TEMA 9: Tecnología de la programación. Tipos abstractos de datos. Algoritmos de búsqueda y ordenación, recursividad, complejidad.

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1 TEMA 9: Tecnología de la programación. Tipos abstractos de datos. Algoritmos de búsqueda y ordenación, recursividad, complejidad. Índice Introducción...1 Materias tratadas por la tecnología de la programación...2 Diseño y análisis de algoritmos...2 Tipos de datos y estructuras de datos...2 Tipos abstractos de datos (TAD)...3 Algoritmos de búsqueda y ordenación...4 Algoritmos de búsqueda...4 Búsqueda interna...4 Búsqueda secuencial...4 Búsqueda binaria...4 Búsqueda hash...5 Búsqueda externa... 5 Algoritmos de ordenación...6 Mezcla directa (MergeSort)...6 Heapsort...6 Ordenación rápida. Quicksort...7 Algoritmos recursivos...8 Profundidad de recursión...8 Diseño de algoritmos recursivos...8 Ventajas e inconvenientes...9 Transformación de algoritmos recursivos a iterativos...9 Complejidad...11 Notación O grande...11 Introducción Como indica su nombre, la tecnología de la programación es la disciplina que estudia la tarea de hacer programas desde el punto de vista de los algoritmos. El esfuerzo de la tecnología de la programación se centra en tres áreas: Desarrollar técnicas de diseño de algoritmos. Que sirvan de base para desarrollar algoritmos eficaces y eficientes. Es decir, que resuelvan de forma correcta el problema (eficacia) y minimizen el consumo de recursos del ordenador (eficiencia). El estudio de las estructuras de datos que manejan los programas. Con objeto de crear las estructuras que faciliten el diseño de los algoritmos. Medir y comparar la eficiencia de los algoritmos. Se estudian técnicas que permiten evaluar la eficiencia de un algoritmo de forma independiente del ordenador que lo ejecute. Ejemplo: El cálculo de la complejidad. Página 1 de 13

2 Materias tratadas por la tecnología de la programación Al estudiar tecnología de la programación suelen verse las siguientes materias: Diseño y análisis de algoritmos Se puede definir algoritmo como una secuencia finita de instrucciones, cada una de las cuales tiene un significado preciso y puede ejecutarse con una cantidad finita de recursos en un tiempo finito. Las instrucciones de control y de llamada de función son las más relevantes a la hora de estudiar el diseño de un algoritmo. La tecnología de la programación ofrece un conjunto de técnicas para el desarrollo de algoritmos que resuelvan de los problemas típicos en la programación. Como por ejemplo, los algoritmos de ordenación, de marcha atrás, los voraces... Tipos de datos y estructuras de datos Los lenguajes de programación de alto nivel, permiten definir la estructura de los datos que manejan los programas. Ya que en muchos casos, los tipos de datos predefinidos en el lenguaje, como los tipos entero, real, carácter... no son adecuados para manejar los datos. Las abstracciones de datos utilizadas en programación son: Tipos de datos: Los ordenadores al nivel de lenguaje máquina, sólo manejan datos de tipo lógico o números enteros o reales. Los lenguajes de alto nivel proporcionan otros tipos de datos como pueden ser los caracteres o los string. Tipos abstractos de datos (TAD): Utilizados en la programación estructurada. Un TAD es un modelo matemático compuesto por un conjunto de datos y una colección de operaciones definidas sobre los datos. Cada vez que deseemos emplear el TAD sólo lo podemos usar las operaciones definidas. Objetos: Utilizado en la P.O.O. En el ámbito del diseño de algoritmos, los objetos son similares a los TADs, aunque más potentes. Como los TADs, establecen un conjunto de valores y unas operaciones sobre ellos, y, además, poseen propiedades como la herencia, el polimorfismo, el paso de mensajes... Existen una serie de estructuras de datos muy frecuentes como son las listas, las colas, las tablas, los árboles y los grafos, que su implementación y algoritmia asociada están muy estudiadas. Página 2 de 13

3 Tipos abstractos de datos (TAD) Como he indicado anteriormente, un TAD es un modelo matemático compuesto por un conjunto de datos y una colección de operaciones definidas sobre los datos. Un TDA representa una abstracción en la cual: Se destacan los detalles de la especificación (el qué). Esta parte se compone de la declaración de las funciones que implementan las operaciones del TAD. Se ocultan los detalles de la implementación (el cómo) de estas funciones y de la estructura de datos. Para usar un TDA no se necesita conocer como actúan sus operadores ni los detalles de la representación interna de los datos, que además, suele ser una implementación bastante dependiente de la máquina sobre la que se trabaje. La ocultación de los detalles de implementación se realiza por dos motivos: 1. Ocultar detalles poco relevantes que hacen más difícil el uso del TAD 2. Protección de los programas que usen el TAD de posibles cambios en la implementación del TAD Los datos almacenados es un TAD se organizan en una determinada estructura de datos. La estructura de datos depende de la naturaleza de los datos y del uso que se haga con ellos. Como estructuras de datos podemos encontrar: Listas, Pilas, Árboles, Grafos... La selección de la estructura de datos abstracta se realiza teniendo en cuenta las operaciones que permite realizar sobre los datos. Estas estructuras de datos definen la organización de los datos de forma abstracta. Cada estructura luego de forma interna puede ser implementada de formas diferentes. La selección de la implementación estructura de datos concreta se realiza teniendo en cuenta la eficiencia de la implementación de los algoritmos (complejidad computacional), el tamaño de los datos, su ubicación... Ejemplo: Una librería puede proveernos de un TAD pila, cuya interfaz sería: - Pila nuevapila() - Pila empila(pila, elemento) - Elemento desempila (pila) - Entero numelementos(pila) - VaciarPila(pila) El usuario de este TAD Pila sólo necesita conocer su interfaz para usarlo, la implementación no le interesa y está oculta. Página 3 de 13

4 Algoritmos de búsqueda y ordenación La búsqueda de un valor determinado dentro de un conjunto de valores o la ordenación de este conjunto de valores son problemas típicos de la programación. Además, cuando se trabaja con un conjunto de valores numeroso, el consumo de recursos - tiempo de cpu y/o memoria- es elevado. Es por ello, que se han realizados estudios para conseguir técnicas de programación para el desarrollo de algoritmos eficaces y eficientes que resuelvan estos problemas. Algoritmos de búsqueda El tipo de búsqueda se puede clasificar como interna o externa, según el lugar en el que esté almacenada la información (en memoria o en dispositivos externos). Los algoritmos de búsqueda tienen dos finalidades: - Determinar si el elemento buscado se encuentra en el conjunto en el que se busca. - Si el elemento está en el conjunto, hallar la posición en la que se encuentra. Búsqueda interna Se da en los casos en que el conjunto de datos a tratar está almacenado en memoria principal. Para explicar los diferentes tipos de algoritmos, los valores serán números enteros almacenados en un array. Búsqueda secuencial Consiste en recorrer y examinar cada uno de los elementos del array hasta encontrar el o los elementos buscados, o hasta que se han mirado todos los elementos del array. for(i=j=0;i<n;i++) if(array[i]==elemento) { solucion[j]=i; j++; El número de comparaciones realizadas es N (el número de elementos del array). Mejoras en el algoritmo 1. Si se busca la primera ocurrencia del elemento buscado, el algoritmo puede ser mejorado saliendo del bucle al encontrar la ocurrencia. 2. Para evitar tener que controlar los límites del array se puede utilizar la técnica del centinela, se coloca al final del array el elemento buscado, así seguro que siempre aparece. En el caso de que los elementos del array estén ordenados, el algoritmo se puede optimizar modificando el predicado de control del bucle a for (i=j=0; array[i]<=elemento; i++). En este caso, el número medio de comparaciones necesarias para encontrar el elemento buscado es (N-1)/2. Búsqueda binaria La búsqueda binaria se aplica en el caso de arrays ordenados. Consiste en aplicar la técnica del Divide y venceras. Se realiza las siguientes acciones: 1. Dado el array ordenado, se toma el elemento central y se divide el array en dos. 2. Si el elemento central es el valor buscado, el algoritmo termina. 3. Si no, se compara el valor central con el elemento buscado. Si es mayor, se selecciona el arrays con valores inferiores al valor central, al contrario sino. 4. Si el array seleccionado no tiene elementos, es que no existe el elemento buscado en el array, 5. Si no, entonces se vuelve a aplicar el algoritmo a la porción de array seleccionada. Página 4 de 13

5 En general, este método realiza log 2(N+1) comparaciones antes de encontrar el elemento, o antes de descubrir que no está. Este número es muy inferior que el necesario para la búsqueda lineal para casos grandes. Función BusquedaBinaria (tabla: Array; CotaSup, CotaInf, elembusc: enteros) devuelve posición Inicio Si( CotaSup<CotaInf) Devolver 1; // Indica que no ha encontrado el elemento. Medio = (CotaSup + CotaInf) div 2; Si ( tabla[medio] > elembusc) Devolver (BusquedaBinaria(tabla, Medio+1, CotaSup, elembusc)); Si ( tabla[medio] < elembusc) Devolver (BusquedaBinaria(tabla, CotaInf, Medio-1, elembusc)); Sino Devolver Medio; Fin Búsqueda hash Consiste en asignar a cada elemento un índice mediante una transformación del elemento. Esta correspondencia se realiza mediante una función de conversión, llamada función hash. En el caso de los elementos dentro del array, la función hash obtendría la posición del elemento utilizando su valor. Como funciones hash encontramos el uso de aritmética modular ( indice = elemento mod X), el truncamiento del valor, restas sucesivas... Lo ideal para una función hash es que sea biyectiva. Es decir, que a cada elemento le toque un índice y a cada índice un solo elemento. De esta forma la búsqueda sólo necesitaría calcular el índice. Generalmente, encontrar un función hash biyectiva es muy difícil o imposible. Normalmente las funciones hash tienen colisiones, la función hash asigna el mismo índice a distintos elementos. Es por ello que hay que crear estructuras para almacenar varios valores en un solo índice. La estructura de datos más eficiente es utilizar un array de punteros a listas. La función hash indica la posición del array donde se almacena el puntero a la lista que le corresponde la puntero. Una función hash es más o menos óptima según el grado de colisiones que provoca. Cuantas menos colisiones más eficiente. Búsqueda externa La búsqueda externa se da cuando el volumen de la información a tratar impide su almacenamiento de forma completa en memoria principal y se tiene que trabajar a nivel de ficheros almacenados en dispositivos como cintas, disco duros... Las técnicas de búsqueda externa hay que tener en cuenta el alto coste de tiempo de cada acceso a ficheros. Los algoritmos se modifican para trabajar con bloques, la unidad de entrada y salida de los dispositivos de memoria secundaria. Cada bloque almacena varios registros con datos. En la búsqueda externa se utilizan técnicas como el uso de índices. Los registros poseen un campo índice que los identifica. Los índices se almacenan es estructuras de datos de búsqueda rápida, como por ejemplo árboles B, con punteros al bloque que almacena el registro. Se almacenan por separado el fichero de índices y el fichero de datos. El fichero de índices es de pequeño tamaño y permite su almacenamiento en memoria principal. Cuando se ha encontrado el índice del registro buscado, se utiliza el puntero para traer el bloque o bloques donde se almacena. Página 5 de 13

6 Algoritmos de ordenación La ordenación es una tarea fundamental y relevante en el proceso de datos. Es por ello que se han diseñado varias técnicas avanzadas para la ordenación de datos. Los algoritmos directos de ordenación son: - Selección: Se basa en seleccionar buscar el elemento más pequeño del array e intercambiarlo con el elemento de la primera posición. Esta acción se va realizando cada vez con la parte del array desordenada hasta que este completamente ordenado. - Burbuja: Consiste en comparar pares de elementos adyacentes e intercambiarlos entre sí hasta que estén todos ordenados. - Inserción directa: En este método lo que se hace es tener una sub-lista ordenada de elementos del array e ir insertando el resto en el lugar adecuado para que la sub-lista no pierda el orden. La sublista ordenada se va haciendo cada vez mayor, de modo que al final la lista entera queda ordenada. Los algoritmos directos son fáciles de entender e implementar pero tienen el inconveniente de tener una complejidad O(n 2 ). Existen técnicas avanzadas de ordenación con complejidades del orden O(n*logn). Los algoritmos de ordenación avanzadas utilizan la técnica de divide y vencerás y backtracking. Los dos primeros, algoritmos de MergeSort y HeapSort, son utilizados en ordenaciones internas. El último, QuickSort se utiliza para ordenaciones externas. Mezcla directa (MergeSort) Se basa en combinar dos secuencias ordenadas en una sola secuencia ordenada. El método es el siguiente: 1. Se divide el array desordenado en dos mitades B y C. 2. Cada subarray se continúa dividiendo hasta tener arrays de un solo elemento (que por definición está ordenado). 3. Los subarrays ordenados B y C se combinan en solo array ordenado A aprovechando las ventajas de que los subarrays ya esté ordenado. Procedimiento MergeSort (tabla, LimSup, LimInf) { Si (LimSup>LimInf){ Media = (LimSup+LimInf)div 2; MergeSort( tabla, LimSup,Media+1); MergeSort (tabla, Media, LimInf); MezclarOrdenados( tabla; LimSup,Media,LimInf); // Compara uno a uno cada elemento de los arrayes y los guarda en un array aparte. Tiene el inconveniente de utilizar un array extra a la hora de combinar los arrays ordenados en uno solo. Es poco eficiente. Orden de complejidad O(n*logn). Heapsort El algoritmo de ordenación HeapSort tiene las siguientes características: 1. No necesita memoria extra, ordena dentro del mismo array donde están los datos. 2. Utiliza para ello una estructura de montículo ( heap ) binario dentro del array. Un heap binario puede ser visto como un arbol binario, donde se aprovecha la propiedad que el elemento padre siempre es mayor que sus hijos. El algoritmo se basa en dar estructura de heap al array, por ejemplo A[1..N]. De forma que en el elemento raíz (la posición 1) queda siempre el elemento mayor. El elemento raíz se intercambia con el último elemento del array A[n] y se vuelve a dar estructura de heap al array A[1..N-1]. Así sucesivamente hasta tener un array de un elemento. Al final el array queda ordenado de menor a mayor. Página 6 de 13

7 El algoritmo queda de la siguiente forma: Procedimiento HeapSort(A) { Construir_heap(A) Desde i = longitud(a) hasta 2 hacer{ Intercambiar(A[1],A[i]); Longitud_heap(A) = longitud_heap(a) 1; Restaurar_heap(A) // Vuelve a dar estructura de Heap al array A[1, i] Ordenación rápida. Quicksort El algoritmo de ordenación quicksort tiene un orden de complejidad en el peor de los casos, cuando el array ya está ordenado, de O(n 2 ). Aunque su tiempo medio de ejecución es de O(n*logn). Sus características son: 1. Las constantes asociadas al orden de complejidad son reducidas. Con arrayes de menos de 512 elementos es mucho más rápido que todos los demás. De hay viene su denominación. 2. No necesita espacio extra para ordenar. 3. Se comporta muy bien en entornos de memoria virtual. 4. Utiliza la técnica de divide y vencerás. Es utilizado para realizar ordenaciones externas. Se basa en dividir el array en dos particiones, de forma que todos los elementos de la primera partición sean más pequeños o iguales que cualquier elemento de la segunda partición. La función de partición reordena el array. Cada partición se reordena de forma recursiva por sucesivas llamadas al mismo procedimiento. Al final del proceso el array está ordenado. Procedimiento QuickSort(A: array, limsup, limpinf) { Si (LimSup > LimInf) entonces { q = Partición(A, limsup, limpinf); // El tiempo de ejecución de la partición depende de la organización del array. QuickSort(A, q, limpinf); QuickSort(A, limsup, q+1); Página 7 de 13

8 Algoritmos recursivos Hablamos de algoritmos recursivos, cuando definimos un algoritmo en función de si mismo. Para ello, se utilizan las instrucciones de llamada a funciones. La recursividad en programación es una herramienta sencilla, muy útil y potente. Ejemplo: - El factorial de un entero positivo suele definirse: 0! = 1 n! = n*(n-1)! si n>0 Ejemplo: el siguiente algoritmo implementa la función factorial definida anteriormente: FUNCTION factorial(n:integer): integer; IF n=0 THEN factorial:=1; ELSE factorial := n * factorial(n-1) Podemos distinguir dos tipos de recursividad: - Directa ( también llamada final): Cuando un algoritmo se llama a si mismo una o más veces de forma explicita. - Indirecta( también llamada no final): Cuando un algoritmo hace una llamada a otro algoritmo, el cual contiene una llamada directa o indirecta al primero. Los algoritmos recursivos directos son más eficientes que los indirectos pues necesitan menos memoria y provocan menos llamadas a funciones. Existe la técnica del plegado / desplegado que transforma los algoritmos directos en indirecto. Profundidad de recursión Cuando un procedimiento recursivo se invoca por primera vez su profundidad de recursión es 1 y el procedimiento se ejecuta a nivel 1. Si la profundidad de un procedimiento es N y se llama a sí mismo, entonces asciende el nivel de recursión y pasa al nivel N+1. Cuando el procedimiento regresa a la instrucción de donde fue llamado desciende un nivel de recursión. Diseño de algoritmos recursivos El uso de la recursividad se lleva a cabo cuando: - Aparezcan estructuras de datos definidas recursivamente. Ejemplo: Una pila. - Cuando no haya una solución iterativa clara y simple. - Cuando el algoritmo sea claramente recursivo. El diseño del algoritmo consta de 4 pasos: 1) La especificación formal: Se realiza igual que el resto de algoritmos. Se utiliza la técnica de definir la precondición y la postcondición. 2) El análisis por casos: Se trata de estudiar cómo se pueden descomponer recursivamente los datos del problema. De forma que la solución buscada se calcule a partir del mismo problema pero con datos más pequeños. El resultado del análisis nos dará una serie de condiciones triviales del problema, cuya solución es directa, y otras condiciones no triviales, cuya solución es recursiva pero con datos más pequeños. 3) La composición: Consiste en expresar en un algoritmo en pseudocódigo el resultado del análisis por casos. Es una actividad de mera traducción. Página 8 de 13

9 4) La verificación del algoritmo diseñado. La verificación se consigue demostrando que: a. La completitud de la solución, es decir, que el conjunto de los casos no triviales junto a los casos triviales cubre todos los casos de la precondición. b. La ejecución de cualquiera de los casos triviales aporta una solución correcta y finalizan la ejecución del algoritmo. Es decir, cualquiera de las postcondiciones de los estados triviales está contemplada dentro de la postcondición general del algoritmo. c. La ejecución del algoritmo es finita. Para ello, primero se demuestra que la solución a los casos no triviales se realiza siempre con problemas más pequeños, para ello se utiliza una función cota como en la demostración del algoritmo iterativo. Y, por último, se demuestra que cuando la función cota llega a cero, se llega siempre a un estado trivial. Ventajas e inconvenientes La principal ventaja es la simplicidad de comprensión y su gran potencia. Favorece la resolución de los problemas de manera natural, sencilla y elegante. Facilita verificar que la solución del problema es correcta. El principal inconveniente es la ineficiencia tanto en tiempo como en memoria, por el alto consumo de recursos de las llamadas de función. Transformación de algoritmos recursivos a iterativos Los algoritmos recursivos pueden transformarse en iterativos, que, generalmente, consumen menos recursos, aunque suelen ser más largos y complejos. Para ello se transforma la recursión usando pilas. La forma más sencilla de eliminar la recursión es cuando hay una sola llamada recursiva (recursión lineal) y se encuentra al final del algoritmo recursivo. Se sustituye la llamada por una instrucción iterativa. Por ejemplo, la función factorial: a partir de su definición recursiva, que hemos visto antes, podemos implementar la versión iterativa de la siguiente manera: FUNCTION factorial(n:integer): integer; VAR f: integer; f:=1; WHILE n >0 DO f:=n*f; n:=n-1; factorial:=f; Una forma más compleja de recursión lineal ocurre cuando la llamada recursiva no es la última acción del procedimiento. En general los procedimientos recursivos lineales son de la forma: PROCEDURE f(x); IF g(x) THEN h(x); ELSE a; f(k(x)); b; Página 9 de 13

10 Y pueden ser transformados a la siguiente forma: PROCEDURE f(x); WHILE NOT g(x) DO a; Push(x,pila); (* Guardamos x en la pila *) x:=k(x) h(x); WHILE Pila no vacia DO x = Pop(pila); /*Sacamos el siguiente valor de la pila*/ b; Página 10 de 13

11 Complejidad Un factor importante en el diseño de algoritmos es su eficiencia a la hora de consumir los recursos del ordenador al ejecutarse. El recurso más valioso en un ordenador es el tiempo de procesador, por ello, los estudios de eficiencia de los algoritmos se orientan a minimizar este consumo. La eficiencia de un algoritmo depende de la máquina y de otros factores como por ejemplo, el compilador utilizado. Para comparar dos algoritmos sin tener en cuenta estos factores externos se usa la técnica del cálculo de complejidad del algoritmo. Esta es una media informativa del tiempo de ejecución de un algoritmo y depende de dos factores: Las características de los datos de entrada del programa, especialmente su volumen. La propia complejidad del algoritmo del programa. La técnica del cálculo de la complejidad se basa en el estudio de la frecuencia de ejecución máxima de las instrucciones de los algoritmos, en función del tamaño de la entrada. Esta técnica supone que a mayor tasa de ejecución, mayor será el consumo de tiempo de procesador. Ejemplo: Dado el algoritmo siguiente: Instrucciones Tiempo de ejecución instrucción Frecuencia de ejecución C := 2; ta 1 For i:= 1 to n do ta + ts n EndFor For j := 1 to n do ta + ts n 2 EndFor; A:= j+c; ta + ts n 2 El tiempo de ejecución del algoritmo se establecería con la función T(n) = 2(ta + ts) n 2 + (ta + ts)n + ta. Donde ta, tiempo de asignación, y ts, tiempo de suma, dependen de la máquina. n es la variable que indica el tamaño de los datos de entrada. La técnica del cálculo de la complejidad no tiene en cuenta las características de la máquina, por lo que ta y ts no los tiene en cuenta, y sólo tiene en cuenta el termino con el factor de mayor grado, que en este caso es n 2. El resto de factores de menor grado los desprecia pues para n suficientemente grande tienen una influencia mínima en el tiempo de ejecución. Es por ello, que los algoritmos se clasifican por el factor de mayor grado, es lo que se denomina grado de complejidad. Así, se entendería que el grado de complejidad del algoritmo anterior es n 2. Notación O grande Existe una notación matemática para indicar el grado de complejidad de un algoritmo, la notación O grande y se define como: f(n) = O(g(n)) : f(n) es de grado de complejidad g(n) si: f(n) <= c g(n) para todo n >= n 0. Siendo n 0 y c números reales positivos c está determinado por las características externas al algoritmo: características de la máquina, compilador... n 0 indica el tamaño del problema (tamaño de la entrada) a partir del cual se cumple la relación. c g(n) es la función cota límite superior de la función f(n) a partir de un determinado tamaño del problema. Página 11 de 13

12 c g(n) Consumo CPU f(n) N 0 Tamaño del problema Propiedades de la notación O grande Si multiplicamos el orden de una función por una constante, el orden del algoritmo sigue siendo el mismo. O(c*f(n)) = O(f(n)) La suma del orden de dos funciones es igual al orden de la mayor. O(f(n)+g(n)) = O(máx(f(n),g(n)). Si multiplicamos el orden de dos funciones el resultado esta multiplicación de los ordenes. Orden de crecimiento de funciones conocidas O(a n ) con a<1 < O(1) < O(log(n)) < O(n) < O(log(n)n) < O(n 2 ) < O(a n ) con a>1 < O(n!) < O(n n ) Reglas de cálculo de complejidad de T(n) El tiempo de ejecución de cada sentencia simple, por lo común puede tomarse como O(1). El tiempo de ejecución de una secuencia de proposiciones se determina por la regla de la suma. Es el máximo tiempo de ejecución de una proposición de la sentencia. Para las sentencias de bifurcación (IF,CASE) el orden resultante será el de la bifurcación con mayor orden. Para los bucles es el orden del cuerpo del bucle sumado tantas veces como se ejecute el bucle. El orden de una llamada a un subprograma no recursivo es el orden del subprograma. Ventajas 1. Es una técnica a nivel conceptual, independiente del entorno de ejecución. 2. Se puede calcular a priori, sin necesidad de ejecutar el algoritmo 3. Permite comparar fácilmente la eficiencia de algoritmos diferentes 4. Es fácil de calcular Inconvenientes 1. Es sólo una estimación. No indica a partir de que tamaño del problema un algoritmo es mejor que otro. Por ejemplo: Si tenemos un algoritmo 1 con complejidad f1(n)=10 6 n y otro con complejidad f2(n) = n 2 para un problema con tamaño de datos n=10 3. Al calcular el orden de complejidad, f1 = O(n) y f2= O(n 2 ), luego f1 es más eficiente que f2. Pero si analizamos las funciones de complejidad, vemos que f1 es mejor a partir de n> La notación O grande nos llevaría a elegir el algoritmo incorrecto. Página 12 de 13

13 Ejemplos de cálculo de complejidad Calcular la complejidad de los siguientes programas: a/ Error:=a+n-1>B; IF NOT Error THEN for i:=1 TO n do c:=c+1; for i:=1 TO n do d:=d+1; END END La complejidad es O(n) b/ RESET(fich); WHILE NOT EOF(fich) DO READ (fich,ele); for i:=1 TO m do elem[i]:=6 ; END END O(1) O(n) O(n) O(1) O(1) O(m) La complejidad es O(m*n) ya que el bucle WHILE se ejecuta 1 vez por cada uno de los n elementos del fichero. c/ Ordenar las siguientes funciones por orden de crecimiento: a. n f. n/log n b. SQRT(n) g. SQRT(n)Χlog 2 n c. log n h. (1/3) n d. log (log n) i. (3/2) n e. log 2 n j. 17 h < j < d < c < e < b < g < f < a < i Página 13 de 13