Índice. Qué es la laplaciana? Filtros Laplaciana. Qué es la laplaciana? Sensibles al ruido

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Juan Francisco Maestre Pereyra
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1 Índice Qué es la laplaciana? Introducción (5 min.) Qué es un borde? Pasos en la detección de bordes basados en gradiente ( h.) Qué es gradiente? Detectores de bordes basados en laplaciana ( h.) Qué es laplaciana? Detección de esquinas (45 min.) Qué es una esquina? Laplaciana: mide cambios en el gradiente Dierencia de gradiente ( x) = Qué es la laplaciana? Filtros Laplaciana Laplaciana = ª derivada de ( x, ) = + Convolución: [ ] [ ] Laplace Laplace inversa Un ejemplo simpliicado: Gradiente de x (x) = (x) (x-) Laplaciana de xx (x) = x (x) x (x-) xx (x) = (x) (x-) (x-) + (x-) xx (x) = (x) (x-) + (x-) Operadores de Laplace (inverso) 4 8 Más peso en los pixeles centrales: Convolución: [ ] [ ] Laplace Laplace inversa Sensibles al ruido 3 4

de una gaussiana (LoG) = Operador de Marr-Hildreth = Sombrero Mejicano ª derivada de la Gaussiana (Marr-Hildreth, 98) = Laplaciana

2 Laplaciana + imagen original Laplaciana+imagen original - α (- ) +α = + α (- ) Realzado de imágenes (sharpening) +α = 5 6 Filtro LoG: Laplaciana de la Gaussiana Filtro LoG: Laplaciana de la Gaussiana ª derivada de la Gaussiana (Marr-Hildreth, 98) = Laplaciana de una gaussiana (LoG) = Operador de Marr-Hildreth = Sombrero Mejicano ª derivada de la Gaussiana (Marr-Hildreth, 98) = Laplaciana de una gaussiana (LoG) = Operador de Marr-Hildreth = Sombrero Mejicano x + ( x, ) = σ e G + σ x + x σ G = σ 4 e Gaussiana D LoG D 7 8

Filtro LoG: Laplaciana de la Gaussiana Filtro DoG: Dierencia de Gaussianas ª derivada de la Gaussiana (Marr-Hildreth, 98) = Laplaciana de una gaussiana (LoG) = Operador de

= Restar dos gaussianas de distinta σ G σ Empleado en otograía la industria gráica antes de la aparición de los ordenadores: G σ - G σ Introducción (5 min.) Qué es un borde?

3 Filtro LoG: Laplaciana de la Gaussiana Filtro DoG: Dierencia de Gaussianas ª derivada de la Gaussiana (Marr-Hildreth, 98) = Laplaciana de una gaussiana (LoG) = Operador de Marr-Hildreth = Sombrero Mejicano G σ σ = σ = G σ G σ - G σ Gaussiana D LoG D 9 Filtro DoG: Dierencia de Gaussianas Índice Dierencia de Gaussianas (DoG) = Aproximación al iltro LoG = Restar dos gaussianas de distinta σ G σ Empleado en otograía la industria gráica antes de la aparición de los ordenadores: G σ - G σ Introducción (5 min.) Qué es un borde? Pasos en la detección de bordes basados en gradiente ( h.) Qué es gradiente? de bordes basados en laplaciana ( h.) Qué es laplaciana? Detectores Detección de esquinas (45 min.) Qué es una esquina?

Detectores basados en la Laplaciana Laplaciana dierencia de gradiente Detectar pasos por cero (zero-crossings) Detectores basados en la Laplaciana Pendiente del paso por cero cantidad de cambio σ =,

4 Detectores basados en la Laplaciana Laplaciana dierencia de gradiente Detectar pasos por cero (zero-crossings) Detectores basados en la Laplaciana Pendiente del paso por cero cantidad de cambio σ =, distintos umbrales Pendientes signiicativas 3 4 Detectores basados en la Laplaciana Espacio Escala. Suavizado. Realzado: Laplaciana 3. Detección: Pasos por cero signiicativos (pico signiicativo en la a derivada) 4. Estimación con precisión subpixel (opcional) Interpolación Demasiado ruidoso no práctico Pendiente del paso por cero relacionada con cantidad de cambio Más suavizado menos pendiente σ regula la cantidad de suavizado σ menor Más sensibilidad al ruido / Más bordes alsos Más precisión en la localización σ maor Más bordes perdidos / Bordes encontrados son robustos Menor precisión (deslocalización) / Bordes cercanos pueden llegar a mezclarse 5 6

Espacio Escala Espacio Escala Ruido Solución: Filtrar con máscaras de distintos σ

robustos, pero desplazados σ menor mejor localización Pasos por signiicativos Menor

Detección: Pasos por cero signiicativos (pico signiicativo en la a derivada) 4.

5 Espacio Escala Espacio Escala Ruido Solución: Filtrar con máscaras de distintos σ Analizar el comportamiento de los bordes a dierentes escalas de iltrado σ maor bordes robustos, pero desplazados σ menor mejor localización Pasos por signiicativos Menor precisión 7 8 Detector de bordes LoG σ =.6 σ = σ =. Suavizado: Filtro LoG. Realzado: 3. Detección: Pasos por cero signiicativos (pico signiicativo en la a derivada) 4. Estimación con precisión subpixel (opcional) Demasiado ruidoso no práctico Interpolación σ = 4 σ = 6 9

6 Índice Qué es una esquina? Introducción (5 min.) Qué es un borde? Pasos en la detección de bordes basados en gradiente ( h.) Qué es gradiente? de bordes basados en laplaciana ( h.) Qué es laplaciana? Detección de esquinas Qué es una esquina? Esquina = Intersección de bordes rectos Nivel semántico Particularmente importantes para: Orientar objetos Dar medidas de sus dimensiones Detección de esquinas Basada en bordes: Bordes contornos Segmentos rectos intersección de rectas Segmentos curvos curvatura Basada en iltros: Filtros especíicos Sin necesidad de Derivadas de º orden detectar bordes Índice Filtros especíicos Introducción (5 min.) Qué es un borde? Pasos en la detección de bordes basados en gradiente ( h.) Qué es gradiente? de bordes basados en laplaciana ( h.) Qué es laplaciana? Detección de esquinas Qué es una esquina? Detectores Máscaras 3x3, con orma de esquina Hasta 8, rotaciones de 9º Mediante convolución: Hallar el máximo de los resultados. En el caso ideal, encontraría: Todas las esquinas Y su orientación (error,5º) 3 4

7 Filtros especíicos En la práctica, Las esquinas varían mucho en: Ángulo interno, gradiente de intensidad en los límites,... En vecindarios maores (5x5, 7x7,...) no sólo aumenta el tamaño, sino también el número de máscaras. Conclusión: Usar máscaras-esquina es insuiciente. Basados en derivadas de º orden Consideran variaciones locales en la intensidad, hasta, al menos, el º orden. En una esquina: Cambia signiicativamente la dirección del gradiente, La magnitud del gradiente también es signiicativa. 5 6 Detectores de esquinas Detectores de esquinas Kitchen & Roseneld (98): Es esquina si: Razón de cambio de la dirección de > u & Magnitud del > u E= xx + x ( + ) x 3 U donde: x, Derivadas de er. orden xx,, x Derivadas de o. orden + Supresión de no-máximos a lo largo de la dirección normal al borde x x Kitchen & Roseneld (98): Núcleos para las derivadas: = = x, Derivadas de er. Orden x xx,, x Derivadas de o. orden xx x 7 8

8 Detectores de esquinas Detectores de esquinas Lipschutz (969) Es esquina si: La curvatura gaussiana de la supericie > u xx x K= U ( + x + ) donde: x, Derivadas de er. orden xx,, x Derivadas de o. orden El numerador es el determinante de la matriz Hessiana El denominador es casi la magnitud del gradiente 4 (en la práctica, se puede quitar el ) 9 3 Detectores de esquinas Artículos para el trabajo Cann, J.; A computational approach to edge detection, IEEE Trans. on PAMI, 8(6): , 986. Marr, D. and Hildreth, E.; Theor o edge detection, Proc. o the Roal Societ o London, Series B, vol. 7: 87-7, 98. Kitchen, P.W. and Roseneld, A.; Gre-level corner detection. Pattern Recognition Letters,, 95-,

9 Bibliograía Gonzalo Pajares & Jesús M. De la Cruz, Visión por Computador: Imágenes digitales aplicaciones, Ra-Ma,. detección de bordes esquinas Jain, R., Kasturi R. & Schunck, B.G.; Machine Vision, McGraw-Hill, 995. detección de bordes Fundamentos de Visión por Computador Sistemas Inormáticos Avanzados 33

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