UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

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1 Reflectometía en el dominio del tiempo UNIERIDAD DE ZARAGOZA FACUTAD DE CIENCIA DEPARTAMENTO DE FIICA APICADA AREA DE EECTROMAGNETIMO CARACTERIZACIÓN DIEÉCTRICA POR T. D. R. DE UNA MEZCA REINA EPOXY TITANATO DE CACIO TRABAJO ACADÉMICAMENTE DIRIGIDO Cuso 4-5 Nombe: Caolina GABADÓN RUIZ Diecto: Pof. José Maía FORNIÉ MARQUINA

2 Reflectometía en el dominio del tiempo AGRADECIMIENTO Quieo expesa mi más pofundo y sinceo agadecimiento a las pesonas que me han facilitado desaolla este tabajo. Una mención especial paa mi diecto José Maía Foniés Maquina po su apoyo y po la gan cantidad de hoas que ha invetido conmigo en este tabajo. e agadezco la enome disponibilidad que me ha mostado en todo momento y la paciencia y amabilidad con que ha ecibido siempe mis cuestiones. No puedo deja de menciona a los pofesoes del Áea de Electomagnetismo que me han apotado en la asignatua Popagación guiada y sistemas adiantes los conocimientos necesaios paa la ealización de esta expeiencia. Al Depatamento de Física Aplicada, po habeme popocionado los medios humanos y mateiales paa la elaboación de este tabajo.

3 Reflectometía en el dominio del tiempo 3. Intoducción. INDICE. Física de dielécticos... Polaización y constante dieléctica... Dispesión dieléctica..3. Fenómenos de elajación dieléctica..3.. Modelo de Debye..3.. Coecciones al modelo de Debye Efecto Maxwell-Wagne..4. Fenómenos de esonancia..4.. Resonadoes dielécticos. 3. Teoía de las líneas de tansmisión. 3.. Análisis cicuital de una línea de tansmisión. 3.. Análisis electomagnético de una línea de tansmisión. 4. Técnicas de eflectometía en dominio tempoal. 4.. Tansitoios en líneas de tansmisión. 4.. Métodos de cálculo numéico po TDR Métodos en el dominio de la fecuencia y en el dominio del tiempo Obtención de magnitudes dielécticas. 5. Descipción del dispositivo expeimental. 6. Tatamiento de esultados. 6.. Efecto conductivo a baja fecuencia. 6.. Deteminación de la fecuencia de esonancia Diagama de Agand. 7. Conclusiones.

4 Reflectometía en el dominio del tiempo 4. INTRODUCCIÓN. El desaollo de los sistemas de comunicación ha pomovido el estudio de nuevos mateiales susceptibles de aplicaciones centadas fundamentalmente en dos aspectos: el diseño de pantallas electomagnéticas y la fabicación de componentes electónicos utilizados en la minimización de cicuitos (sustatos, filtos, cavidades y antenas). Paa el pime caso se analizan medios absobentes basados en mezclas de polímeos y deivados del cabono, polímeos conductoes y mateiales factales, mientas que paa la segunda aplicación se han estudiado medios con pequeñas pédidas y de gan pemitividad dieléctica. os medios de alta constante dieléctica tienen la paticulaidad de se muy estables especto a las vaiaciones de tempeatua. Este hecho pemite conseva las caacteísticas de opeación del cicuito, incluyendo sus fecuencias de esonancia. Este tabajo académico esta diigido al estudio de dielécticos y popagación en líneas de tansmisión, abocando a técnicas de Teoía de la eñal po eflectometía en dominio tempoal. e ealizaá una exposición detallada de la técnica conocida como Reflectometía en Dominio Tempoal (TDR) que pemite la obtención de las popiedades electomagnéticas de un medio en el ango de micoondas. a eflectometía en el dominio del tiempo es un método de tabajo que se basa fundamentalmente en la medida de las señales eflejadas en la supeficie de sepaación de un medio que usualmente viene alojado en una línea de tansmisión, en paticula, en una guía de ondas coaxial. El método de TDR tiene su impotancia en el campo de la caacteización de difeentes medios dielécticos, con una instumentación menos costosa especto a los analizadoes. En paticula, nuesto inteés se centaá en la obtención del especto de ( ω) paa medios no magnéticos a pati de una sola medida de la espuesta del dieléctico a un escalón de tensión.

5 Reflectometía en el dominio del tiempo 5 os fundamentos teóicos que se exponen en este tabajo nos pemitián aboda el compotamiento electomagnético de una mezcla dieléctica constituida po una base de esina-epoxy y una caga de titanato de calcio. Así, se obtendá infomación de las magnitudes de la caacteización en función del contenido de calcio. El compotamiento dieléctico de la mezcla en función de la caga debe pemiti en un análisis más detallado, que sobepasa el objetivo de esta memoia, una modelización de las popiedades en función de la fecuencia y la facción volúmica de la caga. En este sentido, se podía pensa en una posible aplicación de estos medios al diseño de esonadoes dielécticos que actualmente han sido desaollados paa su uso en telecomunicaciones como sistemas de estabilización de la fecuencia en cicuitos oscilantes, filtos y convetidoes. Paa la compensión de los esultados expeimentales obtenidos y paa el análisis detallado que ealizaemos, necesitaemos una intoducción básica en la física de los dielécticos. Po ello, en la pimea pate del texto se definián las magnitudes que caacteizan a los dielécticos y sus pincipales popiedades, centándonos en la descipción del modelo elemental de Debye paa explica fenómenos de elajación dieléctica. in embago, el tatamiento empleado po Debye es demasiado simple y po ello, intoduciemos con más detalle alguna de las coecciones fundamentales de su modelo. También ante los esultados que se obsevan haemos una síntesis beve de la teoías que desciben los fenómenos de esonancia. Una de los elementos de elevancia en este montaje expeimental es la línea coaxial en la cual se poduce el fenómeno de eflexión. En este sentido seá impescindible un estudio de las líneas de tansmisión desde dos puntos de vista difeentes peo equivalentes. Pimeo haemos una deivación de las ecuaciones de las líneas de tansmisión según la Teoía de Cicuitos y luego, según la Teoía Electomagnética. En tece luga, haemos una descipción del montaje expeimental utilizado en el tabajo. Dento de este punto se estudiaán los métodos de medida de la pemitividad dieléctica en el dominio de la fecuencia a pati del análisis del coeficiente de eflexión en la intefase aie-dieléctico obtenido diectamente en el dominio del tiempo.

6 Reflectometía en el dominio del tiempo 6 Centando el tema hacia la caacteización electomagnética de dielécticos, la eflectometía en dominio tempoal constituye un método expeimental que pemite detemina la constante dieléctica compleja en un amplio ango de fecuencia mediante una única medida. a mejoa alcanzada en la adquisición de datos ha compensado las desventajas oiginales que pesentaba el TDR, donde la deteminación del especto de dispesión * ( ω ) exige de una analítica muy pecisa paa supea los inconvenientes que pesenta el tatamiento de la tansfomada de Fouie. e tata de poblemas donde magnitudes en el dominio del tiempo están elacionadas con sus homólogas en el dominio de la fecuencia. a deteminación de la constante dieléctica compleja paa el conjunto de muestas con distinta concentación de calcio, nos ha pemitido apecia un efecto conductivo a baja fecuencia. El estudio detallado de este fenómeno enciea una gan dificultad puesto que la componente imaginaia de la pemitividad depende de paámetos expeimentales tales como la amplitud de la ventana tempoal de medida, la fecuencia de muesteo y el númeo de puntos que se considea. Globalmente, sin embago, bajo la obsevación de gan cantidad de medidas podemos estima un valo paa la conductividad estática. Po ota pate, a alta fecuencia se obsevan efectos esonantes que dependen notablemente del espeso de la muesta. Este hecho nos lleva a enfoca el tabajo en el sentido de considea las mezclas en estudio como posibles esonadoes dielécticos. Po todo ello, hemos centado el tabajo en los aspectos elativos al compotamiento de la constante dieléctica estática, conductividad estática y fecuencia de esonancia. Este último aspecto nos ha conducido a un análisis empíico de la esonancia dieléctica en el ango de micoondas que abe una nueva visión hacia el estudio de mateiales zudos.

7 Reflectometía en el dominio del tiempo 7. FÍICA DE DIEÉCTRICO. En este capítulo pesentamos una descipción geneal de las popiedades físicas de los medios dielécticos, centándonos en aquellas que tengan una mayo elación con nuesto expeimento. Así, estudiaemos la constante dieléctica desde el punto de vista estático y también cuando se aplican sobe el mateial campos amónicos dependientes del tiempo. e dice que un medio dieléctico es aquel que no posee cagas que puedan movese libemente en su inteio, es deci, pesenta un bajo nivel de conducción en coiente continua. in embago, cuando este mateial es sometido a la acción de campos amónicos la distibución intena de cagas dielécticas tataá de segui la dinámica de dichos campos. El enfoque que nos inteesa es la dependencia de la constante dieléctica compleja con la fecuencia. A este especto, tataemos sepaadamente los pocesos dominantes en campos elécticos de baja fecuencia con aquellos que dominan a fecuencias elevadas. En la egión de baja fecuencia dominan los fenómenos de elajación dieléctica los cuales son debidos pincipalmente a los pocesos de polaización oientacional. Paa el estudio de dichos pocesos seá necesaio intoduci el modelo de Debye y sus extensiones. En la egión de altas fecuencias peo todavía en el ango de las micoondas apaecen fenómenos de esonancia. Estudiaemos el hecho de que cuando la fecuencia del campo aplicado coincide con una de las fecuencias popias de otación de los dipolos que componen el mateial se poduce una oscilación máxima de dichos dipolos (conocida como esonancia). Dento del estudio de los fenómenos de esonancia se haá una beve intoducción de un tipo de medios conocidos como esonadoes dielécticos. En ellos se poducián fenómenos de esonancia fuetemente vinculados con las dimensiones (diámeto y espeso) de la muesta dieléctica.

8 Reflectometía en el dominio del tiempo 8.. Polaización y constante dieléctica. En pimea apoximación se puede considea que un mateial dieléctico está fomado po dipolos. Un dipolo eléctico es un sistema constituido po dos cagas puntuales y de sentido contaio sepaadas po una cieta distancia. a pincipal magnitud que caacteiza un dipolo es su momento dipola eléctico el cual se define como: p q d [.] siendo q el valo absoluto de una de las cagas elécticas y d el vecto de posición diigido en el sentido de la caga negativa a la positiva. Una magnitud macoscópica que da una idea de la cantidad de dipolos oientados en una misma diección dento del dieléctico es la polaización. e define el vecto polaización de la siguiente foma: dp P [.] d Como ya hemos dicho el vecto polaización es una magnitud que se detemina macoscópicamente. in embago, debemos busca a nivel micoscópico los distintos mecanismos que daán luga a la apaición y oientación de los dipolos, cuando sobe el dieléctico se aplica un campo eléctico. Dichos pocesos son: Polaización oientacional. Este mecanismo se pesenta únicamente cuando las moléculas poseen momento dipola pemanente. a pesencia de un campo eléctico modifica la situación inicial poduciendo una nueva oientación de los dipolos pemanentes existentes en el dieléctico. Después de un cieto tiempo de aplicación del campo se alcanzaá una situación de equilibio en la cual habá un mayo númeo de dipolos oientados en la diección del campo aplicado.

9 Reflectometía en el dominio del tiempo 9 Polaización inducida. En este caso, los mateiales no tienen dipolos pemanentes sino que dichos dipolos apaecen cuando se poduce una edistibución de caga debida a la aplicación de un campo eléctico. e pueden distingui en este gupo dos tipos de mecanismos similaes peo que se difeencian po la foma en la que se induce: Polaización electónica. Esta polaización suge como consecuencia del desplazamiento de la nube electónica de los átomos o iones especto del núcleo al aplica un campo eléctico. Este hecho induce un dipolo debido al desplazamiento de la caga negativa con especto a la positiva. Polaización iónica. a polaización iónica se debe al desplazamiento elástico de los iones que componen la molécula cuando se aplica un campo eléctico. Esta polaización se da exclusivamente en cistales iónicos. a elación existente ente el campo eléctico macoscópico y el vecto de polaización es la siguiente: P χ E [.3] donde es la pemitividad dieléctica del vacío y e χ e es la susceptibilidad eléctica. Po ota pate, se define el vecto desplazamiento eléctico de la foma: D E P [.4] Ahoa bien, al sustitui en la expesión [.4] el valo de la polaización tenemos la siguiente elación ente el campo exteno y el vecto desplazamiento: D ( χ ) E [.5] e donde la constante dieléctica absoluta o pemitividad dieléctica del medio se define mediante la expesión ( ) [.6] χ e

10 Reflectometía en el dominio del tiempo de modo que, la elación existente ente el vecto desplazamiento y el campo eléctico vendá dada po: D E [.7] upongamos ahoa la aplicación de un campo dependiente del tiempo sobe el mateial dieléctico. Dicho campo puede expesase como: E E exp ω { j t} [.8] y de igual manea, tenemos que el vecto desplazamiento coespondiente seguiá la siguiente ecuación: D D exp t { j ( ω φ) } [.9] siendo φ el desfase ente ambos campos. Po ota pate el tene en cuenta la expesión [.7] se deduce la siguiente elación: D exp{ j φ } ( ω) E [.] donde ( ω) es la pemitividad dieléctica compleja que depende de la fecuencia: ( ω) y ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) j [.] epesentan espectivamente los téminos de dispesión y de absoción y son individualmente función de la fecuencia del campo aplicado. En ocasiones es difícil conoce ( ω) y ( ω) paa todas las fecuencias y puede se más fácil medi una que la ota. as elaciones de Kames König nos elacionan matemáticamente y, y nos pemiten calcula una con el conocimiento de la ota. Dichas elaciones son:

11 Reflectometía en el dominio del tiempo ( u) ( ) u ω du [.] π u ω ( u) ω ( ) ω du [.3] π u ω siendo u una vaiable eal de integación. Teniendo en cuenta que a la hoa de esolve esta integal se omite la singulaidad, es deci, el punto u ω en el cual ( ). En teoía es necesaio obtene el valo de la constante dieléctica paa todas las fecuencias, sin embago, a pati del témino u ω se deduce que la contibución del integando disminuye según aumenta la fecuencia... Dispesión dieléctica. egún se ha dicho en el apatado anteio cuando se aplica sobe un dieléctico un campo alteno se induce una eoientación de los dipolos que depende de dicho campo. Ahoa bien, los difeentes mecanismos de polaización que se poducen en el mateial tienen un deteminado tiempo de espuesta, es deci, hay un cieto desfase ente el momento en el que se aplica el campo eléctico y cuando se poduce el desplazamiento de las cagas. Hay que destaca que el tiempo de espuesta de los mecanismos de polaización es difeente. Así, paa el caso de polaización oientacional los dipolos pemanentes necesitan un tiempo elevado paa oientase en la diección del campo. Po este motivo cuando los campos elécticos aplicados sobe el dieléctico sean de alta fecuencia (supeioes a micoondas) no se poduciá la polaización oientacional debido a que los dipolos no podán segui al campo eléctico. Po tanto, la polaización oientacional seá dominante a bajas fecuencias, entendiendo que el concepto de baja y alta fecuencia depende del sistema que se considee. Respecto a la polaización iónica y electónica sus tiempos de espuesta son mucho más pequeños y po ello, tendemos una contibución más impotante que la oientacional a alta fecuencia.

12 Reflectometía en el dominio del tiempo Ahoa bien, este desaollo que hemos explicado se puede aplica a la constante dieléctica. Dicha constante seá fuetemente dependiente de la fecuencia y en su cuva de dispesión se distinguiá pefectamente la egión coespondiente al mecanismo de polaización oientacional y la egión de polaización electónica o iónica. e dice que el compotamiento dinámico de la polaización oientacional obedece a un poceso de eoientación que se conoce como fenómeno de elajación, mientas que el compotamiento dinámico de la polaización inducida obedece a los llamados fenómenos de esonancia. Estos pocesos que se distinguen al final de la cuva de dispesión se caacteizan po la apaición de picos de absoción cuando la fecuencia del campo aplicado coincida con alguna fecuencia cítica de vibación de las cagas elécticas. Como se obseva en la figua en el ango de las micoondas contibuyen los tes mecanismos de polaización, aunque domina la polaización oientacional. En las fecuencias coespondientes al ango del infaojo y del ultavioleta pedomina la polaización electónica. Figua.: Cuva de dispesión de la pemitividad dieléctica elativa. legados a este punto es impotante destaca que en este tabajo se estudiaán las popiedades electomagnéticas de un dieléctico en el ango de micoondas. En este intevalo de fecuencias ( 4 GHz) obsevaemos ambos fenómenos: elajación a muy bajas fecuencias y esonancia a fecuencias más elevadas.

13 Reflectometía en el dominio del tiempo 3.3. Fenómenos de elajación dieléctica. Ahoa vamos a estudia la egión de bajas fecuencias de los campos aplicados dependientes del tiempo. En dicha egión se obsevan los fenómenos de elajación dieléctica que se deben fundamentalmente a los mecanismos de polaización oientacional. El poceso de elajación dieléctica es un fenómeno po el cual el conjunto de dipolos que se han oientado en la diección del campo vuelven al estado de equilibio temodinámico (en el que se encontaban los dipolos pemanentes). Mediante el modelo de Debye nosotos podemos explica el fenómeno peo solo en el caso de que el medio dieléctico a tata sea puo..3.. Modelo de Debye. upongamos un dieléctico constituido po un conjunto de dipolos pemanentes que se encuentan en una posición de equilibio témico. Aplicamos sobe el dieléctico un campo exteno E ( t), después de un cieto intevalo de tiempo los dipolos se oientan en la diección del campo dando luga a una polaización oientacional. Posteiomente, el sistema de dipolos sufe una elajación hasta alcanza la posición de equilibio témico duante un tiempo, τ, denominado tiempo de elajación o constante de tiempo. De acuedo con el modelo de Debye dicha constante, cuando el sistema está fomado po un conjunto de moléculas polaes, está elacionada con la viscosidad del medio y con la tempeatua. En otos sistemas no polaes τ estaá elacionada con la fecuencia natual de oscilación. En todos los casos seguiá una expesión de tipo exponencial conocida como ey de Ahenius que : W kt τ τ e [.4] as constantes W y τ epesentan los paámetos de cada sistema, pues, W es una enegía de activación, es deci, es aquella enegía potencial necesaia paa alcanza la oientación del dipolo ( ve efeencia [] ).

14 Reflectometía en el dominio del tiempo 4 Este fenómeno de elajación fue estudiado en detalle po Debye, el cual patió de la siguiente hipótesis: Consideaemos que el dieléctico se encuenta bajo la acción de un campo eléctico vaiable en el tiempo. En un deteminado instante dicho campo se hace ceo (puesto que se tata de un campo tipo sinusoidal), y Debye popuso que la polaización oientacional sigue una ley exponencial dececiente en el tiempo: P () () t PAT t e t τ [.5] es deci, el vecto de polaización oientacional pesenta dos contibuciones, una conocida como polaización de satuación P AT y ota que se tata de una vaiación exponencial dependiente del sentido del campo. Una vez conocida la polaización oientacional nos inteesa obtene la polaización total y paa ello, tendemos que inclui en la expesión la contibución en este ango de baja fecuencia de los mecanismos de polaización inducida. En este caso, la contibución P a la polaización total viene dada a pati de la expesión [.3]: P χ E [.6] ( ) E donde y χ son las contibuciones de los pocesos de alta fecuencia a la constante dieléctica y a la susceptibilidad. a polaización de satuación al inclui el témino inducido dado en [.6] se tansfoma según: P AT [.7] () t P P ( ) E ( ) E ( ) E donde epesenta la constante dieléctica estática.

15 Reflectometía en el dominio del tiempo 5 En definitiva, tenemos que la polaización total según el modelo de Debye es: P t () t ( ) E ( ) τ e E [.8] i epesentamos gáficamente la polaización total fente al tiempo, obsevamos que a pati del instante t dicha función sigue una ley exponencial dececiente: Figua.: aiación tempoal del vecto polaización en un campo eléctico vaiable en el tiempo. Ahoa bien, si consideamos exclusivamente el segundo témino que coesponde a la polaización oientacional y lo deivamos con especto al tiempo: dp O dt () t τ [( ) E( t) P ( t) ] al intega la expesión anteio obtenemos ( t) P O : O [.9] P O t τ () t P( ) e E() t j ω τ [.] Como podemos obseva el pime témino se anula paa un tiempo suficientemente gande, mientas que el segundo es un témino estacionaio. Entonces, la polaización oientacional cuando ha tanscuido el tiempo necesaio paa que el témino tansitoio desapaezca es: P O () t E() t j ω τ [.]

16 Reflectometía en el dominio del tiempo 6 vendá dado po: Ahoa bien, el vecto polaización oientacional a pati de la expesión [.3] P () t ( ) E( t) [.] y después de iguala las expesiones [.9] y [.] se tiene que: ( ω) j ω τ [.3] Po tanto, las componentes eal e imaginaia de la constante dieléctica se obtienen esolviendo el sistema de ecuaciones que se deducen de la elación anteio: ( ω ) ω τ [.4] ( ω ) ( ) ω τ ω τ [.5] Hay una manea páctica de compoba si la muesta dieléctica se adapta o no al modelo de Debye. e tata de epesenta los esultados obtenidos paa la componente imaginaia de la constante dieléctica, ( ω), con especto a la componente eal, ( ω) en el tipo de epesentación conocida como diagama de Agand., Figua.3: Diagama de Agand de un dieléctico según el modelo de Debye.

17 Reflectometía en el dominio del tiempo 7 Este esultado obsevado en la figua se puede obtene matemáticamente a pati de las dos expesiones obtenidas paa la pate eal e imaginaia de la pemitividad. En pime luga, despejamos el facto de ambas ecuaciones, e igualándolas ω τ obtenemos ω τ : ω τ [.6] i sustituimos en [.4] el facto ω τ, se deduce una elación ente las componentes eal e imaginaia: [ ( ω )] ( ( ω ) ) ( ( ω )) [.7] Con lo cual mediante esta elación se obtiene la ecuación de una ( ) y de adio. cicunfeencia centada en ( ) Otos diagamas, con los cuales también se compueba geométicamente si un dieléctico sigue el modelo de Debye, son aquellos en los que se tata de epesenta ( ω ) y ( ω ) fente al ω τ en escala logaítmica. ω y de Figua.4: Repesentación logaítmica de ( ) ( ω ) fente a la fecuencia.

18 Reflectometía en el dominio del tiempo Coecciones del modelo de Debye. En geneal, se compueba expeimentalmente que solamente unos pocos sólidos y líquidos se adaptan al modelo de Debye. Esto es debido a que en el desaollo seguido po Debye se considea un dieléctico simple en el que no hay inteacción ente los dipolos idénticos que lo componen, ni tampoco po la pequeña conductividad que pesentan. Además, no se ha tenido en cuenta el hecho de que el mateial puede pesenta una distibución de tiempos de elajación difeentes. Po esta azón, aunque cualitativamente el modelo de Debye es de gan inteés, es necesaio hace una seie de coecciones que nos pemitan identifica con que tipo de dielécticos se está tabajando. A continuación se van a expone una seie de ampliaciones del modelo de Debye que nos pemitián una mejo caacteización del dieléctico: Influencia del campo local. En pime oden de apoximación se ha consideado que el campo local es igual al campo exteno aplicado, sin embago, esta suposición no es del todo coecta. egún el modelo de oentz el campo local vendá dado po: P E OC E E 3 3 [.8] y despejando el campo aplicado es: 3 E E OC [.9] con lo cual en la expesión [.4] tendemos que sustitui cualquie pemitividad po 3, obteniendo una expesión simila al esultado de Debye, peo con la difeencia de que τ habá cambiado: τ τ DEBYE [.3]

19 Reflectometía en el dominio del tiempo 9 obsevando que al se > cuando incluimos esta coección se poduce un aumento del tiempo de elajación con especto al τ DEBYE. Este aumento de τ puede se bastante acusado en cietos dielécticos y distinguise pefectamente en una epesentación gáfica como la de la figua.4. Influencia de la conductividad. Como sabemos la mayoía de los mateiales tienen en mayo o meno medida una cieta conductividad debida a los potadoes libes y que se obseva a muy bajas fecuencias en la epesentación de la pate imaginaia de la pemitividad dieléctica. Una coección de este tipo supondá que mientas la pate eal se mantendá tal como viene definida en [.], la pate imaginaia se veá influenciada po un nuevo témino esultando de la foma: ( ω) ( ) ω τ σ C ω τ ω [.3] con lo cual esta influencia viene eflejada en el diagama de Agand que paa este modelo coegido es de la foma: Figua.5: Diagama de Agand de un dieléctico con cieta conductividad. e deduce de la expesión [.3] que a medida que la componente debida a la conductividad se hace mayo, su efecto se obsevaá con mayo claidad en el diagama de Agand puesto que se sepaaá cada vez más del semicículo oiginal.

20 Reflectometía en el dominio del tiempo Influencia de distintos tiempos de elajación. En un dieléctico puede ocui que las moléculas que lo foman tengan distintos tiempos de elajación, incluso en el caso de que sean del mismo tipo de mateial. Este hecho también supondá una modificación de las ecuaciones de Debye. En paticula ya no podemos considea un tiempo de elajación único como un paámeto fijo, sino que tendemos que suma a todas las divesas contibuciones Efecto Maxwell-Wagne. Maxwell y Wagne ceaon un modelo que pemitió explica de manea simple el hecho de que a muy baja fecuencia apaezca un aumento de la componente eal de la pemitividad dieléctica (ve efeencia [8] ). Dicho cecimiento no puede se explicado a pati de los mecanismos de polaización antes descitos. En un mateial pueden distinguise divesas fases o componentes, si se tata de un mateial no homogéneo, o simplemente puede tene poos o impuezas. Cuando esto ocue se puede poduci un efecto de dispesión a muy baja fecuencia debido a que puede existi una baea de potencial ente distintas fases. Paa explica este fenómeno vamos a considea un dieléctico compuesto de una mezcla de dos medios de pemitividad estática y, y con unas conductividades σ y σ. upondemos además que el dieléctico está situado ente las placas de un condensado, siendo el espeso de cada una de las fases d y d, espectivamente. En ealidad se foma un sistema constituido po dos condensadoes de capacidades C y C colocados en paalelo. Figua.6: Modelo simple de una mezcla dieléctica.

21 Reflectometía en el dominio del tiempo El sistema dieléctico cumple la elación: d d d [.3] donde el espeso total es d d d. Respecto a las constantes dielécticas complejas de cada medio, y, pueden considease a muy baja fecuencia iguales a: ω σ i i i j con, i [.33] Despejando de la expesión [.3] la pemitividad compleja y teniendo en cuenta la ecuación anteio se tiene que: ω σ ω σ j d j d d [.34] Haciendo un desaollo complejo se obtiene finalmente una elación paa la constante dieléctica elativa igual a: ( ) τ ω τ ω ω j j [.35] donde,, τ, τ son constantes que vienen dadas po: ( ) ( ) d d d d d σ σ σ σ d d d d d d d σ σ τ σ σ σ σ τ d d d

22 Reflectometía en el dominio del tiempo i compaamos la elación [.35] con la ecuación obtenida en el modelo de Debye paa la pemitividad compleja se deduce que los dos pimeos téminos son exactamente iguales y po tanto, el medio en estudio también sufiá un fenómeno de elajación. in embago, también hay oto témino que efleja la existencia de una conductividad deteminada en cada uno de los mateiales que componen el dieléctico, este nos explica el fenómeno de dispesión que se obseva a muy bajas fecuencias. El diagama de Agand de un medio dieléctico que pesente el efecto de Maxwell-Wagne, es el mismo que el epesentado en la figua.5. a única difeencia es que ahoa la desviación del modelo de Debye que se obseva no es debida a una sola conductividad, sino a la pesencia de conductividades distintas debidas a la heteogeneidad del mateial..4. Fenómenos de esonancia. os fenómenos de esonancia se poducen cuando el campo eléctico que se aplica sobe el dieléctico tiene una fecuencia tal que coincida con la fecuencia natual de oscilación del conjunto de patículas que foman el mateial. Este efecto que se poducen a altas fecuencias se obsevaán en nuesto tabajo en el ango de micoondas y seá pincipalmente debido a la polaización electónica. Paa entende el fenómeno que nos ocupa, consideaemos en pime luga, que tenemos sólidos fomados po átomos monoelectónicos. Al aplica un campo eléctico lo que ocue es que el electón se mueve con un movimiento amónico fozado y amotiguado. a ecuación del movimiento de dicho electón seá de la foma: d x dx m m γ m ω x e E() t [.36] dt dt cuya solución es: () t e m E x ( t) ( ω ω j γ ω) [.37]

23 Reflectometía en el dominio del tiempo 3 siendo γ la constante de amotiguamiento y ω la fecuencia natual de oscilación del electón. Conocido x () t podemos obtene el momento dipola del electón: () t e x() t e m E p ( t) ( ω ω j γ ω) [.38] Hemos estudiado lo que sucede con un solo átomo, ahoa pasamos a detemina lo que ocue con un sólido. Paa ello, consideamos que tenemos N átomos po unidad de volumen y esulta que la polaización electónica es: P e [.39] () t N e x( t) vecto que también cumpliá una ecuación de la foma: d Pe m dt dp e m γ m ω Pe N e E() t [.4] dt admitiendo soluciones estacionaias del tipo: N e E P e () t m ( t) ( ω ω j γ ω) [.4] donde ω es la fecuencia de esonancia electónica. Ahoa, nos inteesa elaciona este esultado con la pemitividad dieléctica compleja y paa ello, sabemos que a fecuencias suficientemente altas paa que la única contibución sea la electónica se cumple que: P e [ ( ω) ] E e [.4]

24 Reflectometía en el dominio del tiempo 4 Igualando ambas expesiones se obtiene la contibución electónica a la pemitividad: e ( ω) a ( ω ω j γ ω) [.43] y entonces las componentes eal e imaginaia de e ( ω) vendán dadas po: e ( ω) a [.44] ( ω ω ) γ ω ω ω ( ω) a e [.45] ( ω ω ) γ ω γ ω donde a N e m es una constante dependiente de las condiciones del medio. A continuación, epesentamos gáficamente y fente a la fecuencia ω y lo que se obseva es lo siguiente: Figua.7: Contibución de la polaización electónica a la pemitividad dieléctica. i nos fijamos en la figua.7 hay una zona (po debajo de ) en la que la pate eal de la constante dieléctica podía llega a se negativa. A los medios con negativa se los conoce como mateiales zudos o metamateiales (ve efeencia [] ).

25 Reflectometía en el dominio del tiempo 5 as expesiones anteioes son análogas a las deducidos en los modelos de elajación, [.4] y [.5], pemitiendo establece la coespondencia: a [.46] con lo cual se tiene el siguiente esultado, ya deducido po Bon-Wolf [4]: ( ω) ( ω ω ) γ ω ω ω [.47] ( ω) ω γ ( ω ω ) γ ω [.48] po tanto, obtendemos la fecuencia de esonancia a pati de [.48] cuando ω ω : ω ( ω ) [.49] γ En consecuencia, las componentes eal e imaginaia se pueden elaciona ente ω γ ω sí igualando el facto común, ( ) ω, ente ambas. Así, se obtiene que: γ ω ( ω) ( ω ω ) ( ( ω) ) [.5] i epesentamos en el plano complejo ω que el módulo ρ (ve figua.8) viene dado po: fente a ω ( ), se deduce ( ) ω ( ) ρ ω ω [.5]

26 Reflectometía en el dominio del tiempo 6 y po ota pate, el valo de este módulo se puede obtene tomando la pate eal e imaginaia según [.47] y [.48]: ρ ( ) γ senϕ [.5] donde ω γ sen ϕ. ( ω ω ) γ ω Figua.8: Repesentación en el plano complejo de ω ω. fente a ( ) De la figua se deduce que ρ seá máxima cuando sen ϕ, en ese caso se cumple que: R ( ) ρ [.53] γ Compaando la ecuación anteio con aquella obtenida paa la fecuencia de esonancia, [.49], se deduce un valo paa el adio de la cicunfeencia: R [.54] γ

27 Reflectometía en el dominio del tiempo 7 En ealidad el diagama de Agand que se obtiene expeimentalmente paa una muesta deteminada puede difei de la epesentación cicula coespondiente al modelo de Debye. Po ejemplo, es habitual que la cicunfeencia cote el eje eal, eflejando un modelo simético de Cole-Cole. También puede ocui que debido al pefil asimético de la cuva de dispesión lo que se obtenga es una epesentación elíptica, coespondiente a modelos de tipo Cole-Davidson, o bien, Haviliak-Negami..4.. Resonadoes dielécticos. Algunos medios, conocidos como esonadoes dielécticos, pueden actua de la misma foma que las cavidades metálicas, es deci, poduciendo efectos esonantes. Estos medios han sufido un gan desaollo gacias a las mejoas conseguidas en el estudio de mateiales ceámicos. Además, debido a su bajo coste, pequeño tamaño y a la facilidad con la que se pueden incopoa en cicuitos integados, son diseñados paa sustitui a las cavidades esonantes en cicuitos de micoondas y sistemas de comunicaciones. Un esonado dieléctico es un medio que se caacteiza po su constante dieléctica elativa elevada, compendida ente un valo de a. a geometía más utilizada es la cilíndica en foma de disco (figua.9) aunque también hay de otos tipos tales como ectangula o esféica. Figua.9. Resonado dieléctico cilíndico. A continuación vamos a considea un esonado dieléctico cilíndico. a distibución de campos en el esonado pesenta una simetía cilíndica, puesto que el modo más comúnmente usado es el modo TE δ. as componentes tansvesales de

28 Reflectometía en el dominio del tiempo 8 dicho modo, E φ y H ρ, se deteminan explícitamente en la efeencia [] mediante un laboioso desaollo. a configuación del campo eléctico en el inteio y exteio del esonado se epesenta en la figua., en la cual se obseva que dicho campo es nulo en la zona cental del disco. Este hecho es de gan impotancia puesto que el esonado dieléctico cilíndico tiene la misma espuesta que una aandela de geometía coaxial, y po tanto, seá posible la obtención de paámetos tales como la pemitividad mediante divesas técnicas (po ejemplo, TDR). Figua.. Configuación del campo eléctico en el modo TE. δ Nos centaemos en las expesiones paa las constantes de fase, β, y atenuación, α :, 45 β k [.55] R,45 α [.56] R k donde k ( π f ) c R es la constante de popagación en el vacío, R f es la fecuencia de esonancia, es la pate eal de la constante dieléctica elativa del esonado. as expesiones anteioes están elacionadas mediante la conocida condición de esonancia del medio: β tan α β [.57]

29 Reflectometía en el dominio del tiempo 9 i sustituimos en [.57] los valoes de α y β y tenemos en cuenta la elación existente ente k y la fecuencia de esonancia, se puede obtene una expesión que elacione la fecuencia de esonancia con paámetos geométicos tales como el espeso, e, y el adio, R, del esonado dieléctico cilíndico.,45 c f R π R [.58] Hay que destaca que existen otos métodos apoximados (ve efeencia [3] ) que nos pemitián calcula la pimea fecuencia esonante. Una de las expesiones más exactas paa el esonado cilíndico, la cual es válida paa espesoes compendidos ente,7 R e, 9 R, se puede escibi (expesada en GHz y en mm ) como: 36,56 f R [.59] 3 ( 4 R e) Po ota pate, un paámeto caacteístico de cualquie dispositivo esonante es el conocido como facto de calidad, Q d, el cual es una medida de las pédidas en el medio. Esta magnitud dependeá tanto de las pédidas po adiación como de las pédidas dielécticas. En pime oden de apoximación, consideaemos que las pédidas po adiación son despeciables y en ese caso, el facto de calidad se define como: Q d [.6] tanδ donde δ λ es el paámeto que nos da la vaiación en z del modo esonante, destacando que la longitud de onda del modo es λ π k c f. R

30 Reflectometía en el dominio del tiempo 3 3. TEORÍA DE A ÍNEA DE TRANMIIÓN. En sentido esticto una línea de tansmisión es una estuctua electomagnética capaz de popaga modos del campo, es deci, siempe admite una solución de tipo tansvesal electomagnético. Paa que pueda popagase una onda TEM en el inteio de la línea es necesaio que dicho sistema de simetía taslacional esté fomado po dos o más conductoes. os tes tipos más comunes de líneas de tansmisión son: ínea de tansmisión bifila. Está fomada po dos hilos conductoes paalelos sepaados po una distancia unifome. ínea de tansmisión plano-paalela. Este tipo de líneas consisten en dos conductoes planos y paalelos sepaados po una capa de dieléctico de pequeño espeso. ínea de tansmisión coaxial. El sistema está constituido po un conducto inteno y un conducto exteno coaxial al pimeo sepaados po un medio dieléctico (ambos conductoes están constituidos po cobe). Esta estuctua tiene la impotante ventaja de que los campos electomagnéticos están completamente confinados en la egión dieléctica ente conductoes. En el dispositivo expeimental, TDR, la línea de tansmisión posee geometía coaxial. Figua 3.: (A) línea bifila, (B) línea plano-paalela y (C) línea coaxial.

31 Reflectometía en el dominio del tiempo 3 En este tema ealizaemos un tatamiento teóico de las líneas de tansmisión desde dos puntos de vista que son equivalentes, y sin embago, nos popocionan elaciones difeentes paa el mismo dispositivo. En pincipio, es necesaio estudia la línea de tansmisión según la Teoía de Cicuitos lo cual nos pemitiá obtene una expesión geneal de la impedancia caacteística en cualquie punto de la línea. Posteiomente, utilizaemos la Teoía Electomagnética y la aplicaemos diectamente al caso de una línea coaxial. 3.. Análisis cicuital de una línea de tansmisión. Ahoa, vamos a deiva las ecuaciones que gobienan una línea de tansmisión unifome fomada po dos conductoes. En paticula, centaemos nuesto estudio en una línea de tansmisión finita, es deci, consideaemos un dispositivo que conecta una fuente a una impedancia de caga Z. Además, tataemos el caso en el que la impedancia intena del geneado es igual a la impedancia intínseca de la línea, es deci, tenemos la línea adaptada al geneado. Figua 3.: ínea de tansmisión adaptada. Paa desaolla la teoía sobe líneas de tansmisión vamos a estudia su cicuito equivalente. Paa ello, consideaemos una coodenada z cuyo oigen seá el punto de conexión del geneado con la línea según muesta la figua: Figua 3.3: Cicuito equivalente de la línea de tansmisión.

32 Reflectometía en el dominio del tiempo 3 En una situación eal tendemos que considea el caso de que la línea de tansmisión tenga pédidas. En paticula, el dispositivo tendá pédidas óhmicas en los conductoes y pédidas dielécticas en el medio situado ente los conductoes: Pédidas en conductoes. i la conductividad eléctica σ del conducto pesenta un valo finito, el sistema va a tene una cieta esistencia y apaeceá una pédida de enegía po efecto Joule. Pédidas dielécticas. En un medio dieléctico pueden pesentase dos tipos de pédidas: pédidas po efecto Joule y pédidas dielécticas. Ambas pesentan efectos similaes, que son los de atenua la onda que se popaga po la línea. amos a tata ambas pédidas a la vez, englobándolas en un paámeto conocido como conductancia G (inveso de la esistencia). Así, si tenemos en cuenta todo lo anteio, podemos sustitui un elemento de la línea de longitud Δ z po el siguiente cicuito equivalente: Figua 3.4: Cicuito equivalente de un elemento de la línea de longitud Δ z. Aplicando al nodo del cicuito anteio la pimea y segunda ley de Kichhoff, tenemos que: ( z, t) di ( z, t) ( z Δz, t) Δz R Δz I( z, t) [3.] dt ( z, t) d I ( z, t) I( z Δz, t) G Δz ( z, t) C Δz [3.] dt

33 Reflectometía en el dominio del tiempo 33 Conviene indica que ( z, t) y ( z Δz, t) z Δz epesentan los voltajes instantáneos en z y, espectivamente. Análogamente, I ( z, t) y I ( z Δz, t) denotan las intensidades instantáneas en z y z Δz. Tomando el límite cuando Δ z tiende a ceo y expesando las ecuaciones en notación fasoial se tiene: ( z) d ( R j ω ) I( z) [3.3] dz ( z) di ( G j C ω ) ( z, ) [3.4] dz Estas dos expesiones son conocidas como ecuaciones del telegafista y son ecuaciones amónicas en el tiempo. Despejando de ambas ecuaciones la intensidad y el voltaje obtenemos que: d dz d I dz ( z) ( z) ( z) γ [3.5] ( z) γ I [3.6] con α j β ( R j ω ) ( G j ω C) γ la constante de popagación. Estas dos últimas ecuaciones son las conocidas como ecuaciones de onda paa el voltaje y la intensidad, y su solución geneal viene dada po: I γ z γ z ( z) ( z) ( z) e e γ z γ z ( z) I ( z) I ( z) I e I e [3.7] [3.8] donde,, I e I son las amplitudes de las ondas viajeas hacia la deecha ( ) y hacia la izquieda ( ) de intensidad y de tensión, espectivamente.

34 Reflectometía en el dominio del tiempo 34 os valoes de,, expesión con la impedancia caacteística del medio: I e I se pueden elaciona mediante la siguiente Z [3.9] I I donde la impedancia caacteística de la línea viene dada po: Z μ [3.] siendo y μ la constante dieléctica y la pemeabilidad magnética del medio existente ente los elementos de la línea. tansmisión (en Po oto lado, hay que tene en cuenta que en la teminación de la línea de z l ) se tiene que: () l Z I() l [3.] y entonces, el voltaje e intensidad en el punto z l son: I γ l γ l () l e e [3.] [3.3] Z Z γ l γ l γ l γ l () l I e I e e e i despejamos de las ecuaciones anteioes y, podemos obtene ambas magnitudes en función del voltaje y la intensidad al final de la línea de tansmisión: γ l e γ l e [ () l Z I() l ] [ ( Z Z ) I( l) ] [3.4] e γ l e γ l [ () l Z I() l ] [ ( Z Z ) I( l) ] [3.5]

35 Reflectometía en el dominio del tiempo 35 ustituyendo en [3.] y [3.3] las expesiones obtenidas paa las componentes del voltaje, y, esultan las siguientes ecuaciones que nos definián el voltaje e intensidad en la línea de tansmisión en función de la impedancia caacteística Z y de la impedancia de caga Z : ( z) () l I γ ( l z ) γ ( l ) [( Z Z ) e ( Z Z ) e ] z [3.6] I ( z) () l I Z γ ( l z ) γ ( l ) [( Z Z ) e ( Z Z ) e ] z [3.7] Es inteesante defini un paámeto esencial en los desaollos teóicos posteioes, como es el coeficiente de eflexión, definido como la azón ente la amplitud de tensión eflejada especto a la tensión incidente: Γ Z Z Z Z [3.8] pudiendo expesalo en foma agumental puesto que su módulo es siempe meno o igual que la unidad: Γ Γ jθ Γ e. i el oigen de distancias se toma en la caga, es conveniente intoduci una nueva vaiable z l z, con lo cual las ecuaciones [3.6] y [3.7] toman la foma: I ( z ) ( z ) () l I γ z z [( Z Z ) e ( Z Z ) e ] γ I () l γ z z [( Z Z ) e ( Z Z ) e ] γ Z [3.9] [3.] Ahoa bien, las expesiones anteioes pueden se simplificadas con el uso de las funciones hipebólicas. Así, teniendo en cuenta que: e e γ z γ z cosh( γ z ) y e e senh( γ z ) γ z γ z

36 Reflectometía en el dominio del tiempo 36 podemos escibi las ecuaciones [3.9] y [3.] como: ( z ) I( l) [ Z ( z ) Z senh( γ z )] cosh [3.] γ () l I I( z ) γ Z [ Z senh( γ z ) Z cosh( z )] [3.] De esta foma, podemos obtene la impedancia en cualquie punto de la línea a una distancia z de la caga: Z ( z ) I ( z ) ( z ) ( γ z ) Z senh( z γ ) ( γ z ) Z cosh( γ z ) Z cosh Z [3.3] Z senh o bien: Z ( z ) ( γ z ) ( γ z ) Z Z tanh Z [3.4] Z Z tanh Po último, hay que destaca que en el punto línea de tansmisión como una impedancia de entada, z l el geneado es visto po la Z i cuyo valo vendá dado po: Z i Z () l ( γ l) ( γ l) Z Z tanh Z [3.5] Z Z tanh Figua 3.5: ínea de tansmisión finita teminada con una impedancia de caga Z y con impedancia de entada Z. i

37 Reflectometía en el dominio del tiempo 37 Hemos consideado el caso más geneal de una línea de tansmisión unifome y finita integada en un cicuito con impedancias de entada y salida. En este desaollo es necesaio estudia un caso más simple que es la línea ideal sin pédidas. e dice que una línea de tansmisión sin pédidas es aquella en la cual los conductoes de la línea son pefectos ( ) ( σ ). σ y el medio dieléctico que los sepaa no pesenta conductividad c Es evidente que estas condiciones suponen que R G y a pati de estas condiciones simplifican el valo de la constante de popagación: γ j β j ω C [3.6] ya que la atenuación, α, es nula. Ahoa bien, al considea la expesión del coeficiente de eflexión en foma agumental, podemos escibi el voltaje e intensidad en un punto cualquiea z de la línea sin pédidas en la foma: I ( z ) ( z ) () l ( ) jβ z j[ θ z ] I Γ [ Γ e ] β Z Z e I () l [ ] jβ z j[ θγ z ] ( Z Z ) e Γ e β Z [3.7] [3.8] En este caso, debido al hecho de que el voltaje e intensidad en la línea constituyen una onda estacionaia, es conveniente defini la magnitud conocida como azón de onda estacionaia ( W. R) máximo y mínimo:.. Dicha magnitud es la elación ente los voltajes MAX Γ [3.9] Γ MIN

38 Reflectometía en el dominio del tiempo 38 que: Despejando el módulo del coeficiente de eflexión de esta ecuación tenemos Γ [3.3] A continuación, vamos a estudia una seie de casos especiales en elación con el valo que toma la impedancia de caga. Así, distinguiemos tes casos del desaollo geneal: ínea abieta (Z ). En este caso, la intensidad al final de la línea es nula I ( l) que cumplise la elación:, po tanto tiene () l I () I l Z () l () l Z y como es () l () l, entonces, el coeficiente de eflexión paa una línea abieta es Γ. De aquí se deduce que la azón de onda estacionaia según [3.9] es. a impedancia en cualquie punto de la línea (según [3.4]) queda simplificada a: Z ( z ) Z tanh( γ z ) Z Z Z [3.3] Z ( ) ( z ) z tanh γ tanh γ Z ínea cotocicuitada (Z ). En este caso, el voltaje al final de la línea es nulo ( l) tendá que cumplise que () l ( l). Po lo tanto,. Así, en la línea cotocicuitada el coeficiente de eflexión es Γ y la azón de onda estacionaia es.

39 Reflectometía en el dominio del tiempo 39 a impedancia en cualquie punto de la línea es: ( z ) Z tanh( γ z ) Z [3.3] ínea adaptada (Z Z ). Es este caso, al se la impedancia de caga Z igual a la impedancia caacteística de la línea Z, mediante [3.8] el coeficiente de eflexión es Γ y po tanto,. Respecto a la impedancia en cualquie punto de la línea vendá dada po: ( z ) Z Z [3.33] 3.. Análisis electomagnético en una línea de tansmisión. Ahoa, vamos a considea que el medio dieléctico ente los conductoes de la guía es un dieléctico lineal, homogéneo e isótopo. Además, supondemos que en él no hay caga libe ( σ ) y que la línea de tansmisión que lo contiene no tiene pédidas. En dicho caso, las ecuaciones de Maxwell de las cuales patiemos en este desaollo se simplifican: E [3.34a] H [3.34b] H E μ [3.34c] t H E [3.34d] t siendo μ y la pemeabilidad y pemitividad del medio, espectivamente.

40 Reflectometía en el dominio del tiempo 4 A pati del conocimiento de las ecuaciones de Maxwell podemos obtene la ecuación de ondas del campo eléctico paa el medio dieléctico. Paa ello, teniendo en cuenta la ecuación [3.34a] y aplicamos una identidad vectoial se tiene que: E [3.35] ( E) E E Po oto lado, se puede obtene este mismo valo a pati de la ecuación [3.34c]: E E μ ( H ) μ [3.36] t t Igualando ambas expesiones esulta la ecuación de popagación paa el campo eléctico en la línea: y análogamente, E E μ t [3.37] H H μ t [3.38] Nos centaemos exclusivamente en el campo eléctico y vamos a considea que su solución es de tipo amónico: Ε Ε exp ( j ω t γ z) [3.39] siendo z la diección de popagación de la onda electomagnética. Respecto a la constante de popagación γ, seá un númeo complejo con una componente eal, α, conocida como constante de atenuación y una componente imaginaia, β, constante de fase, ya definidas peviamente. i sustituimos [3.39] en la ecuación de ondas y simplificamos, la expesión se educe a: γ α j β μ [3.4]

41 Reflectometía en el dominio del tiempo 4 Recodando que la velocidad de fase de una onda se define como podemos deduci de la ecuación anteio que: v, β v [3.4] Re ( μ) / En este desaollo no estamos consideando que la constante dieléctica o la pemeabilidad son elativas. En el caso de que se necesitaán los valoes elativos al vacío se obtendían dividiendo po o μ, espectivamente. Un paámeto necesaio en la descipción de una línea de tansmisión es su impedancia. Anteiomente en la ecuación [3.] hemos dado su definición, peo podemos deducila a pati del modelo: Ζ I Ε Η μ j ω γ μ [3.4] Deduciemos ahoa la impedancia caacteística en el caso paticula de una línea coaxial en función de los adios del conducto inteio, a, y del exteio, b. Paa ello, patimos de la idea de que po la línea solo se popagan los modos tansvesales del campo (que denotaemos como Ε ρ y Η φ ). Figua 3.6: Geometía coaxial.

42 Reflectometía en el dominio del tiempo 4 Tabajando en coodenadas polaes, el campo eléctico en un punto P del inteio de la línea vendá dado po: E E jkz ρ e [3.43] siendo k ω μ la constante de popagación. Paa obtene el campo magnético pependicula a Ε ρ, hay que tene en cuenta que mediante las ecuaciones de Maxwell ambos campos están elacionados: Η φ E μ ρ [3.44] Paa obtene el voltaje integamos el campo ente los límites a y b obteniéndose que: b b E ln a a jkz ρ d E e [3.45] y la intensidad que cicula po el conducto: π jkz Ι Ηφ ds E e [3.46] C μ Conocido el voltaje y la intensidad ya podemos pocede a la obtención de la impedancia caacteística de la línea coaxial: Ζ π μ b ln a [3.47]

43 Reflectometía en el dominio del tiempo 43 En geneal la mayoía de los mateiales no tiene espuesta magnética y po ello se considea que μ. Destacando que cuando la línea está ellena de un medio de constante dieléctica elativa ( ω) la impedancia caacteística es: Ζ π μ b ln a [3.48] Con este modelo hemos conseguido elaciona paámetos de la línea tales como sus dimensiones y su impedancia, con la popiedad básica del dieléctico que vamos a estudia, la constante dieléctica.

44 Reflectometía en el dominio del tiempo TÉCNICA DE REFECTROMETRÍA EN DOMINIO TEMPORA. El método TDR se utiliza fundamentalmente paa la caacteización electomagnética de un dieléctico. Paa pode entende los métodos de cálculo numéico utilizados en la deteminación de popiedades dielécticas a pati de los datos obtenidos en el expeimento de TDR, tenemos que hace una intoducción del fundamento teóico en el que se basa este método, es deci, vamos a intoduci el concepto de tansitoio en una línea de tansmisión. Posteiomente se haá una beve intoducción a los dos tipos de pocedimientos paa la adquisición de datos: en el dominio tempoal y en el dominio de la fecuencia. e haá también una síntesis de los métodos de pimea eflexión y múltiple eflexión que pemiten la obtención de la pemitividad elativa de un dieléctico. 4.. Tansitoios en líneas de tansmisión. i se envía una onda electomagnética a lo lago de una línea de tansmisión, cualquie discontinuidad en dicha guía supondá la ceación de una onda eflejada que nos pemitiá obtene infomación tanto de la magnitud como de la situación de la nueva impedancia. Con el objetivo de intoduci esta idea consideamos el caso más sencillo constituida po una línea sin pédidas que conecta un geneado de tensión de impedancia intena esistiva R a una esistencia de caga R. Figua 4.: ínea de tansmisión de impedancia caacteística R y longitud l.

45 Reflectometía en el dominio del tiempo 45 En t se ciea el inteupto que conecta el geneado a la línea. En ese instante viajaá una onda inicial que no se veá influenciada po la caga situada al final. De esta manea, en el punto z y en un instante dicha onda inicial vendán dadas po: t la intensidad y tensión de I ( z t ) I, R Z [4..a] Z ( z, t ) [4..b] R Z Así, después de cea el inteupto la onda se popaga hacia la caga con velocidad v C, de manea que, el fente de ondas inviete un tiempo t l c en llega a la caga. En ese instante y paa z l la tensión y coiente en la caga seán la supeposición de las ondas incidente y la eflejada: ( z, t ) ( Γ ) [4..a] ( z, t ) I I ( Γ ) I I [4..b] po lo que, teniendo en cuenta que el coeficiente de eflexión en la caga es: R Z Γ [4.3] R Z A continuación, las ondas eflejadas Γ I I y Γ viajan hacia el geneado (las ondas incidentes siguen popagándose desde el geneado hacia la caga) con velocidad v C. En el instante t t, las ondas eflejadas llegan al geneado, donde la nueva desadaptación de impedancias cea una nueva onda eflejada pogesiva: I ( z, t ) Γ Γ ( Γ ) ( Γ Γ Γ ) [4.4.a] ( z, t ) I I Γ ( Γ ) ( Γ ) I ( Γ Γ Γ ) I [4.4.b]

46 Reflectometía en el dominio del tiempo 46 donde: Γ es el coeficiente de eflexión en el geneado, el cual viene dado po: R Z Γ [4.5] RG Z y I son las ondas eflejadas que se supepondán a las anteioes: I Γ Γ [4.6.a] ( Γ ) Γ [4.6.b] Esta nueva onda pogesiva viaja hacia la caga, donde llega paa t3 3t, instante en el que se genea una nueva onda egesiva: El poceso de eflexiones múltiples se puede ve más fácilmente mediante los diagamas de malla de Bewley (ve efeencia [9] ): Figua 4.: Poceso de eflexiones múltiples el la línea de tansmisión.

47 Reflectometía en el dominio del tiempo 47 Hay que destaca que aunque idealmente, consideando línea sin pédidas, los tansitoios continúan indefinidamente, este hecho no es cieto puesto que se tata de un poceso convegente (siempe se multiplica po un coeficiente de eflexión infeio a ). o que ocue en ealidad es que los tansitoios dececen a valoes tan pequeños, después de un cieto númeo de eflexiones, que la tensión cuando t tiende a se puede obtene haciendo el siguiente desaollo: ( Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ) K K 3 o bien: [( Γ Γ Γ Γ K ) Γ ( Γ Γ Γ Γ K) ] [4.7] Teniendo en cuenta que apaece una seie geomética del tipo: Γ Γ Γ Γ K [4.8] Γ Γ Así, utilizando este esultado matemático se obtiene una elación bastante simple: Γ [4.9] Γ Γ y con lo cual al sustitui los valoes de los coeficientes de eflexión Γ y Γ según las ecuaciones [4.3] y [4.5], espectivamente, esulta: R [4.] R R

48 Reflectometía en el dominio del tiempo Métodos de cálculo numéico po TDR. 4.. Métodos en el dominio de la fecuencia y en el dominio del tiempo. Como las ecuaciones difeenciales que desciben el compotamiento de las líneas de tansmisión son lineales, mediante métodos basados en la tansfomada de Fouie podemos analiza un fenómeno deteminado paa cada fecuencia y finalmente supepone los esultados. Este análisis se ealiza en el dominio de la fecuencia. in embago, en muchos casos es más instuctivo analiza el compotamiento de la señal completa sin descomponela po Fouie, mediante su análisis en el dominio del tiempo. En la medida de la señal mediante el montaje de TDR se utilizan métodos tempoales, y luego, posteiomente se ealizaá un tatamiento que nos pemitiá la obtención de los esultados en el dominio de la fecuencia. En paticula, se van a extae la pate eal e imaginaia de la constante dieléctica en función de la fecuencia paa difeentes muestas. En pime luga, paa pode entende la técnica de medida vamos a pati de la descipción de la señal que se utiliza cuando se tabaja en dominio tempoal. a señal empleada es de tipo escalón y se caacteiza pincipalmente poque su tiempo de subida es pequeño ( t s 35ps). a amplitud de esta señal se puede expesa mediante una tansfomada de Fouie de la siguiente foma: jωt ( e ) jωt m ( ω) ( t) e dt [4.] t ω

49 Reflectometía en el dominio del tiempo 49 y teniendo en cuenta que el tiempo de subida es muy pequeño se puede considea que: ( ω) m j ω [4.] donde m es la tensión máxima de la señal escalón. Dicha señal de excitación, ( t), sobe el sistema devuelve ota señal ( t) (ambos pulsos podemos pasalos al dominio fecuencial mediante la tansfomada de Fouie). Paa tene caacteizado el montaje empleado seá necesaio conoce un facto de popocionalidad ente ambas señales, que de hecho epesentan la función de tansfeencia del sistema: ( ω) ( ω) ( ω) R [4.3] H R En paticula, en un expeimento de TDR en el cual la señal de excitación se popaga en un cable coaxial hasta eflejase en la caga, un posible patón del cual se conoce la solución es el cotocicuito (la señal eflejada es igual a la señal de excitación). De esta manea, si obtenemos peviamente la señal detectada cuando la línea de tansmisión está teminada en cotocicuito, H ( ω) CC, podemos deci que: ( ω) H CC ( ω) ( ω) R [4.4] Ahoa bien, no es posible hace diectamente la tansfomada de Fouie de la señal medida y se ealizaá un tatamiento pevio de la señal conocido como método de la cuva deivada []. ea N el númeo de muesteos que se ealizan en la toma de una medida, se dice que la cuva deivada viene dada po: ( t ) ( t ) ( t ) Δ [4.5] i i i

50 Reflectometía en el dominio del tiempo 5 i consideamos una división del eje tempoal en intevalos de tiempo iguales, Δ t, la expesión que se tiene es: ( t ) ( n Δt) (( n ) t) Δ i Δ [4.6] con n,,3,..., N, suponiendo que las cuvas deivadas en t t y t t N son nulas paa evita los eoes en el cálculo. a tansfomada de Fouie de dicha cuva deivada vendá dada po: N j ω nti ( n ) [ ( ti ) ( ti )] Δ ω e [4.7] N i donde la fecuencia es: ω n π n. N Δt i compaamos esta elación con la que ealmente obtendíamos paa la cuva oiginal: ( ) ( t ) jωnδt N jωnti jω t e n i [ e ] e ( t ) N jωnti i i e N i N i Δ ω [4.8] n y teniendo en cuenta que Δ ( ) y ( ) t Δ son iguales, se deduce que: t N jω Δt ( ) Δ ( ) [ ] n ω e ω [4.9] n n En consecuencia ya se pueden obtene ( ω) y ( ω) ecuación [4.4] da una expesión paa la señal eal: R H y mediante la CC [ ] jω Δt CC jωnδtm ( ω) [ e ] ( ω) [ e ] H ( ω) n [4.] R CC

51 Reflectometía en el dominio del tiempo 5 Ahoa bien, si el intevalo de tiempo en el que se muestean las señales obtenidas paa la muesta y el cotocicuito es el mismo, el facto ente cochetes se elimina y tenemos que: ( ω) H CC ( ω) ( ω) R [4.] tal como se ha pevisto en la ecuación [4.4]. 4.. Obtención de magnitudes dielécticas. Una vez descita la técnica que se utiliza paa obtene las señales que se eflejan en la caga vamos a descibi los difeentes pocedimientos utilizados paa el cálculo de la constante dieléctica. Hay que tene en cuenta que paa emplea estos métodos se han obtenido peviamente ( ω) y ( ω). a tensión ( ω) tansfomada de Fouie de la señal ( t) cotocicuito, mientas que ( ω) es la tansfomada de ( t) cuando se coloca una muesta en la línea coaxial adaptada. es la cuando la línea está teminada en que es la señal obtenida Así, se distinguián pincipalmente dos métodos dependiendo si se considean únicamente la pimea eflexión en la supeficie aie-muesta, o si se toman las múltiples eflexiones que se poducen. Pimea eflexión. i queemos emplea este método colocaemos la muesta en una línea coaxial que teminaemos en cotocicuito. El poceso como sabemos consiste en que la señal de excitación () t llegaá a la muesta, en dicha supeficie una pate del pulso incidente se eflejaá (se designa como ( t) ).

52 Reflectometía en el dominio del tiempo 5 De esta foma, podemos calcula el coeficiente de eflexión en la supeficie aie-mateial con la expesión ya conocida: Γ ( ) ω ( ω) ( ω) [4.] Una vez conocido el coeficiente de eflexión podemos obtene la constante dieléctica de la muesta a pati de: ( ω) ( ω) Γ ( ω) Γ ( ω) j ( ω) [4.3] Este método en el que solamente se estudia la pimea eflexión se utiliza pefeentemente paa medios no magnéticos, en paticula paa dielécticos líquidos que ocupan el espacio de la línea coaxial. in embago, el caso de muestas sólidas se emplean aandelas de pequeño espeso y el método de múltiple eflexión popociona buenos esultados. Múltiple eflexión. Paa el método de múltiple eflexión se coloca una aandela de espeso e de la muesta que se desea medi en el inteio de la línea de tansmisión y se temina dicha línea po una impedancia, de foma que se consiga una línea adaptada. Paa obtene el coeficiente de eflexión ealizamos el mismo pocedimiento que en el método de pimea eflexión siendo en este caso igual a: Γ ( ω) ( ω) Γ ( γ e) ( γ e) exp [4.4] Γ exp donde el coeficiente de eflexión en la muesta vendá dado po: Γ [4.5]

53 Reflectometía en el dominio del tiempo 53 y la constante de popagación en la muesta es: π f γ j c [4.6] i sustituimos en la expesión [4.4] las magnitudes y γ : Γ Γ π f ( Γ Γ ) exp j e [4.7] c De aquí se deduce que la expesión obtenida es bastante compleja y no nos pemitiá despeja la constante dieléctica en función del coeficiente de eflexión. Po ello, se suelen utiliza distintos métodos de cálculo numéico paa la obtención de la pemitividad. Uno de los más habituales es el método de Newton-Raphson que nos pemitiá obtene buenos esultados, si se conoce a pioi el intevalo de valoes en los que se encuenta la pate eal e imaginaia de la constante dieléctica. También a veces es habitual la utilización de apoximaciones, siendo una de las más utilizadas es efectua un desaollo en seie de Taylo.

54 Reflectometía en el dominio del tiempo DECRIPCIÓN DE MONTAJE EXPERIMENTA. El dispositivo utilizado paa la caacteización de medios dielécticos po TDR consta esencialmente de los siguientes elementos: ITEMA TDR Conecto APC-7 Teminación Geneado de escalón Cabezal de muesteo - Plano A DUT Figua 5.: Esquema del sistema de medida po TDR. Un geneado de señales escalón de tiempo de subida ápido, 35 ps, y de amplitud m. Dicho geneado está dispuesto dento de un test set (HP 54T), el cual no solo es el emiso de señales sino que es también el ecepto. Figua 5.: Fotogafía del geneado de señales y la línea coaxial de aie.

55 Reflectometía en el dominio del tiempo 55 Un osciloscopio digital (HP 54B) unido al test set mediante un cabezal de muesteo que egista las fomas de onda en tiempo equivalente. a anchua de banda del osciloscopio pemite tabaja en dos modos de opeación de,5 GHz y de 8 GHz. Figua 5.3: Fotogafía del osciloscopio digital. Una línea coaxial de aie ( 5 Ω) Z acopla el cabezal de muesteo con el conecto APC-7. Después del conecto hay una línea coaxial de alta pecisión (ambos foman la célula, DUT, Dielectic Unde Test ), con un conducto inteno y oto exteno de diámetos célula en guía coaxial, con una longitud de 3,4 mm y 7 mm, espectivamente. El esquema completo de la mm, se muesta en la siguiente figua: Figua 5.4: Esquema de la célula de medida. a longitud del cuepo de la célula, el conducto exteno, es de 85 mm y está compuesta de aceo inoxidable, sin embago, el conducto inteno es de un mateial buen conducto. os extemos del cuepo de la célula, de meno diámeto, nos pemitián un acoplo pefecto de los dos conectoes, a lo cual contibuián las dos aandelas de centado de HP que se colocan ente el cuepo y dichos conectoes. Dichas

56 Reflectometía en el dominio del tiempo 56 aandelas (ve figua 5.4) mantendán al conducto cental de foma coaxial especto al cuepo de la célula. Figua 5.5: Esquema tansvesal del cuepo cental de la célula. as aandelas de centado están fomadas po un tipo de dieléctico que en el ango de micoondas es pácticamente tanspaente. Además, gacias a su geometía (con seis oquedades de mm de diámeto) no poducen ningún tipo de distosión en la medida, es deci, la señal no se eflejaá en ellas. En la zona de contacto con el conducto exteno e inteno están fomadas po casquillos de metal paa asegua una buena conducción. A continuación se muesta el poceso de montaje de la célula que hemos descito: Figua 5.6: Montaje de la célula de medida. Al final de la célula se conecta una teminación deteminada, existiendo de dos tipos: cuando se emplea el método de pimea eflexión la célula estaá teminada en cotocicuito, sin embago, paa el método de múltiple eflexión lo que se utiliza como teminación es una caga con 5 Ω de impedancia. Así, mientas que en el pime método la línea estaá cotocicuitada, en el segundo tendemos una línea adaptada. En este tabajo se van a medi una seie de muestas sólidas y el método empleado es el de múltiple eflexión, y po esta azón descibiemos con más detalle en que consiste dicho método. a aandela dieléctica que se desea medi se coloca en el inteio de la célula, en el extemo inicial de la línea y con su supeficie en contacto total con la aandela de HP.

57 Reflectometía en el dominio del tiempo 57 Figua 5.7: Esquema paa el método de múltiple eflexión. En el método de múltiple eflexión se hace, en pime luga, una medida de la señal de efeencia y paa ello, se coloca al final de la línea coaxial de aie un cotocicuito. Obtendemos de este modo como señal de efeencia la señal eflejada en el cotocicuito. uego, se sustituye la teminación en cotocicuito po la célula, en la cual esta contenida la aandela, teminada en la impedancia caacteística de siguiente figua, se muesta la foma de ambas señales: 5 Ω. En la,5, oltajes nomalizados,95,9,85,8,75 Cotocicuito Muesta,7, Tiempo (ps) Figua 5.8: eñales de muesta y efeencia paa una muesta de una mezcla de titanato de calcio y esina. Hay que destaca que el dispositivo expeimental está conectado a un odenado que nos pemitiá contola el poceso de medida y la adquisición de datos, especificando el númeo de pomedios deseado paa cada punto de las señales del cotocicuito de efeencia y de la muesta.

58 Reflectometía en el dominio del tiempo TRATAMIENTO DE REUTADO. Este tabajo ha consistido en la caacteización dieléctica mediante el método de eflectometía en el dominio del tiempo, de un conjunto de muestas de la mezcla binaia de esina-epoxy y titanato de calcio, en los pocentajes de titanato de calcio y de esina descitos en la tabla siguiente. Muesta % de Resina % de titanato de Calcio Tabla 6.: Muestas de la mezcla binaia de esina y titanato de calcio Peviamente a la colocación de la muesta en el inteio de la célula es necesaio supimi las inhomogeneidades en las supeficies del dieléctico. Es deci, es impotante que la aandela que vamos a emplea sea un disco coaxial con sus supeficies completamente paalelas ente sí y sin ningún poo que posteiomente pueda genea eflexiones difusas, y en consecuencia efectos paásitos de uido en la deteminación de la pemitividad. Además, es impescindible que los diámetos inteio y exteio de la muesta coincidan con el de los conductoes inteio y exteio del cable coaxial. A continuación, la muesta es intoducida en la célula en la posición coecta indicada en el montaje expeimental y la línea adaptada es conectada según muesta la figua 5.. isualizamos en el osciloscopio digital la señal de la muesta y fijamos las ventanas de medida adecuada, Δ y Δ t, teniendo en cuenta que el intevalo de tiempo tiene que se lo suficientemente gande paa no pede pate de la señal de cotocicuito. El númeo de pomedios paa cada punto es 8.

59 Reflectometía en el dominio del tiempo 59 Una vez ealizada una medida completa de las señales de la muesta y del cotocicuito utilizaemos un pogama de cálculo numéico que pemite deduci las componentes eal e imaginaia de la constante dieléctica compleja de la muesta paa un ango de fecuencias deteminado. El tatamiento de estos esultados se va a dividi en dos angos fecuenciales. A baja fecuencia obsevaemos el efecto conductivo y obtendemos un valo apoximado de la conductividad estática. En el ango de alta fecuencia podemos estudia una pimea esonancia y estableceemos expeimentalmente la dependencia de la fecuencia esonante con el espeso y diámeto de la aandela. Dento de este análisis también se ha obtenido el diagama de Agand de cada muesta. 6.. Efecto conductivo a baja fecuencia. En pime luga, deteminaemos la magnitud del efecto conductivo que se poduce a baja fecuencia. Al epesenta la vaiación de y especto a la fecuencia esulta que la conductividad la obtenemos obsevando la componente imaginaia de la constante dieléctica a muy baja fecuencia, cumpliéndose que: σ COND TOTA DIE [6.] π f siendo σ la conductividad y la constante dieléctica del vacío ( 8,85 Ω m s). En el caso que nos ocupa y en el ango que se considea esulta que la componente DIE es despeciable y po ello, a pati de la expesión anteio se puede estima un valo apoximado paa la conductividad estática, tomando exclusivamente los pimeos valoes de la cuva de.

60 Reflectometía en el dominio del tiempo 6 En las siguientes figuas se han epesentado gáficamente las componentes de la constante dieléctica fente a la fecuencia paa las muestas 4 (%) y 9 (3%). Teniendo en cuenta que paa el estudio de la conductividad elegiemos un ango de fecuencias de a,5 GHz, mostando algunos esultados del estudio. 8 ' '' 6 e,9mm paso,ghz ', '' 4,,,,3,4,5 Fecuencia (GHz) 8 ' '' ', '' 6 4 e,9mm paso,ghz,,,,3,4,5 Fecuencia (GHz) en el ango de muy baja fecuencia paa la muesta 4 (aiba) y la muesta 9 (abajo). Figua 6.: aiación de ( ω) y ( ω)

61 Reflectometía en el dominio del tiempo 6 En las gáficas se obseva que la componente imaginaia de la constante dieléctica aumenta fuetemente paa valoes de fecuencia póximos a ceo. Este esultado nos induce a pensa que el dieléctico tiene una cieta conductividad que estimaemos a pati de la ecuación [6.]. e han elegido una seie de medidas de cada muesta y obtenemos los esultados paa la conductividad expuestos en la siguiente tabla: Muesta ( mm) 3 e σ ( Ω m ) (esina) 3,,66 6 (5%),95 3,99 7 (%),9 5,6 4 (5%),9 6,69 3 (%),9 7,5 3 (5%),9 8, 9 (3%),9 8,34 Tabla 6.: aloes estimados paa la conductividad estática de las difeentes muestas. Debido a la dependencia con el espeso de la muesta y con la ventana tempoal de medida elegida, los esultados expuestos constituyen una estimación del oden de magnitud de la conductividad estática. Además, pincipalmente hacemos nota que a muy baja fecuencia la mezcla binaia de titanato de calcio y esina-epoxy tiene una cieta conductividad estática, y que po tanto, no podemos asocia a pioi nuestas muestas según un modelo de elajación simple de Debye sin ealiza las opotunas coecciones que supiman este efecto óhmico. Conviene esalta que los esultados que se desciben a continuación epesentan un esumen del conjunto de medidas, todas ellas efectuadas con ventanas tempoales difeentes paa una misma muesta.

62 Reflectometía en el dominio del tiempo Deteminación de la fecuencia de esonancia. En cuanto se efiee a los efectos de esonancia dieléctica que pesenta la mezcla en estudio, hemos consideado un ango de fecuencias compendido ente DC 3 GHz, ango que aunque supea el modo de opeación, DC 8 GHz, del sistema TDR, apota esultados fiables si se mantienen las pecauciones en la manipulación expeimental. Po ello, en el desaollo que se descibe a continuación hemos compaado el valo expeimental de la fecuencia de esonancia con el valo teóico dado po la expesión habitual en el estudio de esonadoes dielécticos: 36,56 f R [6.] 3 ( 4 R e) 8 donde e es el espeso de la muesta, c es la velocidad de la luz ( 3 m s ) c, R 3,5 mm es el adio exteio de la aandela y seá la constante dieléctica máxima obtenida del pico que se obseva en la epesentación de la componente eal de la pemitividad. En las figuas 6. y 6.3 se epesenta la vaiación de ( ω) y ( ω) en el ango de alta fecuencia paa una misma muesta 4 (%) peo con distintos espesoes. 6 ' '' 5 ', '' 4 3 e3,mm paso,5ghz Fecuencia (GHz) Figua 6.: aiación de ( ω) y ( ω) de espeso e 3, mm. paa la muesta 4

63 Reflectometía en el dominio del tiempo ' '' ', '' 4 3 e,9mm paso,ghz Fecuencia (GHz) Figua 6.3: aiación de ( ω) y ( ω) de espeso e,9 mm. paa la muesta 4 Como podemos obseva en las dos epesentaciones el espeso de la muesta influye notablemente en la fecuencia a la que se poduce el pico de esonancia. Esta fuete dependencia con el espeso nos hace pensa en la posibilidad de que la mezcla binaia de esina-epoxy y titanato de baio pueda se usada como esonado dieléctico. A continuación mostamos uno de los esultados del estudio paa una muesta con una caga de CaTiO 3 supeio al esto de las muestas (3%): e,9mm paso,5ghz ' '' ', '' Fecuencia (GHz) Figua 6.4: aiación de ( ω) y ( ω) de espeso e,9 mm. paa la muesta 9

64 Reflectometía en el dominio del tiempo 64 De la figua 6.4. se deduce que la fecuencia de esonancia es meno cuanto meno es la concentación de calcio. e ha estimado la fecuencia de esonancia paa el conjunto de muestas con un mismo espeso de la aandela, e,9 mm, y los esultados se exponen en la siguiente tabla. Además, se han obtenido a pati de la expesión (6.) los valoes teóicos paa las fecuencias bajo la consideación de posibles esonadoes. Medida máx ( R ) EXP f ( GHz ) ( f R ) TEÓ ( GHz ) (esina),56 3,5 3,54 3,7 6 (5%) 3,3 4,,,67 7 (%) 3,59 4,3,5,86 4 (5%) 4,48 5,9 9,34 9,6 3 (%) 5,56 6,4 7,5 8,37 3 (5%) 6,6 8,46 5,9 5,5 9 (3%) 5, 5,5 6,58 9,33 Tabla 6.: aloes estimados paa la fecuencia de esonancia y la constante dieléctica estática. A pati de la obsevación de gan cantidad de medidas también se ha estimado la constante dieléctica estática, e, paa cada una de las muestas. i epesentamos gáficamente la conductividad estática obtenida anteiomente (Tabla 6.) y la constante dieléctica estática (Tabla 6.) fente a la concentación CaTiO 3 : 9 ; σ( 3 Ω - m - ) estática σ estática CaTiO 3 % Figua 6.4: Dependencia de titanato de calcio. y σ con la concentación de

65 Reflectometía en el dominio del tiempo 65 En la figua anteio se obseva la claa dependencia que existe de la conductividad y pemitividad estática con la caga de titanato de calcio que contenga la mezcla. En paticula, la conductividad muesta una dependencia exponencial con la concentación de titanato, mientas que la dependencia de la constante dieléctica es de tipo gaussiano. Po ota pate, podemos estudia la vaiación de la fecuencia de esonancia también con la concentación de CaTiO 3. En la figua 6.5 se obseva como la fecuencia de esonancia paa estas muestas concueda con las fecuencias que se obtendían en el caso de un medio esonante. 8 (f R ) EXP (f R ) TEO 4 Fecuencia (GHz) CaTiO 3 % Figua 6.5: Dependencia de la fecuencia de esonancia teóica y expeimental con la concentación de titanato de calcio. De la obsevación de las figuas 6.4 y 6.5 es de menciona el hecho de que el valo máximo de la conductividad estática a la concentación de un 5 % de titanato de calcio coincide con el valo mínimo de la fecuencia de esonancia, hecho que indica un efecto pedominante de la concentación de titanato en el compotamiento de la mezcla dieléctica.

66 Reflectometía en el dominio del tiempo 66 Po último, hay que tene en cuenta que todos estos esultados obtenidos son estimaciones deducidas a pati de la gan cantidad de medidas ealizadas tomando difeente amplitud de la ventana tempoal de medida y también consideando aandelas de una misma muesta con distintos espesoes Diagama de Agand. En el estudio de la física de dielécticos se ha ealizado un análisis aceca del diagama de Agand paa medios con una deteminada fecuencia de esonancia. Así, sabemos que la elación que se tiene que cumpli ente la pate eal y la imaginaia de la constante dieléctica es: γ ω ω ω [6.3] en vitud de las ecuaciones [.44] y [.45], donde γ la constante de amotiguamiento del medio y ω la fecuencia de esonancia. A pati de la expesión anteio es posible efectua una epesentación del diagama de Agand mediante una apoximación cicula de adio es R. i deteminamos en la gáfica de cada medida, γ y el adio de dicha cicunfeencia, podemos obtene de foma apoximada la constante de amotiguamiento en cada caso, cuyo significado físico no contibuye a esclaece los objetivos popuestos en esta memoia planteada bajo un aspecto exclusivamente macoscópico. ( ) En pime luga, en la figua 6.6 se ha epesentado ω paa la muesta con un 3% de titanato de calcio. ω fente a

67 Reflectometía en el dominio del tiempo e,9mm paso,5ghz ω '' ω ('- inf ) Figua 6.6: Repesentación en el plano complejo de ω paa la muesta 9. fente a ( ) ω os puntos expeimentales coespondientes a la egión de baja fecuencia son más fiables que los de alta fecuencia puesto que la instumentación utilizada paa TDR tiene una limitación en la fecuencia. Con esta misma muesta se puede hace la apoximación cicula a la esonancia como se muesta en la figua 6.7, esta epesentación tiene foma de un diagama de Cole-Cole. Figua 6.7: Apoximación cicula de esonancia, tomando los valoes de baja fecuencia en el diagama de Agand de la muesta 9.

68 Reflectometía en el dominio del tiempo 68 A continuación vamos a obseva el diagama de Agand de la muesta 3 que se destaca del esto de las muesta poque en él se obseva un desplazamiento vetical que es consecuencia natual de la elación existente ente la epesentación en el plano compleja del modelo de Debye y el modelo de Cole-Cole paa la elajación dieléctica. e,9mm paso,5ghz 5 ω '' ω ('- inf ) Figua 6.8: Diagama de Agand de la muesta 3 (5%). En el caso que nos ocupa se pesenta una situación más complicada debido a los valoes negativos de la componente eal de la pemitividad dieléctica compleja que están asociados a un compotamiento de los nuevos metamateiales.

69 Reflectometía en el dominio del tiempo CONCUIONE. Paa conclui podemos deci que el objetivo de este tabajo académico ha consistido en el estudio del compotamiento electomagnético en una amplia banda de fecuencias de la mezcla dieléctica esina-epoxy y titanato de calcio en función de la facción volúmica de la caga. A continuación vamos a expone las conclusiones más llamativas a las que hemos llegado tas ealiza este tabajo académico: e ha utilizado la técnica de eflectometía en dominio tempoal (TDR) paa la caacteización dieléctica de una mezcla no homogénea esina epoxy titanato de calcio. El método pemite la obtención del especto de dispesión dieléctica en un amplio ango de fecuencias ( DC 8 GHz), así como estima la conductividad eléctica a baja fecuencia, mediante el pefil de la señal tempoal, a pesa de las desviaciones en los esultados po la influencia de la amplitud de la ventana, intevalo tempoal de muesteo y espeso de la muesta. egún el método de múltiple eflexión po línea adaptada se han deteminado la constante dieléctica estática y la conductividad eléctica a baja fecuencia como paámetos de la mezcla en función de la concentación de titanato, po aplicación de un algoitmo de cálculo basado en el conocimiento de la admitancia de entada del sistema conducente a expesiones sencillas del coeficiente de eflexión. El método expeimental facilita el análisis compaado de la fecuencia de esonancia dieléctica en elación con modelos teóicos destinados al efecto, obsevando una concodancia aceptable con los cálculos teóicos. os valoes numéicos encontados de la fecuencia de esonancia paa la mezcla en estudio, están situados en una egión del especto fuea de inteés como esonadoes dielécticos. El método de tabajo viene limitado po las condiciones instumentales debidas a la anchua de banda de opeación, pesencia de uido de alta fecuencia a pati de GHz, y los eoes inheentes a las impefecciones geométicas de la muesta de la mezcla y distibución aleatoia de su composición en el poceso de fabicación. Un análisis detallado de los esultados a difeentes fecuencias debe pemiti una modelización de las mezclas po medio de una ley paticula, ampliando su compotamiento a un amplio ango de fecuencia del especto de dispesión.

70 Reflectometía en el dominio del tiempo 7 8. REFERENCIA. []. D.K. Cheng. Field and wave electomagnetics,(989). []. J.D. Jackson, Classical Electodynamics, John Wiley & ons,(999). [3]. R. K. Wangsness, Campos electomagnéticos, Editoial imusa, (996). [4]. J. D. Kaus, Electomagnetismo, Mc Gaw-Hill, (986). [5]. N.W. Ashcoft, olid state physics, Holt aundes, (98). [6]. C. Kittel, Intoduction to olid tate Physics, John Wiley & ons, (996). [7]. G. Buns, olid state physics, Academic Pess, (99). [8]. J. M. Albella Matín y J. M. Matínez Duat, Física de dielécticos, Macombo, (984). [9]. K. C. Gupta, Micoondas, imusa, (983). [].. Daniel, Dielectic Relaxation, Academic Pess, (967). []. D. Kajfez, P. Guillon ed., Dielectic Resonatos, Atech House, (986). []. J. Wang, A. akhtakia, On eflection fom a half-space with negative eal pemittivity and pemeability: Time-domain and fequency-domain esults, Reppot Pennsylvania tate Univesity, (). [3]. I. C. Tataasanu, A. Ioachim, J. P. Matínez, J. C. Matín, J. M. Foniés- Maquina, Dielectic chaacteization of ZTO ceamics by time domain eflectomety, 7 ème Colloque O. H. D., Calais, (3).

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