Árboles Binarios Ordenados Árboles AVL

Transcripción

1 Árboles Binarios Ordenados Árboles AVL Estructuras de Datos Andrea Rueda Pontificia Universidad Javeriana Departamento de Ingeniería de Sistemas

2 Diseño e Implementación TAD Árbol

3 Representación de árboles Elemento base de construcción: Nodo. Nodo contiene: Un dato (primario o definido por el usuario). Una lista (arreglo, ) de vínculos (apuntadores) a los Nodos hijos, ordenados de izquierda a derecha. Un árbol general se define entonces como un apuntador al Nodo de inicio (raíz).

4 Representación de árboles Nodo Dato Árbol Raíz Dato Dato Dato Dato Dato Dato Dato Dato Dato Dato

5 TAD Nodo Auxiliar para la definición de un árbol. Conjunto mínimo de datos: dato del nodo. lista de apuntadores a nodo (para los hijos). Operaciones: constructores, destructores. asignar, extraer el dato del nodo. asignar, extraer una referencia a nodo (hijo).

6 Nodo.h template< class T > class Nodo { protected: T dato; std::list< Nodo<T>* > desc; public: Nodo(); ~Nodo(); T& obtenerdato(); void fijardato(t& val); void limpiarlista(); void adicionardesc(t& nval); void eliminardesc(t& val); };

7 TAD Árbol Estado: conjunto mínimo de datos. Nodo raíz. Interfaz: comportamiento (operaciones). constructores, destructores. asignación, extracción del nodo raíz. verificación de árbol vacío. tamaño del árbol (en nodos), altura del árbol. inserción, eliminación de un nodo. verificación de un nodo en el árbol. recorridos sobre el árbol.

8 Arbol.h template <class T> class Arbol { protected: Nodo<T>* raiz; public: Arbol(); Arbol(T& val); ~Arbol(); bool esvacio(); Nodo<T>* obtenerraiz(); void fijarraiz(nodo<t>* nraiz); bool insertarnodo(t& padre, T& n); bool eliminarnodo(t& n);

9 TAD Árbol }; bool buscar(t& n); unsigned int altura(nodo<t>* inicio); unsigned int tamano(nodo<t>* inicio); void preorden(nodo<t>* inicio); void posorden(nodo<t>* inicio); void nivelorden(nodo<t>* inicio);

10 Árboles Binarios

11 Árbol Binario Árbol binario (2-árbol): árbol en el cual cada uno de sus nodos puede tener no más de 2 hijos. Árbol con grado 2. Cada nodo puede tener 0, 1 o 2 hijos (subárboles). Descendiente de la izquierda es el hijo (subárbol) izquierdo. Descendiente de la derecha es el hijo (subárbol) derecho.

12 Árbol Binario: recorridos en.wikipedia.org/wiki/tree_traversal

13 Árbol Binario: recorridos Pre-orden 1. visitar la raíz 2. recorrer el hijo (subárbol) izquierdo 3. recorrer el hijo (subárbol) derecho

14 Árbol Binario: recorridos Pre-orden F B A D C E G I H en.wikipedia.org/wiki/tree_traversal

15 Árbol Binario: recorridos Pos-orden 1. recorrer el hijo (subárbol) izquierdo 2. recorrer el hijo (subárbol) derecho 3. visitar la raíz

16 Árbol Binario: recorridos Pos-orden A C E D B H I G F en.wikipedia.org/wiki/tree_traversal

17 Árbol Binario: recorridos In-orden 1. recorrer el hijo (subárbol) izquierdo 2. visitar la raíz 3. recorrer el hijo (subárbol) derecho

18 Árbol Binario: recorridos In-orden A B C D E F G H I en.wikipedia.org/wiki/tree_traversal

19 Árbol Binario: recorridos Por niveles 1. visitar la raíz 2. visitar todos los hijos 3. visitar todos los nietos (hijos de los hijos)...

20 Árbol Binario: recorridos Por niveles F B G A D I C E H en.wikipedia.org/wiki/tree_traversal

21 Árboles Binarios Ordenados

22 Árbol Binario Ordenado

23 Árbol Binario Ordenado Estructura de datos recurrente de orden 2. Motivada por la búsqueda binaria. Todos los nodos a la izquierda de la raíz son menores que ella. Todos los nodos a la derecha de la raíz son mayores que ella. Se permiten repetidos?

24 Pre-orden Árbol Binario Ordenado

25 Árbol Binario Ordenado Pre-orden 7, 3, 0, -3, 1, 5, 4, 6, 20, 15, 25, 30

26 In-orden Árbol Binario Ordenado

27 Árbol Binario Ordenado In-orden -3, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 20, 25, 30

28 Pos-orden Árbol Binario Ordenado

29 Árbol Binario Ordenado Pos-orden -3, 1, 0, 4, 6, 5, 3, 15, 30, 25, 20, 7

30 Árbol Binario Ordenado Por niveles

31 Árbol Binario Ordenado Por niveles 7, 3, 20, 0, 5, 15, 25, -3, 1, 4, 6, 30

32 Árbol Binario Ordenado Mínimo del árbol? Máximo del árbol?

33 Árbol Binario Ordenado Mínimo del árbol? Seguir los hijos izquierdos desde la raíz hasta que el hijo izquierdo sea nulo el mínimo. Primer elemento del inorden y el posorden. Máximo del árbol? Seguir los hijos derechos desde la raíz hasta que el hijo derecho sea nulo el máximo. Último elemento del inorden y el preorden.

34 Árbol Binario Ordenado Búsqueda: Se facilita la búsqueda con el orden? Complejidad de la búsqueda?

35 Árbol Binario Ordenado Búsqueda: Se facilita la búsqueda con el orden? Definida de manera recursiva. Comparar valor buscado con dato en nodo: si es menor, buscar en el subárbol izquierdo. si es mayor, buscar en el subárbol derecho. si es igual, lo encontramos. Complejidad de la búsqueda? Proporcional a la altura. Caso promedio? O(log n). Peor caso? Árbol como lista O(n).

36 Árbol Binario Ordenado Inserción: Buscar el buen lugar : A qué lado debe ir? Hay espacio? Complejidad de la inserción?

37 Árbol Binario Ordenado Inserción: Comparar valor a insertar con dato en nodo: avanzar por subárbol izquierdo o derecho. si es igual, ya existe en el árbol (duplicado). Si no está duplicado: crear el nuevo nodo con el dato a insertar. asignarlo como hijo izquierdo o derecho del nodo actual. Complejidad de la inserción? Proporcional a la altura. Caso promedio? O(log n). Peor caso? Árbol como lista O(n).

38 Árbol Binario Ordenado Eliminación: Seguimiento desde el padre: Mantenimiento de apuntadores. Casos a borrar: Sin hijos. Un sólo hijo. Dos hijos. Complejidad de la eliminación?

39 Árbol Binario Ordenado Eliminación: Comparar valor a eliminar con dato en nodo: avanzar por subárbol izquierdo o derecho. si es igual, lo encontramos. Si lo encontramos: si no tiene hijos, borrar el nodo. si tiene un hijo, usarlo como nodo de reemplazo. en caso de dos hijos, buscar el nodo mayor del subárbol izquierdo y usarlo como nodo de reemplazo. Complejidad de la eliminación? Caso promedio? O(log n). Peor caso? O(n).

40 Árbol Binario Ordenado Ejercicio: Cómo queda un árbol binario de búsqueda luego de insertar las siguientes secuencias de elementos?

41 Árbol Binario Ordenado 7, 3, 0, -3, 1, 5, 4, 6, 20, 15, 25, 30

42 Árbol Binario Ordenado 7, 3, 0, -3, 1, 5, 4, 6, 20, 15, 25, 30

43 Árbol Binario Ordenado -3, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 20, 25, 30

47 Cómo garantizar árboles bonitos? Balanceando: Evitar listas. Evitar ramas cortas. Garantizar búsqueda / inserción / eliminación en O(log n). Árboles AVL y RN.

48 Representación de árboles Árbol binario - elemento base de construcción: Nodo Binario - Nodo Binario contiene: Un dato (primario o definido por el usuario) Un vínculo (apuntador) al hijo (subárbol) izquierdo Un vínculo (apuntador) al hijo (subárbol) derecho - Un árbol binario se define entonces como un apuntador al Nodo Binario de inicio (raíz)

49 Representación de árboles Nodo Dato Árbol Raíz Dato Dato Dato Dato Dato Dato

50 TAD Nodo Binario Auxiliar para la definición de un árbol binario datos miembros dato del nodo apuntador a nodo (hijo, subárbol) izquierdo apuntador a nodo (hijo, subárbol) derecho operaciones constructores, destructores asignar, extraer el dato del nodo asignar, extraer una referencia a nodo (hijo)

51 NodoBinario.h template< class T > class NodoBinario { protected: T dato; NodoBinario<T> *hijoizq; NodoBinario<T> *hijoder; public: T& obtenerdato(); void fijardato(t& val) NodoBinario<T>* obtenerhijoizq(); NodoBinario<T>* obtenerhijoder(); void fijarhijoizq(nodobinario<t> *izq); void fijarhijoder(nodobinario<t> *der); };

52 TAD Árbol Binario Estado: conjunto mínimo de datos Referencia al nodo raíz

53 TAD Árbol Binario Interfaz: comportamiento (operaciones) constructores, destructores obtener, fijar el nodo raíz, la referencia izquierda, la referencia derecha verificación de árbol vacío tamaño del árbol (en nodos), altura del árbol inserción, eliminación de un nodo a la izquierda inserción, eliminación de un nodo a la derecha verificación de un nodo en el árbol recorridos: preorden, inorden, posorden, niveles

54 ArbolBinario.h template< class T > class ArbolBinario { protected: NodoBinario<T> *raiz; public: bool esvacio(); T& datoraiz(); int altura(nodobinario<t> *inicio); int tamano(nodobinario<t> *inicio); bool insertarizq(t& val, NodoBinario<T> *padre); bool insertarder(t& val, NodoBinario<T> *padre);

55 ArbolBinario.h }; bool eliminar(t& val); bool buscar(t& val); void preorden(nodobinario<t> *inicio); void inorden(nodobinario<t> *inicio); void posorden(nodobinario<t> *inicio); void nivelorden(nodobinario<t> *inicio);

56 Árboles AVL (Adelson-Velskii and Landis)

57 Árboles AVL Nombrados por las iniciales de sus inventores: G. M. Adelson-Velskii y E. M. Landis. Adelson-Velskii, G., Landis, E. M. (1962). "An algorithm for the organization of information". Proceedings of the USSR Academy of Sciences 146: Garantiza que las operaciones de búsqueda, inserción y eliminación en un árbol binario ordenado toman en el peor caso O(log n).

58 Árboles AVL Propiedad a garantizar: Para cada nodo del árbol, las alturas de sus dos hijos (subárboles) difieren por mucho en 1. h h-1 h-2

59 Árboles AVL Propiedad a garantizar: Para cada nodo del árbol, las alturas de sus dos hijos (subárboles) difieren por mucho en 1. En las operaciones de inserción y eliminación, esta propiedad puede no cumplirse, por lo que se requiere aplicar operaciones para rebalancear o re-equilibrar el árbol.

60 Árboles AVL 3 altura: 3 altura: altura: 2 altura: altura: 1 5 altura: 0

61 Árboles AVL 3 altura: 2 altura: altura: 1 altura: altura: 0 altura: 0 6

62 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Rotación a derecha. Rotación a izquierda. Doble rotación 1: rotación a izquierda seguida de rotación a derecha. Doble rotación 2: rotación a derecha seguida de rotación a izquierda.

63 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Rotación a derecha. n1 n2

64 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Rotación a derecha. n1 n2

65 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Rotación a derecha. n1 n2 n1 n2

66 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Rotación a derecha. Rotación derecha sobre padre: n_padre = padre->hijoizq padre->hijoizq = n_padre->hijoder n_padre->hijoder = padre

67 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Rotación a izquierda. n1 n2

68 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Rotación a izquierda. n1 n2

69 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Rotación a izquierda. n1 n2 n1 n2

70 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Rotación a izquierda. Rotación izquierda sobre padre: n_padre = padre->hijoder padre->hijoder = n_padre->hijoizq n_padre->hijoizq = padre

71 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. n1 n2

73 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. n1 n2 n1 n2

74 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Doble rotación 1: rotación a izquierda seguida de rotación a derecha. n2 n3 n1 n2 n3 n1

75 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Doble rotación 1: rotación a izquierda seguida de rotación a derecha. n2 n3 n1 n2 n3 n1

76 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Doble rotación 1: rotación a izquierda seguida de rotación a derecha. Rotación izquierda-derecha sobre padre: aux = rotizquierda(padre->hijoizq) padre->hijoizq = aux rotderecha(padre);

79 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. n1 n2 n1 n2

80 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Doble rotación 2: rotación a derecha seguida de rotación a izquierda. n1 n3 n2 n1 n3 n2

81 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Doble rotación 2: rotación a derecha seguida de rotación a izquierda. n1 n3 n2 n1 n3 n2

82 Árboles AVL Operaciones de re-balanceo rotaciones. Doble rotación 2: rotación a derecha seguida de rotación a izquierda. Rotación derecha-izquierda sobre padre: aux = rotderecha(padre->hijoder) padre->hijoder = aux rotizquierda(padre)

83 Árboles AVL Inserción y eliminación: Una vez realizada la operación, es necesario verificar desde el punto de cambio hacia arriba la condición: Para cada nodo del árbol, las alturas de sus dos hijos (subárboles) difieren por mucho en 1. De forma que cuando se encuentre que esta condición no se cumple, se debe realizar la rotación necesaria en ese punto.

84 Referencias /tree2004.pdf Trees_6up.pdf people.cis.ksu.edu/~schmidt/300s05/lectures/week7b. html pages.cs.wisc.edu/~ealexand/cs367/notes/avl- Trees/index.html