CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS CON CALCULADORAS GRAFICADORAS

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1 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas CONSTRUCCIONESGEOMÉTRICASCONCALCULADORASGRAFICADORAS NelsonHernándezReyes,EstherAnsolaHazday,EugenioCarlosRodríguez,PabloGómezFuentes InstitutoSuperiorPolitécnicoJoséAntonioEcheverría Cuba Campodeinvestigación: TecnologíaAvanzada Nivel: Superior Resumen.Comopartedelapreparaciónmatemáticadeungruposeleccionadodeestudiantes denivelmedio,seimpartióuncursoqueincluyelostresgrandesgruposdeproblemasdela Geometría:cálculos,demostracionesyconstruccionesgeométricas.Losobjetivospropuestos paraeltemadeconstruccionesgeométricasfueronlossiguientes: ConsolidarlosconocimientosdeGeometríaadquiridosporlosestudiantesen elniveldesecundariabásica. Desarrollar en los estudiantes habilidades en la construcción de figuras geométricasutilizandolugaresgeométricosconocidos. Estecursosediseñóconlascalculadorasgraficadorasyparaelloseutilizólacalculadora CasioClassPad300. Palabrasclave:calculadoragraficadora,construccionesgeométricas Introducciónyobjetivo Enlasetapasiniciales,laenseñazadelageometríatieneporobjeto,ademásdecomunicar alosalumnoslosresultadosgeométricos,darlesaconocerelmétodoconlaayudadel cualseobtienenestosresultados.sabidoesquelosresultadosgeométricossonobtenidos pormedioderazonamientoslógicosapartirdedeterminadosplanteamientos. Losrazonamientoslógicossonparteindispensabledetodoelsaber,ylageometríase destaca por la claridad y sencillez tanto en el enunciado del resultado como en los planteamientosdepartida,dedondeseobtendránlosresultadosdeseados.esporesto quelageometríanosbrindamuchasoportunidadesparadesarrollarelpensamientológico ennuestroseducandos. Alimpartirestecursopartimosdequelatareaesencialdelaenseñanzadelageometría enlaescuelaconsisteenconduciralalumnoarazonarlógicamente,argumentarsus afirmacionesydemostrarlas ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Eneltrabajoconlageometríasepresentantresgrandesgruposdeproblemas: Problemasdecálculo. Problemasdedemostración. Problemasdeconstrucción. Estosúltimossonlosmenostratadosennuestrosprogramasescolares,sinembargo,las construccionesgeométricascontribuyenaldesarrollodelabúsquedadesolucionesyal entrenamientoenlasdemostraciones. Actualmente,ennuestraenseñaza,estoscontenidossonabordadosconreglaycompásy unodenuestrospropósitosesintroducirelusodelatecnología,enparticulareltrabajo concalculadorasgraficadorascasioclasspad300. Unaspectonotableenelusodelatecnologíaesquepermiteestablecerrepresentaciones exactas de configuraciones geométricas que pueden ayudar a los estudiantes en la visualizaciónderelacionesmatemáticas(santos,2000). Laexperiencia Este trabajo consistió en desarrollar encuentros sobre construcciones geométricas haciendousodelatecnología,conestudiantesqueaspiranamatricularcarrerascon ampliabasematemática. EnlaexperienciasepusoenprácticaelPrincipioDidácticoapartirdelenfoqueHistórico Cultural(Vigostky,1966),relativoalCarácterAudiovisualdelaEnseñanzaylaUnidaddelo ConcretoyloAbstracto(Zilberstein,2003).,queseñalaaquellasaccionesespecíficasque sonnecesariaspararevelarelcontenidodelconceptoaformarypararepresentareste contenidoprimarioenformademodelosconocidosdetipomaterial,gráficooverbaly además,proponersequelosestudiantesintervenganactivayconscientementeconlos mediosdeenseñanzaqueestánasualance ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas Enestosencuentrosseabordarondoscomponentes,unodirectamenterelacionadoconel manejodetecnologíayotrodeíndolematemático,ambosfactoresnecesariosparael estudioactualdelasmatemáticasdelaenseñanzasuperior. Elprimercomponente,deíndoletecnológica,sealcanzamediantelautilizacióndela calculadora graficadora Casio ClassPad 300. La calculadora gráfica como herramienta tecnológicanosofrecelaposibilidaddedespertarelinterésdelestudianteyestimularsu comprensión.(edwards,2000) Elsegundocomponente,deíndolematemática,esemprendidoatravésdeactividades que apuntan al esfuerzo lógico, analítico y/o crítico, abordando temas básicos de la geometríaquesonprimordialesparaelestudiante,alahoradeenfrentarconéxitosus exámenesdeingresoasícomoelprimersemestredelauniversidad. Estosencuentrosformanpartedeuncursofacultativoparaaquellosestudiantesquelo soliciten. Enquéconsistenlosproblemasdeconstrucción? Enestosproblemassetratadeconstruirunafigurageométricaconinstrumentosde dibujo dados, usualmente son la regla y el compás los cuales se sustituyen por la calculadora. Lasolucióndelproblemaconsistenotantoenlaconstruccióndelafiguracomoen explicarelmodoenqueserealizayenefectuarlademostracióncorrespondiente.el problemaseconsideraresueltosisehaseñaladoelmétododeconstruccióndelafiguray sehademostradoquerealizandolasconstruccionesindicadasseobtieneefectivamentela figuraconlaspropiedadespedidas. Losambientesdinámicosnosólopermitenalosestudiantesconstruirfigurasconciertas propiedades y visualizarlas, sino que también les permiten transformar esas construcciones en tiempo real. Este dinamismo puede contribuir en la formación de 1111 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 hábitosparatransformar(mentalmenteopormediodeunaherramienta)unainstancia particular,paraestudiarvariaciones,invariantesvisuales,yposiblementeproveerbases intuitivasparajustificacionesformalesdeconjeturasyproposiciones.(arcaviyhadas, 2000) Lasventajasantesseñaladassepusierondemanifiestoenlosproblemasresueltos,pues conelusodelatecnologíapodemosconservarlaconstrucciónyarealizada,realizar reflexión,traslación,rotación,dilataciónytransformacióngeneral,deformatalquelos alumnos pueden en algunas ocasiones comprobar que su intuición del problema a resolvereracorrecta.tambiénpuedencomprobarsilassolucionesqueseobtienenson únicasasícomoencontrarvíaspararealizarlasdemostraciones,sobretodoaquellasque se efectúan por movimientos, las cuales, nuestraexperiencia como docentes nos ha mostrado,quemuypocosestudiantesacudenaellas. Deigualmaneraelambientedinámicolespermitedescubrirquehayproblemasque tienensolucionessujetasadeterminadascondiciones.porloquenonoscabedudaque lasposibilidadesdeéxitoanteunproblemadeunestudiantequehayasidopreparadocon el uso de la tecnología son mayores, aun no disponiendo en ese momento de la calculadoraocomputadora,yaqueloimportantenoeselusodelatecnologíapara resolver el problema, sino todos los análisis, reflexiones que nos permite hacer la tecnologíaparareforzarlasestrategiaalahoraderesolverlo. Veamosloanteriorapartirdeunejemplo. SedaunpuntoDdentrodeunánguloCAB.SerequieretrazarunarectalporelpuntoM detalmaneraqueformecondichoángulountriangulodeáreamínima. Pararesolverelproblemadebemosplantarnosdoscasos. Elángulodadoesagudo Elángulodadoesobtuso Ocupémonosdelprimercasocuandoelángulodadoesagudo ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas ObservemosqueenelpuntoDsepuedentrazarinfinitas rectasquedeterminenuntriánguloconelángulodado,se tratadeencontraraquellaquedetermineeltriángulode áreamínima. Tracemosunarectacualquierayanalicemossiesposible disminuirleeláreaaltriánguloformado. AltrazarlarectaIHobtenemoseltriánguloAIHyaltrazarla rectaefsetieneeltriánguloaefelcualtieneunáreamenor que el primero luego la recta IH no puede ser la recta deseada ObservemosquesirealizamosunarotacióndecentroenDy ángulo de 180 o sobre los puntos E e I se obtienen las imágeneseei yportantolostriángulosiedydeison igualesloquenosmuestraqueeláreadeltriánguloaefes menorqueladelaih ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 AltrazarJKseobtieneeltriánguloAJKcuyaáreaesmenorque ladeltriánguloaefportantoefnoeralarectadeseada.pues rotandolospuntoseyjconcentroendpodemoscomprobar loantesplanteado. Lapreguntasería hastacuandosepodráseguirminimizando eláreadeltriángulo?,elalumnopodráseguirtrazandorectas hastaquelogreconjeturarqueestosucederácuandodseael puntomediodelsegmentoquedeterminalarectaalcortarlos ladosdelángulo. Ahoranosquedaformalizarnuestroproblema,enprimerlugar construirlarectayposteriormenterealizarlademostracióndel triángulodeáreamínima. Construcción TracemoslarectaAD. MarquemosenellaelsegmentoAD=DQ. PorelpuntoQtracemosunarectaparalelaaunode losladosdelángulo(ac)hastaquecortealotrolado enelpuntor. LarectabuscadapasaporlospuntosRD 1114 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

7 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas Demostración Para realizar la demostración realicemos los razonamientosquenosllevaronaencontrarla rectadeseada.sealunarectaarbitrariaquepasa porelpuntodycortaalosladosenlospuntosu yt. ComoeltriánguloUDSesigualaltriánguloDRV por (ala) Entonces el triángulo ASR y el cuadriláteroauvrtienenigualáreacuyaáreaes menorqueladeltriánguloaut Sielánguloesobtuso,laconstrucciónseefectúademodoanálogo(ellectorpuede hacerla) De manera general, el software funciona como una herramienta útil para realizar exploraciones, reconocer conjeturas y eventualmente proponer argumentos que las soporten.esteciclodevisualizar,reconoceryargumentarsonprocesosfundamentalesdel quehacerdeladisciplinaquelosestudiantespuedenpracticarsistemáticamenteconla ayudadeestetipodesoftware(santos,2001) ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Conclusiones Laexperienciaobtenidaenestetrabajodemostróqueelusodelatecnologíafavoreceel proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, lo cual se manifestó en la motivacióndelosestudiantesalabordarlosproblemas,conjeturarresultadosydemostrar losmismos. Ademássecorroboróqueapartirdelarealizacióndelosproblemaspropuestoslos estudiantesaumentaronsushabilidadesenlautilizacióndelacalculadorainclusopara resolverotrosproblemasmatemáticos,locualsirvióparaproponerlarealizaciónde diferentescursosabordandootrastemáticas. Se comprobó que los estudiantes que asistieron a este curso obtuvieron mejores resultados en las evaluaciones realizadas en su curso académico. Esta herramienta, puede apoyar funciones cognitivas como la visualización o entendimientoapartirdelasrepresentacionesgeométricasqueproporciona. Referenciasbibliográficas Arcavi,A.,Hadas,N.(2000).Computermediatedlearning:Anexampleofanapproach. InternationalJournalofComputersforMathematicalLearning,5,pp ClassPad300GuíadelUsuario.(s.f.).Disponibleen: Edwards,B.(2000).Motivandotemasdematemáticasconlacalculadoragráfica.Revista dedidácticadelasmatemáticas.volumen41,pp Lidski.V.(1986).Problemasdematemáticaelemental.Moscú:EditorialMir. Muñoz, F., Campistrous, L. (1981). Problemas de matemática elemental. La Habana: EditorialPuebloyEducación. Pogorelov,A.V.(1974).GeometríaElemental.Moscú:EditorialMir ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

9 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas Santos,L.M.(2001).ElUsodeSoftwareDinámicoenelDesarrollodeSignificadosy ConexionesenelAprendizajedelasMatemáticas.MemoriasConferenciaInternacional SobreUsodeTecnologíaenlaEnseñanzadelasMatemáticas.UniversidadMichoacanade SanNicolásdeHidalgo,Morelia,Michoacán,México. Santos, M. (2000). Students approaches to the use of technology in mathematical problemsolving.paperpresentedattheworkinggrouprepresentationandmathematics Visualization.PMENA,Tucson,Arizona. Tsipkin,A.G.(1979).ManualdeMatemáticaparalaEnseñazamedia.Moscú:EditorialMir. Vigostky,L.S.(1966).PensamientoyLenguaje.LaHabana:EdiciónRevolucionaria Zilberstein,J.(2003).PrincipiosDidácticosenunProcesodeEnseñanzaAprendizajeque InstruyayEduque.EnPreparaciónPedagógicaIntegralparaProfesoresUniversitarios(pp. 1931).LaHabana,Cuba:EditorialFélixVarela ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.