Gráficos 3D en MATLAB

Transcripción

1 Gráficos 3D en MATLAB Pedro Corcuera Dpto. Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación Universidad de Cantabria corcuerp@unican.es

2 Objetivos Presentar la implementación de una amplia selección de capacidades gráficas en tres dimensiones Desarrollar la capacidad de generar gráficos interactivamente Matlab 2

3 Indice Líneas en 3D Superficies Creación de gráficos interactivamente Matlab 3

4 La versión 3D de plot es Líneas en 3D plot3(u1, v1, w1, c1, u2, v2, w2, c2, ) donde uj, vj, y wj son las coordenadas x, y, y z, respectivamente, de un punto Son escalares, vectores de la misma longitud, matrices del mismo orden, o expresiones que, cuando se evalúan, resultan en una de esas cantidades cj es una cadena de caracteres Un caracter especifica el color. Un caracter especifica las características del punto Uno o dos caracteres especifica el tipo de línea Matlab 4

5 Líneas en 3D Para dibujar un conjunto de n líneas sin conectar cuyos puntos finales son (x 1j,y 1j,z 1j ) y (x 2j,y 2j,z 2j ), j = 1, 2,, n se crean seis vectores: Así, plot3 es x1 = [ ]; x2 = [ ]; y1 = [ ]; y2 = [ ]; z1 = [ ]; z2 = [ ]; x = x 1 x 2 x j j j jn y j = y j1 y j2 y jn j = 1, 2 z = z 1 z 2 z j j1 j jn plot3([x1; x2], [y1; y2], [z1; z2]) donde [x1; x2], [y1; y2], y [z1; z2] son matrices de (2 n) Matlab 5

6 Líneas en 3D Todos los procedimientos de anotación descritas para los gráficos 2D son aplicables a las funciones de generación de curvas y superficies 3D, excepto que los argumentos de text se usa text(x, y, z, s) donde s es un string y zlabel se usa para etiquetar el eje z Matlab 6

7 Ejemplo: Dibujo de cajas de alambres Se requiere una función BoxPlot3 que dibuje las aristas (4) de cada una de las seis superficies de una caja. La ubicación y orientación de la caja está determinada por las coordenadas de la diagonal de caras opuestas P(x o,y o,z o ) and P(x o +L x, y o +L y, z o +L z ) (x o,y o,z o +L z ) 2 3 (x o,y o +L y,z o +L z ) z L z (x o,y o,z o ) 1 4 (x o,y o +L y,z o ) L x (x o +L x,y o,z o +L z ) 6 7 (x o +L x,y o +L y,z o +L z ) 5 L y 8 y x (x o +L x,y o,z o ) (x o +L x,y o +L y,z o ) Matlab 7

8 Ejemplo: Dibujo de cajas de alambres function BoxPlot3(x, y, z, Lx, Ly, Lz) x = [x, x, x, x, x+lx, x+lx, x+lx, x+lx]; %(1 8) y = [y, y, y+ly, y+ly, y, y, y+ly, y+ly]; %(1 8) z = [z, z+lz, z+lz, z, z, z+lz, z+lz, z]; %(1 8) index = zeros(6,5); (x o,y o,z o +L z ) 2 3 index(1,:) = [ ]; z z L z index(2,:) = [ ]; index(3,:) = [ ]; index(4,:) = [ ]; index(5,:) = [ ]; index(6,:) = [ ]; for k = 1:6 (x o +L x,y o,z o +L z ) plot3(x(index(k,:)), y(index(k,:)), z(index(k,:))) hold on end x (x o +L x,y o,z o ) L y (x o,y o,z o ) L x (x o +L x,y o +L y,z o +L z ) (x o +L x,y o +L y,z o ) (x o,y o +L y,z o +L z ) Matlab 8 y y (x o,y o +L y,z o )

9 Ejemplo: Dibujo de cajas de alambres El script para generar tres cajas con las siguientes dimensiones y coordenadas (x o, y o, z o ) Box #1 Size: Location: (1, 1, 1) Box #2 Size: Location: (3, 4, 5) Box #3 Size: Location: (4.5, 5.5, 6) BoxPlot3(1, 1, 1, 3, 5, 7) BoxPlot3(4, 6, 8, 4, 5, 1) BoxPlot3(8, 11, 9, 1, 1, 1) Matlab

10 Ejemplo: Onda senoidal sobre una superficie de un cilindro Las coordenadas de una onda senoidal sobre la superficie de un cilindro se obtiene con x = bcos( t) y = bsin( t) z = c cos( at ) t = linspace(, 2*pi, 2); a = 1; b = 1.; c =.3;.2 x = b*cos(t); -.2 y = b*sin(t); z = c*cos(a*t); plot3(x, y, z, 'k') axis equal Si se asume quea= 1., b = 1., c =.3, y t 2π, el script es Matlab 1

11 Superficies Matlab contiene un conjunto de funciones gráficas 3D para crear superficies, contornos, y variaciones, así como especializaciones de esas formas básicas Una superficie se define por la expresión z = f ( x, y) donde x e y son las coordenadas en el plano-xy y z es la altura resultante Matlab 11

12 Superficies Las funciones básicas de graficación de superficies son surf(x, y, z) y mesh(x, y, z) donde x, y, z son las coordenadas de los puntos en la superficie surf dibuja una superficie compuesta de parches de colores que dependen de la magnitud z mesh dibuja parches de superficies blancas que se definen por su contorno. Los colores de las líneas de los parches se determinan por la magnitud de z. Matlab 12

13 Ejemplo de superficie Se requiere dibujar una superficie definida por z x, y x x y x y x y ( ) = definida en el rango 3 < x < 3 y 3 < y < 13 Se genera la función SurfExample para calcular las coordenadas x, y,z function [x, y, z] = SurfExample x1 = linspace(-3, 3, 15); % (1 15) y1 = linspace(-3, 13, 17); % (1 17) [x, y] = meshgrid(x1, y1); % (17 15) z = x.^4+3*x.^2 2*x+6-2*y.*x.^2+y.^2-2*y; % (17 15) Matlab 13

14 Ejemplos de superficies con surf y mesh 2 [x,y,z] = SurfExample; surf(x, y, z) [x,y,z] = SurfExample; mesh(x, y, z) Matlab

15 Ejemplos de superficies con surf y mesh [x,y,z] = SurfExample; mesh(x, y, z) hidden off Matlab 15

16 Combinando superficies y líneas Se puede combinar funciones de graficación 3D para dibujar múltiples líneas y superficies Como ejemplo se crean dos funciones Corners: que dibuja cuatro líneas conectando las esquinas de la superficie generada por SurfExample al plano xy que pasa por z = Disc: que crea un disco circular que interseca la superficie creada por SurfExample en z o = 8,con radio de 1 unidades, y centro en (,5) Matlab 16

17 Ejemplo: combinando superficies y líneas Las coordenadas de las esquinas son: 2 15 ( 3, 3, z( 3, 3)) 1 (3, 3, z(3, 3)) (3, 13, z(3,13)) ( 3, 13, z( 3,13)) Las funciones son: function Corners xc = [-3, -3, 3, 3]; yc = [-3, 13, 13, -3]; zc = xc.^4+3*xc.^2 2*xc+6 2*yc.*xc.^2+yc.^2 2*yc; hold on plot3([xc; xc], [yc; yc], [zeros(1,4); zc], 'k') Matlab

18 Ejemplo: combinando superficies y líneas function Disc(R, zo) r = linspace(, R, 12); % (1 12) theta = linspace(, 2*pi, 5); % (1 5) x = cos(theta')*r; % (5 12) y = 5 + sin(theta')*r; % (5 12) hold on z = repmat(zo, size(x)); % (5 12) surf(x, y, z) Matlab 18

19 Ejemplo: combinando superficies y líneas [x, y, z] = SurfExample; surf(x, y, z); Disc(1, 8) Corners Matlab 19

20 Modificación de la apariencia de gráficos Hay varias funciones que se pueden usar de forma combinada para modificar la apariencia de la superficie resultante box on o box off grid on o grid off axis on o axis off La funciónboxon sólo dibuja una caja siaxison ha sido seleccionada Matlab 2

21 Ejemplo: modificación de la apariencia de gráficos 2 15 [x,y,z] = SurfExample mesh(x, y, z) grid off [x,y,z] = SurfExample mesh(x, y, z) axis off grid off Matlab 21

22 Ejemplo: modificación de la apariencia de gráficos [x,y,z] = SurfExample mesh(x, y, z) axis on grid off box on Matlab 22

23 Modificación de la apariencia de gráficos Los colores de los parches creados por surf o las líneas creadas por mesh se pueden cambiar a un color uniforme usando colormap(c) donde c es un vector de tres elementos, cada uno de los cuales varía entre y 1, correspondiendo a la intensidad del color rojo, verde y azul respectivamente (r, g, b). Ejm: c [ ] [1 1 1] [1 ] [ 1 ] [ 1] [1 1 ] [1 1] [ 1 1] [.5.5.5] Color black white red green blue yellow magenta cyan gray Matlab 23

24 Ejemplo: funciones adicionales para mejorar visualmente una superficie 2 [x,y,z] = SurfExample; meshz(x, y, z) [x,y,z] = SurfExample; waterfall(x, y, z) Matlab 24

25 Ejemplo: funciones adicionales para mejorar visualmente una superficie [x,y,z] = SurfExample; ribbon(y, z) [x,y,z] = SurfExample; surfnorm(x, y, z) Matlab 25

26 Gráficos de contornos Las superficies también se pueden transformar en gráficos de contornos, que son gráficos de curvas formadas por la intersección de la superficie y un plano paralelo al plano xy en valores específicos de z Las funciones surfc(x, y, z) y meshc(x, y, z) crean superficies con contornos proyectados debajo de la superficie. x, y, z son los valores de las coordenadas de puntos que definen la superficie Matlab 26

27 Ejemplo de gráficos de contornos 15 [x,y,z] = SurfExample; meshc(x, y, z) grid off [x,y,z] = SurfExample; surfc(x, y, z) grid off Matlab 27

28 Gráficos de contornos Se pueden crear contornos sin visualizar la superficie, con etiquetas o sin etiquetas La función contour(x, y, z, v) crea un gráfico de contorno donde x, y, z son las coordenadas de los puntos que definen la superficie v, si es un escalar, es el número de niveles de contornos a visualizar y, si es un vector de valores, los contornos de la superficie en los valores de z. El uso de v es opcional Matlab 28

29 Gráficos de contornos Si se quiere etiquetar el contorno se usan las funciones [C, h] = contour(x, y, z, v) clabel(c, h, v) Matlab 29

30 Ejemplos de contour 12 1 [x,y,z] = SurfExample; contour(x, y, z) [x,y,z] = SurfExample; contour(x, y, z, 4) Matlab 3

31 1 Ejemplos de contour y clabel [x,y,z] = SurfExample; [C, h] = contour(x, y, z); clabel(c, h) [x,y,z] = SurfExample; v= [1, 3:3:12]; [C, h] = contour(x, y, z, v); clabel(c, h, v) Matlab 31

32 Gráficos de contornos 3D Para obtener los contornos de superficies en 3D, se usa contour3(x, y, z, v) donde x, y, z son las coordenadas de los puntos de la superficie v, si es un escalar, es el número de niveles de contornos a visualizar y, si es un vector de valores, los contornos de la superficie en los valores de z. El uso de v es opcional Para etiquetar los contornos se usa [C, h] = contour3(x, y, z, v) clabel(c, h, v) Matlab 32

33 Gráficos de contornos 3D Para rellenar la region entre contornos 2D con diferentes colores se usa contourf(x, y, z, v) los valores de los colores se pueden identificar usando colorbar(s) que coloca una barra de colores y sus correspondientes valores numéricos adyacente a la figura La cantidad z es un string igual a 'horiz' o 'vert' para indicar la orientación de la barra. El valor por defecto es 'vert' Matlab 33

34 Ejemplos de contour3, contourf y colorbar [x,y,z] = SurfExample; [C, h] = contour3(x, y, z); clabel(c, h) [x,y,z] = SurfExample; [C, h] = contourf(x, y, z); colorbar Matlab 34

35 Gráficos de contornos 3D Las propiedades de las líneas y etiquetas se pueden modificar de forma similar que para plot Por ejemplo, para cambiar el tamaño de las etiquetas creadas con contour a 14 puntos y las líneas del contorno azules, se siguen los pasos [x, y, z] = SurfExample; [C, h] = contour(x, y, z, v) g = clabel(c, h, v); set(g, 'Fontsize', 14) set(h, 'LineColor', b') Matlab 35

36 Superficies cilíndricas, esféricas y elipsoidales Se puede usar una curva 2D como generador para crear superficies de revolución usando [x, y, z] = cylinder(r, n) que retorna las coordenadas x, y, z de una superficie cilíndrica utilizandoel vector r para definir una curva perfil La funcióncylinder trata cada elemento en r como un radio en n puntos equiespaciados alrededeor de su circunferencia. Si se omite n se considera el valor 2 Matlab 36

37 Para la curva Ejemplo de superficie cilíndrica r = 1.1+ sin( z) z 2π que se rota 36 alrededor del eje-z Se usa 26 intervalos equiespaciados en la dirección z y 16 intervalor equiespaciados en la dirección circunferencial El script para graficar la superficie cilíndrica es zz = linspace(, 2*pi, 26); [x, y, z] = cylinder(1.1+sin(zz), 16); surf(x, y, z) axis off Matlab 37

38 Ejemplo de superficie cilíndrica Axis of rotation Matlab 38

39 Superficies cilíndricas, esféricas y elipsoidales Para crear una esfera, se puede usar [x, y, z] = sphere(n); axis equal surf(x, y, z) donde n es el número de n x n elementos que comprende la esfera de radio 1 centrado en el origen. Si n se omite se toma n = Matlab 39

40 Superficies cilíndricas, esféricas y elipsoidales Para crear una elipsoide, se puede usar [x, y, z] = ellipsoid(xc, yc, zc, xr, yr, zr, n); axis equal surf(x, y, z) -1 en (xc, yc, zc) con longitud de semi-ejes en las direcciones x, y, z respectivamente, de xr, yr, y zr. n es el número de n x n elementos que comprende el elipsoide. Si n se omite se toma n = Matlab

41 Angulo de visión En ocasiones se desea cambiar el ángulo de vista por defecto de los gráficos 3D porque No se muestra las características de interés Varias vistas diferentes deben mostrarse usando subplot La exploración de la superficie desde varias vistas es deseable antes de decidir la orientación final Para determinar el azimuth (a) y ángulo de elevación de la vista (e), se usa [a, e] = view Matlab 41

42 Angulo de visión Para orientar el objeto se usa el icono Rotate 3D en la ventana de la figura y se orienta el objeto hasta obtener una orientación satisfactoria. Se mostrará los valores de azimuth y elevación mientras se rota Rotate 3D Esos valores se pueden ingresar en la expresión view(an, en) para crear la orientación deseada cuando se ejecuta un script Matlab 42

43 Sombreado (shading) Las superficies creadas con surf usan la propiedad de sombreado por defecto llamada 'faceted'. La función que cambia el sombreado es shading s donde s es un string igual a faceted % Default flat interp Matlab 43

44 Ejemplo de view y shading zz = linspace(, 2*pi, 26); r=1.1+sin(zz); [x, y, z] = cylinder(r, 16); surf(x, y, z) view(-88.5, -48) shading faceted axis off vis3d Matlab 44

45 Ejemplo de view y shading zz = linspace(, 2*pi, 26); r=1.1+sin(zz); [x, y, z] = cylinder(r, 16); surf(x, y, z) view(-88.5, -48) shading flat axis off vis3d Matlab 45

46 Ejemplo de view y shading zz = linspace(, 2*pi, 26); r=1.1+sin(zz); [x, y, z] = cylinder(r, 16); surf(x, y, z) view(-88.5, -48) shading interp axis off vis3d Matlab 46

47 Ejemplo de view y shading r = 1+sin(zz); [x, y, z] = cylinder(r, 16); surf(x, y, z) view(-88.5, -48) shading interp colormap(copper) axis offvis3d Matlab 47

48 Transparencia Las superficies creadas con surf puede tener su opacidad alterada asignando un valor numérico al keyword 'FaceAlpha' El efecto de este keyword en la superficie resultante es dependiente del tipo del sombreado seleccionado Para ilustrar la opción de transparencia, se crea una función que genera los valores numéricos para la v superficie dada por x = a cos v(1 + cos u) v y = a sin v(1 + cos u) v z = ba (1 + sin u) Matlab 48

49 Transparencia Si se asume que a = 1.13 y b = 1.14, la función fichero m para esta superficie es function [x, y, z] = Transparency a = 1.13; b = 1.14; uu = linspace(, 2*pi, 3); vv = linspace(-15, 6, 45); [u, v] = meshgrid(uu, vv); x = a.^v.*cos(v).*(1+cos(u)); y = -a.^v.*sin(v).*(1+cos(u)); z = -b*a.^v.*(1+sin(u)); Matlab 49

50 Ejemplo de transparencia [x, y, z] = Transparency; surf(x, y, z) shading interp axis vis3d off equal view([-35 38]) [x, y, z] = Transparency; h = surf(x, y, z) set(h, 'FaceAlpha',.4) shading interp axis vis3d off equal view([-35 38]) Matlab 5

51 Ejemplo de transparencia [x, y, z] = Transparency; h = surf(x, y, z) set(h, 'FaceAlpha',.4) axis vis3d off equal view([-35 38]) Nota: se omiteshading Matlab 51

52 Ejemplo: coloreado de cajas Modificación de fichero m BoxPlot3 para que las seis superficies representadas por los rectángulos se rellene con un color diferente La modificación se consigue usandofill3 La versión revisada de BoxPlot3 renombrada como BoxPlot3C es Matlab 52

53 Ejemplo: coloreado de cajas function BoxPlot3C(xo, yo, zo, Lx, Ly, Lz, w) % w =, wire frame; w = 1, rectangles are colored x = [xo xo xo xo xo+lx xo+lx xo+lx xo+lx]; y = [yo yo yo+ly yo+ly yo yo yo+ly yo+ly]; z = [zo zo+lz zo+lz zo zo zo+lz zo+lz zo ]; index = zeros(6,5); index(1,:) = [ ]; index(2,:) = [ ]; index(3,:) = [ ]; index(4,:) = [ ]; index(5,:) = [ ]; index(6,:) = [ ]; c = 'rgbcmy'; for k = 1:6 if w~= fill3(x(index(k,:)), y(index(k,:)), z(index(k,:)), c(k)) else plot3(x(index(k,:)), y(index(k,:)), z(index(k,:))) end hold on end Matlab 53

54 Ejemplo: coloreado de cajas BoxPlot3C(1, 1, 1, 3, 5, 7, 1) BoxPlot3C(4, 6, 8, 4, 5, 1, ) BoxPlot3C(8, 11, 9, 1, 1, 1, 1) Matlab 54

55 Ejemplo: intersección de un cilindro y una esfera y resaltado de su intersección La curva que resulta de la intersección de una esfera de radio 2a centrada en el origen y un cilindro circular de radio a centrado en (a, ) es dado por las ecuaciones paramétricas x = a(1 + cos ϕ) donde ϕ 4π y = a sin ϕ z = 2asin( ϕ / 2) Para crear una esfera de radio 2a, se multiplica cada coordenada de sphere por 2a. Matlab 55

56 Ejemplo: intersección de un cilindro y una esfera y resaltado de su intersección Las coordenadas de cylinder se modifican con la transformación: x ax + a y ay z 4az 2a Se asume que a = 1. El script es Matlab 56

57 Ejemplo: intersección de un cilindro y una esfera y resaltado de su intersección a = 1; [xs, ys, zs] = sphere(3); surf(2*a*xs, 2*a*ys, 2*a*zs) hold on [x, y, z] = cylinder; surf(a*x+a, a*y, 4*a*z-2*a) shading interp t = linspace(, 4*pi, 1); x = a*(1+cos(t)); y = a*sin(t); z = 2*a*sin(t/2); plot3(x, y, z, 'y-', 'Linewidth', 2.5); axis equal off view([45, 3]) Matlab 57

58 Ejemplo: mejora de gráficos 2D con objetos 3D Para una esfera de radio a y un elipsoide con su eje mayor en la dirección x igual a 2a, eje menor en la dirección y igual a 2b, y un eje menor en la dirección z igual a 2c, la proporción del volumen de un elipsoide con relación al volumen de una esfera es Vellipse b c V = = V a a sphere Se crea el siguiente programa para mejorar la comprensión de un gráfico de V como función de b/a para varios valores de c/a Matlab 58

59 Ejemplo: mejora de gráficos 2D con objetos 3D b = [.5, 1]; c = b; for k = 1:2 plot(b, b*c(k), 'k-') text(.75, (b(1)*c(k)+b(2)*c(k))/2-.2, ['c/a = ' num2str(c(k))]) hold on end xlabel('b/a') ylabel('v') for k = 1:4 switch k case 1 axes('position', [.12,.2,.2,.2]) [xs, ys, zs] = ellipsoid(,,, 1, b(1), c(1), 2); mesh(xs, ys, zs) text(,, 1, ['b/a = ' num2str(b(1)) ' c/a = ' num2str(c(1))]) case 2 axes ('position', [.1,.5,.2,.2]) [xs, ys, zs] = ellipsoid(,,, 1, b(1), c(2), 2); mesh (xs, ys, zs) text (,, 1.5, ['b/a = ' num2str(b(1)) ' c/a = ' num2str(c(2))]) Matlab 59

60 Ejemplo: mejora de gráficos 2D con objetos 3D case 3 axes ('position', [.7,.65,.2,.2]) [xs, ys, zs] = ellipsoid(,,, 1, b(2), c(2), 2); mesh (xs, ys, zs) text (-1.5,, 2, ['b/a = ' num2str(b(2)) ' c/a = ' num2str(c(2))]) case 4 axes ('position', [.7,.38,.2,.2]) [xs, ys, zs] = ellipsoid(,,, 1, b(2), c(1), 2); mesh (xs, ys, zs) text (-1.5,, 1.5, ['b/a = ' num2str(b(2)) ' c/a = ' num2str(c(1))]) end colormap([ ]) axis equal off end Matlab 6

61 Ejemplo: mejora de gráficos 2D con objetos 3D 1.9 b/a = 1 c/a = b/a =.5 c/a = 1 c/a = 1 V.6 b/a = 1 c/a =.5.5 b/a =.5 c/a = c/a = b/a Matlab 61

62 Rotación y traslación de objetos 3D: ángulos de Euler La rotación y traslación de un punto p(x,y,z) a otra posición P(X,Y,Z) es determinado por X = L + a x + a y + a z x y z Y = L + a x + a y + a z Z = L + a x + a y + a z donde L x, L y, y L z son los componentes x, y, z de la traslación, respectivamente, y a ij, i, j = 1, 2, 3, son los elementos de cosψcosχ -cosψsinχ sinψ a = cosφsin χ + sinφsinψcosχ cosφcosχ - sinφsinψsinχ -sinφ cosψ sinφsinχ - cosφsinψcosχ sinφcos χ + cosφsinψsinχ cosφ cosψ Matlab 62

63 Rotación y traslación de objetos 3D: ángulos de Euler Las cantidades φ, ψ, y χ son los ángulos de rotación ordenados (ángulos de Euler) del sistema de coordenadas alrededor del origen φ alrededor del eje x ψ alrededor del eje y χ alrededor del eje z En general, (x,y,z) pueden ser escalares, vectores de la misma longitud, o matrices del mismo orden Se crea la función EulerAngles Matlab 63

64 Rotación y traslación de objetos 3D: ángulos de Euler function [Xrt, Yrt, Zrt] = EulerAngles(psi, chi, phi, Lx, Ly, Lz, x, y, z) a = [cos(psi)*cos(chi), -cos(psi)*sin(chi), sin(psi); cos(phi)*sin(chi)+sin(phi)*sin(psi)*cos(chi), cos(phi)*cos(chi)-sin(phi)*sin(psi)*sin(chi), -sin(phi)*cos(psi); sin(phi)*sin(chi)-cos(phi)*sin(psi)*cos(chi), sin(phi)*cos(chi)+cos(phi)*sin(psi)*sin(chi), cos(phi)*cos(psi)]; Xrt = a(1,1)*x+a(1,2)*y+a(1,3)*z+lx; Yrt = a(2,1)*x+a(2,2)*y+a(2,3)*z+ly; Zrt = a(3,1)*x+a(3,2)*y+a(3,3)*z+lz; X = L +a x+a y+a z x Y = L +a x+a y+a z y z Z = L +a x+a y+a z Matlab 64

65 Rotación y traslación de objetos 3D: generación de Toro Las ecuaciones para generar un toro son x = rcosθ y = rsinθ z = ± a - ( x + y - b ) Torus donde b a r b + a, θ 2π, y b > a Se crea la función Torus para obtener las coordenadas del toro que usa las funciónreal para eliminar la parte imaginaria debida a redondeos numéricos Matlab 65

66 Rotación y traslación de objetos 3D: generación de Toro function [X, Y, Z] = Torus(a, b) r = linspace(b-a, b+a, 1); th = linspace(, 2*pi, 22); x = r'*cos(th); y = r'*sin(th); z = real(sqrt(a^2-(sqrt(x.^2+y.^2)-b).^2)); X = [x x]; Y = [y y]; Z = [z -z]; Matlab 66

67 Rotación y traslación de objetos 3D: generación de Toro Se obtendrá cuatro gráficas del toro: Sin rotación Rotado 6 alrededor del eje x (φ = 6 ) y comparado con el toro original Rotado 6 alrededor del eje y (ψ = 6 ) y comparado con el toro original Rotado 6 alrededor del eje x (φ = 6 ), rotado 6 alrededor del eje y (ψ = 6 ) y comparado con el toro original Se asume que a =.2 y b =.8 y se usa colormap para producir una malla de líneas Matlab 67

68 Rotación y traslación de objetos 3D: generación de Toro [X, Y, Z] = Torus(.2,.8); psi = [, pi/3, pi/3]; chi = [,, ]; phi = [pi/3,, pi/3]; Lx = ; Ly = ; Lz = ; for k = 1:4 subplot(2,2,k) if k==1 mesh(x, Y, Z) else mesh(x, Y, Z) hold on [Xr Yr Zr] = EulerAngles(psi(k-1), chi(k-1), phi(k-1), Lx, Ly, Lz, X, Y, Z); mesh(xr, Yr, Zr) end Matlab 68

69 Rotación y traslación de objetos 3D: generación de Toro switch k case 1 text(.5, -.5, 1, 'Torus') case 2 text(.5, -.5, 1,'\phi = 6\circ') case 3 text(.5,-.5,1,'\psi = 6\circ') case 4 text(.5, -.5, 1.35,'\psi = 6\circ') text(.55, -.5, 1,'\phi = 6\circ') end colormap([ ]) axis equal off grid off end Matlab 69

70 Rotación y traslación de objetos 3D: generación de Toro Torus φ = 6 ψ = 6 ψ = 6 φ = 6 Matlab 7

71 Creación de gráficos interactivamente El entorno Matlab permite crear gráficas interactivamente de varias maneras Seleccionar variable(s) + botón derecho Seleccionar tipo de gráfico Matlab 71

72 Creación de gráficos interactivamente Se introducen los siguientes comandos: >> N=5; >> y=randn(n,1); >> y2=filter([1 1]/2,1,y); Se pulsa sobre la variable y en el Workspace y se pulsa sobre el icono. Se obtiene el gráfico Matlab 72

73 Creación de gráficos interactivamente Se puede modificar el tipo de gráfico desplegando el menú para obtener la descripción Más ayuda Matlab 73

74 Creación de gráficos interactivamente Cuando se selecciona un tipo de gráfico se genera el comando correspondiente en la ventana de comandos Matlab 74

75 Creación de gráficos interactivamente En la ventana de figura se puede modificar el gráfico, generar el código y guardarlo para ser invocado Matlab 75