caso de dimensión de Krull cero, donde la definición equivale a que todo ideal primo sea máximo.

113 4 Anillos noetherianos y artinianos 103 Proposición 4.31 En un anillo artiniano A su nilradical es nilpotente. Demostración. La cadena de ideales nila nil 2 A se estaciona, i.e., nil n A = nil n+1 A = para algún n 1. Supongamos que nil n A 0. Existen ideales I tales que I nil n A 0, por ejemplo I = nila y así la familia F de tales ideales tiene un elemento mínimo, digamos J. Entonces, existe un a J tal que anil n A 0. Como a J, entonces a J y por la minimalidad de J se debe tener que a = J. Ahora, (anil n A)nil n A = anil 2n A = anil n A 0 y como a es ideal anil n A a, entonces por la minimalidad de J = a se sigue que anil n A = a. Por lo tanto a = ax para algún x nil n A y consecuentemente a = ax = ax 2 = = ax n = = a a x t = a 0 = 0 porque x nil n A nila y así algún x t = 0. Esto contradice la elección de a con anil n A 0. Se sigue que nil n A = 0. Series de composición. Para demostrar el lema 4.36 siguiente, necesitaremos algunos resultados sobre longitud de módulos que introducimos a continuación. Si M es un A-módulo, una cadena de longitud n en M es una sucesión de submódulos de M de la forma ( ) 0 = M 0 M 1 M n = M. Si la cadena es máxima, i.e., ya no se pueden insertar submódulos en ( ) diremos que la cadena ( ) es una serie de composición de longitud n de M. Note que decir que la cadena ( ) es máxima es equivalente a pedir que los cocientes consecutivos M j /M j 1 sean módulos simples (vea el ejercicio 16 en la página 52 del capítulo 2). Ejemplo 10. Si A = K es un campo y M es un K-espacio vectorial de dimensión finita n, una serie de composición de M es una bandera en M, i.e., una cadena de subespacios vectoriales de la forma 0 = M 0 M 1 M n = M donde dimm j = dimm j 1 + 1, por lo que los cocientes M j /M j 1 tienen dimensión 1 y así son simples. Note que la longitud de esta serie de composición es igual a n = dimm. Si un A-módulo M tiene una serie de composición de longitud n, denotaremos con l(m) a la longitud menor de todas las series de composición de M. Así, l(m) n. Si M no tiene una serie de composición pondremos l(m) =. El número l(m) satisface las propiedades siguientes: (i): Si N M, entonces l(n) < l(m). En efecto, si {M i } es una serie de composición ( ) de M de longitud mínima l(m) = n, poniendo N i = N M i observe que N i /N i 1 M i /M i 1 y como los M i /M i 1 son simples entonces N i /N i 1 = M i /M i 1 ó N i = N i 1. En el segundo caso se puede remover al término repetido para al final obtener una serie de composición de N que muestra que l(n) l(m). Ahora, si sucediera que l(n) = l(m) = n, entonces N i /N i 1 = M i /M i 1 para todo i = 1,...,n y por lo tanto N i = M i para todo i, en particular N = M, una contradicción. Se sigue que l(n) < l(m).

114 104 4 Anillos noetherianos y artinianos (ii): Cualquier cadena en M tiene longitud l(m). En efecto, si 0 = M 0 M 1 M k = M es una cadena en M de longitud k, por la observación (i) anterior 0 = l(m 0 ) < l(m 1 ) < < l(m k ) = l(m) donde notamos que hay k enteros entre 0 y l(m k ), i.e., l(m) k. Lema 4.32 Si M tiene una serie de composición de longitud n, entonces todas las series de composición de M tienen la misma longitud n. Más aún, toda cadena en M se puede extender a una serie de composición de M. Demostración. Si una serie de composición de M es de longitud k, por la observación (ii) anterior se tiene que k l(m), y como por definición l(m) k, entonces se tiene la igualdad. Consideremos ahora cualquier cadena en M. Si su longitud es n = l(m), entonces por (ii) es una serie de composición de M. Si su longitud es < l(m), entonces por la primera parte de la proposición no es una serie de composición de M y por lo tanto no es una cadena máxima, i.e., se pueden insertar términos hasta que su longitud sea n = l(m). Si M tiene una serie de composición, a l(m) se le llama la longitud de M y se dice que M es de longitud finita. Proposición 4.33 Un A-módulo M tiene una serie de composición si y sólo si M es noetheriano y artiniano. (Para las definiciones de módulo noetheriano y artiniano, que generalizan las del caso de anillos, vea los ejercicios 4.8 y 4.9). Demostración. Si M tiene una serie de composición, todas las cadenas de M tienen longitud l(m) y así son acotadas y por lo tanto se estacionan. Recíprocamente, construimos una serie de composición de M como sigue: pongamos M 0 = M. Como M 0 es noetheriano, la familia {M M 0 } tiene un elemento máximo M 1 M 0. Repetimos el procedimiento para M 1 y tenemos así una cadena descendente M = M 0 M 1 M 2 y como M es artiniano la cadena descendente anterior se estaciona dando lugar a una cadena de la forma M = M 0 M 1 M 2 M n = 0 que se puede completar a serie de composición de M. Proposición 4.34 La longitud l(m) es una función aditiva en la clase de todos los módulos de longitud finita. f Demostración. Mostraremos que si 0 M M g M 0 es una sucesión exacta corta de A-módulos de longitud finita, entonces l(m) = l(m ) + l(m ). En

115 4 Anillos noetherianos y artinianos 105 efecto, para cualquier serie de composición {M i } 0 i k de M consideremos sus imágenes bajo f notando que M i f (M i ): 0 = f (M 0) f (M 1) f (M k ) = f (M ) M y para cualquier serie de composición {M i } 0 i t de M consideremos sus preimágenes bajo g notando que como M M/M los submódulos M i corresponden (bajo g) a submódulos M i de M que contienen a M y el cero de M corresponde a M : 0 = M M 0 M 1 M t M. Pegamos las dos sucesiones anteriores de submódulos de M para obtener 0 = f (M 0) f (M 1) f (M k ) = f (M ) M = M 0 M 1 M t = M que es una serie de composición de M de longitud k +t, como se quería. Proposición 4.35 Si K es un campo y M es un K-espacio vectorial, son equivalentes: (1) dim K M <. (2) l(m) <. (3) M es noetheriano. (4) M es artiniano. Más aún, si se satisfacen las condiciones anteriores, entonces dim K M = l(m). Demostración. (1) (2): Si dimm = n <, una serie de composición de M es una bandera 0 = M 0 M 1 M n = M por lo que dimm i = i y los cocientes M i /M i 1 de dimensión 1 por lo que l(m) = n = dimm. (2) (3) y (2) (4) se siguen de Para (3) (1), supongamos que (1) es falso. Entonces, existe un número infinito de vectores x 1,x 2,... de M linealmente independientes. Consideremos entonces los subespacios vectoriales M i = x 1,...,x n y note que estos forman una cadena ascendente infinita M 1 M 2 contradiciendo que M es noetheriano. La implicación (4) (1) es similar, sólo considerando los subespacios N i = x i+1,... que forman la cadena descendente infinita N 1 N 2 que contradice que M es artiniano. Lema 4.36 Sea A un anillo en el cual algún producto finito de ideales máximos es cero. Entonces, A es artiniano si y sólo si A es noetheriano.

116 106 4 Anillos noetherianos y artinianos Demostración. Supongamos que m 1 m n = 0 con los m i ideales máximos no necesariamente distintos. Considere la cadena de ideales y los cocientes consecutivos A m 1 m 1 m 2 m 1 m n = 0 M r := m 1 m r 1 /m 1 m r como A-módulos y observe que la acción de A en los M r se factoriza a través del epimorfismo canónico al campo residual ρ : A A/m r =: k(m r ), i.e., se tiene un diagrama conmutativo: A M r M r ρ id k(m r ) M r y los subespacios del espacio vectorial M r están en correspondencia biunívoca con los ideales de A contenidos entre m 1 m r 1 y m 1 m r. Si A es noetheriano (artiniano) entonces M r es noetheriano (artiniano) y por lo tanto es de dimensión finita como k(m r )-espacio vectorial por la proposición anterior, y es noetheriano y artiniano como A-módulo por la correspondencia mencionada arriba. Aplicaciones iteradas del ejercicio 10 a las sucesiones exactas siguientes 0 0 = m 1 m n m 1 m n 1 M n 0 0 m 1 m n 1 M n m 1 m 2 m 1 M m 1 A M 1 0 muestran que si A es artiniano (respectivamente, noetheriano) entonces es noetheriano (respectivamente, artiniano) como A-módulo y por lo tanto como anillo. Teorema 4.37 Un anillo es artiniano si y sólo si es noetheriano de dimensión cero. Demostración. Si A es artiniano, por 4.28, dima = 0. Por 4.30, A tiene un número finito de ideales máximos m 1,...,m n y así m 1 m n m 1 m n = J(A) = nila donde la última igualdad es por 4.29, y por 4.31 una potencia de este producto m 1 m n es cero y así A es noetheriano por el lema anterior. Recíprocamente, si dima = 0 y A es noetheriano entonces el ideal 0 admite una descomposición primaria y así A tiene un número finito de ideales primos mínimos

117 4 Anillos noetherianos y artinianos 107 y éstos son máximos porque dima = 0. Ahora, el nilradical de A es la intersección de estos ideales primos mínimos y así nila es la intersección de un número finito de ideales máximos, y como A es noetheriano, por 4.12, alguna potencia de su nilradical es cero y así podemos aplicar el lema anterior para concluir que A es artiniano. Teorema 4.38 (Teorema de estructura de los anillos artinianos) Todo anillo artiniano A se puede escribir de forma única, como producto directo finito de anillos artinianos locales. Demostración. Si m 1,...,m n son los ideales máximos distintos de A, en la demostración del teorema anterior vimos que algún producto m k 1 mk n = 0. Como se tiene que m k i = m i, entonces para i j los radicales m k i y m k j son coprimos y por lo tanto los ideales m k i y m k j también son coprimos por el ejercicio 5, inciso (ix) del capítulo 1. Del teorema chino del residuo se tiene un isomorfismo A A/m r 1 1 A/m r n n, y cada anillo artiniano A/m r i i es obviamente local porque el único ideal máximo de A que contiene a m r i i es m i por 1.9. Proposición 4.39 Sea (A, m) un anillo artiniano local. Si m es principal, entonces todo ideal de A es principal. De hecho, si m = π e I A es un ideal, entonces I = π r, para algún r 0. Demostración. Por 4.29, nila = J(A) = m y así por 4.31 alguna potencia de m es cero, i.e., m n = π n = 0 para algún n. Sea I 0 un ideal propio de A. Entonces, existe un entero r 0 tal que I m r pero I m r+1 (por ejemplo r = 1 sirve para la primera condición y note que r n porque m n = 0). Por lo tanto, existe un elemento a I tal que a π r pero a π r+1, es decir, a = uπ r para algún u A y la segunda condición implica que u m y por lo tanto u es una unidad de A y así π r = au 1 I por lo que I = π r. Si (A,m) es artiniano local, como nila = J(A) = m, entonces por 4.31 el ideal m es nilpotente y como A es local, entonces todo elemento de A es una unidad o es nilpotente. Ejemplo 11. Si p es primo, el anillo Z/p n es artiniano local con ideal máximo el correspondiente a p. Si n = p e 1 1 pe r r, el teorema anterior dice que es artiniano. Z/n Z/p e 1 1 Z/pe r r Proposición 4.40 Si (A, m) es noetheriano local, entonces se cumple una y sólo una de las afirmaciones siguientes: (1) m n m n+1 para todo n 1.

118 108 4 Anillos noetherianos y artinianos (2) m n = 0 para algún n, y en este caso A es artiniano. Demostración. Si sucediera que m n = m n+1 para algún n, por el lema de Nakayama se sigue que m n = 0 y como A es noetheriano por 4.36 se sigue que A es artiniano. Proposición 4.41 Sea A un anillo noetheriano. Son equivalentes: (1) A es artiniano. (2) SpecA es finito y discreto. (3) SpecA es discreto. Demostración. (1) (2): Por 4.28 y 4.30, SpecA es finito y discreto. (2) (3) es obvio. (3) (1): Como SpecA es discreto, entonces para todo p SpecA, {p} es cerrado y así p es máximo por lo que dima = 0 y así, por 4.37, A es artiniano. Proposición 4.42 Sean K un campo y A una K-álgebra de tipo finito. Son equivalentes: (1) A es artiniana. (2) A es una K-álgebra finita. Demostración. (1) (2): Por el teorema de estructura de anillos artinianos 4.38, el anillo A es un producto directo finito de anillos artinianos locales y si probamos que cada uno de estos es una K-álgebra finita, entonces A también lo es. Supongamos entonces que (A,m) es un anillo artiniano local que es de tipo finito como K-álgebra. Entonces, en K A A/m el campo residual A/m es una extensión finita de K por el teorema de Zariski Como A es artiniana, entonces también es noetheriana y por 4.33 tiene longitud finita como A-módulo y consecuentemente no se puede tener una cadena infinita 0 x 1 x 1,x 2 M con los x i M. Se sigue que M es finitamente generado como A-módulo. (2) (1): Como A es K-álgebra, todo ideal de A es un K-espacio vectorial y por la hipótesis (2) se tiene que dim K A = n <. Entonces los ideales de A son también de dimensión finita como espacios vectoriales sobre K y por lo tanto son artinianos por Ejercicios 4.1. Los ejercicios siguientes son variantes del lema de Nakayama y tendremos ocasión de usar varias de estas versiones. (1) Si M es un A-módulo finitamente generado y M = IM, entonces existe un a A con a 1 (mód I) tal que am = 0.

119 4 Anillos noetherianos y artinianos 109 (2) Si I J(A), entonces todo a A tal que a 1 (mód I) es invertible. (3) Si M es finitamente generado, I J(A) y N M es tal que N/IN M/IM es un isomorfismo, entonces M = N. (4) Si (A,m) es local, M es finitamente generado y si x 1,...,x n M son tales que sus imágenes x 1,...,x n generan M/mM, entonces los x i generan M. (5) Si (A,m) es local y k = A/m es su campo residual, entonces m ( M/mM ) = 0 y así M/mM es un k-espacio vectorial de dimensión finita Si A es un anillo, se dice que A es reducido si su nilradical es cero. Si A es un anillo reducido que tiene sólo un número finito de ideales primos, demuestre que las afirmaciones siguientes son equivalentes: (i) La dimensión de Krull de A es cero. (ii) A es isomorfo a un producto directo de un número finito de campos. Sugerencia: use el teorema chino del residuo Si p es un ideal primo de A y n 1, demuestre que p n = p Demuestre que un anillo local (A,m) de dimensión cero consiste sólo de unidades y elementos nilpotentes Si (A,m) es un anillo local de dimensión cero, demuestre que 0 y 1 son los únicos elementos idempotentes Si I A es un ideal propio, demuestre que I = I si y sólo si I es la intersección de ideales primos Sean K un campo y p K[x 1,...,x n ] un ideal primo. Demuestre que si L es el campo de fracciones del dominio entero K[x 1,...,x n ]/p, entonces grtr K L n Sea M un A-módulo. Demuestre que las propiedades siguientes son equivalentes: (i) Todo submódulo de M es finitamente generado. (ii) Toda cadena ascendente de submódulos de M: N 1 N 2 se estaciona, i.e., existe un n 1 tal que N n = N n+k, para todo k 0. (iii) Toda familia no vacía de submódulos de M tiene un elemento máximo para el orden dado por la inclusión. Un módulo que satisface las condiciones anteriores se dice que es noetheriano Sea M un A-módulo. Demuestre que las propiedades siguientes son equivalentes: (i) Toda cadena descendente de submódulos de M: N 1 N 2

120 110 4 Anillos noetherianos y artinianos se estaciona, i.e., existe un n 1 tal que N n = N n+k, para todo k 0. (ii)toda familia no vacía de submódulos de M tiene un elemento mínimo para el orden dado por la inclusión. Un módulo que satisface las condiciones anteriores se dice que es artiniano Si 0 M M M 0 es una sucesión exacta corta de A-módulos, demuestre que: (i) M es noetheriano si y sólo si M y M lo son. (ii) M es artiniano si y sólo si M y M lo son Si {M i }, 1 i n son A-módulos noetherianos (respectivamente, artinianos), demuestre que su suma directa es noetheriano (respectivamente, artiniano). Sugerencia: por inducción sobre n basta considerar el caso n = Si A es un anillo noetheriano (respectivamente, artiniano) y M es un A-módulo finitamente generado, demuestre que M es noetheriano (respectivamente, artiniano). Sugerencia: M es isomorfo a un cociente de A n Sean K un campo y A una K-álgebra de tipo finito. Si I A es cualquier ideal, demuestre que I = J(I) = m. m máximo I Si A B son anillos con B entero sobre A y B noetheriano, demuestre que sobre cada primo p SpecA hay sólo un número finito de primos P SpecB, es decir, para la función a i : SpecB SpecA inducida por la inclusión i : A B, la fibra ( a i) 1 (p) es finita Si K es un campo, todo K-espacio vectorial de dimensión finita V es obviamente noetheriano. Demuestre que también es artiniano. Por otra parte, todo K- espacio vectorial noetheriano es de dimensión finita. Demuestre que todo K-espacio vectorial artiniano es de dimensión finita Si todos los ideales primos de A son finitamente generados, demuestre que A es noetheriano Si M es un A-módulo noetheriano, demuestre que A/(0 : M) es noetheriano. Aquí (0 : M) se define como para el caso de ideales y es el anulador de M Si A es noetheriano y f : A A es un epimorfismo de anillos, demuestre que es inyectivo Si M,N son A-módulos tales que M + N y M N son finitamente generados, demuestre que M y N también lo son Si M es un A-módulo finitamente generado e I A es un ideal, demuestre que (0 : M/IM) = (0 : M) + I Si f : A B es un morfismo de anillos, demuestre que f (J(A)) J(B).

121 4 Anillos noetherianos y artinianos Un anillo A es semilocal si sólo tiene un número finito de ideales máximos. Si A es semilocal con ideales máximos m 1,...,m n, demuestre que J(A) = m 1 m n = m 1 m n Si A es semilocal y f : A B es un morfismo de anillos, demuestre que f (J(A)) = J(B) Sea An(M) = (0 : M) = {a A : ax = 0 para todo x M} el anulador de M. Si M es un A-módulo finitamente generado y p SpecA, demuestre que M p = 0 si y sólo si p V (AnM). Sugerencia: M finitamente generado implica que An(M p ) = An(M) p Si M es un A-módulo, su soporte es el conjunto suppm = {p SpecA : M p 0}. (i) Si M,N son finitamente generados, demuestre que supp(m A N) = suppm suppn. (ii) Si M es finitamente generado e I A es un ideal, demuestre que supp(m/im) = (suppm) V (I). Sugerencia: M/IM M A (A/I), I = An(A/I) y supp(a/i) = V (I) Si K es un campo infinito, demuestre que I(K n ) = 0, donde para U K n interprete a I(U) como I(U) = { f K[x 1,...,x n ] : f (P) = 0 para todo P U}. Note que cuando K es algebraicamente cerrado el ejemplo 2 de la página 93 demuestra el caso correspondiente Sea M un A-módulo. Demuestre el teorema de Jordan-Hölder: Si {M i } y {M i } son dos series de composición de M, entonces existe una biyección entre la familia de cocientes {M i /M i 1 }y la familia {M i /M i 1 } tal que los cocientes correspondientes son isomorfos Si I A es un ideal que sólamente está contenido en un ideal máximo m, demuestre que A/I es un anillo local con ideal máximo m/i y campo residual isomorfo a A/m. Note que si I = m k con m A cualquier ideal máximo, ésto es lo que usamos en la demostración de Si (A,m) es un anillo local e I A es un ideal propio, demuestre que A/I es local y que el epimorfismo canónico ρ : A A/I es un morfismo local que induce un isomorfismo en los campos residuales correspondientes.

122 112 4 Anillos noetherianos y artinianos Si (A,m) es un anillo local, demuestre que el epimorfismo canónico ϕ : A A m es un isomorfismo local Si p SpecA e I A es un ideal no contenido en p, demuestre que IA p = A p y que (A/I) p = Si f : A B es un morfismo de anillos, q SpecB y p = f 1 (q) SpecA, demuestre que: (i) f (A p) B q. (ii) Por (i) se sigue que f induce f p : A p B q. Demuestre que f p es local Si A es noetheriano e I A es un ideal, demuestre que I n = 0 si y sólo si todos los elementos de 1 + I no son divisores de cero Si A es un dominio entero noetheriano e I A es cualquier ideal, demuestre que I n = 0.

123 Capítulo 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind En teoría de números, el anillo más importante es el anillo de enteros Z, para el cual se tiene el teorema fundamental de la aritmética, a saber, que todo entero no cero ni unidad se puede factorizar en forma única, salvo orden o unidades, como producto de enteros primos. Si K es un campo de números, es decir, si K es una extensión finita de Q, el campo de fracciones de Z, la cerradura entera de Z en K se conoce como el anillo de enteros de K y lo denotaremos por O K. Por 3.17, un elemento α K está en O K si y sólo si su polinomio mónico irreducible Irr(α,K) tiene coeficientes en Z. Existen anillos de enteros O K para los cuales no se tiene un teorema de factorización única en sus elementos que no son cero ni unidades. Sin embargo se tiene el resultado, un tanto más débil pero de mucha importancia, que los ideales propios no nulos de O K se pueden escribir en forma única como producto de ideales primos. Para probar lo anterior, usaremos algunos resultados sobre descomposición primaria en anillos noetherianos que son relevantes en este contexto y comenzamos introduciendo algunos resultados sobre anillos de valuación discreta que nos serán útiles ya que los anillos de valuación discreta son la contraparte local de la clase de anillos a la que pertenecen los anillos de enteros mencionados anteriormente. Anillos de valuación. Si A es un dominio entero y K es su campo de fracciones, se dice que A es un anillo de valuación de K si para cada α K se tiene que α A ó α 1 A. Proposición 5.1 Si A es un anillo de valuación de K, entonces: (1) A es un anillo local. (2) Si B es un anillo tal que A B K, entonces B es anillo de valuación de K. (3) A es integralmente cerrado en su campo de fracciones K. Demostración. (1): Si m = A A, entonces α m si y sólo si α = 0 ó α 1 A. Si a A y α m, entonces aα m ya que si no fuera así entonces (aα) 1 A, i.e., α 1 a 1 = b A por lo que α 1 = ab A, una contradicción. Ahora, si α,β 113

124 114 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind m son no nulos, entonces αβ 1 A ó α 1 β A. Si αβ 1 A, entonces, por lo demostrado antes con a = 1 + αβ 1 A, α + β = (1 + αβ 1 )β Am m y similarmente si α 1 β A. Se sigue que m es un ideal, y es el único ideal máximo porque consiste de las no unidades de A. (2): Se sigue de las definiciones. (3): Si α K es entero sobre A, entonces satisface una ecuación de la forma ( ) α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 = 0 con a j A. Si α A, no hay nada qué probar. Si α A, entonces α 1 A y así α 1 n A y multiplicando ( ) por α 1 n se sigue que por lo que α + a n 1 + a n 2 α a 1 α 2 n + a 0 α 1 n = 0 α = (a n 1 + a n 2 α a 1 α 2 n + a 0 α 1 n ) A, una contradicción. Valuaciones discretas. Anillos de valuación aparecen naturalmente cuando se consideran valores absolutos o valuaciones en un campo. Las valuaciones que nos interesarán son las siguientes. Si K es un campo, una valuación discreta de K es una función suprayectiva v : K Z tal que (i) v(ab) = v(a) + v(b), para a,b K. (ii) v(a + b) mín{v(a),v(b)}. Es conveniente extender v a todo K poniendo v(0) := +, donde el símbolo satisface que, para todo n Z, > n, n + =, + = y n = si n 1. De esta manera, la condición (ii) tiene sentido cuando a + b = 0 y las condiciones (i) y (ii) son válidas para todo a,b K. Ejemplo 1. Si K = Q es el campo de los números racionales y p Z Q es un primo, cada número racional x = a/b 0 se puede escribir de forma única como x = a b = pr a b con r,a,b Z y p a b. Se define entonces v p (x) := r y v p (0) := +. Claramente v p satisface la condición (i) y si x = p r a/b y z = p s c/d con p abcd, entonces x + z = pr ad + p s bc bd

125 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind 115 donde p bd. Ahora, sea p t la mayor potencia de p que divide al numerador. Entonces, t mín{r,s} y v p (x + z) = t mín{r,s} mín{v p (x),v p (z)}. La valuación v p anterior se llama la valuación p-ádica de Q. Ejemplo 2. Este ejemplo es formalmente análogo al anterior. Sea K = F(x) el campo de funciones racionales en una indeterminada x con coeficientes en el campo F. Si π(x) F[x] es un polinomio irreducible dado, entonces todo elemento α 0 de K se puede escribir de manera única como α = π(x) r f (x) g(x) con f (x),g(x) F[x], π f g y r Z. Se define entonces v(α) := r y v(0) :=. Ésta es una valuación en K = F(x). Ejemplo 3. Sea K = F((T )) el campo de series formales de Laurent en una variable T con coeficientes en el campo F. Los elementos de K son de la forma α = n n 0 a n T n con a n F y n,n 0 Z. Si α 0 en K está dado como arriba con n 0 0, se define entonces v(α) = n 0 y v(0) = +, y se verifica fácilmente que ésta es una valuación de K = F((T )). Si K es un campo con una valuación discreta v, diremos que K es un campo valuado discreto. Si v es una valuación en K, convencionalmente lo denotaremos por v : K Z, asumiendo tácitamente que v(0) = +. A continuación listamos algunas propiedades básicas de una valuación. Lema 5.2 Sea K,v un campo valuado discreto. Entonces: (1) v(1) = 0. (2) v( a) = v(a) para todo a K. (3) v(a 1 ) = v(a) para todo a K. (4) Si v(a) v(b), entonces v(a + b) = mín{v(a), v(b)}. Demostración. La partes (1) y (3) son porque v : K Z es un homomorfismo de grupos. Para (2), como 1 = ( 1)( 1) entonces 0 = v(1) = v( 1) + v( 1) en Z y así v( 1) = 0. Se sigue que v( a) = v(( 1)a) = v( 1) + v(a) = v(a). Para (4), supongamos que v(a) < v(b); entonces v(a + b) mín{v(a), v(b)} = v(a) y como a = (a + b) b, entonces v(a) = v((a + b) b) mín{v(a + b),v(b)} = v(a + b) ya que no puede suceder que mín{v(a+b),v(b)} = v(b) porque entonces se tendría que v(a) v(b), en contradicción con la hipótesis de que v(a) < v(b). Se sigue que v(a) v(a + b) v(a), i.e., v(a) = v(a + b).

126 116 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind Lema 5.3 Si K,v es un campo valuado, entonces: (1) El conjunto O v := {a K : v(a) 0} un anillo de valuación de K, y así, por 5.1, es un anillo local con ideal máximo p v := {a K : v(a) > 0}. (2) El grupo de unidades del anillo O v es el núcleo del homomorfismo v : K Z, i.e., O v = {a K : v(a) = 0}. Así, v induce un isomorfismo K /O v Z. Demostración. Claramente 1,0 O v. Ahora, si a,b O v entonces v(a ± b) mín{v(a),v(b)} 0 y así a ± b O v. Similarmente, v(ab) = v(a) + v(b) 0 y así ab O v. O v es un dominio entero porque es subanillo de K. Para ver que es anillo de valuación, si a K y a O v, entonces v(a) < 0 y por lo tanto v(a 1 ) = v(a) > 0 por lo que a 1 O v y así O v es un anillo de valuación. Por 5.1 se sigue que O v es anillo local y su ideal máximo es p v = O v O v y para ver que p v tiene la forma dada en el enunciado basta mostrar que el grupo de unidades del anillo es como en (2), que se demuestra como sigue: si α K es tal que v(α) = 0, sea β K tal que αβ = 1; entonces, 0 = v(1) = v(α) + v(β) = v(β) ya que v(α) = 0. Se sigue que β O v y así α es una unidad de O v. Recíprocamente, si a O v entonces a 1 O v y así v(a 1 ) = v(a) con ambos v(a),v(a 1 ) 0, por lo que v(a) = 0 = v(a 1 ). Si K,v es un campo valuado discreto, el anillo local O v se llama el anillo de la valuación. El ideal p v es el ideal máximo de la valuación v. El grupo O v = O v p v es el grupo de unidades de la valuación. El campo cociente K v = k v := O v /p v es el campo residual de la valuación. Ejemplo 4. Si K = Q y v = v p es la valuación p-ádica, se tiene que (ver el ejemplo 3 del capítulo 3 en la página 59): { a } O v = Z p = b Q : p b { a } p v = pz p = b Q : p b y p a { a } O v = b Q : p b y p a K v = Z p /pz p = F p. Esto se sigue directamente de las definiciones y sólo verificaremos que K = F p. En efecto, la inclusión Z Z p dada por m m/1 es tal que manda al ideal pz dentro del ideal pz p y así induce por paso al cociente el morfismo Z/pZ Z p /pz p, el cual es fácil ver que es un isomorfismo. Si K es un campo con una valuación discreta v : K Z, a cualquier elemento π K tal que v(π) = 1 (el generador del grupo Z) se le llama un elemento primo o parámetro uniformizador de K. Así, en el ejemplo 4 anterior, p es un parámetro uniformizador de la valuación p-ádica v p. Nótese que cualesquiera dos elementos primos de K difieren sólo por una unidad. Si π K es un elemento primo, entonces π p v ya que v(π) = 1 > 0. Más aún, p v es un ideal principal generado por π:

127 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind 117 p v = π = πo v, ya que si a p v sea n = v(a) Z y notemos que v(aπ n ) = v(a)+v(π n ) = n n = 0, y así aπ n O v, digamos aπ n = u O v y por lo tanto a = π n u con u O v. Se sigue que a π y así p v = π es un ideal principal (de hecho, probaremos en 5.5 que O v es un dominio de ideales principales). El lema siguiente recoge lo que hemos probado en estas observaciones: Lema 5.4 Si K,v es un campo valuado discreto y π es un elemento primo de K, entonces todo α K se puede escribir en forma única como con n = v(α) Z y u O v. α = π n u Demostración. Antes del enunciado del lema probamos que todo α K se puede escribir como α = π n u con u O v. Ahora, si sucediera que α = π n u = π m ε con n,m Z y u,ε O v, entonces n = v(α) = v(π m ε) = m y consecuentemente π n u = π n ε, por lo que u = ε. Proposición 5.5 Sean K un campo valuado discreto, O v su anillo de valuación, p v = π su ideal máximo y π un elemento uniformizador. Entonces: (1) El anillo O v es un dominio de ideales principales y de hecho todo ideal no nulo I O v es de la forma I = p n v = π n O v = π n para algún entero n 0. Se sigue que O v es un dominio entero noetheriano local de dimensión 1 1 en el cual todo ideal no nulo es una potencia de su ideal máximo. (2) La intersección de todos los ideales propios no nulos de O v es el ideal 0, es decir, p n v = 0. n 0 (3) Para cada n 0, p n v = {α K : v(α) n} y se tiene la cadena de ideales O v p v p 2 v p 3 v Demostración. Sea 0 I O v un ideal propio. Entonces, el conjunto {v(a) : a I,a 0} N tiene un elemento mínimo, digamos n > 0, n = v(a) con a I {0}. Usando el lema anterior escribamos a = π n u con u O v una unidad. Así, π n = au 1 I y por lo tanto π n I. Ahora, si β I es otro elemento entonces v(β) n por la elección de n = v(a), y así v(β) = n + t con t 0 y por lo tanto β = π n π t ε con ε O v y en consecuencia, β π n, i.e., I π n. Esto prueba la primera parte de (1). Para la segunda parte de (1) observe que los ideales π n sólo son primos si 1 Como en el capítulo anterior, dima = 1 quiere decir que los ideales primos no cero son máximos.

128 118 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind n = 1, por lo que dimo v = 1 ya que 0 es primo. Para (2), si a n 1 p n v entonces a π n para toda n 1 y así a = π n u n con u n O v para todo n 1 y por lo tanto v(a) n para toda n N. Esto sólo es posible si v(a) = +, i.e., si a = 0. La parte (3) es obvia. Anillos de valuación discreta. Un dominio entero A se dice que es un anillo de valuación discreta si para su campo de fracciones K existe una valuación discreta v tal que su anillo de valuación es O v = A. Varias de las propiedades que hemos obtenido de los anillos de valuación discreta de hecho caracterizan a estos anillos, como veremos en el teorema siguiente, después de un lema preliminar: Lema 5.6 Sea (A,m) un dominio noetheriano local de dimensión 1. (1) Si 0 I A es un ideal propio no nulo, entonces I es m-primario y m n I para algún n 1. (2). Para todo n 0, m n m n+1. Demostración. (1): Siendo A noetheriano, I tiene una descomposición primaria y como A es de dimensión 1 sus ideales primos no nulos son máximos, y siendo A local sólo hay un ideal máximo m y así el único primo asociado a I tiene que ser m y por lo tanto I es m-primario. Más aún, como I = m, entonces por 4.3 m n I = m, para algún n 1. Para (2), si m n = m n+1 para algún n, por el lema de Nakayama se sigue que m n = 0 y por lo tanto, si p es cualquier primo de A, entonces m n = 0 p, y como p primo se sigue que m p, pero como m es máximo ésto implica que m = p y consecuentemente m es el único ideal primo de A y así dima = 0, una contradicción. Vea también Teorema 5.7 Sean A un dominio entero con anillo de fracciones K. Son equivalentes: (1) A es un anillo de valuación discreta. (2) A es un anillo noetheriano local de dimensión 1 integralmente cerrado. (3) A es un anillo noetheriano local cuyo ideal máximo m es principal. (4) A es un DIP local tal que todo ideal no nulo de A es de la forma π n, para algún n 0 y algún π A. (5) A es un DFU con un único elemento irreducible π, salvo unidades. (6) A es un anillo noetheriano local de dimensión 1 y si k = A/m es su campo residual, se tiene que dim k (m/m 2 ) = 1. Demostración. (1) (2): Por 5.3 todo anillo de valuación discreta es un anillo de valuación y así por 5.1 es un anillo local integralmente cerrado y por 5.5 es noetheriano de dimensión 1. (2) (3): Como dima = 1, no puede ser un campo y así m 0. Por el lema de Nakayama m m 2 y así existe π m m 2. Mostraremos que π = m. Claramente

129 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind 119 π m y para la otra inclusión, observe primeto que como A es noetheriano entonces π tiene una descomposición primaria y como m es el único ideal primo no nulo de A, porque dima = 1, entonces π = m. Sea n 1 el menor entero tal que m n π ; mostraremos que n = 1. Supongamos que n > 1; entonces m n 1 π y por lo tanto existe x m n 1 π. Se sigue que xm m n π. Sea z = x/π K, el campo de fracciones de A. Entonces, z A porque de lo contrario se tendría que x = zπ π, en contradicción con el hecho de que x π. Mostraremos ahora que z es entero sobre A, y como A es integralmente cerrado esto último implica que z A, una contradicción. Para exhibir una ecuación de dependencia entera para z, note que como xm π, entonces zm A, ya que xm π implica que para todo m m, se tiene que xm π y así xm = πt, para algún t A; se sigue que zm = (x/π)m = πt/π = t A y así zm A y es un ideal de A porque m lo es. Si sucediera que zm = A, existiría un m m tal que zm = 1 y en consecuencia π = π1 = πzm = xm m n m 2, en contradicción con la elección de π m m 2. Se sigue que zm A es un ideal propio y como A es noetheriano, sean m 1,...,m k generadores de m. Entonces, zm j = i a i j m i, con a i j A, lo cual se puede escribir como i (δ i j z a i j )m i = 0. Sea d = det(δ i j z a i j ). Por la regla de Cramer dm i = 0 para todo i, y así dm = 0. Como m 0 se sigue que d = 0 y así det(δ i j z a i j ) = 0 es una ecuación de dependencia entera para z, como se quería. (3) (4): Sea m = π el ideal máximo de A y sea 0 I A cualquier ideal. Queremos mostrar que I es principal. Como A es noetheriano local entonces I m y existe un entero mayor tal que I m n = π (porque si I estuviera contenido en todos los m m, entonces por 5.5, I m m = 0, una contradicción porque I es no nulo). Para la otra inclusión note que m n+1 m n = π n y para x I m n+1 este lo podemos escribir como x = uπ n con u m, y así u es una unidad porque (A,m) es local. Por lo tanto π n = u 1 x I y así π n I, como se quería. (4) (5): Todo DIP es un DFU. Ahora, sea m = π el ideal máximo del DIP local A. Para comenzar, π es irreducible porque si no lo fuera, π = ab con a,b no unidades y así π a b y como a m y b m, entonces π a b π π, i.e., π π 2, i.e., π = π 2 v y así 1 = πv por lo que π sería una unidad, una contradicción. Se sigue que π es irreducible. Por otra parte, si t es otro irreducible, como A es DFU entonces t sería máximo y así t = π por lo que t = π, salvo unidades. (5) (1): Si π es el (único) irreducible de A, el ideal m = π es primo y de hecho es máximo por la unicidad de π. Ahora, dado a A, existe un n 0 tal que π n a pero π n+1 a. Se define entonces v(a) := n y se extiende a todo K mediante v(a/b) = v(a) v(b). Claramente v es una valuación de K con anillo de valuación A. (3) (6): Se sigue de 4.8. Corolario 5.8 Un anillo de valuación A es un anillo de valuación discreta si y sólo si es noetheriano. Demostración. Por el teorema anterior todo anillo de valuación discreta es noetheriano. Recíprocamente, si A es un anillo de valuación noetheriano, dado un ideal no

130 120 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind nulo I de A, poniendo I = a 1,...,a n con un conjunto mínimo de generadores, para los ideales a i y a 1,...,â i,...,a n donde â i quiere decir que se omite ese elemento, por el ejercicio 1 se tiene que a i a 1,...,â i,...,a n ó a 1,...,â i,...,a n a i. El primer caso no se puede dar por la minimalidad en la elección de los generadores de I y el segundo caso implica que a i = I y consecuentemente A es un DIP. En particular, como A es local, su ideal máximo m es principal y así por el teorema anterior A es un anillo de valuación discreta. Corolario 5.9 Si A es un dominio entero noetheriano integralmente cerrado de dimensión 1, entonces para todo ideal primo p A el localizado A p es un anillo de valuación discreta. Demostración. Los ideales primos de A p corresponden a ideales primos de A contenidos en p. Se sigue que dima = 1 si y sólo si dima p = 1, para todo primo p. Por otra parte, A p es un dominio entero noetheriano local integralmente cerrado (porque ser integralmente cerrado es una propiedad local por 3.33). Por lo tanto, el resultado se sigue del teorema anterior. Anillos de Dedekind. Un dominio entero noetheriano, integralmente cerrado y de dimensión 1 (i.e., todo ideal primo no nulo es máximo), se llama un dominio de Dedekind. Así, los dominios de Dedekind son los análogos globales de los dominios de valuación discreta. Ejemplo 5. Todo DIP es un dominio de Dedekind, ya que es un DFU y por lo tanto integralmente cerrado, y en un DFU todo primo no nulo es máximo. Ejemplo 6. El ejemplo más importante es el siguiente: si K es un campo de números, i.e., una extensión finita de Q, a la cerradura entera O K de Z en K se le conoce como el anillo de enteros de K: O K K Z Q Así, O K = {α K : α es entero sobre Z}. Para probar que O K es un anillo de Dedekind, necesitaremos los resultados siguientes. Traza, norma y discriminante de campos de números. Si K/Q es una extensión finita de campos de grado n y α 1,...,α n K es una base de K sobre Q, dado un elemento cualquiera α K se tiene la función Q-lineal α : K K dada por la multiplicación por α. Sea [α] = (a i j ), con a i j Q, la matriz asociada a la transformación lineal anterior en la base considerada. La norma de α es N K/Q (α) = det[α], la traza de α es Tr K/Q (α) = Tr[α]. Estas definiciones son independientes de la base elegida de K/Q (ejercicio 17). Por propiedades de la traza y el determinante es claro que N K/Q : K Q y Tr K/Q : K Q

131 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind 121 son homomorfismos de grupos, multiplicativo para la norma y aditivo para la traza. Lema 5.10 Si K/Q es una extensión finita de grado n, entonces existen exactamente n monomorfismos distintos σ i : K C que fijan a Q. Demostración. Como la extensión es separable, por el teorema del elemento primitivo K = Q(α) y como [K : Q] = n, el mónico irreducible Irr(α,Q) tiene exactamente n raíces distintas, digamos α = α 1,...,α n C. Se tienen así las n funciones σ i : K C dadas por σ i (α) := α i (basta definirlas en α porque todos los elementos de Q(α) son de la forma f (α), con f (x) Q[x] y así σ i ( f (α)) = f (σ i (α)) = f (α i )). Claramente los σ i son monomorfismos, fijan a Q y cualquier otro monomorfismo con esta propiedad está determinado por su valor en α y debe mandar a éste a una raíz de Irr(α,Q), i.e., es uno de los σ i. Observación. Si σ 1,...,σ n son los n monomorfismos de K en C que fijan a Q, 5.10, el ejercicio 18 pide probar que N K/Q (α) = n i=1 σ i (α) y Tr K/Q (α) = Más aún, en el ejercicio 20 se pide probar que si n i=1 ϕ(x) = Irr(α,Q) = x d + a d 1 x d a 1 x + a 0 σ i (α). es el mónico irreducible de α y si α = α 1,...,α n son las raíces de ϕ(x), el coeficiente a d 1 = Tr Q(α)/Q (α) y el término constante es a 0 = ( 1) d N Q(α)/Q (α). Si α 1,...,α n K es un n-ada de elementos de K, su discriminante es disc(α 1,...,α n ) = det ( Tr K/Q (α i α j ). Lema 5.11 α 1,...,α n K es base de K/Q si y sólo si disc(α 1,...,α n ) 0. Demostración. Si sucediera que los α 1,...,α n son linealmente dependientes, entonces existirían a 1,...,a n en Q, no todos cero, tales que i a i α i = 0. Multiplicando esta ecuación por α j y calculando la traza correspondiente obtenemos 0 = Tr ( α j i ) a i α i = a i Tr(α i α j ) i para 1 j n. Esto muestra que la matriz [Tr(α i α j )] es singular, y por lo tanto su determinante es cero. Supongamos ahora que α 1,...,α n es una base de K/Q y que disc(α 1,...,α n ) = 0. Así, 0 = det[tr(α i α j )] por lo que los renglones R i de la matriz [Tr(α i α j )] son linealmente dependientes y por lo tanto existen a i Q no todos cero tales que 0 = i a i R i = a i Tr(α i α j ), i 1 j n. Consideremos ahora un α := i a i α i 0. Entonces, Tr(αα j ) = 0 para cada 1 j n (considerando sólo la j-ésima coordenada de cada renglón). Co-

132 122 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind mo α 1,...,α n son linealmente independientes sobre Q entonces también lo son αα 1,...,αα n ya que α 0, y así Tr(αβ) = 0 para todo β K. Esto implica que Tr(β) = 0 para todo β K (poniendo β = α 1 en la igualdad previa se implica que Tr(1) = 0 y por lo tanto Tr(β) = 0 para todo β K); pero esto es una contradicción ya que K/Q es separable. Proposición 5.12 Si α 1,...,α n y β 1,...,β n son dos bases de K/Q y M = (a i j ), con a i j Q, es la matriz de cambio de base, entonces disc(α 1,...,α n ) = det(a i j ) 2 disc(β 1,...,β n ). Demostración. La matriz M = (a i j ) está dada escribiendo una base en términos de la otra: β j = k a k j α k y así disc(β 1,...,β n ) = ( det(σ i (β j )) ) 2 ( ( n = det a k j σ i (α k ) )) 2 k=1 = ( det[σ i (α k )][a jk ] T) 2 por definición de producto = (det[σ i (α k )]) 2 (det[a jk ]) 2 = disc(α 1,...,α n )det(m) 2. La proposición anterior dice que para cualesquiera dos bases de K/Q sus discriminantes son iguales módulo cuadrados, i.e., son iguales en el grupo cociente Q /(Q ) 2. A la clase lateral K/Q := disc(α 1,...,α n ) Q /(Q ) 2 para cualquier base α 1,...,α n de K/Q, la llamamos el discriminante de la extensión K/Q. Lema 5.13 Si K/Q es una extensión finita de campos, de grado n, y σ 1,...,σ n son los Q-monomorfismos de K en C, y si α 1,...,α n es una base de K sobre Q, entonces Demostración. La igualdad es porque: disc(α 1,...,α n ) = det ( σ i (α j ) ) 2 0. disc(α 1,...,α n ) = det(tr(α i α j )) = det( k σ k (α i α j )) = det( k σ k (α i )σ k (α j )) = det(σ k (α i ))det(σ k (α j )) = det(σ i (α j )) 2. Lema 5.14 Si K/Q es una extensión finita de grado n, entonces todo ideal I O K no nulo contiene una base de K sobre Q. Demostración. Sea α 1,...,α n K una base de K sobre Q. Por 3.15 existe un entero d Z tal que dα 1,...,dα n O K. Escogiendo cualquier 0 a I se tiene que daα 1,...,daα n I y sigue siendo base de K/Q. Observación. Si α O K, entonces su traza y norma también son enteros algebraicos por el ejercicio 18 ya que si σ i, 1 i n, son las n inmersiones de K en C,

133 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind 123 entonces los σ i (α) satisfacen el mismo polinomio mónico con coeficientes enteros que satisface α. Por otra parte, la traza y norma de α están en Q y por lo tanto están en O K Q = Z. En particular, si α 1,...,α n I O K es una base de K/Q como en el lema anterior, entonces su discriminante está en Z y tiene sentido entonces hablar del mínimo de los valores absolutos disc(α 1,...,α n ) de los discriminantes de las bases de K que están en el ideal I. Lema 5.15 Si K/Q es una extensión finita de grado n, I O K un ideal no nulo, α 1,...,α n I una base de K/Q como en el lema 5.14 anterior, y si disc(α 1,...,α n ) es mínimo (como en la observación anterior), entonces I = Zα Zα n. Demostración. Por el lema anterior existe una base α 1,...,α n I de K/Q y supongamos ahora que disc(α 1,...,α n es mínimo. Para α I escribamos α = a 1 α a n α n con a i Q. Mostraremos que todas las a i Z. En efecto, si no fuera así algún a i Z, y renumerando si hiciera falta podemos suponer que a 1 Z. Escribamos a 1 = m + b con m Z y 0 < b < 1. Pongamos β 1 = α mα 1, β 2 = α 2,...,β n = α n. Entonces, β 1,...,β n I es una base de K/Q y como β 1 = α mα 1 = a 1 α a n α n mα 1 = bα 1 + a 2 α a n α n entonces la matriz de cambio de base es b a 2 a n y así, por 5.12, disc(β 1,...,β n ) = b 2 disc(α 1,...,α n ), con b 2 < 1, en contradicción con la minimalidad de disc(α 1,...,α n ). Ejemplo 7. El discriminante de una base de K/Q puede ser negativo, como lo muestra el ejemplo del anillo de enteros gaussianos Z[i] = O Q(i) correspondiente a la extensión cuadrática Q(i)/Q (vea 5.18), donde para la base 1,i Z[i] de Q(i) se tiene que ( ) 2 0 disc(1,i) = det = El ejercicio 22 pide calcular el discriminante de cualquier extensión cuadrática. La norma de un ideal. Sabemos que si 0 a Z, entonces el cociente Z/ a es un anillo finito. Se tiene una generalización de este hecho a los anillos O K : Proposición 5.16 Sean K/Q una extensión finita y 0 I O K un ideal. Entonces, el cociente O K /I es finito. Al cardinal N(I) = O K /I se le llama la norma del ideal I. Demostración. Por el lema 3.26 (2) existe 0 m I Z al cual podemos suponer positivo y así se tienen inclusiones m I O K que inducen un epimorfismo

134 124 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind O K / m O K /I, y por lo tanto basta probar que O K / m es finito. Para probar esto, por 5.15 con I = O K, se tiene que O K = Zα Zα n, y pongamos { } C := a i α i : 0 a i < m, a i Z. i Probaremos que C es un conjunto de representantes de las clases laterales de O K / m. En efecto, sea α = m i α i O K con m i Z, y escribamos m i = mq i + r i con 0 r i < m. Entonces, α = i m i α i = i (mq i α i + r i α i ) r i α i i (mód m ), lo cual implica que toda clase [α] O K /I contiene un representante en C. Esto prueba la finitud requerida. El resultado principal, en este contexto, es: Teorema 5.17 Si K Q es un campo de números, entonces el anillo de enteros O K es un dominio de Dedekind. Demostración. Por el lema anterior O K es noetheriano ya que si I 1 I 2 es cualquier cadena de ideales y si I 1 0, entonces O/I 1 es finito y por lo tanto sólo hay un número finito de ideales de O K que contienen a I 1 y así la cadena se estaciona. También, como Z O K K y O K es la cerradura entera de Z en K, entonces O K es integralmente cerrado en K (ya que si b K es entero sobre O K, entonces b es entero sobre Z por transitividad de la dependencia entera, y así b O K ). Falta únicamente mostrar que todo ideal primo no nulo p O K es máximo, pero ésto se sigue del lema anterior porque O K /p es un dominio entero finito y por lo tanto es un campo y así p es máximo. Un ejemplo: extensiones cuadráticas de Q. Comenzamos describiendo las extensiones cuadráticas, i.e., de grado 2 de Q, para después obtener sus anillos de enteros. Si [K : Q] = 2, entonces K = Q(α) y el mónico irreducible de α es de grado 2, digamos m(x) = x 2 + rx + s con r,s Q. Como α es raíz de m(x), eliminado denominadores de r y s podemos suponer que α es raíz de un polinomio cuadrático f (x) = ax 2 + bx + c con coeficientes en Z; entonces α es de la forma α = b b 2a ± 2 4ac, 2a i.e., poniendo D = b 2 4ac Z, se tiene que K = Q(α) = Q( D) con D Z. Notemos ahora que si D = e 2 d con e,d Z y d libre de cuadrados, entonces K = Q( D) = Q( d). Hemos así probado que toda extensión cuadrática de Q es de la forma K = Q( d) con d Z libre de cuadrados. Se sigue que K = Q( d) = {a + b d : a,b Q, d Z libre de cuadrados}.

135 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind 125 Claramente K/Q es de Galois y como un Q-automorfismo σ : Q( d) Q( d) está determinado por su valor en d y como σ( d) 2 = σ(d) = d, entonces σ( d) es una raíz cuadrada de d, i.e., σ( d) = ± d por lo que los dos elementos del grupo de Galois Gal(Q( d)/q) son la identidad y el automorfismo σ : a+b d a b d (al que podemos llamar la conjugación de Q( d)). El anillo de enteros de una extensión cuadrática. Si α = a + b d K = Q( d), y si m(x) = Irr(α,Q) Q[x] es su mónico irreducible entonces para todo σ Gal(K/Q) se tiene que σ(m(x)) = m(x) por lo que el conjugado σ(α) = σ(a + b d) = a b d también es raíz de m(x). Así las dos raíces de m(x) son a + b d y a b d, por lo que m(x) = (x (a + b d))(x (a b d)) = x 2 (2a)x + (a 2 b 2 d). Esto prueba la primera parte del resultado siguiente que describe explícitamente el anillo de enteros de una extensión cuadrática de Q: Teorema 5.18 Sea K = Q( d) una extensión cuadrática de Q, con d Z libre de cuadrados. (1) α = a + b d K es un entero algebraico si y sólo si 2a Z y a 2 b 2 d Z. (2) Si d 2,3 (mód 4), entonces O K = Z + Z d. (3) Si d 1 (mód 4), entonces O K = Z + Z( 1 + 2)/2. Demostración. Por la parte (1), a+b d O K si y sólo si 2a y a 2 db 2 Z. Ahora, a 2 db 2 Z implica que 4(a 2 db 2 ) Z y como 2a Z entonces 4a 2 Z por lo que 4db 2 Z, i.e., d(2b) 2 Z y como d es libre de cuadrados esto último implica que 2b Z. Escribamos 2a = m Z y 2b = n Z. Entonces, a 2 db 2 Z implica que (m/2) 2 d(n/2) 2 Z por lo que m 2 dn 2 4Z, i.e., m 2 db 2 0 (mód 4). (2): Supongamos ahora que d 2 ó 3 (mód 4). Entonces { m 2 dn 2 m 2 + 2n 2 ya que 2 2 (mód 4) m 2 + n 2 ya que 3 1 (mód 4) y como m 2 dn 2 0 (mód 4), la única posibilidad para que m 2 + 2n 2 0 ó m 2 + n 2 0 es que m 2 0 n 2 (mód 4) (ya que cualquier cuadrado en Z es 0 ó 1 (mód 4)); por lo tanto m y n deben ser ambos pares y como 2a = m y 2b = n entonces a,b deben ser enteros. Esto prueba (2). (3): Si d 1 (mód 4), entonces m 2 dn 2 m 2 n (mód 4). Pero m 2 n 2 0 (mód 4) m 2 n 2 m 2 0 n 2 ó m 2 1 n 2 (por la misma observación entre paréntesis de arriba) m y n son ambos pares ó m y n son ambos impares, i.e., m n (mód 2). Finalmente, como 2a = m y 2b = n, se sigue que y notamos que { 1 } O K = 2 (m + n d) : m n mód 2

136 126 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind 1( ) m m + n d = n 2 n 2 + n m + n ( 1 + d ) d = + n y como m n (mód 2), entonces m + n 0 (mód 2) por lo que m+n 2 Z. Se sigue que O K Z + Z(( 1 + d)/2). Para la otra inclusión note que ( 1/2) + (1/2) d = ( 1 + d)/2) O K ya que en este caso d 1 (mód 4), a = 1/2 y b = 1/2 por lo que d = 1+4t y así 2a = 1 Z ya 2 db 2 = (1/4) (1+4t)(1/4) = t Z. Los primeros ejemplos de anillos de enteros que no son DFU se encuentran en extensiones cuadráticas: Ejemplo 8. En la extensión cuadrática K = Q( 5)/Q, como 5 3 (mód 4) entonces su anillo de enteros es: O K = Z[ 5] = {a + b 5 a,b Z} donde 6 = 2 3 = (1 + 5)(1 5) por lo que O K no es un DFU. Factorización única de ideales. El ejemplo anterior muestra que un dominio de Dedekind no siempre es un DFU. Sin embargo se tiene el resultado, un poco más débil, de que en un anillo de Dedekind todo ideal propio no nulo se factoriza en forma única como producto de ideales primos. Para probar lo anterior, comenzamos observando que en los anillos de Dedekind todo ideal se puede factorizar como producto de ideales primarios. Recordemos que en 4.37 y 4.38 del capítulo 4 caracterizamos los anillos noetherianos de dimensión 0. Al considerar anillos de Dedekind estamos ahora considerando dominios enteros noetherianos de dimensión 1, es decir, dominios noetherianos en los cuales todo ideal primo no cero es máximo. Proposición 5.19 Si A es un dominio noetheriano de dimensión 1, entonces todo ideal no nulo I A se puede expresar, en forma única, como producto de ideales primarios cuyos radicales son todos diferentes. Demostración. Como A es noetheriano, por 4.23, I tiene una descomposición primaria mínima I = n i=1 q i, con cada q i un ideal p i -primario. Como dima = 1 y A es dominio entero (i.e., 0 es un ideal primo), cada ideal primo no nulo es máximo y por lo tanto los p i asociados a I son máximos distintos (ya que p i q i I 0 ya así los p i no son nulos) y por lo tanto coprimos por pares. Se sigue que los q i también son coprimos por pares, ya que qi qi + q j = + q j = p i + p j = 1 = 1 y por lo tanto q i + q j = 1, de donde se sigue que q 1 q n = q 1 q n por el teorema chino 1.6 y así I = q 1 q n. Para la unicidad, si sucediera que I = r i, con los r i primarios, el argumento de arriba muestra que I = i r i y ésta es una descomposición primaria mínima de I y cada r i es una componente aislada y por lo tanto única, por 4.26.

137 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind 127 Observación. Si A es un dominio noetheriano de dimensión 1 en el cual todo ideal primario es una potencia de un primo, la proposición anterior nos dice que en este caso todo ideal propio no cero de A se puede expresar, en forma única, como producto de ideales primos. Si ahora localizamos a A con respecto a un ideal primo p 0, el anillo local A p satisface las mismas condiciones que A, i.e., A p es noetheriano de dimensión 1 y todo ideal primario en A p es la potencia del único primo pa p no trivial de A p. Anillos donde ésto sucede son importantes y ejemplos de ellos son los anillos de valuación discreta que vimos en la sección anterior. El análogo global, para anillos de Dedekind, de la caracterización 5.7 de anillos de valuación discreta es: Teorema 5.20 Sea A un dominio entero. Son equivalentes: (1) A es un anillo de Dedekind. (2) A es noetheriano y para cada primo p, el anillo A p es un anillo de valuación discreta. (3) A es noetheriano de dimensión 1 y todo ideal primario de A es la potencia de un ideal primo. (4) Todo ideal no nulo I de A se puede descomponer como un producto de ideales primos en forma única: I = p e 1 1 pe r r donde los p i son ideales primos distintos y e i > 0 son enteros. Los p i son los ideales primos que contienen a I y los exponentes e i están unívocamente determinados. Demostración. Como los ideales primos de A p corresponden a ideales primos de A contenidos en p, se sigue que dima = 1 si y sólo si dima p = 1, para todo primo p. Ahora, ser noetheriano o ser integralmente cerrado son propiedades locales por 4.4 y Así, la equivalencia de (1) y (2) se sigue de 5.7. (1) y (2) (3): Por (1), dima = 1 y es noetheriano. Por (2) A p es anillo de valuación discreta y así por 5.7 todos sus ideales son potencias de su único ideal máximo pa p, en particular sus ideales primarios son potencias de su ideal máximo y como los ideales p-primarios de A están en correspondencia biunívoca con los ideales primarios de A p y las potencias de ideales se corresponden bajo localización, entonces los ideales p-primarios de A son potencias de p. (3) (4): Por 5.19 todo ideal propio no nulo de A se puede descomponer en forma única como producto de ideales primarios y por (3) éstos son potencias de primos. (4) (2): Sea 0 x A y escribamos x = p e 1 1 pe r r. Si p A es cualquier ideal primo, defina { e i si p = p i, v p (x) = 0 si p p i, para todo i = 1,...,r. Es inmediato de la definición que v p satisface las propiedades de una valuación en A y se extiende a A p en la forma usual del mismo modo que se extiende al campo de fracciones K de A p, y su anillo de valuación es A p.

138 128 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind Corolario 5.21 Un dominio de Dedekind es un DIP si y sólo si es un DFU. Demostración. Todo DIP es DFU. Recíprocamente, si A es un DFU, sea p un ideal primo (no nulo) de A. Sea 0 a p. Por factorización única a = π 1 π n con los π i irreducibles y como p es primo, algún factor irreducible π := π j p, i.e., π p. Ahora, como dima = 1, entonces π = p y así todo ideal primo de A es principal. Como todo ideal I (no nulo) de A se descompone como producto de ideales primos y éstos son principales, entonces I es principal. El grupo de clases de ideales. El ejemplo 7 muestra que hay anillos de enteros que no son DFU, o lo que es lo mismo, no son DIP. Es natural entonces pensar cómo medir la discrepancia de que un anillo de enteros O K sea o no un DIP. En esta sección introducimos un grupo asociado al anillo O K que mide la obstrucción para que O K sea o no un DIP y al final probamos que este grupo es finito. La idea es natural, si K/Q es un campo de números e I,J son ideales no nulos de O K, diremos que I es equivalente a J, denotado I J, si existen α,β O K {0} tales que αi = βj. Lema 5.22 La relación anterior es una relación de equivalencia en el conjunto de ideales no nulos de O K. La clase de equivalencia de O K es la clase de todos los ideales principales. Demostración. Claramente es reflexiva y simétrica. Para la transitividad note que si αi 1 = βi 2 y γi 2 = δi 3 entonces (αγ)i 1 = (βδ)i 3. Para la segunda afirmación, si α y β son ideales principales de O K, entonces β α = α β, i.e., α β. Finalmente, si I 1 = O K, entonces existen α,β O K no nulos tales que αi = βo K = β y así β = αλ con λ I por lo que λ I. Ahora, si a I entonces αa αi = β por lo que αa = bβ = bαλ y como α 0 se sigue que a = bλ, i.e., a λ y por lo tanto I = λ. Denotemos con Cl(O K ) al conjunto de clases de equivalencia de ideales no nulos de O K. Si I 0 es un ideal de O K denotamos con [I] su clase en Cl(O K ). En Cl(O K ) introducimos la operación siguiente: dadas dos clases [I],[J] en Cl(O K ) definimos [I][J] := [IJ] eligiendo representantes I, J en cada clase. La operación está bien definida ya que si ai = bi y cj = dj entonces (ac)ij = (bd)i J, es decir, [IJ] = [I J ]. Para probar en 5.27 que la operación anterior da una estructura de grupo a Cl(O K ) necesitaremos los resultados siguientes: Lema 5.23 Sean A un anillo de Dedekind y K su campo de fracciones. Si 0 I A es un ideal propio, entonces existe un γ K A tal que γi A. Demostración. Sea 0 a I. Por 5.20 para el ideal a = 0 existen ideales primos p 1,...,p r tales que p 1 p r = a. Como I es un ideal propio existe un ideal máximo (y por lo tanto primo) p A tal que a I p. Se sigue que p contiene al producto p 1 p r y así, por 1.9, p contiene a algún p i. Renumerando si hiciera falta podemos suponer que p p 1 ; pero como A es Dedekind, entonces el primo p 1 debe ser máximo y por lo tanto p = p 1. Ahora, por la unicidad de la descomposición 5.20, el producto p 2 p r a y así existe un b p 2 p r a. Pongamos γ := b/a K.

139 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind 129 Entonces, γ A ya que de lo contrario b = aγ a en contradicción con la elección de b p 2 p r a. Se sigue que γ = b/a K A. Finalmente, γi A ya que b p 2 p r y p 1 (p 2 p r ) a implican que p 1 b a y así, p 1 ba 1 A. Pero I p 1, y por lo tanto γi = ba 1 I p 1 ba 1 A. Proposición 5.24 Sea A un dominio de Dedekind. Si 0 I es un ideal de A, entonces existe otro ideal 0 J de A tal que el ideal IJ es principal. Demostración. Sea 0 α I y pongamos J := {β A : βi α }. Entonces, claramente J es un ideal de A, J 0 ya que α J, e IJ α por definición de J. Sólo falta probar que α IJ. Para esto, sea M := α 1 IJ (como A-submódulo del campo de fracciones K de A). Nótese que, de hecho, M A ya que IJ α = Aα A. Más aún, M es un ideal de A; y de hecho probaremos que M = A. Observe que una vez que probemos que M = A ya habremos terminado porque entonces A = M = α 1 IJ implica que IJ = α, que es lo que afirma el teorema. Supongamos que M A, entonces por el lema 5.23 existe γ K A tal que γm A, y como A es integralmente cerrado en K, si probamos que γ satisface un polinomio mónico f (x) A[x] esto implicará que γ A. Para probar lo anterior, notemos que M = α 1 IJ contiene a J ya que α I y por lo tanto M contiene a los productos de la forma α 1 αβ = β para toda β J, i.e., J M. Se sigue que γj γm A. Más aún, γj J ya que para toda β J y para toda x I se tiene que como J M = α 1 IJ A y βx IJ entonces γ α 1 βx =: a A y por lo tanto γβx = rα α y así, para γβ A se tiene, por definición de J, que γβ J, i.e., γj J. Ahora, como A es noetheriano, el ideal J es finitamente generado, digamos J = α 1,...,α m. Pero entonces, como γj J, se sigue que γα j α 1,...,α m y así existen a i j A tales que se tienen ecuaciones: γα i = a i1 α a im α m, (1 i m), i.e, se tiene una ecuación matricial α 1 γ. = (a i j ) α m donde la matriz m m (a i j ) tiene coeficientes en A. Reescribiendo esta ecuación matricial de la forma (γi m (a i j )) α 1. α m α 1. α m = (0), y recordando que J 0, se sigue que no todos los α i son cero y por lo tanto det(γi m (a i j )) = 0. Expandiendo el determinante anterior 0 = det(γi m (a i j )) = γ m + términos γ i de grado < m con coeficientes en A, y así, γ satisface el correspondiente polinomio mónico con coeficientes en A.

140 130 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind Corolario 5.25 (Ley de cancelación.) Si A es Dedekind e I,J,L son ideales no nulos de A, entonces IJ = IL implica J = L. Demostración. Por la proposición anterior existe un ideal M 0 tal que IM = α es principal. Y como MIJ = MIL entonces α J = α L, i.e., αj = αl; pero, como A es dominio entero, esto implica que J = L. Corolario 5.26 (Contener es dividir.) Si A es Dedekind e I,J son ideales no nulos de A, entonces I J si y sólo si I J. Demostración. (Válido en cualquier anillo conmutativo.) Si I J entonces J = IL para algún ideal L, y así, para α J se tiene que α = βγ con β I y γ L, por lo que α I y por lo tanto J I. Recíprocamente, si I J, por la proposición anterior sea L un ideal no nulo tal que IL = α es principal. Entonces, M = α 1 LJ A ya que J I implica que JL IL = α, i.e., JL αa, y por lo tanto M = α 1 JL A, y claramente M es un ideal. Finalmente, IM = α 1 ILJ = α 1 α J = J, i.e., I J. Teorema 5.27 Si K/Q es un campo de números y O K es su anillo de enteros, entonces el conjunto Cl(O K ) es un grupo abeliano con la operación definida arriba y con elemento neutro dado por la clase de los ideales principales. Al grupo abeliano Cl(O K ) se le llama el grupo de clases de ideales. Obsérvese que Cl(O K ) = {1} (el grupo trivial) si y sólo si O K es un DIP. Así, Cl(O K ) mide la obstrucción para que O K sea o no un DIP. Demostración. Claramente la operación es asociativa, conmutativa y la clase [1] = [ 1 ] es neutro para la operación. Sólo falta mostrar que hay inversos. Para esto, sea C Cl(O K ) cualquier clase de ideales y considere un ideal I 0 en C, por 5.24 existe un ideal J 0 en O K tal que el ideal producto IJ es principal y por lo tanto [I][J] = [IJ] = [1]. Finitud del grupo de clases de ideales. En esta sección probaremos que si K/Q es una extensión finita, entonces el grupo de clases de ideales Cl(O K ), del anillo de enteros de K, es un grupo finito. Al orden h K del grupo Cl(O K ) se le llama el número de clase del campo K. Nótese que la segunda afirmación del lema 5.23 nos dice que O K es un DIP si y sólo si h K = 1. Y como O K es Dedekind, en 5.21 probamos que O K es DIP si y sólo si O K es un DFU, y por lo tanto O K es DFU si y sólo si h K = 1. Antes de probar que Cl(O K ) es finito necesitaremos unos preliminares: Lema 5.28 Sea K/Q una extensión finita de grado n y sea O K el anillo de enteros de K. Entonces, existe un número real λ > 0, que depende sólo de K, tal que todo ideal 0 I O K contiene un elemento 0 α I tal que N K/Q (α) λn(i). Demostración. Fijemos una base entera α 1,...,α n de O K y sean σ 1,...,σ n las n inmersiones de K en C. Definamos

141 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind 131 n ( n ) λ := σ i (α j ), i=1 j=1 y notemos que λ es un real positivo ya que σ i (α j ) 0 para toda i, j. Veremos que esta λ nos sirve. Sea 0 I O K un ideal cualquiera. Sabemos por 5.16 que su norma es finita, así sea m el entero positivo único con la propiedad m n N(I) < (m + 1) n. Consideremos los (m + 1) n elementos de O K dados por ( ) n j=1 m j α j, m j Z, 0 m j m. (Son (m + 1) n elementos ya que los n coeficientes m j se pueden elegir de m + 1 formas del 0 al m). Ahora, como N(I) = OK /I < (m + 1) n, por la elección de m; entonces deben existir al menos dos elementos distintos, digamos α,α en O K de la forma ( ) que sean congruentes módulo I, i.e., 0 α := α α I; y como α,α tienen la forma ( ), entonces α tiene la misma forma, i.e., α = n j=1 m j α j, m j Z, m j m y además α I y α 0. Se sigue entonces que N K/Q (α) = = n i=1 n i=1 n σ i (α) = n j=1 ( n i=1 j=1 n ( n i=1 j=1 m n n i=1 ( n j=1 m n λ N(I)λ n i=1 σ i (α) = n i=1 ( n ) σ i j α j j=1m m j σ i (α j ) (ya que σ j es aditiva, fija a Q y m j Z) ) m j σ i (α j ) ) m σ i (α j ) ) σ i (α j ) (desigualdad del triángulo y m j 0) (ya que m j m) (por definición de λ y por la elección de m). Corolario 5.29 Sean K/Q una extensión finita y λ como en el lema previo. Entonces, toda clase de ideales C Cl(O K ) contiene un ideal J C tal que N(J) λ. Demostración. Dada cualquier C Cl(O K ) consideremos su clase inversa C 1 Cl(O K ) y fijemos un ideal I C 1. Sea α I como en el lema anterior. Así, α I

142 132 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind en O K, y como éste es un anillo de Dedekind, entonces I α, i.e., α = IJ para algún ideal J. Se sigue que [ α ] = [I][J] en el grupo Cl(O K ), y como [I] = C 1 y [ α ] = e (el neutro de Cl(O K )), entonces necesariamente [J] = C, i.e., J C. Finalmente, por el ejercicio 23 y el ejercicio 24: N K/Q (α) = N( α ) = N(IJ) = N(I)N(J), y por el lema anterior NK/Q (α) λn(i), y por lo tanto N(I)N(J) = NK/Q (α) λn(i), y cancelando N(I) se tiene el resultado deseado. El resultado principal es: Teorema 5.30 Si K/Q es una extensión finita, entonces Cl(O K ) es un grupo finito. Demostración. Sea λ como en el lema anterior. Por el corolario de arriba toda clase C Cl(O K ) contiene un ideal J C tal que N(I) λ. Si probamos que sólo hay un número finito de ideales 0 J O K tales que N(J) λ entonces, sólo existirá un número finito de clases de ideales C en Cl(O K ), que es lo que queremos. Ahora, si N(J) λ con J 0, y si escribimos J = p e i i con p i O K ideales primos, entonces N(J) = N(p i ) e i λ, i de tal forma que, si probamos que sólo hay un número finito de primos p i O K tales que N(p i ) λ, entonces ya terminamos porque sólo existiría un número finito de exponentes e i 0 tales que N(p i ) e i λ, es decir, sólo se tendría un número finito de ideales J O K tales que N(J) λ. Para probar lo anterior, supongamos que existe un número infinito de primos p i de O K tales que N(p i ) λ. Entonces, como N(p i ) es un entero, se tendría que 0 N(p i ) [λ], donde [λ] denota el mayor entero λ; y como sólo hay un número finito de enteros m tales que 0 m [λ], entonces existiría un número infinito de primos p i de O K tales que tendrían la misma norma N(p i ) =: N, 0 N [λ]. Ahora, N = N(p i ) = O K /p i, y como O K es Dedekind, entonces O K /p i es un campo (finito) y así existe un número infinito de primos p i tales que los O K /p i son campos finitos isomorfos. Así todos estos primos p i están sobre el mismo primo p de Z. Pero esto es una contradicción ya que arriba de un primo de Z sólo hay un número finito de primos de O K por el ejercicio 26 inciso (vi) del capítulo 3. Ejercicios 5.1. Sea A un dominio entero.

143 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind 133 (i) Si A es un anillo de valuación, I,J son ideales de A, demuestre que I J ó J I. (ii) Recíprocamente, si para cualesquiera ideales I,J de A se tiene que I J ó J I, demuestre que A es un anillo de valuación Si A es un anillo de valuación y p es un primo de A, demuestre que A y A p tienen el mismo campo de fracciones. (A p es dominio entero como se demostró en la página 76). Demuestre que A p es un anillo de valuación Si A es un anillo de valuación y p es un primo de A, por 2.4 el campo de fracciones del dominio entero A/p es el campo residual del anillo local A p. Demuestre que A/p es un anillo de valuación Si A es un anillo de valuación, demuestre que A es noetheriano si y sólo si A es un DIP Si A es un anillo de valuación discreta con valuación v, demuestre que v : A {0} N {0} es una norma euclidiana y por lo tanto A es un dominio euclidiano y así es un DIP En el ejemplo 2, demuestre que el anillo de valuación es la localización F[x] π(x) del anillo F[x] en el ideal primo π(x) En el ejemplo 3, demuestre que el anillo de valuación es el anillo de series de potencias formales F[[T ]] Generalize el lema 5.10: si L/K es una extensión finita de campos de grado n = [L : K], y L al = K al es una cerradura algebraica de ambos, demuestre que existen a lo más n monomorfismos L L al que restringidos a K son la identidad, y son exactamente n si y sólo si L/K es separable. Sugerencia: La K-álgebra L está generada por α 1,...,α m con m n. Para m = 1, L = K(α 1 ) y para el mónico irreducible Irr(α 1,K) su grado es n y un K- monomorfismo L L al está determinado por su valor en α 1 que debe ser una raíz de Irr(α 1,K). El número de tales raíces es n = gr(irr(α 1,K) y es igual a n si y sólo si el polinomio Irr(α 1,K) es separable. Si m > 1, considere la torre de campos K K(α 1 ) K(α 1,α 2 ) K(α 1,...,α m ) donde para n i = [K(α 1,...,α i ) : K(α 1,...,α i 1 )] se tiene que n = n 1 n m Generalize el lema 5.15: si A es un dominio entero noetheriano integralmente cerrado (en su campo de fracciones K), L K una extensión finita y separable de grado n, y B L la cerradura entera de A en L, demuestre que existe una base v 1,...,v n de L sobre K tal que B Av 1 Av n. Concluya que B es un A-módulo finitamente generado y por lo tanto es un anillo noetheriano Si A es Dedekind con un número finito de ideales primos, demuestre que A es un DIP.

144 134 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind Si A es un dominio de Dedekind con campo de fracciones K y si L/K es una extensión finita separable, demuestre que la cerradura entera de A en L es un dominio de Dedekind Demuestre que si A es Dedekind y p es un ideal primo de A, entonces A p es Dedekind Si A es el anillo de enteros de Q( 10), demuestre que A no es un DIP Si K es un campo y A K es un subanillo, sea A la cerradura entera de A en K. Demuestre que A es la intersección de todos los anillos de valuación de K que contienen a A Con la notación de la demostración de 5.16, demuestre que O K / m = m n, donde n = [K : Q] Sea A un dominio entero. Demuestre que las afirmaciones siguientes son equivalentes: (1) A es Dedekind. (2) A es noetheriano y para todo ideal máximo m A, el localizado A m es un DIP Si K/Q es una extensión finita y α K, demuestre que la traza y norma de α no dependen de la base de K elegida Si K/Q es una extensión finita de grado [K : Q] = n y σ 1,...,σ n son las n inmersiones de K en C que fijan Q, demuestre que para todo α K se tiene que N K/Q (α) = n i=1 σ i (α) y Tr K/Q (α) = n i=1 σ i (α) Si K/Q es una extensión finita de grado [K : Q] = n, α K es tal que [Q(α) : Q] = d, ϕ(x) = Irr(α,Q) = x d + a d 1 x d a 1 x + a 0 es el mónico irreducible de α, y si α = α 1,...,α n son las raíces de ϕ(x), demuestre que ( d n/d N K/Q (α) = α i) y Tr K/Q (α) = n d α i. i=1 d Si K/Q es una extensión finita de grado [K : Q] = n, α K es tal que [Q(α) : Q] = d, ϕ(x) = Irr(α,Q) = x d + a d 1 x d a 1 x + a 0 es el mónico irreducible de α y si α = α 1,...,α n son las raíces de ϕ(x), demuestre que el coeficiente a d 1 = Tr Q(α)/Q (α) y a 0 = ( 1) d N Q(α)/Q (α). i=1

145 5 Anillos de valuación discreta y de Dedekind Sean A un dominio de Dedekind e I A un ideal propio no nulo. Demuestre que: (1) Todo ideal en A/I es principal y A/I es artiniano. (2) Si I J, entonces J = I + a, para algún a A. (3) I está generado por dos elementos Usando 5.18 calcule el discriminante de cualquier extensión cuadrática Si K/Q es una extensión finita y 0 α O K, demuestre que N( α ) = N K/Q (α) Demuestre que la norma de un ideal de un anillo de enteros es completamente multiplicativa, es decir, si I,J O K son dos ideales no nulos, entonces N(IJ) = N(I)N(J).

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147 Capítulo 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos Para motivar la noción de dimensión de Krull de un anillo, comenzamos con la versión algebraica de la dimensión geométrica de una variedad afín 1 que originalmente se definió usando el grado de trascendencia del anillo de coordenadas K[V ] asociado a la variedad V (que es una K-álgebra), y comenzamos con el aspecto algebraico considerando una K-álgebra arbitraria A, contrapunteando el aspecto geométrico cuando así sea posible. Grado de trascendencia de K-álgebras afines. Si K es un campo, una K-álgebra afín es una K-álgebra de tipo finito sobre K que además es un dominio entero. El grado de trascendencia sobre K de una K-álgebra afín A es igual al grado de trascendencia sobre K de su campo de fracciones K(A). Como motivación para los resultados acerca de la dimensión de estas K-álgebras, examinamos primero el caso cuando se tiene una variedad afín V = V f 1,..., f m K n, con K algebraicamente cerrado y con los f j K[x 1,...,x n ] polinomios lineales homogéneos: f j = f j (x 1,...,x n ) = a 1 j x a n j x n a i j K de tal forma que la variedad V K n es un subespacio vectorial. El álgebra lineal nos dice entonces que la dimensión del K-espacio vectorial V es n r, donde r es el rango de la matriz del sistema M = (a i j ). La traducción a la geometría algebraica del resultado anterior es: Proposición 6.1 Si f 1,..., f m K[x 1,...,x n ] son polinomios lineales homogéneos, la K-álgebra A = K[x 1,...,x n ]/ f 1,..., f m es un dominio entero de tipo finito sobre K tal que grtr K A = dim K V donde la variedad afín V = V f 1,..., f m K n es vista como un subespacio vectorial de K n. Demostración. Si M = (a i j ) es la matriz del sistema de ecuaciones lineales que define V, entonces su rango r es el número de renglones linealmente independientes 1 Véase la sección sobre conjuntos algebraicos afines en la página 17 del capítulo

148 138 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos de M y, renumerando si hiciera falta, podemos suponer que los primeros r renglones son linealmente independientes, i.e., los polinomios f 1,..., f r son linealmente independientes. Sea I = f 1,..., f r K[x 1,...,x n ] y sean x i1,...,x in r tales que { f 1,..., f r,x i1,...,x in r } es una base del subespacio vectorial de polinomios lineales homogéneos en K[x 1,...,x n ]. Entonces, ( ) K[x 1,...,x n ]/I K[x i1,...,x in r ] ya que si las funciones lineales f 1,..., f r son x 1,...,x r la afirmación ( ) es obvia. En el caso general, como {x 1,...,x n } y { f 1,..., f r,x i1,...,x in r } son ambas bases del espacio vectorial de formas lineales en K[x 1,...,x n ], cada uno de los elementos de una base se puede expresar como combinación lineal de los elementos de la otra base y por lo tanto y así K[x 1,...,x n ] = K[ f 1,..., f r,x i1,...,x in r ] K[x 1,...,x n ]/I = K[ f 1,..., f r,x i1,...,x in r ]/I K[x i1,...,x in r ] lo cual prueba ( ). Finalmente, note que f 1,..., f m = f 1,..., f r = I lo cual termina la demostración. Proposición 6.2 Si f K[x 1,...,x n ] es un polinomio irreducible, entonces la K- álgebra K[x 1,...,x n ]/ f tiene grado de transcendencia n 1. Demostración. Como K[x 1,...,x n ] es un DFU, entonces f es un ideal primo y así K[x 1,...,x n ]/ f es un dominio entero. Escribamos K[α 1,...,α n ] = K[x 1,...,x n ]/ f con α i = x i + f y sea K(α 1,...,α n ) el campo de fracciones de K[α 1,...,α n ]. Como f no es el polinomio cero, algún x i ocurre en f y, renumerando si hiciera falta, podemos suponer que x n ocurre en f. Entonces, x n ocurre en todo múltiplo no nulo de f y por lo tanto ningún polinomio no nulo en x 1,...,x n 1 pertenece a f. Se sigue que α 1,...,α n 1 son trascendentes algebraicamente independientes sobre K porque si un polinomio se anula en estas α i entonces el polinomio pertenece a f por la definición de α i = x i + f. Por otro lado, como x n aparece en f, escribiendo a f como se tiene que f = g i (x 1,...,x n 1 )x r i n, r i 0 i 0 = f (α 1,...,α n ) = g i (α 1,...,α n 1 )α r i n = h(α n ) i

149 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos 139 con h K(α 1,...,α n 1 )[x n ] un polinomio no nulo. Se sigue que α n es algebraico sobre K(α 1,...,α n 1 ) y por lo tanto α 1,...,α n 1 es una base trascendente de K[α 1,...,α n 1 ] sobre K. Proposición 6.3 Si A es una K-álgebra de tipo finito que es dominio entero, entonces para todo ideal primo no nulo p de A se tiene que grtr K (A/p) < grtr K (A). Demostración. Escribamos A = K[α 1,...,α n ] = K[x 1,...,x n ]/I con α i = x i + I. Si f A, sea f su imagen en A/p y así A/p = K[α 1,...,α n ]. Sea d = grtr K (A/p) y numeremos las x i de tal forma que α 1,...,α d son algebraicamente independientes sobre K. Mostraremos que, para todo 0 f p, los d + 1 elementos α 1,...,α d, f son algebraicamente independientes sobre K y por lo tanto grtr K (A) d + 1, como se quería. Para demostrar lo requerido, supongamos que es falso, i.e., supongamos que existe una relación algebraica no trivial ( ) a m (α 1,...,α d ) f m + a m 1 (α 1,...,α d ) f m a 0 (α 1,...,α d ) = 0 con los a i K[x 1,...,x d ] y a m 0. Como A es un dominio entero, si hiciera falta podemos cancelar potencias de f de tal manera que a 0 (α 1,...,α d ) 0. Aplicando el morfismo A A/p a ambos lados de ( ) y recordando que f p, se obtiene que a 0 (α 1,...,α d ) = 0 lo cual contradice la independencia algebraica de α 1,...,α d. Proposición 6.4 Si A es una K-álgebra de tipo finito que es DFU, entonces para todo ideal primo p de A tal que grtr K (A/p) = grtr K (A) 1 se tiene que p = f, para algún f A. Demostración. Note primero que p 0 porque de lo contrario se tendría que A/p = A/0 = A y así ambos tendrían el mismo grado de trascendencia. Se sigue que existe un 0 f p y podemos suponer que f es irreducible porque p es un ideal primo. Como A es un DFU, entonces f es un ideal primo contenido en p. Si sucediera que f p, entonces 0 p = p/ f A/ f =: A es un ideal primo de la K-álgebra afín A y así, por 6.3, grtr K (A /p) < grtr K (A ) = grtr K (A/ f ) donde observamos que A /p = (A/ f )/(p/ f ) A/p y por lo tanto grtr K (A/p) = grtr K (A /p) < grtr K (A ) = grtr K (A/ f ) = grtr K (A) 1 donde la igualdad es por 6.2. Hemos obtenido así una contradicción con la hipótesis. Teorema 6.5 Si A es una K-álgebra de tipo finito que es dominio entero, y si f A no es cero ni unidad y p es un primo de A, mínimo entre los que contienen a f,

150 140 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos entonces grtr K (A/p) = grtr K (A) 1. Demostración. (J. Tate). Escribamos f = p 1 p r como intersección irredundante de ideales primos p i f. Entonces, V( f ) = V(p 1 ) V(p r ) es la descomposición de V( f ) en sus componentes irreducibles. Así, existe un punto P 0 V(p 1 ) que no está en todos los otros V(p i ), porque de lo contrario la descomposición V( f ) = V(p 1 ) V(p r ) sería redundante. Note que, como V(p i ) son cerrados, existe una vecindad abierta U = D(h) de P 0 que sólo intersecta a V(p 1 ) y es disjunta con las otras V(p i ). Ahora, el anillo A h es un dominio entero con el mismo campo de fracciones que A y por lo tanto tiene el mismo grado de trascendencia sobre K. Por el mismo argumento, el anillo A h /S 1 p tiene el mismo grado de trascendencia que A/p. Observe ahora que en A h se tiene que f /1 = f A h = p 1 A h. Por lo tanto, después de reemplazar A con A h podemos suponer que f es un ideal primo de A, digamos igual a p. Por otra parte, como A es un dominio entero y como es una K-álgebra finitamente generada, por el teorema de normalización de Noether 2.16 existen elementos y 1,...,y d A algebraicamente independientes sobre K tales que A es entera sobre K[y 1,...,y d ] y K(y 1,...,y d ) K(A) es una extensión finita de campos, donde K(A) es el campo de fracciones de A. Si Nm : K(A) K(y 1,...,y d ) es la norma de esta extensión, para f K(A) sea f 0 = Nm( f ) K(y 1,...,y d ). Por 2.15 se tiene que f 0 K[y 1,...,y d ]. Mostraremos que (1) p K[y 1,...,y d ] = f 0. Antes de probar lo anterior, observe que (1) implica que el morfismo inducido por la inclusión K[y 1,...,y d ] A al pasar a los cocientes (2) K[y 1,...,y d ]/ f 0 = K[y 1,...,y d ]/ ( p K[y 1,...,y d ] ) A/p es inyectivo. Más aún, como A es finitamente generada como K[y 1,...,y d ]-módulo, entonces en (2) se tiene que A/p es finitamente generada como módulo sobre K[y 1,...,y d ]/ f 0. Se sigue que grtr K A/p = grtr K K[y 1,...,y d ]/ f 0 = d 1, donde la última igualdad es por 6.2 ya que f 0 es irreducible. Notamos que como f 0 entonces f 0 0 y f 0 p implica que f 0 no es constante. Resta probar la afirmación (1). Como ya observamos, por el teorema de normalización de Noether A es entero sobre K[y 1,...,y d ] y como la norma Nm : K(A) K(y 1,...,y d ) manda elementos enteros (por ejemplo, f ) de K(A) en enteros de K(y 1,...,y d ) y como K[y 1,...,y d ] es integralmente cerrado ya que es DFU, entonces estos elementos enteros están en K[y 1,...,y d ], i.e., f 0 = Nm( f ) K[y 1,...,y d ]. Se sigue que f divide a f 0 en A y por lo tanto f 0 f p y consecuentemente f 0 p K[y 1,...,y d ] por lo que

151 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos 141 f0 p K[y 1,...,y d ] porque p es primo y por lo tanto es radical. Para la inclusión faltante, si g p K[y 1,...,y d ] entonces g p = f y por lo tanto g m f, i.e, g m = f h para algún h A y algún m 1. Tomando normas en esta igualdad, recordando que si e = [K(A) : K(y 1,...,y d )] como g m K[y 1,...,y d ] se tiene que que Nm(g m ) = g me, se obtiene que g me = Nm( f h) = Nm( f )Nm(h) = f 0 Nm(h) f 0 por lo que g f 0, lo cual prueba la inclusión que faltaba. Corolario 6.6 Si A es una K-álgebra de tipo finito que es dominio entero y p es un ideal primo mínimo no nulo de A, entonces grtr K (A/p) = grtr K (A) 1. Demostración. Sea 0 f p; entonces f no es unidad y p es un primo mínimo entre los que contienen a f. Aplique entonces el teorema previo. El resultado principal es: Teorema 6.7 Si A es una K-álgebra de tipo finito que es dominio entero, entonces grtr K (A) es igual a la longitud máxima n de las cadenas de ideales primos de A ( ) p 0 p 1 p n. Demostración. Como se tiene un epimorfismo K[x 1,...,x n ] A, por el ejercicio 10 del capítulo 4 se sigue que A es noetheriano, por lo que las cadenas de primos ( ) anteriores son finitas. Supongamos entonces que la cadena de primos ( ) del enunciado es de longitud máxima, en particular p 0 = 0 y p 1 0 y es primo mínimo no nulo de A. Del corolario anterior se sigue que grtr K (A) = grtr K (A/p 1 ) + 1 y como p 2 = p 2 /p 1 es un primo mínimo no nulo en A/p 1 (por la correspondencia entre ideales primos de A/p 1 e ideales primos de A que contienen a p 1 ) y como (A/p 1 )/(p 2 /p 1 ) A/p 2, aplicando de nuevo el corolario anterior se tiene que grtr K (A/p 1 ) = grtr K (A/p 2 ) + 1 y procediendo de esta manera obtenemos que grtr K (A) = grtr K (A/p 1 ) + 1 = grtr K (A/p 2 ) + 2 = = grtr K (A/p n ) + n donde p n es un ideal máximo por la maximalidad de ( ), y por lo tanto A/p n es un campo y como A es una K-álgebra de tipo finito, entonces la extensión de campos K A A/p n es finita y así es algebraica, en particular grtr K (A/p n ) = 0 y consecuentemente grtr K (A) = n, como se quería.

152 142 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos Dimensión de Krull de un anillo. Si A es un anillo conmutativo, una cadena de longitud n de ideales primos de A es una sucesión finita de ideales primos de A incluidos propiamente uno en otro: p 0 p 1 p n. La dimensión de Krull de un anillo A, a la que denotaremos por dima, es el supremo de las longitudes de las cadenas de ideales primos de A. Así, el teorema anterior dice que el grado de trascendencia de una K-álgebra de tipo finito A que es dominio entero es igual a la dimensión de Krull del anillo A. Ejemplo 1. Un campo K tiene dimensión de Krull dimk = 0. Ejemplo 2. Para el anillo de enteros Z sus ideales primos son 0 y p = pz, para p > 0 un entero primo. Por lo tanto las cadenas más largas de ideales primos en Z son todas de la forma 0 p y así dimz = 1. Ejemplo 3. En general, cualquier DIP que no sea un campo tiene dimensión de Krull dima = 1 porque sus primos son máximos. En particular, para el anillo de polinomios K[x] con coeficientes en un campo, dimk[x] = 1. Ejemplo 4. Si K es cualquier campo, para el anillo de polinomios en n indeterminadas K[x 1,...,x n ] se tiene que 0 x 1 x 1,x 2 x 1,...,x n es una cadena de ideales primos de longitud n y por lo tanto dimk[x 1,...,x n ] n. De hecho, por el teorema 6.7 se tiene que dimk[x 1,...,x n ] = n, ya que el grado de trascendencia del campo de fracciones correspondiente K(x 1,...,x n ) es n. La altura de un ideal. Si A es un anillo conmutativo y p SpecA, la altura h(p) de p es el supremo de las longitudes n de las cadenas ascendentes de ideales primos contenidos en p: p 0 p 1 p n = p. Así, la dimensión de Krull de A es el supremo de las alturas h(p) variando p en todos los primos de A. Por convención, si 0 es ideal primo de A pondremos h(0) =. Si I es cualquier ideal, su altura h(i) es el ínfimo de las alturas de los ideales primos que contienen a I, es decir, h(i) = ínf{h(p) : p V (I) SpecA}. Si I = A de tal forma que V (I) = V (A) = /0, interpretamos h(i) = h(a) = dima. Proposición 6.8 Sea A un anillo conmutativo. Entonces, (1) dima = dim(a/nila). (2) Si p es un ideal primo de A, entonces dima p = h(p). (3) Si I J son ideales de A, entonces h(i) h(j). (4) dima = sup{dima m : m es ideal máximo de A}. (5) Si p SpecA, entonces h(p) + dim(a/p) dima.

153 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos 143 Demostración. (1): Como nil A es la intersección de todos los ideales primos de A, entonces todos los primos de A contienen a nila y por lo tanto se tiene una correspondencia biunívoca entre los primos de A y los primos de A/nilA y esta correspondencia preserva inclusiones. Para (2), los primos de A p corresponden biunívocamente con los primos de A contenidos en p y por lo tanto dima p = h(p). La parte (3) es porque I J implica que V (I) V (J). Para (4), todo ideal propio p (primo o no) está contenido en un máximo m y así h(p) h(m) por lo que dima = sup{h(m)} y por la parte (2), h(m) = dima m. Para (5) observe que h(p) considera cadenas de primos de A contenidos en p y dim(a/p) considera cadenas de primos de A que contienen a p. El teorema del ideal principal de Krull. Para una variedad afín lineal V K n (i.e., definida por polinomios lineales), a la cual podemos pensar que pasa por el origen de tal forma que V es un subespacio vectorial de K n, descrita por un sistema de ecuaciones lineales en n variables y de rango r, el álgebra lineal nos dice que dimv = n r. Más aún, cualquier variedad lineal de dimensión d se puede describir por n d ecuaciones lineales. Para variedades algebraicas, afines o proyectivas, i.e., ceros de sistemas de ecuaciones polinomiales de grado arbitrario, los resultados correspondientes son más difíciles de obtener y comenzamos con el teorema del ideal principal de Krull, una de cuyas consecuencias es una cota inferior para el número de generadores de un ideal en un anillo noetheriano, que al ser aplicado a un ideal del anillo polinomial K[x 1,...,x n ] se traduce en una cota inferior para el número de ecuaciones necesarias para describir una variedad algebraica. Para demostrar este teorema de Krull necesitaremos los dos lemas siguientes: Lema 6.9 Sean I = n i=1 q i una descomposición primaria mínima del ideal I A y p i = q i. Entonces, n i=1 p i = {x A : (I : x) I}. En particular, si el ideal 0 A tiene una descomposición primaria y D = x 0(0 : x) es el conjunto de divisores de cero de A, entonces D = p Ass(0) p. Demostración. Si I A es descomponible, entonces el ideal 0 es descomponible en el anillo cociente A/I, ya que si I = n i=1 q i, entonces 0 = n i=1 q i, donde q i es la imagen de q i en A/I, y notamos que cada q i es primario, ya que si xy q i con x q i, entonces xy q i y x q i y por lo tanto y k q i, por ser éste primario, y así y k q i. Se sigue que basta probar el lema para el ideal cero, suponiendo que éste es descomponible. Ahora, como D = x 0(0 : x), entonces D = x 0(0 : x) = x 0 (0 : x), y si x D entonces x r D para algún r 1 y así existe y 0 tal que x r y = 0 y por lo tanto x(x r 1 )y = 0 y así xz = 0 para algún z 0 por lo que x D, i.e, D D; y como D D, entonces D = D = x 0 (0 : x). Finalmente, recordemos que en la demostración del primer teorema de unicidad, 3.21, para el ideal I = 0, mostramos que (0 : x) = x q i p i p i y por lo tanto D p i Ass(0) p i. Pero, por el mismo teorema de unicidad, cada p i es de la forma (0 : x), para algún x A y por lo tanto p i Ass(0) p i D. Lema 6.10 Si I p q son ideales de A con q primo y p primo mínimo de I, entonces pa q es primo mínimo de IA q.

154 144 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos Demostración. Recordemos que el morfismo canónico ρ : A A q induce una biyección entre los ideales primos de A q y los ideales primos de A contenidos en q, por lo que p primo implica que pa q es primo de A q. Ahora, si pa q no fuera primo mínimo de IA q, existiría un primo P de A q tal que IA q P pa q, y como p = ρ 1 (pa q ) es primo y ρ 1 (P) p porque P pa q (y la biyección citada), entonces I ρ 1 (IA q ) ρ 1 (P) ρ 1 (pa q ) = p lo que contradice la minimalidad de p. Teorema 6.11 (Teorema del ideal principal de Krull) Sean A un anillo noetheriano y x A un ideal principal propio. Entonces, para todo primo mínimo p de x se tiene que h(p) 1. Más aún, si x no es un divisor de cero de A, entonces h(p) = 1. Demostración. La segunda afirmación se sigue de la primera parte. En efecto, como A es noetheriano el ideal 0 es descomponible y por el lema 6.9 el conjunto de divisores de cero de A es D = p i Ass(0) p i. Por lo tanto, si x no es divisor de cero, x p i, para todo p i Ass(0) y así, si p x con p primo, p no podría ser alguno de los p i, i.e., no sería primo mínimo de A y por lo tanto contiene propiamente un ideal primo p p y así h(p) 1, lo que implica la segunda afirmación. Para probar la primera afirmación, observe primero que, por el lema 6.10, pa p es un ideal primo mínimo de x A p, y por la biyección inducida por el morfismo de localización ϕ : A A p entre los ideales primos de A p y los ideales primos de A contenidos en p (donde q p corresponde a qa p pa p ) se sigue que basta probar el teorema para x A p pa p, o lo que es lo mismo, suponer que A es un anillo noetheriano local con ideal máximo p que es además primo mínimo de x. Asumiendo lo anterior, si q p es cualquier otro ideal primo debemos probar que h(q) = 0. Antes de proceder, note que x q porque de lo contrario, como p es primo mínimo de x se tendría que q = p. Observe ahora que, como p es primo mínimo de x, entonces el anillo A/ x tiene un único primo, a saber p/ x (ya que si p Spec(A/ x ), entonces p x con p SpecA y como p es el único ideal máximo de A, entonces p p y como p es mínimo entre los primos que contienen a x, entonces p = p) y por lo tanto dima/ x = 0 y como es noetheriano, entonces por 4.37 es artiniano. Ahora, para demostrar que h(q) = 0, considere las potencias q i A q y sus imágenes inversas bajo el morfismo de localización ρ : A A q a las que se denota por q (i) y se conocen como las potencias simbólicas de q. Observe ahora que las inclusiones q i+1 A q q i A q inducen inclusiones q (i+1) q (i) y como A/ x es artiniano la cadena descendente de ideales ( x + q (1) ) / x ( x + q (2)) / x ( x + q (3)) / x se estaciona, i.e., existe n 1 tal que (1) x + q (n) = x + q (n+1) = Veremos que lo anterior implica que

155 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos 145 (2) q (n) = x q (n) + q (n+1). En efecto, si z q (n), entonces z x + q (n) = x + q (n+1) y así z = ax + q, con a A, q q (n+1), y como q n+1 q n entonces q (n+1) q (n) y así q q (n) por lo que ax = z q q (n) con x q. Observe ahora que como qa q es el ideal máximo de A q entonces q n A q es qa q -primario por 4.17, y así por 4.18 su imagen inversa q (n) es q-primario. Por lo tanto, como ax = z q q (n) con x q = q (n) entonces a q (n) y consecuentemente z = ax+q x q (n) +q (n+1) por lo que q (n) x q (n) +q (n+1) y la inclusión contraria es obvia porque q (n+1) q (n), lo cual prueba (2). Ahora, como x p = J(A), por el lema de Nakayama de la igualdad (2) se sigue que (3) q (n) = q (n+1) y la igualdad anterior junto con la biyección entre ideales mencionada anteriormente implican que q n A q = q n+1 A q, y de nuevo, por el lema de Nakayama esta última igualdad implica que q n A q = 0, es decir, el ideal máximo qa q de A q es nilpotente y así un producto de ideales máximos es cero y como A q es noetheriano, por 4.36 se sigue que A q es artiniano. De 4.37 se sigue que dima q = 0, como se quería. NOTA. Antes de generalizar el teorema del ideal principal de Krull, observemos que en términos de la altura y de la dimensión de Krull, en 6.6 se probó que si A es una K-álgebra de tipo finito (que es dominio entero) y si p A es un primo de altura h(p) = 1, entonces (1) dim(a/p) = dima 1. En particular, si f A no es cero ni unidad y p SpecA es un ideal primo mínimo que contiene a f, por el teorema del ideal principal de Krull, h(p) = 1 y se tiene la igualdad (1). Para extender el teorema del ideal principal de Krull al caso de ideales finitamente generados, necesitaremos el lema siguiente: Lema 6.12 Sean A un anillo noetheriano, p un ideal primo de A y S = {q 1,...,q s } un conjunto finito de ideales primos de A tales que p q i, para todo i. (1) Si existe una cadena de ideales primos p 0 p 1 p, entonces existe una cadena p 0 p 1 p con p 1 q i, para todo i = 1,...,d 1. (2) En general, si existe una cadena de ideales primos p 0 p 1 p d 1 p, entonces existe una cadena p 0 p 1 p d 1 p con p j q i, para todo i = 1,...,d 1 y todo j. Demostración. Note primero que p i q i por 1.3, y por lo tanto existe un a p, a p 0, a q i, para todo i. Como p a + p 0, entonces p contiene a un ideal primo mínimo p 1 de a + p 0 y así p 1 /p 0 es un ideal primo mínimo del ideal principal ( a + p 0 )/p 0 en A/p 0 y por el teorema del ideal principal de Krull, h(p 1 /p 0) = 1. Sin embargo, la cadena p 0 /p 0 p 1 /p 0 p/p 0 muestra que h(p/p 0 ) 2 y consecuentemente p 1 p, i.e., p 1 p. Más aún, p 1 q i porque a p 1 y a q i, para todo

156 146 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos i. También, a p 1 p 0 por lo que p 0 p 1. Se tiene así que p 0 p 1 p con p 1 q i, para todo i. (2): En el caso general, p 0 p 1 p d 1 p, aplicando la parte (1) a la cadena p d 2 p d 1 p existe otra cadena p d 2 p d 1 p con p d 1 q i, para todo i. Luego, aplicando la parte (1) a la cadena p d 3 p d 2 p d 1 vemos que existe otra cadena p d 3 p d 2 p d 1 p con p d 2 q i, para todo i. Repetimos estos pasos hasta llegar al resultado deseado. Teorema 6.13 (Teorema generalizado del ideal principal de Krull) Si A es un anillo noetheriano e I = a 1,...,a m A es un ideal propio generado por m elementos, entonces, para cualquier ideal primo mínimo p de I, su altura es h(p) m. Demostración. Para m = 1, éste es el teorema del ideal principal de Krull. Podemos entonces suponer que m 2 y que el teorema ha sido probado para ideales generados por a lo más m 1 elementos. Sea p un primo mínimo de I = a 1,...,a m y sean q 1,...,q s los primos mínimos de a 1,...,a m 1. Por hipótesis de inducción h(q i ) m 1. Si sucediera que p está contenido en algún q i, entonces se tendría que h(p) h(q i ) m 1 m y ya habríamos acabado. Así, podemos suponer que p q i, para todo i. Poniendo d = h(p), queremos probar que d m. Ahora, como d = h(p), se tiene una cadena ( ) p 0 p d 1 p d = p con d 2, porque si d = 1, entonces h(p) = 1 m y no hay nada que probar. Podemos entonces aplicar el lema anterior a la cadena ( ) y suponer que p i = p i q j, para todo 1 i d y todo j, i.e., p i q j. En particular, p 1 = p 1 q i para todo i y por lo tanto existe b p 1 q i. Mostraremos que p es un primo mínimo de a 1,...,a m 1,b. Para comenzar, p contiene un primo mínimo p de este ideal y como p a 1,...,a m 1, entonces p contiene uno de los q i, pero como b p q i para todo i, entonces p no puede ser igual a este q i. Si p p, entonces q i p p y así p := p/ a 1,...,a m 1 tiene altura 2 en A := A/ a 1,...,a m 1. Pero p es un ideal mínimo en A del ideal principal a 1,...,a m / a 1,...,a m 1 y así h(p) 1 por el teorema del ideal principal, lo cual es una contradicción. Se sigue que p = p y por lo tanto p es un primo mínimo de a 1,...,a m 1,b. Pero entonces p/ b es un primo mínimo de a 1,...,a m 1,b / b en A/ b, que está generado por las clases de a 1,...,a m 1 y así h(p/ b ) m 1 por hipótesis de inducción. Finalmente, como se tiene la cadena de primos distintos p 1 / b p d 1 / b p d / b = p/ b entonces d 1 h(p/ b ) m 1 y por lo tanto d m. El teorema generalizado del ideal principal de Krull tiene un recíproco: Teorema 6.14 Sean A un anillo noetheriano e I A un ideal propio de altura h(i) = n. Entonces, existen n elementos a 1,...,a n I tales que para cada i n el ideal a 1,...,a i tiene altura i.

157 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos 147 Demostración. Si n = 0, se toma el conjunto vacío notando que /0 = 0. Podemos así suponer que n 1. Note entonces que sólo hay un número finito de primos de altura 0 porque un tal ideal es un primo mínimo de Ass(0) y ninguno de estos primos puede contener a I porque h(i) 1. Por 1.3 se sigue que existe un a 1 I h(p)=0 p. Por construcción a 1 tiene altura h 1 y así por el teorema del ideal principal de Krull se sigue que tiene altura h a 1 = 1. Esto completa la demostración cuando n = 1. Podemos entonces suponer que n 2. De nuevo, notamos que sólo hay un número finito de primos de altura 1 y que contienen a a 1 porque un tal primo está en Ass a 1, y ninguno de estos primos puede contener a I porque estamos suponiendo que h(i) 2. Por 1.3 existe un a 2 I h(p) = 1 y p a 1 p. Por construcción a 1,a 2 tiene altura h 2 y así por el teorema generalizado del ideal principal de Krull se sigue que h a 1,a 2 = 2. Esto completa la demostración en el caso cuando n = 2. Continuando de esta manera se termina la demostración. Anillos locales regulares y espacios tangentes. Si A es cualquier anillo, m A es un ideal máximo y k = A/m es su campo residual, hemos visto en la observación antes de 4.8 que m/m 2 es un k-espacio vectorial. Ahora, si (A,m) es un anillo local, por 6.8 (3) se tiene que dima = h(m) y si además A es noetheriano y m = a 1,...,a n con n el número mínimo de generadores, por 4.8 dim k (m/m 2 ) = n y por 6.13 la altura h(m) n. Lema 6.15 Si (A,m) es un anillo noetheriano local, entonces dima dim k (m/m 2 ). Aquí, en la izquierda es la dimensión de Krull de A y en el lado derecho es la dimensión del k-espacio vectorial m/m 2. Demostración. El argumento previo al lema nos dice que dima = h(m) número mínimo de generadores de m = dim k (m/m 2 ). El k-espacio vectorial m/m 2 es el espacio cotangente de Zariski de A en m. Su dual ( m/m 2 ) := Homk (m/m 2,k) es el espacio tangente de Zariski de A en m. Si se tiene la igualdad dima = dim k (m/m 2 ), se dice que A es regular en m o que es liso en m o que es no singular en m y que A es un anillo local regular. Si se tiene la desigualdad estricta se dice que A es singular en m. Si A es un anillo noetheriano arbitrario y p es un ideal primo de A, por 4.6 el anillo local A p es noetheriano, y se dice que A es regular o liso o no singular en p si A p es un anillo local regular. Si A es regular en todos sus primos, diremos que A es un anillo regular.

158 148 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos Ejemplo 5. Sea (A,m) un anillo noetheriano local. Si dima = 0, entonces A es regular si y sólo si m 2 = m y por Nakayama esto sucede si y sólo si m = 0, i.e., si y sólo si A es un campo porque en este caso las unidades son todo A {0}. En particular, A es un dominio entero. El teorema siguiente muestra que, en general, un anillo regular es un dominio entero. Para demostrarlo necesitaremos los dos lemas siguientes: Lema 6.16 Sea (A,m) un anillo noetheriano local con campo residual k = A/m. Sea c m m 2. Considere el epimorfismo canónico A A := A/ c y denote sus imágenes mediande a a. Entonces, dim k (m/m 2 ) = dim k (m /m 2 ) + 1 donde m := m/ c es el ideal máximo de A. Demostración. Sean α 1,...,α n m tales que α 1,...,α n m /m 2 es una base como k-espacio vectorial. Mostraremos que α 1,...,α n,c es base de m/m 2. En efecto, por 4.8, α 1,...,α n es un conjunto mínimo de generadores de m = m/ c y así m = α 1,...,α n + c, lo que implica que α 1,...,α n,c generan m/m 2. Probaremos ahora que son linealmente independientes. En efecto, si se tiene una combinación lineal (1) a 1 α a n α n + a n+1 c 0 (mód m 2 ) con los a i A (recordando que k = A/m), reduciendo (1) módulo c queda a 1α a nα n 0 (mód m 2 ) y la independencia lineal de los α i implica que a 1,...,a n son cero en k = A/m, es decir, sus representantes a 1,...,a n m y (1) queda de la forma a n+1 c 0 (mód m 2 ), i. e., a n+1 c m 2. Si sucediera que a n+1 m entonces sería unidad en A y consecuentemente c m 2, lo cual contradice la elección de c m m 2. Se sigue que a n+1 m y por lo tanto en (1) todos los coeficientes son cero, i.e., α 1,...,α n,c son una base de m/m 2. Lema 6.17 Sea (A, m) un anillo noetheriano local. Si A es regular, entonces para todo c m m 2 el cociente A/ c también es regular. Más aún, dima = dima/ c + 1. Demostración. El ejercicio 9 de este capítulo dice que si A = A/ c y m = m/ c, entonces (1) h(m) = h(m/ c ) h(m) h(m/ c ) + 1 = h(m ) + 1 porque c es generado por n = 1 elemento. Por lo tanto, dim k ( m /m 2) h(m ) h(m) 1 = dim k ( m/m 2 ) 1 = dim k ( m /m 2)

159 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos 149 donde la primera desigualdad es por 6.15, la segunda desigualdad es (1), la primera igualdad es porque (A,m) es regular y la segunda igualdad por Se sigue que todas las desigualdades son igualdades, en particular dim k ( m /m 2) = h(m ) = dima = dima/ c y por lo tanto A/ c es regular de dimensión dima 1. Teorema 6.18 Sea (A, m) un anillo noetheriano local. Si A es regular, entonces es un dominio entero. Demostración. Por inducción sobre d = dima = dim k (m/m 2 ). Si d = 0, es el ejemplo 5. Supongamos ahora que d 1 y que el teorema es cierto para anillos regulares de dimensión d 1. Antes de hacer la inducción observemos que si A contiene ideales p c, con p primo, entonces A es un dominio entero. En efecto, sea a p y supongamos que a c n = c n para algún n 1. Entonces, a = bc n con b A. Como c p, se debe tener que b p c y así a c n+1. Continuando de esta manera vemos que a c m para todo m 1, es decir, a c m = 0 (por 4.10) y así p = 0 y como es primo, entonces A es un dominio entero, como se quería. Regresando ahora a la inducción, sea c m m 2. Como A/ c es regular de dimensión d 1 por 6.17, la hipótesis de inducción implica que es un dominio entero y por lo tanto c es un ideal primo. Si h( c ) = 1, por la observación del párrafo anterior se sigue que A es dominio entero. Podemos entonces suponer que h( c ) = 0 y por lo tanto es primo mínimo de A. Sea S el conjunto de primos mínimos de A (sabemos que S es finito porque sus elementos son los primos mínimos de Ass(0)). Hemos así mostrado que para todo c m m 2, c S y por lo tanto m m 2 p Sp y consecuentemente m m 2 ( p S p ). Por el ejercicio 12 de este capítulo (que generaliza 1.9) se sigue que m m 2 ó m está contenido en alguno de los primos mínimos p S y por lo tanto es igual a uno de éstos. Si m m 2, entonces m = m 2 y por el lema de Nakayama se sigue que m = 0, lo cual contradice el que h(m) = dima 1. Si m S, entonces h(m) = 0, lo cual también contradice el que h(m) = dima 1. Se sigue que h( c ) = 0 no es posible y así h( c ) = 1 y como observamos antes, ésto implica que A es dominio entero. Corolario 6.19 Sea (A, m) un anillo noetheriano local. Si A es regular de dimensión 1, entonces A es un DIP con un único ideal primo no nulo. Demostración. Sea I cualquier ideal propio no nulo de A. Por 6.14, I es principal, digamos I = a, y se tiene que I = m porque m es el único primo que contiene a I ya que h(m) = 1. Así, por 4.12, m r I para algún r 1. Se sigue que A/m r es noetheriano local de dimensión 0 y por lo tanto es artiniano local. Por 4.39 todos los ideales de A/m r son principales, en particular I = a s para algún s 1. Por lo tanto, I = a s + m r y consecuentemente I = a s, por Nakayama.

160 150 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos Ejemplo 6. Si (A,m) es un anillo noetheriano local de dimensión 1, entonces A es regular si y sólo si A es un anillo de valuación discreta. En efecto, ésto es la equivalencia entre (1) y (6) del teorema 5.7 del capítulo anterior. Ejercicios 6.1. Demuestre que un dominio entero de dimensión cero es un campo Si L/K es una extensión algebraica de campos y α 1,...,α n L, demuestre que K[α 1,...,α n ] = K(α 1,...,α n ) Si K es un campo, A = K[α 1,...,α n ] es un dominio entero, r = grtr K (A) y r > 0, demuestre que A no es un campo Si K es un campo y A es una K-álgebra de tipo finito sobre K e I A es un ideal propio, demuestre que I = m m I donde m recorre los ideales máximos de A que contienen a I En el ejercicio anterior concluya que todo ideal primo de A se puede escribir como intersección de ideales máximos Si A es un anillo noetheriano, demuestre que todo ideal primo p de altura n aparece como un primo mínimo de un ideal generado por n elementos Si A B son anillos con B entero sobre A, demuestre que dima = dimb Sean A B anillos que satisfacen las hipótesis del teorema de bajada Si q B es primo y p = q A, demuestre que h(q) h(p) Si A es un anillo noetheriano e I A es un ideal generado por n elementos, demuestre que para todo ideal primo p que contiene a I se tiene que h(p/i) h(p) h(p/i) + n Sea K un campo. Demuestre que toda K-álgebra A K[x] es de tipo finito sobre K y si K A, entonces dima = 1. Vea el ejercicio 24 del capítulo Si K es un campo algebraicamente cerrado y f K[x 1,...,x n ] es un polinomio irreducible, un punto P V f es liso si y sólo si no todas las derivadas parciales formales f / x i se anulan en P. Sea A = K[x 1,...,x n ]/ f y sea m el ideal máximo correspondiente al punto P, i.e., si P = (a 1,...,a n ), entonces m = x 1 a 1,...,x n a n. Demuestre que P es liso si y sólo si A m es un anillo local regular, i.e., dim k (m/m 2 ) = dima m. Note que por 4.14, m/m 2 ma m /(ma m ) 2.

161 6 Dimensión de álgebras y anillos noetherianos (Una generalización de 1.9). Sean a,p 1,...,p n ideales de un anillo A, con los p i primos. Si I es un ideal de A tal que I a ( n ) p i demuestre que I a ó I p i para algún i. i=1

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163 Capítulo 7 Topologías, filtraciones y completaciones Cuando se tiene una métrica en un anillo A y se consideran sucesiones con valores en A, es sabido que toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy, pero el recíproco no es cierto en general, por ejemplo en la métrica dada por el valor absoluto usual de Q hay sucesiones de Cauchy cuyo límite no es un racional. La completación de Hausdorff de Q es el campo R de los números reales y en la topología inducida Q R es denso. Estas completaciones aparecen también en teoría de números, por ejemplo al estudiar congruencias módulo un entero m, a las que conviene ver como ecuaciones en el anillo Z/mZ y gracias al teorema chino del residuo 1.6, estudiar ecuaciones polinomiales en Z/mZ es equivalente a estudiar ecuaciones en Z/p n Z para p un primo. Cuestiones importantes de teoría de números, relacionadas con estimaciones asintóticas acerca de estas soluciones variando n, pueden ser formuladas mejor considerando las ecuaciones en un límite de los anillos Z/p n Z cuando n, es decir en el anillo de enteros p-ádicos. Kurt Hensel introdujo los números p-ádicos como series de potencias con respecto al primo p, usando la analogía entre el anillo de enteros Z y su campo de cocientes Q y el anillo de polinomios C[x] y su campo de cocientes C(x), y donde los primos p Z corresponden a los polinomios irreducibles (x α) C[x]; Hensel nota que dado cualquier polinomio f (x) C[x] y cualquier α C fijo, es posible escribir (con a i C) (1) f (x) = n i=0 a i (x α) i, por ejemplo usando la expansión de Taylor de f (x). Lo mismo se puede hacer con enteros (digamos, positivos): dado m 1 y un primo p fijo, se tiene que (2) m = n i=0 a i p i, con a i Z y 0 a i p 1. El paso siguiente es observar que en el campo C(x) cualquier función racional f (x) tiene una expansión como (1), sólo que ahora usual- 153

164 154 7 Topologías, filtraciones y completaciones mente es una serie (3) f (x) = a i (x α) i i n 0 con a i C y n 0 Z, a saber, la expansión de Laurent de f (x). La idea de Hensel es extender lo anterior, formalmente, a la expansión de un racional a Q en una serie de la forma (4) a = a i p i i n 0 con a i Z, n 0 Z. Por supuesto que estas series de potencias no convergen con respecto al valor absoluto usual y así no representan números en el sentido común del término, de tal forma que esta idea de Hensel y sus consecuencias aritméticas encontraron varios reparos al principio. En 1912 Josef Kürschák escribe un artículo donde aclara y fundamenta las ideas de Hensel introduciendo la noción de valuación en un campo (más precisamente, la noción de valor absoluto generalizado). En este artículo encontramos los axiomas ya familiares de un valor absoluto generalizado, i.e., una función K : K R tal que a K 0 para todo a K, a K = 0 si y sólo si a = 0, ab K = a K b K y la desigualdad del triángulo en la forma 1+a K 1+ a K. Los axiomas de Kürschák son generalizaciones de las propiedades que Hensel había dado (con alguna pequeña corrección al reemplazar p con p 1 ) en la definición del valor absoluto p-ádico. De esta forma, con el valor absoluto p en Q, las series (4) convergen en la completación Q p de Q con respecto a la nueva métrica. En este capítulo formalizamos las ideas anteriores en un contexto más general, comenzando recordando la formulación topológica de la completación de un anillo o un módulo, enfocándonos al caso cuando éstos tienen una filtración que determina la topología. Más adelante se algebriza aún más el proceso de completación, que en cierta forma es dual al proceso de localización del capítulo 3. Grupos topológicos. Un grupo topológico es un grupo G que tiene una topología que es compatible con la estructura de grupo, es decir, la operación de grupo G G G es continua (donde a G G se le da la topología producto) y la función G G definida al tomar inversos: a a 1 también es continua. Si a G, la función traslación izquierda T a : G G dada por x ax es continua, biyectiva y su inversa es T a 1 por lo que T a es un homeomorfismo. Note que T a no es un homomorfismo de grupos a menos que a = e, el elemento neutro de G en cuyo caso T e = id G. Ahora, si U es cualquier vecindad del neutro e G, entonces au es una vecindad de a, porque au = T a U, y toda vecindad abierta V de a es de la forma anterior, porque si U = T a 1V = a 1 V, entonces T a U = V. Así, en un grupo topológico G la topología está unívocamente determinada por las vecindades del elemento neutro de G. En muchos casos de interés el grupo G tiene una base de vecindades del neutro dada por una cadena de subgrupos normales de G: G = G 0 G 1 G 2

165 7 Topologías, filtraciones y completaciones 155 e interesa saber cuándo la topología en G es Hausdorff: Lema 7.1 Sea G un grupo topológico con una base de vecindades del neutro dada por una cadena de subgrupos normales G = G 0 G 1 G 2. Son equivalentes: (1) G es Haudorff. (2) Los puntos en G son cerrados. (3) G n = {e}. Demostración. (1) implica (2) es directo. Para (2) (1), note que si f : G G G es f (a,b) = ab 1, entonces la diagonal de G G es f 1 (e). Para (2) (3), observe que como cada G i es abierto, por definición, entonces los trasladados gg i también son abiertos y por lo tanto los complementos G G i también son abiertos porque son igual a la unión de las clases gg i con g G i ; se sigue que los G i son cerrados. Entonces, a G n a U, para todas las vecindades U del e G, y esto último sucede si y sólo si a {e}. Claramente (3) (2). Filtraciones. El caso que interesa en álgebra conmutativa es cuando G es el grupo aditivo de un anillo conmutativo A y en los ejemplos que importan se tiene una base de vecindades del neutro 0 A dadas por una familia numerable de subgrupos aditivos I n de (A,+) encadenados en forma decreciente, i.e., tales que A = I 0 I 1 I 2 I n de tal forma que V A es una vecindad del 0 si y sólo si existe un n tal que I n V. Diremos entonces que los subgrupos {I n } forman una filtración de A. Más aún, como los I n A son subgrupos (de la parte aditiva) del anillo A y éste tiene un producto, es natural el pedir que I m I n I m+n y decimos entonces que la filtración I n de A es compatible con el producto del anillo. Las filtraciones que consideraremos pueden estar indexadas por todos los enteros y para simplificar un poco la teoría al filtrar un anillo asumiremos que los I n A son ideales, no sólo subgrupos aditivos: dado un anillo A, una filtración en A es una familia de ideales {I n } n Z de A tales que: (i) I 0 = A. (ii) I n+1 I n. (iii) I m I n I m+n. Si A tiene una filtración, diremos que A es un anillo filtrado. Si A es un anillo filtrado, con filtración {I n }, y M es un A-módulo, una filtración en M es una familia {M n } n Z de submódulos de M tales que (i) M 0 = M. (ii) M n+1 M n. (iii) I m M n M m+n.

166 156 7 Topologías, filtraciones y completaciones Si M tiene una filtración, diremos que M es un módulo filtrado. Usando la filtración {M n } n Z como una base de vecindades del cero 0 M, resulta que M tiene una topología que es compatible con las operaciones del módulo M (i.e., la suma y considerar inversos aditivos son operaciones continuas y lo mismo multiplicar por escalares) y por lo tanto M es un módulo topológico. Si M = A, resulta que A es un anillo topológico. Por el lema anterior, la topología de M es Hausdorff si y sólo si M k = 0. Observe también que, por definición cada submódulo M k de la filtración es abierto y así, para cada x M las clases laterales x + M k (i.e., trasladados de M k ) también son abiertas y por lo tanto los complementos M M k también son abiertos (porque son unión de las clases laterales x+m k ), es decir, cada M k es abierto y cerrado. Se sigue que los cocientes M/M k son discretos en la topología cociente. Ejemplo 1. Si A es cualquier anillo e I A es un ideal, la filtración I-ádica de A está dada por {I n } n 0. Si M es un A-módulo, la filtración I-ádica de M está dada por M n = I n M, para n 0. Ejemplo 2. Si A es cualquier anillo, siempre se tiene la filtración trivial dada por { A si n 0, I n = 0 si n > 0. Ejemplo 3. Si N M es un submódulo de un módulo filtrado M, la filtración inducida en N es la filtración dada por N n = N M n. La filtración cociente en M/N es la filtración dada por (M/N) n = (M n + N)/N (i.e., la imagen de M n bajo el epimorfismo canónico M M/N). Si M, N son módulos filtrados sobre un anillo filtrado A, un morfismo de módulos filtrados es un A-morfismo f : M N que respeta las filtraciones, i.e., f (M n ) N n, para todo n Z. Ejemplo 4. Si A es un anillo filtrado, N es un A-módulo filtrado y M es cualquier A-módulo, entonces Hom A (M,N n ) es una filtración de Hom A (M,N). Aquí estamos usando que 0 N n N induce el monomorfismo 0 Hom A (M,N n ) Hom A (M,N). La función de orden. Si A es un anillo con una filtración {I n } n Z y M es un A- módulo con una filtración {M n } n Z, se define la función de orden ν : M Z { } para x M mediante { n si x M n pero x M n+1, ν(x) = si x M n. Note que si M n = 0, la última condición es sólo ν(0) =. Similarmente se define la función ν : A Z { }. Las propiedades siguientes son directas de las definiciones:

167 7 Topologías, filtraciones y completaciones 157 Lema 7.2 Sean {I n } una filtración en el anillo A y {M n } una filtración en un A- módulo M. Entonces: (1) Como los M n son subgrupos aditivos de M, (2) Más aún, si a A y x M, ν(x + y) mín{ν(x),ν(y)}. ν(ax) ν(a) + ν(x) porque I m M n M m+n. En particular, para a,b A, (3) M n = {x M : ν(x) n}. ν(ab) ν(a) + ν(b). Las propiedades (1) y (2) dicen que ν es como una valuación en M y la propiedad (3) dice que la filtración de M se recupera de la función de orden ν. La métrica asociada. Sea {M n } una filtración en un A-módulo M y sea ν : M Z { } la función de orden asociada. Si ρ es un número real tal que 0 < ρ < 1, se define la función d : M M R mediante d(x,y) = ρ ν(x y). Corolario 7.3 Sea {M n } una filtración en un A-módulo M. Entonces, (1) d(x,x) = 0. (2) d(x,y) = d(y,x). (3) d(x,y) máx{d(x,z),d(y,z)}. (4) M n = {x M : d(x,0) ρ n }. Demostración. La parte (1) es porque ν(x x) = ν(0) =. La parte (2) es porque x M n implica que x M n. Las partes (3) y (4) las dejamos como un ejercicio. Si M es Hausdorff, i.e., M n = 0 por 7.1, entonces la parte (1) del corolario se puede mejorar: (1 ) d(x,y) = 0 si y sólo si x = y. Por lo tanto, las partes (1 ), (2) y (3) nos dicen que d es una métrica en M. La parte (3) es más fuerte que la desigualdad del triángulo y se dice que d es una ultramétrica: d(x,y) d(x,z) + d(z,y). La parte (4) nos dice que la filtración en M se recupera de la métrica d.

168 158 7 Topologías, filtraciones y completaciones Sucesiones y filtraciones. Supongamos ahora que M es un A-módulo filtrado y que la topología inducida es Hausdorff. Si d es la métrica asociada, una sucesión de Cauchy en M es una sucesión {x n } de elementos de M tal que para cada ε > 0 existe un entero k > 0 tal que d(x m,x n ) < ε, para todo m,n k. Por la parte (4) del corolario anterior, observe que si {x n } es de Cauchy entonces existe un entero k > 0 tal que x m x n M k, para todo m,n k. Similarmente, una sucesión {x n } se dice que converge al límite l M si existe un entero k > 0 tal que x n l M n para todo n k. Claramente toda sucesión convergente es de Cauchy, pero la afirmación inversa no es cierta en general. Cuando toda sucesión de Cauchy en M converja a un límite en M, se dice que M es completo. En un módulo filtrado cuya topología es Hausdorff la convergencia de series se comporta mejor que en el caso real o complejo, porque la métrica inducida satisface la desigualdad ultramétrica, más fuerte que la del triángulo. Proposición 7.4 Si M es un A-módulo con una filtración {M k } tal que la topología inducida es Hausdorff y M es completo, entonces una serie n=0 x n, con x M converge en M si y sólo si la sucesión {x n } converge a cero. Demostración. Si n=0 x n = l, entonces la sucesión de sumas parciales S n = x 0 + x x n converge a l y por lo tanto lím n (S n S n 1 ) = 0, donde S n S n 1 = x n. Recíprocamente, si {x n } 0, entonces para todo entero n existe un entero N = N(n) tal que si k N se tiene que x k M n y por lo tanto x k + x k x k+i M n para todo i 0, es decir, la sucesión de sumas parciales es de Cauchy y como M es completo, entonces converge en M. Completaciones. Si M es un A-módulo filtrado Hausdorff y d es la métrica asociada, la completación de M se construye, como en análisis, considerando el conjunto M de sucesiones de Cauchy en M. Con la suma usual de sucesiones, M es un grupo abeliano y se tiene una acción de A en M mediante a{x n } = {ax n } (que claramente sigue siendo de Cauchy) y así el conjunto M de sucesiones de Cauchy en M es un A-módulo. En M se define la relación {x n } {y n } si y sólo si {x n y n } 0 (la diferencia converge a cero). Esta es una relación de equivalencia y el conjunto cociente se denota por ˆM. Se prueba fácilmente que ˆM es un A-módulo definiendo las operaciones en las clases de equivalencia [x n ] ˆM usando representantes. Resulta también que ˆM es un espacio métrico con la distancia definida por d([x n ],[y n ]) := lím d(x n,y n ). Enviando x M a la (clase de equivalencia de la) sucesión constante n {x} se tiene la función natural siguiente que claramente es un A-morfismo inyectivo con imagen densa (vea el ejercicio 4): ρ : M ˆM. Completaciones y límites inversos. El proceso anterior se puede algebrizar aún más: si {x n } es una sucesión de Cauchy en M, para la filtración {M n } de M consideremos los epimorfismos M M/M n. Como {x n } es de Cauchy, existe un entero k > 0 tal que x n+1 x n M k para todo n k y por lo tanto x n+1 = x n en M/M k, es

169 7 Topologías, filtraciones y completaciones 159 decir, sus clases laterales ξ n+1 = ξ n en M/M k, i.e., las ξ n se vuelven constantes en M/M k. Es claro entonces que, bajo el morfismo natural φ n+1 : M/M n+1 M/M n se tiene que φ(ξ n+1 ) = ξ n, para todo n k. Más aún, si {x n } {y n }, entonces ambas sucesiones definen la misma sucesión de clases laterales {ξ n } en los cocientes M/M n. Recíprocamente, dada una sucesión de clases laterales {ξ n } en M/M n tal que φ(ξ n+1 ) = ξ n, escogiendo un representante x n ξ n de cada clase lateral, se tiene que x n+1 x n M n y así {x n } es una sucesión de Cauchy en M. Por lo tanto, ˆM se puede construir usando las sucesiones ξ n de los cocientes M/M n, sin tener que pensar en clases de equivalencia de {x n } y a partir de ahora pensaremos que ˆM consiste de estas sucesiones de Cauchy {ξ n } a las que podemos considerar como (ciertos) elementos del producto directo n M/M n. Para saber cuáles elementos de n M/M n están en ˆM, recordemos que las clases ξ n M/M n son compatibles en el sentido que el morfismo natural φ n+1 manda ξ n+1 ξ n. Por lo tanto, ˆM consiste de los elementos {ξ n } n M/M n que son compatibles con los morfismos φ n. De hecho, ˆM es un submódulo de M/M n que satisface las condiciones siguientes: para la familia de A-módulos {M/M n } n 0 y la familia de morfismos φ n m : M/M n M/M m para cada m n, dados por las composiciones M/M n φ n M/M n 1 φ n 1 M/M n 2 M/M m+1 φ m+1 M/M m éstos satisfacen que siempre que m n k se tiene que φ k n φ n m = φ k m. En estas condiciones se dice que {M/M n,φ n m} es un sistema inverso de módulos. Entonces, considerando el producto directo M/M k y las proyecciones naturales p n : M/M k M/M n en el diagrama siguiente, para m n, pn M/M k p m p n 1 M/M n M/M φn 1 n n 1 M/M m+1 M/M φ m+1 m m en general, los triángulos del diagrama no conmutan y por ello tiene que tomarse el submódulo ˆM k M/M k de sucesiones compatibles y las restricciones de las proyecciones naturales a ˆM para que en el diagrama siguiente los triángulos inferiores conmuten: p m+1 M/M k p n p n ˆM p m p m M/M n φ n n 1 p n 1 p m+1 M/M n 1 M/M m+1 φ m+1 m M/M m

170 160 7 Topologías, filtraciones y completaciones Límites inversos. La construcción anterior de ˆM es un caso especial del límite inverso de un sistema inverso de A-módulos. Como muchas propiedades de la completación ˆM de un A-módulo filtrado M se pueden deducir más fácilmente de las propiedades del límite inverso, a continuación recordamos la definición, construcción y propiedades que usaremos de este límite. Para comenzar, los datos de la construcción anterior incluían una familia de módulos M/M n indexada por los enteros N {0} no negativos y para cada m n se tienen un morfismos φ n m : M/M n M/M m tales que si m n k satisfacen que φ n m φ k n = φ k m. Lo primero que se generaliza es el conjunto ordenado de índices. Si Λ es un conjunto con una relación que satisface (i) Es reflexiva, i.e., i i para todo i A. (ii) Es transitiva, i.e., i j y j k implican que i k. Diremos que (Λ, ) es un conjunto dirigido 1 si además satisface que: (iii) Para cada par i, j Λ existe un k Λ tal que i k y j k. Ahora, si A es un anillo y Λ es un conjunto dirigido, un sistema inverso es una familia de A-módulos {M i } i Λ indexada por Λ y una familia de A-morfismos ϕ j i : M j M i, para cada par de índices i, j Λ tal que i j (del grande al chico ) que satisfacen las condiciones siguientes: (i) ϕ i i = id M i, para todo i Λ. (ii) ϕ j i ϕk j = ϕk i, siempre que i j k en Λ. Consideremos entonces el producto directo k M k y los diagramas siguientes, para cada i j: M j p j M k ϕ j i donde p n : M k M n son las proyecciones del producto directo. En general, estos diagramas no conmutan, ya que dado (x k ) M k no hay razón genérica para que ϕ j i p j(x k ) = ϕ j i (x j) sea igual a p i (x k ) = x i. Consideremos entonces el subconjunto lim M k M k dado por aquellos elementos (x k ) tales que ϕ j i p j (x k ) = x i. Claramente, limm k es un submódulo de M k y restringiendo las proyecciones p n a lim M k los triángulos inferiores del diagrama siguiente conmutan, siempre que i j en Λ: p i M i 1 Note que no exigimos que la relación sea antisimétrica, i.e. que i j y j i impliquen que i = j, sin embargo en muchos de los ejemplos éste es el caso y por lo tanto (Λ, ) será un conjunto parcialmente ordenado en esos ejemplos.

171 7 Topologías, filtraciones y completaciones 161 M k M j p j p j lim M k ϕ j i El módulo limm k se conoce como el límite inverso del sistema {M k,ϕ j i } Λ y la proposición siguiente lista sus propiedades más importantes, en particular su unicidad justificando el artículo determinado: Proposición 7.5 (Propiedad universal del límite inverso) Si {M k,ϕ j i } Λ es un sistema inverso de A-módulos, el módulo limm k junto con las proyecciones p n : lim M k M n es tal que siempre que i j en Λ, los triángulos siguientes conmutan M j p j lim M k ϕ j i y si M es cualquier otro A-módulo junto con morfismos q k : M M k, para cada k Λ, tales que los triángulos del diagrama siguiente conmutan M j q j M ϕ j i entonces existe un único morfismo ϑ : M lim M k tales que los triángulos laterales del diagrama siguiente conmutan: M j es decir, p j ϑ = q j, para toda j Λ. q j p j M ϑ lim M k ϕ j i Demostración. La primera parte se probó antes del enunciado. Para definir ϑ, sea x M y pongamos ϑ(x) = (q k (x)). Note que si i j entonces, p i p i q i p i p i M i q i M i M i M i ϕ j i p j(q k (x)) = ϕ j i (q j(x)) = q i (x)

172 162 7 Topologías, filtraciones y completaciones porque el segundo diagrama del enunciado conmuta por hipótesis. Se sigue que (q k (x)) limm k y por lo tanto ϑ tiene el codominio indicado. Como las q k son morfismos, ϑ también lo es. Ahora, si x M, calculando p j ϑ(x) = p j (q k (x)) = q j (x) por lo que ϑ hace conmutar los triángulos laterales. Si γ : M lim M k es otro morfismo tal que p j γ = q j, para toda j Λ, entonces si x M, escribiendo γ(x) = (z k ) lim M k y aplicando las proyecciones canónicas p j se tiene que p j (γ(x)) = p j (z k ) = z j y como p j γ = q j, entonces z j = q j (x) y por lo tanto γ(x) = ϑ(x), como se quería. Corolario 7.6 Si {M k,ϕ j i } Λ es un sistema inverso de A-módulos, el módulo limm k junto con las proyecciones p k : limm k M k es único, salvo isomorfismo, con la propiedad universal de la proposición anterior. Demostración. La usual para objetos que satisfacen propiedades universales. Ejemplo 5. El caso que nos interesa es cuando se tiene un A-módulo filtrado M, con filtración {M k } k Z, de tal forma que el sistema inverso está dado por los cocientes M/M k y los morfismos naturales φm n : M/M n M/M m, siempre que m n. En el caso cuando la topología inducida por la filtración {M k } es Hausdorff, el módulo lim M/M k es isomorfo a la completación ˆM de M definida usando sucesiones de Cauchy. En el caso general, diremos que por definición, ˆM := lim M/M k es la completación o completado de M. Observe ahora que los epimorfismos canónicos q k : M M/M k inducen, por la propiedad universal del límite inverso, un único A-morfismo ϑ : M ˆM = lim M/M k tal que los diagramas del corolario siguiente conmutan: Corolario 7.7 Si {M k } k Z es una filtración de un A-módulos M, existe un único A-morfismo ϑ : M ˆM tal que los diagramas siguientes conmutan, siempre que i j: M q j M/M j p j ϑ ˆM ϕ j i p i q i M/M i

173 7 Topologías, filtraciones y completaciones 163 Dejamos para el ejercicio 4 el probar que, cuando la topología es Hausdorff, ϑ : M ˆM corresponde a la inclusión de M en su completado, enviando un elemento x M a la clase de equivalencia de la sucesión constante (x). Otra parte del ejercicio será probar que la imagen ϑ(m) ˆM es densa, cuando a ˆM se le da la topología como subespacio de M/M k, donde cada M/M k tiene la topología discreta y M/M k la topología producto. Más aún, ϑ es continua. Note que en general, el núcleo de ϑ : M ˆM es n 0 M n. Ejemplo 6. Ordenando los enteros de Z por divisibilidad, i.e., m n si y sólo si m n, se tiene la filtración mz nz siempre que m n, i.e., Z = 1Z mz nz y los anillos Z/nZ junto con las proyecciones canónicas Z/nZ Z/mZ siempre que m n, forman un sistema inverso cuyo límite inverso, la completación de Z, se conoce como el anillo de Prüfer Ẑ := lim m Z/mZ. Ejemplo 7. Si I = pz Z, con p un primo, se tiene la filtración p-ádica {p n Z} n 0 de Z, donde notamos que p n Z = 0 por lo que la topología correspondiente es Hausdorff. La completación p-ádica de Z está dada considerando los anillos Z/p n Z, para n N, junto con los morfismos naturales Z/p n Z Z/p m Z para n m, que forman un sistema inverso: Z/p m+1 Z Z/p m Z Z/p m 1 Z Z/pZ cuyo límite inverso, la completación p-ádica de Z, es el anillo de enteros p-ádicos: Z p := lim m Z/p m Z. Ejemplo 8. En general, si I A es un ideal, para la filtración I-ádica {I n } n 0 del ejemplo 1, la completación  se llama la completación I-ádica de A. El núcleo del morfismo A  de 6.7 es I n por lo que el morfismo anterior es inyectivo si y sólo si la topología I-ádica de A es Hausdorff. Ejemplo 9. Si A es cualquier anillo conmutativo y B = A[x 1,...,x n ] es el anillo de polinomios en n indeterminadas con coeficientes en A y m = x 1,...,x n (ideal de B), entonces la completación m-ádica de B es el anillo de series de potencias formales con coeficientes en A: ˆB A[[x 1,...,x n ]] donde recordamos que los elementos de A[[x 1,...,x n ]] son las expresiones de la forma

174 164 7 Topologías, filtraciones y completaciones f = a (ν) x i 1 1 x i n n (ν) con (ν) = (i 1,...,i n ) n-adas ordenadas de enteros i k 0 y los coeficientes a (ν) A. Suma y producto de dos series formales se definen en la forma natural de tal manera que A[[x 1,...,x n ]] es un anillo conmutativo con uno. Observe que cada polinomio f A[x 1,...,x n ] se puede ver como una serie formal (finita) y por lo tanto se tienen inclusiones A A[x 1,...,x n ] A[[x 1,...,x n ]]. Para demostrar la afirmación inicial de que A[x 1,...,x n ]ˆ A[[x 1,...,x n ]], comenzamos observando que se tienen los morfismos A[[x 1,...,x n ]] A[x 1,...,x n ]/m i = B/m i que mandan f f +m i (notando que esta última expresión en efecto trunca la serie formal f a (la clase lateral de) un polinomio de grado i) y así, por la propiedad universal de la completación (i.e., del límite inverso ˆB = limb/m i ) los morfismos anteriores inducen un único morfismo A[[x 1,...,x n ]] ˆB que manda f ( f + m, f + m 2, f + m 3,...) ˆB B/m i. Este morfismo tiene como inverso a la función que manda ( f 1 + m, f 2 + m 2, f 3 + m 3,...) ˆB, con los f i polinomios compatibles, i.e., tales que f i = f j + términos de grado > mín{i, j}, a la serie de potencias formales f 1 + ( f 2 f 1 ) + ( f 3 f 2 ) +, notando que ésta es una serie de potencias formales porque los grados de f i+1 f i son i + 1 y la serie es independiente de la elección de los f i en las clases f i + m i. En 7.27 probaremos que si A es noetheriano, entonces A[[x 1,...,x n ]] también lo es, un hecho análogo al teorema de la base de Hilbert y que será válido en general, i.e., si A es noetheriano entonces su completación I-ádica  también será noetheriana, como probaremos en Propiedades de exactitud. Si {M i,ϕ j i } Λ y {N i,ψ j i } Λ son dos sistemas inversos con el mismo conjunto de índices Λ, un morfismo de sistemas inversos es una familia de A-morfismos { f i : M i N i } i Λ tales que los diagramas siguientes conmutan para todo i j en Λ M j ϕ j i M i f j N j ψ j i N i f i

175 7 Topologías, filtraciones y completaciones 165 Obviamente la identidad {id i : M i M i } i Λ es un morfismo de sistemas inversos y la composición de dos morfismos de sistemas inversos también lo es. Si 0 = {0} Λ es el sistema inverso cero, se tienen los morfismos de sistemas inversos obvios 0 {M i } y {M i } 0. Supongamos ahora que { f i : M i N i } i Λ es un morfismo de sistemas inversos. Considerando los diagramas M j f j N j p j lim M k ϕ j i ψ j i p i M i N i f i q j lim N k notamos que como ψ j i ( f j p j ) = f i p i, entonces la propiedad universal de limn i implica la existencia de un único morfismo f : limm k limn k tal que q j f = f j p j, para toda j Λ. Note que si { f i : M i N i } i Λ y {g i : N i P i } i Λ son morfismos de sistemas inversos y f : limm k limn k, g : limn k limp k son los morfismos inducidos en los límites inversos, entonces g f : limm k limp k es el morfismo inducido por la composición {g i f i : M i P i } i Λ. Claramente el morfismo inducido por la identidad {id i : M i M i } i Λ es la identidad id : limm k limm k. Hemos así mostrado que el límite inverso es un funtor covariante. Ejemplo 10. Si M es un A-módulo con una filtración {M n } y además tiene otra filtración {M n}, hemos visto que cada filtración define una topología en M tomando como base los submódulos de la filtración correspondiente. Sabemos entonces que para que las dos filtraciones definan la misma topología en M se requiere que para cada M i exista un M j tal que M j M i y recíprocamente, i.e., para cada M k exista un M t tal que M t M k. Entonces, las completaciones definidas usando sucesiones de Cauchy en M son la misma. Para ver lo anterior usando la definición de completación en términos de límites inversos, observemos que la condición de que para cada M i exista un M k M i implica que se tienen morfismos q i M/M i M/M k que son compatibles con las proyecciones, es decir, si i j escogiendo M k M i y M t M j, y escogiendo l k,t de tal forma que M l M t M j y M l M k, los cuadrados siguientes conmutan

176 166 7 Topologías, filtraciones y completaciones M/M j M/M i M/M l M/M k por lo que estos morfismos inducen limm/m k limm/m k, y similarmente para la condición de que para cada M i exista un M j tal que M j M i se tienen los diagramas correspondientes que inducen el morfismo limm/m k lim M/M k. Dejamos como un ejercicio el probar que estos dos morfismos son inversos uno del otro y por lo tanto lim M/M k limm/m k por lo que la completación ˆM sólo depende de la topología de M. Una sucesión de sistemas inversos (indexados por Λ) 0 {M i} {M i } {M i } 0 se dice que es exacta si para cada i Λ las sucesiones de módulos 0 M i M i M i 0 son exactas. Podemos entonces considerar los morfismos inducidos en los límites: 0 limm i limm i limm i 0 y la proposición siguiente nos dice lo que podemos esperar sobre la exactitud de esta sucesión, donde la primera parte nos dice que el límite inverso es un funtor exacto izquierdo: Proposición 7.8 Si 0 {M i } {M i} {M i } 0 es una sucesión exacta de sistemas inversos, entonces: (1) La sucesión es exacta. 0 limm i limm i limm i (2) Si para el sistema inverso {M j,ϕ j j i } los morfismos ϕi : M j M i son suprayectivos (en cuyo caso diremos que {M i,ϕ j i } es un sistema suprayectivo), entonces es exacta. 0 limm i limm i limm i 0 Demostración. Defina d : M i M i mediante d (x i ) = ( x i ϕ j i (x j) ) de tal forma que limm k = kerd. Similarmente defina d : M i M i y d : M i M i. Como el producto directo es un funtor exacto, entonces la sucesión exacta de sistemas inversos 0 {M i } {M i} {M i } 0 induce el diagrama conmutativo siguiente, con renglones exactos,

177 7 Topologías, filtraciones y completaciones M i M i M i 0 d 0 M i d d M i M i que, por el lema de la serpiente, induce una sucesión exacta de la forma 0 kerd kerd kerd δ Cokerd Cokerd Cokerd 0 lo cual prueba la parte (1). Para probar (2) debemos mostrar que Cokerd = 0 o lo que es lo mismo, debemos mostrar que d : M i M i es suprayectivo, i.e., que para todo (y k ) M i existe (x k) M i tal que d (x k ) = (y k ), i.e., tal que 0 ( ) x i ϕ j i (x j) = y i para todo i. Observe ahora que como los ϕ j i : M j M i son suprayectivos, entonces las ecuaciones ( ) siempre son solubles, es decir, para x i y i M i existe x j M j tal que ϕ j i (x j) = x i y i, como se quería. Ejemplo 11. Si M es un A-módulo con una filtración {M i } Λ y N M es un submódulo con la filtración inducida N i = N M i y la filtración cociente en M/N dada por (M/N) i = (M i + N)/N, vea el ejemplo 3, entonces 0 {N/N i } {M/M i } {(M/N)/(M/N) i } 0 es una sucesión exacta corta de sistemas inversos ya que (M/M i )/(N/N i ) = (M/M i )/(N/(N M i )) (M/M i )/((M i + N)/M i ) M/(M i + N) (M/N)/((M i + N)/N) = (M/N)/(M/N) i y como los morfismos del sistema {(M/N)/(M/N) i } son suprayectivos, entonces: Corolario 7.9 Si M es un A-módulo filtrado y N M es un submódulo con la filtración inducida y M/N la filtración cociente, entonces se tiene la sucesión exacta de completaciones: 0 ˆN ˆM M/N 0 y por lo tanto M/N ˆM/ ˆN. En particular, para N = M i M, se tiene la sucesión exacta corta 0 ˆM i ˆM M/M i 0

178 168 7 Topologías, filtraciones y completaciones por lo que ˆM es un módulo filtrado por los ˆM i, y como vimos en el párrafo antes del ejemplo 1, M/M i es discreto y por lo tanto M/M i = M/M i y así la sucesión exacta corta anterior implica: Corolario 7.10 Si {M i } es una filtración en el A-módulo M, entonces para la filtración { ˆM i } de ˆM se tiene que ˆM/ ˆM i M/M i. Corolario 7.11 Si {M i } es una filtración en el A-módulo M, entonces ˆM ˆM. Demostración. Por el corolario anterior ˆM = lim ˆM/ ˆM i lim M/M i = ˆM. Si M ˆM, se dice que M es completo. Así, el corolario anterior dice que el completado ˆM de un módulo M es completo. Ejemplo 12. En los ejemplos 6 y 7, para las completaciones Ẑ y Z p, nótese que por 7.9 se tienen isomorfismos Ẑ/nẐ Z/nZ. Ahora, si cada natural n se descompone como producto de primos n = p p n p, entonces, por el teorema chino del residuo, se tiene una descomposición Ẑ Z p. p Anillos y módulos graduados. Un anillo graduado es un anillo A junto con una familia de subgrupos aditivos {A n } n 0 tales que A = A n y A m A n A m+n, para todo m,n 0. En particular, A 0 A 0 A 0 y por lo tanto A 0 es un subanillo de A. Si A es un anillo graduado con graduación {A n }, un A-módulo graduado es un A-módulo M junto con una familia de subgrupos aditivos {M n } n 0 tales que M = M n y A m M n M m+n, para todo m,n 0. Si M = M n y N = N m son A-módulos graduados, un morfismo de módulos graduados es un A-morfismo f : M N tal que f (M m ) N m, para todo m 0. Si x M n M = M k, diremos que x es homogéneo de grado n. Todo elemento x M se puede escribir como una suma finita de elementos homogéneos x = x n, con x n M n, y los sumandos homogéneos x n se llaman las componentes homogéneas de x. Ejemplo 13. Si A = K[x 1,...,x n ] es el anillo de polinomios sobre un anillo K, entonces A es un anillo graduado definidiendo A k como el conjunto de polinomios homogéneos de grado k:

179 7 Topologías, filtraciones y completaciones 169 f (x 1,...,x n ) = i 1 + +i n =k a i1 + +i n x i 1 1 x i n n. Ejemplo 14. Si A es un anillo e I A es un ideal, entonces B I (A) = A := I n n 0 es un anillo graduado al que se llama el álgebra de dilatación. Nótese que como A = I 0 B I (A), entonces B I (A) es, en efecto, una A-álgebra. Similarmente, si M es un A-módulo con una filtración {M n } n 0 compatible con I, i.e., tal que IM n M n+1, entonces B I (M) = M = M n es un A -módulo graduado ya que I m M n M m+n. Ejemplo 15. Si A es noetheriano e I = a 1,...,a n, en el ejemplo anterior se tiene que A = A[a 1,...,a n ] y es noetheriano por el teorema de la base de Hilbert. Ejemplo 16. Si A es un anillo e I es un ideal de tal manera que A tiene la filtración I-ádica {I n } n 0, sea gr I (A) = gr(a) := n 0 I n /I n+1 = A/I + I / I 2 I 2 /I 3 donde I 0 := A. Entonces, gr I (A) es un anillo graduado donde la suma es la del grupo aditivo que define la suma directa y para el producto, si a m I m /I m+1 y a n I n /I n+1 están representados por a m I m y a n I n, entonces el producto a m a n := a m a n I m+n /I m+n+1. Se verifica directamente que lo anterior está bien definido, i.e., no depende de los representantes y que gr(a) es un anillo conmutativo con uno, al que se conoce como el anillo graduado asociado a A. Similarmente, si M es un A-módulo con una filtración {M n } n 0 tal que IM n M n+1, el módulo graduado asociado de M es gr I (M) = gr(m) := n 0 M n /M n+1 y se prueba fácilmente que gr(m) es un gr(a)-módulo. Lema 7.12 Sean A un anillo noetheriano, M un A-módulo finitamente generado y {M n } una filtración de M tal que IM n M n+1. Son equivalentes: (1) M es un A -módulo finitamente generado. (2) Existe n 0 0 tal que IM n = M n+1 para todo n n 0. (En este caso diremos que la filtración es I-estable).

180 170 7 Topologías, filtraciones y completaciones Demostración. Supongamos que M es finitamente generado. Sus generadores están entonces en los primeros n 0 sumandos M i, para algún n 0. Reemplazando estos generadores por sus componentes homogéneas, éstas siguen siendo un número finito y generan M. Esto implica que M n0 M n0 +1 está generado por M n0 como A - módulo y por lo tanto M i+no = I i M n0 para todo i 0, i.e., la filtración es I-estable. Recíprocamente, si M i+n0 = I i M n0 para algún n 0 y todo i 0, entonces M está generado por la unión de los generadores de los M i para i n 0 y éste es un conjunto finito ya que cada M i es finitamente generado porque A es noetheriano y M es finitamente generado. Ejemplo 17. La filtración I-ádica de cualquier A-módulo M es estable porque I(I n M) = I n+1 M. El lema de Artin-Rees. Sean I A un ideal propio y N M un submódulo. Si en M se considera la filtración I-ádica {I i M} i 0, se tienen dos filtraciones en N, a saber, la filtración I-ádica {I i N} i 0 y la filtración inducida {N I i M} i 0 como submódulo del módulo filtrado M (ejemplo 3). Claramente I i N N I i M y en general no se tiene la igualdad, pero si A es noetheriano y M es finitamente generado, entonces las dos topologías en N coinciden como una consecuencia del lema de Artin-Rees que a continuación probaremos. Teorema 7.13 (Lema de Artin-Rees) Sean A un anillo noetheriano, M un A-módulo finitamente generado, I A un ideal y N M un submódulo. Entonces, existe un entero n 0 tal que para todo n > n 0 se tiene que N I n M = I n n 0 (N I n 0 M). Como la filtración I-ádica {I i M} es I-estable, por el ejemplo 17, el teorema anterior se puede formular de manera más general: Teorema 7.14 (Artin-Rees) Sean A un anillo noetheriano, M un A-módulo finitamente generado, I A un ideal y N M un submódulo. Si {M i } i 0 es una filtración I-estable de M, entonces la filtración inducida {N M i } i 0 en N es I-estable, es decir, existe un n 0 tal que para todo i 0, N M i+n0 = I i (N M n0 ). Demostración. Claramente N M es un A -submódulo y como I es finitamente generado, por el ejemplo 15 se sigue que A es finitamente generada como A-álgebra y por lo tanto A es noetheriano por el teorema de la base de Hilbert, y como por hipótesis M es I-estable, por el lema 7.12 anterior M es finitamente generado y así N es finitamente generado también ya que A es noetheriano. La generación finita de N y el lema 7.12 anterior implican que la filtración {N M i } i es I-estable.

181 7 Topologías, filtraciones y completaciones 171 La completación I-ádica. Por el ejemplo 17 la filtración I-ádica de un A-módulo cualquiera es I-estable. Por lo tanto, para mostrar que cualesquiera filtraciones I- estables en M definen la misma topología basta compararlas con la topología I- ádica: Proposición 7.15 Si {M n } es una filtración I-estable de M, entonces define la misma topología en M que la filtración I-ádica {I n M}. Demostración. Se tiene que IM n M n+1 para todo n y por lo tanto IM = IM 0 M 1 y así I 2 M IM 1 M 2 y recursivamente I n M M n para todo n. Recíprocamente, como existe un n 0 tal que IM n = M n+1 para todo n n 0, entonces IM n0 = M n0 +1 y así I 2 M n0 = IM n0 +1 = M n0 +2 y recursivamente M n+n0 = I n M n0 I n M es decir, M n+n0 I n M para n n 0. De la proposición anterior y del lema de Artin-Rees y en el caso cuando el anillo A es noetheriano se sigue que: Corolario 7.16 Si A es un anillo noetheriano, I A es un ideal, M es un A-módulo finitamente generado y N M es un submódulo, entonces las topologías I-ádica de N y la inducida como subespacio topológico de M, donde M tiene la topología I-ádica, son la misma. Propiedades de exactitud de la completación. Como una aplicación de 7.9 y 7.16 obtenemos: Teorema 7.17 Sea A un anillo noetheriano y sea 0 M M M 0 una sucesión exacta corta de A-módulos finitamente generados. Sea I un ideal de A. Entonces, la sucesión de completaciones I-ádicas siguiente es exacta: 0 ˆM ˆM ˆM 0. Demostración. Sólo observamos que por 7.16 la topología I-ádica de M es equivalente a la topología de M como subespacio de M con la topología I-ádica. El morfismo natural A  induce una estructura de A-álgebra en  y así para cualquier A-módulo M se tiene el Â-módulo  A M y el A-morfismo M ˆM induce el Â-morfismo siguiente:  A M  A ˆM   ˆM ˆM Corolario 7.18 Si A es noetheriano y M es finitamente generado, el morfismo natural anterior  A M ˆM es un isomorfismo. Demostración. Considere la sucesión exacta corta 0 M M M M 0 y sea I A un ideal. Como A es noetheriano, por 7.17 se tiene la sucesión exacta corta

182 172 7 Topologías, filtraciones y completaciones de completaciones I-ádicas 0 ˆM M M ˆM 0 que se escinde, porque la sucesión original lo hace. M M ˆM ˆM. Usando lo anterior e inducción se prueba que la completación I-ádica conmuta con sumas directas finitas. Por lo tanto, si n 1, se tiene que  A A n ( A A) n (Â) n  n. Ahora, como M es finitamente generado, se tiene una sucesión exacta corta de la forma 0 N A n M 0, que da lugar al diagrama conmutativo siguiente con renglones exactos:  A N α  A A n β  A M 0 f g h 0 ˆN γ  n δ ˆM 0 donde el renglón inferior es exacto por 7.17 ya que A es noetheriano y los módulos son finitamente generados y el renglón superior es exacto porque tensorar es exacto derecho. Como vimos antes, g es un isomorfismo y por lo tanto h es suprayectivo por la conmutatividad del cuadrado de la derecha. Ahora, como A es noetheriano y A n es finitamente generado, entonces N es finitamente generado, y por el argumento anterior reemplazando M con N se sigue que f es suprayectivo. Finalmente, una cacería en el diagrama demuestra que si h(x) = 0, entonces x = 0, i.e. h es inyectivo. Corolario 7.19 Si A es noetheriano, entonces  es plano como A-módulo. Demostración. Por 7.8 (1), el funtor completación M ˆM es exacto izquierdo y así, por el corolario anterior el funtor M  A M ˆM también es exacto izquierdo, en la categoría de módulos finitamente generados y por lo tanto en la categoría de todos los A-módulos por Ejemplo 18. Si A es noetheriano, el anillo de series formales A[[x 1,...,x n ]] es un A-módulo plano. En efecto, por el ejemplo 9, el anillo A[[x 1,...,x n ]] es la completación x 1,...,x n -ádica del anillo de polinomios A[x 1,...,x n ] y éste último es noetheriano por el teorema de la base de Hilbert y así el corolario anterior implica que A[[x 1,...,x n ]] es un A[x 1,...,x n ]-módulo plano. Pero, como A[x 1,...,x n ] es libre como A-módulo, entonces A[[x 1,...,x n ]] es plano como A-módulo. Si M es un A-módulo finitamente generado y A y M tienen la filtración I-ádica, el resultado siguiente identifica el núcleo I n M del morfismo M ˆM: Corolario 7.20 (Teorema de intersección de Krull) 2 Sean A un anillo noetheriano, I A un ideal y M un A-módulo finitamente generado con la filtración I- ádica. Entonces, el núcleo ker(m ˆM) = I n M está dado por N = {x M : existe a A tal que 1 a I y ax = 0}. Más aún, si I J(A), entonces N = 0 y por lo tanto la topología I-ádica de M es Hausdorff. 2 Vea 4.10 y 4.11.

183 7 Topologías, filtraciones y completaciones 173 Demostración. Para comenzar, si x N, es decir, si x M es tal que ax = 0 con 1 a I, entonces x = (1 a)x = (1 a) 2 x = I n M = ker(m ˆM). n=1 Para la otra inclusión, si x I n M observe primero que como I n M es la intersección de todas las vecindades del 0 M, la topología en I n M como subespacio de M es la trivial, i.e., I n M es la única vecindad del 0 I n M. Por 7.16 la topología inducida en I n M coincide con su topología I-ádica y como I( I n M) es una vecindad del 0 en la topología I-ádica, se debe tener que ( ) I ( I n M ) = I n M. Observe ahora que, como M es finitamente generado y A es noetheriano, entonces I n M es finitamente generado y así de la igualdad ( ) por el ejercicio 1 inciso (1) del capítulo 4 (una variación del lema de Nakayama 4.8) se sigue que existe a 1 I tal que a( I n M) = 0, en particular ax = 0 y por lo tanto x N. La última afirmación se sigue del hecho de que 1 a I J(A) implica que a es una unidad de A. Un caso particular del corolario anterior es: Corolario 7.21 Si (A,m) es un anillo noetheriano local y M es un A-módulo finitamente generado, entonces las topologías m-ádicas de A y M son Hausdorff. Si S = 1 + I, entonces S es un subconjunto multiplicativo de A y como el núcleo del morfismo de localización A S 1 A está formado por los elementos de A que tienen S-torsión, i.e., anulados por algún elemento de S, entonces este núcleo es el mismo N del corolario anterior, es decir, los núcleos de los morfismos A S 1 A y A  son iguales. Observe ahora que si a I, entonces la serie 1 + a + a 2 + a 3 + converge en  porque la sucesión {a n } converge a cero. Claramente (1 a)(1 + a + a 2 + a 3 + ) = 1 y así para todo elemento de S = 1+I su imagen en  es una unidad. Por la propiedad universal de S 1 A se sigue que existe un morfismo natural S 1 A  y el corolario anterior implica que este morfismo es inyectivo y así S 1 A se puede identificar con un subanillo de Â.

184 174 7 Topologías, filtraciones y completaciones Noetherianidad de una completación. El objetivo principal es probar que si A es noetheriano e I A es un ideal, entonces  es noetheriano. Comenzamos con una consecuencia de 7.10: Corolario 7.22 Si A es un anillo filtrado por {I n } n 0 y M es un A-módulo con una filtración {M n } n 0 compatible con la de A, i.e., tal que I m M n M m+n, sean gr(a) := I n /I n+1 y gr(m) := M n /M n+1. n 0 n 0 (Generalizaciones del ejemplo 16. Es claro que gr(m) es un gr(a)-módulo). Entonces, los morfismos canónicos ϕ : A  y ϕ : M ˆM inducen isomorfismos gr(a) gr(â) y gr(m) gr( ˆM). Demostración. El morfismo canónico ϕ : A  es el inducido por los epimorfismos q n : A A/I n que hacen conmutar los diagramas A q n A/I n p n ϕ  ϕ n m p m q m A/I m y por 7.10 se tiene que A/I n Â/Î n de donde se siguen, como en 4.14, por el lema del quinto, los isomorfismos I n /I n+1 Î n /Î n+1 y por lo tanto el isomorfismo gr(a) gr(â). Para M es similar. Proposición 7.23 Sea f : M N un A-morfismo de A-módulos filtrados. Si M es completo, N es Hausdorff y gr( f ) : gr(m) gr(n) es suprayectivo, entonces f (M n ) = N n para todo n, y N es completo. Demostración. Como f es morfismo de módulos filtrados, entonces f (M n ) N n para todo n. Mostraremos que f (M n ) = N n. Supongamos que y N n. Para comenzar, probaremos que existe una sucesión {x k } k 0 de elementos de M n tales que ( ) x k+1 x k (mód M n+k ) y f (x k ) y (mód N n+k ). Usaremos inducción, comenzando con x 0 = 0 M n notando que f (x 0 ) = f (0) y (mód N n ) porque y N n. Supongamos que ya se construyó x k. Entonces, f (x k ) y N n+k y como gr( f ) es suprayectivo existe un t k M n+k tal que f (t k ) f (x k ) y (mód N n+k+1 ). Poniendo x k+1 = x k t k claramente se cumple ( ). La sucesión {x k } es de Cauchy y como M es completo, su límite x = lím{x k } M. Ahora, como observamos en el párrafo antes del ejemplo 1, M n es cerrado y como los x k M n se sigue que x M n y satisface que f (x) = lím f (x k ) = y, porque f (x k ) y N n+k para

185 7 Topologías, filtraciones y completaciones 175 todo k. Por lo tanto f (M n ) = N n, como se quería. En particular, f es suprayectiva. Finalmente, como la topología de N es cociente de la topología de M, se sigue que M es completo. Corolario 7.24 Sean A un anillo filtrado completo y M un A-módulo filtrado Hausdorff. Sean x 1,...,x k M y sean n 1,...,n k enteros tales que x i M ni. Sea x i la imagen de x i en el cociente M ni /M ni +1. Si los x i generan gr(m) como gr(a)-módulo, entonces los x i generan M como A-módulo y M es completo. Demostración. Sea E = A k (la suma directa de k copias de A) y sea E n E el subgrupo aditivo formado por las k-adas (a 1,...,a k ) tales que a i I n ni. Note que si (a 1,...,a k ) E n+1, entonces a i I n+1 ni I n ni y por lo tanto (a 1,...,a k ) E n, es decir, {E n } es una filtración de E. Claramente la topología que induce esta filtración en E es la topología producto de E = A k. Ahora sea f : E M el A-morfismo dado por f (a 1,...,a k ) = k i=1 a ix i. Es claro que f es un morfismo de módulos filtrados y como por hipótesis los x i generan gr(m), entonces el morfismo gr( f ) : gr(e) gr(m) es suprayectivo con E = A k completo. Por la proposición 7.23 anterior se sigue que f : E = A k M es suprayectivo, los x i generan M y M es completo. Corolario 7.25 Sean A un anillo filtrado completo y M un A-módulo filtrado Hausdorff. (1) Si gr(m) es finitamente generado como gr(a)-módulo, entonces M es finitamente generado. (2) Si gr(m) es noetheriano como gr(a)-módulo, entonces M es noetheriano también. Demostración. La parte (1) es el corolario anterior. Para (2), si N M es cualquier submódulo, al equiparlo con la filtración inducida de la de M se tiene que gr(n) es un gr(a)-submódulo graduado de gr(m). Como gr(m) es noetheriano, entonces gr(n) es finitamente generado y así, por el corolario anterior (o la parte (1)) se sigue que N es finitamente generado y por lo tanto M es noetheriano. Corolario 7.26 Sean I A un ideal. Si A es noetheriano, entonces  también lo es. Demostración. Por el ejemplo 15, para I = a 1,...,a m se tiene que gr(a) = A[a 1,...,a n ] es noetheriano, por el teorema de la base de Hilbert. Por 7.22 se tiene que gr(a) gr(â) y por lo tanto gr(â) es noetheriano. Por el corolario 7.25 anterior se sigue que  es noetheriano. Corolario 7.27 Si A es noetheriano, entonces A[[x 1,...,x n ]] también lo es. Demostración. Por el ejemplo 9, A[[x 1,...,x n ]] es la completación x 1,...,x n -ádica del anillo de polinomios A[x 1,...,x n ] el cual es noetheriano por el teorema de la base de Hilbert. Localización y límites directos. En esta sección, que bien pudiera haber ido en el capítulo 3, explicamos la afirmación de que el proceso de completación es dual del

186 176 7 Topologías, filtraciones y completaciones proceso de localización de un módulo. Comenzamos con la noción dual de la de límite inverso: Si (Λ, ) es un conjunto dirigido, un sistema directo de A-módulos y A-morfismos consiste de una familia de A-módulos {M i } i Λ indexada por Λ y una familia de A-morfismos ϕ i j : M i M j, para cada par de índices i, j Λ tal que i j (del chico al grande ) que satisfacen las condiciones siguientes: (i) ϕ i i = id M i, para todo i Λ. (ii) ϕ j k ϕi j = ϕi k, siempre que i j k en Λ. Consideremos entonces la suma directa k M k y los diagramas siguientes, para cada i j: Mk µ i µ j M i ϕ i j donde µ n : M n M k son las inclusiones canónicas en la suma directa en el lugar n. En general, estos diagramas no conmutan, ya que dado x i M i no hay razón genérica para que µ j ϕ i j (x i) = ϕ i j (x j) sea igual a µ i (x i ) = x i. Consideremos entonces el submódulo N de M k generado por todas las diferencias M j µ j ϕ i j(x i ) µ i (x i ) = ϕ i j(x i ) x i donde i j y x i M i y el módulo cociente limm k := M k /N. Por abuso de notación, sigamos denotando con µ i a la composición M i M k M k /N = µ i lim M k. Entonces, los triángulos inferiores del diagrama siguiente conmutan, siempre que i j en Λ: Mk µ i µ i lim M k µ j µ j M i ϕ i j M j El módulo lim M k se conoce como el límite directo del sistema {M k,ϕ i j } Λ y la proposición siguiente lista sus propiedades más importantes, en particular su unicidad justificando el artículo determinado: Proposición 7.28 (Propiedad universal del límite directo) Si {M k,ϕ i j } Λ es un sistema directo de A-módulos, el módulo limm k junto con los morfismos µ n : M n lim M k es tal que siempre que i j en Λ, los triángulos siguientes conmutan

187 7 Topologías, filtraciones y completaciones 177 µ i lim M k µ j M i ϕ i j y si M es cualquier otro A-módulo junto con morfismos q k : M k M, para cada k Λ, tales que los triángulos del diagrama siguiente conmutan M i q i M ϕ i j entonces existe un único morfismo ϑ : lim M k M tales que los triángulos laterales del diagrama siguiente conmutan: M i q i µ i es decir, ϑ µ j = q j, para toda j Λ. M ϑ lim M k ϕ i j Demostración. La primera parte se probó antes del enunciado. Para definir ϑ, sea (x k ) limm k y pongamos ϑ(x k ) = q k (x k ) (la suma es finita porque x k = 0 excepto para un número finito de índices) y, recordando que limm k se definió como un cociente de la suma directa, observe que la conmutatividad del segundo diagrama del enunciado implica que ϑ se anula en el submódulo N M k y por lo tanto ϑ está bien definida. Ahora, si x i M i, calculando q j µ j M j M j q i M j ϑ µ i (x i ) = ϑ(x i + N) = q i (x i ) por lo que ϑ hace conmutar los triángulos laterales. Si γ : limm k M es otro morfismo tal que γ µ j = q j, para toda j Λ, entonces si (x k +N) limm k, escribiendo x k +N = µ k (x k )+N se tiene que γ(x k +N) = γ(µ k (x k )) = q k (x k ) = ϑ(x k +N) y por lo tanto γ = ϑ, como se quería. Corolario 7.29 Si {M k,ϕ i j } Λ es un sistema directo de A-módulos, el módulo limm k junto con los morfismos µ k : M k limm k es único, salvo isomorfismo, con la propiedad universal de la proposición anterior. Demostración. La usual para objetos que satisfacen propiedades universales. Ejemplo 19. El caso que nos interesa es cuando se tiene un subconjunto multiplicativo S A. Para comenzar, podemos ordenar S por divisibilidad, i.e., si f, g S

188 178 7 Topologías, filtraciones y completaciones diremos que f g si y sólo si f g en A, es decir, si g = f r con r A. Claramente esta es una relación reflexiva y transitiva. Ahora, si f,g S y f g, consideremos los anillos A f y A g definidos por los subconjuntos multiplicativos S f = { f i } i 0 y S g = {g i } i 0. Como g = f r, se tiene un morfismo de anillos ρ f g : A f A g dado por a/ f k ar k /g k donde notamos que como g k = f k r k entonces a/ f k = ar k / f k r k = ar k /g k y la definición anterior no depende del elemento r y claramente es un morfismo de anillos. Se verifica directamente que si f g y g h en S, entonces ρ g h ρ g f = ρ f h y ρ f f = id A f, es decir, {A f,ρg f } es un sistema directo de anillos indexado por S. Proposición 7.30 Si S A es un subconjunto multiplicativo, entonces S 1 A lima f. f S Demostración. Si f S, en el diagrama de morfismos canónicos de localizaciones A ρ S 1 A ρ f A f existe un único morfismo ϕ : A f S 1 A que hace conmutar el diagrama, de hecho está dado por ϕ(a/ f ) = a/ f ya que f S. Además, siempre que f g en S los diagramas siguientes conmutan ρ f S 1 A ρ g A f ρ f g y por lo tanto existe un único morfismo ρ : lim A f S 1 A tal que los diagramas siguientes conmutan A g ρ f µ f S 1 A ρ lim A f µ g ρ g A f ρ f g A g después use la propiedad universal de S 1 para definir un morfismo ϑ : S 1 A lim A f y pruebe que ρ ϑ = id y ϑ ρ = id.

189 7 Topologías, filtraciones y completaciones 179 El lema de Hensel. Si M es un A-módulo e I A un ideal, que M sea completo bajo la topología I-ádica quiere decir que el morfismo M ˆM es un isomorfismo, donde ˆM = limm/i k M, y así, para cada sucesión de Cauchy {x n } de elementos de M (i.e., tal que x k x k+1 I k M para toda k), existe un límite lím{x n } = x M i.e., existe un x M tal que x x k I k M, para todo k. Proposición 7.31 Sean M un A-módulo e I A un ideal. (1) Si A es completo en la topología I-ádica, entonces I J(A). (2) Si A y M son completos en la topología I-ádica y a I, entonces la multiplicación por 1 + a : M M es un isomorfismo. Demostración. (1): Si a I, entonces la sucesión {( 1) n a n } n 0 es de Cauchy y por lo tanto la serie ( 1) n a n = 1 a + a 2 a 3 + n=0 converge en A y claramente su límite es inverso multiplicativo de 1 + a, i.e., 1 + a A y así, por 4.7, a J(A), i.e., I J(A). (2): Como M ˆM, entonces M es un Â-módulo y como  es completo y a I, entonces 1 + a es una unidad de  (más bien, la imagen de 1 + a en  A) y por lo tanto 1 + a : M M es un isomorfismo. El lema de Hensel que veremos a continuación tiene, en cierta forma, alguna semejanza con el lema de Gauss 1.3 que nos dice que si A es un DFU, K es su campo de fracciones y un polinomio f (x) A[x] se factoriza en K[x], entonces se factoriza en A[x]. El lema de Hensel nos dice que, si (A,m) es un anillo local completo en la topología m-ádica y k = A/m, para un polinomio f (x) A[x], una factorización en k[x] se levanta a una factorización en A[x]: Teorema 7.32 (Lema de Hensel) Sea (A, m) un anillo local completo en la topología m-ádica y sea k = A/m su campo residual. Sea f (x) A[x] mónico y sea f (x) k[x] el polinomio obtenido al reducir los coeficientes de f (x) módulo m. Si existen polinomios mónicos coprimos G(x), H(x) k[x] tales que f = GH, entonces existen polinomios mónicos g, h A[x] tales que f = gh y g = G, h = H. Demostración. La idea de la demostración es aproximarse a la factorización deseada por medio de factorizaciones f (x) g i (x)h i (x) (mód m k [x]) módulo potencias del ideal máximo de A, de tal forma que en el límite se tenga la factorización requerida. Pongamos entonces n = gr( f ) = gr( f ), m = gr(g) y n m = gr(h). Queremos construir dos sucesiones de polinomios g i (x) y h i (x) en A[x] tales que: (i) Los g i y h i sean mónicos de grados m y n m, respectivamente; (ii) g i+1 g i (mód m i [x]) y h i+1 h i (mód m i [x]);

190 180 7 Topologías, filtraciones y completaciones (iii) f (x) g i (x)h i (x) (mód m i [x]), donde se entiende que las congruencias son coeficiente a coeficiente. Observemos que una vez construidas estas sucesiones ya habremos probado el teorema ya que definiendo g(x) y h(x) como los límites (coeficiente a coeficiente) de los g i (x) y h i (x), respectivamente, notando que estos límites existen por la condición (ii) de arriba y están en A porque éste es completo, se tendrá entonces que g(x) y h(x) están definidos y de hecho tienen coeficientes en A. Más aún, como cada g i es mónico de grado m, entonces g(x) también es mónico de grado m, y la condición (ii) de arriba implica que g(x) g i (x) (mód m i [x]) y similarmente h(x) h i (x) (mód m i [x]), y así por (iii), f (x) g(x)h(x) (mód m i [x]) para toda i 1 y por lo tanto f (x) = g(x)h(x) como se quiere. Resta entonces mostrar la existencia de las sucesiones de polinomios g i y h i con las propiedades (i), (ii) y (iii) anteriores. Para comenzar, escojamos g 1,h 1 A[x] tales que g 1 = G y h 1 = H. Entonces, f = GH = g 1 h 1 y así f g 1 h 1 (mód m[x]). Para construir g 2 y h 2, como se debe tener que g 2 (x) g 1 (x) (mód m 1 [x]), entonces se debe tener que g 2 (x) = g 1 (x) + r 1 (x) con r 1 (x) m 1 [x]. Similarmente se debe tener que h 2 (x) = h 1 (x)+s 1 (x) con s 1 (x) m 1 [x]. Así, para mostrar la existencia de g 2 y h 2 debemos mostrar la existencia de r 1 y s 1 con las propiedades deseadas, i.e., debemos resolver f (x) g 2 (x)h 2 (x) (mód m 2 [x]) (g 1 (x) + r 1 (x))(h 1 (x) + s 1 (x)) (mód m 2 [x]) g 1 (x)h 1 (x) + r 1 (x)h 1 (x) + s 1 (x)g 1 (x) + r 1 (x)s 1 (x) g 1 (x)h 1 (x) + r 1 (x)h 1 (x) + s 1 (x)g 1 (x) (mód m 2 [x]). (mód m 2 [x]) Ahora, como f (x) g 1 (x)h 1 (x) (mód m[x]), entonces f (x) g 1 (x)h 1 (x) = t(x) con t(x) m[x] y así, substituyendo en la congruencia anterior debemos resolver para r 1 y s 1 la congruencia ( ) t(x) r 1 (x)h 1 (x) + s 1 (x)g 1 (x) (mód m 2 [x]), donde cada término t(x), r 1 (x)h 1 (x) y s 1 (x)g 1 (x) tiene coeficientes en m. Ahora, como por hipótesis g 1 y h 1 son coprimos en k[x], existen a(x),b(x) A[x] tales que a(x)g 1 (x) + b(x)h 1 (x) 1 (mód m[x]) y multiplicando ahora esta congruencia por t(x) obtenemos a(x)t(x)g 1 (x) + b(x)t(x)h 1 (x) t(x) (mód m 2 [x]) y esto resuelve la congruencia ( ) poniendo r 1 (x) := b(x)t(x) y s 1 (x) := a(x)t(x); sin embargo, tenemos el problema de que no se tiene control sobre el grado de r 1 (x) y por lo tanto no podemos garantizar que g 1 (x) + r 1 (x) sea mónico (y éste es el candidato para g 2 (x)). Para remediar esto observemos que lo que necesitamos es un polinomio r 1 (x) que satisfaga que gr( r 1 ) < gr(g 1 ). Ahora, dividiendo r 1 (x) por

191 7 Topologías, filtraciones y completaciones 181 g 1 (x) obtenemos r 1 (x) = g 1 (x)q(x) + r 1 (x) con gr(r 1 ) < gr(g 1 ) y poniendo s 1 := s 1 (x) + h 1 (x)q(x) se sigue que r 1 h 1 + s 1 g 1 ( r 1 g 1 q)h 1 + ( s 1 + h 1 q)g 1 = r 1 h 1 g 1 h 1 q + s 1 g 1 + g 1 h 1 q = r 1 h 1 + s 1 g 1 t (mód m 2 [x]), la última congruencia porque r 1 y s 1 son soluciones de ( ); se sigue que los polinomios r 1 (x) y s 1 (x) de A[x] también son soluciones de la congruencia ( ) pero ahora con la condición de que gr(r 1 ) < gr(g 1 ), por lo que g 2 (x) := g 1 (x) + r 1 (x) es mónico y tiene grado m = gr(g). Claramente, g 2 (x) g 1 (x) (mód m 1 [x]). Más aún, poniendo h 2 (x) := h 1 (x) + s 1 (x) se tiene que h 2 (x) h 1 (x) (mód m 1 [x]) y g 2 h 2 = (g 1 + πr 1 )(h 1 + s 1 ) = g 1 h 1 + g 1 s 1 + r 1 h 1 + r 1 s 1 g 1 h 1 f (mód m 2 [x]), como se requería. Finalmente, como g 1 y h 1 son coprimos mód m[x], entonces g 2 y h 2 también son coprimos mód m[x]. El argumento anterior se aplica recursivamente comenzando ahora con g 2 y h 2 para producir las sucesiones deseadas. Ejemplo 20. Sea p un primo y consideremos el anillo completo de enteros p-ádicos Z p y el polinomio f (x) = x p 1 1 Z p [x]. Entonces, reduciendo coeficientes módulo pz p y ya que Z p /pz p = F p, se tiene que f (x) = x p 1 1 F p [x]. Por el teorema pequeño de Fermat el polinomio f (x) se descompone en factores lineales sobre F p y así, aplicando repetidamente el ejercicio 12, se sigue que f (x) se descompone en factores lineales sobre Z p. En otras palabras, Z p contiene a las raíces (p 1)-ésimas de la unidad. Anillos henselianos. Un anillo henseliano es un anillo local (A, m) que satisface la conclusión del lema de Hensel 7.32, es decir, si k = A/m es su campo residual, f (x) A[x] es mónico y f (x) k[x] es su reducción, si se tiene una factorización f = GH con polinomios mónicos coprimos G(x), H(x) k[x], entonces existen polinomios mónicos g,h A[x] tales que f = gh y g = G, h = H. Con esta terminología 7.16 dice que los anillos locales (A,m) completos en la topología m-ádica, son henselianos. La teoría de anillos henselianos juega un papel importante en la extensión del teorema de la función implícita a esquemas arbitrarios y por lo tanto también está ligada al estudio geométrico-algebraico de deformación de singularidades. En el caso clásico, si A = O V,x0 es el anillo local de un punto x 0 de una variedad algebraica V, entonces el que A sea henseliano quiere decir que el teorema de la función implícita es válido en x 0, es decir, si se tiene una relación algebraica f (x,y) = 0 con x V y que satisface que f (x 0,y 0 ) = 0 y ( f / x)(x 0,y 0 ) es invertible, entonces existe una función y = y(x) en una vecindad de x 0 tal que y(x 0 ) = y 0. Esta sección y la siguiente son tan sólo una introducción a los aspectos elementales de la teoría y referimos al lector a la bibliografía para tratamientos más profundos. Observaciones. Comenzamos con dos observaciones:

192 182 7 Topologías, filtraciones y completaciones (1) Si g,h A[x] son los polinomios que levantan G,H k[x] en un anillo henseliano, entonces g y h son estrictamente coprimos, en A[x], es decir, g,h = A[x]. De hecho, en general si g,h A[x] son tales que g,h k[x] son coprimos y g es mónico, entonces g y h son estrictamente coprimos en A[x]. En efecto, sea M = A[x]/ g,h. Observe que como f es mónico, entonces M es finitamente generado como A-módulo, y como g,h = k[x], entonces g,h + ma[x] = A[x] y así mm = M. Por el lema de Nakayama se sigue que M = 0, como se quería. (2) La factorización f = gh en A[x] es única. En efecto, si f = gh = g h, con g,h,g,h mónicos tales que g = g, h = h y g,h coprimos, por la observación (1) g y h son estrictamente coprimos en A[x], i.e., g,h = A[x] y por lo tanto existen r,s A[x] tales que gr = h s = 1. Entonces, g = g 1 = g gr + g h s = g gr + gghs y así g g y como ambos son mónicos del mismo grado, deben ser iguales. Ejemplo 21. Por definición, anillos locales (A,m) completos en la topología m-ádica, son henselianos, en particular lo son los campos K. Antes de poder dar más ejemplos, necesitaremos dar algunas caracterizaciones de los anillos henselianos y para esto necesitaremos algunos resultados sobre álgebras, que además tienen interés propio. Algebras separables. La generalización natural del concepto de extensión separable finita de campos es la siguiente. Si k es un campo, una k-álgebra de tipo finito A es separable sobre k si A es isomorfa a un producto directo de un número finito de extensiones finitas separables de campos L i /k de k: A L i L n. Lema 7.33 Sean k un campo y A una k-álgebra conmutativa de tipo finito. Son equivalentes, (1) A es isomorfa a un producto directo finito de extensiones finitas de k. (2) A es reducida, i.e., nila = 0. Demostración. La implicación (1) (2) es obvia. Para la otra implicación, descomponiendo A como un producto directo de un número finito de k-álgebras inescindibles (simples) podemos asumir que A es simple. Entonces, sus únicos idempotentes son 0 y 1, ya que si e A es idempotente con e 0,1, entonces se tiene que A Ae+A(1 e) es una descomposición no trivial de A ya que e(1 e) = e e 2 = 0. Probaremos ahora que todo 0 a A es invertible y por lo tanto A es un campo, como se quiere. En efecto, como dim k A es finita la cadena de ideales a a 2 se estaciona y por lo tanto existe un entero n tal que a n = a n+1 b para algún b A. Iterando esta igualdad se sigue que a n = a n+i b n para todo i > 0. En particular, a n =

193 7 Topologías, filtraciones y completaciones 183 a 2n b n y así a n b n = a 2n b 2n = (a n b n ) 2, es decir, a n b n es idempotente y por lo tanto se tienen dos posibilidades: a n b n = 0, y en este caso a n = a 2n b n = a n (a n b n ) = 0, lo cual es una contradicción porque a 0 y por hipótesis A no tiene nilpotentes no nulos. Se sigue que a n b n = 1 y por lo tanto a(a n 1 b n ) = 1, es decir, a es invertible. Corolario 7.34 Si k es un campo perfecto y A es una k-álgebra conmutativa de tipo finito, entonces A es separable si y sólo si A es reducida. Demostración. Por el lema anterior A es reducida si y sólo si A es isomorfa a un producto directo finito de extensiones finitas de k, y como k es perfecto estas extensiones finitas son separables. Teorema 7.35 Sean k un campo, k a una cerradura separable de k y A una k-álgebra de tipo finito. Pongamos A := A k k a. Son equivalentes: (1) A es separable sobre k. (2) A es isomorfa a un producto directo finito de copias de k a. (3) A es reducida. Demostración. La k a -álgebra A es de tipo finito y las extensiones finitas de k a son isomorfas a k a y así el lema anterior dice que (2) (3). (1) (2): Como A n i=1 L i con L i /k finita separable, entonces A = A k k a n i=1 L i k k a y por lo tanto basta demostrar que L k k a m i=1 ka para cualquier extensión finita separable L/k. Ahora, en este caso L k[x]/ f (x) con f k[x] un polinomio cuyos factores en k a [x] son distintos, digamos f (x) = (x a 1 ) (x a m ). Por el teorema chino del residuo se sigue que L k k a k[x]/ f (x) k k a k a [x]/ (x a 1 ) (x a m ) m i=1 k a [x]/ x a i m k a i=1 ya que k a k a [x]/ x a j es un extensión finita y por lo tanto es un isomorfismo. (2) (1): La k-álgebra A red = A/nilA es reducida y de tipo finito sobre k y así, por el lema 7.33 se tiene que A red n L i i=1 con las L i /k extensiones finitas. Ahora, como k a es reducida (es campo), todos los morfismos de k-álgebras A k a se factorizan a través de A red : A A red k a

194 184 7 Topologías, filtraciones y completaciones y por lo tanto a través de los factores L i de A red : A k a L i Observe ahora que como [L i : k] <, el número de inmersions L i k a que dejan fijo a k es [L i : k] y se tiene la igualdad si y sólo si L i /k es separable (vea el ejercicio 8 del capítulo 5). Así, (1) Hom k (A,k a ) Hom k (A red,k a ) n i=1 [L i : k] = dim k A red dim k A, donde se tienen igualdades si y sólo si A = A red y A es separable. Para ver que se tiene la igualdad, observemos que se tiene la biyección canónica de conjuntos finitos (2) Hom k (A,k a ) Hom k a(a,k a ) dada enviando un k-morfismo f : A k a al k a -morfismo A k k a f id k a k k a µ k a, donde µ es el producto natural. La función inversa está dada enviando un k a - morfismo ϕ : A k k a k a al morfismo A A k k id i A k k a ϕ k a, donde i : k k a es la inclusión. Finalmente, note que la hipótesis de que A = A k k a n i=1 ka implica que (3) Hom k a(a k k a,k a ) = Hom k a De (1), (2) y (3) se sigue que dim k A n i=1 ( n i=1 k a,k a) = dim k a(a k k a ) = dim k A. [L i : k] Hom k (A,k a ) = Hom k a(a k k a,k a ) = dim k A y por lo tanto en (1) se deben tener igualdades y así Hom k (A,k a ) = n i=1 [L i : k], lo cual, como vimos después de (1), quiere decir que A es separable. Ejemplo 22. Si k no es perfecto y A es una k-álgebra de tipo finito, aún cuando nila = 0 puede suceder que nila 0. En efecto, como k no es perfecto, cark = p > 0. Poniendo entonces A = k[x]/ x p a para cualquier a k que no sea una p-potencia, es decir, que no esté en la imagen del morfismo de Frobenius ϕ : k k (el cual no es suprayectivo porque k no es

195 7 Topologías, filtraciones y completaciones 185 perfecto). Entonces, x p a k[x] es irreducible y por lo tanto x p a k[x] es máximo y así A es un campo y además [A : k] = p = gr(x p a). Se sigue que nila = 0 (porque es campo), pero A = A k k a = k[x]/ x p a k k a k a [x]/ x p a y como k a es cerradura algebraica de k, existe α k a tal que α p = a, y si x es la imagen de x en A, entonces (x α) p = x p α p = x p a = 0 en A. Por lo tanto, 0 x α A es nilpotente, i.e., nila 0. Teorema 7.36 Sea (A,m) un anillo local. Son equivalentes: (1) A es henseliano. (2) Toda A-álgebra finita B es un producto directo de anillos locales B = B i. Note que los B i deben ser necesariamente isomorfos a los anillos B mi para m i los ideales máximos de B. (3) Si f : A B es étale y existe q SpecB tal que para p = f 1 (q) SpecA se tiene que k(p) = k(q), entonces existe una sección s : B A de f, i.e., s f = id A. (4) Sean f 1,..., f n A[x 1,...,x n ]. Si existe un punto a = (a 1,...,a n ) k n tal que f i (a) = 0 para todo i = 1,...,n y además ( f ) det i a = 0, x j entonces existe un punto b A n tal que b = a y f i (b) = 0 para todo i = 1,...,n. (5) Sea f A[x]. Si f se factoriza como f = GH con G mónico y G,H coprimos, entonces f se factoriza como f = gh con g mónico y g = G, h = H. Demostración. Ejercicios 7.1. Para el lector que necesite recordar algunos resultados de análisis, en el contexto de módulos filtrados Hausdorff, los ejercicios siguientes pueden ser necesarios. Sea M un módulo con una filtración {M n } n Z tal que la topología correspondiente es Hausdorff. Sean {x n } y {y n } sucesiones en M. Demuestre que:

196 186 7 Topologías, filtraciones y completaciones (i) Si {x n } l y {x n } l, entonces l = l. (ii) Si {x n } l y {y n } l, entonces {x n + y n } l + l y {x n y n } ll. (iii) Si {x n } es una sucesión convergente, entonces es de Cauchy Si A es un anillo, I A un ideal y M un A-módulo completo en la topología I-ádica, demuestre que una sucesión {x n } en M es de Cauchy si y sólo si lím n (x n+1 x n ) = Si N M es un submódulo y M es filtrado, demuestre que en las topologías inducidas, la cerradura de N es N = i(n + M i ) Si M es un A-módulo con una filtración {M i }, entonces en la topología inducida por la filtración cada M/M i es discreto y si i M/M i tiene la topología producto y ˆM = limm/m i i M/M i tiene la topología como subespacio, entonces el morfismo natural ρ : M ˆM es continuo y ρ(m) es denso en ˆM Si A es un anillo noetheriano, I,J son ideales de A y A es completo para las topologías I-ádica y J-ádica, demuestre que A es completo para la topología (I +J)- ádica Si A es un anillo noetheriano, I J son ideales de A y A es completo para la topología I-ádica, demuestre que A es completo para la topología J-ádica (Chevalley). Si (A,m) es un anillo noetheriano local completo e I 1 I 2 es una cadena de ideales de A tales que I j = 0, demuestre que para cada n existe un entero ν(n) tal que I ν(n) m n. Es decir, la topología lineal definida por {I j } j 1 es más fuerte que la topología m-ádica Si A es un anillo noetheriano y p Ass(A), demuestre que existe un entero n > 0 tal que p Ass(A/I) para todo ideal I p n. Sugerencia: Considere la localización en p Si A es un anillo semilocal con ideales máximos m 1,...,m n y J(A) = m 1 m n (vea el ejercicio 23 del capítulo 4), demuestre que la completación J(A)-ádica  de A se descompone como un producto directo   1  n, donde  i es la completación de A mi Si (A, m) es un anillo noetheriano local completo, demuestre que para todo ideal propio I A, el cociente A/I es un anillo noetheriano local completo Demuestre que un anillo artiniano local (A, m) es completo. Sugerencia: Por 4.29 y 4.31 existe un entero n > 0 tal que m n = Sea (A,m) un anillo local completo en la topología m-ádica y sea k = A/m su campo residual. Si f (x) A[x] es un polinomio (mónico) y a A son tales que para sus reducciones módulo m se tiene que f (a) = 0 en k y además, para la derivada f de f se tiene que f (a) 0, i.e., a es raíz simple de f (x), demuestre que existe un α A tal que f (α) = 0 y α = a.

197 7 Topologías, filtraciones y completaciones Si f A, defina S f = {g A : g divide algún f k S f }. Demuestre que: (i) S f es un subconjunto multiplicativo. (ii) A f S f 1 A. (iii) g S f si y sólo si S g S f Si A es noetheriano, M es un A-módulo, I A es un ideal y consideramos completaciones I-ádicas, demuestre que si identificamos la completación de un submódulo N de M con un submódulo ˆN de ˆM (recordando que la completación es un funtor exacto izquierdo), demuestre que: (i) Si N M, entonces ˆN = ÂN. (ii) ˆN 1 + ˆN 2 = (N 1 + N 2 )ˆ. (iii) ˆN 1 ˆN 2 = (N 1 N 2 )ˆ. Sugerencia: Use que  es plano Si A es noetheriano e I A es un ideal, demuestre que las afirmaciones siguientes son equivalentes: (i) I J(A), donde J(A) es el radical de Jacobson de A. (ii) Todo A-módulo finitamente generado es Hausdorff en la topología I-ádica. (iii) Todo submódulo de un A-módulo finitamente generado es cerrado en la topología I-ádica Si f = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + A[[x]], demuestre que f es una unidad si y sólo si a 0 A. En general, f = (ν) a (ν) x i 1 1 x i n A[[x 1,...,x n ]] es una unidad si y sólo si su término constante a 0 = a (0) es una unidad de A Usando el ejercicio anterior, concluya que si f x 1,...,x n, entonces para todo g A[[x 1,...,x n ]], 1 + f g es una unidad y por lo tanto f A[[x 1,...,x n ]], es decir, x 1,...,x n A[[x 1,...,x n ]] Si K es un campo, demuestre que K[[x 1,...,x n ]] es un anillo local con ideal máximo x 1,...,x n Si A es un dominio entero, demuestre que A[[x]] también lo es Si K es un dominio entero, demuestre que el campo de fracciones de K[[x]], denotado K((x)) es el campo de series de Laurent formales, es decir, series formales de la forma f (x) = n n 0 a n x n con n 0 Z y a n K.

198 188 7 Topologías, filtraciones y completaciones Si p Z es un primo, demuestre que p Z p lim{z Z Z }, p donde en el límite directo se tienen multiplicaciones iteradas por p Demuestre que todo A-módulo M es límite directo de sus submódulos finitamente generados Si {M k,ϕ k j } Γ es un sistema directo de A-módulos y cada M k es A-plano, demuestre que lim M k k es A-plano. Concluya que si todos los submódulos finitamente generados de un A-módulo M son A-planos, entonces M es A-plano Si A es un dominio entero, demuestre que su campo de cocientes Q es A-plano. Sugerencia: demuestre que el campo de cocientes Q es límite directo de A-módulos cíclicos, cada uno de ellos isomorfo al anillo A Sean A un anillo noetheriano e I A un ideal. Si gr I (A) es un dominio entero, demuestre que A también lo es. Sugerencia: suponga que a,b A son tales que ab = 0. Para x A sea n 0 el mayor entero tal que x I n y defina x I n /I n+1 gr I (A) como la clase lateral de x. Observe que x = 0 si x I n Sea f M 0 f 0 1 f M1 2 f n M2 Mn M n+1 un sistema inverso de A-módulos indexado por los enteros no negativos. Se dice que el sistema inverso {M n } n 0 satisface la condición de Mittag-Lefler si para cada entero n 0 existe un entero k(n) n tal que Im ( f m n p : M m M n ) = Im ( f k(n) n : M k(n) M n ) para todo m k(n). Dicho de otra forma, la imagen de M m se estabiliza para m suficientemente grande. Por ejemplo, si el sistema {M n } n 0 es suprayectivo, es decir, los morfismos f n : M n+1 M n son suprayectivos (vea 7.8(2)), entonces claramente satisface la condición de Mittag-Lefler. Si {M n } n 0 satisface la condición de Mittag-Lefler y d : M n M n es el morfismo d(x i ) = (x i f j i (x j)) (vea la demostración de 7.8), demuestre que Cokerd = 0. En términos de funtores derivados, se está pidiendo probar que el primer funtor derivado del límite inverso es cero: lim 1 {M n } = 0. Sugerencia: Muestre que puede suponerse que la función k(n) es monótona creciente Si (A,m) es un anillo local, demuestre que: (Â, ˆm) es local. A es regular si y sólo si  es regular. dima = dimâ. p

199 Capítulo 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler Sean k un anillo conmutativo, A una k-álgebra y M un k-módulo. Una k- derivación de A en M, es una función k-lineal D : A M que satisface la regla de Leibniz: D(ab) = adb + bda. Observemos, para comenzar, que D(1) = 0 (lo cual se sigue del hecho de que 1 = 1 1 y la regla de Leibniz) y como D es k-lineal, entonces para todo c k se tiene que D(c) = D(c 1) = cd(1) = 0. Por inducción se prueba directamente que, para todo entero n 1 y todo a A, D(a n ) = na n 1 D(a). También, si b A es invertible, entonces D(b 1 ) = b 2 D(b), lo cual se sigue de: bb 1 = 1 y de D(1) = 0. Como consecuencia se tiene la regla del cociente: si a,b A con b invertible, entonces D(ab 1 ) = b 2 (bda adb). Denotaremos al conjunto de k-derivaciones de A en M mediante Der k (A,M). Ejemplo 1. Si k es un anillo conmutativo y A una k-álgebra, consideremos el producto tensorial A k A como A-módulo mediante la acción a (x y) := ax y. Se tiene el morfismo de k-álgebras ε : A k A A definido por ε(x y) = xy; sea I su núcleo; se define entonces Ω A/k := I/I 2, y notamos que Ω A/k es un A-módulo mediante la acción dada por 189

200 190 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler a (x y (mód I 2 )) := ax y (mód I 2 ). Finalmente, se tiene una derivación d : A Ω A/k definida mediante d(a) := 1 a a 1 (mód I 2 ), donde para esto observamos que 1 a a 1 está en I = ker(ε) y claramente d es una k-derivación. Al A-módulo Ω A/k, junto con la derivación d, se le llama el módulo de diferenciales de Kähler de A sobre k. La importancia de este ejemplo está en el siguiente teorema: Teorema 8.1 Sean k un anillo conmutativo y A una k-álgebra. El par (Ω A/k,d) tiene la propiedad universal siguiente: para todo A-módulo M y toda k-derivación D : A M existe una única aplicación A-lineal f : Ω A/k M tal que D = f d: A d Ω A/k M y consecuentemente se tiene un isomorfismo natural de A-módulos D Der k (A,M) Hom A (Ω A/k,M). Demostración. (Unicidad). Observamos primero que si x y A k A, entonces lo podemos escribir como x y = xy 1 + x(1 y y 1) = ε(x y) 1 + x(1 y y 1) de tal forma que si x i y i I = ker(ε), entonces x i y i = x i (1 y i y i 1) y por lo tanto todo elemento x i y i de Ω A/k = I/I 2 tiene la forma x i dy i ya que dy i = 1 y i y i 1 (mód I 2 ). Se sigue que Ω A/k = I/I 2 está generado, como A- módulo, por el conjunto {dy : y A}, lo cual implica la unicidad de f. (Existencia). Sea T = A M la extensión trivial de A por M, i.e., como A-módulos T = A M con el producto dado por (a,x) (a,x ) := (aa,ax + a x). Así, T es una A-álgebra. En el caso particular cuando M = Ω A/k veamos quién es A Ω A/k : para comenzar, observemos que se tiene una sucesión exacta que se escinde: 0 A i 1 A k A A 0 donde i 1 (a) = a 1 y ε(x y) = xy; la sucesión la escinde el morfismo i 2 (b) = 1 b ya que claramente εi 1 = εi 2 = id A. Se sigue que A k A i 1 (A) ker(ε) = i 1 (A) I f ε y por lo tanto (A k A)/I 2 ρi 1 (A) Ω A/k

201 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler 191 como A-módulos, donde ρ : A k A (A k A)/I 2 es el epimorfismo canónico. Observamos ahora que ρi 1 (A) A, por lo que como A-módulos y consecuentemente (A k A)/I 2 A Ω A/k (A k A)/I 2 A Ω A/k. Regresando al caso general, T = A M, se tiene un morfismo de A-álgebras φ : A k A A M dado por x y (xy,xdy) donde observamos que φ(i) M ya que I = ker(ε) con ε(x y) = xy; además, como M = 0 M A M, entonces (0,x) (0,x ) = (0,0) por lo que M 2 = 0 y consecuentemente φ(i 2 ) = 0; se sigue que φ induce un morfismo de A-álgebras φ : (A k A)/I 2 A M que manda dy Ω A/k = I/I 2 A k A/I 2 en φ(dy) = φ(1 y y 1) = φ(1 y) φ(y 1) = (y,dy) (y,yd(1)) = (y,dy) (y,0) = (0,Dy). Se sigue que la restricción de φ a Ω A/k = I/I 2 (A k A)/I 2 manda a dy a (0,Dy) y por lo tanto si definimos f como la composición f : Ω A/k = (0,Ω A/k ) A Ω A/k = (A k A)/I 2 se tiene que si a A entonces f d(a) = φ(da) = φ(1 a a 1 (mód I 2 ) φ M = (0,M) A M = φ(1 a) φ(a 1) = (a,da) (a,0) = (0,Da) = Da, i.e., f d = D, que es lo que se deseaba. El resultado siguiente es un análogo de la regla de la cadena y lo usaremos repetidamente: Lema 8.2 Sea K/k una extensión de campos y sea d Der k (K,K) Ω K/k una derivación. Sean a K y f (x) k[x] K[x]. Entonces d( f (a)) = f (a) d(a), donde f (x) es la derivada usual del polinomio f (x).

202 192 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler En general, si f (x 1,...,x n ) k[x 1,...,x n ] y a 1,...,a n K, entonces d( f (a 1,...,a n )) = n i=1 f (a 1,...,a n ) d(a i ), x i donde f / x i es la derivada parcial i-ésima del polinomio f (x 1,...,x n ). Demostración. Si f (x) = α i x i con los α i k, entonces d( f (a)) = d ( α i a i) = α i d(a i ) = α i ia i 1 d(a) = f (a)d(a). La segunda parte se prueba similarmente: si f = I α I x i 1 1 x i n n, donde I = (i 1,...,i n ) y los α I k, usando repetidamente la regla de Leibniz se prueba que d( f (a 1,...,a n )) = = n j=1 n j=1 i j α I a i 1 1 a i j 1 j 1 ai j 1 j d(a j )a i j+1 j+1 ai n n I f (a 1,...,a n )d(a j ). x i Ejemplo 2. Sea k un anillo conmutativo y A una k-álgebra generada por un conjunto {α i } sobre k. Entonces Ω A/k está generado por el conjunto {dα i } como A-módulo. En efecto, si a A, entonces existen α 1,...,α n y un polinomio f k[x 1,...,x n ] tal que a = f (α 1,...,α n ) y así, del lema anterior se sigue que donde f i = / X i. da = n i=1 f i (α 1,...,α n )dα i Ejemplo 3. Sean k un campo y K/k una extensión algebraica separable. Entonces, Ω K/k = 0. En efecto, por la algebricidad y separabilidad de la extensión K/k, para cada a K existe un polinomio f (x) k[x] tal que f (a) = 0 y f (a) 0. Por lo tanto, si d Der k (K,K) Ω K/k es una derivación, por el lema anterior 0 = d(0) = d( f (a)) = f (a)da con f (a) 0. Se sigue que da = 0 para cada a K, y como Ω K/k está generado por los da entonces Ω K/k = 0. Ejemplo 4. Como un caso particular del ejemplo 2, si A = k[{x i }] = k[...,x i,...] es el álgebra de polinomios en las indeterminadas x i, entonces Ω A/k es un A-módulo libre con base {dx i }. En efecto, por el ejemplo 2 ya sabemos que {dx i } genera a Ω A/k. Ahora, si j f j dx j = 0 con f j A = k[...,x i,...], sea / x i la derivada parcial

203 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler 193 i-ésima. Entonces / x i Der k (A) := Der k (A,A) y así por la propiedad universal existe una aplicación lineal f : Ω A/k A tal que f (dx j ) = x j x i = δ i j (la delta de Kronecker). Aplicando f a la combinación lineal j f j dx j = 0 obtenemos ( ) 0 = f f j dx j = f j f (dx j ) = f j δ i j = f j j j j y así f j = 0, y como j es arbitrario, entonces f j = 0 para toda j y por lo tanto {dx i } es linealmente independiente sobre A. Ejemplo 5. Si K = k(x 1,...,x n ) es el campo de funciones racionales en n variables sobre el campo k, entonces Ω K/k es un K-espacio vectorial de dimensión n con base / x i, 1 i n. En efecto, el ejemplo 4 anterior muestra que las parciales / x i forman una base de Ω k[x1,...,x n ]/k. Una aplicación de la regla del cociente muestra que las parciales / x i forman una base de Ω k(x1,...,x n )/k. Note que grtr k K = n = dim K Ω K/k. Regresaremos a esta igualdad en 8.7 y 8.16 (2). Las sucesiones fundamentales. A continuación probamos algunas propiedades del módulo de diferenciales de Kähler Ω A/k que nos serán de utilidad más adelante. Teorema 8.3 (Primera sucesión fundamental) Si k φ K ψ L son morfismos de anillos, entonces existe una sucesión exacta de L-módulos L K Ω K/k f g Ω L/k Ω L/K 0 donde g(d L/k z) = d L/K z y f (x d K/k y) = xd L/k ψ(y). Más aún, la aplicación f tiene inversa izquierda, i.e., f es inyectiva, si y sólo si cualquier k-derivación de K en un L-módulo T se puede extender a una k-derivación de L en T. Demostración. Claramente g es suprayectivo. Ahora, si x d K/k y L K Ω K/k entonces g f (x dy) = g(xdψ(y)) = xdψ(y) = 0 porque y K implica d L/K ψ(y) = 0 por K-linealidad. Se sigue que g f = 0. Para probar que ker(g) Im( f ) es suficiente mostrar que la sucesión Hom L (L K Ω K/k,T ) f Hom L (Ω L/k,T ) g Hom L (Ω L/K,T ) es exacta para todo L-módulo T (en nuestro caso se toma T = Coker( f )). Pero, para esta sucesión de Hom s recordemos que se tienen isomorfismos canónicos (2.12):

204 194 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler Hom L (L K Ω K/k,T ) Hom K (Ω K/k,Hom L (L,T )) Hom K (Ω K/k,T ) Der k (K,T ) y también Hom L (Ω L/k,T ) Der k (L,T ) y Hom L (Ω L/K,T ) Der K (L,T ), de tal forma que la sucesión de Hom s anterior se puede identificar con la sucesión Der k (K,T ) f Der k (L,T ) g Der K (L,T ) donde observamos que el morfismo f es precisamente f (D) = D ψ. Claramente esta última sucesión es exacta. Finalmente, recordamos que un morfismo f : M M tiene inverso izquierdo si y sólo si el morfismo inducido f : Hom L (M,T ) Hom L (M,T ) es suprayectivo para todo L-módulo T. Así, el morfismo f : L K Ω K/k Ω L/k tiene inverso izquierdo si y sólo si el morfismo f : Der k (L,T ) Der k (K,T ) es suprayectivo para todo L-módulo T. Corolario 8.4 El morfismo f : L K Ω K/k Ω L/k es un isomorfismo si y sólo si para todo L-módulo T, toda k-derivación K T se puede extender en forma única a una derivación L T. Demostración. Por el teorema anterior el morfismo f es inyectivo si y sólo si toda k-derivación K T se puede extender a una derivación L T y el morfismo h tal que h f = id es inyectivo si y sólo si la extensión es única. φ Regresando ahora a la situación k K L del teorema anterior, supongamos además que ψ es un epimorfismo; entonces Ω L/K = 0 (ya que en general dz = 0 siempre que z esté en la imagen de ψ, por K-linealidad), pero la primera sucesión exacta se puede extender hacia la izquierda como sigue: Teorema 8.5 (Segunda sucesión fundamental) Sean k φ K ψ L morfismos de k-álgebras con ψ suprayectivo. Sea J = ker(ψ) K. Entonces, existe una sucesión exacta de L-módulos J/J 2 d Dψ L K Ω K/k Ω L/k 0 donde d : z 1 dz y Dψ : x dy xdψ(y). Demostración. Observemos primero que d manda J 2 en 0 (de tal forma que el morfismo d de la sucesión del teorema está bien definido en J/J 2 ) ya que d : J L K Ω K/k dado por z 1 d K/k z está a su vez dado por la restricción a J de la derivación universal d : K Ω K/k ; así, si z K y x J entonces por la regla de Leibniz d(zx) = zdx + xdz se tiene que d induce una aplicación K-lineal J (Ω K/k )/(JΩ K/k ) L K Ω K/k (para el isomorfismo, vea el ejercicio 9 del capítulo 2 y use que L K/J). Se sigue que si z,x J entonces d(zx) = zdx + xdz JΩ K/k, i.e., d(zx) = 0 en el cociente y por lo tanto d(j 2 ) = 0 y así induce la aplicación de L-módulos ψ

205 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler 195 d : J/J 2 L K Ω K/k del enunciado del teorema. Para probar la exactitud de la sucesión del teorema, observemos primero que Dψ dada por Dψ(x d K/k y) := xd L/k ψ(y) es suprayectivo ya que ψ : K L lo es. Más aún, la composición Dψ d = 0 ya que si x J K entonces Dψ d(x) = Dψ(1 d K/k x) = 1 d L/k ψ(x) = d L/k ψ(x) = d L/k (0) = 0 ya que x J = ker(ψ). Falta mostrar que ker(dψ) Im(d) y, como en el teorema anterior, es suficiente probar que la sucesión siguiente es exacta Hom L (J/J 2,T ) d Hom L (L K Ω K/k,T ) Dψ Hom L (Ω L/K,T ) para cualquier L-módulo T. De nuevo, esta sucesión la podemos reescribir como Hom K (J,T ) d Der k (K,T ) Dψ Der k (K/J,T ) donde d : δ δ J, y esta última sucesión es obviamente exacta. Diferenciales y extensiones de campos. Sea k K una extensión de campos. Como Ω K/k es un K-espacio vectorial nos interesa particularmente el caso cuando es de dimensión finita. A continuación consideraremos primero el caso cuando la extensión K/k es finitamente generada y separable y en este caso probaremos en 8.7 que dim K Ω K/k = grtr(k/k) es el grado de trascendencia de la extensión K/k (vea el ejemplo 5). Más adelante se generaliza el concepto de extensión separable y el corolario 8.7 se generaliza en 8.15 y Comenzanos relacionando la propiedad de separabilidad de una extensión K/k con el espacio vectorial de diferenciales Ω K/k asociado. Teorema 8.6 Si L/K es una extensión algebraica separable, entonces para cualquier subcampo k K, cada k-derivación de K se extiende en forma única a una k-derivación de L. Más aún, para cada subcampo k K se tiene que Ω L/k L K Ω K/k. Demostración. Unicidad. Si d 1,d 2 Ω L/k son dos extensiones de d Ω K/k, entonces d 1 K = d = d 2 K y por lo tanto d 1 d 2 Ω L/K, pero como L/K es algebraica separable, por el ejemplo 3 después de 8.2 se tiene que Ω L/K = 0 y así d 1 = d 2. Existencia. Dada una derivación d Der k (K,K) = Ω K/k mostraremos que se puede extender a una derivación D Der k (L,L) = Ω L/k. Para esto, consideremos primero una subextensión L /K finita de L/K (separable, por hipótesis); entonces, por el teorema del elemento primitivo podemos escribir L = K(α) para algún elemento separable α L. Sea m(x) = Irr(α,K) = a i x i su polinomio mínimo. Para extender d a una derivación D Der k (L,L ) definimos primero D(α) mediante:

206 196 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler D(α) := d(a i)α i m, (α) donde m (x) es la derivada usual del polinomio m(x). Para definir D : L L en general, dado cualquier β L = K(α) escribimos β = f (α) para algún polinomio f (x) = b i x i K[x]; se define entonces D(β) = D( f (α)) := f (α)d(α) + d(b i )α i. Un cálculo directo, pero tedioso, muestra que D es una k-derivación de L = K(α). Nótese que si β K entonces f (x) K[x] es el polinomio constante β y por lo tanto f (x) = 0 y así D(β) = d(β), i.e., D extiende a d. Observemos también que este levantamiento de d a D : K(α) K(α) es único por la primera parte de la demostración. Denotemos este levantamiento como D α. Ahora, si α,β L y K(α)/K, K(β)/K son las extensiones (separables) finitas correspondientes, consideremos las extensiones D α y D β de la k-derivación d : K K, a K(α) y K(β) respectivamente; entonces como la extensión K(α,β) de K(α) y K(β) es separable, existe un γ L tal que K(α,β) = K(γ) y la derivación D γ de K(γ) es tal que D γ K(α) = D α y D γ K(β) = D β. Tiene sentido entonces definir D : L L mediante D(θ) = D θ (θ) para cualquier θ L. Para terminar, en la primera sucesión fundamental asociada a k K L: 0 L K Ω K/k f Ω L/k Ω L/K 0 el morfismo f es inyectivo por lo que probamos en la primera parte del teorema y por la segunda parte de 8.3. Más aún, como L/K es separable algebraica, por el ejemplo 3 después del lema 8.2 se tiene que Ω L/K = 0 en la sucesión exacta anterior y por lo tanto Ω L/k L K Ω K/k. Corolario 8.7 Si K/k es una extensión separable finitamente generada, entonces dim K Ω K/k = grtr k K. Demostración. Sea α 1,...,α n una base trascendente de K/k. Entonces, la subextensión K/k(α 1,...,α n ) es algebraica, y es separable porque está contenida en la extensión separable K/k. Por el teorema 8.6 anterior Ω K/k = K k(α1,...,α n ) Ω k(α1,...,α n )/k. Consideremos entonces las k-derivaciones D i = α i : k(α 1,...,α n ) k(α 1,...,α n ) tales que D i (α j ) = δ i j (la delta de Kronecker), y como K/k(α 1,...,α n ) es algebraica separable, entonces por el mismo teorema 8.6 las derivaciones D i se extienden a derivaciones únicas D i : K K. Ahora, como D i (α j ) = D i (α j ) = δ i j, entonces

207 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler 197 las diferenciales dα 1,...,dα n de Ω K/k son linealmente independientes, y como ya sabemos que generan, entonces son una base. Recíprocamente, supongamos que {dα 1,...,dα n } es una base de Ω K/k. Mostraremos que {α 1,...,α n } son trascendentes algebraicamente independientes sobre k. En efecto si existiera un polinomio 0 f k[x 1,...,x n ] tal que f (α 1,...,α n ) = 0, escojamos una tal relación de grado menor; sin perder generalidad podemos suponer que x 1 aparece en f (de tal forma que α 1 es algebraicamente dependiente de los otros α j ); entonces, f 1 := / x 1 es 0 y de grado menor que f ; se sigue que f 1 (α 1,...,α n ) 0. Ahora, como 0 = f (α 1,...,α n ), entonces 0 = d f = f i (α 1,...,α n )dα i, con f i := f / x i y f 1 (α 1,...,α n ) 0. Se sigue que los dα 1,...,dα n son linealmente dependientes, en contradicción con la hipótesis. Extensiones separablemente generadas. Para poder extender el teorema anterior y su corolario se requiere primero generalizar la definición de separabilidad de una extensión de campos al caso cuando la extensión no es algebraica. Una extensión K/k se dice que es separablemente generada si existe una base trascendente {α i } de K sobre k tal que la subextensión K/k({α i }) es algebraica separable. Una extensión K/k se llama separable si para todo campo intermedio K K k con K /K finitamente generada, se tiene que K /k es separablemente generada. Observación. En característica 0 toda extensión K/k, algebraica o no, es separable, ya que si K es cualquier campo intermedio finitamente generado sobre k, entonces K /k tiene una base trascendente {α 1,...,α n } con n = grtr(k /k), donde K /k(α 1,...,α n ) es una extensión algebraica (de hecho, finita) de campos de característica 0 y por lo tanto separable en el sentido usual. Así, en lo que sigue asumiremos que k es un campo de característica p > 0. No es obvio, pero más adelante en 8.10 probaremos que si K/k es una extensión separablemente generada, entonces es separable. Sean k un campo de característica p > 0, K/k una extensión y K al una cerradura algebraica de K; denotemos con k 1/pn := {α K al : α pn k} al subcampo de K al dado por las raíces p n -ésimas de k. Claramente k k 1/pn. Sea k 1/p := n>0k 1/pn ; veremos que la separabilidad de K/k depende de la relación entre K y k 1/p. Pero antes, recordemos que si K y L son subcampos de otro campo F y KL es el campo compuesto, decimos que K y L son linealmente disjuntos sobre k si el morfismo

208 198 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler K k L KL dado por a b ab es un isomorfismo. Esto es equivalente a decir que para todo conjunto {a i } de elementos de K linealmente independientes sobre k, este conjunto permanece linealmente independiente sobre L. Para motivar el teorema que caracteriza a las extensiones separables, con la nueva definición de separabilidad anterior, probamos el resultado siguiente que caracteriza la separabilidad usual de una extensión algebraica K/k: Proposición 8.8 Sea K/k una extensión algebraica de campos de característica p > 0. Entonces, K/k es separable, en el sentido usual, si y sólo si K y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k. Demostración. Supongamos que K/k es algebraica separable. Mostraremos primero que kk p = K. Para esto, observemos que como k K y K p K entonces kk p K y como K/k es separable, entonces K/kK P también lo es, i.e., todo α K es separable sobre kk p. Ahora, todo α K es puramente inseparable sobre kk p ya que α p K p kk p. Así, todo α K es separable e inseparable sobre kk p y por lo tanto α kk p, i.e., K kk p como se quería. Ahora, para mostrar que K y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k, supongamos que a 1,...,a m K son linealmente independientes sobre k; queremos probar que son linealmente independientes sobre k 1/p ó, lo que es lo mismo, que a p 1,...,ap m son linealmente independientes sobre k. Para esto, consideremos el campo L := k(a 1,...,a m ) y supongamos que {a 1,...,a n } es una base de L/k. Como L/k es algebraica separable, por lo que mostramos en el párrafo anterior, se tiene que L = kl p y por consiguiente L = n ka p i i=1 y por lo tanto los elementos a p 1,...,ap n forman una base de L/k y así son linealmente independientes como se quería. Recíprocamente, supongamos ahora que K y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k y sea α K cualquier elemento. Sean f (X) = Irr(α,k) y m = gr( f ). Si r es cualquier entero m, entonces los r elementos de K: 1,α,...,α r 1 son linealmente independientes sobre k y como K y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k, entonces estos elementos son linealmente independientes sobre k 1/p, i.e., sus p- potencias son linealmente independientes sobre k y por lo tanto f (X) k[x p ], i.e., f (X) es separable y por lo tanto α es separable sobre k. El resultado siguiente es la generalización de la proposición anterior para la nueva definición de separabilidad: Teorema 8.9 (MacLane) Sea K/k una extensión de campos de característica p > 0. Las condiciones siguientes son equivalentes: (1) K/k es separable. (2) Para toda extensión L/k el anillo L k K es reducido (i.e., no tiene nilpotentes). (3) El anillo K k k 1/p es reducido.

209 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler 199 (4) El anillo K k k 1/p es reducido. (5) K y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k. k K K (6) K y k 1/pn son linealmente disjuntos sobre k, para algún n > 0. Demostración. (1) (2): Escribamos K = K como la unión de sus subcampos K K finitamente generados sobre k. Como L es plano sobre k, entonces L k K L k K, k K K y así es suficiente considerar el caso cuando K es finitamente generado sobre k y entonces podemos suponer desde el principio que K/k es finitamente generada. Descompongamos entonces esta extensión como: K K k donde K /k es totalmente trascendente finitamente generada y K/K es algebraica finita (y separable, ya que K/k lo es por hipótesis). Entonces L k K = (L K K ) k K = L K (K k K) y así basta considerar los dos casos siguientes: Caso (i): Si K = K = k(α 1,...,α n ) con n = grtr(k/k), entonces L k K = L k k(α 1,...,α n ) = L(α 1,...,α n ) es el campo de funciones racionales sobre L, el cual siendo campo es por supuesto reducido. Caso (ii): Si K = K es algebraico (finito) separable sobre k, entonces por el mismo argumento del principio podemos suponer que K = K = k(α) con α algebraico sobre k. Sea f (x) = Irr(α,k); entonces K = K = k[x]/ f (x) de tal forma que L k K = L k k[x]/ f (x) = L[x]/ f (x). Descompongamos a f (x) como producto de irreducibles en L[x]: f (x) = i f i (x). Por el teorema chino del residuo L[x]/ f (x) = L[x]/ i f i (x) = L[x]/ f i (x), i el cual es un producto directo de campos y por lo tanto reducido.

210 200 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler (2) (3): Es obvio. (3) (4): También es obvio ya que k 1/pn k 1/p. (4) (5): Como K es plano sobre k, por el argumento del principio de la demostración se tiene que k 1/p k K = K k K k K k 1/p donde K recorre los subcampos K k 1/p que son extensiones finitas de k; así, es suficiente probar que K es linealmente disjunto de K para esos K. Comenzamos observando que K k 1/p se obtiene adjuntando raíces p-ésimas a k de tal forma que podemos elegir un campo intermedio k K 1 K tal que K = K 1 (α) para algún α tal que α p K 1 y α K 1 (puede suceder que K 1 = k). Ahora, como K k K = (K K 1 K 1) k K = K K 1 (K 1 k K) y como k 1/p k K = (k 1/p K 1 K 1) k K = k 1/p K 1 (K 1 k K) podemos entonces suponer que K 1 = k y así K = k(α) con α k y α p k. Entonces, para mostrar que K es linealmente disjunto (sobre k) con K = k(α) como α k y así α k(α) es linealmente independiente sobre k, entonces basta mostrar que α k(α) permanece linealmente independiente sobre K. Para probar esto notemos que como α p k entonces el orden de la extensión K(α)/K es 1 ó p y así para mostrar que α es linealmente independiente sobre K debemos mostrar que α K, i.e., que [K(α) : K] = p. Supongamos que α K, entonces como Irr(α,k) = x p α, este polinomio se descompone en K[x] como ya que α p k K, y así x p α = (x α 1/p ) p K k K = K[x]/(x p α) = K[x]/(x α 1/p ) p el cual no es un anillo reducido; y como K k K k 1/p k K esto contradice la hipótesis de que k 1/p k K es reducido. Se sigue que K es linealmente disjunto de K = k(α) como se quería. (5) (6): Trivial. (6) (1): Como K y k 1/pn son linealmente disjuntos para algún n > 0 y como k 1/p k 1/pn entonces K y k 1/p también son linealmente disjuntos sobre k y así K k k 1/p = K k 1/p es el campo compuesto de K y k 1/p, en particular es un anillo reducido. Ahora, si K es un campo intermedio de K/k el cual es finitamente generado sobre k, entonces K k k 1/p K k k 1/p y así K k k 1/p también es reducido.

211 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler 201 Mostraremos que K es separablemente generado sobre k. Para esto escribamos K = k(α 1,...,α n ) y descompongamos a K como: K k(α 1,...,α r ) k con r = grtr(k /k), i.e., α 1,...,α r es una base trascendente de K /k y además α r+1,...,α n son algebraicos sobre k(α 1,...,α r ); supongamos ahora que α r+1,...,α q son algebraicos y separables sobre k(α 1,...,α r ) y que α q+1 no lo es. Pongamos β = α q+1 y sea f (Y p ) = Irr(β,k(α 1,...,α r )). Los coeficientes de f (Y p ) son, por definición, funciones racionales en α 1,...,α r de tal forma que eliminando denominadores obtenemos un polinomio irreducible F(X 1,...,X r,y p ) k[x 1,...,X r,y ] tal que F(α 1,...,α r,β p ) = 0. Ahora, si F/ X i = 0 para todo 1 i r, y si denotamos con X = (X 1,...,X r ), entonces F(X,Y p ) es la p-potencia de un polinomio G(X,Y ) con coeficientes en k 1/p y así tendríamos que k(α 1,...,α r,β) k k 1/p =(k[x,y ]/F(X,Y p )) k k 1/p = k 1/p [X,Y ]/G(X,Y ) p el cual es un subanillo de K k k 1/p y, más aún, este subanillo contiene nilpotentes lo cual contradice el hecho, que vimos al principio de esta parte de la demostración, de que K k k 1/p no contiene nilpotentes. Se debe entonces tener que F/ X i 0 para algún i = 1,...,r. Reordenando si hiciera falta supongamos que F/ X 1 0. Entonces, de la ecuación F(α 1,...,α r,β p ) = 0 se sigue que α 1 es algebraico separable sobre k(α 2,...,α r,β p ) (ya que su derivada, en X 1, no se anula y por lo tanto su polinomio irreducible no tiene raíces múltiples), y como los α r+1,...,α q también son algebraicos separables sobre k(α 2,...,α r,β), entonces intercambiando α 1 y β = α q+1 se sigue que α r+1,...,α q+1 son algebraicos separables sobre k(α 1,...,α r ), i.e., que K /k(α 1,...,α r ) es una extensión algebraica separable con {α 1,...,α r } una base trascendente de K /k, i.e., K es separablemente generado sobre k. Hemos probado que todo campo intermedio K de K/k finitamente generado sobre k es separablemente generado sobre k y por lo tanto K/k es separable como se quería. Para extensiones K/k que no son algebraicas no se tiene una equivalencia completa, como la de la proposición 8.8, entre las propiedades de ser separablemente generada y ser separable, a menos que K/k sea finitamente generada: Teorema 8.10 Sea K/k una extensión de campos de característica p > 0. (1) Si K/k es separablemente generada, entonces K/k es separable.

212 202 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler (2) Recíprocamente, si K/k es separable y además es finitamente generada, entonces es separablemente generada. Demostración. (1): Mostraremos que K y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k. Ahora, por hipótesis existe una base de trascendencia B de K/k tal que K/k(B) es una extensión algebraica separable. Probaremos primero que los campos k(b) y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k. En efecto, esto es equivalente a probar que los anillos k[b] y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k y para estos anillos el conjunto de monomios α i 1 1 α i n n para α j B es una base de k[b] sobre k y como B es algebraicamente independiente sobre k entonces es algebraicamente independiente sobre k 1/p y así estos monomios son independientes sobre k 1/p. Se sigue que k(b) y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k. Ahora, sean a 1,...,a n elementos de k 1/p que son linealmente independientes sobre k. Entonces, por el párrafo anterior, también son linealmente independientes sobre k(b) y como K/k(B) es una extensión algebraica separable entonces, por la proposición 8.8, K y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k(b) y así a 1,...,a n son linealmente independientes sobre K y por lo tanto K y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k como se quería probar. (2): Supongamos ahora que K/k es separable (i.e., que K y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k) y que es finitamente generada, digamos K = k(α 1,...,α n ). Sea r = grtr(k/k) de tal forma que r n. Si n = r entonces {α 1,...,α n } es una base trascendente de K/k y además k(α 1,...,α n ) = K y así no hay nada que probar. Supongamos entonces que n > r; consideraremos este caso en dos partes: Supongamos primero que n = r + 1; entonces el conjunto {α 1,...,α r,α n } es algebraicamente dependiente sobre k y por lo tanto el conjunto de polinomios g(x 1,...,X r+1 ) con coeficientes en k, tales que g(α 1,...,α r+1 ) = 0 contiene polinomios 0; sea f (X) el polinomio 0 de grado menor de este conjunto. Entonces, f (X) es irreducible y divide a cualquier otro polinomio que se anula en α 1,...,α r,α r+1. Mostraremos que f (X) k[x p 1,...,X p r+1 ]. En efecto, si sucediera lo contrario, digamos f (X) = g(x p 1,...,X p r+1 ) con g(x 1,...,X r+1 ) k[x 1,...,X r+1 ], y si ω 1,...,ω m son los monomios en α 1,...,α r+1 que aparecen en g(α 1,...,α r+1 ), entonces los ω j son linealmente independientes sobre k (ya que el grado de cada ω j es menor que el grado de f (X) y así a 1 ω a m ω m = 0 con los a j k sólo puede suceder si todos los a j = 0 porque si no fuera así se tendría un polinomio de grado menor que el de f (X) que se anula en α 1,...,α r+1 ); sin embargo, ω p 1,...,ω m p son linealmente independientes sobre k ya que ω p j = g(α p 1,...,α p r+1 ) = f (α 1,...,α r+1 ) = 0 j con los a j 0 en k. Por lo tanto los ω 1,...,ω m son linealmente dependientes sobre k 1/p ; esto, junto el hecho de los ω j K son linealmente independientes sobre k como vimos arriba, contradice la hipótesis de que K y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k. Se debe entonces tener que f (X) k[x p 1,...,X p r+1 ]. Entonces, podemos suponer que una de las r + 1 variables X j que ocurre en f (X) aparece en algún término con

213 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler 203 un exponente que no es múltiplo de p; sin perder generalidad supongamos que esta variable es X r+1. Entonces, los elementos α 1,...,α r son necesariamente algebraicamente independientes sobre k y más aún, α r+1 es algebraico sobre k(α 1,...,α r ) ya que satisfece al polinomio f (X) con coeficientes en ese campo y además es separable ya que el grado de f (X) en X = X r+1 no es divisible por p. Se sigue que {α 1,...,α r } es una base trascendente separable de K/k. Supongamos ahora que n > r + 1. Usaremos inducción sobre n. Como K = k(α 1,...,α n ) y k 1/p son linealmente disjuntos sobre k por hipótesis, entonces k(α 1,...,α n 1 ) y k 1/p también son linealmente disjuntos sobre k. Por hipótesis de inducción se sigue que k(α 1,...,α n 1 ) es separablemente generado sobre k. Sea pues {β 1,...,β m } una base trascendente separable de k(α 1,...,α n 1 ) sobre k. Como r = grtr(k(α 1,...,α n )/k), entonces m = r 1 ó m = r. Como {β 1,...,β m } es una base trascendente separable de k(α 1,...,α n 1 ) sobre k, entonces el campo K = k(α 1,...,α n ) es una extensión algebraica separable de K 1 := k(β 1,...,β m,α n ) y entonces sólo falta probar que K 1 es separablemente generado sobre k. Para esto, observemos que grtr(k 1 /k) = grtr(k/k) = r y K 1 está generado, sobre k, por a lo más r + 1 elementos ya que m r. Más aún, como K 1 K entonces K 1 y k 1/p también son linealmente disjuntos sobre k y así, por el caso n r + 1 ya probado, se sigue que K 1 es, en efecto, separablemente generado sobre k, lo cual concluye la demostración del teorema. En el teorema anterior la hipótesis de que K/k es finitamente generada en la parte (2) no se puede eliminar como lo muestra el ejemplo siguiente: Ejemplo 6. Si k es un campo perfecto, entonces toda extensión K de k es separable ya que como k es perfecto entonces k 1/p = k y por lo tanto K y k 1/p = k son linealmente disjuntos sobre k; en particular, si α es trascendente sobre k, la extensión K = k(α,α 1/p,α 1/p2,...,α 1/p j,...) es separable sobre k y sin embargo es claro que no es separablemente generada. Si K/k es una extensión de campos, sabemos que el K-espacio vectorial Ω K/k está generado por el conjunto {dx : x K} y por lo tanto existe un subconjunto B K tal que {dx : x B} es una base del K-espacio vectorial Ω K/k. Una tal base se llamará una base diferencial de K/k. Lema 8.11 Sea K/k una extensión de campos. Un subconjunto B = {x i } i Λ K es una base diferencial de K/k si y sólo si para toda función f : Λ K, (λ y λ ), existe una única derivación D Der k (K,K) tal que D(x λ ) = y λ para toda λ Λ. Demostración. Se sigue del isomorfismo Der k (K,K) Hom K (Ω K/k,K) Ω K/k.

214 204 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler p-bases de Teichmüller. Para poder distinguir, en el caso de característica p > 0 cuándo un conjunto {α i } K tal que {dα i } genera a Ω K/k es una base diferencial, necesitamos los conceptos y resultados siguientes sobre p-bases, debidos a Teichmüller: Sea K/k una extensión de campos de característica p > 0. Sea K = kk p el campo compuesto (en particular, K p K K). Una familia de elementos B = {α i } de elementos de K se dice que es p-independiente sobre K si para todo subconjunto finito {α i1,...,α in } B se tiene que [K (α i1,...,α in ) : K ] = p n. El conjunto B = {α i } K se dice que es una p-base de K sobre K = kk p si es p-independiente sobre K y además K (B) = K. Observación. Un conjunto B = {α i } K es p-independiente sobre K si y sólo si el conjunto de monomios Γ B := {α r 1 1 αr n n : α i distintos y 0 r i < p} es linealmente independiente sobre K. Proposición 8.12 Sea K/k una extensión de campos de característica p > 0 y sea B = {α i } K. Entonces, B es p-independiente sobre K = kk p si y sólo si B es linealmente independiente sobre K = kk p (considerando a K como K -espacio vectorial). Demostración. Supongamos que B es K -linealmente independiente considerando a K como K -espacio vectorial. Mostraremos que B es p-independiente, por inducción sobre n, el caso n = 0 siendo trivial. Supongamos ahora que f (X 1,...,X n ) es un polinomio 0 con coeficientes en K y de grado < p en cada una de sus variables X i. Debemos probar que f (α 1,...,α n ) 0. Para comenzar podemos suponer que X n aparece en f (ya que de lo contrario f tendría n 1 variables y por hipótesis de inducción deberíamos tener entonces que f (α 1,...) 0) y considerando el polinomio en una variable f (α 1,...,α n 1,X) con coeficientes en K (α 1,...,α n 1 ), por hipótesis de inducción este polinomio es 0; ahora, como este polinomio tiene grado < p en su variable X, entonces es separable (ya que estamos en característica p y por la clasificación de polinomios separables) y como α n K es puramente inseparable sobre K y además no está en K (α 1,...,α n 1 ) ya que α 1,...,α n es linealmente independiente sobre K, se sigue que α n no puede ser una raíz de f (ya que si lo fuera entonces α n sería separable sobre K (α 1,...,α n 1 ) y así α n sería separable e inseparable sobre K (α 1,...,α n 1 ) y en consecuencia debería estar en K (α 1,...,α n 1 ), una contradicción) y por lo tanto B = {α 1,...,α n } es p-independiente. Recíprocamente, supongamos que B = {α 1,...,α n } es p-independiente. Mostraremos que B es linealmente independiente sobre K = kk p. Supongamos que esto no sucede; sin perder generalidad podemos suponer que α n K (α 1,...,α n 1 ). Ahora, como α p i K p K entonces podemos escribir α n de la forma α n = g(α 1,...,α n 1 ) donde g es un polinomio con coeficientes en K = kk p de grado < p en cada una de sus variables (factorizando a las potencias de cada α i de grado p para ponerlas en K p K y dejando sólo las de grado < p). Entonces, se tiene la relación de dependencia (sobre K ):

215 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler 205 g(α 1,...,α n 1 ) α n = 0 entre el monomio α n y los monomios α i 1 1 α i n 1 n 1, 1 i t < p, que aparecen en g, lo cual contradice la hipótesis de que B es p-independiente. Corolario 8.13 Toda extensión K/k de campos de característica p > 0 tiene una p-base y cualesquiera dos p-bases de K tienen la misma cardinalidad. Demostración. K tiene una base B como K = kk p -espacio vectorial y así cualquier subconjunto finito S B es K -linealmente independiente y por lo tanto es p-independiente por la proposición anterior. Proposición 8.14 Si K/k es una extensión separable finitamente generada de campos de característica p > 0 y B es una p-base de K/k, entonces K/k(B) es una extensión finita y separable, y B es una base trascendente de K/k. Demostración. Supongamos que B es algebraicamente dependiente sobre k, digamos que b 1,...,b n B son algebraicamente dependientes sobre k. Sea 0 f k[x 1,...,X n ] un polinomio de grado mínimo tal que f (b 1,...,b n ) = 0; sea d = gr( f ) y escribamos f (X 1,...,X n ) = 0 i 1,...,i n <p g i1 i n (X p 1,...,X p n )X i 1 1 X i n n. Como los b 1,...,b n son p-independientes sobre k y f (b 1,...,b n ) = 0, entonces g i1 i n (b p 1,...,bp n) = 0 para todos los i 1,...,i n. Sin embargo, como d = gr( f ) gr(g i1 i n ) + i i n, entonces por la minimalidad del grado de f debemos tener que f (X 1,...,X n ) = g 0 0 (X p 1,...,X p n ) por lo que podemos escribir a f de la forma f (X 1,...,X n ) = h(x 1,...,X n ) p con h k 1/p [X 1,...,X n ]. Ahora, por el teorema 8.9, K y k 1/pn son linealmente disjuntos sobre k para algún n > 0 y como k 1/p k 1/pn entonces K y k 1/p también son linealmente disjuntos sobre k y por lo tanto los monomios en K de grado < d en b 1,...,b n, siendo linealmente independientes sobre k deben también ser linealmente independientes sobre k 1/p. Se sigue que h(b 1,...,b n ) 0, lo cual contradice el hecho de que 0 = f (b 1,...,b n ) = h(b 1,...,b n ) p. Esta contradicción muestra que B es algebraicamente independiente sobre k, y como genera a K, entonces es una base trascendente de K/k. Como K/k es finitamente generada, se sigue que K/k(B) es algebraica finitamente generada y por lo tanto finita y separable ya que K/k lo es. El resultado principal es:

216 206 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler Teorema 8.15 Sea K/k una extensión de campos finitamente generada y sea B = {α i } i Λ un subconjunto de K. Entonces, {dα i } i Λ es una base diferencial de Ω K/k si y sólo si: (1) car(k) = 0 y {α i } i Λ es una base trascendente de K/k. ó (2) car(k) = p > 0 y {α i } i Λ es una p-base de K/k. Demostración. Como K/k es finitamente generada, podemos suponer que {α i } i Λ = {α 1,...,α n } es un conjunto finito. (1): Supongamos que car(k) = 0 y que {α 1,...,α n } es una base trascendente de K/k. Entonces, K/k(α 1,...,α n ) es algebraica (y por lo tanto separable, ya que estamos en característica 0) y así la demostración continúa igual que la de 8.7. (2): Supongamos ahora que car(k) = p > 0. Si B = {α i } i Λ es una p-base de K sobre k. Mostraremos que cualquier función f : Λ K tiene una única extensión a una derivación D Der k (K). En efecto, dado un p-monomio de B, α r 1 1 αr n n, pongamos D(α r 1 1 αr n n ) := n i=1 r i α r 1 1 αr i 1 i α r n n f (α i ), esto define una función del conjunto de p-monomios Γ B en K, D : Γ B K, y sabemos que Γ B es linealmente independiente sobre K p k ya que B es una p-base de K/k. Entonces, extendemos K p k-linealmente D a todo K y claramente D es entonces una k-derivación de K única con la propiedad de que D(α i ) = f (α i ). Por el lema 8.11 se sigue que B = {α i } es una base diferencial de Ω K/k. Recíprocamente, si B = {α i } K es una base diferencial de Ω K/k, entonces B es p-independiente sobre k ya que si no lo fuera, sin perder generalidad podemos suponer que α 1 depende de los otros, i.e., α 1 K p k(α 2,...,α n ) para algunos α 2,...,α n B y así podemos escribir α 1 = f (α 2,...,α n ) con f un polinomio con coeficientes en K p k. Entonces, en Ω K/k se tiene que dα 1 = n i=2 ( f α i ) dα i lo cual contradice la independencia lineal de los dα 1,...,dα n. Corolario 8.16 Sea K/k una extensión de campos con K finitamente generado sobre k. Entonces, (1) dim K Ω K/k grtr(k/k). (2) dim K Ω K/k = grtr(k/k) si y sólo si K/k es separable. Demostración. Escribamos K = k(α 1,...,α n ) y sea {α 1,...,α r } una base trascendente de K/k. En característica 0, {dα i } 1 i r es una base de Ω K/k por la parte (1) del teorema anterior.

217 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler 207 En característica p > 0, {dα i } es una base de Ω K/k si y sólo si B = {α i } es una p-base de K/k por la parte (2) del teorema previo, y cualquier p-base contiene una base trascendente, que es igual a la p-base en el caso separable finitamente generado. Ejercicios 8.1. Si A es una k-álgebra y D Der k (A,A) es una derivación, note que usando el producto de A se tiene un producto en Der k (A,A). Demuestre que las potencias de D Der k (A,A) satisfacen la regla de Leibniz general: D n n ( ) n (ab) = D i ad n i b. i 8.2. En el ejercicio anterior, si cara = cark = p > 0, concluya que y por lo tanto D p Der k (A,A). i=1 D p (ab) = (D p a)b + a(d p b) 8.3. Si cark = 0, K k es una extensión y 0 D Der k (K,K), demuestre que: (i) 1,D,D 2,...,D p 1 son linealmente independientes sobre K. (ii) La combinación lineal a 0 + a 1 D + + a p 1 D p 1, con los a i K, es una derivación si y sólo si a i = 0, para toda i (La fórmula de Hochschild). Si cara = cark = p > 0, demuestre que para todo a A, D Der k (A,A) se tiene que (ad) p = a p D p + (ad) p 1 (a)d i.e., (ad) p es una combinación lineal de D p y D Si D,D Der k (A,A), demuestre que [D,D ] := DD D D Der k (A,A) Si a,b A, D,D Der k (A,A), demuestre que [ad,bd ] = ab[d,d ] + ad(b)d bd (a)d Si k es un anillo conmutativo, K,A son dos k-álgebras y A := K k A, demuestre que Ω A /K Ω A/k A A Si S A es un conjunto multiplicativo y D Der(A), demuestre que D induce una derivación en S 1 A por medio de D(a/s) = (D(a)s ad(s))/s 2.

218 208 8 Derivaciones y diferenciales de Kähler 8.9. Si k es un anillo conmutativo, A es una k-álgebra y S A es un subconjunto multiplicativo, demuestre que Ω S 1 A/k Ω A/k A S 1 A Si L K k k es una torre de campos y K k es otra extensión con K y K son linealmente disjuntos sobre k, demuestre que: (i) K K = k. (ii) K y k K son linealmente disjuntos sobre k Si L/K es una extensión separable, demuestre que la extensión L((T 1,...,T n ))/K((T 1,...,T n )) también es separable. Aquí, L((T 1,...,T n )) es el campo de fracciones del anillo de series formales L[[T 1,...,T n ]] (vea el ejercicio 20 del capítulo 7) Si I A es un ideal y  es la completación I-ádica de A, demuestre que para cualquier derivación D Der(A) se tiene que D(I n ) I n 1, para todo n > 0 y por lo tanto D induce una derivación en Â.

219 Referencias 1. Atiyah, M. F. and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, Bourbaki, N., Algèbre Commutative. Chapitres 1 à 4, 5 à 7, 8 et 9. Hermann, Paris, ; Réimpression: Masson, Paris, 1985; Réimpression: Springer Verlag, Berlin, Traducción al inglés: Commutative Algebra. Chapters 1 to 7. Addison-Wesley, Reading, and Hermann, Paris, Eisenbud, D., Commutative Algebra: With a View Towards Algebraic Geometry. Springer Verlag, Berlin, Fulton, W., Algebraic Curves. Addison-Wesley, Reading, Grothendieck, A. et J. Dieudonné, Eléments de Géometrie Algébrique I. Pub. Math. des IHES, 4, Paris, Kunz, E., Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry. Birkhäuser Verlag, Boston, Kurke, H., Pfister, G., Roczen, M., Henselsche Ringe und Algebraische Geometrie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, Matsumura, H., Commutative Algebra. Benjamin, New York, Matsumura, H., Commutative Ring Theory. Cambridge University Press, Cambridge, Mumford, D., The Red Book of Varieties and Schemes. Springer Verlag, New York, Nagata, M., Local Rings. Interscience, New York, Northcott, D. G., Ideal Theory. Cambridge University Press, Cambridge, Raynaud, M., Anneaux Locaux Henséliens. LNM 169, Springer Verlag, Berlin, Reid, M., Undergraduate Commutative Algebra. Cambridge University Press, Cambridge, Serre, J.-P., Local Algebra. Springer Verlag, Berlin, Shafarevich, I. R., Basic Algebraic Geometry. Springer Verlag, Berlin, Zaldívar, F., Teoría de Galois. Anthropos, Barcelona, Zaldívar, F., Introducción a la geometría algebraica Zariski, O. and P. Samuel, Commutative Algebra. Vol. I and Vol. II. Springer Verlag, New York,

220

221 Índice alfabético A-álgebra, 42 A-módulo, 29 A-morfismo, 29 A-submódulo, 30 abiertos distinguidos, 14 álgebra de dilatación, 169 separable, 182 álgebra de tipo finito, 62 álgebra finita, 62 altura de un ideal, 142 de un ideal primo, 142 anillo artiniano, 101 cociente, 2 conmutativo, 1 de coordenadas afín, 44 de Dedekind, 120 de enteros, 113, 120 de enteros p-ádicos, 163 de enteros de una extensión cuadrática, 125 de enteros de una valuación, 116 de fracciones, 56 de Prüfer, 163 de valuación, 113 de valuación discreta, 118 filtrado, 155 graduado, 168 graduado asociado, 169 henseliano, 181 local, 58, 90 local regular, 147 noetheriano, 87 reducido, 26, 109 regular, 147 semilocal, 111 topológico, 156 total de fracciones, 59 anulador, 25, 111 aplicación canónica del producto tensorial, 37 polinomial, 45 Artin-Rees, 170 artiniano, 101 asociado, 98 asociados, 96 bandera, 103 bilineal, 35 cambio de anillos, 41, 52 campo de fracciones, 56 de funciones, 115 de números, 113 de series de Laurent, 115 residual, 58, 61, 116 valuado, 116 cerradura entera, 64 coimagen, 30 completación, 158, 162 I-ádica, 163 completado, 162 completo, 158, 168 componente irreducible, 12 componentes homogéneas, 168 conúcleo, 30 condición de Mittag-Lefler, 188 conjunto aislado, 101 algebraico afín,

222 212 Índice alfabético dirigido, 160 contenido, 2 coprimos, 5 correspondencia inducida por el epimorfismo canónico, 5 derivación, 189 descomposición primaria, 96 mínima, 96 DFU, 2 diferenciales de Kähler, 190 dimensión de Krull de un anillo conmutativo, 142 discriminante, 121 dominio de Dedekind, 120 dominio de factorización única, 2 elemento entero, 62 homogéneo, 168 irreducible, 2 primo, 2, 116 entero, 62 epimorfismo, 29 epimorfismo canónico, 2 escinde, 84 espacio afín, 17 cotangente de Zariski, 147 cuasicompacto, 14 irreducible, 12 tangente de Zariski, 147 espectro máximo, 16, 17 espectro primo, 8 estrictamente coprimos, 182 extensión de escalares, 52 extensión separable, 197 fiel, 81 fielmente plano, 41 filtración cociente, 156 en un anillo, 155 en un módulo, 155 estable, 169 I-ádica, 156 inducida, 156 p-ádica, 163 trivial, 156 finitamente generado, 31 finitamente presentado, 84 función asociada, 11 bilineal, 35 de orden, 156 G-invariants, 82 generadores, 32 generadores de un módulo, 31 global a local, 76 grado de trascendencia, 137 grupo de clases de ideales, 130 de unidades de la valuación, 116 topológico, 154 Hensel, 179 hipersuperficie, 18 homogéneo, 168 ideal asociado, 96, 98 finitamente generado, 1 generado, 1 irreducible, 99 máximo, 7 máximo de una valuación, 116 primario, 94 primo, 6 primo mínimo, 96 principal, 1 radical, 25 trasladado, 25 idempotente, 26 imagen, 30 integralmente cerrado, 64 irreducible, 2 isomorfismo de módulos, 29 K-álgebra afín, 67, 137 lema de Artin-Rees, 170 de Gauss, 3 de Hensel, 179 de Krull, 73 de la serpiente, 33 de Nakayama, 90 de normalización de Noether, 67 de Schur, 52 de Zariski, 71 de Zorn, 7 del quinto, 34 límite directo, 176 límite inverso, 161

223 Índice alfabético 213 linealiza, 35 linealmente disjuntos, 197 liso, 147 local a global, 77 localización, 58 longitud, 104 finita, 104 módulo artiniano, 110 cociente, 30 completo, 168 fiel, 81 fielmente plano, 41 filtrado, 156 finitamente generado, 31 graduado, 168 graduado asociado, 169 libre, 32 noetheriano, 109 plano, 40 simple, 52 topológico, 156 Mittag-Lefler, 188 monomorfismo, 29 morfismo local, 85 canónico, 56 de A-álgebras, 42 de anillos, 1 de conexión, 33 de módulos, 29 de módulos filtrados, 156 de módulos graduados, 168 de sistemas inversos, 164 fielmente plano, 85 frontera, 33 identidad, 29 plano, 85 multilineal, 52 núcleo, 30 número de clase, 130 nilpotente, 10 nilradical, 10 no singular, 147 noetheriano, 87 norma, 120 de un elemento, 66 norma de un ideal, 123 norma euclidiana, 133 p-primario, 94 parámetro uniformizador, 116 pertenecen, 96 plano, 40 polinomio primitivo, 2 potencia simbólica, 144 presentación finita, 84 primario, 94 primera sucesión fundamental, 193 primo, 2 aislado, 98 encajado, 98 producto de ideales, 5 de variedades afines, 49 directo de módulos, 31 fibrado, 50, 51 tensorial, 37 propiedad local, 77 propiedad universal del producto tensorial, 36 punto liso, 150 puntos genéricos, 13 radical, 25 de Jacobson, 89 de un ideal, 9 radical de Jacobson, 19 reducido, 77, 109 regla de Leibniz, 189 regular, 147 restricción de escalares, 41, 52 segunda sucesión fundamental, 194 separablemente generada, 197 serie de composición, 103 series de Laurent, 187 singular, 147 sistema directo, 176 inverso, 159, 160 soporte, 111 subanillo, 1 subconjunto multiplicativo, 56 subconjunto multiplicativo generado, 79 submódulo, 30 de torsión, 83 generado por un conjunto, 31 sucesión convergente, 158 de Cauchy, 158 exacta, 32 corta, 32 suma de ideales, 4, 5

224 214 Índice alfabético de módulos, 31 directa de módulos, 31 tangente de Zariski, 147 teorema de intersección de Krull, 91, 172 de Jordan-Hölder, 111 de la base de Hilbert, 88 de los ceros de Hilbert, 71 de MacLane, 198 del ideal principal de Krull, 144 generalizado del ideal principal de Krull, 146 topología de Zariski, 9, 17 torsión, 83 traslación izquierda, 154 traza, 120 ultramétrica, 157 valuación, 114 discreta, 114 p-ádica, 115 variedad afín, 17 variedad algebraica afín, 17