Generalitat de Catalunya Departament d Educació Departament de Matemàtiques. Curs SES Pla Marcell. L àlgebra: nombres i lletres

Transcripción

1

2 2 Full de treball A Màgia i matemàtiques? Li has demanat alguna vegada a un amic que li pots endevinar un nombre fen diverses operacions? A.1 Comencem amb un exemple, agafa la calculadora i: a) Pensa un nombre b) Suma-li 5 c) Multiplica el resultat per 2 d) Al resultat resta-li 4 e) Divideix el resultat per 2 f) Resta-li el nombre que has pensat EL RESULTAT ÉS 3 A.2 Sempre serà el resultat 3? Fes diverses vegades amb nombres diferents el problema anterior i comprova si realment el resultat és sempre el mateix. A.3 Com funciona el truc? Omple la taula per quatre casos diferents: Exemple A Exemple B Exemple C Exemple D Pensa un nombre i escriu-lo Suma-li 5 Multiplica el resultat per 2 Al resultat resta-li 4 Divideix el resultat per 2 Resta-li el nombre que has pensat El resultat és: En efecte, en els quatre casos el resultat és 3, però això no prova que sempre funciona. Com podem estar segurs de funciona per tots els nombres? I, ja sabeu que quan dic per tots, vull dir per tots i no per uns pocs

3 3 Full de treball B La demostració Hem d imaginar una forma per arribar a demostrar que no importa el nombre amb el comencem, de manera que el resultat sigui sempre 3. Hem de pensar com començar amb un nombre qualsevol i no amb un nombre concret. La primera proposta que et faig és començar amb un quadradet que representarà un nombre qualsevol. Intenta entendre la següent taula: Pensa un nombre qualsevol Suma-li Multiplica el resultat per 2 2 ( + 5 ) + 10 Al resultat resta-li Divideix el resultat per 2 ( + 6 ) / Resta-li el nombre que has pensat El resultat és: 3 Ara si que hem fet la demostració de que sempre el resultat serà 3, doncs no hem fet una prova per un nombre concret, si no que hem fet una prova per un quadradet que representa qualsevol nombre. De totes maneres en Matemàtiques no fem aquestes demostracions amb quadradets, si no que les fem usant una lletra: la x. Així, la mateixa prova però amb una x quedaria: Pensa un nombre qualsevol x Suma-li 5 x + 5 Multiplica el resultat per 2 2 ( x + 5 ) 2 x + 10 Al resultat resta-li 4 2 x x + 6 Divideix el resultat per 2 (2 x + 6)/2 x + 3 Resta-li el nombre que has pensat x x El resultat és: 3

4 4 B.1 Ara et toca a tu. Aquí tens un altre truc de màgia per sorprendre a casa teva als teus pares o als teus germans. a) Pensa un nombre b) Multiplica l per 2 c) Suma al resultat per 9 d) Al resultat suma-li el nombre que vas pensar e) Divideix el resultat per 3 f) Suma-li 4 g) Resta-li el nombre que has pensat h) El resultat és: B.2 Prova el truc amb altres dos nombres i comprova que sempre obtens el mateix resultat. B.3 Fes la demostració en primer lloc fent ús dels quadradets i segon lloc amb la lletra x. B.4 Fes el truc i la demostració, ara només amb la lletra x de: a) Pensa un nombre b) Suma-li 1 c) Suma-li el mateix nombre que has pensat d) Suma-li 7 e) Divideix el resultat per 2 f) Al resultat resta-li el nombre que vas pensar g) El resultat és: B.5 Fes el truc i la demostració, només amb la lletra x de: a) Pensa un nombre b) Multiplica`l per 3 c) Suma-li 14 d) Suma-li el nombre vas pensar e) Resta-li 2 f) Divideix el resultat per 4 g) Al resultat resta-li 3 h) El resultat és:

5 5 Full de treball C El llenguatge algèbric El que hem fet en els problemes del full de treball anterior és fer una traducció del llenguatge habitual a un llenguatge matemàtic que ens permet resoldre millor el problema. Aquest nou llenguatge és el llenguatge algèbric. Per tal de saber traduir expressions del llenguatge natural al llenguatge algèbric s ha de conèixer el significat de cada operació aritmètica. Recorda els símbols que s utilitzen per a les operacions: SUMA: x + y es pot llegir: x més y x augmentat en y y afegit a x total de x i y la suma de x i y RESTA: x - y es pot llegir: x menys y x disminuït en y la diferència de x i y x més gran que y en x - y x i y és diferencien en x - y la resta de x i y MULTIPLICACIÓ: x y o xy es pot llegir: x per y y vegades x x multiplicat per y x + x x, y vegades el producte de x i y DIVISIÓ: x o x : y es pot llegir: y x dividit per y x partit per y x entre y la raó de x i y el quocient de x i y POTÈNCIA: x y es pot llegir: x elevat a y la potència y-èsima de x potència de base x i exponent y

6 6 C.1 Utilitza aquestes traduccions per escriure una frase (fent servir les paraules que et puguin ser més estranyes) que correspongui a cadascuna de les expressions algebraiques següents: Llenguatge algèbric 4x x + 15 Frase en el llenguatge habitual El quàdruple d x o també 4 vegades x o El producte de 4 i x 30-2x x /10 7(a + b) (x - 2) 2 x C.2 Utilitza el llenguatge algèbric per expressar: Llenguatge habitual Llenguatge algèbric Llenguatge habitual 8 multiplicat per a a disminuït en 40 la suma de x i y el doble de x un terç de x a augmentat en 40 el doble de x, menys 50 el quocient entre x i y la meitat de b la raó de a i b 6 vegades a la diferència de x i y 6 dividit per x el triple de b 25 multiplicat per la suma de a i b el quadrat de la suma de x i y la diferència de x i y, multiplicada per x un cinquè de a, disminuït en 20 la raó de b i tres vegades c la suma dels quadrats de x i y un terç de a multiplicat per b x disminuït en la meitat de y quatre vegades la suma de a i b el quadrat de x Llenguatge algèbric

7 7 C.3 Utilitza el llenguatge algèbric per contestar les preguntes següents: a) Si una llauna d ametlles conté x ametlles, quantes ametlles hi ha en mitja llauna? A mitja llauna hi ha 2 x ametlles b) En una granja hi ha vaques. Compten y potes, quantes vaques hi ha? c) Tinc x anys. Quants en tindré d aquí a 15 anys? Quants en tenia 5 anys endarrere? d) En una garrafa hi ha 5 litres d aigua. Quants n hi ha en x garrafes? e) Si tingués 100 més, podria comprar-me un vídeo joc de x. Quants euros tinc? f) Si n és un nombre natural (1,2,3,4...), quin és el nombre natural següent a n? g) Si n és un nombre natural, quin és el nombre natural anterior a n?

8 8 h) Com representaries tres nombres consecutius, si x n és el més petit? i) Dos nombres sumen 50. L un és x. Quin és l altre? j) Representa tres nombres parells consecutius, si x és el segon. k) Un nen té x anys. D aquí a quants anys en tindrà 25? l) Un senyor té y anys. Quants anys fa que en tenia 7? m) Si un nombre és x com expressaries algebraicament el nombre més el seu doble? n) Una quantitat d euros més 45

9 9 C.4 El llenguatge algèbric no és del tot nou per tu. A la Geometria ja fa temps que el fas servir. Utilitza el llenguatge algèbric per expressar: a) El perímetre d un quadrat de x cm de costat Perímetre 4x x Troba el perímetre si el costat fa 2 cm b) L àrea d un triangle de base a cm i altura b cm a b Troba l àrea si la base fa 5 cm i l atura el doble de la base c) L àrea d un cercle de radi r cm r d) El perímetre d un rectangle de x cm de llargada i y cm d amplada x y Troba el perímetre si la llargada fa 30 cm i l amplada la tercera part de la llargada

10 10 e) La longitud d una circumferència de radi r cm r f) La hipotenusa d un triangle rectangle de catets a cm i b cm a b g) L àrea d un rectangle de costats x cm i y cm h) El volum d un cub de costat x cm i) L àrea d un quadrat de costat d cm x x x j) El volum d un ortoedre de costats a cm, b cm i c cm a b c k) La longitud de totes les arestes d un cub de costat x cm l) El valor del tercer angle d un triangle amb un angle de 32º i un altre de xº

11 11 x y C.5 Considera els dos segments dibuixats al paper quadriculat: a) El segment x quantes unitats mesura? b) I el segment y? c) Dibuixa un rectangle de base x i altura y. d) Escriu una fórmula per calcular l àrea. e) Troba l àrea. C.6 Considera els segments x i y del problema anterior. a) El segment 2x quantes unitats mesura? b) Dibuixa un rectangle de base 2x i altura 2y c) Escriu una fórmula per calcular l àrea. d) Troba l àrea. C.7 Dibuixa: a) una figura d àrea (2x)y b) una figura d àrea 2(xy) c) una figura d àrea x(2y) d) Tenen les tres la mateixa àrea? C.8 Dibuixa a) Una figura d àrea (xx)+(yy) b) una figura de perímetre (2x)+(2y)

12 12 C.9 Tradueix aquests enunciats al llenguatge algèbric: Llenguatge habitual Llenguatge algèbric Llenguatge habitual Llenguatge algèbric El triple d un nombre El quadrat d un nombre El quocient entre un nombre i 12 Un terç d un nombre El 50% d un nombre El 25% d un nombre Un nombre més 6 El doble d un nombre més 4 Dotze menys el triple d un nombre Un nombre més la seva meitat El doble d un nombre més un terç del mateix nombre La Marta té 10 anys més que la Raquel que té x. Quants anys té la Marta? Cinc vegades la suma d un nombre i el seu doble Si l equip visitant ha fet p punts més que el de Cardedeu, quants punts ha fet l equip visitant? Un nombre dividit per 8 El doble d un nombre més la seva tercera part El triple de la suma d un nombre més quatre L àrea d un triangle de base la meitat de l alçada El 16% d un nombre Un nombre més el seu 16% El doble de la suma d un nombre i el seu doble El quadrat d un nombre La suma de dos nombres al quadrat La diferencia de dos nombres al quadrat Un nombre al quadrat menys un altre al quadrat El triple d un nombre al cub

13 13 Full de treball D Operacions amb expressions algèbriques Una expressió algèbrica és un conjunt de nombres i lletres units pel signe de les operacions aritmètiques. Les lletres signifiquen quantitats o nombres que poden canviar o tenir un valor desconegut, s anomenen variables, incògnites o indeterminades. Els nombres que acompanyen les variables s anomenen coeficients. D.1 Omple el següent quadre: Expressió És algèbrica? Variables Coeficients Operacions 2 + (5 + 3) 2x + 13 (x + 5) / x 2 a b - 2a D.2 Omple la taula: És algèbrica? Operació Resultat 5x + 3x 3x + 8x - 2x 10x - 5x + 3x 9 - (3-10) (2-5) 3a + 8a

14 14 D.3 Omple la taula: És algèbrica? Operació Resultat 2b - 5b 13ab + 8ab - 18ab 2x - x 2x - ( 3x - x) + (x - 7x) 8a - 8a ( 3-4) D.4 Tradueix aquests enunciats al llenguatge algèbric: Llenguatge habitual Llenguatge algèbric Llenguatge habitual Llenguatge algèbric Transcorreguts 10 anys, si x és la teva edat actual Fa y anys, si 13 és la teva edat actual El triple d un nombre més dos 32% d un nombre Un nombre menys la seva meitat El doble de la suma d un nombre més 3 Tres menys la suma d un nombre més el seu doble Set menys un nombre disminuït en quatre unitats El 15% de 45 El 20% d un nombre Un nombre parell La suma de dos nombres consecutius Un nombre menys el seu triple El quocient entre un nombre i un altre

15 15 D.5 Realitza les següents operacions: Operació 2a - 3a x - x x - y 3a + 2b - 5a + 4a 2x (x + 5) + 7x 30% de % de x 2x - (3x + 2x - x) 3x + 2y - x- 3-4y Resultat D.6 Tradueix aquests enunciats al llenguatge algèbric: Llenguatge habitual Llenguatge algèbric Llenguatge habitual Llenguatge algèbric La suma de dos nombres al quadrat La diferencia de dos nombres al quadrat Suma per diferència de dos nombres La diferència dels quadrats de dos nombres Un nombre que augmentat en 17 doni 43 Un nombre tal que en restar-li 31 doni com a resultat 13 La suma de dos nombres consecutius és 139 Si a un nombre li restes 15 i el resultat el divideixes per 3 obtens 20 El doble d un nombre més el seu triple dóna 125 Un nombre que sumat a 15 doni el triple de 23 El doble d un nombre més el seu triple dóna 125 El doble d un nombre més 5 és igual al seu triple menys 19 La diferència entre un nombre i el seu doble és 4 Un nombre tal que després de sumar-li 72 dóna com a resultat el doble menys 46 unitats

16 16 D.7 Realitza les següents operacions: Operació 3x 2 + 4x 2 7x - 3x + x -8x 2x + 3y - 5y + 8x 3x + 2x - 4x 2 Resultat 3x 2-5x x 2 ab - 3ab - 5ab 115% de 200 3x - 2x - x 3x x - 5 x - (-x +2) + (x 2 - x) D.8 Tradueix aquests enunciats al llenguatge algèbric: Llenguatge habitual Llenguatge algèbric Solució el doble de a és igual a 8 a 6 és igual a un sisè de x x y menys 4 és igual a 8 y un vuitè d un nombre és 4 x augmentat en 12 és igual a 17 el producte d un nombre per 8 és 40 el doble de la suma d un número i 8 és igual a 16 un nombre sumat amb 5 és igual a tres vegades l anomena t nombre el nombre és x el nombre és el número és el nombre és

17 17 D.9 Realitza les següents operacions: Operació Resultat Operació Resultat 3 (-2) -3 (-2) 3 + (-2) 3 - (-2) -3 - (-2) x + (-x) 2x - 5y + 8x b - 5 (-2) + 3b x x -3 (-2) 2 3x (3x + 4x) 5 s 2 (-5) + 3s 2 2x - 3x -7x (-7) 5b + 3b (2-5) 4 (-7) (5b + 3b) +2 x x x -t + t 7 (-5a 2 ) (-2) 3t a + a x (-3) 2x + 3x x 2x 2x 3x 2x - 3 4x -2h - 3h 4 + 2x - 3x - x x (-3x) 3 (2x - 3x) -2m 3m 3 (2c - 3) x x 7x x 7x 2 2x 3-3x (-4x) 13x 2 4x 3x 3 5x 2 (-x 2 ) 5x 6 En aquest problema hem fet servir dos operacions amb expressions algèbriques: Per sumar o restar dues o més expressions algèbriques del tipus ax n i bx n, només cal fer la suma o la resta dels nombres a i b i acompanyar aquest resultat de x n. Per multiplicar dues expressions algèbriques del tipus ax n i bx p, es multipliquen els nombres entre si i les lletres entre si: ax n bx p a b x n+p

18 18 D.10 Omple el següent quadre: Expressió És algèbrica? Variables Coeficients Operacions a + a 3x 2-2x x 2x 5 + (-32) En una expressió algèbrica que té nombres i lletres podem substituir el valor d un nombre concret per la lletra. Això rep per nom trobar el valor numèric. D.11 Calcula el valor numèric de les expressions algebraiques següents: a) 2x-10 per a x 3 ( ) Solució: -4 b) 2x-10 per a x 5 ( ) Solució: -4 c) 7x-(2x 2 - x) per a x -2 Solució: -24 d) 7x-(2x 2 - x) per a x 7 Solució: e) 7x-(2x 2 - x) per a x -8 Solució: 5 Solució: 2 1 f) a b 5 2 per a a 4 1 i b 15

19 19 D.12 Fes les operacions que siguin possibles en les expressions següents: a) 3x x 5 Solució: 15x 17 b) 5 (x 1) 2 (x + 3) Solució: 3x 11 c) 6x + x ( x + 2) Solució: x 2 + 8x d) 2a 5(3 + 6a) + 13 Solució: 28a 2 e) 3x + 2y x 3 4y Solució: 2x 2y 3 f) 7y 2(y 2 + 5) + 2y( y 1) Solució: 5y 10

20 20 g) 2x + 3 ( x +2) + 7 (x 2 3x) Solució: 7x 2 22x + 6 h) 3m + 7(3m 3) 2 ( 3+ 2m) Solució: 20m 15 i) (x + 3) 2 Solució: 2x + 6 j) (3x 3) 2 4 ( 5x-1) Solució: 14x 2 k) 3t 5(t 1) +120 Solució: 2t l) (8-2x) (1 - x) Solució: 7x + 5

21 21 D.13 Tradueix aquests enunciats al llenguatge algèbric: Llenguatge habitual El doble d un nombre més el triple del següent El quadrat de la suma de dos nombres diferents Llenguatge algèbric El producte de dos nombres parells consecutius és 48 Uns pantalons i una camisa costen 80 en total. La camisa costa 35 menys que els pantalons La diferència entre els quadrats d un nombre i el nombre anterior a aquest és 21 La suma de dos nombres és 22 i la seva diferència és 8 D.14 Observa la figura i contesta aquestes preguntes: a) Quina expressió algèbrica ens dóna el perímetre del triangle? b) Quin és el perímetre del triangle si els costats iguals fan 5 cm cada un? x x-3 x D.15 Troba el valor numèric de l expressió algèbrica: a) 3 x(1 + y) per als valors següents: x 5, y 3 b) y 2 ( x 12) per als valors següents: x 3, y 15

22 22 D.16 Simplifica les expressions següents realitzant totes les operacions que puguis: a) 5y 3y b) x y 6x y + 11x y c) x 2 8x 3 d) 4x 2x e) f) 2 3 3x 5x xy ( 3) x y g) 5( x + 1) h) 4(2x + 3y 2) i) 2( a + 2 b) j) 2 x(2x + 3 y) k) 2 2( x 3 y) 5 x( x 2 y) + + l) 3( a + b) 2( a b) m) ( 6)(1 x) + 2(3 x) + 8 x 3 a + 2a 2(5a 2 a) 6(1 + 2 a) 1 n) [ ] 6 4z 5 2 z + z (4 z z) + 2( z 3) o) [ ]

23 23 D.17 Simplifica les expressions següents realitzant totes les operacions que puguis: a) x yx xy x b) 2x + 2y x c) x + 11x 3x + 4x d) 5y + 2y e) 3x 4x f) 6a 8b g) 2r + 3r + 7r h) 2x + 3x + y i) j) k) x yz 4x yz xy 6xy 2xy a b + a b 2 2 l) 3a + b + 2c 7d 7a 4b + 5c 6d + 5a + 2b m) x + x + 3x 5x + 3x 3x + 5x + 2x + 1 n) o) p) 2 2 3x + 4x 3 3 7a b 5a b 2 2 9a b + ab

24 24