Guia 6. Mallas y nudos

Transcripción

1 Guia 6. Mallas y nudos. En el circuito de la figura elegir las corrientes de mallas, calcular sus impedancias propias y copedancias, y armar la matríz de impedancias. Luego resolver el sistema matricial. (No reducir el circuito mediante asociación de elementos). 8Ω j5ω V 6Ω j6ω j9ω Figura : Corrientes de malla.. Para el ejercicio, elegir mallas diferentes y calcular el nuevo Z, comparar. 3. En el circuito de la figura calcular las corrientes Ī e Ī, construir el triángulo de potencias del generador y calcular la potencia disipada en cada resistencia. Verificar que la potencia activa total es igual a la suma de las potencias disipadas por cada resistencia. 5Ω jω 80 0 V 3Ω Ī Ī j5ω Figura : Cálculo de potencias. 4. Para el circuito de la figura 3 plantear el sistema de ecuaciones según las referencias de corrientes mostradas, obtener la matriz de impedancias [Z] y resolver V 8Ω j3ω Ω Ī 3 jω 9Ω j4ω 3 80 V Ī 40Ω Ī j6ω Figura 3: Obtener la matriz de impedancias [Z]. 5. Dado el circuito de la figura 4, determinar el valor de la fuente V B para que reduzca a cero la corriente en esa rama.

2 j5ω jω 5Ω V A = 0 0 V 3Ω jω V B Figura 4: Determinar el valor de V B que anule su corriente. 6. El sistema representado por el esquema de la figura 5 debe ser configurado mediante la resistencia de carga R x para que la tensión y corriente de entrada estén en fase. Calcular R x utilizando impedancia de entrada y la tensión V AB utilizando impedancia de transferencia. 5 V 3Ω j3ω jω A j,5ω B Figura 5: Cálculo de R x. j7ω R x 7. Calcular para el sistema del ejercicio 6 las potencias en cada elemento y construir el triángulo de potencias total. Verificar que en estas condiciones la potencia activa P es igual a la potencia aparente S. 8. Del circuito de la figura 6 determinar la corriente de rama I x según se indica. Resolver aplicando el método de los nudos tomando el nudo 4 como referencia. Dato adicional: Y = 0,050 I x 40V V R = 0Ω R 6 = 4Ω V R = 8Ω R 5 = 5Ω R 3 = 7Ω 00V R 4 = Ω V 60V 4 V 3 80V Figura 6: Determinar I x. 9. En el circuito de la figura 7 se pide, aplicando el método de corrientes de malla: a) obtener las matrices de impedancia [Z] y de las tensiones de malla [V] para el planteo del método [Z][I] = [V], con [I] = [Ī,Ī,Ī 3 ] T, b) Explicar como obtienen su signo las copedancias de la matriz [Z].

3 0 0 j0 j5 Ī j5 0+j0 0 Ī j5 Ī 3 0 Figura 7: Corrientes de malla. 0. En el circuito de la figura 8 se pide, aplicando el método de tensiones en los nudos, obtener la matriz de admitancia [Y] y el vector de corrientes [I], tal que [Y][V] = [I], con [V] = [ V, V, V 3 ] T según las referencias. V 3 j0 j0 0 0 V V V j5 j V Figura 8: Tensiones en los nudos.. En el circuito de la figura 9, aplicando el método de tensiones en los nudos, se pide a) obtener la matriz de admitancia [Y] y el vector de corrientes [I] para el planteo del método [Y][V] = [I], con [V] = [ V, V, V 3 ] T, b) explicar como obtienen el signo las coadmitancias de la matriz [Y].. Aplicando el método de las tensiones en los nudos, calcular la tensión eficaz del generador de la figura 0 para disipar 75W en la resistencia. 3. CalcularlacorrientedesalidaĪ o delcircuitodelafigurautilizandoelmétodo de los nudos. 4. Dado el circuito de la figura, se pide determinar la tensión V AB con los datos indicados. 5. Para el circuito de la figura 3 calcular la tensión de salida V out si a) el generador de tensión vale V in = 0V 3

4 0 j0 j V j V V 3 0+j0 4 j Figura 9: Tensiones en los nudos. V =? j4ω j4ω j5ω 3Ω Figura 0: Cálculo de la tensión eficaz del generador. j0ω j40ω 0 A j5ω 5Ω Ī o 0Ω 50 0 V Figura : Calcular la corriente de salida Ī o. j0ω A j5ω 5 30 A 5Ω 5Ω 5Ω 5 90 V B Figura : Determinar V AB. b) el generador de tensión vale V in = V 6. La figura 4 muestra un esquema trifásico de conexión tipo estrella. Encontrar por el método de las corrientes de mallas las llamadas corrientes de línea Ī A, Ī B e Ī C. 7. Calcular la tensión de salida V out del circuito de la figura 5. 4

5 3Ω j5ω V in 0 A j4ω Ω V out Figura 3: Calcular la tensión V out. Ī A j6ω 3+j5Ω 3+j9Ω Ī B Ī C Figura 4: Corrientes de línea de un sistema trifásico. 5Ω j5ω j0ω 0Ω V out 50 0 Figura 5: Calcular V out. 8. La resistencia de 5Ω consume una potencia de 50W y el circuito total 800VA de potencia aparente con un factor de potencia en adelanto de 0,86. Hallar Z. V Z =? 5Ω j8ω Figura 6: Calcular la impedancia Z. 9. Aplicando el método de las corrientes de mallas encontrar el valor de capacidad C que produce un atraso de corriente de 30 respecto de la tensión aplicada en el circuito de la figura 7. Hallar el fasor corriente total y construir el diagrama fasorial de tensiones y corrientes completo. Calcular la potencia disipada por la resistencia y la potencia compleja en el generador. 0. Para el circuito de la figura 8 se pide encontrar la corriente i(t), utilizando el circuito equivalente de Laplace y el método de las corrientes de malla.. Para el circuito de la figura 9 se pide encontrar I L (s) e i L (t) para t > 0, 5

6 C =? v T (t) = 5 sen(0t)v i(t) 0,H 5Ω Figura 7: Hallar el valor de C para que la corriente atrase 30 a la tensión aplicada. t = 0 4Ω H t = 0 4Ω H V i(t) 500mF v C (t) V Figura 8: Circuito RLC. utilizando el circuito equivalente de Laplace y el método de las corrientes de malla. t = 0 0,H 00Ω A 30Ω i L (t) mf v C (t) 6u(t)V Figura 9: RLC en régimen transitorio.. Para el circuito de la figura 8 se pide encontrar la corriente i(t), utilizando el circuito equivalente de Laplace y el método de las tensiones de nudos. 3. Para el circuito de la figura 9 se pide encontrar la corriente i L (t), utilizando el circuito equivalente de Laplace y el método de las tensiones de nudos. 4. Para el circuito acoplado de la figura 0 se pide determinar la matriz de impedancias. 0Ω j3ω j8ω j4ω 50 0 Ī Ī jω 5Ω Figura 0: Matriz de impedancias. 6

7 5. Del circuito de la figura se pide: calcular Ī e Ī, dibujar el diagrama fasorial completo de tensiones y corrientes. Utilizar un sistema de ejes para cada malla. 0Ω k = 3 j5ω 0Ω V = 8 0 Ī Ī j9ω j9ω V = 30 Figura : Calcular Ī e Ī. 6. Del circuito de la figura se pide: calcular Ī e Ī, calcular la caída de tensión que medirá un voltimetro a bornes de cada elemento de la malla, dibujar el diagrama fasorial de tensiones de la malla, y el de corrientes. 4Ω j8ω j4ω V = 00 0 jω Ī Ī 6Ω Figura : Encontrar Ī e Ī. 7. Para el circuito acoplado inductivamente de la figura 3 se pide: a) calcular las corrientes de malla Ī e Ī, b) determinar las componentes de la corriente Ī debido a la fuente V (Ī ) y debido a la fuente V (Ī ), c) construir el diagrama fasorial de cada malla. 8. Para el circuito de la figura 4 con ω = y M =,H se pide: Resolver Ī e Ī por método de mallas. Plantear la matriz de impedancias en forma directa explicando brevemente cómo se calculan cada elemento. Construir el triángulo de potencias. Calcular las potencias activas en R y R y comparar con la potencia activa total. 7

8 Ω jω j8ω V = 0 0 Ī V = 0 0 j4ω j3ω Ī Figura 3: Calcular Ī e Ī. R = Ω M 0,5F V = Ī 3H H Ī R = 5Ω Figura 4: Potencia en acoplamiento inductivo. 9. En el circuito de la figura 5 se pide conformar la matriz Z indicando en forma detallada la obtención de cada uno de los componentes de dicha matriz. 500µF Ω 0cos(30t)[V] Ī 3H Ī k = 0,78 H Figura 5: Matriz de impedancias. 30. Dado el circuito de la figura 6 se pide: a) potencia en las resistencias, b) triángulo de potencias en el generador. 8 k = 0,75 j7 0 Ī Ī j8 j8 4 Figura 6: Cálculo de potencia. 3. Deducir las impedancias propias de cada malla y la copedancia del circuito de la figura 7 según las corrientes Ī y Ī, siendo k = 0,6 y k # = 0,8. 8

9 Ω j5 Ī Ī j8 j0 j0 # k k # # 8Ω Figura 7: Acoplamiento inductivo. 3. Calcular la copedancia Z del circuito de la figura 8. R L L 3 M M L V Ī Ī R Figura 8: Acoplamiento inductivo. 9

10 Soluciones Ejercicio 3 Solución Ī = 7,56+j,88 = 7,79 3,94 A () Ī = 4,5 j,94 = 5,0 35,5 A () Ejercicio 4 Solución Ī = 3,3+j0,43 = 3,5 7,3 A (3) Ī =,93+j0,86 = 3,05 63,60 A (4) Ī 3 =,+j0,8 =,34 59,76 A (5) Ejercicio 5 Solución V B = 4 80 V (6) Ejercicio 6 Solución Z ent = 3,64Ω (7) R x = 8,33Ω (8) Z trans3 = 85,4 36,5 Ω (9) V AB =,535 8, V (0) Ejercicio 8 Solución I x = 5,5A En la tabla se muestra el código en octave con su salida numérica. 0

11 Código en Octave Y= /8+/0+/5; Y= /0+/4+/7; Y33= /8+/+/7; Salida numérica Y=Y= -/0; Y3=Y3= -/8; Y3=Y3= -/7; I= 00/8+40/0; I= -40/0-60/7; I3= -00/8-80/+60/7; Y= [Y, Y, Y3; Y, Y, Y3; Y3, Y3, Y33] I= [I; I; I3] V= Y\I; V= V() V= V() V3= V(3) Ix= (V+40-V)/0 Y = I = V = V = V3 = Ix = Tabla : Código de Octave del ejercicio 8. Ejercicio Solución V = 4,V ()

12 Ejercicio 3 Solución Ī o = 0,86 j,34a =,6 56,7 A () Ejercicio 5 Solución V out =,57 90 V (3) V out = 33,06 7,78 V (4) En la tabla se muestra el código y la salida numérica de Octave. Código en Octave V=0; Y=[/3+i/5 -i/5 -i/5 /-i/0] I=[V/3+; 0] V=Y\I; [Va,Vm]=cartpol(real(V()),imag(V())); disp([ Vout= numstr(vm) /_ numstr(va*80/pi)]) V=36*exp(i*30/80*pi); I=[V/3+; 0] V=Y\I; [Va,Vm]=cartpol(real(V()),imag(V())); disp([ Vout= numstr(vm) /_ numstr(va*80/pi)]) Salida numérica Y = i i i i I = 0 Vout=.574/_ 90 I = i i Vout=33.09/_ Tabla : Salida numérica del ejercicio 5 generada por Octave. Ejercicio 7 Solución V out = 7,68 45 (5)

13 Ejercicio 0 Solución En la figura 9a se muestra como queda el circuito para t > 0 a partir del circuito de la figura 8 en el dominio del tiempo, mientras que en la figura 9b en el dominio de Laplace. En este último se muestran también las corrientes de malla elegidas para realizar el análisis. Notar que las corrientes de malla se eligen de forma tal que sólo se necesita encontrar I (s) para luego calcular i(t). Para el circuito equivalente de Laplace se consideró que las condiciones iniciales de ambos inductores son nulas, y la tensión inicial del capacitor v c (0) = V. 4Ω H 4Ω H 4 s 4 s V i(t) 500mF s s I (s) I (s) s (a) dominio t (b) dominio s Figura 9: Circuito para t > 0. El planteo del método de las corrientes de malla es [ Z(s) ][ I(s) ] = [ V(s) ], donde la dimensión del sistema de ecuaciones es, o sea [ ][ ] [ ] Z (s) Z (s) I (s) V (s) =. (6) Z (s) Z (s) I (s) V (s) Mediante observación directa del circuito de la figura 9b se tiene y Z (s) = 4+s+/s (7) Z (s) = Z (s) = /s (8) Z (s) = 4+s+/s (9) V (s) = 0, V (s) = /s. (0) Luego, se calcula la corriente de malla, como I (s) = Z(s) / Z s (s), donde Z(s) = 4+s+ s s s 4+s+ (4+s+ = )( 4+s+ ) 4 s s s s = 0+8s+ 6 s +s () Z s (s) = 0 s s 4+s+ = s s. () Entonces I (s) = s(s 3 +8s +0s+6) = s(s+4)(s+) (3) 3

14 Y por último mediante la anti-transformada de Laplace, la corriente en el dominio del tiempo será i(t) = 8 8 e 4t te t. (4) Ejercicio Solución En la figure 30 se muestra el circuito para t > 0 en el dominio de Laplace del circuito de la figura 8, para lo que se considera que las iniciales de ambos inductores son nulas, y la tensión inicial del capacitor v c (0) = V. 4 s V (s) 4 s s I(s) s s Figura 30: Circuito para t > 0 en el dominio de Laplace. A través del método de las tensiones en los nudos se determina la tensión V (s) mediante el sistema [ Y(s) ][ V(s) ] = [ I(s) ], cuya dimensión es ; o sea que el planeo del método queda Y (s)v (s) = I (s). Mediante observación directa del circuito de la figura 30 se tiene Luego, la tensión del nudo queda Y (s) = s+4 + s + s+4 = s +4s+4 s+8 (5) I (s) = /s s+4 + /s /s = s +4s+ s +8s. (6) V (s) = I (s) Y (s) = (s +4s+)(s+8) (s +4s+4)(s +8s) = s3 +6s +36s+6 s 4 +6s 3 +40s +3s = (s+4)(s +8s+4) s(s+4)(s+) Finalmente, la corriente de rama es (7) = s +4s+ s(s+). (8) I(s) = /s V (s) s+4 = s s +4s+ s 3 +4s +4s s+4 = s(s+4)(s+) (9) que resulta igual a la (3), calculada mediante el método de las corrientes de malla. 4

15 Ejercicio 5 Planteo y resolución numérica La matriz de impedancia es Z = ( ) 0+j9 j3 j3 0+j4 su determinante principal, y sustitutos son Z = 373+j60 s = 393+j4,84 El cálculo de las corrientes es entonces s = 8,05+j337,47 Ī = s Z = 0,87 3,7 Ī = s Z = 0,97 5, Para los diagramas fasoriales las tensiones en la malla y son V R = 4,5 j9,3 V L = 4,+j6,5 V M = 0,7+j,8 V R = 8,67+j5, V L =,3+j8,4 V C =,7 j4,67 V M =,4+j,8 Ejercicio 6 Planteo y resolución numérica La matriz de impedancia es ( ) 4+j8+ j4+j j4 j Z = j4 j 6+j y su determinante principal, y sustitutos son Z = 6+j496 s = 600+j00 s = j600 5

16 Im V M V V L Re V R Figura 3: Diagrama fasorial de tensiones y corrientes para la malla. Im V V M V L V R V C Re Figura 3: Diagrama fasorial de tensiones y corrientes para la malla. El cálculo de las corrientes es entonces Ī = s Z =,3 j3,3a = 4,03 55 A Ī = s Z = 3, j0,a = 3,,85 A Las tensiónes medidas por un voltimetro en cada elemento de la malla son V R = Ī R = 6,V V L = Ī jωl +Ī jωm Ī jωm = 4,9V V L = Ī jωl Ī jωl +Ī jωm = 5,6V 6

17 Para los diagramas fasoriales las tensiones en la malla son V R = 9,5 j3,v V L = 39,9+j4,86V V L = 5,56 j,66v Im V L V V L Re V R Ī Figura 33: Diagrama fasorial de tensiones y corrientes para la malla. 7