Mecànica Fonamental. Despatx C2.4, EEBE

Transcripción

1 Mecànica onamental Luis Carlos ardo Luis Carlos ardo Despatx C.4, EEBE

2 Tema3: Mecànica d N cossos 1.- Defincions en sistems en rotació Moment d una força 1..- Moment angular Lleis de Kepler.- Estàtica dels sòlids rígids 3.- Segona llei de Newton per a la rotació 4.- Treball de sistemes en rotació Energia cinètica i potencial

3 Tema3: Mecànica d N cossos 1.- Defincions en sistems en rotació Moment d una força 1..- Moment angular Lleis de Kepler.- Estàtica dels sòlids rígids 3.- Segona llei de Newton pe a la rotació 4.- Treball de sistemes en rotació Energia cinètica i potencial

4 Com obrir una porta? (definir facilitat per fer girar ) r 3.- Rotacions acilitat per fer girar = r r r util sin cos inutil θ és l angle entre r i acilitat per fer girar =r util =r sinθ Això es un EV!!!!!!

5 Com obrir una porta? (definir facilitat per fer girar ) r 3.- Rotacions acilitat per fer girar = r r r D útil = braç de palanca útil ç p acilitat per fer girar = bp D D sin util

6 acilitat de gir = moment d una força respecte a l eix leix de gir 3.- Rotacions M ( ) Es defineix moment d una força respecte d un punt M r ( ) ( ) M ( )

7 3.- Rotacions Alguns exemples: Calcula el moment de les forces respecte el punt. a b 1,, 3

8 er moviments linials Relaciona la causa orça Segona Llei dp dt 3.- Rotacions Amb l efecte dp dt Canvi en el moment lineal i per als girs???? La causa L efecte?? Cal definir una nova magnitut!!!!! M r ( ) ( ) Moment de la força

9 L Es defineix moment angular d una partícula respecte d un punt ( ) 3.- Rotacions L r p p ( ) ( ) L ( ) p r ( ) p

10 er moviments linials Relaciona la causa orça Segona Llei dp dt 3.- Rotacions Amb l efecte dp dt Canvi en el moment lineal i per als girs???? La causa L efecte?? M r ( ) ( ) Moment de la força r d r dt dl ( ) M ( ) dl ( ) dt dt Moment angular Llei de conservació angular si sobre la partícula no actua cap moment associat a una força, el moment angular es manté constant.

11 er moviments linials mv 3.- Rotacions La resistència que ofereix un cos a canviar la seva velocitat linial TANT EN MÒDUL COM EN DIRECCIÓ er als girs???? La resistència que ofereix un cos a canviar la seva rotació TANT EN MÒDUL COM EN DIRECCIÓ L r p ( ) ( )

12 Resum Linial Angular (girs) orça Moment linial Definicions Moment d una força M r ( ) ( ) p Moment angular L r p ( ) ( ) Llei de moviment dp dl( ) M ( ) dt dt Teoremes del moment I p Y L ( ) ( ) Si =0 llavors =ct Llei de conservació Si M =0 llavors L=ct

13 rimera llei Els planetes tenen òrbites el líptiques lí i el Sol és en un dels focus. Nicolaus Copernicus (heliocèntric) Segona llei Els planetes no es mouen uniformement, sinó que el radi vector que uneix el centre del planeta amb el Sol escombra àrees iguals en temps iguals. Tycho Brahe (geocèntric) Johannes Kepler (heliocèntric) Tercera llei El quadrat dels períodes dels planetes són proporcionals al cub de la distància mitjana al Sol T 3 d

14 renem moments respecte del punt en el Sol. El moment de la força és nul per tant el moment angular es conserva: p r d d L rpct mrvsin ct r sin ct dt da d r 1 1 da rdsin rdsin L'area da escombrada pel vector posició en un dt és així, de la conservació del moment angular obtenim: dt da ct d que constitueix la segona llei de Kepler: les àrees escombrades pel vector posició del planeta en temps iguals són iguals.

15 Tema3: Mecànica d N cossos 1.- Defincions en sistems en rotació Moment d una força 1..- Moment angular Lleis de Kepler.- Estàtica dels sòlids rígids 3.- Segona llei de Newton pe a la rotació 3.- Treball de sistemes en rotació Energia cinètica i potencial

16 1.- Bolcada inminent Translació Rotació Equació del moviment ma CM M C dl dt C Si les forces son zero: =cte Si els moments son zero: L=cte Condició d equlibri 0 0 M C t1,t,t3

17 ! Bolcada inminent d T T T N N N N a x Calculem moments xn Td Td x mg Calculem moments an Td an T d BOLCA!

18 Més dificil encara Bolcada o relliscada??? d T T T N N N N a x BOLCA! MM 00 an Tb d a Tb mg d Bolca o llisca? LLISCA! 0 T mg 0 Ll T Ll mg Bolca abans de lliscar T b T Ll a a mg mg d d T5, 11, 4, 6,7

19 1.- Defincions en sistems en rotació Moment d una força 1..- Moment angular Lleis de Kepler.- Estàtica dels sòlids rígids 3.- Segona llei de Newton pe a la rotació 4.- Treball de sistemes en rotació Energia cinètica i potencial

20 Translació Rotació Equacions del moviment dr r i dr C r CM i d dt dl dt C ma M CM C r C r i d r C r i dri drcm i (no falten vectors, és en components!) El punt C ha de ser el CM o un punt fixe del cos!!!!! L r r mv r mr k mr k N N N N C i i i i i i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 I N mr i1 1 d ( I L I ) c C i i d M I I dt dt z y x M C v i r ( C) i C v C I

21 Moment d inèrcia Cas discret Cas continu I N mr i1 i i I r dm ( C) ( C) Cos Alguns moments d inèrcia respecte d un eix de cossos homogenis H R R 1 cilindre gruixut 1 I m R R disc: H 0 1 massis: R1 0 prim: R1 R R esfera massissa buida I I 3 5 mr mr a xapa prima/gruixuda b c 1 I ma b 1 barra: a 0; c 0 14

22 Moment d inèrcia Alguns teoremes relatius al moment d inèrcia Superposició: Si tenim dos cossos 1 i amb moments d inèrcia respecte el mateix eix, I( C)1 i I( C), el moment d inèrcia del cos compost és. I I I Amb " " podem incloure els forats I ( C ) ( C) ( C)1 ( C) Teorema de Steiner: I I md I r dm (( x ( y d) ) dm (( x y y dd ) dm ( C) ( C) ( CM) ( CM) ( CM) ( CM) ( CM) Cos Cos Cos C CM I x y dm y d dm d dm ( C) ( CM) ( CM) ( CM) Cos Cos Cos I CM y dm ( CM) 0 Cos md Q.E.D. x I ( C ) C d I( CM ) CM y Teorema dels eixos perpendiculars I I I z x y Iz mr i i mi ( xi yi ) mi xi mi yi Ix Iy i i i i Q.E.D. z y x però nosaltres sempre treballarem en D (I x =I y =0)

23 Moment d inèrcia Exemple clàssic 1 I MR R Segona llei per la roda (moments) a TRI TR I R T a R R i T mgi Segona llei pel bloc: T ma TR Iaa T ma a m I m M R 1 t1, 15

24 Rodolament er tal que rodoli (sense lliscar) CAL tenir fregament (ni la normal ni el pes fan moment respecte al CM) er tal que rodoli sense lliscar, la velocitat del CM ha de ser Condició de rodolament: v CM R ds d ( R ) d vcm R R dt dt dt Quin es el Centre Instantani de Rotació? Donat que el desplaçament del CIR, on està aplicada la força de fregament es nul La força de fricció no fa treball!!! 16, 15, 1, 5

25 1.- Defincions en sistems en rotació Moment d una força 1..- Moment angular Lleis de Kepler.- Estàtica dels sòlids rígids 3.- Segona llei de Newton pe a la rotació 4.- Treball de sistemes en rotació Energia cinètica i potencial

26 Energia cinètica d un dunsòlid rígid en rotació La energia cinètica per TOTES les partícules E Energia pel sòlid rígid 1 N c mivi i1 Suposem que el sòlid es rígid v i r i er tant l energia cinètica serà: E 1 N c m i r i i1 Tenint en compte la definició de Moment d inèrcia I N mr i i1 i inalment obtenim 1 Ec I ( CM )

27 Energia pel sòlid rígid Si les forces externes al sòlid són conservatives i els possibles lligams sobre el sòlid són ideals l energia mecànica es conserva 1 1 E mvcm I( CM ) U ct erò hi ha fregament!!!! er tant E W f NO!!! La força de fricció està aplicada al CIR, i la seva velocitat es zero és una reacció ideal!! W f 0 19, 8, 31, 3

28 RESUM Moviment d una partícula φ Moviment de rotació (translació) al voltant d un eix fix osició velocitat acceleració massa Moment linial rt () vt () a rt ( ) R[cos( ( t)) iˆsin( ( t)) ˆj ] v R a R () t () t N m I mr i i i1 1 Inèrcia a la translació inèrcia a la rotació mv L r L I orça M M c r c Segona llei de Newton ma M I Angle Velocitat ang. Acceleració ang. Moment d inèrcia Moment angular Moment de la força Segona llei de Newton Conservació de l energia 1 E mv U ct 1 1 E mvcm I( CM ) U ct Conservació de l energia

29 er anar amb bicicleta no's pot dur l'esquena dreta (Ramón Casas, )