Sistema bonus-malus. Un ejemplo de teoría de credibilidad.

Transcripción

1 GRADO: Finanzas y Seguros Curso 2015/2016 Sistema bonus-malus. Un ejemplo de teoría de credibilidad. Autor/a: Andrea Giralt Castellano Director/a: María Araceli Garín Martín Bilbao, a 12 de Septiembre de 2016.

2

3 Ê ÙÑ Ò Ò Ø ØÖ Ó ÓÖ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ Ó Ð Ø Ñ Ø Ö Ò ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º È Ö ÐÐÓ ÒØÖÓ Ù Ò ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ Ý ÐÓ ÓÒ ÔØÓ ÔÖ Ñ Ö Ó ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ý ÔÖ Ñ Ý º Ë Ø ÐÐ Ò Ú Ö Ó ÑÔÐÓ Ð ÔÐ Ò Ð Ø ÒØ ÖÑÙÐ Ø Ö Ò Ý ÐÙ ØÖ ÓÒ ÙÒ ÔÐ Ò ÙÒ ÖØ Ö Ö Ð ÙÖÓ ÙØÓÑ Ú Ð Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ó Ø Ò Ò Ð ÔÖ Ñ º È Ö Ö Ð Þ Ö Ø ØÖ Ó ÑÓ ØÓÑ Ó ÓÑÓ Ö Ö Ò Ð Ø ÜØÓ Ë Ö Ø Ðº ¾¼¼ º Å ÓÒÖ Ø Ñ ÒØ ÒÓ ÑÓ Ó Ò Ð Ô ØÙÐÓ ½¾ Ì Ö Òº Ò Ó Ø ÜØÓ Ò Ð Ø ÓÖ Ð Ö Ð ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ò ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò Ð ÙÖ ÓÖ Ù Ø Ö ÙÒ ÑÓ Ó Ø Ñ Ø Ó Ð ÔÖ Ñ ÐÓ ÙÖÓ Ò ÙÒ Ò Ð ÜÔ Ö Ò Ò ¹ ØÖ Ð º ÍÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÔÐ ÓÒ Ø Ø ÓÖ ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖÓ ÙØÓÑ Ú Ð Ò Ð ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ò Ð Ú ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ó Ù Ú Ñ ÒØ Ñ ÕÙ ÒÓÖÔÓÖ Ð Ò ÓÖÑ Ò Ò ØÖ Ð º Ô Ö Ò ÐÓ ÒÓÑ Ò Ó Ø Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º ÄÓ ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ ÓÑÓ Ð Ñ ØÓ ÓÐÓ Ó Ù Ó Ø Ò Ò ÓÒ Ø ØÙÝ Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÑÔÖ Ò Ð Ò Ð Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ö Ð º ÓÑÓ Ô ÖØ ÔÖ Ø ÔÖ ÒØ ÑÓ ÙÒ Ó ØÙ Ó ÔÐ Ó ÙÒ ÖØ Ö ÙÖÓ ÙØÓÑ Ú Ð Ò Ð ÕÙ Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ú Ö ÔÖ Ñ Ò ÐÓ ÑÓ ÐÓ Ð ÓÒ Ó º

4 Ò Ò Ö Ð ½º ÁÒØÖÓ Ù Ò ¾º ÈÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ ¾º½º ÙÒ ÓÒ Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º ÈÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ó ÔÖ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÈÖ Ñ Ý Ó ÔÓ Ø Ö ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ä Ø ÓÖ Ð Ö Ð ½ º½º ÁÒØÖÓ Ù Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÓÒ ÔØÓ Ý Ô Ö Ô Ø Ú Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º Ö Ð ØÓØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º Ö Ð Ô Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Ö Ð Ò Ö Ò Ý Ò º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Ë Ø Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½º ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º Å ØÓ Ó Ý ÒÓ º º ¾ º Ó ÐÙ ØÖ Ø ÚÓ ¾ º½º Ë ØÙ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º½º ØÖ Ù Ò ÒÓÒ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º¾º ÈÖÙ Ù Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º º ÈÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ë ØÙ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½º ØÖ Ù Ò ÒÓÒ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾º Ø Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ½

5 ¾ Æ Á Æ Ê Ä º¾º º ÈÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒÐÙ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

6 Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ò Ä Ó ÖØÙÖ ÙÒ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ ÙÒ ÓÑÔ ÙÖ ÓÖ Ø Ð ÓÒ Ð Ö ÒØ ÙÒ ÓÒØÖ ØÓ ÒÓÑ Ò Ó Ô Ð Þ Ý Ø Ô Ð Þ Ü Ð ÙÖ Ó Ô Ö ÙÒ ÔÖ Ó Ð ÔÖ Ñ º Ñ Ó Ð ÐÓ ÖÖÓÐÐ Ó Ð ÒÓÑ Ò Ø ÓÖ Ð Ö Ð ÕÙ Ù ÒÓÑ Ö Ò Ð Ö Ò ÕÙ Ð ØÙ Ö Ó Ö Ð ÜÔ Ö Ò Ò ØÖ Ð Ð ÓÖ Ð ÓÖ Ö ÙÒ Ø Ö º Ä Ø ÓÖ Ð Ö Ð ÙØ Ð Þ Ñ Ð ÜÔ Ö Ò Ð Ò Ú ¹ Ù Ð Ý Ð ÓÐ Ø Ú Ô Ö Ù Ø Ö Ð ÔÖ Ñ Ý ÔÖ Ú Ö Ù ÓÙÖÖ Ò º ÍÒ ÑÔÐÓ Ù Ó Ð Ø ÓÖ Ö Ð ÐÓ ÓÒ Ø ØÙÝ Ð Ø Ñ Ø Ö Ò ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º Ò Ø ØÖ Ó ÓÖ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ Ó Ð Ø Ñ Ø Ö Ò ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º È Ö ÐÐÓ ÒØÖÓ Ù Ò ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ Ý ÐÓ ÓÒ ÔØÓ ÔÖ Ñ Ö Ó ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ý ÔÖ Ñ Ý º Ë ÑÙ ØÖ ÓÒ Ú Ö Ó ÑÔÐÓ Ð ÔÐ Ò Ð Ø ÒØ ÖÑÙÐ Ø Ö Ò Ý ÐÙ ØÖ ÓÒ ÙÒ ÔÐ Ò ÙÒ ÖØ Ö Ö Ð ÙÖÓ ÙØÓÑ Ú Ð Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ó Ø Ò Ò Ð ÔÖ Ñ º È Ö Ö Ð Þ Ö Ø ØÖ Ó ÑÓ ØÓÑ Ó ÓÑÓ Ö Ö Ò Ð Ø ÜØÓ Ë Ö Ø Ðº ¾¼¼ º Å ÓÒÖ Ø Ñ ÒØ ÒÓ ÑÓ Ó Ò Ð Ô ØÙÐÓ ½¾ Ì Ö Òº Ò Ó Ø ÜØÓ Ò Ð Ø ÓÖ Ð Ö Ð ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ò ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò Ð ÙÖ ÓÖ Ù Ø Ö ÙÒ ÑÓ Ó Ø Ñ Ø Ó Ð ÔÖ Ñ ÐÓ ÙÖÓ Ò ÙÒ Ò Ð ÜÔ Ö Ò Ò ¹ ØÖ Ð º Ø ÓÖ ÓÑÓ ÔÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø ØÓÑ Ù Ñ ØÓ Ó Ú Ö Ó

7 È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í Á Æ ÑÔÓ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø Ø Ý Ò Ð Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ð Ø Ò Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó Øº ÍÒÓ Ù ÔÖ Ò Ô Ð Ù Ó ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖÓ ÙØÓÑ Ú Ð Ò Ð ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ò Ð Ú ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ó Ù Ú Ñ ÒØ Ñ ÕÙ ÒÓÖÔÓÖ Ð Ò ÓÖÑ Ò Ò ØÖ Ð º Ô Ö Ò ÐÓ ÒÓÑ Ò Ó Ø Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º ÄÓ ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ ÓÑÓ Ð Ñ ØÓ ÓÐÓ Ó Ù Ó Ø Ò Ò ÓÒ Ø ØÙÝ Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÑÔÖ Ò Ð Ò Ð Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ö Ð º ÓÑÓ Ô ÖØ ÔÖ Ø ÔÖ ÒØ ÑÓ ÙÒ Ó ØÙ Ó ÔÐ Ó ÙÒ Ö¹ Ø Ö ÙÖÓ ÙØÓÑ Ú Ð Ò Ð ÕÙ Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ú Ö ÔÖ Ñ Ò Ó ØÙ ÓÒ Ö ÒØ º Ð Ö Ó ÑÓ Ð Þ ÓÑÓ ÙÒ Ú Ö Ð Ð ¹ ØÓÖ ÙÝ ØÖ Ù Ò Ô Ò ÙÒÓ Ó Ú Ö Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ò Ò Ö Ð Ó ÙÒÕÙ ÓÒÓ Ó º ÍÒ ØÙ Ò ØÙ Ð Ô ÖÑ Ø Ö ÕÙ Ð ÙÒÓ ØÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ñ ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓÖ º ËÙÖ Ò Ð ØÖ Ù ÓÒ ÓÒ ÓÒ Ý Ð ØÖ Ù ÓÒ ÓÑÔÙ Ø º

8 Ô ØÙÐÓ ¾ ÈÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ Ä ÔÖ Ñ Ò ÓÑÓ Ð Ô Ó ÕÙ ÙÒ ÙÖ Ó ÙÒ ÙÖ ÓÖ ÔÓÖ Ð Ó ÖØÙÖ ØÓØ Ð Ó Ô Ö Ð ÓÒØÖ ÙÒ Ö Óº Ð ÔÖ Ó ÓÖÖ ØÓ ÒÓÑ Ò Ó Ö Ø Ò Ú Ø Ð ÔÙ Ñ Ó Ó Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ô Ö Ô Ö Ð ÓÑÔ ÙÖ ÓÖ Ý Ñ Ó ÐØÓ Ô Ö ÓÑÔ Ø Ø Ú Ò Ð Ñ Ö Óº Ò Ð Þ Ö ÑÓ Ò Ø ØÖ Ó Ð ÙÒÓ ÐÓ Ñ ØÓ Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ Ø Ñ Ò ÐÐ Ñ ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ º Ë ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ X Ð Ú Ö Ð Ð ØÓÖ ÕÙ ÒÓ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ö Ó ÙÒ ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ Ò ÓÑÓ ÙÒ ÙÒ Ò H(X) ÕÙ Ò Ð Ö Ó X ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ Ð ÔÖ Ñ º Ò Ð ÔÖ Ø Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ Ô Ò Ö Ð ÙÒ Ò ØÖ Ù Ò F(x) Ð Ú Ö Ð Xº ÍÒ Ú Þ Ø Ð Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ ÔÐ Ö ÙÒ Ö Ó X Ð Ù ÒØ Ô Ó Ö ÐÙÐ Ö Ð ÔÖ Ñ Ó X ÓÒ ÓÖÑ ÙÒ ¹ Ø ÖÑ Ò ØÖ Ù Ò ÔÖÓ Ð Ó Ð Ö Óº Ò Ð ÙÒÓ Ó Ð Ú Ö Ð Ð ØÓÖ Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ð Ø ÖÑ Ò Ø º Ò ÓØÖ Ó ¹ ÓÒ Ø ÒØÓ ÐÓ Ó Ø ÓÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ Ò ØÖÓ ÓÒ Ú Ö Ð Ð ØÓÖ º ÕÙ Ò Ð ÒØ Ý ÐÚÓ ÕÙ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó Ð Ö Ó X Ö ÔÖ ¹ ÒØ Ö Ò Ø ÒØ Ñ ÒØ Ð Ò Ñ ÖÓ Ò ØÖÓ Ð Ù ÒØ ÔÓÖ ÙÒÓ ÐÐÓ Ó Ð ÒØ ØÓØ Ð Ó Ö º

9 ¾º½º È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊÁÆ ÁÈÁÇË ýä ÍÄÇ ÈÊÁÅ Ë ÙÒ ÓÒ Ô Ö Ä Ñ ØÓ ÓÐÓ ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÙÒ ÓÒ Ô Ö Ù ÔÖÓÔÙ Ø Ò À ÐÑ ÒÒ ½ Ó Ø Ò Ò Ó Ø Ñ Ò Ö ÑÙ Ó ÐÓ ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ ÕÙ Ý ÙØ Ð Þ Ò ÓÑÓ ÓØÖÓ ÒÙ ÚÓ º ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ ÙÒ Ò Ô Ö L : R 2 R ÕÙ ØÖ ÙÝ Ð Ò (x,p) R 2 Ð Ô Ö ÓÔÓÖØ ÔÓÖ ÙÒ ÓÖ ÕÙ ØÓÑ Ð Ò P Ý ÒÙ ÒØÖ ÓÒ Ð Ö ÙÐØ Ó Ü Ð Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð ØÓÖ Óº Ò Ø Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ò Ð ÕÙ ÒØ Ñ Ò Ö Ò Ò ¾º½ Ó ÙÒ Ö Ó X ÓÒ ÙÒ Ò Ò f(x) Ý ÙÒ ÙÒ Ò Ô Ö L : R 2 R Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ð Ú ÐÓÖ P ÕÙ Ñ Ò Ñ Þ Ð Ô Ö Ô Ö L(x,P)f(x)dx = E f [L(x,P)] ¾º½µ ÓÒ x Ð Ö ÙÐØ Ó Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð ØÓÖ Ó X Ý P Ð ÔÖ Ñ Ó Ö ÔÓÖ ØÓÑ Ö xº Ë Ð Ú Ö Ð Ð ØÓÖ X Ö Ø Ö Ñ Ò Ñ Þ Ö Ð ÜÔÖ Ò L(x,P)P(x) x=0 ÓÒ P(x) Ð ÙÒ Ò Ù ÒØ Xº È Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ø ÒØ ÔÖ Ñ Ö Ó ÓÒ Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ô Ö Ð ÓÖÑ Ù Ö Ø ÜÔÓÒ Ò Ð Ù Ö Ø ÔÓÒ Ö Ù Ö Ó ÓÒ ÐÓ Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ë ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ò Ô Ö Ù Ö Ø ÔÓÖ L(x,P) = (x P) 2 Ö ÙÐØ P = H(X) = E f (X) ¾º¾µ ÒÓÑ Ò Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ó ÕÙ Ú Ð Ò º

10 ¾º½º ÍÆ ÁÇÆ Ë È Ê Á Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ Ë ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ò Ô Ö ÜÔÓÒ Ò Ð ÔÓÖ L(x,P) = 1 α (eαx e αp ) 2 ÓÒ α > 0 Ö ÙÐØ P = H(X) = 1 α loge f(e αx) ¾º µ ÒÓÑ Ò Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÙØ Ð ÜÔÓÒ Ò Ðº Ì ÓÖ Ñ ¾º Ë ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ò Ô Ö Ù Ö Ø ÔÓÒ Ö ÓÒ Ô Ó g(x) = e αx ÔÓÖ L(x,P) = e αx (x P) 2 ÓÒ α > 0 ÒØÓÒ P = H(X) = E f(xe αx ) E f (e αx ) ¾º µ ÕÙ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Öº Ì ÓÖ Ñ ¾º Ë ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ò Ô Ö Ù Ö Ø ÔÓÒ Ö ÓÒ Ô Ó g(x) = x ÔÓÖ L(x,P) = x(x P) 2 ÒØÓÒ P = H(X) = E f(x 2 ) E f (X) = E f(x)+ Var f(x) E f (X) ¾º µ ÒÓÑ Ò Ó ÔÖ Ò Ô Ó Ú Ö ÒÞ º ÄÓ ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ ÑÓ ØÖ Ò ÐÓ Ø ÓÖ Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒ ÐÓ Ñ ÙØ Ð Þ Ó Ò Ð Ð Ø Ö ØÙÖ ØÙ Ö Ð Ý ÔÙ Ò ØÙ Ö ÑÔÖ ÕÙ Ð ØÖ Ù Ò Ð Ú Ö Ð Ð ØÓÖ X ÓÒÓ º Ò Ð ÓÒØÖ ØÓ ØÙ Ö Ð ØÙ Ð ÓÒ Ö Ö ÕÙ ØÓ Ó Ó Ð ÙÒÓ ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÐÓ ÕÙ Ô Ò Ð ØÖ Ù Ò ÔÖÓ Ð X ÓÒ ÓÒÓ Ó º Ä ÔÖ Ñ ÐÙÐ Ù Ö Ó ÓÒ ÐÓ ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ ÑÓ ØÖ Ò ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º½¹ ¾º Ô Ò Ö Ò Ð ÔÖ Ø Ð ÙÒÓ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ö ÓX Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÈÓ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ λ > 0 P(λ) Ð ÔÖ Ñ ÐÙÐ ÓÒ ÓÖÑ Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ú Ò Ö ÔÓÖ H(X) = EX = λº Ë Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ λ ÓÒÓ Ó Ô ÖÓ Ó Ð ÔÖ Ñ Ø Ñ Ý Ó Ø Ò ÓÑÓ Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒØÙ Ð λ ˆλº Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑÔÐ Ù Ò Ó Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ÕÙ Ô Ò Ð ØÖ ¹ Ù Ò X Ù Ú Þ ÓÒÓ Ó Ý Ð ØÓÖ Óº Ò Ø Ó Ð ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ Ù Ó ÓÒ ÔØÓ Ö Ð ÓÒ Ó ÓÒ Ð ØÖ Ù ÓÒ ÓÑÔÙ Ø º

11 ¾º¾º È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊÁÆ ÁÈÁÇË ýä ÍÄÇ ÈÊÁÅ Ë ÈÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ó ÔÖ ÓÖ Ë f(x) ÒÓØ Ð ÙÒ Ò Ò Ó Ð Ú Ö Ð Ð ØÓÖ X Ý Ô Ò ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ θ Ö Ö ÑÓ f(x,θ) f(x/θ) Ô Ö ÖÖÓØ Ö Ù ÙÒ Ò Ò º Ò Ø Ó Ð Ú Ö Ð Ö ÒÓØ ÔÓÖ X/θº Ë Ñ θ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ØÓÖ Ó ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ π(θ) Ð ÙÒ Ò Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º Ò Ò ¾º¾ Ë ÒÓÑ Ò ØÖ Ù Ò ÓÑÔÙ Ø X Ò Ö Ð Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ θ Ð ØÖ Ù Ò X ÒÓÒ ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ θ ÕÙ Ó Ø Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ì ÓÖ Ñ Ð Ô ÖØ Ò ÓÑÓ f(x) = f(x/θ)π(θ)dθ θ Ë Ø ÒØÓ X/θ ÓÑÓ θ ÓÒ Ú Ö Ð Ð ØÓÖ ÓÒØ ÒÙ Ð ÜÔÖ Ò Ö ÓÒÚ Ò ÒØ Ñ ÒØ ÑÓ Ò Ð Ó ÕÙ x/θ θ Ò Ú Ö Ð Ð ØÓÖ Ö Ø º Ò Ó Ó Ð ÒØ Ö Ð Ö Ù Ø ØÙ ÔÓÖ ÙÒ ÙÑ ØÓ¹ Ö Ó Ý Ð ÙÒ ÓÒ Ò ÔÓÖ ÙÒ ÓÒ Ù ÒØ ÈÖÓÔÓ Ò ¾º½ Ë Ò X/θ Ý θ Ó Ú Ö Ð Ð ØÓÖ ÓÒ Ñ Ò Ø ÒØÓÒ E(X) = E θ (E(X/θ)) ÈÖÓÔÓ Ò ¾º¾ Ë Ò X/θ Ý θ Ó Ú Ö Ð Ð ØÓÖ ÓÒ Ñ Ý Ú Ö Ò¹ Þ Ò Ø ÒØÓÒ Var(X) = E θ (Var(X/θ))+Var θ (E(X/θ)) Ù Ò Ó Ð ØÖ Ù Ò X Ô Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ θ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó P Ô Ò Ø Ñ Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ ÓÒÓ Ó θ Ý Ö ÒÓØ ÔÓÖ P(θ)º Ä Ñ ÓÖ Ø Ñ Ò ÔÖ Ñ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú ÙÝ Ò Ò Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Òº Ò Ò ¾º Ó ÙÒ Ö Ó X/θ ÓÒ ÙÒ Ò Ò f(x/θ) Ò¹ Ó θ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÓÒÓ Ó Ý Ð ØÓÖ Ó ÓÒ ÙÒ Ò Ò ÔÖ ÓÖ π(θ) Ý ÙÒ ÙÒ Ò Ô Ö L : R 2 R Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ð Ú ÐÓÖ P C ÕÙ Ñ Ò Ñ Þ Ð Ô Ö Ô Ö θ L(P(θ),P C )π(θ)dθ Ò Ó P(θ) Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ò Ò ¾º½µº ¾º µ

12 ¾º¾º ÈÊÁÅ ÇÄ ÌÁÎ Ç ÈÊÁÇÊÁ Ä ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ø Ð Ý ÓÑÓ Ø Ò Ò ¾º µ Ð Ñ ÓÖ ÓÖÑ Ø ¹ Ñ Ö Ý ÕÙ ÓÔØ Ñ Þ Ò Ð ÒØ Ó Ñ Ò ÑÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ó Ú Ñ ÒØ ÓÒÓ µº ÓÒ Ö Ò Ó ÕÙ Ð ØÖ Ù Ò Ð Ö Ó X ÓÒ ÓÒ Ð ÓÙÖÖ Ò¹ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ θ f(x/θ) Ý ÕÙ θ ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓÖ ÓÒ Ò π(θ) ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ð ÜÔÖ ÓÒ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ô Ö ÐÓ ÔÖ Ò ¹ Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø ÜÔÓÒ Ò Ð Ö Ý Ú Ö ÒÞ Ò Ñ ÕÙ ÜØ Ò Ö ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º½¹¾º Ø Óº Ì ÓÖ Ñ ¾º È Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø ÓÒ ÙÒ Ò Ô Ö Ù ¹ Ö Ø Ø Ò ÑÓ ÕÙ L(P(θ),P C ) = (P(θ) P C ) 2 ÓÒ P(θ) = E(X/θ)º ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ú Ò ÔÓÖ P C = E θ (P(θ)) Ì ÓÖ Ñ ¾º È Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÙØ Ð ÜÔÓÒ Ò Ð ÓÒ ÙÒ Ò Ô Ö¹ Ù Ö Ø Ø Ò ÑÓ ÕÙ L(P(θ),P C ) = 1 α (eαp(θ) e αp C ) 2 ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó P(θ) = 1 α loge(eαx/θ )º ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ó¹ Ð Ø Ú Ú Ò ÔÓÖ P C = 1 α loge θ(e αp(θ) ) Ì ÓÖ Ñ ¾º È Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ö ÓÒ ÙÒ Ò Ô Ö Ù Ö Ø ÔÓÒ Ö Ø Ò ÑÓ ÕÙ L(P(θ),P C ) = (e αp(θ) )(P(θ) P C ) 2,α > 0 ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó P(θ) = E(X/θeαX/θ ) º ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ú Ò ÔÓÖ E(e αx/θ ) P C = E θ(p(θ)e αp(θ) ) E θ (e αp(θ). )

13 ½¼ È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊÁÆ ÁÈÁÇË ýä ÍÄÇ ÈÊÁÅ Ë Ì ÓÖ Ñ ¾º È Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ú Ö ÒÞ ÓÒ ÙÒ Ò Ô Ö Ù Ö Ø ÔÓÒ Ö Ø Ò ÑÓ ÕÙ L(P(θ),P C ) = P(θ)(P(θ) P C ) 2 ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó P(θ) = E(X/θ)+ Var(X/θ) E(X/θ) º ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ú Ò ÔÓÖ P C = E θ(p(θ)) 2 E θ (P(θ)) = Var θ(p(θ)) +E θ (P(θ)). E θ (P(θ)) Ö Ô Ö ÐÙÐ Ö Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ò Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ Ù ØÖÓ ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ö Ô Ø Ó Ú ÙÒ Ñ ÑÓ ÐÙÐÓº ÈÖ Ñ ÖÓ Ó Ø Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó P(θ) Ô ÖØ Ö Ð ØÖ Ù Ò ÓÒ ÓÒ X/θ Ý ÐÙ Ó ÓÒ Ð Ñ ÑÓ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ó Ø Ò Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú P C Ô ÖØ Ö Ð ØÖ Ù Ò θº ÑÔÐÓ ¾º½ µ Î ÑÓ ÑÓ ÐÙÐ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ý Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ù Ò Ó Ð Ö Ó X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÈÓ ÓÒ P(θ) Ý θ Ù Ú Þ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÑÑ γ(a,r) a,r > 0º Ò Ø Ó ÔÓÖ Ð Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó P(θ) = E(X/θ) = θ ½ Ñ ÒØÖ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú ÔÓÖ Ð Ì ÓÖ Ñ ¾º P C = E θ (P(θ)) = E θ (θ) = r a. ¾º µ µ Ë ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ú Ö ÒÞ ÔÓÖ Ð Ì ÓÖ Ñ ¾º Ð ÔÖ Ñ Ö Ó P(θ) = E(X/θ) + Var(X/θ) E(X/θ) = θ + θ θ = θ + 1 ¾ Ñ ÒØÖ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú ÔÓÖ Ð Ì ÓÖ Ñ ¾º P C = E θ (P(θ))+ Var θ(p(θ)) = E θ (P(θ)) = E θ (θ +1)+ Var θ(θ +1) = ¾º µ E θ (θ +1) = r r a +1+ a 2 r a +1 = (r +a)2 +r. a(r +a) ½ È ÖØ ÑÓ ÓÒÓ Ö ÕÙ Ð Ñ ÙÒ ÈÓ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ θ θ Ý Ð Ñ ÙÒ ÑÑ (a,r) r a º ¾ È ÖØ ÑÓ ÓÒÓ Ö ÕÙ Ð Ú Ö ÒÞ ÙÒ ÑÑ (a,r) r a 2 º

14 ¾º¾º ÈÊÁÅ ÇÄ ÌÁÎ Ç ÈÊÁÇÊÁ ½½ ÑÔÐÓ ¾º¾ µ Ò Ø Ó Ú Ö ÑÓ ÑÓ ÐÙÐ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ý ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ù Ò Ó Ð Ö Ó X/θ Ù r ÙÒ ØÖ Ù Ò ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú Bn(r, r+θ ) ÓÒ ÙÒ Ò Ù ÒØ ( ) r+x 1 P(x/θ) = ( r x r+θ )r ( θ r+θ )x x = 0,1,2,.. Ý θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò Ø ÙÒ Ô ÓÒ r,a,b > 0 Ý ÙÒ Ò Ò ÓÒ B(a,b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a+b) Ý θ > 0º θ b 1 π(θ) = ra B(a, b) (r +θ) a+b Ë Ù Ò Ó ÒÙ ÚÓ Ð Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ò Ø Ó X/θ Bn(r, r r+θ ) P(θ) = E(X/θ) = r θ r+θ r r+θ = θ ¾º µ Ë Ù Ò Ó ÒÙ ÚÓ Ð Ì ÓÖ Ñ ¾º Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú ÐÙÐ ÓÑÓ P C = E θ (P(θ)) = E θ (θ)º È Ö ÐÙÐ Ö Ð Ô Ö ÒÞ θ ÑÓ Ù Ó Ð Ó ÕÙ Ù ÙÒ Ò Ò ÒØ Ö Ð ÙÒ ÓÒ 0 0 r a θ b 1 B(a, b) (r +θ) a+bdθ = 1 ¾º½¼µ r a θ b 1 ÈÓÖ Ø ÒØÓ Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ¾º½¼µ (r +θ) a+bdθ = B(a,b) ¾º½½µ E(θ) = 1 θr a θ b 1 B(a, b) (r +θ) a+bdθ = r B(a, b) 0 0 r a 1 θ b (r +θ) a+bdθ = È ÖØ ÑÓ ÓÒÓ Ö ÙÒÕÙ ÐÓ ÓÑÔÖÓ Ö ÑÓ Ò Ð Ô ØÙÐÓ Ð Ñ Ý Ð Ú Ö ÒÞ ÙÒ ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú º

15 ½¾ È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊÁÆ ÁÈÁÇË ýä ÍÄÇ ÈÊÁÅ Ë = r B(a,b) B(a 1,b+1) = r b = r, a 1. a 1 ÄÙ Ó Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Γ(a 1)Γ(b+1) Γ(a+b) Γ(a)Γ(b) Γ(a+b) P C = E θ (θ) = rb, a 1. a 1 ¾º½¾µ (a 2)!(b)! = r (a 1)!(b 1)! = µ Ë ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ú Ö ÒÞ Ù Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ ¾º Ð ÔÖ Ñ Ö Ó P(θ) = E(X/θ)+ Var θ(x/θ) E(X/θ) = θ+ θ(r +θ) rθ = θ(r+1) r +1 ¾º½ µ Ò Ø Ó Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú P C = E θ (P(θ))+ Var θ(p(θ)) E θ (P(θ)) º È Ö ÐÙÐ Ö Var θ (P(θ)) ÒÓ ÐØ ÓÒÓ Ö Ð Ú Ö ÒÞ θ Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ Ù ÑÓÑ ÒØÓ ÓÖ Ò Ö Ó ÓÖ Ò ¾ E(θ 2 )º Ó ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ù Ð ÕÙ Ð Ñ ÐÙÐ Ò Ó Ù Ó Ð ÓÖÑ Ð ÒØ Ö Ð ÕÙ ÑÓ Ö Ð Ò ÙÒ Ø º E(θ 2 ) = ÄÙ Ó = 1 θ 2 r a θ b 1 B(a, b) (r +θ) a+bdθ = 1 B(a, b) 0 r 2 B(a, b) 0 0 r a θ b+1 (r +θ) a+bdθ = r a 2 θ b+1 r2 (r +θ) a+bdθ = B(a,b) B(a 2,b+2) = = r 2 (b+1)b, a 1,2. (a 1)(a 2) Var(θ) = E(θ 2 ) [E(θ)] 2 = r 2 (b+1)b (a 1)(a 2) [ rb (a 1) ]2 = = r2 b(a+b 1) (a 1) 2, a 1,2. (a 2) ÓÒ E(P(θ)) = E θ (1+θ 1+r ) = 1+ (1+r)b r a 1

16 ¾º º ÈÊÁÅ Ë Ç ÈÇËÌ ÊÁÇÊÁ ½ Ý Var θ (P(θ)) = Var(1+θ 1+r r ) = (1+r)2 b(a+b 1) (a 1) 2, (a 2) Ò Ó a 1,2º ÈÓÖ Ø ÒØÓ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ò Ø Ó Ö ÙÐØ Ö a 1,2º P C = E θ (P(θ))+ Var θ(p(θ)) E θ (P(θ)) = 1+ (1+r)b (a 1) + = (1+r) 2 b(a+b 1) (a 1) 2 (a 2) 1+ (1+r)b (a 1) = ¾º½ µ = 1+ (1+r)b (a 1) + (1+r) 2 b(a+b 1) (a 1)(a 2)[(a 1)+(1+r)b], ¾º º ÈÖ Ñ Ý Ó ÔÓ Ø Ö ÓÖ È Ö Ó Ø Ò Ö Ð ÔÖ Ñ Ý Ó ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÑÓ ÓÑ Ò Ö Ð Ò ÓÖÑ Ò ÔÖ ÓÖ Ó Ø Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ θ Ý Ð Ò ÓÖÑ Ò ÑÙ ØÖ Ðº Ë Ð Ò ÔÖ ÓÖ Ú Ò ÔÓÖ π(θ) Ý x = (x 1,...,x n ) ÙÒ Ú ØÓÖ ÕÙ Ö Ó Ð Ò ÓÖÑ Ò ÑÙ ØÖ Ð Ð Ú ÖÓ Ñ Ð ØÙ Ð ØÓ Ó ÖÚ Ó Ö L( x/θ)º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ø ÓÖ Ñ Ý Ð ØÖ Ù Ò ÔÖ ÓÖ Ö π( x/θ) = L( x/θ)π(θ) L( x/θ)π(θ)dθ α L( x/θ)π(θ) θ ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ð ÔÖ Ñ Ý ÔÙ Ò Ö Ð Ù ÒØ Ñ Ò Ö Ò Ò ¾º Ó ÙÒ Ö Ó X (X/θ) ÓÒ ÙÒ Ò Ò ÔÖÓ¹ Ð f(x/θ) Ò Ó θ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÓÒÓ Ó ÓÒ ØÖ Ù Ò ÔÖ ÓÖ π(θ) ÙÒ ÙÒ Ò Ô Ö L : R 2 R Ý ÙÒ Ú ØÓÖ ØÓ Ó ÖÚ Ó x Ð ÔÖ Ñ Ý Ð Ú ÐÓÖ P( x) ÕÙ Ñ Ò Ñ Þ θ L[P(θ), P( x)]π(θ/ x)dθ Ò Ó P(θ) Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ý π(θ/ x) Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ θ Ð ÑÙ ØÖ º

17 ½ È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊÁÆ ÁÈÁÇË ýä ÍÄÇ ÈÊÁÅ Ë ËÙÔÓÒ Ò Ó ÐÓ Ö ÙÐØ Ó ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º½¹¾º Ô Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ý ¾º ¹¾º Ô Ö Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö Ð ÜÔÖ ÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ý Ô Ö ÐÓ ÔÖ Ò Ô Ó ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ Ú Ø ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ð Ù ÒØ ÓÖÑ Ì ÓÖ Ñ ¾º Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ Ò Ô Ö L(P(θ),P( x)) 2 ÓÒ P(θ) = E(X/θ). ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ý Ú Ò ÔÓÖ P( x) = E π(θ/ x) [E f (X/θ)], ÓÒ π(θ/ x) Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ θ Ó xº Ì ÓÖ Ñ ¾º½¼ È Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÙØ Ð ÜÔÓÒ Ò Ð Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ Ò Ô Ö L(P(θ),P( x)) = 1 α (eαp(θ) e αp( x) ) 2 ÓÒ P(θ) = 1 α loge(eαp(θ) ). ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ý Ú Ò ÔÓÖ P( x) = 1 α loge π(θ/ x)(e αp(θ) ), ÓÒ π(θ/ x) Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ θ Ó xº Ì ÓÖ Ñ ¾º½½ È Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ö Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ¹ Ò Ô Ö L(P(θ),P( x)) = e αp(θ) (P(θ) P( x)) 2, α > 0º ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ý Ú Ò ÔÓÖ P( x) = E π(θ/ x)[p(θ)e αp(θ) ] E π(θ/ x) [e αp(θ), ] ÓÒ π(θ/ x) Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ θ xº Ì ÓÖ Ñ ¾º½¾ È Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ú Ö ÒÞ Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ¹ Ò Ô Ö L(P(θ),P( x)) = P(θ)(P(θ) P( x)) 2 º ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ý Ú Ò ÔÓÖ P( x) = E π(θ/ x)[p(θ)] 2 E π(θ/ x) [P(θ)], ÓÒ π(θ/ x) Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ θ xº

18 ¾º º ÈÊÁÅ Ë Ç ÈÇËÌ ÊÁÇÊÁ ½ Ð Ú Ø ÐÓ Ö ÙÐØ Ó ÑÓ ØÖ Ó Ò ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º ¹¾º½¾ ÐÙÐ Ö Ð ÔÖ Ñ Ý ÕÙ Ú Ð ÙØ Ð Þ Ö Ð ÖÑÙÐ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú ¹ Ó Ò ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º ¹¾º Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó Ð ØÖ Ù Ò ÔÖ ÓÖ θ ÔÓÖ Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ θ Ó xº Ò Ø ÒØ Ó Ö Ò Ø Ð Ð Ñ Ð ØÖ Ù ÓÒ ÓÒ Ù º Ü Ø ÙÒ Ð ØÖ Ù ÓÒ ÔÖ ÓÖ ÓÒÓ ÓÑÓ ØÖ Ù ÓÒ ÓÒ Ù Ò Ð Ù Ð ÕÙ Ð ØÖ Ù Ò ÔÖ ÓÖ Ð Ñ Ð ÓÒ Ù Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÐÓ Ö Ø Ñ Òº Ò Ò ¾º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ð ÑÓ ÐÓ ÕÙ Ò Ö ÐÓ ØÓ x Ø Ò ØÖ Ù Ò f(x/θ)º ÍÒ Ñ Ð Ò ÔÖ ÓÖ F Ô Ö Ð Ô Ö ¹ Ñ ØÖÓ θ ÓÒ Ù Ô Ö Ð ÑÙ ØÖ Ó Ó ÔÓÖ f(x/θ) Ô Ö Ù Ð¹ ÕÙ Ö Ò ÔÖ ÓÖ π(θ) F ÓÒ ÖÑ ÕÙ Ð Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ π(θ/ x) α L( x/θ)π(θ) Ø Ñ Ò ÙÒ Ò Ð Ñ Ð Fº Ò Ð ÔÖ Ø ÓÒ Ö ÑÓ Ñ Ð ÓÒ Ù ÕÙ ÐÐ ÕÙ Ô Ö Ò ÓÖÑ Ò ØÙÖ Ð Ò ÐÓ ÔÖÓ Ó ÑÙ ØÖ Ó Ñ ØÙ Ð º Î ÑÓ ÐÓ Ù ÒØ ÑÔÐÓ ÑÔÐÓ ¾º Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð Ö Ó X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÈÓ ÓÒ P(θ) Ý θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÑÑ γ(a,r)º Ç Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ π(θ/x) γ(a+n,r+n x)º Ö Ð Ð Ò ÔÖ ÓÖ γ(a,r) ÓÒ Ù Ô Ö Ð ÑÙ ØÖ Ó ÈÓ ÓÒº È Ö Ú ÖÐÓ ÐÙÐ ÑÓ Ð Ú ÖÓ Ñ Ð ØÙ L( x/θ) = e θθx 1 e nθθx1+...+xn x 1!...e θθxn x n! = x 1!...x n! = e nθ θ n x x 1!...x n! Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ x = x x n n ÐÙ Ó n x = x x n Ý ÒØÓÒ π(θ) = ar Γ(r) e aθ θ r 1. θ n x a r L( x/θ)π(θ) = e nθ x 1!...x n! Γ(r) e aθ θ r 1 a r = Γ(r)x 1!...x n! e (a+n)θ θ n x+r 1 α e (a+n)θ θ n x+r 1 ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ π(θ/ x) γ(a+n,r+n x)º

19 ½ È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊÁÆ ÁÈÁÇË ýä ÍÄÇ ÈÊÁÅ Ë ÑÔÐÓ ¾º Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð Ö Ó X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò r ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú Bn(r, r+θ ) Ý θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò Ø ÙÒ Ô Be(r,a,b)º Ç Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ π(θ/x) Be(r,a + nr,b + n x) Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ Ð Ð Ò ÔÖ ÓÖ Ø ÙÒ Ô (r,a,b) ÓÒ Ù Ô Ö Ð ÑÙ ØÖ Ó Ñ ÒØ ÙÒ ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú º r a B(a,b) Ò Ø Ó Ð Ú ÖÓ Ñ Ð ØÙ L( x/θ) α ( r θ b 1 (r+θ) a+b ÓÒ L( x/θ)π(θ) α r+θ )nr ( θ θ b+n x 1 (r+θ) n x+a+b ÐÙ Ó π(θ/ x) Be(r,a+nr,b+n x). r+θ )x 1...x n Ý π(θ) = ÑÔÐÓ ¾º µ Î ÑÓ ÑÓ ÐÙÐ Ð ÔÖ Ñ Ý Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ù Ò Ó Ð Ö Ó X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÈÓ ÓÒ P(θ) Ý θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÑÑ γ(a,r) Ö ¼º Ë Ò Ð Ì ÓÖ Ñ ¾º Ð ÔÖ Ñ Ý Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø P( x) = E π(θ/ x) (P(θ)) ÓÒ P(θ) = E(X/θ) = θº Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ Ð ÑÔÐÓ ¾º Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ θ/ x γ(a+n,r +n x)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÔÖ Ñ Ý Ö P( x) = E π(θ/ x) (E(X/θ)) = E π(θ/ x) (θ) = r +n x a+n ¾º½ µ µ Ë ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ú Ö ÒÞ ÔÓÖ Ð Ì ÓÖ Ñ ¾º½¾ Ð ÔÖ Ñ Ý Ö P( x) = E π(θ/ x) (P(θ))+ Var π(θ/ x)(p(θ)) E π(θ/ x) (P(θ)), ÓÒ P(θ) = θ+1º ÒØÓÒ P( x) = E π(θ/ x) (θ +1)+ Var θ(θ +1) E π(θ/ x) (θ +1) = r +n x a+n +1+ = (r +n x+a+n)2 +r+n x (a+n)(r +n x+a+n) r+n x (a+n) 2 r+n x a+n +1 = ¾º½ µ ÑÔÐÓ ¾º µ Ò Ø Ó Ú Ö ÑÓ ÑÓ ÐÙÐ Ð ÔÖ Ñ Ý Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ù Ò Ó Ð Ö Ó X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò r ÒÓÑ Ð Æ Ø Ú Bn(r, r+θ ) ÓÒ ÙÒ Ò Ù ÒØ

20 ¾º º ÈÊÁÅ Ë Ç ÈÇËÌ ÊÁÇÊÁ ½ P(x/θ) = ( r+x 1 x ) ( r r+θ )r ( θ r+θ )x x = 0,1,2,.. ÓÒ B(a,b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a+b) Ý θ > 0 Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò Ø ÙÒ Ô Ô Ö Ñ ØÖÓ r,a,bº Ë Ò Ð Ì ÓÖ Ñ ¾º Ð ÔÖ Ñ Ý Ö P( x) = E π(θ/ x) E(X/θ) Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ Ð ÑÔÐÓ ¾º Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ θ/ x Ø Ô Ö Ñ ØÖÓ (r,a+nr,b+n x)º r Ñ X/θ Bn(r, r+θ ) Ø Ñ Ò ÑÓ Ú ØÓ Ò Ð ÑÔÐÓ ¾º½ µ ÕÙ E(X/θ) = θ Ò Ó Ò Ø Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ó P(θ) = E(X/θ) = θº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÔÖ Ñ Ý Ö P( x) = E π(θ/ x) (P(θ)) = E π(θ/ x) (θ)º Ë Eθ = a 1 rb Ò Ó θ Ø Ô Ö Ñ ØÖÓ Ö µ Ù Ø ØÙÝ Ò Ó ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ØÖ Ù Ò ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ý Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ò Ø Ó b+n x P( x) = E π(θ/ x) (θ) = r a+nr 1. µ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ú Ö ÒÞ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ú Ö ÑÔÐÓ ¾º½ µµ P(θ) = E(X/θ)+ Var(X/θ) E(X/θ) = θ (r+1) r +1 Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ Ð ÔÖ Ñ Ý P( x) = E π(θ/ x) (P(θ))+ Var π(θ/ x)(p(θ)) E π(θ/ x) (P(θ)) = 1+ (1+r) 2 (b+n x)(a+nr+b+n x 1 (a+nr 1) 2 (a+nr 2) 1+ (1+r)(b+n x a+nr 1 = 1+ (1+r)(b+n x) + a+nr 1 (1+r) 2 (b+n x)(a+nr+b+n x 1) + (a+nr 1)(a+nr 2)[(a+nr 1)+(1+r)(b+n x)] ÜÔÖ Ò Ò ÐÓ Ð Ó Ø Ò Ò Ð ÑÔÐÓ ¾º½ µ ¾º½ µ Ô Ö Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú ÓÒ ÓÖ a+nr Ö ÑÔÐ Þ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ a Ý b+n x Ö ÑÔÐ Þ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ º = ¾º½ µ

21 ½ È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊÁÆ ÁÈÁÇË ýä ÍÄÇ ÈÊÁÅ Ë

22 Ô ØÙÐÓ Ä Ø ÓÖ Ð Ö Ð º½º ÁÒØÖÓ Ù Ò Ø Ø ÓÖ Ò ÓÑÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ò ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò Ð ¹ ÙÖ ÓÖ Ù Ø Ö ÑÓ Ó Ø Ñ Ø Ó Ò ÙÒ Ò Ð ÜÔ Ö Ò Ò ¹ ØÖ Ð Ð ÔÖ Ñ ÐÓ ÙÖÓ º Ñ ÓÙÔ Ñ Ö Ð ÑÔÓÖØ Ò ÕÙ Ø Ò Ö Ð Ò ÓÖÑ Ò ÙÒ Ò Ú ÙÓ Ö ÒØ Ð Ò ÓÖÑ Ò Ð ÖØ Ö ÙÖÓ Ò Ö Ð Ò Ð ÔÖ Ñ ÕÙ Ø Öº ÍÒÓ Ù ÔÖ Ò Ô Ð Ù Ó ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖÓ ÙØÓÑ Ú Ð ÓÒ ÐÓ ÒÓÑ Ò Ó Ø Ñ Ø Ö Ò ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º Ò ÐÐÓ Ð ÔÖ Ñ Ò Ð Ú ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ó Ù Ú Ñ ÒØ Ñ ÕÙ ÒÓÖÔÓÖ Ð Ò ÓÖÑ Ò Ð Ò ØÖ Ð º ÓÒ Ø Ø Ñ Ð ÙÖ Ó ÔÙ Ú Ö ÓÒ Ó Ô Ò Ð Þ Ù ÔÖ Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ò Ò Ó Ù ÔÖÓÔ ÜÔ Ö Ò Ö Ð Ñ ÓÒ º Ò Ð ÐØ Ñ Ð ØÓÖ Ò Ò ÖÓ Ù Ö Ó ÙÒ Ö Ò Ñ Ó Ó ÔÖ Ò Ô ÐÑ ÒØ Ð ÐÓ Ð Þ Ò ÐÓ Ñ Ö Ó Ð ÒÙ Ú Ø ¹ ÒÓÐÓ Ð ÖÖÓÐÐÓ ÓÑÔÐ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ö Ú Ó Ý Ð ÒÓÖÔÓÖ Ò ÐÓ Ñ Ö Ó Ô Ù ÖÖÓÝ Ó º ÈÓÖ ØÓ Ó ÐÐÓ Ú Ø Ð ÑÔÓÖ¹ Ø Ò Ô Ö Ð ÒÞ Ö Ð Ü ØÓ Ò Ð Ø Ò Ò Ò Ö Ð ÓÒØÖÓÐ Ý Ð Ñ Ò Ö Ó º ÕÙ Ý Ò Ó Ð Ö Ó ÓÔ Ö ÓÒ Ð Ð Ù Ð ÙÒ Ö ¹ Ó Ö ØÓ Ù Ó ÕÙ ÒÓ ÒÐÙÝ Ò ÐÓ Ñ Ö Ó Ò ÐÓ Ö ØÓ Ý ÕÙ ÔÙ Ò Ø Ò Ö ÙÒ ÔÖÓ Ò ÒØ ÖÒ Ý»Ó ÜØ ÖÒ º È Ö ÑÓ Ð Þ Ö Ð Ö Ó ÓÔ Ö ÓÒ Ð Ù Ö Ó ÓÒ Ð ÒÙ Ú Ò ÓÒ Ö ÙÐ ØÓÖ ÓÒÓ¹ ÓÑÓ Ð ÁÁ Ø Ö Ð Þ Ò Ó ÙÒ Ù ÖÞÓ Ò Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ø ÒØÓ Ù Ð Ø Ø ÚÓ ÓÑÓ Ù ÒØ Ø Ø ÚÓ º ½

23 ¾¼ º¾º È ÌÍÄÇ º Ä Ì ÇÊ Ä Ê Á ÁÄÁ ÓÒ ÔØÓ Ý Ô Ö Ô Ø Ú Ø Ö ÈÖÓ Ò Ù Ð ÔÖ Ñ Ö ØÖ Ó ÔÙ Ð Ó Ó Ö Ø ÓÖ Ð Ö ¹ Ð º Ù Ö ØÓ ÔÓÖ Ï ØÒ Ý ½ ½ Ð Ù Ð Ò Ð ØÖ Ó ÅÓÛ Ö Ý ½ ½ Ô Ö Ö Ð Þ ÖÐÓº ÈÖÓ Ò ÔÖÓÔÓÒ ÕÙ ÙÒ ÓÖ¹ Ñ ÑÔÐ Ð ÔÖ Ñ ÕÙ Ô Ö ÔÓÖ Ô ÖØ Ð ÙÖ Ó ÒÐÙÝ Ù ÜÔ Ö Ò Ò Ú Ù Ð Ý Ð Ð ÖØ Ö ÙÖÓ P = Z X +(1 Z) C º½µ ÓÒ X Ð ÜÔ Ö Ò Ò Ú Ù Ð Ð Ò ÓÖÑ Ò ÕÙ ÔÓÒ Ó Ö Ð ÓÐ Ø ÚÓ Ý Z ÙÒ ØÓÖ ÔÓÒ Ö Ò ÒÓÑ Ò Ó ØÓÖ Ö Ð º Ñ Ð ØÓÖ Ö Ð Z Ö Ø Ö ÐÓ Ù ÒØ Ë Ö ÙÒ ÙÒ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ú Ò Ð Ô Ð Þ n ÔÓÖ Ø ÒØÓ Z Z(n) Ë Ö ÙÒ ÙÒ Ò Ö ÒØ Ò n ÑÓ Ó ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ ½ Ù Ò Ó n Ø Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØÖ ÕÙ Ø Ò ¼ Ù Ò Ó n Ø Ò ¼º ÈÓÖ Ø ÒØÓ n = 0 ÙÔÓÒ Ö ÑÓ ÕÙ ØÖ Ø Ö ÙÒ ÓÒØÖ ØÓ ÒÙ ÚÓ Ý Ð ÔÖ Ñ Ó Ö Ö Ö Cº ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó n Ø Ò Ò Ò ØÓ Ð ÔÖ Ñ Ø Ö Ò Ð ÜÔ Ö Ò Ò Ú Ù Ð ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö X Z Ö Ö Ø Ñ Ò ÙÒ ÙÒ Ò Ö ÒØ Ð Ú Ö ÒÞ Ð ÔÖ Ñ Ø Ö ÓÒ Ð Ñ Ø ½ Ù Ò Ó ÕÙ ÐÐ Ø Ò Ò Ò ØÓ Ý ¼ Ù Ò Ó Ø Ò ¼º À Ñ ÒÒ ½ ÔÖÓÔÙ Ó ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð Ù Ø Ø Ñ Ø Ó Ð ÔÖ Ñ ÙÖÓ ÓÒ ÓÖÑ Ó Ø Ò Ð ÜÔ Ö Ò Ò ØÖ Ð º ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó À Û ØØ ½ ¼ Ò Ö Ð ÓÑÓ ÙÒ Ø Ñ ÓÖ Ð ¹ Ò Ð Ð ÔÖ Ñ Ø Ö Ô Ö ÕÙ ÙÒ ÓÑ Ò Ò ÓÒÚ Ü ÒØÖ Ð Ô Ø Ý Ð Ó ÖÚ Òº Å Ø Ö Ñ Ó Ð ÐÓ ÑÔ Þ Ø Ò Ö ÑÔÓÖØ Ò ÙÒ ÒÙ Ú Ú Ò Ð Ø Ø Ð Ý Ò º ÅÙ Ó Ø Ñ ÓÖ Ý Ý Ù ØÖ Ù Ò ÔÖ ÓÖ Ò ØÙÖ Ð ÓÒ Ù Ö ÔÓÒ Ò Ð ÔÖÓÔÙ Ø ÅÓÛ Ö Ý ½ ½ Ï ØÒ Ý ½ ½ Ý Ð Ý ½ º Ò Ø Ô ØÓ Ø ¹ ÑÓ Ð ØÖ Ó Å Ý Ö ÓÒ ½ Ò Ð ÕÙ ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÙØ Ð Þ Ò ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ö Ð Ý Ø Ø Ý Ò º

24 º¾º ÇÆ ÈÌÇ È ÊËÈ ÌÁÎ ÀÁËÌ ÊÁ ¾½ Ò ½ ÔÙ Ð Ð Ø ÜØÓ Ö Ð Øݺ Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ù Ð ÒÐÙÝ ØÓ Ó Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ü Ø ÒØ Ø Ð Ó Ö Ð Ø ÓÖ Ð Ö Ð º ÄÓ ÕÙ ÓÝ Ò ÒØ Ò ÔÓÖ Ø ÓÖ Ð Ö Ð ÑÓ ÖÒ ÙÖ ÓÒ Ð ÔÙ Ð Ò Ð ÑÓ ÐÓ ØÖ Ù Ò Ð Ö ÔÙ Ð Ó ÔÓÖ ÐÑ ÒÒ ½ º Ð Ó Ø ÚÓ Ø ÑÓ ÐÓ Ø Ñ Ö Ð ÔÖ Ñ ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ ÙÖ Ó Ó ÖÙÔÓ ÕÙ ÓÖÑ Ò ÙÒ Ô Ð Þ Ò ÙÒ ÖØ Ö ÙÖÓ Ö ØÖ Ò Ò Ó Ð ÔÖ Ñ Ð Ò Ð Ý ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ñ ØÓ Ó ÐÓ Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó º ÈÓ Ø Ö ÓÖÑ ÒØ Ò ÐÑ ÒÒ Ý ËØÖ Ù ½ ¾ Ò Ö Ð Þ Ð ÑÓ ÐÓ Ð Ó ÐÑ ÒÒ ½ ÙÒ ÖØ Ö ÙÖÓ º Ä ÓÐÙ Ò Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ð ÕÙ Ð Ð ÑÓ ÐÓ ÐÑ ÒÒ ½ Ñ ÒÐÙ ÖÐ ÓÑÓ ÙÒ Ó Ô ÖØ ÙÐ Öº ÈÓÓ Ó Ñ Ø Ö Â Û ÐÐ ½ ÔÐ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ö ÓÑÓ Ú ÖÓ Ñ Ð ØÙ Ó Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÓÒ º Ä ÓÐÙ Ò Ù ÕÙ Ð Ø Ñ ÓÖ Ð ÔÖ Ñ Ò Ø Ñ Ø ÑÔÖ ÙÒ ÜÔÖ Ò Ð Ò Ð ÓÒ Ð ØÓÖ Ö Ð Ù Ð Ð ÐÑ ÒÒ ½ º Ö ÐÑ ÒÒ ½ Ð Ø ÓÖ Ö Ð ÐÐ Ú Ó Ð Ø ÖÖ ÒÓ Ð Ø ÓÖ Ù Ó Ù Ò Ó ÒØ ÖÔÖ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð ØÙ Ö Ó Ô Ö Ð Ö ÙÒ ÔÖ Ñ ÙÖÓ Ó Ö Ö ÓÑÓ ÙÒ Ù Ó ÒØÖ Ó Ù ÓÖ Ð ØÙ Ö Ó Ý Ð Ò ØÙÖ Ð Þ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ö Ø Ö Ó Ò Ñ Ò Ñ Üº ÓÑ Ò Ò Ó Ð Ø ÓÖ Ð Ò Ý Ð Ù Ó Ô Ö Ò ÐÓ ÑÓ¹ ÐÓ ÑÑ ¹Ñ Ò Ñ Ü Ò Ù Ö Ø Ðº ½ µ Ý ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ö Ö Ø ÑÑ ¹ Ñ Ò Ñ Ü Ú Ö Ñ Þ¹ Ò Þ Ø Ðº ¾¼¼ Ý Ñ Þ¹ Ò Þ Ý Ë Ö ¾¼¼ µº ØÓ ÑÓ ÐÓ ÙÖ Ò Ð Ø Ø Ý Ò ÖÓ Ù Ø Ò Ð Ù Ð Ð Ò¹ Ú Ø ÓÖ ÒÓ Ø Ò ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ó Ö Ð ØÖ Ù Ò ÔÖ ÓÖ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ö Óº ÇØÖÓ Ø ÔÓ ÑÓ ÐÓ Ø Ò Ò Ò Ù ÒØ Ð Ó ÑÔ Ö Ñ ÒØ ÓÒØÖ Ø ¹ Ó ÕÙ Ð ØÖ Ù ÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ Ò ØÖÓ Ò Ð Ö ÑÓ ÙØÓÑ ¹ Ú Ð Ø Ò ÑÙÝ Ö Ó ÖÓ ÒÓÖÔÓÖ Ò Ó Ð ØÖ Ù ÓÒ Ò ÖÓ Ú Ö ÓÙ Ö Ý ÒÙ Ø ¾¼¼ º Ñ Ò ÔÖÓÔÙ ØÓ ÑÓ ¹ ÐÓ Ö Ð Ø ÔÓ Ô Ò Ð Ó Ò Ú Ö Ó Ô Ö Ó Ó Ø ÑÔÓ Ú Ö Ø Ðº ¾¼¼ º

25 ¾¾ È ÌÍÄÇ º Ä Ì ÇÊ Ä Ê Á ÁÄÁ º º Ö Ð ØÓØ Ð Ë ÐÓ ÙÖ Ó Ø Ò Ò ÙÒ ÜÔ Ö Ò Ö Ð Ñ Ò ÚÓÖ Ð ÕÙ ¹ ÖÖ Ò ÕÙ Ð ÔÖ Ñ ÕÙ Ø Ò Ò ÕÙ Ô Ö Ø Ò Ù ÜÔ Ö Ò Ò ØÖ Ð º Ë Ò Ñ Ö Ó ØÓ ÐÓ Ö ÔÓ Ð Ð ÜÔ Ö Ò Ö Ð ¹ Ñ Ò Ø Ð º È Ö Ö ÓÐÚ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ Ò Ö ÙÔÓÒ Ö ÕÙ x Ø Ð Ü Ø ÙÒ ÔÖÓ Ð ÐØ ÕÙ Ð Ö Ò ÒØÖ x Ý ǫ Ô ÕÙ Ò Ó ǫ Ð Ñ Ø Ö xº ØÓ Ö ÕÙ Ö Ö Ñ Ø Ö Ö Ð ØÓØ Ð Ú Ö Pr( x ǫ cǫ) = Pr[((1 c)ǫ x (1+c)ǫ)] p º¾µ Ò Ó 0 < p < 1 Ý c > 0º Ä ÖÑÙÐ º¾µ Ø Ñ Ò ÔÙ Ö Ö Ð Ù ÒØ ÓÖÑ Pr[( x ǫ σ/ n cǫ n )] p º µ σ Ñ X p Ò ÓÑÓ X p = inf x {Pr( x ǫ σ/ x) p} n Ë ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ x Ù ÙÒ N(ǫ, σ n )º Ø ÐØ Ñ ÜÔÖ Ò ÕÙ Ú Ð Pr( x ǫ σ/ n X p) = p º µ ÓÒ X p Ð Ù ÒØ Ð 1 p 2 º Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ X p ½ ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ p ¼ º ÈÓÖ Ø ÒØÓ º µ Ô Ö ÙÔÓÒ Ö Ö Ð ØÓØ Ð Ú Ö Ö ÕÙ cǫ n σ X p ÕÙ ÐÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ð Ó ÒØ Ú Ö Ò g 0 = σ ǫ c X p n = n λ 0 º µ Ö ÕÙ Ð Ó ÒØ Ú Ö Ò Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ n/λ 0 º

26 º º Ê Á ÁÄÁ È Ê Á Ä ¾ ÙÔÓÒ Ö Ö Ð ØÓØ Ð n λ 0 ( σ ǫ )2. º µ Ò Ð ÔÖ Ø Ð ÜÔ Ö Ò Ð ÙÖ Ó Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò Ù Ö Ó Ð Ì ÓÖ Ñ ÒØÖ Ð Ð Ä Ñ Ø Ð Ú Ö Ð Ð ØÓÖ ( x x)/(σ n) Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò N(0,1) ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ º Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð Ö¹ ÑÙÐ º µ ÔÙ Ö Ö ÓÑÓ p = 2Φ(X p ) 1 ÓÒ Φ(x) Ð ÙÒ Ò ØÖ Ù Ò Ð ÒÓÖÑ Ð Ø Ô º X p Ð Ù ÒØ Ð 1 p/2 Ð ØÖ Ù Ò ÒÓÖÑ Ð Ø Ô º ÑÔÐÓ º½ Ë Ù ÒØ ÓÒ Ð ÜÔ Ö Ò x j ÓÒ j = 1,...,n ÙÒ ÓÒØÖ ØÓ ÙÖÓ Ý ÕÙ x 1,...,x n ÓÒ Ú Ö Ð Ð ØÓÖ Ò Ô Ò ÒØ ÒØ Ñ ÒØ ØÖ Ù Ø ÔÓ ÈÓ ÓÒ (θ = 200)º ú Ù Ð Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ô ÕÙ Ó Ò Ô Ö ÓÒ Ö Ö Ö Ð ØÓØ Ð ËÙÔÓÒ Ò Ó ÕÙ c = 0,04 Ý ÕÙ p = 0,95 Ý Ñ Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð ÙÖ ÓÖ Ø Ö Ø Ò Ò Ó ÐÓ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÓÒ X i i = 1,...,n ÓÒ º º º P(θ) ÓÒ θ = 200º ÒØÓÒ EX i = VarX i = 200º Ñ E( x) = 200 Ý Var( x) = 200 n º Ë ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ p = 0,95 Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð Ö 1 p/2 = 0,025º ÈÓÖ ÐÓ ÕÙ Φ(t α/2 ) = 0,975º ÒØÓÒ X p = t α/2 = 1,96º Ò Ø Ó ÔÓÖ Ö ÙÒ ØÖ Ù Ò ÈÓ ÓÒ ǫ = σ 2 = 200º ÒØÓÒ¹ λ 0 = ( Xp c )2 = ( 1,96 0,04 )2 = 49 2 = 2401º Ë Ò º µ n λ 0 ( σ ǫ )2 = 2401( )2 = 12,005º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ ÓÒØÖ ØÓ ÓÒ ÒÙ Ð Ö Ò ÐØ Ð Ó Ñ ½¾ Ó Ô Ö ÙÑ Ö Ö Ð ØÓØ Ðº º º Ö Ð Ô Ö Ð Ò Ð ÔÖ Ø Ô Ö ÑÙ Ó ÙÖ Ó Ð ÜÔ Ö Ò Ò ØÖ Ð Ò Ù ÒØ Ô Ö ÙÔÓÒ Ö Ö Ð ØÓØ Ð Ö Z(n) = 1º Ò Ð Ö Ð Ô Ö Ð Ð ÔÖ Ñ ÙÒ ÓÑ Ò Ò Ð Ò Ð ÓÒÚ Ü ÒØÖ Ð ÜÔ Ö Ò Ð ÙÖ Ó Ý Ð Ð ÓÐ Ø ÚÓ ÑÓ Ó ÕÙ P = Z(n) x+[1 Z(n)]M

27 ¾ È ÌÍÄÇ º Ä Ì ÇÊ Ä Ê Á ÁÄÁ È Ö Ó Ø Ò Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ó Ø Ò Ö Z(n) Ý Ó ÕÙ Var(P) = Var[Z(n) x+[1 Z(n)]M] = (Z(n)) 2 Var( x) = (Z(n)) 2σ2 n, Ù Ð Ò Ó Ø ÐØ ÑÓ Ø ÖÑ ÒÓ ǫ 2 /λ 0 Ö ÙÐØ Z(n) = (ǫ/σ) n/λ 0 Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Z(n) = min{ ǫ σ n,1} º µ λ0 ÑÔÐÓ º¾ ÓÒ ÐÓ ØÓ Ð ÑÔÐÓ º½ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð ØÓÖ Ö Ð Ô Ö ÙÒ ÜÔ Ö Ò Ö Ð Ñ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ½¼ Ó º Ò Ø Ó Z(n) = Z(10) = min { } ,1 = min{0,9126,1} = 0,9126. Ö Ò Ñ ÙÒ 90% ÓÒ Ö Ö Ò ÐÓ ØÓ Ð ÓÐ Ø ÚÓ Ý Ò Ñ ÒÓ Ð 10% ÐÓ Ð Ò Ú ÙÓ Ð ÓÖ ÐÙÐ Ö Ð ÔÖ Ñ º º º Ö Ð Ò Ö Ò Ý Ò Ò Ò Ö Ð Ù Ò Ó ÕÙ Ö Ø Ö Ö ÙÒ Ö Ó ÒÙ ÚÓ ÒÓ ÔÓÒ ØÓ ÔÓÖ ÐÐÓ Ö ÙÐØ Ø Ð Ð Ù Ó ØÖ Ù ÓÒ ÔÖ ÓÖ º Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø ÓÖ Ð Ö Ð ÓÒ Ø Ò ÐÙÐ Ö Ð ÔÓÒ ¹ Ö Ò ÕÙ Ø Ð ÜÔ Ö Ò Ð Ò ØÖ Ð ÙÒ Ô Ð Þ Ö Ô ØÓ Ð ÜÔ Ö Ò ÙÒ ÓÐ Ø ÚÓ Ð Ù Ð Ô ÖØ Ò Ô Ð Þ º Ë ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ù ÒØ Ø Ð Ð Ù Ð ÓÒ Ø k ÙÖ Ó Ý n Ô Ö Ó Ó Ó ÖÚ Ò Ð Ñ Ñ º Ä Ø ÓÖ Ð Ö Ð Ø ÖÑ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ð ÓÑÓ ÙÒ ÓÑ Ò Ò Ð Ò Ð Ó ÓÒÚ Ü ÒØÖ Ð ÜÔ Ö Ò ÙÒ ÙÖ Ó Ý Ð Ð ÓÐ Ø ÚÓº Ø ÜÔÖ Ò ÔÙ Ö Ö Ð Ù ÒØ ÓÖÑ ÓÒ P j = [1 Z(n)]P 0 +Z(n)] P j

28 º º Ê Á ÁÄÁ ÁÆ Ê Æ Á ËÁ Æ ¾ ½ ¾ ººº j ººº k ½ X 11 X 21 ººº X j1 ººº X k1 ¾ X 12 X 22 ººº X j2 ººº X k2 ººº ººº ººº ººº ººº ººº ººº n X 1n X 2n ººº X jn ººº X kn P j Ð ÔÖ Ñ ÔÐ Ö ÐÓ ÙÖ Ó Ð Ö Ó jº P 0 Ð ÔÖ Ñ Ð ÓÐ Ø ÚÓ Ð ÕÙ Ô ÖØ Ò Ð ÙÖ ÓÖ jº P j Ð ÔÖ Ñ Ó Ø Ò Ò Ð ÜÔ Ö Ò Ð ÙÖ Ó jº Z(n) Ð ØÓÖ Ö Ð ÕÙ Ú Ö lím Z(n) = 1 n Ò Ó n Ð Ò Ñ ÖÓ ÜÔÙ ØÓ Ð Ö Ó j Ó Ð Ô Ö Ó Ó Ó ÖÚ Ò Ð Ô Ð Þ jº Ì Ñ Ò ÔÙ Ö Ö Ð Ù ÒØ ÓÖÑ [Prima (a posteriori) = [1 Z(n)] Prima a priori+z(n) Experiencia observada.] Ë Ò Ð Ò Ò ÔÖÓÔÙ Ø ÔÓÖ À Ñ ÒÒ ½ Ð Ø ÓÖ Ð Ö ¹ Ð ÙÒ Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð Ù Ø Ø Ñ Ø Ó Ð ÔÖ Ñ ÙÖÓ Ñ ÕÙ Ó Ø Ò Ð ÜÔ Ö Ò Ò ØÖ Ð º Ð Ø ÓÖ Ð Ö Ð Ù ÙÒ ÕÙ Ñ Ý ÒÓ Ò Ó Ò¹ ØÖ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÔÖ ÓÖ ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÑÙ ØÖ Ð Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ò ÐÑ ÒØ ÙÒ ØÙ Ò Ö Ú Ð ÔÖ Ñ º ÑÔÐÓ º ÓÑÔÖÓ Ö ÑÓ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ý Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ ¹ Ñ Ò Ø Ó Ø Ò Ò Ð ÑÔÐÓ ¾º µ ÓÒ X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÈÓ ÓÒ P(θ) Ý θ ÙÒ ØÖ Ù Ò γ(a,r) a,r > 0 ÔÙ Ö Ö ÓÑÓ ÙÒ ÖÑÙÐ Ö Ð º Ä ÔÖ Ñ Ý Ó Ø Ò Ò ¾º½ µ ÔÙ Ö Ö ÓÑÓ P( x) = a r aa+n + n x a+n ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ý Ú Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ ÒÓ ÔÓÖ aº ÒØÓÒ Ö ÙÐØ P( x) = r a aa+n + a+n x n = E(θ) a a+n + a+n x n = P C(1 Z(n))+Z(n) x

29 ¾ È ÌÍÄÇ º Ä Ì ÇÊ Ä Ê Á ÁÄÁ ÓÒ Z(n) = n a+n Ý P C Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú ÕÙ Ò Ø Ó Ú Ò ÔÓÖ P C = r a a > 0º ÑÔÐÓ º ÓÑÔÖÓ Ö ÑÓ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ý Ó Ø Ò Ò Ð ÑÔÐÓ r ¾º µ ÓÒ X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò Bn(r, r+θ ) Ý θ ÙÒ ØÖ Ù Ò Ø ÙÒ Ô Ô Ö Ñ ØÖÓ r,a,b > 0 ÔÙ Ö Ö ÓÑÓ ÙÒ ÖÑÙÐ Ö Ð º Ä ÔÖ Ñ Ý Ó Ø Ò Ù b+n x P( x) = r a+nr 1 ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ý Ú Ò Ó ÔÓÖ a 1 Ó Ø Ò P( x) = (a 1)r(b+n x) (a 1)(a+nr 1) = rb a 1 a 1 a+nr 1 + r(a 1)n x (a 1)(a+nr 1) (a 1) = P C (a+nr 1) + a+nr 1 x nr = P C(1 Z(n))+Z(n) x ÓÒ Z(n) = nr a+nr 1 Ý P C = br a 1 Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú º ÄÓ ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÑÙ ØÖ Ò ÙÒ Ö ÙÐØ Ó ÕÙ ÔÖÓ ÖÓÒ Ò Ð ¹ ÐÓ ¼ Ý ¼ Ð Ý ½ Ý Å Ý Ö ÓÒ ½ Ý ÕÙ Ð ÖÑÙÐ Ð Ö Ð Ó Ò ÓÒ Ð Ø Ñ ÓÖ ÔÖ Ñ µ Ý Ô Ö Ø ÖÑ Ò ÓÑ Ò ÓÒ Ú ÖÓ Ñ Ð ØÙÖ Ý ÙÒ ÓÒ ÔÖ ÓÖ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ô Ö ÐÓ Ô Ö ÈÓ ÓÒ¹ ÑÑ Ó ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú ¹ Ø º ÈÓ Ø Ö ÓÖÑ ÒØ Â Û ÐÐ ½ ÑÓ ØÖ ÕÙ ØÓ Ö ÙÐØ Ó ÒÓ Ö Ò Ñ ÕÙ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ó Ò Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ Ò ÓÒ Ö Ö ÓÑÓ Ú ÖÓ¹ Ñ Ð ØÙ Ð Ñ Ð ÜÔÓÒ Ò Ðº Ò Ò Ø Ú Ð Ø Ñ ÓÖ Ö Ð ÐÑ ÒÒ Ù Ð Ð Ý Ð ÔÖ Ñ Ò ÙÒ Ö Ò Ò Ñ ÖÓ Ó º ØÓ ÓÙÖÖ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð ØÖ Ù Ò ÔÖ ÓÖ ÓÒ Ù Ý Ð Ú ÖÓ Ñ Ð ØÙ ÙÒ Ñ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ð ÜÔÓÒ Ò Ðº ÒØÓÒ ÓÑÓ ÑÓ Ú ØÓ Ò ÐÓ ÑÔÐÓ º Ý º Ð Ø Ñ ÓÖ Ð ØÓÖ Ö Ð ÐÑ ÒÒ Ð ÔÖ Ñ Ò Ø Ó Ò ÓÒ Ð Ý ¹ ÒÓº º º Ë Ø Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ ÓÒ Ó ØÓ Ö Ù Ö Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÓÒ Ò Ð ØÓÖ Ð ÙÖÓ ÙØÓÑ Ú Ð Ð ÓÑÔ ÙÖÓÔ ÒØÖÓ Ù ÖÓÒ Ð Ø Ñ Ø Ö ¹

30 º º ËÁËÌ Å ÇÆÍ˹ŠÄÍË ¾ Ò ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º Ø Ø Ñ ÔÖ Ñ ÐÓ ÓÒ ÙØÓÖ ÕÙ ÒÓ ÜÔ Ö Ñ Ò¹ Ø Ò Ö Ð Ñ Ò ÐÓ Ù ÒÓ Ô Ò Ð Þ Ò Ó ÐÓ Ñ ÐÓ º ÙÒ Ø Ñ Ø Ö Ò Ò Ð ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ò Ð Ñ ÕÙ ÒÓÖÔÓÖ Ð ÜÔ Ö Ò Ò ØÖ Ð Ú ÑÓ Ð Ò Óº È Ö ÐÐÓ Ô ÖØ ÙÒ Ò Ú Ð Ò ÙØÖÓ Ò Ð Ù Ð Ð ÙÖ Ó ÒØÖ Ò Ð Ø ÓÖ ÓÒÙ Ô Ö Ò Ú Ð Ò Ö ÓÖ Ó ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó Ò Ð Ð Ñ ÐÙ Ô Ö Ò Ú Ð ÙÔ Ö ÓÖ º Ø Ø Ñ Ø Ó Ò Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÓÒ Ý ÒÓ Ò Ð Ù Ò¹ Ø º Ä ÔÖ Ñ ÜÔÖ ÓÑÓ ÙÒ ÙÒ Ò Ð Ò Ñ ÖÓ Ñ Ó Ö Ð Ñ Ó¹ Ò x ÓÒ n x = n i=1 x i Ý Ð Ô Ö Ó Ó Ø ÑÔÓ nº Ê ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ Ñ ÒØ P BM ( x,n)º ÔÐ Ò Ó Ø Ø Ñ ÙÒ ÙÖ Ó ÕÙ ÒÓ ÔÖ ÒØ Ò Ð Ô Ö Ó Ó ØÙ Ð Ò Ò ÙÒ Ö Ð Ñ Ò Ú Ö ÓÒ Ó Ò Ð Ù ÒØ Ô Ö Ó Ó Ñ ÒØ ÙÒ Ù ÒØÓ Ù ÔÖ Ñ º ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó Ð Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ð ÙÖ Ó Ú Ö ÒÖ Ñ ÒØ Ù ÔÖ Ñ º ÄÙ Ó Ø Ò Ö Ò ÕÙ Ú Ö Ö Ð Ù ÒØ Ö Ð ØÖ Ò Ò P BM ( x,n) x > 0, P BM ( x,n) n < 0 º º½º ÐÙÐÓ ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ º Å ØÓ Ó Ý ÒÓ È Ö ÕÙ Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ ÙÑÔÐ Ð Ö Ð ØÖ Ò Ò ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ñ ØÓ ÓÐÓ Ý Ò ÙÑÔÐ Ö P BM ( x,n) = P( x) P C, ÓÒ P( x) Ð ÔÖ Ñ Ý Ý P C Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú º Ö Ú Ð ÔÖ Ñ Ý ÒØÖ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú º ÑÔÐÓ º Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ò Ó Ò ÐÓ ÑÔÐÓ ¾º½ Ý ¾º ÓÒ X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÈÓ ÓÒ P(θ) Ý θ ÙÒ ØÖ Ù Ò ÑÑ γ(a,r) a,r > 0º ÐÙÐ Ö Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ µ Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ó ØÙÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú P C = r r+n x a Ý Ð ÔÖ Ñ Ý P( x) = a+n º ÈÓÖ ÐÓ ÕÙ Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹ Ñ ÐÙ Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ Ú Ö Ð ÔÖ Ñ Ý P( x) ÒØÖ Ð ÓÐ Ø Ú P C º P BM ( x,n) = r+n x a+n r a = (r +n x)a (a+n)r º µ

31 ¾ È ÌÍÄÇ º Ä Ì ÇÊ Ä Ê Á ÁÄÁ µ Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ú Ö ÒÞ Ó ØÙÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ö P C = (r+a)2 +r a(r+a) Ý Ð ÔÖ Ñ Ý P( x) = (r+n x+a+n)2 +r+n x (a+n)(r+n x+a+n) º ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ P BM ( x,n) = [(r +n x+a+n)2 +r +n x][a(r +a)] [(a+n)(r +n x+a+n)][(r +a) 2 +r] º µ ÑÔÐÓ º Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ò Ó Ò ÐÓ ÑÔÐÓ r ¾º¾ Ý ¾º ÓÒ X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú Bn(r, r+θ ) Ý θ ÙÒ ØÖ Ù Ò Ø ÙÒ Ô ÓÒ r,a,b > 0º ÐÙÐ Ö Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ µ Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ó ØÙÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ö b (b+n x) P C = r(a 1) Ý P( x) = r (a+nr 1) º ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ P BM ( x,n) = (b+n x)(a 1) b(a+nr 1) º½¼µ µ Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ú Ö ÒÞ Ò ¾º½ µ Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú Ù P C = 1+ (1+r)b (a 1) + (1+r) 2 b(a+b 1) (a 1)(a 2)[(a 1)+(1+r)b], Ñ ÒØÖ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ý Ò ¾º½ µ Ù P( x) = 1+ (1+r)(b+n x) (a+nr 1) ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ + (1+r) 2 (b+n x)(a+nr+b+n x 1) (a+nr 1)(a+nr 2)[(a+nr 1)+(1+r)(b+n x)] P BM ( x,n) = 1+ (1+r)(b+n x) (a+nr 1) + 1+ (1+r)b (a 1) + (1+r) 2 (b+n x)(a+nr+b+n x 1) (a+nr 1)(a+nr 2)[(a+nr 1)+(1+r)(b+n x)] (1+r) 2 b(a+b 1) (a 1)(a 2)[(a 1)+(1+r)b]. º½½µ

32 Ô ØÙÐÓ Ó ÐÙ ØÖ Ø ÚÓ ÓÒ Ó ØÓ ÐÙ ØÖ Ö Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÐÙÐÓ Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹ Ñ ÐÙ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÙÒ ÑÔÐÓ ØÓ Ö Ð º Ò Ð Ù ÒØ Ø Ð Ø Ò ÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ ÙÖ Ó Ô Ö ÙÒ Ò ¹ Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÓÒ Ò ÙÒ ÖØ Ö ÙÖÓ ÙØÓÑ Ú Ð Ò Ð ¹ Ñ Ò Ò ½ ¼º Ø ÖØ Ö Ô Ö Ò ÐÓ ØÖ Ó Ï ÐÐÑÓØ ½ Ý Ñ Þ¹ Ò Þ Ý Ë Ö ¾¼¼ º Ù ÖÓ º½ Ö Ù Ò Ó ÖÚ Ï ÐÐÑÓØ ½ Æ Ó Ö Ð Ñ ÓÒ Æ Ó ÙÖ Ó ¼ ¾¼ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¼ ½ Ë Ó ÖÚ ÕÙ Ý ÙÒ ØÓØ Ð ¾ ÙÖ Ó º ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ X Ð Ú Ö Ð Ð ØÓÖ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÓÒ º Ô ÖØ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ò Ý Ò ÓÒÓ Ò ÙÒ Ø Ñ Ø Ö Ò ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ Ý Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ú ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ð ÔÖ Ñ Ô Ö Ò ÐÓ Ù ÒØ ÒÓ Ó Ò Ð Þ Ò Ó Ð Ó Ù ÒØ ØÙ ÓÒ ¾

33 ¼ È ÌÍÄÇ º ËÇ ÁÄÍËÌÊ ÌÁÎÇ º½º Ë ØÙ Ò X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÈÓ ÓÒ P(θ) Ø Ð ÕÙ P(x/θ) = e θ θ x, x = 0,1,2,... x! Ý θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò γ(a,r) a,r > 0 ÓÒ ÙÒ Ò Ò π(θ) = ar Γ(r) θr 1 e aθ ÓÒ Ô Ö r > 0 Γ(r) = 0 n r 1 e n dn Ý θ 0º Ò Ø Ó Ý ÓÒ Ð Ò ÐÙÐ Ö Ð ÔÓÖ ÒØ ÔÖ Ñ ÔÐ Ö Ô Ö Ó Ó ÙÒ Ò Ú ÙÓ Ó Ù Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÓÒ Ó ÙÒ Ø Ñ Ø Ö Ò ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ Ý Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ Ù Ö Ó ÓÒ Ð ÑÔÐÓ º P BM = a(r +n x) r(a+n) º½µ ÕÙ Ó Ø Ò ÓÑÓ ÑÓ Ú ØÓ Ð Ó ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ý Ý Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú º È Ö ÔÓ Ö ÙØ Ð Þ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ð ÖÑÙÐ º½µ Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ð Þ Ö ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ð Ù ÒØ Ò Ð Ø Ø Óº º½º½º ØÖ Ù Ò ÒÓÒ ÓÒ ÈÖ Ñ ÖÓ Ö ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ð ØÖ Ù Ò ÒÓÒ ÓÒ X Ø Ò Ò¹ Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÈÓ ÓÒ (θ) Ò Ð ÕÙ θ ÓÑÔÓÖØ ÓÑÓ ÙÒ γ(a,r) P(X = k) = = = 0 a r P(k/θ)π(θ)dθ = 0 e θ θ k k! a r Γ(r) θr 1 e aθ dθ e θ θ k θ r 1 e aθ dθ = ar e θ(1+a) θ k+r 1 dθ k!γ(r) 0 k!γ(r) 0 a r Γ(k+r) (k +r 1)! a 1 = ( k!γ(r) (a+1) k+r k!(r 1)! a+1 )r ( a+1 )k

34 º½º ËÁÌÍ Á Æ ½ ÒØÓÒ P(X = k) = ( r +k 1 k ) a 1 ( a+1 )r ( a+1 )k k = 0,1,2... Ò Ò Ø Ú ØÖ Ø ÙÒ ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú Ô Ö Ñ ØÖÓ (r, a a+1 )º º½º¾º ÈÖÙ Ù Ø Ô ÖØ Ö Ð Ò ÓÖÑ Ò ÑÙ ØÖ Ð Ò Ð Ù ÖÓ º½ ÔÖ Ó ¹ Ø Ñ Ö Ð Ú ÐÓÖ ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ a Ý r Ý Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÔÖÙ Ù Ø χ 2 ÕÙ ÓÒ ÖÑ Ð ØÖ Ù Ò ÔÖÓÔÙ Ø Ú Ö ÊÙ Þ Å Ý Ý Å ÖØ Ò ÈÐ Ó ½ º Ò ÓÒÓ Ò Ð Ø ÓÖ Ø Ø ÔÓ Ù Ø Ò Ø ÑÓ Ø Ñ Ö ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ñ ÒØ Ñ Ü Ñ Ú ÖÓ Ñ Ð ØÙ º ÔÐ Ò Ó Ø Ñ ØÓ Ó Ú Ö ÑÓ ÕÙ ÐÐ ÙÒ Ù Ò ÒÓ Ð Ò Ð ÕÙ ÔÖ Ó Ö ÓÐÚ Ö Ñ ÒØ Ñ ØÓ Ó ÒÙÑ Ö Ó º Ñ ÑÓ Ý Ò Ó ÕÙ ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ø Ö Ó Ð ÔÖÙ Ù Ø χ 2 ÒÓ Ø Ò ÑÓ ØÖ Ó Ô Ö Ð Ø Ñ Ò ÔÓÖ ÑÓÑ ÒØÓ ÔÐ ÒØ ÑÓ Ø Ñ ØÓ Ó Ð Ñ ÝÓÖ Ð Ò Ð Ó Ø Ò Ò Ð Ø Ñ ÓÒ º Ø Ñ Ò Ñ Ü ÑÓ Ú ÖÓ Ñ Ð Ô ÖØ Ö ÙÒ ÑÙ ØÖ Ð ØÓÖ ÑÔÐ x = (x 1,...,x n ) Ð ÙÒ Ò Ú ÖÓ Ñ Ð ØÙ ( ) ( ) r+x1 1 a 1 L( x,a,r) = ( x 1 a+1 )r ( a+1 )x 1 r +x2 1 a 1 ( x 2 a+1 )r ( a+1 )x 2... ( ) n r +xi 1 a 1 = ( a+1 )rn ( a+1 )x x n i=1 x i ÌÓÑ Ò Ó ÐÓ Ö ØÑÓ Ò Ô Ö ÒÓ ( ) n r +xi 1 a lnl( x,a,r) = ln +rnln( x i=1 i a+1 )+n xln( 1 a+1 ) ( ) n r +xi 1 a = ln +rnln( x i=1 i a+1 ) n xln(a+1) Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ ( ) r +xi 1 = (x+x i 1) = 1 x i 1 (r +x i 1 j) º¾µ x i!(r 1)! x i x i j=0

35 ¾ È ÌÍÄÇ º ËÇ ÁÄÍËÌÊ ÌÁÎÇ Ë Ó Ø Ò n x i 1 a lnl( x,a,r) = ( ln(r +x i 1 j) lnx i!)+rnln( a+1 ) n xln(a+1) º µ i=1 j=0 È Ö Ó Ø Ò Ö ÐÓ Ø Ñ ÓÖ r Ý a ÔÓÖ Ð Ñ ØÓ Ó Ñ Ü Ñ Ú ¹ ÖÓ Ñ Ð ØÙ Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ ÕÙ Ñ Ü Ñ Þ Ò º µ Ô Ö ÐÐÓ Ö Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ô ØÓ a Ý r Ù Ð ÑÓ ÖÓ lnl( x, a, r) a = rn (a+1) a (a+1) 2 a a+1 n x 1 a+1 = rn 1 a(a+1) n x 1 a+1 = 0 r 1 a x = 0 r a = x â MV = r x lnl( x, a, r) r n x i 1 = ( i=1 j=0 1 (r +x i 1 j) )+nln a a+1 = 0 ËÙ Ø ØÙÝ Ò Ó Ð Ú ÐÓÖ a = r x Ò Ø Ù Ò Ö ÙÐØ n x i 1 r 1 ( r+x i=1 j=0 i 1 j )+nln x r x +1 = 0 Ô ÖØ Ö Ð Ò ÓÖÑ Ò ÑÙ ØÖ Ð Ð Ù ÖÓ º½ Ð Ø Ñ Ù ¹ ÓÒ Ö ÓÐÚ Ö 2997 r r r r r r+5 r 0, a = 23589(lnr ln(r +0, )) = 0 } Ê ÓÐÚ Ò Ó ÒÙÑ Ö Ñ ÒØ Ø Ù Ò ½ Ó Ø Ò â MV = 7,7513 ˆr MV = 1,1179º Ø Ñ Ò ÔÓÖ ÑÓÑ ÒØÓ È Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ø Ñ ÓÒ ÔÓÖ ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø ÑÓ ÑÔÓÒ Ö Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ù Ð Ò ÐÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ø Ö Ó ÐÓ ÑÓÑ ÒØÓ ÑÙ ØÖ Ð º ØÓ EX = x VarX = s 2 X º ½ Ø ÓÐÙ Ò Ó Ó Ø Ò Ñ ÒØ Ñ ØÓ Ó ÒÙÑ Ö Ó ÙÝÓ ÖÖÓÐÐÓ Ô ÐÓ Ó Ø ÚÓ Ð ÔÖ ÒØ ØÖ Óº

36 º½º ËÁÌÍ Á Æ È Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ô Ö ÒÞ Ð ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú Bn(r,p) ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÙÒ Ò Ò Ö ØÖ Þ α X (u) = p r (1 e u q) r dα X (u) du = p r ( r)(1 e u q) r 1 ( e u q) dα X (u) (u = 0) = r(1 p) = E(X) du p Ñ ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ø Ñ Ò Ù Ú Ö ÒÞ dα X (u) du 2 = p r rq[(r +1)e 2u q(1 e u q) r 2 +(1 e u q) r 1 e u ] dα X (u = 0) du 2 = r(r +1)q2 +rqp p 2 Var(X) = E(X) 2 [E(X)] 2 = rq p 2 ÍÒ Ú Þ Ó Ø Ò Ó ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ô Ö ÑÓ Ø Ñ Ö ÔÓÖ Ð Ñ ØÓ Ó ÑÓÑ ÒØÓ ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ Ù Ò X ÈÖ Ñ ÖÓ ÐÙÐ Ö ÑÓ Ð Ñ ÑÙ ØÖ Ð x = ÓÒØ ÒÙ Ò Ð Ú Ö ÒÞ ÑÙ ØÖ Ð s 2 X = 7 i=1 = 0, x 2 i n i N ( x)2 = 0, Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ p = a+1 a Ó Ø Ò Ð Ø Ñ r(1 a a+1 ) a a+1 r(1 a a+1 ) ( a = 0, = 0, a+1 )2

37 È ÌÍÄÇ º ËÇ ÁÄÍËÌÊ ÌÁÎÇ ÓÒ â = 7, Ý ˆr = 1, º ÒØÓÒ Bn(r,p) = Bn(1, ,0, )º ÓÖ Ó Ø Ò Ö ÑÓ Ð Ø Ð Ö Ù Ò Ø Ñ Ô Ö Ð Ð X = 0,X = 1,X = 3 Ý X 4º ( ) 1, P(X = 0) = (0, ) 1, (0, ) 0 0 = 0, ( 1, P(X = 1) = 1 = 0, ( 1, P(X = 2) = 2 = 0, ( 1, P(X = 3) = 3 = 0, ) (0, ) 1, (0, ) ) (0, ) 1, (0, ) 2 ) (0, ) 1, (0, ) 3 P(X 4) = 1 [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)] = 0, ÓÒ ØÓ ØÓ ÔÓ ÑÓ Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÔÖÙ Ù Ø χ 2 ÓÒ ÙÒ Ò Ú Ð Ò Ò Ð 5% Ô Ö Ú Ö Ý Ú Ò Ø Ø ÚÓÖ Ð ¹ Ô Ø ÒÙÐ H 0 Ð ÑÙ ØÖ ÔÖÓ ÙÒ ØÖ Ù ÒBn(1, ,0, )º È Ö ÐÐÓ ÓÒ ØÖÙ ÑÓ Ð Ù ÖÓ º¾ Ý Ú Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ø Ø Ó k (n i ˆn i ) 2 z = = 4, ˆn i=1 i Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ù Ø χ 2 Ð Ø Ø Ó z = k (n i ˆn i ) 2 i=1 ˆn i Ó H 0 Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò χ 2 k r 1 Ö Ó Ð ÖØ ÓÒ k =ÒÓ Ð = 5 r =Ò Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø Ñ Ó = 2º Ò ÒÙ ØÖÓ Ó χ = χ2 2º Ó ÕÙ z = 4, < χ 2 2,0,05 = 5,99 ÒÓ Ö Þ H 0 ÓÒ ÙÒ Ò Ú Ð Ò Ò Ð 5%º

38 º½º ËÁÌÍ Á Æ Ù ÖÓ º¾ Ë ØÙ Ò º ÈÖÙ Ù Ø χ 2 Ð ˆp i ˆp i N ˆn i n i (n i ˆn i ) 2 (n i ˆn i ) 2 ˆn i ¼ ¼º ¾¼ ¼ º ¼¾ ¾ ¾¼ ¼ ¾¼ ¾ ½ ¼º¼¼ ½½ ¾ ¾ ½ ¼º½½¼ ¾ ½ º ¾¼ ¾ ½ ¾ ½ ½¾¾ ¼º ¾ ¾½ ½ ¾ ¼º¼½ ¾ ¼ ½ ¾¾º ¼½ ¾ ¾ ¾º¼ ¾ ¾ ¼º¼¼½ ¾ ¾ ¼ ½ º ¼ ½½ ½ ¼º½¼¾ ½¼¾ 4 ¼º¼¼¼¾ ½ ¼ ¼ º ¼ ¾¾¾¾ ½º º½º º ÈÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ ÓÖ Ø ÑÓ Ò ÓÒ ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ð ÔÖ Ñ Ô Ö Ò ÐÓ ¹ Ù ÒØ ÒÓ Ô Ö Ó Ó Ó ÙÒ Ø Ñ Ø Ö Ò ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ Ý Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø º xi n ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ n x = x i Ð À Ý ÕÙ Ø Ò Ö Ò Ù ÒØ ÕÙ x = Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÓÒ ÓÒ n ÒÓØ Ð Ô Ö Ó Ó Ø ÑÔÓº Ñ Ò Ð Ù ÖÓ º ØÓ Ð ÔÖ Ñ Ô Ö Ò Ò Ø ÒØÓ ÔÓÖ ÒØÓº ÒØÓÒ Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ ÐÙÐ ÓÑÓ P BM = (r +n x)a (a+n)r Ý ÕÙ â = 7, Ý ˆr = 1, Ý Ò Ó Ú ÐÓÖ Ð Ô Ö Ó Ó Ø ÑÔÓ n Ý Ð Ò Ñ ÖÓ Ò ØÖÓ n x Ó Ø Ò Ö ÑÓ Ð Ù ÒØ Ù ÖÓ Ù ÖÓ º Ë ØÙ Ò º ÈÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ n/n x ¼ ½ ¾ ¼ ½¼¼ ½ º¼½ ½ ½º½ ¾ º¾ º ¾¼º ¼ º ½ ¾ º ½ ¾º ½ ¾¾ º¼ ¼½º¾ º º ½ ¼º ½ º¼ ¾¼ º¼ ¾ ¾º½ º½ ¼ º¾¾ º ½¾ º ½ ¾ º½ ¼ º¾ ¼º ½ º ½½ º ½ ½º ¾¾ º¼ ¾ º¾½ ¼º

39 È ÌÍÄÇ º ËÇ ÁÄÍËÌÊ ÌÁÎÇ º¾º Ë ØÙ Ò ÈÐ ÒØ Ö ÑÓ ÙÒ ÙÒ Ô Ø ÔÓÖ r X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú Bn(r, Ù ÒØ ( ) r +x 1 P(x/θ) = ( r x r+θ )r ( θ r+θ )x x = 0,1,2,.. r+θ ) ÙÝ ÙÒ Ò Ý θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò Ø ÙÒ Ô ÓÒ r,a,b > 0 Ý ÙÒ Ò Ò ÓÒ B(a,b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a+b) Ý θ > 0º θ b 1 π(θ) = ra B(a, b) (r +θ) a+b Ò Ø Ó Ý ÓÒ Ð Ò ÐÙÐ Ö Ð ÔÓÖ ÒØ ÔÖ Ñ ÔÐ Ö Ò Ô Ö Ó Ó ÙÒ Ò Ú ÙÓ Ó Ù Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÓÒ Ó ÙÒ Ø Ñ Ø Ö Ò ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ Ý Ð ÔÖ Ò Ô Ó ÔÖ Ñ Ò Ø Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ Ù Ö Ó ÓÒ Ð ÑÔÐÓ º P BM = (b+n x)(a 1) (a+nr 1)b ÕÙ Ó Ø Ò Ð Ó ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ý Ý Ð ÔÖ Ñ ÓÐ Ø Ú º ÒÙ ÚÓ Ô Ö ÔÓ Ö ÙØ Ð Þ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ð ÖÑÙÐ Ø Ö Ò ÒØ Ö ÓÖ Ö ÑÓ Ö Ð Þ Ö ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ð Ù ÒØ Ò Ð Ø Ø Óº º¾º½º ØÖ Ù Ò ÒÓÒ ÓÒ ÈÖ Ñ ÖÓ Ö ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ð ØÖ Ù Ò ÒÓÒ ÓÒ X Ø Ò Ò¹ r Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ X/θ Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú Bn(r, r+θ ) Ò Ð ÕÙ θ ÓÑÔÓÖØ ÓÑÓ ÙÒ Ø ÙÒ Ô (r,a,b)º Ø ØÖ Ù Ò ÓÑÔÙ Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ù ÒØ Ñ Ò Ö P(X = k) = = 0 0 P(k/θ)π(θ)dθ ( ) r+k 1 r θ r a ( k r +θ )r ( r +θ )k ( B(a,b) )( θ b 1 (r +θ) a+b)dθ

40 º¾º ËÁÌÍ Á Æ = = = ( r +k 1 k ( r +k 1 k ( r +k 1 k ) 1 r a r θ θ b 1 ( B(a, b) 0 r +θ )r ( r +θ )k (r +θ) a+bdθ ) 1 r a+r θ k+b 1 B(a, b) 0 (r +θ) r+k+a+bdθ ) B(a+r,b+k) ; k = 0,1,2... B(a, b) Ø Ö ÙÐØ Ó ÐÓ Ó Ø Ò ÑÓ Ò Ó ÕÙ Ð ÙÒ Ò Ò ÙÒ Ø ÒØ Ö Ð ÙÒ Ö θ b 1 π(θ) = ra B(a, b) (r +θ) a+b 0 r a ( B(a,b) )( θ b 1 (r +θ) a+b)dθ = 1 0 r a (r +θ) a+bdθ = B(a,b) º¾º¾º Ø Ñ Ò Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø ØÖ Ù Ò Ô Ò ØÖ Ô Ö Ñ ØÖÓ a b Ý r ÕÙ Ø Ñ Ö ÑÓ Ô ÖØ Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ ÑÙ ØÖ Ð º Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð Ë ØÙ Ò Ý ÓÒ Ð Ò ÓÑÔ Ö Ö ÐÓ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÔÖÓÔÓÒ Ö ÑÓ Ø ÒØÓ Ð Ø Ñ Ò Ñ Ü ÑÓ Ú ÖÓ Ñ Ð ÓÑÓ Ð Ø Ñ Ò ÔÓÖ ÑÓÑ ÒØÓ º Ø Ñ Ò Ñ Ü ÑÓ Ú ÖÓ Ñ Ð È Ö ÙÒ Ñº º º Ø Ñ Ó n x = (x 1,...,x n ) Ð ÙÒ Ò Ú ÖÓ Ñ Ð ØÙ ( ) n r+xi 1 B(a+r,b+xi ) L( x,a,b,r) = x i=1 i B(a, b) ÓÒ B(a,b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a+b) º Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ Ð ÔÖÓÔ Ð ÙÒ Ò ÑÑ r 1 Γ(a+r) = (a+r)...(a+1)γ(a) = (a+r j)γ(a) j=0 Γ(b+x i ) = (b+x i )...(b+1)γ(b) = x i 1 j=0 (b+x i j)γ(b)

41 È ÌÍÄÇ º ËÇ ÁÄÍËÌÊ ÌÁÎÇ Ñ Γ(a+b+r +x i ) = (a+b+r+x i )...(a+b+1)γ(a+b) ( r+xi 1 x i = ) r+x i 1 = j=0 x i 1 j=0 (a+b+r +x i j)γ(a+b) (r +x i 1 j) 1 x i! ÓÒ n xi 1 j=0 L( x,a,b,r) = (r +x i 1 j) r 1 j=0 (a+r j) x i 1 j=0 (b+x i j) x i=1 i! r+xi 1 j=0 (a+b+r+x i j) ÌÓÑ Ò Ó ÐÓ Ö ØÑÓ lnl( x,a,b,r) = + n x i 1 r 1 [ ln(r +x i 1 j)+ ln(a+r j) i=1 j=0 j=0 x i 1 j=0 r+x i 1 ln(b+x i j) lnx i! j=0 ln(a+b+r x i j)] Ö Ú Ò Ó Ö Ô ØÓ ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ a b Ý r Ó Ø Ò Ð Ø Ñ Ù ÓÒ ÒÓ Ð Ò Ð lnl( x,a,b,r) a lnl( x,a,b,r) a n r 1 = [ i=1 j=0 n x i 1 = [ i=1 j=0 r+xi 1 1 a+r j j=0 r+xi 1 1 b+x i j j=0 1 a+b+r+x i j ] = 0 1 a+b+r+x i j ] = 0 lnl( x,a,b,r) a Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ = n x i 1 [ i=1 j=0 r+x i 1 j=0 r 1 1 r +x i 1 j + j=0 1 a+b+r +x i j ] = 0 1 a+r j r 1 n j=0 1 n a+r j i=1 r+x i 1 j=0 1 a+b+r +x i j = 0

42 º¾º ËÁÌÍ Á Æ r 1 n j=0 1 n a+r j + i=1 n x i 1 [ i=1 j=0 x i 1 [ j=0 r+xi 1 1 b+x i j j=0 r+xi 1 1 r+x i 1 j j=0 1 a+b+r +x i j ] = 0 1 a+b+r +x i j ] = 0 Ø Ø Ñ Ò Ø Ñ ØÓ Ó ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö Ù Ö ÓÐÙ Ò ¾ º ÍØ Ð Þ Ò¹ Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Ò â MV = 51,1597 Ý ˆb MV = ˆr MV = 2,6895º Ø Ñ Ò ÔÓÖ ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ò ØÖ Ù ÓÒ Ù Ð Ò Ó ÐÓ ÑÓÑ ÒØÓ ÓÖ Ò Ö Ó ÓÖ Ò ÙÒÓ Ó Ý ØÖ Ð ØÖ Ù Ò ÐÓ Ð ÑÙ ØÖ º Ð Ø Ñ Ù ÓÒ ÕÙ ÔÐ ÒØ EX = EX 2 = EX 3 = n i=1 n i=1 n i=1 x i n i N = = 0, x 2 i n i N = x 3 i n i N = = 0, = 0, È Ö ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ò Ò Ø ÑÓ E(X) ÓÒ E(X) = E θ (E(X/θ)) Ñ ÑÓ ÕÙ E(X/θ) = θ ÐÙ Ó EX = E(θ) = rb a 1 º ÒØÓÒ Ø Ò ÑÓ ÕÙ rb a 1 = 0, È Ö ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÙÒ Ù Ò Ò Ø ÑÓ E(X 2 ) E(X 2 ) = E θ (E(X 2 /θ)) = E θ (Var(X/θ)+[E(X/θ)] 2 θ(r +θ) ) = E θ ( +θ 2 ) r ¾ Ø ÓÐÙ Ò Ó Ó Ø Ò Ñ ÒØ Ñ ØÓ Ó ÒÙÑ Ö Ó ÙÝÓ ÖÖÓÐÐÓ Ô ÐÓ Ó Ø ÚÓ Ð ÔÖ ÒØ ØÖ Óº

43 ¼ È ÌÍÄÇ º ËÇ ÁÄÍËÌÊ ÌÁÎÇ Ø Ö ÙÐØ Ó ÐÓ Ó Ø Ò ÑÓ Var(X/θ) = r θ r+θ ( r ÓÒØ ÒÙ Ò Ó ÓÒ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ = rθ r+θ = θ(r+θ) r+θ )2 r 2 r º (r+θ) 2 E(X 2 θ(r +θ) ) = E θ ( +θ 2 ) = E θ (θ)+ 1 r r E θ(θ 2 )+E θ (θ 2 ) = E θ (θ)+ r +1 E θ (θ 2 ) = rb r a 1 + r +1 r 2 b(b+1) r (a 1)(a 2) ÒØÓÒ Ø Ò ÑÓ ÕÙ rb a 1 + r+1 r r 2 b(b+1) (a 1)(a 2) = 0, È Ö ÓÑÔÐ Ø Ö Ð Ø Ö Ö Ù Ò Ò Ø ÑÓ E(X 3 ) ÓÒ E(X 3 ) = E θ (E(X 3 /θ))º ÈÖ Ñ ÖÓ Ò Ø ÑÓ ÐÙÐ Ö E(X 3 /θ) Ö Ð ÑÓÑ ÒØÓ ÓÖ Ò Ö Ó ÓÖ Ò ÙÒ Ú Ö Ð ÓÒ ØÖ Ù Ò ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú º À ÐÐ Ò Ó Ð Ø Ö Ö Ö Ú Ð ÙÒ Ò Ò Ö ØÖ Þ Ò Ð ÖÓ Ø Ò¹ Ö ÑÓ Ð ÑÓÑ ÒØÓ ÓÖ Ò Ö Ó Ø Ö Ö ÓÖ Òº Ä ÙÒ Ò Ò Ö ØÖ Þ Bn(r,p)µ α X (u) = p r (1 e u q) r α X(u) = p r rq[e u (1 e u q) r 1 +(r 1)qe 2u (1 e u q) r 2 + (r +1)q[2e 2u (1 e u q) r 2 +e 2u ( r 2)(1 e u q) r 3 ( qe u )]] X(u = 0) = rqp r 1 (r +1)q 2 (r +2)q [ + pr+1 p r+2 +q(r +1)( + pr+2 p r+3 )] p r = rq[ p r+1 + pr (r +1)q p r+2 +q(r +1)[ 2pr (r +2)qpr + pr+2 p r+3 ]] = rq[ 1 (r +1)q + p p 2 +q(r +1)( 2 (r +2)q + p2 p 3 )] = rq p + r(r+1)q2 p 2 + 2q2 (r +1)r p 2 + q3 (r +2)(r +1)r p 3 α = rq p + 3r(r +1)q2 p 2 + q3 (r +1)(r +2)r p 3 ËÙ Ø ØÙÝ Ò Ó ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ p = r r+θ Ý q = θ r+θ Ó Ø Ò E(X 3 /θ) = θ+ θ2 r θ3 3(r +1)+ r2(r +1)(r +2)

44 º¾º ËÁÌÍ Á Æ ½ ÈÓÖ ÐÓ ÕÙ E(X 3 ) = E θ (E(X 3 /θ)) = E θ [(θ + θ2 θ3 3(r +1)+ r r2(r +1)(r +2))] 3(r +1) = E θ (θ)+ E θ (θ 2 (r +1)(r +2) )+ r r 2 E θ (θ 3 ) rb 3(r +1) = + r 2 b(b+1) a 1 r (a 1)(a 2) (r +1)(r +2) + r 2 r 3 b(b+1)(b+2) (a 1)(a 2)(a 3) Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ θ Ø (r,a,b) E(θ 2 ) = r a 1 θ b 1 θ 3 0 B(a, b) (r +θ) a+bdθ = 1 r a θ b+2 B(a, b) 0 (r +θ) a+bdθ r 3 = r a 3 θ b+2 r3 B(a, b) 0 (r +θ) a+bdθ = B(a,b) B(a 3,b+3) = r 2Γ(a+b) Γ(a 3)Γ(b+3) = r 3 Γ(a 3)(b+2)(b+1)bΓ(b) Γ(a)Γ(b) Γ(a+b) (a 1)(a 2)(a 3)Γ(b)Γ(a 3) = r 3 (b+2)(b+1)b (a 1)(a 2)(a 3) ÒØÓÒ Ð Ø Ö Ö Ù Ò Ö ÙÐØ Ö rb 3(r +1)r(b+1)b (r +1)(r +2)rb(b+2)(b+1) + + = 0, a 1 (a 1)(a 2) (a 1)(a 2)(a 3) ÈÓÖ ÐÓ ÓÒ Ù ÒØ Ð Ø Ñ Ù ÓÒ Ù Ó rb a 1 = 0, rb a 1 + (r+1)rb(b+1) (a 1)(a 2) = 0, rb a 1 + 3(r+1)rb(b+1) (a 1)(a 2) + (r+1)(r+2)rb(b+2)(b+1) (a 1)(a 2)(a 3) = 0, Ç ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ ÇÔ Ö Ò Ó Ö ÙÐØ rb a 1 = 0, (r+1)(b+1) a 2 = 0, (r+2)(b+2) a 3 = 0, â M = 18, º µ º µ

45 ¾ È ÌÍÄÇ º ËÇ ÁÄÍËÌÊ ÌÁÎÇ Ð Ù Ò b 2 1, b + 2, = 0 ÕÙ ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÒÓ Ø Ò ÓÐÙ Ò Ü Ø Ò Rº ÔÓÖ Ó ÕÙ ÑÓ Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÓÐÙ Ò ÔÖÓÜ Ñ Ð Ø Ñ º µº Á Ù Ð Ò Ó r = b Ý Ù Ø ØÙÝ Ò ÓÐÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ò Ó Ø Ñ Ó Ø Ò ˆr =ˆb = 1, º Ë ØÓ Ú ÐÓÖ ÐÓ Ù Ø ØÙ ÑÓ Ò Ð Ø Ñ º µ Ú Ö ÑÓ ÕÙ (r +1)(b+1) a 2 (r +2)(b+2) a 3 rb a 1 = 0, = 0, , = 0, , ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÓÐÙ Ò Ó Ø Ò Ø ÓÖÑ ÙÒ Ñ Ð ÔÖÓÜ Ñ ¹ Ò Ô ÖÓ ÔÙ Ö ÓÒ Ö ÓÑÓ Ú ÐÓÖ Ò Ð Ý ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ Ù Ú Ø Ó Ø Ò Ö Ð ÓÐÙ Ò â M = 50,9214 Ý ˆr M =ˆb M = 2,6832º Ò Ø Ó rb a 1 = 0, (r +1)(b+1) = 0,2773 0, a 2 (r +2)(b+2) = 0, , a 3 ÐÓ ÕÙ ÓÒ Ø ØÙÝ ÙÒ Ñ ÓÖ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ð ÓÐÙ Ò Ð Ø Ñ º µº ÓÖ Ó Ø Ò Ö ÑÓ Ð Ø Ð Ö Ù Ò Ø Ñ Ô Ö Ð Ð X = 0 X = 1 X = 2 X = 3 Ý X 4º P(X = k) = ( r +k 1 k ) B(a+r,b+k) B(a, b) â = 50,9214 ˆb = ˆr = 2,6832 Ø ÓÐÙ Ò Ó Ó Ø Ò Ñ ÒØ Ñ ØÓ Ó ÒÙÑ Ö Ó ÙÝÓ ÖÖÓÐÐÓ Ô ÐÓ Ó Ø ÚÓ Ð ÔÖ ÒØ ØÖ Óº

46 º¾º ËÁÌÍ Á Æ a+b = a+r = 53,6046 a+b+r = 56,2878 Ñ Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ Ø Ò Ö Ò Ù ÒØ ÕÙ Γ(a+r) = Γ(a+b) = Γ(53,6046) = 8, Γ(a+b+r) = Γ(56,2878) = 4, Γ(a) = Γ(50,9214) = 2, } P(X = 0) = ( r 1 0 = 0, ) B(a+r,b) B(a, b) = Γ(a+r)Γ(a+b) Γ(a)Γ(a+b+r) P(X = 1) = ( r 1 = 0, ) B(a+r,b+1) B(a, b) = rb P(X = 0) (a+b+r) P(X = 2) = ( r+1 2 = 0, ) B(a+r,b+2) B(a, b) = (r +1)(b+1) P(X = 1) 2(a+b+r +1) P(X = 3) = ( r+2 3 = 0, ) B(a+r,b+3) B(a, b) = (r +2)(b+2) P(X = 2) 3(a+b+r +2) P(X 4) = 1 P(X < 4) = 0, ÓÒ ØÓ ØÓ ÔÓ ÑÓ Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÔÖÙ Ù Ø χ 2 ÓÒ ÙÒ Ò Ú Ð Ò Ò Ð 5% Ô Ö Ú Ö Ý Ú Ò Ø Ø ÚÓÖ Ð Ô Ø ÔÐ ÒØ º

47 È ÌÍÄÇ º ËÇ ÁÄÍËÌÊ ÌÁÎÇ Ù ÖÓ º Ë ØÙ Ò º ÈÖÙ Ù Ø χ 2 Ð ˆp i ˆn i = ˆp i N ˆn i n i (n i ˆn i ) 2 (n i ˆn i ) 2 ˆn i ¼ ¼º ½ ¾¼ º½ ¾¼ ¾¼ ¾ ¾ ¼º¼¼½¾½ ½ ¼º½½½ ¾ º ¼ ¾ ¾ ½ ¾ ¼º¼ ½ ¼¼½ ¾ ¼º¼½ ¾¾ ½½º ¾ ½¾ ¾ ¾¾ ¼º ¾½½ ¾ ¼º¼¼½ º½¾ ½ ¼º½¼¾ ½¼¾ 4 ¼º¼¼¼¾ º ¼ ½ ¼º½ Ò Ø Ó Ð Ø Ø Ó k (n i ˆn i ) 2 z = = 1, ˆn i i=1 Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ù Ø χ 2 Ð Ø Ø Ó z = k (n i ˆn i ) 2 i=1 ˆn i Ó H 0 Ù ÙÒ ØÖ Ù Ò χ 2 k r 1 Ö Ó Ð ÖØ ÓÒ k =ÒÓ Ð = 5 r =Ò Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø Ñ Ó = 3º Ò ÒÙ ØÖÓ Ó χ = χ2 1º Ó ÕÙ z = 1, < χ 2 1,0,05 = 3,84 ÒÓ Ö Þ H 0 ÓÒ ÙÒ Ò Ú Ð Ò Ò Ð 5%º º¾º º ÈÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ ÓÑÓ ÒÓ Ö Þ Ð Ô Ø ÒÙÐ Ø ÑÓ Ò ØÙ Ò ÙØ Ð Þ Ö Ð ÖÑÙÐ Ø Ö Ò Ð ØÙ Ò ÔÓÖ P BM = (b+n x)(a 1) (a+nr 1)b ÒÙ ÚÓ n ÒÓØ Ð Ô Ö Ó Ó Ø ÑÔÓ Ý n x = x i Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÓÒ º Ñ Ò Ð Ù ÖÓ º ØÓ Ð ÔÖ Ñ Ô Ö Ò Ò Ø ÒØÓ ÔÓÖ ÒØÓº Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ â M = 50,9214 Ý ˆb M = ˆr M = 2,6832 Ý Ò Ó Ú ÐÓÖ ÐÓ Ô Ö Ó Ó Ø ÑÔÓ n Ý Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÓÒ n x Ó Ø Ò Ð Ø Ñ Ò Ð ÔÖ Ñ Ô Ö Ø ÒØÓ Ô Ö Ó Ó Ý Ø ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÖÓ º

48 º º ÇÆ ÄÍËÁÇÆ Ë Ù ÖÓ º Ë ØÙ Ò º ÈÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ n/n x ¼ ½ ¾ ¼ ½¼¼ ½ º ¼ ½ ¼º¾ ½ º ¾¼½º¼¼ ¾ º ¾ ½º ¾ ¼º¾ ½¾ º ½ º ¼ ½ ½º¾ ¾¾ º ¼ ¾ º º½½ ½½ º¾½ ½ ¼º ¼ ½ ¾º ¼ ¾½ º ¾ º ¾º ½ ½½¾º ½ º ½ º ¾¼ º¼¼ ¾ º º ¾ ½¼ º½ ½ º ½ º ½ º ¾ ¾¾ º Ù ÖÓ º Ö Ù Ò Ø Ñ n i ˆn i ØÙ Ò µ ˆn i ØÙ Ò µ ¼ ¾¼ ¾ ¾¼ ¼ ¾¼ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ¼ ½ ½ ½ ¼ ¼ º º ÓÒÐÙ ÓÒ Ò Ð Ù ÖÓ º ÑÙ ØÖ Ò Ð Ò Ñ ÖÓ Ò ØÖÓ Ó ÖÚ Ó Ý Ø ¹ Ñ Ó Ó Ð Ó ØÙ ÓÒ ÓÒ Ö º ÓÒ Ô Ö Ð Ë ØÙ Ò ÑÓ ÐÙÐ Ó ( 1, P(X = 4) = 4 = 0, ) (0, ) 1, (0, ) 4 ( 1, P(X = 5) = 5 = 0, ) (0, ) 1, (0, ) 5

49 È ÌÍÄÇ º ËÇ ÁÄÍËÌÊ ÌÁÎÇ P(X > 5) = 1 [P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3) + P(X = 4)+P(X = 5)] = 0, Ñ Ô Ö Ð Ë ØÙ Ò P(X = 4) = (r +3)(b+3) P(X = 3) = 0, (a+b+r+3) P(X = 5) = = ( r+4 5 ) B(a+r,b+5) B(a, b) (r +4)(b+4) P(X = 4) = 0, (a+b+r +4) P(X > 5) = 1 [P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3) + P(X = 4)+P(X = 5)] = 0, ÓÑÓ ÔÖ Ò Ð Ù ÖÓ º Ð Ë ØÙ Ò ÐÙ Ö ÙÒ Ù Ø Ð Ö Ñ ÒØ Ñ ÓÖ ÓÒ ÖÑ Ó ÔÓÖ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ð Ø Ø Ó Ñ ÒÓÖµº Ñ ÑÓ Ð ÔÖ Ñ ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ Ó Ø Ò Ô Ö Ñ Ó ÑÓ ÐÓ ÑÙ ØÖ Ò Ò ÐÓ Ù ÖÓ º Ý º¾º Ò Ñ Ø Ð Ú Ö Ò Ð Ö Ð ØÖ Ò Ò Ö Ø Ò Ð Ë ¹ Ò º º ÔÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ò Ñ ØÙ ÓÒ Ð ÔÖ Ñ ¹ Ñ ÒÙÝ Ò Ñ ÕÙ Ô Ò ÐÓ Ó Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð Ò Ñ ÖÓ Ò ØÖÓ º ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó Ò Ñ ØÙ ÓÒ Ð ÔÖ Ñ ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ñ ÕÙ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ Ò ØÖÓ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ó Óº Ì Ñ Ò ÔÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ò Ð Ë ØÙ Ò ÒÓ Ý Ò Ò Ò Ò ØÖÓ Ð ÔÖ Ñ ÓÒ Ñ Ô ÕÙ ÕÙ Ò Ð Ë ØÙ Ò Ô ÖÓ Ù Ú Þ Ð Ò Ò ØÖÓ Ð ÔÖ Ñ ÓÒ Ñ ÐØ º Ñ ÑÓ Ý Ò ÒÓ Ò Ó Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÓÖ ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÙÒ ÔÖÙ Ù Ø χ 2 Ò Ð Ó ØÙ ÓÒ ÔÐ ÒØ ÐÓ Ú ÐÓÖ ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø Ñ Ó Ò Ó ÐÙ Ö ÒÓ Ö Þ Ö Ð H 0 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÓ Ö ØÙ Ö Ð Ø Ö Ò Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ó ØÙ ÓÒ ÔÖÓÔÙ Ø º

50 Ð Ó Ö Ð Ý ½ Ð Ý º ½ µº Ò Ö Ð Þ Ø ÓÖÝ Ó Ö Ð Øݺ ÈÖÓ ¹ Ò Ó Ø Ù ÐØÝ ØÙÖ Ð ËÓ ØÝ ÁÁ ½ ½ ¹¾¼º Ö Ò Ø Ðº ¾¼¼ Ö Ò Åº ÖÒ Ò Þ Ãº ÖÖ Ö º Ò Ö Ò Åº º ¾¼¼ µº Ð Ñ ÒØÓ ÈÖÓ Ð Ý Ø Ø Ö ÔØ Ú º Ë ÖÚ Ó ØÓÖ Ð Ð ÍÈÎ ÀÍ Ð Óº ÓÐ Ò ¾¼¼ ÓÐ Ò Èº ¾¼¼ µº ËØ Ø Ø Ð Ò ÔÖÓ Ð Ø Ñ Ø Ó Ò ØÙ Ö Ð Ò º ÔÑ Ò & À Ðл Ê ÄÓÒ ÓÒº ÓÙ Ö Ý ÒÙ Ø ¾¼¼ ÓÙ Ö ÂºÈº Ý ÒÙ Ø Åº ¾¼¼ µº Ö Ð ØÝ ÔÖ ¹ Ñ ÙÑ ÓÖ Ø Þ ÖÓ¹ Ò Ø ÈÓ ÓÒ ÑÓ Ð Ò Ò Û ÙÒ Ö ÓÖ ÓÒÙ Ò¹ Ø ÖÔÖ Ø Ø ÓÒº ÁÒ ÙÖ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÓÒÓÑ º ÐÑ ÒÒ ½ ÐÑ ÒÒ Àº ½ µº ÜÔ Ö Ò Ö Ø Ò Ò Ö Ð Øݺ Ø Ò ÙÐÐ Ø Ò ½ ¹¾¼ º ÐÑ ÒÒ ½ ÐÑ ÒÒ Àº ½ µº Å Ò Ñ Ü Ö Ð Øݺ ÁÒ Ã Ò ÈºÅº ºº Ö Ð ØÝ Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ñ ÈÖ Æ Û ÓÖ ½¹¾¾º ÐÑ ÒÒ Ý ËØÖ Ù ½ ¾ ÐÑ ÒÒ Àº Ý ËØÖ Ù º ½ ¾µº Ö Ð ØÝ ÓÖ ÐÓ Ö Ø Ó º ØÙ Ö Ð Ê Ö Ð Ö Ò ÀÓÙ ¾º Ò Ù Ö Ø Ðº ½ Ò Ù Ö Âº Ä Ò Âº Ý Ê ØØ Ëº ½ µº ÑÑ ¹Ñ Ò Ñ Ü Ö ÙÐØ Ò Ö Ð ØÝ Ø ÓÖݺ ÁÒ ÙÖ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÓÒÓÑ ¹ º

51 Á ÄÁÇ Ê ÖÖ Ö Ý Ö Ò ¾¼½¼ ÖÖ Ö º Ý Ö Ò º ¾¼½¼µº Ø Ø ØÙ ¹ Ö Ð ÅÓ ÐÓ ØÓ Ø Ó º ÆÓØ Ð º ÔÓÒ Ð Ò Ú Ö Ò ºÔ Ò ¹ Ö ÔÙ Ð ÓÒ Ë ÖÖ Ó¹ÓÒÐ Ò ÒØÖÓ Ð Ö ÔÓ ØÓÖ Ó Ð ÍÈλ ÀÍ Á ØØÔ»» к Ò Ð ºÒ Ø»½¼ ½¼»½¾ ¼¼º Ø Ðº ¾¼¼ ĺ ŠȺ Ý ËÐÓÛ ¾¼¼ µº ÇÔØ Ñ Ð ØÖ Ñ Ó ÔÖ Ñ ÙÑ Ò ÑÙÐØ Ô Ö Ó Ö Ð ØÝ ÑÓ Ð º ÔÔÐ Ø ÓÒ Å Ø Ñ Ø ¾¾ ¹¾ º Ñ Þ¹ Ò Þ Ø Ðº ¾¼¼ Ñ Þ¹ Ò Þ º Ð Ö Ò º Ý Ö Ö Áº ¾¼¼ µº ÑÔÐ Ñ Ø Ó ØÓ ØÙ Ý Ò Ø Ú ØÝ Ó Åȳ º ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò ËØ Ø Ø Ì ÓÖÝ Ò Å Ø Ó ¹ ½º Ñ Þ¹ Ò Þ Ý Ë Ö ¾¼¼ Ñ Þ¹ Ò Þ º Ý Ë Ö Âº ¾¼¼ µº Ì ÓÖ Ð Ö Ð ÖÖÓÐÐÓ Ý ÔÐ ÓÒ Ò ÈÖ Ñ Ë ÙÖÓ Ý Ê Ó ÇÔ Ö ÓÒ Ð º ÙÒ Ò Å È Ê Å Ö º À ÐÑ ÒÒ ½ À ÐÑ ÒÒ Ïº ½ µº ÓÒ Ø ÓÖ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ó Ö Ð ØÝ Ø ÓÖݺ ÁÒ ÙÖ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÓÒÓÑ ¹ º À Û ØØ ½ ¼ À Û ØØ º ½ ¼µº Ö Ð ØÝ ÓÖ Ú Ö Øݺ ÈÖÓ Ò Ó Ø Ù ÐØÝ ØÙ Ö Ð ËÓ ØÝ ½ ¹½ ½º À Ñ ÒÒ ½ À Ñ ÒÒ Âº ½ µº ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ò ØÓÖ Ð ÓÚ ÖÚ Û Ó Ö Ð Øݺ ÁÒ Ö Ð Øݺ Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ⱥź Ã Ò ºº Ñ ÈÖ Æ Û ÓÖ º ÀÓ Ø Ðº ½ ÀÓ Áº ÈÓÐÐ Ö Âº Ò ÒÒÛ ÖØ º ½ µº ÁÒ¹ ØÖÓ ÙØÓÖÝ Ø Ø Ø Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ð Ò ÙÖ Ò º Ñ Ö ÍÒ ¹ Ú Ö ØÝ ÈÖ ÍË º Â Û ÐÐ ½ Â Û ÐРϺ˺ ½ µº Ö Ð Ñ Ò Ö Ü Ø Ý Ò ÓÖ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ñ Ð º Ø Ò ÙÐÐ Ø Ò ¹ ¼º Ä Ñ Ö ½ Ä Ñ Ö Âº ½ µº ÀÓÛ ØÓ Ò ÓÒÙ ¹Ñ ÐÙ Ý Ø Ñ Û Ø Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙØ Ð ØÝ ÙÒØ ÓÒº Ø Ò ÙÐÐ Ø Ò Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ½¼ ¾ ¾ ¾º Ä Ô Þ ÖÓ ½ Ä Ô Þ ÖÓ Åº ½ µº Ø Ø Ô Ö ØÙ Ö Ó º ÙÒ Ò Å Ô Ö ØÙ Ó Å Ö º Å Ý Ö ÓÒ ½ Å Ý Ö ÓÒ ºÄº ½ µº Ý Ò Ú Û Ó Ö Ð Øݺ ÈÖÓ Ò Ó Ø Ù ÐØÝ ØÙ Ö Ð ËÓ ØÝ ½ ¹½¼ º

52 Á ÄÁÇ Ê ÅÓÛ Ö Ý ½ ½ ÅÓÛ Ö Ý º ½ ½ µº ÀÓÛ ÜØ Ò Ú Ô ÝÖÓÐÐ Ò ÖÝ ØÓ Ú Ô Ò Ð ÔÙÖ ÔÖ Ñ ÙÑ º ÈÖÓ Ò Ó Ø Ù ÐØÝ ØÙ Ö Ð ËÓ ØÝ ½ ¾ ¹ ¼º ÊÙ Þ Å Ý Ý Å ÖØ Ò ÈÐ Ó ½ ÊÙ Þ Å Ý Äº Ý Å ÖØ Ò ÈÐ Ó Âº ½ µº ÙÒ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ö Ò Ø Ø a Òº Ì ÓÑ ÓÒ È ¹ Ö Ò Ò Ó Å Ö º Ë Ö Ø Ðº ¾¼¼ Ë Ö Âº Ñ Þ Ò Þ º Ò Î ÞÕÙ Þ ÈÓÐÓ º ¾¼¼ µº Ø Ø ØÙ Ö Ð Ø ÓÖ Ý ÔÐ ÓÒ º ÈÖ ÒØ À ÐÐ Å Ö º Î È Ö Þ ½ ½ Î È Ö Þ º ½ ½µº Ø Ø º ÔÐ ÓÒ Ó¹ ÒÓÑ ØÖ Ý ØÙ Ö Ð º È Ö Ñ Å Ö º Ï ØÒ Ý ½ ½ Ï ØÒ Ý º ½ ½ µº Ì Ø ÓÖÝ Ó ÜÔ Ö Ò Ö Ø Ò º ÈÖÓ¹ Ò Ó Ø Ù ÐØÝ ØÙ Ö Ð ËÓ ØÝ ¾ ¹¾ ¾º Ï ÐÐÑÓØ ½ Ï ÐÐÑÓØ º º ½ µº Ì ÈÓ ÓÒ¹ ÒÚ Ö Ù Ò ØÖ ¹ ÙØ ÓÒ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ØÓ Ø Ò Ø Ú ÒÓÑ Ðº Ë Ò Ò Ú Ò ØÙ Ö Ð ÂÓÙÖÒ Ð ½½ ¹½¾ º