LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DEL CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE EL USO DE ORDENADOR

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1 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas LAENSEÑANZAYAPRENDIZAJEDELCÁLCULOINTEGRALMEDIANTEELUSODE ORDENADOR LilianaMilevicich,AlejandroLois UniversidadTecnológica.FacultadRegionalGeneralPacheco Argentina Campodeinvestigación: Pensamientomatemáticoavanzado, Nivel: Superior Resolucióndeproblemas,Tecnología avanzada,visualización Resumen. El trabajo creativo de los matemáticos de todos los tiempos ha tenido como principalfuentedeinspiraciónalavisualización,yéstahajugadounpapelrelevanteenel desarrollodelasideasyconceptosdelcálculoinfinitesimal.sinembargo,existeunatendencia actualaconsiderarquelasmatemáticasnosonvisuales,queenlaenseñanzauniversitaria,se ponedemanifiestoatravésdeunenfoquealgebraicoyreduccionistadelaenseñanzadel cálculo. Con el propósito de mejorar las prácticas educativas, diseñamos una propuesta para la enseñanzayaprendizajedelcálculointegralaqueincorporalautilizacióndelordenadorcomo recursodidácticofacilitadordelosprocesosdeenseñanzaaprendizaje. Palabrasclaves:visualización,experimentación,argumentación,extrapolación Introducción Las ideas, conceptos y métodos de las matemáticas presentan una gran riqueza de contenidosvisuales,representablesintuitivaogeométricamenteycuyautilizaciónresulta muy provechosa, tanto en las tareas de presentación y manejo de tales conceptos y métodos,comoensuutilizaciónparalaresolucióndeproblemas. Los expertos poseen imágenes visuales, modos intuitivos de percibir los conceptos y métodos,degranvaloryeficaciaensutrabajocreativoyensudominiodelcampoenel que se mueven. Mediante ellos son capaces de relacionar, de modo muy versátil y variado, constelaciones frecuentemente muy complejas de hechos y resultados de su teoríay,atravésdetalesredessignificativas,soncapacesdeescoger,demaneranaturaly sinesfuerzo,losmodosdeataquemáseficacespararesolverlosproblemasconlosquese enfrentan(guzmán,1996).visualizar,enelcontextodelaenseñanzayaprendizajedela 973 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 matemáticaenlauniversidad,tienequeverconlacapacidaddecrearimágenesricasque el individuo puede manipular mentalmente, puede transitar por diferentes representacionesdelconceptoy,siesnecesario,proporcionarenpapelopantallade computadoralaideamatemáticaqueestáenjuego. Eltrabajocreativodelosmatemáticosdetodoslostiemposhatenidocomoprincipal fuente de inspiración a la visualización, y ésta ha jugado un papel relevante en el desarrollo de las ideas y conceptos del cálculo infinitesimal. Una de las primeras aproximacionesalosproblemasdelinfinitotuvolugarengrecia,amediadodelsiglova. C.,apartirdelosproblemasdeinconmensurabilidad.LuegoArquímedes,aprincipiosdel sigloiii,propusounprocesoheurísticoparacalcularáreas,volúmenesyelcentrode gravedad de algunos cuerpos geométricos. Recién en el siglo XVII, luego de un largo períododeoscuridad,lostrabajosmatemáticosgriegos,traducidosalárabeyluegoal latín, salieron a la luz junto con las especulaciones escolásticas medievales sobre el movimiento,lavariabilidadyelinfinito,yconelálgebrasimbólicaylageometríaanalítica definalesdelrenacimiento.todosellosformaronlaricaamalgamaquepermitióenese momentolaexplosióndelamatemáticainfinitesimal.cabemencionaralosprincipales autoresqueutilizaronmétodosgeométricos:cavalieriybarrow,yalosqueutilizaron métodosanalíticos:descartes,fermatywallisyporsupuesto,unamenciónespecialpara Newton y Leibniz, quienes culminaron este proceso y fueron nombrados como los descubridoresdelcálculoinfinitesimal(boyer,1968). Sinembargo,enelsigloXXlaactividadmatemáticasufriólainfluenciadeunacorriente formalista,querechazabalavisualizacióncomoherramientadedemostraciónyanálisis. Lacrisisdelosfundamentosdeprincipiodesigloempujóalospensadoresmatemáticos haciaelformalismo,haciaelénfasissobreelrigor,aunaciertahuidadelaintuiciónenla construcción de su ciencia. Lo que fue beneficioso para la fundamentación, fue considerado por muchos, bueno también para la transmisión de conocimientos. Las 974 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas consecuenciasparalaenseñanzadelasmatemáticasengeneralfueronnefastas,pero especialmenteparalaevolucióndelpensamientogeométrico. Desdeentonces,laspresentacionesnovisualessonlasmáshabitualmenteutilizadaspara comunicar ideas matemáticas. Esta tendencia se fundamenta hoy en la creencia de matemáticos,docentesyestudiantes,quelasmatemáticasnosonvisuales(eisenbergy Dreyfus,1991).Comoreacciónaunabandonoinjustificadodelageometríaintuitivaen nuestrosprogramas,hoyseconsideraunanecesidadineludible,desdeunpuntodevista didáctico, científico e histórico, recuperar elcontenido espacial e intuitivo en toda la matemática. Justificación Laalgebrizacióndelcálculodiferencialeintegralfueunproductodeesteproceso.Enla enseñanza universitaria, se pone de manifiesto a través de un enfoque algebraico y reduccionistadelaenseñanzadelcálculo,quesebasaenlasoperacionesalgebraicascon límite, derivadas e integrales, pero que trata de una forma simplista los conceptos específicos del Análisis, tales como las razones de cambio o la integral definida. ConsideramosquelasdificultadesquepresentaelaprendizajedelAnálisisMatemáticoen primer año de la universidad, son atribuibles a esta situación de contexto. Tales dificultadesestánasociadasalpredominiodelformalismoenelabordajedelosconceptos yalaausenciadeasociaciónconunenfoquegeométrico. AnthonyOrtonhatrabajadodurantelargotiemposobrelasdificultadesenelaprendizaje delcálculo.susinvestigacionesenlauniversidaddeleedsconfirmaronquelosalumnos tenían dificultades en el aprendizaje de los conceptos de cálculo: la idea de tasa de cambio,lanocióndederivadacomounlímite,laideadeáreacomoellímitedeunasuma (Orton,1979).Cornu(1981)arribóasimilaresconclusionesrespectodelaideade límite inalcanzable yschawarzenbergerytall(1978)respectodelaideade muypróximoa. 975 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Ervynck(1981)nosólohadocumentadolasdificultadesdelosalumnosencomprenderel concepto de límite sino que resalta la importancia de los procesos de visualización medianteaproximacionessucesivas.enestesentido,loshabitualesgráficosencontrados en los libros de cálculo tienen dos problemas: son estáticos, con lo cual no pueden transmitirlanaturalezadinámicademuchos delosconceptos,yademásposeenuna variedadlimitadadeejemplos,unoodosgeneralmente,locualconduceadesarrollaren elalumnounaimagenrestringidadelconceptoencuestión.(tallysheath,1983) Enestesentido,losalumnosnolograncomprenderelconceptodeintegraldefinidade unafuncióncomoeláreabajolacurvadelamisma,puesnovisualizancómoseconstruye esta área según una suma, conocida habitualmente como Suma de Riemann (si bien Fermat,en1629,habíapresentadounmétodogeométricoquepermitíaaproximarcon muybuenaprecisióneláreabajolacurvay=x n enunintervalodado,utilizandoinfinitos subintervalossobrelaabscisaysumadolasáreasdelossucesivosrectángulosconbaseen laabscisayalturadadaporlaordenadadelpunto.(boyer,et.al)). Atendiendoalaperspectivadelosprocesosdeenseñanza,cabenotarquelosdocentes habitualmente introducen el concepto en forma expositiva, eludiendo el verdadero propósitoqueconsisteenobteneraproximacionescadavezmásprecisas.tambiénes habitualqueserealiceunabordajesimplistadelconceptoysinaparenteconexiónconlas aplicaciones del cálculo integral, lo cual obstaculiza la comprensión por parte de los alumnos,yporende,laresolucióndeproblemasreferidosalcálculodeáreas,longitudde curvas,volumendesólidosderevolución;ylosreferidosaaplicacionesalaingeniería: trabajo,presión,fuerzahidrostáticaycentrosdemasa. Elusodelordenadorenelaulapuederesultarunrecursodidácticofacilitadordelos procesosdeenseñanzaaprendizajepara: a)transmitirlanaturalezadinámicadeunconceptoapartirdelavisualización, b)coordinarlosdistintosregistrosderepresentacióndeunconcepto, 976 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas c) la creación de medios personalizados que mejor se adapten a los requerimientos pedagógicosdelapropuesta. Metodología Conelpropósitodemejorarlasprácticaseducativas,diseñamosunapropuestaparala enseñanza y aprendizaje del cálculo integral en el contexto de primer año de la Universidadqueatendieraalapropuestadeutilizacióndelordenadortalcomoseindicó enlositemsa,bycenumeradosanteriormente.enesesentido: Sediseñóunpaquetedesoftwarequepermitieseelabordajedelcálculointegrala partir del conceptodeintegral definidaasociadoal área bajolacurva, desde una perspectivageométrica,atendiendoalosprocesosqueelhombrehaseguidoensu creacióndelasideasmatemáticas, Se seleccionaron los problemas a resolver por los alumnos en forma tal que su abordajepermitieseestablecerunpuenteentrelaconceptualizacióndelaintegración ylosproblemasdeaplicaciónrelacionadosconlaingeniería.enesesentido,elusodel ordenador permitió disponer de una gama muy amplia de problemas, dónde la elecciónnofuecondicionadaporlasdificultadesdelcálculoalgebraico. Se diseñó un conjunto de actividades orientadas a promover que los alumnos conjeturen, experimenten, analicen retrospectivamente, extrapolen, argumenten, preguntena sus pares ya susdocentes, secomprometanenel desarrollo de sus actividades,discutansobresuspropioserroresyevalúensudesempeño. Se rediseñaron las técnicas de evaluación, de tal manera que el análisis de las producciones,facilitasealalumnoelpoderreflexionarsobresuspropioserroresy, paraquealahoraderealizarlasevaluaciones,dispongandelasmismasherramientas queutilizabanenclase. 977 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Implementacióndelapropuesta Estapropuestafueimplementadaduranteelperíodojulionoviembre2006enuncursode Ingeniería Eléctrica, de la Facultad Regional General Pacheco, de la Universidad TecnológicaNacional.Lamismaconsistióenladistribucióndelalumnadoenpequeños gruposdenomásdetresalumnos,loscualestrabajaronenvariossubproyectos.cadauno deellosincluyóunnúmeroimportantedeproblemasdemodoquelosalumnospudieran experimentar, conjeturar y obtener conclusiones sobre la resolución de problemas medianteunsoftwarediseñado. Amododeejemplo,presentamoselprimersubproyecto. Subproyecto Nº 1: Abordaje del concepto de integral definida por aproximaciones sucesivas Enla1ºactividadsesolicitaacadagrupodetrabajoqueestimeeláreadebajodela gráficade f( x) cosx,con x,utilizandoprimero10rectángulos,luego100y luego1000.acontinuaciónselespidequeargumentenacercadelaconvergenciadelas aproximaciones.enunítemposterior,conelpropósitodedescubrirlasrelacionesentre lasaproximacionespordefectoexcesoylosintervalosdecrecimientodecrecimientodela curva,selessolicitaquemodifiquenelintervalodeestudio,porejemplo[0,/4],yque analicenlosvaloresobtenidoseneláreapordefectoyexceso. En la 2º actividadde les solicitaqueanalicen laveracidad o falsedad de lasiguiente afirmación: Lasaproximacionespordefectoalvalordeláreabajolacurva,requieren considerar los puntos muestra a la izquierda de cada subintervalo, así como las aproximacionesporexcesorequierenconsiderarlospuntosmuestraaladerechadecada subintervalo. Luego deben proponer, con el auxilio del software, ejemplos que sustenten su argumentación. 978 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

7 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas Enla3ºactividadcadagrupodebeanalizarlaconvergenciadeláreabajolacurvade diferentesfunciones,inclusoalgunasnocontinuas,enelintervaloconsiderado,yluego exponersusconclusiones. Cada grupo debe presentar un informe con los resultados obtenidos y los archivos generadosconelsoftwareendisqueteounidaddealmacenamientoremovible. Enlasfiguras1y2semuestrandosdelasvistasobtenidasconlautilizacióndelsoftware. Laprimeracorrespondeaunaaproximacióncon10subdivisionesylasegundacon100. Figura1 Capturadelapantalladelsoftwaredeconceptualizacióndeintegraldefinida,calculando áreadebajodelagráficadef( x) cosx,conx,utilizando10subdivisiones. Losrestantessubproyectosqueformaronpartedelapropuesta,loscualesnoseexponen porrazonesdeespacio,fueron: SubproyectoNº2:Familiadeintegrales, SubproyectoNº3:Teoremafundamentaldelcálculo, SubproyectoNº4:Eláreaentredoscurvas, SubproyectoNº5:Aplicacionesdelaintegración. 979 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Figura2 Capturadelapantalladelsoftwaredeconceptualizacióndeintegraldefinida,calculando áreadebajodelagráficadef( x) cosx,conx,utilizando100subdivisiones. Conclusiones La realización de las actividades requirió del uso de los paquetes de software desarrollados adhoc. Los alumnos debieron graficar en numerosas oportunidades, modificar sus conjeturas, proponer nuevas soluciones, experimentar, analizar retrospectivamentelosresultadosobtenidos,proponernuevassoluciones.consideramos queesimportantequelosalumnospuedaninterpretarconsistentementelosresultados obtenidos,tantoalgebraica,comonuméricaógráficamente. 980 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

9 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas Ensegundolugar,creemosnecesarioeldesarrollodenuevostallerescapacitación.La infraestructuratécnicarequeridaexigequelosprofesoresylosalumnostenganaccesoa las nuevas tecnologías y que tengan la suficiente destreza para usarlas. Además, los profesoresdeotrasáreasnecesitanreflexionarsobrecómohacerusodelatecnologíaen laenseñanzadesupropiaasignatura. Tambiénseránecesarioatenderalafianzamientodelainfraestructurasocial.Lasnuevas tecnologíasolosaprendizajesasociadosalusodeunsoftwaredebenintegrarsealos procesoseducativosesencialesenvezdeconstituirunaactividadaislada.elcurrículo,la organizaciónylaestructuradeloscursosylasprácticasevaluadorasdebenapoyarla nuevaculturadeaprendizajeencolaboraciónyconstruccióndelconocimiento.sirvede muypocoquenuestrosalumnosaprendanaresolverproblemaseneláreadelasciencias, haciendousodeherramientasinformáticas,siluegoenmateriasdeañossuperioresseles exige queresuelvan integraleshaciendo uso deintrincadosmétodos de integración a manoconlápizypapel,talcomoensiglosanteriores. Finalmente creemos necesario atender al afianzamiento de la infraestructura epistemológica. Los profesores y los estudiantes deben desarrollar una conciencia epistemológica de las diferentes categorías de conocimiento y de los procesos de investigaciónparacomprenderelsignificadodebuscarrespuestasatravésdelusodel ordenador.enesesentido,estamosdiseñandoyseleccionandoproblemasintegradores paralaasignaturaanálisismatemáticoi,detalmodoquelosalumnos,distribuidosen grupos,puedandarrespuestaalosmismos,haciendomenciónsobrecómosellevarona cabolosprocesosdeindagaciónyconjeturación,cuálesfueronlasexperienciasrealizadas, etc. 981 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

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