Física 2º Bacharelato

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1 Física 2º Bacharelato DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Física Moderna 16/05/08 Nombre: Problemas 1. En la alta atmósfera, el 7 N, al ser bombardeado con neutrones procedentes de la radiación cósmica, se transforma en 6 C. El carbono- es radiactivo y sufre desintegración β. Las plantas vivas asimilan el carbono del dióxido de carbono atmosférico mediante la fotosíntesis de forma que la actividad del carbono- permanece constante. Al morir, el proceso de asimilación se detiene y el carbono- que se desintegra no se repone. Una muestra de madera de una caja de momia egipcia da desintegraciones en un día por cada gramo de carbono. a) Escribe las reacciones nucleares e identifica las partículas que intervienen. [½ PUNTO] b) Calcula la edad de la caja de la momia. [1½ PUNTOS] c) Calcula si el tritio es más estable que el helio-3. [1 PUNTO] 2. El cátodo metálico de una fotocélula se ilumina simultáneamente con dos radiaciones monocromáticas de 228 y 524 nm respectivamente. El trabajo de extracción de un electrón de este cátodo es 3,4 ev. a) Cuál de las radiaciones produce efecto fotoeléctrico? Razona la respuesta. [1 PUNTO] b) Calcula la velocidad máxima de los electrones emitidos. [1 PUNTO] c) Calcula la longitud de onda que tendría una tercera radiación monocromática que necesitase un potencial de detención que fuese el doble que el que se necesita para la radiación del apartado a). [1 PUNTO] Cuestiones 1. Utiliza las ecuaciones de Einstein y Planck, como hizo De Broglie, para obtener la ecuación de la longitud de onda asociada a una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v. [1 PUNTO] 2. En lo alto de una montaña de m de altura se detectan cada hora 550 muones, partículas procedentes de los rayos cósmicos que se mueven a velocidades próximas a la de la luz, que se desintegran con una vida media de 2 µs. Se calcula que en la base de la montaña se deberían detectar unos 25 muones cada hora, pero en realidad se detectan unos 450. Cómo explica este hecho la relatividad especial? [1 PUNTO] 3. Razona cómo la interpretación de Einstein del efecto fotoeléctrico explica la observación de que la intensidad de saturación de la corriente eléctrica depende de la intensidad de la luz. [1 PUNTO] En la novela «El cuarto protocolo», Frederick Forsyth explica que para fabricar una bomba atómica de bolsillo, se necesita un «iniciador»: «Cuando se junten los dos fragmentos de uranio se alcanzará la masa crítica. Pero no estallará. Para conseguir la explosión hay que bombardear el uranio con neutrones. Esto se consigue juntando un disco de polonio con otro de berilio. Si se mantienen separados son inofensivos. El polonio es un débil emisor de radiaciones alfa y el berilio es inerte. Pero si se juntan, la radiación alfa del polonio reacciona con el berilio produciendo una ráfaga de neutrones. Al recibirla, el uranio se fisiona y en una cienmillonésima de segundo produce una emisión gigantesca de energía.» Escribe las reacciones nucleares mencionadas en el texto usando los números atómicos y/o másicos siguientes: 84Po 1 92 son 56Ba y Kr 36, 82 Pb, 83 Bi, 85 At, 86 Rn, 3 Li, Be 4 10, 5 B, 6 C. Supón que los productos de la fisión del U [1 PUNTO]

2 Datos: Actividad de la madera actual = 920 desintegraciones / (hora g carbono) Periodo de semidesintegración del carbono- = años h = 6, J s q e = 1, C c = 2, m/s u = 1, kg Masas: núcleo de helio-3 = 3, u núcleo de tritio = 3, u protón = 1, u neutrón = 1, u electrón: 9, kg

3 Soluciones Problemas 1. En la alta atmósfera, el 7 N, al ser bombardeado con neutrones procedentes de la radiación cósmica, se transforma en 6 C. El carbono- es radiactivo y sufre desintegración β. Las plantas vivas asimilan el carbono del dióxido de carbono atmosférico mediante la fotosíntesis de forma que la actividad del carbono- permanece constante. Al morir, el proceso de asimilación se detiene y el carbono- que se desintegra no se repone. Una muestra de madera de una caja de momia egipcia da desintegraciones en un día por cada gramo de carbono. a) Escribe las reacciones nucleares e identifica las partículas que intervienen. b) Calcula la edad de la caja de la momia. c) Calcula si el tritio es más estable que el helio-3. Rta.: b) t = años a) La transformación del nitrógeno- en carbono-, por bombardeo de neutrones será: y la desintegración β del carbono- será 7N C 6 n C 1 H N 0 0 e 0 e ecuaciones que cumplen los principios de conservación de número bariónico (o número másico), número leptónico y carga (o número atómico) b) La ley de desintegración radiactivo se resume en la ecuación: 1 N = N 0 e -λ t que permite calcular el número N de núclidos radiactivos que quedan al cabo de un tiempo t, a partir de una cantidad inicial N 0, en la que λ es la constante de desintegración radiactiva. Se calcula la constante de desintegración radiactiva λ a partir del período T de semidesintegración, que es el tiempo que tarda en reducirse a la mitad la cantidad de sustancia radiactiva. Eliminando N 0 y extrayendo logaritmos neperianos: Como la actividad radiactiva A N 0 / 2 = N 0 e -λ T ln (1/2) = λ T = ln 2 T = ln años = 0,693 1, s =3, s 1 A= dn dt = N es proporcional a la cantidad de núcleos, también sigue la ley de desintegración. que, en forma logarítmica queda La actividad radiactiva la la muestra es: A = A 0 e -λ t ln (A / A 0 ) = λ t A = desintegraciones / (día g carbono) = 0,157 Bq / g C Se supone que cuando el árbol del que se extrajo la madera de la caja de la momia estaba vivo, su actividad

4 radiactiva era la misma que la de una planta actual. Sustituyendo: A 0 = 920 desintegraciones / (hora g carbono) = 0,256 Bq / g C ln (0,157 / 0,256) = 3, t t = 1, s = años Análisis: La actividad de la muestra es 0,157, Bq mayor que la mitad de la actividad original 0,256/2 = 0,128 Bq, lo que indica que no ha transcurrido ni un período de semidesintegración años < 5730 años. La estabilidad de un núcleo se calcula a partir de su energía de enlace (ligadura) por nucleón: E b /A. La masa de un núcleo es menor que la masa de sus nucleones. La diferencia o defecto de masa es: m = m núcleo (Z m p + (A Z) m n ) La energía equivalente, calculada por la expresión de Einstein, es la energía de enlace o de ligadura del núcleo. 3 Para el tritio, 1 H, el defecto de masa es: 3 Para el helio-3, 2He E = m c 2 m H = 3, (1, (3 1) 1,008665) = -0, u, el defecto de masa es: m He = 3, (2 1, ,008665) = -0, u Tanto el tritio como el helio-3 tienen el mismo número de nucleones, 3. Como, en valor absoluto, es mayor en el tritio que en el helio-3, es más estable el tritio. Si calculamos la energía por la ecuación de Einstein: 3 Para el tritio, 1 H, E = -0, u 1, kg / u (2, m/s) 2 = -1, J = -8,48 MeV 3 Para el helio-3, 2He, (E b /A) H = -8,48 / 3 = -2,83 MeV/nucleón E = - 0, u 1, kg / u (2, m/s) 2 = -1, J = -7,70 MeV (E b /A) He = -7,70 / 3 = -2,57 MeV/nucleón es mayor que para el tritio, por lo que el tritio es más estable. 2. El cátodo metálico de una fotocélula se ilumina simultáneamente con dos radiaciones monocromáticas de 228 y 524 nm respectivamente. El trabajo de extracción de un electrón de este cátodo es 3,4 ev. a) Cuál de las radiaciones produce efecto fotoeléctrico? Razona la respuesta. b) Calcula la velocidad máxima de los electrones emitidos. c) Calcula la longitud de onda que tendría una tercera radiación monocromática que necesitase un potencial de detención que fuese el doble que el que se necesita para la radiación del apartado a). Rta.: a) 228 nm b) v = 8, m/s c) λ = 166 nm

5 Trabajo de extracción del metal: W e = 3,40 [ev] 1, [C] 1 [e] = 5, J Frecuencia del primer fotón incidente c f 1 = λ = 3, [m/s] 2, [m] = 1, Hz Energía del primer fotón incidente (ecuación de Planck) E f 1 = h f 1 = 6, [J s] 1, [s -1 ] = 8, J Frecuencia del segundo fotón incidente c f 2 = λ = 3, [m/s] 5, [m] = 5,72 10 Hz Energía del segundo fotón incidente E f 2 = h f 2 = 6, [J s] 5, [s -1 ] = 3, J La energía del primer fotón (8, J) es mayor que el trabajo de extracción (5, J), en este caso se produce efecto fotoeléctrico, pero no en el del segundo fotón cuya energía ( 3, J) es menor que el trabajo de extracción. Energía cinética de los electrones emitidos por el primer fotón (ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico): De la expresión de la energía cinética: E c = E f 1 W e = 8, [J] 5, [J] = 3, J E c = ½ m v 2 v = 2 E c m = 2 3, [J] 9, [kg] = 8, m/s La velocidad máxima de los electrones sólo depende de la frecuencia de la radiación incidente, no de la intensidad. Al duplicarse la intensidad, (energía por unidad de superficie y tiempo) se duplicará el número de fotoelectrones emitidos, y la intensidad de corriente eléctrica. c) El potencial de detención que corresponde al fotón de 228 nm es: E c 3, [J] V = = = 2,05 V q e 1, [C] La energía cinética que correspondería a un potencial de detención del doble: 2 2,05 = 4,10 V sería también el doble: y la energía del fotón correspondiente sería: E c3 = 2 E c1 = 2 3, [J] = 6, J E f 3 = W e + E c3 = 5, [J] + 6, [J] = 12, J que, según la ecuación de Planck, daría una frecuencia:

6 f 3 = E f 3 h = 12, [J] 6, [J s] = 1, Hz y una longitud de onda λ 3 = c f 3 = 3, [m/s] 1, [1/s] = 1, m Cuestiones 1. Utiliza las ecuaciones de Einstein y Planck, como hizo De Broglie, para obtener la ecuación de la longitud de onda asociada a una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v. Según Planck, la energía de un fotón, partícula asociada a una onda luminosa de frecuencia f, es proporcional a su frecuencia: E fotón = h f Según Einstein la energía de una partícula de masa m es: E = m c 2 donde c es la velocidad de la luz en el vacío. La frecuencia y la longitud de onda de una onda luminosa están relacionadas por: c = Si una onda luminosa lleva asociada una partícula, su momento lineal vendrá dado por Igualando las dos expresiones de la energía f p = m c h f = m c 2 h f c =m c h =m c= p Una partícula lleva asociada una onda, de longitud de onda: = h p = h m v

7 2. En lo alto de una montaña de m de altura se detectan cada hora 550 muones, partículas procedentes de los rayos cósmicos que se mueven a velocidades próximas a la de la luz, que se desintegran con una vida media de 2 µs. Se puede calcular que en la base de la montaña se deberían detectar unos 25 muones cada hora, pero en realidad se detectan unos 450. Cómo explica este hecho la relatividad especial? Dilatación del tiempo. Como los muones se mueven a velocidades próximas a la de la luz, el tiempo medido desde un sistema inercial exterior es mayor que el tiempo propio: siendo Δt = γ Δt p = 1 v 2 1 c 2 así, cuando en el sistema inercial ligado a los muones transcurren 2 µs, en el sistema externo (el observador) transcurre un tiempo mayor (γ > 1). Para una velocidad de v = 0,998 c, γ = 15,8. Si en el sistema de referencia del observador, el tiempo que le lleva a los muones llegar al suelo es: Δt = m / m/s = 6, s = 6,7 µs mucho mayor que su vida media, en el sistema de referencia ligado a los muones sólo han transcurrido: Δt p = 6,7 µs / 15,8 = 0,42 µs inferior a la vida media de los muones. Otra forma de interpretarlo es mediante la contracción de Fitzgerald-Lorenz de la dimensión en el sentido de avance de los muones. Para los muones en movimiento a velocidades próximas a la de la luz, la distancia de m entre lo alto de la montaña y su base se ve como Δx = Δx / γ = m / 15,8 = 127 m que, a las velocidades a las que se mueven se recorren en 0,42 µs. Si la vida media es τ = 2 µs, la constante de desintegración vale: λ = 1 / τ = s y el número de muones que quedan sin desintegrar al cabo de 0,42 µs es N =N 0 e t =550e , muones 3. Razona cómo la interpretación de Einstein del efecto fotoeléctrico explica la observación de que la intensidad de saturación de la corriente eléctrica depende de la intensidad de la luz. Una de las leyes experimentales del efecto fotoeléctrico dice que la intensidad de corriente eléctrica es directamente proporcional a la diferencia de potencial del generador, según la ley de Ohm, en un primer tramo, pero luego se estanca en un valor constante, llamado intensidad de saturación. Esta intensidad de saturación es mayor cuanto mayor es la intensidad de la luz. La interpretación de Einstein del efecto fotoeléctrico consiste en suponer que la luz está formada por partículas llamadas fotones. Cuando un fotón llega a la superficie del metal, le comunica toda su energía a un electrón y el fotón deja de existir. El electrón utiliza la energía recibida para escapar del metal superando la función trabajo o trabajo de extracción. La energía sobrante, si queda, le lleva el electrón en forma de energía ci-

8 nética. Aunque se aumente la diferencia de potencial del generador, llega un momento en que no puede circular una mayor intensidad de corriente, porque la cantidad de electrones está limitada por la cantidad de fotones que llegan, que dependen de la intensidad de la luz. Cuanto mayor sea la intensidad de la luz, mayor es el número de fotones que llegan a la superficie del metal, y, por tanto, mayor será el número de electrones arrancados. Cuantos más electrones circulen, mayor será la intensidad de corriente eléctrica. 4. En la novela «El cuarto protocolo», Frederick Forsyth explica que para fabricar una bomba atómica de bolsillo, se necesita un «iniciador»: «Cuando se junten los dos fragmentos de uranio se alcanzará la masa crítica. Pero no estallará. Para conseguir la explosión hay que bombardear el uranio con neutrones. Esto se consigue juntando un disco de polonio con otro de berilio. Si se mantienen separados son inofensivos. El polonio es un débil emisor de radiaciones alfa y el berilio es inerte. Pero si se juntan, la radiación alfa del polonio reacciona con el berilio produciendo una ráfaga de neutrones. Al recibirla, el uranio se fisiona y en una cienmillonésima de segundo produce una emisión gigantesca de energía.» Escribe las reacciones nucleares mencionadas en el texto usando los números atómicos y/o másicos siguientes: y Po 92 36Kr, 82 Pb, 83 Bi, 85 At, 86 Rn, 3 Li, Be 4 10, 5 B, 6 C. Supón que los productos de la fisión del U 92 La ecuación de emisión α del polonio-210 es: 210 Po He Pb La reacción entre el berilio y las partículas alfa, para emitir neutrones, puede ser: 10 Be 4 La reacción de fisión del uranio con los neutrones es: 235 U n 4 2He n 6 C 1 56Ba Kr3 0 n 235 son 1 56Ba