Equacions de primer grau

Transcripción

1 UNITAT Equacions de primer grau Continguts Concepte Equacions i identitats Resolució d equacions de primer grau Resolució de problemes amb equacions Objectius Distingir els dos tipus d igualtats algebraiques. Trobar el grau d una equació. Trobar equacions equivalents a una equació donada. Resoldre equacions de primer grau amb una incògnita. Resoldre problemes mitjançant equacions de primer grau amb una incògnita. Les equacions són epressions algebraiques que impliquen una igualtat entre dos membres que només es complei per a uns valors determinats de la incògnita. Resoldre, doncs, una equació significa trobar aquests valors. En aquesta unitat estudiarem les equacions de primer grau amb un incògnita, és a dir, aquelles equacions en què, un cop reduïdes, només aparei un terme literal que no està elevat a cap eponent. Veurem que el nombre màim de solucions d una equació coincidei amb el seu grau, i coneierem els mètodes per resoldre les de primer grau. Les equacions ens permeten resoldre tota mena de problemes de manera ràpida i eficaç. Aií, doncs, al final de la unitat aplicarem el que hem après per resoldre n un ampli ventall.

2 Concepte Gràcies al Papir de Berlín i a diverses taules d escriptura cuneïforme en què es troba la solució a les dimensions d un rectangle a partir de l àrea i el perímetre, sabem que els babilonis, uns.000 anys ac, ja resolien equacions de segon i de tercer grau. De fet, la majoria dels pobles antics resolien equacions de fins a cinc incògnites, tot i que no en sabem el mètode. La gran diferència amb les nostres equacions és que la notació actual és molt més simple. A partir dels coneiements matemàtics dels indis, dels antics grecs i dels inesos, els àrabs van ser capaços de resoldre equacions de tercer grau amb mètodes geomètrics.» Scipione del Ferro (465 56) va trobar la solució d una equació de tercer grau cap al 55, però no en va difondre el mètode. Només el va revelar a un seu deieble amb la promesa que aquest no el publiqués. Tot i aiò, alguns matemàtics italians en van tenir coneiement, i, finalment, Gerolamo Cardano el va publicar el 545. Al segle i, els matemàtics Niels Henrik Abel i Évariste Galois van arribar a la conclusió que no hi havia cap mètode general per resoldre equacions de grau superior a 4. Tanmatei, els estudis desenvolupats al segle van fer trontollar aquesta idea, ja que es van trobar mètodes per resoldre aquest tipus d equacions fent servir funcions hipergeomètriques i el líptiques. Equacions i identitats Quan trobem dues epressions algebraiques relacionades amb el signe parlem d igualtats algebraiques. Les epressions algebraiques que hi ha a cada banda del signe igual reben el nom de membres, i cada membre pot estar format per un o més termes. termes RECORDA Al llarg de la història, les equacions han estat i encara ho són una ecel lent eina per resoldre pro blemes. membres Hi ha dos tipus d igualtats algebraiques: les equacions i les identitats. Equacions Una equació és una igualtat algebraica que es complei per a un únic valor de la incògnita, és a dir que té una solució única. Eemple La igualtat + es complei per a : + 9+ Però no es complei, per eemple, per a : Es pot comprovar que tampoc es complei per a cap valor diferent de. Per tant, es tracta d una equació. 40

3 Equacions de primer grau Grau d una equació En les equacions, com en els polinomis, el grau coincidei amb l eponent més alt a què està elevada la incògnita. Una equació és de primer grau quan la incògnita té eponent. Si el grau més alt de les epressions algebraiques és, aleshores tenim una equació de segon grau, i aií successivament. Eemples 4+ 7 És una equació de segon grau És una equació de quart grau. Les equacions de primer grau tenen una única solució; les equacions de segon grau poden tenir fins a dues solucions, i les equacions de grau n, fins a n solucions. Identitats Una identitat és una igualtat que es complei independentment del valor que pugui prendre la incògnita, és a dir que té infinites solucions. Eemple La igualtat ( + 4) + 8 es complei per a : ( + 4) També es complei per a : ( + 4) I podem comprovar que es complei per a qualsevol valor que prengui. Per tant, és una identitat. L equació 0 és de segon grau i té dues solucions ( i -). és solució de l equació, ja que es complei la igualtat és solució de l equació ja que es complei la igualtat. ( ) ( ) Una manera de saber si una igualtat és una identitat és reduir els termes semblants que hi ha a cada membre. Si els dos membres que en resulten són idèntics, es tracta d una identitat. La igualtat ( - 4) 6 ( - ) - 6 és una iden titat, ja que en reduir-ne els termes semblants s obtenen dos membres idèntics: EXERCICIS. Digues quines d aquestes igualtats són equacions i quines identitats: a) + 4 c) 4 b) ( 5) 5 d) ( )+ +. Escriu una igualtat d epressions algebraiques que representi una equació i una altra igualtat que sigui una identitat.. Com sabem que una equació és de segon grau? Quantes solucions esperem trobar per a una equació de segon grau? 4. Per a quines d aquestes equacions la solució és -? a) + c) + b) d)

4 Resolució d equacions de primer grau Equacions equivalents Com que una equació és una igualtat, podem imaginar-la com una balança equilibrada. En el plat esquerre hi situem el membre de l esquerra de l equació, i en el plat dret, el membre de la dreta. Una balança equilibrada continua essent-ho si afegim o traiem el matei pes en cada plat i també si el multipliquem o dividim pel matei nombre. Anàlogament, si sumem, restem, multipliquem o di vidim els dos membres d una equació per la mateia quantitat, obtenim una equació equivalent. Eemple RECORDA Si sumem, restem, multi pliquem o dividim els dos membres d una equació per un matei nombre, obtenim una equació e quivalent a la primera. Busquem equacions equivalents a fent servir la imatge mental d una balança equilibrada: +4 + Si restem a cada membre de l equació, n obtenim una d equivalent: + Si ara restem a cada membre de la igualtat, obtenim una equació equivalent a les anteriors: Per tant, és una equació també equivalent a la primera, i, de fet, n és la solució. Amb l eemple anterior hem vist el mètode general per resoldre equacions de primer grau, que consistei a aïllar la incògnita. Es tracta d anar buscant equa cions equivalents fins a deiar la incògnita en un membre de l equació i, en l altre, un terme independent, amb la qual cosa la resolució de l equació és evident. + 8 Si ens fiem en la il lustració del marge, per aïllar la incògnita en el membre esquerre de l equació, el primer que hem fet ha estat eliminar el terme +. Ho hem fet sumant-ne l oposat, que és -, als dos membres de l equació, ja que la suma d un nombre i el seu oposat és l element neutre, és a dir, zero GES_MATES_.indb 4 05/04/ 0:05

5 Equacions de primer grau Un cop simplificada la nova epressió algebraica, veiem que el terme que desaparei del primer membre aparei al segon fent l operació inversa. 8 - Un cop tenim els termes literals en un membre i els termes independents en l altre, reduïm les epressions algebraiques fins a obtenir un monomi i un terme independent. 6 En el membre de l esquerra tenim un monomi amb coeficient. Per eliminar-lo, dividim els dos membres per, que és el matei que multiplicar els dos mem bres per l invers de, és a dir,. 6 6 Un cop simplificada la nova epressió algebraica, veiem que el terme que desaparei del primer membre aparei en el segon fent l operació inversa: 6 Aií, doncs, per resoldre una equació de primer grau cal seguir aquests passos:. Passem tots els termes literals a un membre i tots els termes independents a l altre membre. Quan els termes canvien de membre, també ho fan de signe.. Fem les operacions corresponents fins a tenir un únic terme literal en un membre i un únic terme independent en l altre.. Si el terme literal és una incògnita multiplicada per un nombre, passem el coeficient a l altre membre dividint (si la divisió no és eacta, el resultat s epressa en forma de fracció irreductible). Si el terme literal és una incògnita dividida per un nombre, passem el nombre a l altre membre multiplicant. Eemples Resolem, ara, algunes equacions de primer grau seguint els passos anteriors: Si en reduir a un únic terme el monomi que conté la part literal aquest monomi és negatiu, per evitar errors amb els signes, podem canviar el signe dels dos membres de l equació. La igualtat continua essent la mateia i el resultat no varia. -a b a -b RECORDA Els termes d una equa ció poden passar d un membre a l altre fent-hi l operació inversa. Aií, si sumen passen a l altre membre restant; si res ten, sumant; si multipli quen, dividint, i si dividei en, multiplicant. 4 GES_MATES_.indb 4 05/04/ 0:05

6 Equacions amb parèntesis Si en una equació hi ha parèntesis, els hem de treure fent les operacions oportunes (generalment hi apliquem la propietat distributiva del producte respecte de la suma). Tot seguit passem els termes literals a un membre de l equació i els termes independents a l altre membre. A continuació, simplifiquem cada membre de l equació reduint-lo a un sol monomi. Per acabar, si el coeficient del terme literal multiplica, passa a l altre membre dividint el terme numèric, i si dividei passa multiplicant. Si el resultat d una equació no és un nombre enter, es deia en forma de fracció simplificada. Eemple ( ) ( ) De vegades, en resoldre el que aparentment sembla una equació, desapareien les incògnites i queden dos nombres, un en cada membre (generalment s arriba a una epressió del tipus 0 0). En aquests casos no és que l equació no tingui solució, sinó que en té infinites. És, doncs, una identitat. Eemple 4 ( ) ( + ) EXERCICIS. Troba el valor de la incògnita en les epressions següents: a) b) 7 4 c) 4 8 d). Resol les equacions següents: a) b) 4 c) 4 7 d) + 9. Resol aquestes equacions de primer grau: a) c) 5 ( ) 5 b) 9 4 d) ( + 4) ( 5+ ) 4. Troba el valor de la incògnita en les epressions següents: a) 5 8 ( 8 ) c) b) d) 44

7 Equacions de primer grau Equacions amb denominador Per resoldre una equació de primer grau amb una incògnita en què els termes literals formen part d una fracció, hem de tenir en compte tot el que ja s ha eplicat i recordar les operacions amb fraccions i les seves propietats. Si les fraccions tenen denominadors diferents, el primer que hem de fer és buscar frac cions equivalents amb denominador comú als dos membres de l equació. Després, en podem suprimir els denominadors. Vegem-ne alguns eemples: Tenim les equacions següents: Reduïm els termes semblants, si cal: Epressem les fraccions amb denominador comú: 5 ( ) ( + ) ( ) Eliminem els denominadors: 5 ( ) 5+ 0 ( + ) ( ) 6 4. Fem les multiplicacions pertinents: Resolem l equació pels mètodes que hem eplicat: Pensa en un nombre. Multiplica l per tres. Al resultat que obtinguis suma-li. Ara dividei el resultat que obtens pel nombre següent al nombre que havies pensat inicialment. Has obtingut el? Per fer trucs de màgia com aquest, els mentalistes fan servir equacions i identitats. Es fan un seguit d operacions sobre un nom bre que condueien sempre al matei resultat, amb independència del nombre que s hagi triat. Ho veurem més clarament si epressem els enunciats verbals en llenguatge algebraic: Pensa un nombre: Multiplica l per tres: Suma al resultat obtingut: + Dividei el resultat pel nombre següent al nombre que havies pensat inicialment: + + Si treiem factor comú + en el numerador i el denominador, obtenim : + + ( + ) + EXERCICIS. Resol les equacions següents: a) b) 6 c) 5 + d) Quin és el valor de la incògnita, en cada cas? a) b) + 5 c) + 4 d) Resol les equacions següents: a) + b) + c) 6 6 d) Resol aquestes equacions fent atenció als signes: a) + + b) + c) + + d)

8 4 Resolució de problemes amb equacions RECORDA Convé llegir el problema amb atenció i traduir-lo a llenguatge algebraic. Ge neralment, cada frase de l enunciat aporta infor mació sobre un terme o un membre de l equació, i la incògnita sol coincidir amb el que ens demanen. Per resoldre un problema fent servir equacions de primer grau amb una incògnita, cal seguir aquests passos:. Llegir el problema amb atenció.. Identificar-hi les dades conegudes i les desconegudes, i què es pregunta.. Decidir a quina de les quantitats desconegudes s associa la incògnita (generalment s usa la lletra per representar aquesta quantitat). 4. Traduir l enunciat a llenguatge algebraic. 5. Resoldre l equació. 6. Escriure eplícitament la solució de l equació i assegurar-se que s ha respost a la pregunta. Eemple M he trobat una moneda de pel carrer. Quants diners portava si ara tinc? Anomenem la dada desconeguda, és a dir, els diners que portava: diners que portava Traduïm l enunciat a llenguatge algebraic: + Resolem l equació: + 9 Resposta: Portava 9. Eemple De vegades, en l enunciat d un problema apareien diverses dades desconegudes que tenen alguna relació entre elles. En aquests casos, representem amb una de les dades desconegudes i epressem les altres en funció de la primera. Per fer-ho, cal tenir clara la relació entre les dades. A l hora de donar la solució del problema no n hi ha prou amb trobar el valor de (que coincidirà amb el valor d una dada desconeguda), cal també indicar eplícitament el valor de l altra dada. La Maria ha estalviat el doble que en Josep. Quant han estalviat cadascun d ells si entre tots dos ara tenen 450? Desconeiem dues dades: els estalvis de la Maria i els estalvis d en Josep. Totes dues dades estan relacionades, perquè els estalvis de la Maria depenen dels estalvis d en Josep, ja que ella ha estalviat el doble. Aií, doncs: estalvis d en Josep estalvis de la Maria Traduïm l enunciat a llenguatge algebraic: Resolem l equació: Escrivim la solució del problema de manera clara i eplícita: estalvis d en Josep: 50 estalvis de la Maria: 00 Resposta: En Josep ha estalviat 50 i la Maria,

9 Equacions de primer grau Eemple Es reparteien els beneficis d una empresa entre els dos socis, de manera que al primer li pertoca la meitat dels guanys menys 00 i al segon li correspon la tercera part dels guanys més 500. Quant rep cada soci? En aquest problema hi ha tres dades desconegudes: els beneficis totals els beneficis del r soci els beneficis del n soci Anomenem els beneficis totals, i tenim: beneficis totals beneficis r soci 00 beneficis n soci Traduïm l enunciat a llenguatge algebraic: Resolem l equació: / 6/ + 6/ +. 6/ 6 / Escrivim la solució del problema de manera clara i eplícita: beneficis totals:.400 beneficis r soci: beneficis n soci: Resposta: Al primer soci li corresponen.00 i al segon soci,.00. Un cop resolta l equació plantejada, en alguns problemes el valor de la incògnita no es correspon amb la resposta, ja que la incògnita representa un total i el problema demana una part d aquest total. EXERCICIS. El triple d un nombre més 8 és 9. Quin és aquest nombre?. Si a la cinquena part d un nombre li sumem obte nim el matei que si d aquest nombre en restem tam bé. De quin nombre es tracta? 5. Faig tres col leccions: una de punts de llibre, una altra de monedes i una de sobrets de sucre. Tinc 5 sobrets de sucre més que monedes i 80 punts de llibre més que sobrets de sucre. Si en total tinc.4 ele ments, quantes n hi ha de cada col lecció?. Si compro dues unitats d un producte que està d oferta, la segona unitat surt a meitat de preu. Quant val la primera unitat si he pagat 9 en total? 4. La suma de tres nombres consecutius es 6. Quins són aquests nombres? 47

10 Equacions de primer grau Eercicis i problemes eercicis Quina diferència hi ha entre una identitat i una equació? Indica si són vertaderes o falses les afirmacions següents: a Una igualtat és el matei que una identitat i que una equació. b Una equació pot tenir més d una solució. c En una identitat, la solució sempre és zero. d Per saber si una igualtat d epressions algebraiques és una identitat o una equació, hem de reduir-ne els membres i veure si són idèntiques o no. Com podem saber que una equació es de tercer grau? Quantes solucions esperem trobar per a una equació de tercer grau? 4 Una equació de segon grau pot tenir una única solució? 5 Podem conèier el nombre de solucions d una equació només sabent-ne el grau? 6 Digues quines d aquestes igualtats són identitats i quines són equacions: a b c 5 d ( ) 6 e Indica, sense fer cap càlcul, el valor de la incògnita en cada cas: a + 5 b 8 c 7 d 5 8 Resol les equacions següents: a 4 5 b 4 6 c 9 8 d + 9 Troba, en cada cas, el valor de la incògnita fent les transformacions que calgui: a 4 b c d Treu, en cada cas, els parèntesis de l equació aplicant-hi la propietat distributiva, i, després, troba n la solució: a ( ) 5 b 4 ( ) ( 6) c 5 ( + 4) ( ) d ( 4+ 5) 7 6 ( + ) Troba el valor de en cada cas: a 5 4 b c d + Resol les equacions següents: a b c d 6 Resol aquestes equacions: a ( 6 9) b 5+ 8 c + 5 d

11 4 Epressa en llenguatge algebraic les situa cions següents: a El cub d un nombre és 8. b El nombre de potes de les gallines d un corral sumen 6. c Dos nombres consecutius sumen 79. d Si restem d un nombre, obtenim 8. 5 Traduei aquestes frases a llenguatge algebraic emprant dues incògnites: a La suma de dos nombres és. b El triple d un nombre és el quadrat d un altre nombre menys 5. c La meitat d un nombre més la tercera part d un altre nombre és 4. d La suma del quadrat d un nombre i 0. PROBLEMEs 6 Troba el nombre al qual, en sumar-li 68, obtenim Si sumem 5 a un nombre obtenim el matei resultat que si del doble d aquest nombre en restem 4. Quin és aquest nombre? 6 Entre dues persones tenen 480, i una té 50 més que l altra. Quants diners té cadascú? 7 Es repartei un premi entre els tres finalistes d un certamen literari. Al primer li toca la tercera part dels diners, al segon la quarta part i al tercer la cinquena part més 60. Quina és la dotació del premi? Quants diners rep cadascú? 8 Les edats de dos germans sumen 8 anys. Quants anys té cadascú si es porten 6 anys? 9 Calcula els angles iguals d un triangle isòsceles si l angle desigual mesura º 7 El doble d un nombre menys 4 és 9. Quin és aquest nombre? α β 8 La quarta part dels diners que porto a la butaca són 8. Quants diners porto? 9 Les tres quartes parts d un nombre és 6. De quin nombre es tracta? 0 Les tres cinquenes parts d un nombre menys 9 és. Quin és aquest nombre? Si a la tercera part d un nombre li sumen 5, obtenim el matei que la diferència entre el seu doble i 5. En una fracció, el denominador és 6 unitats més gran que el numerador. Quina és la fracció si sabem que és equivalent a 5? Troba tres nombres consecutius que sumats facin. 4 Una pista de bàsquet mesura el doble de llargada que d amplada. Quines mides tenen els seus costats si el perímetre fa 78 m? 0 Quant mesuren els angles d un triangle escalè si se sap que l angle ˆB mesura el doble que l angle Â, i l angle Ĉ fa el matei que els altres dos angles junts. Calcula la base d un triangle la superfície del qual mesura 84 cm si la seva altura fa 4 cm. 4 cm b A 84 cm La Laura té 4 anys i la seva mare, 44. Quants anys han de passar perquè l edat de la mare sigui el triple de l edat de la filla? 49

12 Equacions de primer grau Eercicis i problemes L Elisabet té dos anys menys que el seu germà Robert. D aquí a quatre anys les seves edats sumaran 50 anys. Quina edat tenen ara els dos germans? 4 Avui han faltat a classe 4 alumnes, de manera que només hi han assistit 5 dels alumnes matriculats. 6 Quants alumnes hi ha matriculats? 8 Una petita cafeteria va facturar 00 més dimarts que dilluns. Dimecres va facturar 00 menys que dilluns, i dijous 50 menys que dilluns. En canvi, divendres, que és dia de mercat, va facturar 00 més que dilluns. Quant ha facturat cada dia de la setmana si en total ha fet.400 de calai? 5 En un corral hi ha 4 gallines més que conills. Quants conills i quantes gallines hi ha si en total sumen 8? 6 He planificat una ruta en tres etapes: en la primera etapa hauré de caminar de la ruta; en la segona etapa, 4, i en la tercera faré km. Quants quilòmetres té 9 la ruta? 7 Dos amics tenen el matei nombre de monedes. Un li diu a l altre: «Si em dónes una moneda de les teves, tindré el doble de les que et queden». Quantes monedes tenen? 9 Tres amics comparen els seus estalvis. El segon ha estalviat el doble que primer, mentre que el tercer ha estalviat 4 més que el segon. Quants diners tenen cadascun d ells si en total han estalviat 689? AutoAvaluació La igualtat algebraica que es complei per a un únic valor es diu: a identitat algebraica b equació c polinomi La igualtat 4( 6) 4 és: a una identitat b una equació c cap de les dues Una solució de l equació 5 7 és: a - b - c - 4 Una solució de l equació és: a 5 b c 5 En l equació ( 4), el valor de la incògnita és: a b - c 5 6 La igualtat + 4 es complei quan la incognita pren el valor: a - b -6 c - 7 La solució de l equació + + és: 5 5 a 4 b c 8 Restem 5 d un nombre i obtenim 8. El nombre és: a 7 b c 9 Una cinquena part dels diners que porto a la cartera són. Per tant, porto: a 65 b 5 c 78 0 L amplada d un rectangle fa 4 cm menys que la seva llargada, i el perímetre mesura 40 m. Per tant, les mides del rectangle són: a 6 cm i 0 cm b cm i 4 cm c 8 cm i cm 50