Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág 1

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1 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág Aumenta o disminuye la energía potencial gravitatoria cuando nos movemos desde un punto situado a gran altura en dirección hacia la superficie de la Tierra? Razónelo Cómo son en comparación las velocidades de escape desde la superficie de la Tierra para un camión, una pelota de ping pong y una molécula de oxígeno? Cuál de ellas es mayor? Cuál es el período de Venus alrededor del Sol si sabemos que el radio de su órbita es 0,723 veces el de la Tierra? A 500 km de la superficie de la Tierra se encuentra una estación espacial desde la que se quiere lanzar un satélite para ponerlo en una órbita superior alrededor de la Tierra con radio km. Calcule la velocidad con la que debe ser lanzado para que llegue a esa distancia con velocidad nula. Datos: Radio de la Tierra, RT = 6, m ; Masa de la Tierra, MT = 5, kg ; Constante de la ley de gravitación universal, G = 6, N m 2 kg A finales del año 1933, en la Universidad de Stanford (EE.UU.), Fritz Zwicky y Walter Baade propusieron por primera vez la existencia de las estrellas de neutrones. Estas estrellas, formadas sólo por neutrones, se pueden originar tras la explosión de una supernova. Los neutrones que las forman son el resultado de la fusión de protones y electrones, provocada por la compresión que ejerce el campo gravitatorio de estas estrellas. Para una estrella de neutrones determinada que tiene una masa de 2, kg y un radio de 10 km, calcule: a) el módulo de la intensidad de campo gravitatorio que la estrella de neutrones crea en su propia superficie; b) la velocidad mínima que debemos dar a un cohete durante el lanzamiento desde la superficie de la estrella para que se pueda escapar de la atracción de esta (ignore los posibles efectos relativistas). Demuestre la expresión utilizada para hacer el cálculo y haga mención del principio de conservación en que se basa Analice las siguientes proposiciones, razonando si son verdaderas o falsas: a) El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética; b) La energía cinética necesaria para escapar de la Tierra depende de la elección del origen de energía potencial Calcule la expresión de la tercera ley de Kepler que relaciona el periodo de revolución de un planeta con el radio de su órbita, para el caso de una órbita circular Calcule la máxima altura que alcanzará un objeto de 10 kg situado sobre la superficie de Venus, si se le comunica una velocidad inicial hacia arriba de 5,0 km s 1. A esa altura, a) cuánto valdrá su energía potencial?; b) cuál será su peso?; c) cuál será la velocidad de escape a esa altura? ; Radio de Venus, RV = 6, m ; Masa de Venus, MV = 4, kg Calcule razonadamente la velocidad de escape desde la superficie de un planeta cuyo radio es 2 veces el de la Tierra y su masa es 8 veces la de la Tierra. Datos: Velocidad de escape desde la superficie de la Tierra, ve = 11,2 km s 1

2 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág Calcule: a) la densidad media del planeta Mercurio, sabiendo que posee un radio de km y una intensidad de campo gravitatorio en su superficie de 3,70 N kg 1 ; b) la energía necesaria para enviar una nave espacial de kg de masa desde la superficie del planeta a una órbita en la que el valor de la intensidad de campo gravitatorio sea la cuarta parte de su valor en la superficie Ceres es el planeta enano más pequeño del Sistema Solar y durante muchos años fue considerado un asteroide, ya que está situado en el cinturón que hay entre Marte y Júpiter. Ceres tiene un periodo orbital alrededor del Sol de 4,60 años, su masa es de 9, kg y su radio es de 477 km. Calcule: a) cuál será el valor de la intensidad de campo gravitatorio que Ceres crea en su superficie. Cuál será la velocidad y la energía mecánica mínima de una nave espacial que, saliendo de la superficie, pueda escapar totalmente de la atracción gravitatoria del planeta?; b) la distancia media entre Ceres y el Sol, teniendo en cuenta que la distancia media entre la Tierra y el Sol es de 1, m y que el periodo orbital de la Tierra alrededor del Sol es de un año Comente cada una de las afirmaciones siguientes y razone si son ciertas o falsas: a) El trabajo de una fuerza conservativa aumenta la energía cinética de la partícula y disminuye su energía potencial. b) El trabajo de una fuerza no conservativa aumenta la energía potencial de la partícula y disminuye su energía mecánica Comente las siguientes afirmaciones, razonando si son verdaderas o falsas: a) Existe una función energía potencial asociada a cualquier fuerza. b) El trabajo de una fuerza conservativa sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos es menor si el desplazamiento se realiza a lo largo de la recta que los une Comente las siguientes afirmaciones: a) Un móvil mantiene constante su energía cinética mientras actúa sobre él: a.1) una fuerza; a.2) varias fuerzas. b) Un móvil aumenta su energía potencial mientras actúa sobre él una fuerza Considerando que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es una órbita circular, deduzca la relación entre: a) la energía potencial gravitatoria y la energía cinética de la Luna en su órbita; b) el periodo orbital y el radio de la órbita descrita por la Luna Considere un objeto (un trozo de chatarra espacial) de 400 kg de masa, que se mueve directo hacia la Tierra, en caída libre, exclusivamente bajo la acción del campo gravitatorio terrestre. Su velocidad es de m s 1 a 200 km sobre la superficie de la Tierra. Calcule: a) las energías cinética y potencial que tendrá el objeto a esa altura de 200 km sobre la superficie de la Tierra; b) la altura inicial h0 sobre la superficie de la Tierra desde la que empezó a caer este objeto, suponiendo que su velocidad a esa altura fuese nula. Qué aceleración tendría el objeto en ese punto de partida?; c) la velocidad y la aceleración con la que impactará el objeto en la superficie de la Tierra. ; Masa de la Tierra, MT = 5, kg ; Radio de la Tierra, RT = 6, m

3 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág Deduzca la expresión de la velocidad de un planeta en órbita circular alrededor del Sol, en función de la masa del Sol y del radio de la órbita. Suponiendo que Marte sigue una órbita circular, con un radio de 2, km, a una velocidad v = 8, km h 1, calcule de forma razonada la masa del Sol Defina el concepto de velocidad de escape desde la superficie de un planeta. Deduzca razonadamente su expresión en función del radio y la masa del planeta Defina energía potencial gravitatoria. Explique cómo varía dicha energía para un objeto que se aleja de la Tierra Desde el suelo se dispara verticalmente un proyectil de 20 kg con una velocidad inicial de 5,0 km s 1. a) Represente gráficamente en función de la distancia r al centro de la Tierra las energías cinética y potencial gravitatoria del proyectil si no hay pérdidas de energía por rozamiento, para r mayor que el radio terrestre. Escale el eje de energías en MJ y el de distancias en km. b) Si el rozamiento del aire consume el 22 % de la energía cinética inicial del proyectil, qué altura máxima alcanzará? Datos: Constante de la ley de gravitación universal, G = 6, N m 2 kg 2 ; Radio de la Tierra, RT = 6, m ; Masa de la Tierra, MT = 5, kg Determine la relación que existe entre la energía mecánica de un satélite que describe una órbita circular en torno a un planeta y su energía potencial Determine la velocidad de escape que hay que proporcionar a un satélite en la superficie de la Tierra para ponerlo en órbita circular a una altura de 600 km sobre dicha superficie. Datos: Radio de la Tierra, RT = 6, m ; Masa de la Tierra, MT = 5, kg ; Constante de la ley de gravitación universal, G = 6, N m 2 kg Dos satélites A y B de masas ma y mb (ma<mb), giran alrededor de la Tierra en una órbita circular de radio R. Razone cuál es el enunciado correcto entre: a) Los dos tienen la misma energía mecánica. b) A tiene menor energía potencial y menor energía cinética que B. c) A tiene mayor energía potencial y menor energía cinética que B Dos satélites artificiales de la Tierra S1 y S2 describen en un sistema de referencia geocéntrico dos órbitas circulares, de radios r1 = km y r2 = km respectivamente, contenidas en un mismo plano. En un instante inicial dado, los satélites están alineados con el centro de la Tierra y situados del mismo lado. a) Qué relación existe entre las velocidades orbitales de ambos satélites? b) Qué relación existe entre los periodos orbitales de los satélites? Qué posición ocupará el satélite S2 cuando el satélite S1 haya completado seis vueltas, desde el instante inicial? Dos satélites idénticos se encuentran en órbitas circulares de distinto radio alrededor de la Tierra. Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Cuál de ellos tiene mayor velocidad, el de la órbita de mayor o de menor radio? b) Cuál de los dos tiene mayor energía mecánica? Dos satélites idénticos, A y B, describen orbitas circulares de diferente radio en torno a la Tierra (RA < RB). Por lo que: a) B tiene mayor energía cinética; b) B tiene mayor energía potencial; c) los dos tienen la misma energía mecánica El planeta Tierra tiene km de radio y la aceleración de la gravedad en su superficie es 9,81 m s 2. Calcule: a) la densidad media del planeta; b) la velocidad de escape desde su superficie. Datos: Volumen de una esfera, V = 4 π rr 3 /3 ; Constante de la ley de gravitación universal, G = 6, N m 2 kg 2

4 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág El proyecto ExoMars es una misión espacial con la finalidad de buscar vida en el planeta Marte. En una primera fase, en 2016, constaba de un satélite, el ExoMars Trace Gas Orbiter, en órbita circular alrededor de Marte a 400 km de altura, y un módulo, el Schiaparelli, que debía aterrizar en Marte. Pero cuando el módulo de aterrizaje estaba a 3,7 km de altura sobre Marte, prácticamente parado, los sistemas automáticos interpretaron erróneamente que ya había llegado a la superficie. Al detener los retrocohetes, el módulo se desprendió del paracaídas. Como resultado, el Schiaparelli se precipitó en caída libre. a) Calcule el periodo del ExoMars Trace Gas Orbiter. b) Determine el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte y la velocidad a la que el módulo impactó en la superficie. Datos: Considere que la gravedad es constante durante la caída y la fricción con la atmósfera de Marte se despreciable ; Masa de Marte, MM = 6, kg ; Radio de Marte, RM = 3, m ; Constante de la ley de gravitación universal, G = 6, N m 2 kg El telescopio Hubble ha encontrado lo que podría ser un planeta con varios satélites en la galaxia Alfa Centauri. A partir de las mediciones del telescopio se ha podido deducir que una de las lunas de este planeta tiene una órbita prácticamente circular y que el radio de la misma es de 4, km (se considera que es la distancia del centro del planeta al centro del satélite). A partir de las imágenes del telescopio también se ha podido deducir que el periodo de revolución del satélite alrededor del planeta es de 28 días terrestres. Teniendo en cuenta estos datos, calcule: a) la velocidad con la que gira el satélite alrededor del planeta; b) la masa del planeta. c) Suponga que el planeta tiene otro satélite que orbita a una distancia 1,2 veces la del primer satélite. Cuál es el periodo de revolución de este segundo satélite? d) A qué velocidad se mueve el segundo satélite? Considere todas las órbitas circulares El trabajo realizado por una fuerza conservativa: a) disminuye la energía potencial; b) disminuye la energía cinética; c) aumenta la energía mecánica En el movimiento circular de un satélite en torno a la Tierra, determine: a) la expresión de la energía cinética en función de las masas del satélite y de la Tierra y del radio de la órbita; b) la relación que existe entre su energía mecánica y su energía potencial En la gráfica siguiente se muestra cómo varía la aceleración de un objeto de masa 10 kg que se mueve en línea recta. Qué trabajo se ha realizado sobre el objeto desde la posición x = 0 hasta la posición x = 8,0 m? En relación con la gravedad terrestre, una masa m: a) pesa más en la superficie que a 100 km de altura; b) pesa menos; c) pesa igual.

5 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág Encélado es un satélite de Saturno que describe una órbita de radio km alrededor del planeta. La masa de Saturno es 5, kg y la de Encélado es 1, kg (dato verificado recientemente por una sonda de la NASA). Suponiendo que la trayectoria de Encélado alrededor de Saturno es circular, calcule: a) el tiempo invertido por Encélado para describir una órbita alrededor del planeta; b) la energía cinética de Encélado en su órbita alrededor de Saturno; c) la energía potencial gravitatoria del sistema Saturno Encélado. Hay alguna relación entre el resultado obtenido para la energía potencial gravitatoria del sistema y la energía cinética calculada en el apartado anterior? Encélado es una luna de Saturno que, según anunció la NASA el mes de abril de 2017, podría albergar vida. La masa de Encélado es de 1, kg, tiene un diámetro de 504,2 km y gira alrededor de Saturno con un radio orbital de km. a) Calcule el período orbital de Encélado. b) Obtenga el valor de la gravedad en la superficie de Encélado. Cuánto pesaría allí una persona que en la Tierra pesa 686 N? c) Calcule la velocidad de escape de Encélado. Algunas partículas de polvo escapan de su superficie y se unen a los anillos de Saturno. Calcule la energía total de una partícula de 1,00 g que se une a un anillo que orbita a km del centro de Saturno. ; Masa de Saturno, MS = 5, kg Explique el concepto de energía potencial gravitatoria. Aplíquelo al caso particular de las proximidades de la superficie terrestre Explique qué es la velocidad de escape de un planeta. Deduzca su expresión a partir del principio de conservación de la energía mecánica Explique y razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre una partícula cuando se traslada desde un punto hasta otro es igual a la variación de su energía cinética. b) El trabajo realizado por todas las fuerzas conservativas que actúan sobre una partícula cuando se traslada desde un punto hasta otro es menor que la variación de su energía potencial Fobos es uno de los satélites de Marte. La masa de Fobos es de 1, kg. Suponiendo que Fobos describe una órbita circular alrededor de Marte a una velocidad de 2 136,6 m s 1, calcule: a) el radio de la órbita de Fobos; b) la energía mínima necesaria para separar Fobos de Marte hasta una distancia infinita. ; Masa de Marte, MM = 6, kg Júpiter es el mayor planeta del Sistema Solar. Su masa es 318 veces la masa terrestre, su radio 11,22 veces el de la Tierra y su distancia al Sol 5,2 veces mayor que la distancia media de la Tierra al Sol. Determine: a) el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter en relación con su valor en la superficie terrestre y el periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol, sabiendo que el periodo terrestre es de 365 días y las órbitas de ambos planetas se consideran circulares; b) el periodo y la velocidad media orbital de Calisto, su segunda mayor luna, sabiendo que describe una órbita circular de 1, km de radio. ; Masa de la Tierra: MT = 5, kg ; Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s 2

6 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág La aceleración de la gravedad en la superficie de Saturno es de 10,44 m s 2 y su masa es aproximadamente 100 veces la masa de la Tierra. Con estos datos y utilizando los datos del radio de la Tierra y de la gravedad en lasuperficie terrestre, a) halle la relación entre el radio de Saturno y el radio de la Tierra; b) halle la velocidad de escape desde la superficie de Saturno; c) describa brevemente, desde el punto de vista de las energías implicadas, cómo se puedeobtener la velocidad de escape de un planeta. Datos: Radio de la Tierra: RT = 6, m ; Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s La distancia media entre la Luna y la Tierra es RT L = 3, m y la distancia media entre la Tierra y el Sol es RT S = 1, m. La Luna tiene una masa ML = 7, kg y el Sol MS = 1, kg. Considere las órbitas circulares y los astros puntuales. a) Comparando la velocidad lineal de los astros en sus órbitas respectivas, determine cuántas veces más rápido se desplaza la Tierra alrededor del Sol que la Luna alrededor de la Tierra. b) En el alineamiento de los tres astros durante un eclipse de Sol (cuando la posición de la Luna se interpone entre la Tierra y el Sol), calcule la fuerza neta que experimenta la Luna debido a la acción gravitatoria del Sol y de la Tierra. Indique el sentido (signo) de dicha fuerza La energía cinética de una partícula se incrementa en J por la acción de una fuerza conservativa. Deduzca razonadamente la variación de la energía mecánica y la variación de la energía potencial de la partícula La ESA (Agencia Espacial Europea) ha enviado un satélite de observación a la Luna. Sabiendo que este satélie orbita a una distancia de 300 km de la superficie lunar y que el radio de la Luna es de km, calcule: a) las velocidades angular y lineal del satélite; b) el periodo de revolución del satélite; c) la energía que tiene el satélite en esa órbita; d) la energía que debe suministrase al satélite para que pase a estar una órbita que se encuentra al doble de distancia de la superficie lunar. ; Masa de la Luna: ML = 7, kg ; Masa del satélite: m = 200 kg La Estación Espacial Internacional (ISS, International Space Station) es fruto de la colaboración internacional para construir y mantener una plataforma de investigación con presencia humana de larga duración en el espacio. Suponga que la ISS tiene una masa de 3, kg y que describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una distancia de 3, m desde la superficie. Calcule: a) la velocidad de la ISS y el tiempo que tarda en dar una vuelta a la Tierra; b) la energía mecánica de la ISS. Justifique el signo del valor hallado. ; Masa de la Tierra: MT = 5, kg ; Radio de la Tierra: RT = 6, m La Estación Espacial Internacional, de kg, gira en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura media de 360 km sobre su superficie. Debido al rozamiento con la alta atmósfera su altura disminuye continuamente, por lo que son necesarias correcciones periódicas. Suponga que por este motivo la estación ha descendido hasta una órbita circular de 340 km de altura. Calcule: a) las velocidades orbitales a 340 km y 360 km de altura; b) la energía necesaria para recuperar la órbita más alta; c) el cambio en el periodo de revolución. ; Masa de la Tierra: MT = 5, kg ; Radio de la Tierra: RT = 6, m

7 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág La gráfica siguiente muestra la variación de la energía potencial en función de la altura a la que se encuentra un cuerpo de 2,00 kg de masa en la superficie de un planeta con un radio de km. a) Calcule la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta y la masa del mismo. b) Deduzca la expresión de la velocidad de escape a partir del principio de conservación de la energía y calcúlela La intensidad de la gravedad en la superficie de un planeta de radio R vale g0. Si se deja caer libremente un objeto desde una distancia infinita (donde tanto g como el potencial gravitatorio sean prácticamente nulos), calcule: a) la masa del planeta; b) la velocidad al llegar a la superficie del planeta; c) su velocidad al pasar por un punto A en el que la gravedad vale g0/3. ; Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g0 = 9,81 m s 2 ; Radio de la Tierra, RT = 6, m La lanzadera espacial Columbia giraba en una órbita circular a 250 km de altura sobre la superficie terrestre. Para reparar el telescopio espacial Hubble, se desplazó hasta una nueva órbita circular situada a 610 km de altura sobre la Tierra. Sabiendo que la masa del Columbia era kg, calcule: a) el periodo y la velocidad orbital iniciales de la lanzadera Columbia; b) la energía necesaria para situarla en la órbita donde está el Hubble La Luna es aproximadamente esférica, con radio RL = 1, m y masa ML = 7, kg. Desde su superficie se lanza verticalmente un objeto que alcanza una altura máxima h = RL. Determine: a) la velocidad inicial con que se ha lanzado el objeto; b) la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna y en el punto más alto alcanzado por el objeto; c) el periodo del objeto si realizara una órbita circular en dicha altura La Luna tiene una masa ML = 7, kg y un radio RL = 1, m. Determine: a) la distancia que recorre en 10 s un cuerpo que cae libremente en la proximidad de su superficie; b) el trabajo necesario para levantar un cuerpo de 50 kg hasta una altura de 10 m La luz del Sol tarda 3,22 minutos en llegar a Mercurio y 8,31 minutos en llegar a la Tierra. Suponiendo que las órbitas descritas por los dos planetas son circulares, calcule la velocidad angular orbital de Mercurio en torno al Sol. Datos: Velocidad de la luz en el vacío, c = 3, m s La luz del Sol tarda 5, s en llegar a la Tierra y 2, s en llegar a Júpiter. Calcule: a) el periodo de Júpiter orbitando alrededor del Sol; b) la velocidad orbital de Júpiter; c) la masa del Sol. Datos: Se suponen las órbitas circulares ; Periodo de la Tierra alrededor del Sol, TTierra = 3, s ; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3, m s 1 ; Constante de la ley de gravitación universal, G = 6, N m 2 kg La masa de la Luna es 0,01 veces la de la Tierra y su radio es 0,25 veces el radio terrestre. Un cuerpo, cuyo peso en la Tierra es de 800 N, cae desde una altura de 50 m sobre la superficie lunar. a) Determine la masa del cuerpo y su peso en la Luna. b) Realice el balance de energía en el movimiento de caída y calcule la velocidad con que el cuerpo llega a la superficie. Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 10 m s 2

8 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág La masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra, el radio lunar es 0,27 veces el radio de la Tierra y la distancia media entre sus centros es 60,3 radios terrestres. a) Calcule la gravedad en la superficie lunar. b) En qué punto intermedio entre la Tierra y la Luna se equilibran las fuerzas que ambas ejercen sobre un cuerpo de masa m? Realice un esquema ilustrativo de las fuerzas. ; Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g0 = 9,81 m s La masa de la Luna es de 7, kg y la de la Tierra de 5, kg. La distancia media de la Tierra a la Luna es de 3, m. Calcule: a) el período de giro de la Luna alrededor de la Tierra; b) la energía cinética de la Luna; c) a qué distancia de la Tierra se cancela la fuerza neta ejercida por la Luna y la Tierra sobre un cuerpo allí situado La masa de Marte es 9 veces menor que la de la Tierra y su diámetro es 0,5 veces el diámetro terrestre. a) Determine la velocidad de escape en Marte y explique su significado. b) Cuál sería la altura máxima alcanzada por un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba, desde la superficie de Marte, con una velocidad de 720 km h 1? Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s 2 ; Radio de la Tierra: RT = 6, m La primera misión europea dedicada a estudiar el origen del Universo ha enviará al espacio el satélite Planck, que analizará la radiación de fondo proveniente del Big Bang. El satélite Planck se lanzará el año 2009, tendrá una masa de 1800 kg y se situará en una órbita alrededor de la Tierra que se encuentra a 1,50 millones de kilómetros del centro del planeta. Suponiendo que el satélite describirá una órbita circular, calcule: a) la velocidad del satélite y los días que tardará en dar una vuelta a la Tierra; b) la energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía mecánica del satélite Planck cuando se encuentra en esta órbita; c) la velocidad a la cual llegaría a la superficie terrestre, si por alguna circunstancia la velocidad del satélite se anulara de repente, considerando despreciable el rozamiento con el aire cuando entre en la atmósfera terrestre. Datos: Masa de la Tierra: MT = 5, kg ; Radio de la Tierra: RT = 6, m ; Constante de la ley de gravitación universal, G = 6, N m 2 kg La siguiente tabla muestra la distancia entre dos objetos idénticos y la correspondiente fuerza gravitatoria entre ellos. a) Complete los datos que faltan en la tabla. b) Halle la masa de los objetos. c) Halle el peso de los objetos sobre la superficie de la Tierra y de la Luna. ; Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g0 = 9,81 m s 2 ; La masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra ; El radio de la Luna es 0,24 veces el radio terrestre Distancia entre los objetos (m) 0,10 0,20 0,30 Fuerza gravitatoria (N) 14, , La Tierra da la vuelta al Sol en 1 año y el radio medio de su órbita es de 149 millones de km. Considerando que el movimiento de la Tierra alrededor del Sol describe una órbita circular: a) calcule la velocidad y aceleración de la Tierra en su órbita; b) calcule la masa del Sol. c) Sabiendo que Júpiter describe una órbita circular de radio 5,2 veces mayor que el de la Tierra, cuál es el periodo de la órbita de Júpiter?

9 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág La Tierra da la vuelta al Sol exactamente en 1 año y el radio medio de su órbita es de 149,5 millones de kilómetros. Saturno tiene una órbita aproximadamente circular a una distancia 9,54 veces mayor del Sol que la terrestre. Determine: a) la masa del Sol; b) cuántas veces es mayor el período de revolución de Saturno alrededor del Sol que el de la Tierra. Datos: Constante de la ley de gravitación universal, G = 6, N m 2 kg Ley de la gravitación universal: enunciado y expresión matemática indicando las magnitudes que aparecen Leyes de Kepler. Enunciados. Deducción de la 3.ª ley para órbitas circulares, a partir de la ley de gravitación Los meteoritos procedentes del espacio exterior alcanzarían la superficie de la Tierra con una velocidad de 1,12 km s 1 si no existiese rozamiento con la atmósfera. a) Desde qué altura aparente caerían, si se considerase constante el valor de la gravedad de g0 = 9,81 m s 2? b) De qué distancia proceden en realidad, si se tiene en cuenta la variación de g con la altura? Los satélites GPS (Global Positioning System, Sistema de posicionamiento global ) describen órbitas circulares alrededor de la Tierra. El conjunto de los satélites permiten que en cualquier punto de la Tierra una persona con un receptor GPS pueda determinar la posición en la que se encuentra con una precisión de pocos metros. Todos los satélites GPS están a la misma altura y dan dos vueltas a la Tierra cada 24 horas. Calcule: a) la velocidad angular de los satélites y la altura de su órbita, medida sobre la superficie de la Tierra; b) la energía mecánica y la velocidad lineal que tiene uno de estos satélites GPS en su órbita; c) la nueva velocidad y el tiempo que tardaría en dar una vuelta a la Tierra, si hiciéramos orbitar uno de estos satélites a una altura doble. ; Masa de la Tierra: MT = 5, kg ; Radio de la Tierra: RT = 6, m ; MSAT = 150 kg Marte tiene una masa de 6, kg es decir unas 0,107 veces la masa de la Tierra y un radio de km, es decir, unas 0,533 veces el radio terrestre. a) Determine el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte. b) Halle la velocidad de escape desde la superficie del planeta. Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g0 = 9,81 m s Para poner un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra se lanza desde su superficie con una velocidad de 7,0 km s 1. a) Calcule la altura máxima alcanzada. b) Cuando el satélite alcanza la altura máxima se le impulsa para que describa una órbita circular alrededor de la Tierra. Determine la velocidad con la que se le debe impulsar para que tenga lugar el movimiento circular bajo la acción del campo gravitatorio terrestre. Datos: Radio de la Tierra, RT = 6, m ; Masa de la Tierra, MT = 5, kg ; Constante de la ley de gravitación universal, G = 6, N m 2 kg Para saber la masa del Sol, conocidos el radio de la órbita y el periodo orbital de la Tierra respecto al Sol, se necesita tener el dato de: a) la masa de la Tierra; b) la constante de gravitación G; c) el radio de la Tierra Plutón tiene una masa de 1, kg, un radio de km y el radio medio de su órbita alrededor del Sol es de 5, km. a) Calcule g en la superficie de Plutón. b) Su satélite Caronte tiene una masa de 1, kg y está a kilómetros de él. Obtenga la fuerza de atracción gravitatoria entre Plutón y Caronte. c) Calcule cuántos años tarda Plutón en completar una vuelta alrededor del Sol.

10 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág Razone las repuestas a las siguientes preguntas: a) Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m si sitúa en la superficie de la Tierra, cuál es el valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se encuentra a una distancia infinita de la Tierra? b) Puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria? Puede ser negativa la energía potencial? Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Un objeto de masa m1 necesita una velocidad de escape de la Tierra el doble de la que necesita otro objeto de masa m2 = m1/2. b) Se precisa realizar más trabajo para colocar en una misma órbita un satélite de masa m1 que otro satélite de masa m2 = m1/2, lanzados desde la superficie de la Tierra Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Según la ley de la gravitación la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es directamente proporcional a la masa de éste. Sin embargo, dos cuerpos de diferente masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente. b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta esférico cuyo radio es la mitad del de la Tierra y posee la misma densidad media? b) Cuál sería el período de la órbita circular de un satélite situado a una altura de 400 km respecto a la superficie del planeta? Datos: Radio de la Tierra: RT = km ; Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Cuál es el periodo de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra en una órbita circular cuyo radio es un cuarto del radio de la órbita lunar? b) Cuál es la relación entre la velocidad del satélite y la velocidad de Luna en sus respectivas órbitas? Datos: Periodo de la órbita lunar: TL = 27,32 días Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Con qué frecuencia angular debe girar un satélite de comunicaciones, situado en una órbita ecuatorial, para que se encuentre siempre el mismo punto de la Tierra? b) A qué altura sobre la superficie terrestre se encontrará el satélite citado en el apartado anterior? Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie terrestre: g0 = 9,80 m s 2 ; Radio medio de la Tierra: RT = 6, m Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) A una órbita de radio R de un satélite le corresponde una velocidad orbital v característica. b) La masa M de un planeta puede calcularse a partir de la masa m y del radio orbital R de uno de sus satélites.

11 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Explique el concepto de energía potencial gravitatoria. Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa m situada a una distancia r de otra partícula de masa M? b) Un planeta esférico sin atmósfera tiene masa M = 1, kg y radio R = 1, m. Desde su superficie se lanza verticalmente un proyectil que llega a alcanzar una altura máxima h = R/2 antes de volver a caer hacia la superficie. Con qué velocidad inicial se ha lanzado el proyectil? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Explique el concepto de energía potencial gravitatoria. Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa m situada a una distancia r de otra partícula de masa M? b) Un meteorito se dirige hacia la Luna, de masa ML = 7, kg y radio RL = 1, m. A una altura h = 3 RL sobre la superficie de la Luna, la velocidad del meteorito es v0 = 500 m s 1. Calcule su velocidad cuando choca con la superficie Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Si se redujera el radio de la órbita lunar en torno a la Tierra, aumentaría su velocidad orbital? b) Dónde es mayor la velocidad de escape, en la Tierra o en la Luna? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Explique las relaciones que existen entre trabajo, variación de energía cinética y variación de energía potencial de una partícula que se desplaza bajo la acción de varias fuerzas. Qué indicaría el hecho de que la energía mecánica no se conserve? b) Puede ser negativa la energía cinética de una partícula? Puede ser negativa su energía potencial en un punto? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Se eleva un cuerpo de 200 kg desde la superficie de la Tierra hasta una altura de km. Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar y calcule el trabajo mínimo necesario. b) Si, por error, hubiéramos supuesto que el campo gravitatorio es uniforme y de valor igual al que tiene en la superficie de la Tierra, razone si el valor del trabajo sería mayor, igual o menor que el calculado en el apartado anterior. Justifique si es correcta dicha suposición. ; Masa de la Tierra, MT = 5, kg ; Radio de la Tierra, RT = 6, m Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Qué se entiende por fuerza conservativa? Y por energía potencial? Indique algunos ejemplos de fuerzas conservativas y no conservativas. b) Puede un mismo cuerpo tener más de un forma de energía potencial? Razone la respuesta aportando algunos ejemplos Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Una partícula sobre la que actúa una fuerza efectúa un desplazamiento. Puede asegurarse que realiza trabajo? b) Una partícula, inicialmente en reposo, se desplaza bajo la acción de una fuerza conservativa. Aumenta o disminuye su energía potencial? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Se cumple siempre que el aumento o disminución de la energía cinética de una partícula es igual a la disminución o aumento, respectivamente, de su energía potencial? Justifique la respuesta. b) Un satélite está en órbita circular alrededor de la Tierra. Razone si la energía potencial, la energía cinética y la energía total del satélite son mayor, menor o igual que las de otro satélite que sigue una órbita, también circular, pero de menor radio.

12 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Enuncie la ley de gravitación universal y comente el significado físico de las magnitudes que intervienen en ella. b) Según la ley de gravitación universal, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es proporcional a la masa de éste. Por qué no caen más deprisa los cuerpos con mayor masa? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Explique qué se entiende por velocidad de escape y deduzca su expresión. b) Si consideramos la presencia de la atmósfera, qué ocurriría si lanzásemos un cohete desde la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la velocidad de escape? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Si la energía mecánica de una partícula permanece constante, puede asegurarse que todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas? b) Si la energía potencial de una partícula disminuye, tiene que aumentar su energía cinética? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Haciendo uso de consideraciones energéticas, determine la velocidad mínima que habría que imprimirle a un objeto de masa m, situado en la superficie de un planeta de masa M y radio R, para que saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta. b) Se desea que un satélite se encuentre en una órbita geoestacionaria. Con qué período de revolución y a qué altura debe hacerlo? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Al desplazarse un cuerpo desde una posición A hasta otra B, su energía potencial disminuye. Puede asegurarse que su energía cinética en B es mayor que en A? b) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m, situado a una altura h sobre la superficie terrestre, puede expresarse en las dos formas siguientes: EE p = mm gg h ; EE p = GG mm MM T RR T + h Explique el significado de cada una de esas expresiones y por qué corresponden a diferentes valores (y signo) Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) La energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio producido por otro cuerpo de masa m depende de la distancia entre ambos. Aumenta o disminuye dicha energía potencial al alejar los dos cuerpos? Por qué? b) Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al desplazarse desde una posición A hasta otra B? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Qué se entiende por fuerza conservativa? Explique la relación entre fuerza y energía potencial. b) Sobre un cuerpo actúa una fuerza conservativa. Cómo varía su energía potencial al desplazarse en la dirección y sentido de la fuerza? Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo al desplazarse desde un punto A hasta otro B? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) El origen elegido habitualmente para la energía potencial gravitatoria lleva a que ésta tome valores negativos. Por qué la energía potencial gravitatoria terrestre, en las proximidades de la superficie de la Tierra, toma valores positivos e iguales a m g h? b) Discuta la siguiente afirmación: Puesto que el valor de g disminuye al aumentar la distancia al centro de la Tierra, la energía potencial m g h disminuye con la altura sobre el suelo Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Por qué la fuerza ejercida por un muelle que cumple la ley de Hooke se dice que es conservativa? b) Por qué la fuerza de rozamiento no es conservativa? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Defina energía potencial a partir del concepto de fuerza conservativa. b) Explique por qué, en lugar de energía potencial en un punto, deberíamos hablar de variación de energía potencial entre dos puntos. Ilustre su respuesta con algunos ejemplos.

13 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Considere un punto situado a una determinada altura sobre la superficie terrestre. Qué velocidad es mayor en ese punto, la orbital o la de escape? b) A medida que aumenta la distancia de un cuerpo a la superficie de la Tierra disminuye la fuerza con que es atraído por ella. Significa eso que también disminuye su energía potencial? Razone las respuestas Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Razone cuáles son la masa y el peso en la Luna de una persona de 70,0 kg. b) Calcule la altura que recorre en 3,0 s una partícula que se abandona, sin velocidad inicial, en un punto próximo a la superficie de la Luna y explique las variaciones de energía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento. ; Masa de la Luna, ML = 7, kg ; Radio medio lunar, RL = 1, m Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Un satélite artificial describe una órbita circular en torno a la Tierra. Qué trabajo realiza la fuerza con la que la Tierra atrae al satélite, durante una órbita? Justifique la respuesta. b) Razone por qué el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento es siempre negativo Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) La Luna se encuentra a una distancia media de km de la Tierra y su periodo de traslación alrededor de nuestro planeta es de 27 días y 6 horas. Determine razonadamente la masa de la Tierra. b) Si el radio orbital de la Luna fuera km, cuál sería su período orbital? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Enuncie las leyes de Kepler. b) Razone, a partir de la segunda ley de Kepler, cómo cambia la velocidad de un planeta a lo largo de su órbita al variar la distancia al Sol Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Explique qué son fuerzas conservativas. Ponga un ejemplo de fuerza conservativa y otro de fuerza que no lo sea. b) Se puede afirmar que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es siempre igual a la variación de su energía cinética? Es igual a la variación de su energía potencial? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales. b) Cómo se ve afectada la interacción gravitatoria descrita en el apartado anterior si en las proximidades de las dos masas se coloca una tercera masa, también puntual? c) Haga un esquema de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre la tercera masa Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Puede asociarse una energía potencial a una fuerza de rozamiento? b) Qué tiene más sentido físico, la energía potencial en un punto o la variación de energía potencial entre dos puntos? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Explique qué se entiende por velocidad orbital de un satélite y deduzca razonadamente su expresión para un satélite artificial que describe una órbita circular alrededor de la Tierra. b) Se pueden determinar las masas de la Tierra y del satélite conociendo los datos de la órbita descrita por el satélite? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales. b) Razone por qué la energía potencial gravitatoria de un cuerpo aumenta cuando se aleja de la Tierra Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Defina velocidad de escape de la Tierra y deduzca su expresión. b) Explique las variaciones energéticas de un objeto cuando se lanza desde la Tierra y alcanza una altura h sobre ella.

14 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Se lanza hacia arriba un objeto desde la superficie terrestre con una velocidad inicial de 1, m s 1. Comente los cambios energéticos que tienen lugar durante el ascenso del objeto y calcule la altura máxima que alcanza considerando despreciable el rozamiento. b) Una vez alcanzada dicha altura, qué velocidad se debe imprimir al objeto para que escape del campo gravitatorio terrestre? Datos: Radio de la Tierra, RT = 6, m ; Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g0 = 9,81 m s Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Enuncie las leyes de Kepler. b) El radio orbital de un planeta es N veces mayor que el de la Tierra. Razone cuál es la relación entre sus periodos Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Explique qué se entiende por velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión. b) Razone qué energía habría que comunicar a un objeto de masa m, situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra, para que se alejara indefinidamente de ella Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Indique las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales. b) Explique en qué punto, entre dos masas puntuales, puede encontrarse en equilibrio una tercera masa puntual y cuál sería su energía potencial Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Explique qué se entiende por velocidad orbital y deduzca su expresión para un satélite que describe una órbita circular alrededor de la Tierra. b) Razone cómo variaría la energía mecánica del satélite si se duplicara su masa Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado a una altura h puede escribirse como Ep = m g h. Comente el significado y los límites de validez de dicha expresión. b) Un cuerpo de masa m se eleva desde el suelo hasta una altura h de dos formas diferentes: directamente y mediante un plano inclinado. Razone que el trabajo de la fuerza peso es igual en ambos casos Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Energía potencial gravitatoria terrestre. b) Dos satélites idénticos giran alrededor de la Tierra en órbitas circulares de distinto radio. Cuál de los dos se moverá a mayor velocidad? Cuál de los dos tendrá mayor energía mecánica? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Velocidad orbital de un satélite. b) Suponga que el radio de la Tierra se redujera a la mitad de su valor manteniéndose constante la masa terrestre. Afectaría ese cambio al periodo de revolución de la Tierra alrededor del Sol? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Explique el significado de fuerza conservativa y energía potencial y la relación entre ambos. b) Si sobre una partícula actúan tres fuerzas conservativas de distinta naturaleza y una no conservativa, cuántos términos de energía potencial hay en la ecuación de la energía mecánica de esa partícula? Cómo aparece en dicha ecuación la contribución de la fuerza no conservativa? Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Defina velocidad de escape de un planeta y deduzca su expresión. b) Se coloca un satélite en órbita circular a una altura h sobre la Tierra. Deduzca las expresiones de su energía cinética mientras orbita y calcule la variación de energía potencial gravitatoria que ha sufrido respecto de la que tenía en la superficie terrestre.

15 Problemas de Física 2.º Bachillerato (PAU y EvAU) Ley de gravitación universal. Aplicaciones 22/12/2017 Pág Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Un bloque de acero está situado sobre la superficie terrestre. Indique justificadamente cómo se modificaría el valor de su peso si la masa de la Tierra se redujese a la mitad y se duplicase su radio. b) El planeta Mercurio tiene un radio de km y la aceleración de la gravedad en su superficie es 3,7 m s 2. Calcule la altura máxima que alcanza un objeto que se lanza verticalmente desde la superficie del planeta con una velocidad de 0,50 m s Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Indique razonadamente la relación que existe entre las energías cinética y potencial gravitatoria de un satélite que gira en una órbita circular en torno a un planeta. b) La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra y su diámetro 10,0 veces mayor que el terrestre. Calcule razonadamente la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de Júpiter. Datos: Radio de la Tierra, RT = 6, m ; Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, g0 = 9,81 m s Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Discuta la veracidad de la siguiente afirmación: Cuanto mayor sea la altura de la órbita de un satélite sobre la superficie terrestre, mayor es su energía mecánica y, por tanto, mayores serán tanto la energía cinética como la energía potencial del satélite. b) Un tornillo de 150 g, procedente de un satélite, se encuentra en órbita a 900 km de altura sobre la superficie de la Tierra. Calcule la fuerza con que se atraen la Tierra y el tornillo y el tiempo que tarda el tornillo en pasar sucesivamente por el mismo punto. ; Radio de la Tierra, RT = 6, m ; Masa de la Tierra, MT = 5, kg Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Haciendo uso de consideraciones energéticas, deduzca la expresión de la velocidad mínima que habría que imprimirle a un objeto de masa m, situado en la superficie de un planeta de masa M y radio R, para que saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta. b) El satélite español PAZ es un satélite radar del Programa Nacional de Observación de la Tierra que podrá tomar imágenes diurnas y nocturnas bajo cualquier condición meteorológica. Se ha diseñado para que tenga una masa de kg y describa una órbita circular con una velocidad de 7 611,9 m s 1. Calcule, razonadamente, cuál será la energía potencial gravitatoria de dicho satélite cuando esté en órbita. ; Masa de la Tierra, MT = 5, kg ; Radio de la Tierra, RT = 6, m Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Dos satélites de igual masa se encuentran en órbitas de igual radio alrededor de la Tierra y de la Luna, respectivamente. Tienen el mismo periodo orbital? Y la misma energía cinética? Razone las respuestas. b) Según la NASA, el asteroide que en 2013 cayó sobre Rusia explotó cuando estaba a 20 km de altura sobre la superficie terrestre y su velocidad era 18 km s 1. Calcule la velocidad del asteroide cuando se encontraba a km de la superficie de la Tierra. Considere despreciable el rozamiento del aire. ; Masa de la Tierra, MT = 5, kg ; Radio de la Tierra, RT = 6, m Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones: a) Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra, cuál es el valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se encuentra a una distancia infinita de la Tierra? b) Puede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria? Puede ser negativa la energía potencial gravitatoria?