Exposicion de Teoria de Galois

Transcripción

1 Exposicion de Teoria de Galois Fernando Sánchez Castellanos Villafuerte 14 de diciembre de Introduccion Definición 1. Un grupo topologico, es un grupo G juntpo con una topologia tal que satisface: La operacion de grupo: G G G (g, h) gh es continua. La funcion de inversion: G G g g 1 tambien es continuo. La clase de todos los grupos topologicos junto con los homomorfismos continuos constituye una categoria. Se sigue que la traslacion por cualquier elemento del grupo es un homeomorfismo G G, por lo que la topologia es invariante bajo traslacion. Dados g G y U G las siguientes son equivalentes: U es abierto gu es abierto 1

2 Ug es abierto Ademas, como la inversion tambien es un homeomorfismo, U es abierto si, y sólo si U 1 = { x : x 1 U } es abierto. Ejemplos: Cualquier grupo G es un grupo topologico respecto a la topologia discreta. R, R + y C son grupos topologicos con respecto a la multiplicacion y la topologia euclideana. Sea k = R o C, entonces, el grupo general lineal: GL n (k) = {g M n (k) : det(g) 0} (n 1) es un grupo topologico con respecto a la multiplicacion de matrices y a la topologia euclideana. El grupo especial lineal: SL n = {g GL n (k) : det(g) = 1} (n 1) es un subgrupo cerrado de GL n (k). Si X es un espacio topologico y x X diremos que U X es una vecindad de x si x esta en el interior de U. Por lo tanto una vecindad no es necesariamente abierta y tiene sentido hablar de una vecindad cerrada o compacta. Por otro lado, diremos que un subconjunto S de un grupo topologico es simetrico si S = S 1. Proposición 2. Sea G un grupo topologico. Entonces, las siguientes son ciertas: casa vecindad U de la identidad contiene una vecindad V de la identidad tal que V V U. Cada vecindad U de la identidad contiene una vecindad simetrica de la identidad. Si H es un subgrupo de G, tambien su cerradura. Cada subgrupo abierto de G es tambien cerrado. 2

3 Si K 1 y K 2 son subconjuntos compactos de G, tambien es K 1 K 2. Proposición 3. Sea G un grupo topologico, entonces las siguientes son equivalentes: 1. G es T G es Hausdorff. 3. La identidad e es cerrada en G. 4. Cada punto de G es cerrado. Demostración Si G es T 1, entonces para cualesquiera g, h G distintos hay una vecindad abierta U de la identidad que no contiene a gh 1, y por la proposicion anterior, existe un subconjunto simetrico V de U que contiene a la identidad tal que V V U. Entonces los conjuntos abiertos V g y V h son vecindades disjuntas de g y h, pues de otra manera gh 1 V 1 V = V V U. 2 3 Cada punto en un Hausdorff es cerrado. 3 4 Para cada punto x G existe un homeomorfismo que lleva e x, por lo tanto si e es cerrado, tambien lo es todo punto. 4 1 Se sigue de la definicion. Si H es un subgrupo del grupo topologico G, entonces el conjunto G/H de clases laterales izquierdas de G adquiere la topologia cociente, definida como la topologia mas fuerte tal que la proyeccion canonica ρ : g gh es continua. Entonces U es abierto en G/H si, y sólo si ρ 1 (U) es abierto en G. Hay que recordar que G/H es un grupo bajo la multiplicacion de clases laterales si, y sólo si H es un subgrupo normal de G. En este caso demostraremos que G/H es un grupo topologico con respecto a la topologia cociente. Proposición 5. Sea G un grupo topologico y sea H un subgrupo de G. Entonces, las siguientes propiedades se cumplen: 3

4 El espacio cociente G/H es homogeneo bajo G. La proyeccion canonica ρ : G G/H es una funcion abierta. El espacio cociente G/H es discreto si, y sólo si H es abierto. Ademas, si G es compacto, entonces H es abierto si, y sólo si G/H es finito. Si H es normal en G, entonces G/H es un grupo topologico respecto a la operacion cociente y la topologia cociente. Sea H la cerradura de {e} en G, Entonces H es normal en G y el grupo cociende G/H es Hausdorff con respecto a la topologia cociente. Proposición 6. Sea G un grupo topologico Hausdorff. Entonces las siguientes propiedades son ciertas: El producto de un subconjunto cerrado y un subconjunto compacto es cerrado. Si H es un subgrupo compacto de G, entonces ρ : G G/H es una funcion cerrada. 2. Grupos Profinitos 2.1. Sistemas y limites proyectivos Sea I un conjunto no vacio que luego servira como conjunto de indices. Decimos que I esta preordenado con respecto a la relacion si la relacion es reflexiva y transitiva. No asumimos que sea antisimetrica, por lo tanto un preorden es mas debil que un orden parcial. Los elementos de un conjunto preordenado I constituyen una categoria para la cual hay un unico morfismo conectando dos elementos i y j si, y sólo si i j. Decimos que un conjunto preordenado I es un conjunto filtrado si cada subconjunto finito de I tiene un limite superior en I: Supongamos que I es un conjunto de indices preordenado y sea {G i } i I una 4

5 familia de conjuntos. Supongamos ademas que para cada par de indices i, j I con i j existe una funcion asociada ϕ ij : G j G i, con las siguientes condiciones: ϕ ii = 1 Gi i I ϕ ij ϕ jk = ϕ ik i, j, k I, i j k Entonces, el sistema (G i, ϕ ij ) es llamado sistema proyectivo. Definición 7. Sea (g i, ϕ ij ) un sistema proyectivo de conjuntos. Entonces, definimos el limite proyectivo del sistema, denotado por lím G i, por: { lím G i = (g i ) } G i : ϕ ij (g j ) = g i i j i I Hay que notar, que como lím G i es un subconjunto del producto directo, entonces viene equipado con una familia de proyecciones p j : lím G i G j, y respecto a estas proyecciones, el limite manifiesta la siguiente propiedad universal: Propiedad 8 (Universal). Sea H un conjunto no vacioy sea (ψ i : H G i ) i I un sistema de funciones que es compatible con el sistema proyectivo (G i, ϕ ij ) en el sentido de que para cada par de indices i, j I con i j el siguiente diagrama conmuta: H ψj G j ψ i ϕ ij G i Entonces existe una unica ψ : H lím G i siguiente diagrama: tal que para cada i I el H ψ lím G i tambien conmuta. ψ i G i p i 5

6 La funcion ψ no es otra que h (ψ i (h)) i I, en cuyo caso, la compatibilidad de ψ i garantiza qur la imagen cae dentro del limite proyectivo. Proposición 9. Sea I un conjunto filtrado y sea (g i, ϕ ij ) un sistema proyectivo de conjuntos finitos. Sea G = lím G i. Entonces: Si cada G i es no vacio, entonces lím G i es no vacio. para cada indice i I: p i (G) = ϕ ij (G j ) i j 2.2. Grupos Profinitos Consideremos un sistema proyectivo de grupos finitos, cada uno de los cuales tomamos con la topologia discreta. Su limite proyectivo adquiere la topologia relativa inducida por la topologia producto en todo el producto directo. Esta es llamada la topologia profinita y respecto a ella, el limite proyectivo adquiere la estructura de grupo topologico. Proposición 10. Sea G un grupo profinito dado como el limtie proyectivo del sistema proyectivo (G i, ϕ ij ). Entonces, las siguientes sin ciertas: 1. G es Hausdorff respecto a la topologia profinita. 2. G es un subconjunto cerrado del producto directo G i. 3. G es compacto. Demostración El producto directo de Hausdorffs es Hausdorff, y cualquier subconjunto de un Hausdorf tambien es Hausdorff con la topologia inducida. 2. podemos darnos cuenta de que el complemento de G in G i es el siguiente conjunto abierto: G c = {(g k ) } G k : ϕ ij (g j ) g i i j i por lo tanto, G es cerrado. 6

7 3. Como G i es compacto (por el teorema de Tychonoff) y G es un subconjunto cerrado de G i (por 2), entonces G es compacto. Ejemplo (1): Sea G n = Z/nZ, n 1 el grupo aditivo de enteros modulo n. Entonces {G n } es un sistema proyectivo pues hay una proyeccion canonica ϕ mn : Z/nZ Z/mZ [k] n [k] m cuando m n, y estas proyecciones son claramente compatibles en el sentido requerido. Entonces podemos formar el limite proyectivo Ẑ = lím Z/nZ Ejemplo (2): Sea H n = (Z/nZ), n 1 el grupo de unidades en Z/nZ. Entonces {H n } es un sistema proyectivo, pues un homomorfismo de anillos manda unidades en unidades. Sea Ẑ = lím(z/nz) entonces Ẑ es un grupo topologico bajo la multiplicacion y es el grupo de unidades de Ẑ Ejemplo 3: Sea p un primo fijo y sea G m = Z/p m Z, m 1. De nuevo {G m } es un sitema proyectivo y formamos su limite proyectivo para obtener el anillo Z p = lím Z/p m Z Este anillo se llama el anillo de enteros p-adicos Ejemplo 4: El conjunto de todas las extensiones finitas de Galois K/Q contenidas dentro de una cerradura algebraica Q forma un conjunto filtrado respecto a la inclusion. Tenemos un sistema proyectivo correspondiente de grupos Gal(K/Q), donde si K L, el homomorfismo asociado Gal(L/Q) Gal(K/Q) es simplemente la restriccion. Ademas, tenemos el isomorfismo Gal( Q/Q) lím Gal(K/Q) 7

8 σ (σ K ) Teorema 12. Sea G un grupo topologico. G es profinito si, y sólo si compacto y totalmente disconexo. G es 2.3. Teoria de Galois El siguiente teorema muestra, en particular, que los subgrupos cerrados de grupos profinitos y los cocientes profinitos entre subgrupos normales son tambien profinitos. Teorema 13. Sea G un grupo profinito y sea H un subgrupo de G. Entonces H es abierto si, y sólo si G/H es finito. Ademas, las siguientes 3 son equivalentes: 1. H es cerrado. 2. H es profinito. 3. H es la interseccion de una familia de subgrupos abiertos. Finalmente, si las ultimas tres propiedades se cumplen, entonces G/H es compacto y totalmente disconexo. Demostración 14. La primera aparte es consecuencia de la proposicion 5, ya que un grupo profinito es necesariamente compacto. Ahora probamos las equivalencias: 1 2 H es un subconjunto cerrado de un espacio compacto, entonces es compacto. Y como el componente conexo de la identidad e (el subconjunto conexo maximal de G que contiene a e) en G es {e}, entonces su componente conexo en H es tambien {e} y por lo tanto H es completamente disconexo, 2 1 Si H es profinito, entonces es el subconjunto compacto de un Hausdorff y por lo tanto es cerrado. 8

9 3 1 Supongamos que H es la interseccion de alguna familia de subgrupos abiertos de G. Ahora, por la proposicion 2, todo subgrupo abierto tambien es cerrado, por lo tanto H es la interseccion de una familia de cerrados, entonces es cerrado. 1 3 Pendiente. Ahora, lo que queremos hacer es extender el teorema fundamental de la teoria de Galois a extensiones infinitas. Supongamos que K/F es una extension de campos con grupo de Galois G. Consideremos el conjunto N de subgrupos normales de G de indice finito. Si M, N N y M N, tenemos una proyeccion ρ N,M : G/M G/N, y por lo tanto un sistema proyectivo de cocientes {G/N} N N. Este sistema es compatible con la familia de proyecciones canonicas ρ N : G G/N que se corresponde con la funcion restringida de Gal(K/F ) a Gal(K N /F ), de esta manera hemos introducido de manera canonica un homomorfismo ρ de G al limite poryectivo de los cocientes asociados. Proposición 15. Sean K, F, G y N como estan descritos arriba. Entonces, la funcion canonica ρ : G lím G/N N N es un isomorfismo de grupos. Por lo tanto G es un grupo profinito inducido por la topologia ρ Demostración 16. Primero, mostramos que ρ es inyectiva. Claramente Ker(ρ) = N N asi que solo tenemos que demostrar que la interseccion es trivial. Sea σ Ker(ρ) y sea x K. Entonces, existe una extension finita de Galois F /F tal que F K y x F. Ahora, la restriccion de Gal(K/F ) a Gal(F /F ) tiene kernel Gal(K/F ) y por lo tanto es un subgrupo normal de G de indice finito y entonces σ(x) = x. Como x es arbitrario, entonces σ es la identidad en K y Ker(ρ) es trivial. Para ver que ρ es suprayectiva, fijamos (σ N ) en el limite proyectivo. Dado un N 9

10 elemento arbitrario x K, sabemos de nuevo que x se encuentra en una extension finita de Galois F /F con N = Gal(K/F ) normal y de indice finito en G y Gal(F /F ) = G/N. Definimos σ Gal(K/F ) por σ(x) = σ N (x), por construccion del limite proyectivo, σ es independiente de como hayamos escogido F, y por lo tanto es un automorfismo de K bien definido. Ademas, es claro que σ N es ρ N para toda N. Teorema 17 (Fundamental de la Teoria de Galois). Sea K/F una extension de Galois (no necesariamente infinita) y sea G = Gal(K/F ) con la topologia profinita. Entonces, las funciones α : L H = Gal(K/L) β : H L = K H constituyen un par mutuamente inverso de biyecciones que cambian el orden entre el conjunto de campos intermedios L de K/F y el conjunto de subgrupos cerrados de G. Ademas, L es Galois sobre F si, y sólo si el subgrupo correspondiente H es normal en G. Demostración 18. En el caso de K/F finita lo asumimos cierto. Primero, demostramos que α esta bien definida, es decir, que lleva campos intermedios a subgrupos cerrados. 10