Momento angular Ecuación fundamental de la dinámica de rotación. Salvador Olivares Campillo

Transcripción

1 Momento angular Ecuación fundamental de la dinámica de rotación Salvador Olivares Campillo

2 Índice General 1 Momento angular 1 2 Ecuación fundamental de la dinámica de rotación Actividades Conservación del momento angular Actividades

3 Las siguientes ĺıneas están dirigidas más al profesor que al alumno. Se introduce el momento angular de una manera un tanto diferente a la habitual, y se sugieren actividades relacionadas. 1 1 Momento angular Una manera de introducir el momento angular puede ser la siguiente [1, p. 30]. Se comienza comparando las áreas barridas en tiempos iguales por el vector de posición de una partícula, viendo geométricamente que son iguales (conservación) tanto para la partícula libre como para la que se mueve bajo solamente fuerzas centrales. A continuación, definimos el vector momento angular de una partícula de masa m y probamos que su magnitud es (numéricamente)

4 2 m veces el doble del área barrida por unidad de tiempo: r p = rp sen θ = rmv sen θ r sen θds = m dt = m 2dA dt (1) 2 Ecuación fundamental de la dinámica de rotación Derivando el momento angular con respecto al tiempo encontramos, por un lado, una nueva magnitud, el momento de una fuerza con respecto a un punto (r F), y, por otro, de nuevo que el momento angular se conserva para la partícula libre y en el movimiento bajo fuerzas centrales (r F = 0), lo que volverá a verse más abajo (conserva-

5 3 ción del momento angular). Daremos ahora la definición general de momento de un vector con respecto a un punto, con el momento angular y el de una fuerza como dos casos particulares muy importantes. Además, introduciremos el concepto de brazo de palanca (distancia del punto a la recta directriz del vector), que facilita el cálculo de los módulos de estos momentos. Pasamos a definir el momento angular de un sistema de partículas (L = r 1 p 1 + r 1 p 1 + ), lo derivamos para ver su variación por unidad de tiempo, comprobamos para dos partículas que la suma de los momentos de las fuerzas internas se anula y hallamos la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: dl dt = M, semejante a la ecuación dp/dt = F para la traslación.

6 Finalmente, se deben introducir los momentos con respecto a un eje: proyección sobre el eje de los calculados con respecto a un punto (cualquiera) del eje. En particular, dl z /dt = M z Actividades Además de otras actividades impĺıcitas en lo anteriorente expuesto, se pueden proponer las siguientes. 1. Considere el movimiento rectiĺıneo y uniforme de una partícula con la velocidad v y un punto fijo O cualquiera. Marque sobre la trayectoria los puntos A, B y C, tales que (numéricamente) AB = BC = v. Demuestre que OAB = OBC. [Basta considerar AB y BC como bases para ver inmediatamente que la altura es común: las áreas OAB y OBC son iguales].

7 2. Si en un pequeño intervalo de tiempo desapareciera la atracción del Sol, el movimiento de un planeta sería rectílineo y uniforme, yendo de un punto A a otro B con la velocidad que tuviera al comienzo del intervalo. Por otro lado, en el mismo intervalo de tiempo, si el movimiento se hubiera debido tan sólo a la atracción del Sol desde O, esto es, si el planeta hubiese estado inicialmente en reposo en A, la aceleración le habría llevado al punto C, en la recta que se dirige desde A al Sol. La composición de los dos movimientos da el desplazamiento desde A a D, siendo ABDC un paralelogramo 1. Demuestre que OAB = OAD. [La base OA es común y al ser los segmentos AB y 1Por ser pequeño el intervalo de tiempo (y aún más cuanto más pequeño sea), podemos despreciar el cambio en la dirección de la fuerza y considerar que se mantiene paralela a sí misma. 5

8 6 BD paralelos, las alturas son iguales]. 3. En el modelo atómico de Bohr, el electrón, de masa m e podía describir una órbita circular alrededor del núcleo de radio a 0 y momento angular. Calcule la velocidad del electrón en esta órbita. Datos: a 0 = 0, m, = 1, J s y m e = 9, kg. 4. Considere una partícula en movimiento circular y uniforme, la bolita de un péndulo cónico, por ejemplo. Su momento angular es constante y con la dirección del eje de rotación cuando se calcula con respecto al centro de la circunferencia. Pero, qué diferencias encontraremos tomando el vértice del cono para determinar los momentos? [La más importante es que el vector del momento an-

9 gular ya no tendrá la dirección del eje, aunque la proyección sobre él no habrá cambiado. Su módulo (que no su dirección) también será constante, aunque mayor. El vector girará en torno al eje con el mismo período que la partícula]. 5. El vector posición de una partícula de 1 kg es (unidades SI). r = 2i sen πt 2j cos πt + 3k (a) Calcule la magnitud del momento angular con respecto al punto P (0, 0, 3) m. (b) Determine la fuerza que actúa sobre la partícula. Cuál es su momento con respecto al punto M? (c) Halle el (vector) momento angular en el tiempo t con respecto al origen de coordenadas. 7

10 (d) Dos bolitas de acero, de 1 y 2 kg, se unen rígidamente por una varilla de 1 m y masa despreciable. El sistema descansa sobre una mesa. Encuentra el punto de la varilla al que atar un hilo de modo que tirando verticalmente podamos subirla manteniéndola horizontal. Un cilindro de madera y un tubo de acero tienen el mismo radio y la misma masa, y ruedan sin deslizar con la misma velocidad de traslación. En el sistema de referencia que se traslada junto a ellos (en él, solamente giran): (a) Demuestra que, en los dos casos, el momento angular con respecto al eje es proporcional a la velocidad angular (el coeficiente de proporcionalidad se llama momento de inercia). 8

11 (b) Cuál tiene el mayor momento angular con respecto al eje? 9 3 Conservación del momento angular Retomaremos la ecuación fundamental de la dinámica de rotación y subrayaremos que el momento total de las fuerzas es nulo si (y sólo si) sobre la partícula o el sistema no actúan fuerzas exteriores o éstas son centrales, conservándose entonces todo el momento angular. También diremos que en algunos casos puede conservarse una de las componentes del vector aunque no todo él: L z si M z es nulo. Por último, señalaremos que en los choques, dado el poco tiempo en que transcurren, el momento angular varía muy poco (M z t 0 salvo que M z sea enorme).

12 Actividades 1. Una niña se balancea en un columpio, dándose impulso para aumentar la amplitud de las oscilaciones. Dado que la tensión de la cuerda es una fuerza central, se conserva el momento angular de la niña con respecto al punto de suspensión del columpio? [No: Además hay que considerar el peso, que siempre tiene brazo de palanca (excepto al paso por la vertical)] [3, p. 83]. 2. Explique esta paradoja. Como sabemos, al derivar el momento angular de una partícula cualquiera con respecto al tiempo se halla que d(r p)/dt = r dp/dt. Pero, de acuerdo con las bien conocidas reglas para derivar, eso significa que r es una constante. Ahora bien, r es el vector posición, luego la

13 partícula no se mueve nunca y su momento lineal se conserva siempre (es siempre nulo), lo mismo que su momento angular... Dónde está el error? 3. Una polea de masa despreciable y radio R puede girar sin rozamiento sobre su eje. De los extremos de su cuerda, a un lado y al otro, cuelgan dospequeñas pesas iguales, cada una con la masa M. Estando en reposo la polea en reposo, dejamos caer una bolita de barro de masa m que se pega a una de las pesas despues de caer la altura h. Datos: M = 1 kg, m = 0, 1 kg, h = 10 cm y R = 5 cm. (a) Halle el momento angular del sistema (pesas y bolita) con respecto al eje de la polea justamente antes del impacto. [Sólo se mueve la bolita. El brazo de palanca de su vector p es R y después de bajar la altura h 11

14 12 la velocidad es 2gh; por tanto, la respuesta es Rm 2gh]. (b) Calcule la velocidad de las pesas y la angular de la polea inmediatamente después del choque. [Aunque la fuerza de la gravedad sobre la bolita da un momento no compensado con respecto al eje de la polea, su magnitud Rmg no cambia apreciablemente el momento angular en el corto tiempo del impacto. De Rm 2gh RMv 0 + R(M + m)v 0 se obtiene v 0 ]. (c) Cuánta energía mecánica se disipa en la colisión? [mgh 1 2 (2M + m)v2 0]. 4. La Tierra se encuentra en el afelio, que es el punto de su órbita más alejado del Sol, el 5 de julio (verano en el hemisferio norte) y en el perihelio (punto más

15 próximo) el 2 de enero [2, p. 256]. En cuál de los dos es mayor la velocidad orbital de nuestro planeta y qué relación hay en estos puntos entre la velocidad y la distancia al Sol? [Se resuelve, además de con la conservación del momento angular, con la particularidad de que estos dos puntos sabemos el ángulo entre velocidad y radio vector: son perpendiculares y senθ = 1]. 5. Un cometa describe una trayectoria eĺıptica con el Sol en uno de sus focos. Su momento angular con respecto al otro foco, es mayor en el afelio o en el perihelio? [En el perihelio: se conserva el momento angular pero respecto al centro de fuerzas (el Sol)] [3, p. 87]. 6. Si por el calentamiento de la Tierra se fundieran los casquetes polares, el día sería un poco más largo (unos 13

16 milisegundos). Explique esto [3, p. 89]. [Partículas que antes se encontraba muy cerca del eje de rotación se han distribuído ahora por los océanos y se encuentran más lejos; si la velocidad angular de la rotación terrestre no disminuyese algo, estas partículas contribuirían más que antes al momento angular con respecto al eje, que debe conservarse. Nótese que esta cuestión es semejante a la más conocida del patinador que girando abre o recoge los brazos]. Referencias [1] Feynman, R. P. El carácter de la ley física. Antoni Bosch, [2] Keppler, E. Sol, lunas y planetas. Salvat,

17 15 [3] Lévy-Leblond, J.-M. La física en preguntas. Mecánica. Alianza Editorial, El objetivo de estas cuestiones es desarrollar el sentido físico : antes de escribir ecuaciones para un problema dado, resolverlas y entrar en cálculos numéricos es necesario hacer un buen estudio cualitativo previo. Una parte considerable de las cuestiones pueden ser útiles en el bachillerato, aunque algunas requerirán de una pequeña adaptación. Si se quiere, se pueden transformar en problemas numéricos introduciendo los datos precisos.