INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

Transcripción

1 Capítulo 4 Probabilidad INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD 4.1-1

2 Probabilidad La probabilidad es una medida de la posibilidad de que un evento incierto ocurra

3 Términos básicos En probabilidad, un experimento es cualquier proceso que se puede repetir y en el cual los resultados son inciertos. Ejemplos: Lanzar una moneda Tirar un dado Observar la cantidad de autos que pasan por cierta intersección Determinar la estatura de individuos en un grupo, etc

4 Términos básicos En probabilidad, el espacio muestral, S, de un experimento es la colección de todos los posibles resultados de ese experimento

5 Espacio muestral Algunos ejemplos de experimentos y sus espacios muestrales : En el experimento de lanzar una moneda justa una vez, las únicas posibilidades son obtener una cara o obtener una cruz. En el experimento de lanzar una moneda justa tres veces, cada posibilidad se describe con un triple ordenado. El conjunto de posibles resultados es: En el experimento de tirar un dado de seis caras, el conjunto de posibles resultados es

6 Términos básicos (cont.) Un evento es un subconjunto de los posibles resultados de un experimento. Ejemplo: El experimento consiste en lanzar una moneda 3 veces. Podemos definir un evento verbalmente como X= Lanzar una moneda 3 veces y obtener exactamente 2 caras y nombrando su espacio muestral, X= {(cara, cara,cruz), (cara, cruz cara), (cruz, cara, cara)}

7 Términos básicos (cont.) Una observación es uno de los resultados de un evento Ejemplo: Se obtiene un 5 al lanzar un dado justo de seis caras

8 EJEMPLO Identificar Eventos y el Espacio Muestral de un experimento Una bolsa contiene canicas blancas y negras. El experimento consiste en extraer tres canicas sucesivamente. 1. Determina el espacio muestral del experimento. S = 2. Defina el evento A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = 3. Defina el evento C = {extraer una sola bola negra}. C = 4.1-8

9 EJEMPLO Identificar Eventos y el Espacio Muestral de un experimento Consideremos el experimento Tener dos hijos. (a) Determine el espacio muestral. (b) Defina el evento E = tener un solo varón

10 Modelo Probabilístico Un modelo probabilístico debe cumplir con las siguientes propiedades: 1. La probabilidad de cualquier evento, E, se denota P(E) P(E) La suma de las probabilidades de todos los posibles resultados de un experimento debe ser igual a

11 EJEMPLO Un Modelo Probabilístico En una bolsa de dulces de maní y chocolate M & M, los colores de los dulces pueden ser marrón, amarillo, rojo, azul, naranja o verde. Supongamos que un dulce es seleccionado al azar de una bolsa. La siguiente tabla muestra cada color y la probabilidad de elegir ese color. Es este un modelo probabilístico? Color Probabilidad Marrón 0.12 Amarillo 0.15 Rojo 0.12 Azul 0.23 Anaranjado 0.23 Verde 0.15 Solución:

12 Probabilidad de un evento Si un evento es imposible, la probabilidad de ese evento es igual a 0. Si es seguro que un evento ocurra, la probabilidad de ese evento es 1. Si un evento es raro, entonces la probabilidad de que ocurra es baja. Típicamente, un evento con una probabilidad de menos de 0.05 (o 5%) se considera raro

13 EJEMPLO Clasificar eventos raros. Cuando el fármaco Viagra se probó clínicamente, la probabilidad de que un paciente reportara dolores de cabeza era (basado en datos de Pfizer, Inc.). Según este número, es raro que un usuario de Viagra experimente dolores de cabeza? Solución:

14 Aproximar la probabilidad de un evento Una forma de aproximar la probabilidad de un evento E es usando la frecuencia relativa del evento. Realizamos un experimento (ie. observamos los resultados de realizar un procedimiento) y contamos la cantidad de veces que el evento E ocurre. P E frecuencia absoluta de E número de repeticiones de un experimento

15 EJEMPLO Calcular la probabilidad de un evento P E número de veces E ocurre número de repeticiones Durante un año reciente, ocurrieron 6,511,100 accidentes de autos diferentes entre los 135,670,000 vehículos registrados en los Estados Unidos (basado en datos del Statistical Abstract of the United States.) Calcule la probabilidad de que un auto elegido al azar estará en un choque este año. Solución:

16 EJEMPLO Calcular la probabilidad de un evento P E Supongamos que lanzamos dos dados 50 veces (teniendo el cuidado de tirar los dados de la misma manera cada vez) y que sumamos el valor de las caras superiores de los dados. Supongamos además que obtenemos los siguientes datos Calcular la probabilidad de que la suma de los dados sea menor o igual a 4. Solución: número de veces E ocurre número de repeticiones del experimento

17 EJEMPLO Calcular la probabilidad de un evento Examinen la tabla de frecuencia para una muestra de pacientes en una clínica ortopédica. Una enfermera anota la estatura del próximo paciente que entra a la clínica. Cuál es la probabilidad de que la altura del paciente esté en el intervalo 66 72? Solución: Estatura Frecuencia frecuencia =

18 EJEMPLO Calcular la probabilidad de un evento Resultados de pruebas del polígrafo Mintió el sujeto? No mintió Sí mintió Prueba del polígrafo indicó que el sujeto SI mintió Prueba del polígrafo indicó que el sujeto NO mintió 32 9 total de pruebas usadas = 98 Según estos datos, cuál es la probabilidad de que la prueba indique correctamente si un sujeto mintió o no durante la prueba? Solución:

19 La probabilidad teórica o clásica se puede calcular para eventos que vienen de un espacio muestral en el cual los resultados son igualmente probables. P E Probabilidad teórica número de resultados favorables número total de resultados posibles P E n(e) n(s) Ejemplo: Determinar la probabilidad de tirar un dado justo y obtener un número impar. Solución:

20 EJEMPLO Calcular la probabilidad clásica P E número de formas que E puede ocurrir número de eventos simples diferentes Cuál es la probabilidad de elegir al azar una carta con un número par? Solución:

21 EJEMPLO Calcular la probabilidad clásica P E número de formas que E puede ocurrir número de eventos simples diferentes Cuál es la probabilidad de que el apuntador elija el color rojo? Solución:

22 EJEMPLO Calcular la probabilidad clásica Note que en esta ruleta NO se puede aplicar la interpretación de la probabilidad clásica. NO podemos decir que la P(elegir color azul) =

23 Probabilidad empírica Probabilidad empírica o probabilidad experimental Es un estimado de la posibilidad de que evento ocurra basado en la frecuencia con que se produce el evento después de la recolección de datos o la ejecución de un experimento (en un gran número de ensayos). Se basa específicamente en las observaciones o experiencias directas. La probabilidad se estima formando la razón entre el número de observaciones favorables y el número total de observaciones. P E número de veces que se observa el evento número total de observaciones

24 Probabilidad empírica (cont.) Ejemplo Se realizó una encuesta para determinar la raza de perro favorita de un grupo de estudiantes. Cada alumno eligió una sola raza. Perro Collie Spaniel Lab Boxer PitBull Otro Num Cuál es la probabilidad de que la raza de perro favorita sea el Labrador? Solución:

25 EJEMPLO Construir un modelo de probabilidad Un grupo de 52 estudiantes jugó Pass the Pigs TM. Tiran los cerditos 3,939 veces. El número de veces que salió cada resultado está registrado en la tabla que se muestra. (Source: Resultado Frecuencia De costado (sin puntos) 1344 De costado (con puntos) 1294 Espalda abajo 767 De pie 365 Trompa abajo 137 Oreja y trompa contra piso

26 EJEMPLO Construir un modelo de probabilidad (cont.) Cuál es el significado de decir que la probabilidad de que el cerdito caiga con el costado con puntos hacia arriba es 0.329? Resultado De costado (sin puntos) De costado (con puntos) Espalda abajo De pie Trompa abajo Oreja y trompa contra piso Probabilidad

27 EJEMPLO Construir un modelo de probabilidad (cont.) Podemos considerar el evento Oreja y trompa contra piso un evento raro? Resultado De costado (sin puntos) De costado (con puntos) Espalda abajo De pie Trompa abajo Oreja y trompa contra piso Probabilidad

28 EJEMPLO Simulación Utilizaremos la TI 84 para simular el girar una ruleta (como la que se muestra) 100 veces

29 EJEMPLO Usar una similación (cont) Se presenta un histograma de la simulación de girar la ruleta. Construya una distribución de frecuencia para el experimento. Construya un modelo probabilístico para el experimento. Distribución de Frecuencias Valor Freq Distribución de Probabilidades Valor P(E)

30 EJEMPLO Usar una similación Cómo se compara la probabilidad empírica con la probabilidad teórica? Distribución de Probabilidades Valor P(E) La probabilidad teórica para cada valor es 1 4 = 0.25 Para lograr que la probabilidad empírica se acerque más a la probabilidad teórica debemos aumentar la cantidad de repeticiones del experimento