UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA EL ESTUDIO DE FUNCIONES CON LA UTILIZACIÓN DE UN SOFTWARE

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1 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas UNAPROPUESTADIDÁCTICAPARAELESTUDIODEFUNCIONESCONLAUTILIZACIÓNDE UNSOFTWARE DanielaMüller,AdrianaEngler,SilviaVrancken FacultaddeCienciasAgrarias.UniversidadNacionaldelLitoral Argentina Campodeinvestigación: TecnologíaAvanzada Nivel: Medio,Superior Resumen.Apartirdenuestraexperienciadocentedevariosaños,hemosobservado,enel contexto del aula, que los alumnos presentan dificultades para resolver problemas que involucranconceptosfundamentalesdelcálculo.parafavorecerelaprendizajedealgunosde ellos,comoporejemplo:primeraysegundaderivadaysusrelacionesconelcrecimientoy decrecimientodeunafunción,conelcambiodeconcavidad,puntosdemáximoymínimoode inflexión, diseñamos algunas actividades de aprendizaje empleando el programa para graficación de funciones de la página de Lagares para implementarlas de manera complementariaaltrabajoenelaula.enellassepromuevenestrategiasdegraficaciónqueel alumno deberá combinar con estrategias analíticas para corroborar los resultados que presupongadelanálisisdelasgráficas. Palabrasclave:recursostecnológicos,estudiodefunciones Introducción Enelprimerañodeunacarrerauniversitarianomatemática,lacomprensióndelos conceptosbásicosdelcálculo,sueleserproblemáticoparalamayoríadelosalumnos.uno delosconceptoscentraleseslanocióndefunción. ParaFarfán(1992,c.p.FerrariyMartínez,2002),entrelascausasquehacendelafunción unodelosconceptosmatemáticosmásdifícilesdedominaryenseñar,seencuentranlas diversasconcepcionesymúltiplesrepresentacionesdeésta,potenciadasporelhechoque laenseñanzatiendeasobrevalorarlaalgoritmizaciónylosmétodosanalíticosporencima deldesarrollodehabilidadespropiasdelpensamientomatemático. AliniciaruncursodeCálculolosalumnosyasabenelconceptodefunciónydeberían poder realizar sin inconvenientes conversiones entre los distintos registro de representación de la misma (gráfico, numérico, algebraico y coloquial). Para ello es 1015 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 importante proponer actividades que propicien el trabajo con diferentes representaciones. Duval(1998)estableceque,dadoquecadarepresentaciónesparcialconrespectoal concepto que representa, debemos considerar como absolutamente necesaria la interacciónentrediferentesrepresentacionesdelobjetomatemáticoparasuformación. Agregaademás,quenosolamenteesimportanteentenderlasdificultadesparamanipular cadaunadeesasrepresentaciones,sinoquetambiénloeselanálisisdelasactividadesde conversiónentrerepresentacionesquedebemosproponeranuestrosalumnos.también es importante no priorizar alguna de ellas en detrimento de otras cuando estamos promoviendounprocesodeconstruccióndeunconceptomatemático. Relativoaltemafunciones,generalmenteseleproponenalalumnotareasdeconversión deunarepresentacióncomolaalgebraicaasucorrespondientegráficayespocousual queselesoliciteelprocesoinverso. Porquéhacemosreferenciaalasdificultadesenelaprendizajedelconceptodefunción? Porque una mala concepción del mismo redundará en un bajo rendimiento en el aprendizajedelcálculo.debemosproponeractividadesquefavorezcaneldesarrollode unavisiónholísticadelasfuncionesytareasdeconversióndeunarepresentaciónaotray viceversa ya que consideramos que esto promueve un mejor entendimiento de las funciones. Lacrecienteintroducciónderecursostecnológicosenlosprocesosdeenseñanzayde aprendizaje de la Matemática, han generado nuevas posibilidades para mejorarlos y enriquecerlos. Integrar dichos recursos a los procesos en los que las actividades presencialessemantienendemanerasignificativa,permite,entreotrosaspectos,mejorar elaccesoaloscontenidosyasusdistintasrepresentaciones.estopuedecomplementarse conguíasdeestudioypropuestasdeactividades(sigalés,2004).ademáscontribuyea mejorar la calidad de la docencia a través de una mayor cantidad y calidad de las 1016 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas interaccionesentreelprofesorylosalumnosydelosalumnosentresí,comoasítambién deunamejoradaptaciónalosritmos,interesesynecesidadesdecadaalumnoy,en consecuencia,unamayorpersonalizacióndelaactividaddocente. Con el objetivo de desarrollar habilidades para trabajar dentro y entre diversas representacionesdeunmismoconcepto,lautilizaciónderecursostecnológicosresultaun complementoimportante. Noperdemosdevista,talcomoloexpresaLuisMorenoArmella(2002)que: Cuandoseusalatecnologíaenlaescuela,hayquereconocerquenoeslatecnologíaensímismael objeto central de nuestro interés, sino el pensamiento matemático que pueden desarrollar los estudiantesbajolamediacióndedichatecnología. Apartirdenuestraexperienciadocentedemásde20años,hemosobservadoqueenel contexto del aula, los alumnos presentan dificultades para resolver problemas que involucranconceptosfundamentalesdelcálculocomoporejemplo:primeraysegunda derivadaysusrelacionesconelcrecimientoydecrecimientodeunafunción,conel cambiodeconcavidad,puntosdemáximoymínimoodeinflexión.parafavorecerel aprendizajedeestosconceptos,diseñamosalgunasactividadesdeaprendizajeparaser implementadasenambientescomputacionales,comocomplementoaltrabajoenelaula quepropicianeltrabajocondiferentesrepresentaciones. Paralapreparacióndelasdistintasactividadesqueformanpartedeestetrabajo,tuvimos encuentalasconsideracionesplanteadaspormoreno(2002)paraaquellaspropuestasen lasqueseutilizalatecnologíaparagraficarfunciones.enlasmismassepromueven estrategiasdegraficaciónqueelalumnodeberácombinarconestrategiasanalíticasquele permitancorroborarlosresultadosquelesugieranlasrepresentacionesgráficas ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Desarrollodelapropuesta Elsoftwareelegidoparaeldesarrollodelasactividadesfue FuncionesparaWindows versión2.7,porserunprogramadetipofreewarequepuedeobtenersegratuitamente desdelapáginahttp:// hardwareyesdefácilmanejo. Esteprogramapermiterealizardistintostiposdegráficosdeunaampliavariedadde ecuacionesparalasquesólodebeescribirselaexpresiónmatemáticadelasmismas. Puedenpersonalizarselasgráficasdeterminandolosintervalosderepresentaciónsobre cadaunodelosejescartesianos. Paraunafuncióncualquiera,elprogramacalculasusceros,valoresmáximosy/omínimos, intervalosdecrecimientoydeconcavidad,puntosdeinflexión,entreotros,mostrandoen cadacasolarepresentacióngráficadeellos. Losalumnosestánfamiliarizadosconelmanejodelprogramaatravésdeotrasactividades realizadasconanterioridad,enlasquenosólosepromuevenlautilizacióndelasdistintas representacionesylaconversióndeunasrepresentacionesenotras,sinoquetambiénse refierenalaeleccióndelaventanaóptimaenlaquesedibujelagráfica. Paraobtenerlaventanadevisualizacióndelafunción,ademásdeingresarlaexpresión algebraicadelamisma,losalumnospuedenestablecerlaescalaencadaunodelosejesy losintervalosdevariacióndelasvariablesxey.estosintervalossonlosquemodifican reiteradamentehastaobtenerlagráficaenlaqueseobserventodaslascaracterísticas particularesdelafunciónqueserepresenta.esimportantequelosalumnospractiquen estascuestionescondiferentesfuncionesquesedesarrollanenclase,comoporejemplo laspolinomiales,racionales,exponenciales,logarítmicasytrigonométricas. Enelcontextodelaula,alrealizarelestudiodeunafunción,sebuscarepresentarlao tenerunaideabastanteaproximadadesuaspectoapartirdelaexpresiónalgebraicayde ciertainformaciónadicionalsobrelascaracterísticasdelagráfica.estainformaciónse 1018 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas obtieneapartirdeladeterminacióndeldominio,delasinterseccionesconlosejes coordenados,delanálisisdelaparidadysimetrías,delaobtencióndelospuntosde discontinuidadydeladeterminacióndelasecuacionesdelasasíntotas,delanálisisdelos intervalosdecrecimientoydecrecimiento,juntoaladeterminacióndelosextremos relativos(máximosy/omínimos),delestudiodelaconcavidadydelaobtencióndelos puntosdeinflexión. Enlasactividadesqueseproponenacontinuación,sesigueotroprocedimiento.Apartir delagráficadelafunción,seanalizancadaunadelascaracterísticasenunciadas. Todaslasrespuestaspuedensercontroladasmediantecomandospropiosdelprogramay seencuentranenelmenúquesedespliegaalpresionarenlabarrasuperior1fu. Porrazonesdeextensiónsólopresentamoselenunciadodealgunasdelasactividadesde lapropuestajuntoaloscomentariossobresuresoluciónqueaparecenencursiva. EnunciadodelaActividad 1 Representegráficamentef(x) x 3 3x 2 2 Elalumnoobtiene: Observandolagráficadelafunción,determine: a)dominio:. Conjuntoimagen:. b)interseccionesconelejex(ceros):. c)intersecciónconelejey(ordenadaalorigen):. d)analiceelcomportamientodelafunción: cuandox+. cuandox. Paracontrolarsusrespuestas,delmenúseleccionaRaíceseImagen ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 e)indique,sipresenta,lospuntosdediscontinuidad. f)determine(encasodeexistir): Asíntotasverticales: Asíntotashorizontales:. g)obtengaanalíticamentef'(x). h)analiceelsignodeladerivadaprimeraentodoeldominiodelafunción i)indiquelosvaloresdexqueanulanladerivadaprimeraodondenoexiste. Losvaloresdeldominiodeunafuncióndondelaprimeraderivadasehaceceroono existe,sonlospuntoscríticosdelafuncióndada. Paraanalizarelvaloryporlotantoelsignode laderivadaprimera,seleccionederivadaenun punto y en el cuadro de diálogo correspondienteaxintroduzcaelvalordela abscisadelpuntodelagráficaenelquedesea calcularladerivada.utilizandolosbotones<i od>puedeobtenerladerivadaenpuntos próximos al anterior. Para cada punto consideradosevisualizaencolorrojolarecta tangente a la gráfica en dicho punto. Esto puede observarse en la gráfica que se encuentraaladerecha: j)grafiquelafunciónderivada ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

7 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas SeleccioneFunción derivada y obtendrá una gráfica en color verde superpuesta a la anterior. Observandoestagráfica,complete:Dominio def'(x). Lafunciónderivadasehaceceroenx y noexisteenx k) Compare las dos gráficas. Considerando los intervalos que determinan los puntos críticos,completeelsiguientecuadroindicandoelsignodeladerivadaprimeraysien cadaintervalolafunciónescrecienteodecreciente: Intervalo Signodef'(x) (gráficaverde) Comportamientodef(x) (gráficaazul) (,.) (,.) (,.) SeleccionandoIntervalosdecrecimiento e Intervalos de decrecimiento. Se observaunalínearojasobreelejedelas abscisasqueindicadóndelafunciónes creciente o decreciente según sea el caso, quedando determinados además losextremosdelosintervalos ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Por lo tanto, de acuerdo al signo de la derivada primera, puede concluir sobre el crecimientodelafunciónque: Siladerivadadeunafunciónes. enunintervalo,lafuncióndadaes endichointervalo. Siladerivadadeunafunciónes. enunintervalo,lafuncióndadaes endichointervalo. l)determinelosmáximosy/omínimosrelativos. Mínimo:y.enx Mínimorelativo(, ) Máximo:y.enx= Máximorelativo(, ) SeleccionelasopcionesMáximosyMínimosdelmenúparacontrolarsurespuesta. m)calculef''(x). n)grafiquelasegundaderivadadelafunción. SeleccioneSegundaderivadayobtendráuna gráfica en color verde superpuesta al de la funcióndada. Complete: Dominiodef''(x). Lasegundaderivadasehaceceroenx y noexisteenx 1022 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

9 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas o)comparelasdosgráficas.considerandolosintervalosquedeterminanlosposibles puntos de inflexión, complete el siguiente cuadro indicando el signo de la derivada segundaysiencadaintervalolagráficadelafunciónescóncavahaciaarribaohacia abajo: Intervalo (,.) (,.) Signodef''(x) (gráficaverde) Comportamientodef(x) (gráficaazul) SeleccioneIntervalosdeconcavidad(paralaconcavidadhaciaarriba)eIntervalosde convexidad(paralaconcavidadhaciaabajo). Por lo tanto, de acuerdo al signo de la derivada segunda, puede concluir sobre la concavidaddelagráficaque: Siladerivadasegundadeunafunciónes enunintervalo,lagráficadelafunción dadaes. endichointervalo. Siladerivadasegundadeunafunciónes enunintervalo,lagráficadelafunción dadaes. endichointervalo. p)indiquelospuntosdeinflexión. Enx lagráficadelafunciónpresentaunpuntodeinflexión. Porlotantoelpuntodeinflexiónes(, ) SeleccionePuntosdeinflexión. Reflexiones Lasimpleaplicacióndeestasactividadesnoessuficienteparaalcanzarlosbeneficios deseados.esprecisofomentaruncambioenlaconcienciadelosalumnos ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

10 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Consideramossumamenteimportantetransmitirnuestrointerésporelprogresodelos alumnosyelconvencimientodequeuntrabajoadecuadoterminaráproduciendobuenos resultados,aúncuandoinicialmenteaparezcandificultades. Todaslasestrategiasdidácticasquepodamosutilizardeberíanorientarsehaciaelplanteo deactividadesquepermitanobtenermejoresresultadosenelaprendizajeycrearun climadeactitudespositivashacialamatemática.cuantomásampliasycomplejasseanlas relacionesqueseestablezcan,mayorserálacapacidaddelosalumnosdeutilizarlasen situacionescotidianas,enlaconstruccióndenuevossignificadosyenelestablecimiento denuevasrelaciones. También,esnecesarioutilizarenformacoherentediferentesrepresentacionesdelos distintosconceptosquenospermitaabordarlostemasdemaneramáseficiente.además, esimportantehacerunusoreflexivodelasnuevastecnologíasquepermitandarleun significadoconcretoalasnocionesmatemáticas. Aldiseñarlasactividadesdescriptas,laprincipalcaracterísticaquequisimosimpartirles paraquejueguenunpapelorientadoreimpulsadordeltrabajodelosalumnos,esque ellospuedanpercibirlascomoayudareal,generadoradeexpectativaspositivas. Referenciasbibliográficas Engler,A.;Müller,D.;Vrancken,S.,Hecklein,M.(2005).ElCálculoDiferencial.SantaFe, Argentina:CentrodePublicaciones.UniversidadNacionaldelLitoral. Duval,R.(1998).Registrosderepresentaciónsemióticayfuncionamientocognitivodel pensamiento.enhitt,f.(ed.).investigacionesenmatemáticaeducativaii.pp Grupo Editorial Iberoamérica: México. Traducción de: Registres de représentation sémiotiqueetfunctionnementcognitifdelapensée.annalesdedidactiqueetdesciences Cognitives.Vol.5(1993) ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

11 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas Ferrari, M., Martínez, G. (2003). Construcción de funciones con calculadoras graficadoras.enactalatinoamericanadematemáticaeducativa16(pp ).comité LatinoamericanodeMatemáticaEducativa,CLAME. Moreno, L. (2002). Graficación de funciones. En Memorias del Seminario Nacional: FormacióndedocentessobreelusodenuevastecnologíasenelauladeMatemáticas(pp ).Bogotá,Colombia:MinisteriodeEducaciónNacional. Sigalés,Carles(2004,septiembre).FormaciónuniversitariayTIC:nuevosusosynuevos roles.revistadeuniversidadysociedaddelconocimiento(rusc).vol.1,nº1.recuperado el20defebrerode2005,dehttp:// ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.