Vectores en el plano Introducción

Transcripción

1 Capítulo 9 Vectores en el plano 9.1. Introducción Cuando nos referimos al tiempo que demanda un suceso determinado, basta un número con una unidad de medida. Por ejemplo, se demoró 4 segundos, corrió durante 2 minutos, nos encontraremos en una semana, etc. Las magnitudes que pueden describirse de esta manera reciben el nombre de escalares, como por ejemplo el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura. Otras magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración, no pueden ser descritas sólo por un número. Por ejemplo, camine 5 metros!, es una solicitud muy ambigua que puede conducir a una posición final distinta para cada persona que la reciba; en cambio, camine 5 metros por la Alameda hacia el poniente! producirá el efecto solicitado. Estas magnitudes para las cuales hay que especificar, además de un valor numérico, la dirección y sentido en el que actúan, se denominan vectoriales. Los vectores dan origen a las magnitudes vectoriales 204

2 Resumen de contenidos los que operan según las leyes del Álgebra Vectorial. El concepto de vector se remonta a tiempos muy antiguos. Se cree que Arquímedes lo utilizó implícitamente. El término vector se debe a Hamilton, matemático y astrónomo irlandés ( ) que lo introdujo para designar un segmento de recta orientado Qué es un vector? Dirección y sentido a) Dirección. Cuando dos rectas son paralelas se dice que ellas tienen la misma dirección. Las rectas d 1, d 2 y d 3 tienen la misma dirección que la recta AB. La recta s tiene una dirección distinta. b) Sentido. Si se dirige u orienta una recta, se determina un sentido sobre la dirección de dicha recta. En la dirección de una recta AB hay dos sentidos: un sentido es de A hacia B, y el otro es de B hacia A. Ambos sentidos son diferentes Vectores Los dos sentidos posibles en la dirección de la recta AB Un vector del plano (o del espacio) es un segmento de recta dirigido (u orien- Definición. tado). Instituto de Matemática y Física 205 Universidad de Talca

3 Resumen de contenidos Notación y representación. Es usual denotar un vector por una letra minúscula con una flecha encima, y representarlo geométricamente por una flecha. Por ejemplo, la siguiente figura muestra un vector v : Representación geométrica de un vector v Módulo de un vector La longitud de un vector v recibe el nombre de módulo de v y se denota por v. Nota. En aplicaciones en Física, el módulo de una fuerza es llamada intensidad de la fuerza Representación geométrica de vectores en el plano Un vector está definido por tres elementos: Una dirección, dada por la recta que contiene al segmento. Un sentido, señalado por la flecha (es uno de los dos sentidos posibles en la dirección de la recta que lo contiene). Una longitud, llamada módulo del vector, que corresponde a la longitud del segmento. Un vector del plano se puede definir también como asociado a dos puntos del plano. Definición. Sean P y Q dos puntos distintos del plano. El segmento dirigido de P a Q es un vector del plano, que se denota por P Q. Observaciones. a) El vector P Q tiene por dirección, la dirección de la recta P Q; tiene por sentido, el sentido de P hacia Q; y su módulo es la longitud del segmento P Q. b) P es el punto inicial del vector P Q. Q es su punto terminal o extremo del vector P Q. Instituto de Matemática y Física 206 Universidad de Talca

4 Resumen de contenidos Nota. En mecánica, el punto inicial de un vector es el punto de aplicación de la fuerza. c) El módulo del vector P Q se denota P Q. d) Vector nulo. Cuando el punto inicial P y el punto terminal Q coinciden, el vector P P recibe el nombre de vector nulo, y se denota por 0. El vector nulo no tiene dirección ni sentido, y su módulo es Vectores iguales (o equivalentes) Una dirección, un sentido y una longitud definen un vector v, existiendo muchos segmentos dirigidos que lo representan, como se muestra en la figura: Representaciones geométricas del vector v Luego, el vector v puede denotarse también como AB, CD o P Q. Definición. Dos vectores no nulos u y v son iguales (o equivalentes), cuando ellos tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo. Se denota u = v. u = v = w u z Observación. Dado un vector v = AB y sea P un punto cualquiera del plano. Existe un único punto Q del plano tal que P Q = v. Instituto de Matemática y Física 207 Universidad de Talca

5 Resumen de contenidos El punto Q es tal que AP QB es un paralelogramo. Luego, para representar un vector AB se puede elegir un punto a nuestro gusto para que sea punto inicial del vector Vectores opuestos Sea v un vector. El vector que tiene la misma dirección, el mismo módulo y sentido contrario de v es llamado vector opuesto de v y se denota v. Nota. El vector opuesto del vector P Q es el vector QP. Luego: QP = P Q Operaciones con vectores Adición de vectores Cualquiera sean los puntos A, B y C, la suma de los vectores u = AB y v = BC es el vector u + v = AC. El vector suma se llama resultante. Observaciones. AB + BC = AC a) Suma de vectores con el mismo punto inicial: se aplica regla del paralelogramo, ilustrada en el siguiente ejemplo. Ejemplo. Para obtener geométricamente el vector suma de los vectores u = OA y v = OB, se traza el vector AC tal que AC v. Como u + v = OA + AC = OC. Luego, la suma de los dos vectores OA y OB es el vector OC definido por la diagonal del paralelogramo OACB. Instituto de Matemática y Física 208 Universidad de Talca

6 Resumen de contenidos v = OB = AC, u = OA = BC b) Suma de dos vectores cualquiera. Para sumar dos vectores cualquiera u y w, se traza un vector AB = u, siendo A un punto cualquiera, y luego se traza el vector BC = w tal que punto inicial de w sea el punto terminal de v. Luego u + w = AC. c) u + v u + v, relación llamada desigualdad triangular. d) Propiedades de la adición de vectores: Es conmutativa: u + v = v + u Es asociativa: u + ( v + z ) = ( v + u ) + z AB + BA = 0 ; AB + BC + CA = 0. e) Para sumar más de dos vectores, generalmente se usa el llamado polígono de fuerzas, el cual se obtiene uniendo el punto terminal de un vector con el punto inicial del siguiente. El vector resultante tiene su punto inicial en el inicial del primero, y su punto final es el extremo del último. Por ejemplo, la figura presenta la representación gráfica de la suma de tres vectores u + v + w : u = OA, v = AB, w = BC : u + v + w = OC f) Diferencia entre vectores La diferencia entre los vectores u = OA y v = OB es el vector denotado por u v, que se obtiene de sumar los vectores u y v. Es decir: u v = u + ( v ) Instituto de Matemática y Física 209 Universidad de Talca

7 Resumen de contenidos u v = OD que es igual al vector BA g) La siguiente figura muestra la representación gráfica de la suma y la diferencia de los vectores OA y OB: Multiplicación de un vector por un escalar El producto de un número real c por un vector v es el vector denotado por c v. El vector c v tiene la misma dirección que v, tiene el mismo sentido que v si c > 0 y sentido contrario de v si c < 0, y su módulo es c v. Observaciones a) Algunas propiedades de esta operación son: v = ( 1)v (c + d) v = c v + d v c( v + u ) = c v + c u b) Si u = c v, con c 0, entonces u y v tienen la misma dirección. Instituto de Matemática y Física 210 Universidad de Talca

8 Resumen de contenidos 9.4. Representación analítica de vectores del plano Los vectores pueden representarse gráficamente o geométricamente por una flecha, quedando claramente establecido su punto inicial y su punto terminal, y también pueden representarse o expresarse analíticamente, con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares. Consideremos el plano provisto de un sistema de coordenadas rectangulares (O; X, Y ), donde O es el origen del sistema, la recta horizontal OX es el eje de las abscisas (eje X), la recta vertical OY es eje de las ordenadas (eje Y ) y la unidad en cada eje. Los vectores del plano pueden expresarse analíticamente, mediante su descomposición en componentes con respecto al sistema de coordenadas rectangulares Componentes de un vector Observación. De acuerdo lo tratado anteriormente: a) Un vector es definido por un punto inicial y un punto terminal, y se representa geométricamente por una flecha o segmento dirigido. b) Todas las flechas o segmentos dirigidos del plano que tienen la misma longitud, la misma dirección y el mismo sentido, representan a un mismo vector, es decir, son vectores iguales. c) Sea v = P Q un vector con punto inicial en P y punto terminal en Q. Se tiene que, existe un único vector OA con punto inicial en el origen O del sistema de coordenadas, tal que OA es igual al vector v = P Q. Definición. Sea v un vector del plano, y sea OA el vector que representa a v, tal que su punto inicial es O el origen del sistema de coordenadas y su punto terminal es el punto A = (a x, a y ). Instituto de Matemática y Física 211 Universidad de Talca

9 Resumen de contenidos El vector OA se denomina vector posición de v. Los números a x y a y se denominan las componentes del vector v. Es decir, las componentes del vector v = OA corresponden a las coordenadas del punto A. Definición. El vector v = OA se identifica con el punto A y se acostumbra denotarlo como v = (a x, a y ). Esta forma de denotar al vector v se denomina representación analítica de v. Observación. Sea v = AB, siendo A su punto inicial y B su punto terminal, y sea OC el vector posición de AB. Notar que v = AB = AO + OB = OB OA = OC. Luego, si A = (ax, a y ) y B = (b x, b y ) entonces las componentes del vector AB son las coordenadas del punto C: c x = b x a x c y = b y a y Si el vector posición de AB es el vector OC, donde C = (c x, c y ), entonces la representación analítica de AB es (c x, c y ). Nota. La expresión v = (a, b) se entiende que es un vector cuyo punto inicial es el origen O del sistema y su punto terminal es el punto A = (a, b) Módulo de un vector El módulo del vector v = (a x, a y ), denotado por v es: v = a 2 x + a 2 y Observación. Un vector v = OA con punto inicial en el origen del sistema, queda definido en los siguientes casos: Instituto de Matemática y Física 212 Universidad de Talca

10 Resumen de contenidos a) Cuando se conocen las componentes del vector. Sea v = OA = (a x, a y ). El módulo de v es: v = a 2 x + a 2 y. La dirección y el sentido se puede obtener determinando el ángulo θ que forma el vector OA con el semieje positivo de las abscisas: donde el sentido es de O hacia A. tg θ = a y a x b) Cuando se conoce el módulo del vector OA y el ángulo θ que forma el vector OA con el semieje positivo de las abscisas, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Instituto de Matemática y Física 213 Universidad de Talca

11 Resumen de contenidos Las componentes de v se pueden determinar mediante las expresiones: a x = v cos θ a y = v sen θ Luego OA = v (cos θ, sen θ). Observaciones. a) El vector nulo del plano, se representa analíticamente O = (0, 0). b) El vector opuesto del vector v = (a x, a y ) es el vector v = ( a x, a y ). c) Dos vectores son iguales cuando se representan por el mismo vector posición. Por ejemplo, Ejemplos de vectores iguales a OC Nota. En los sistemas de coordenadas rectangulares del plano, se acostumbra utilizar los símbolos i, j para definir los vectores de módulo 1: i = (1, 0) y j = (0, 1) que representan las unidades de cada eje. El vector v expresar también como: v = ax i + ay j = (a x, a y ) de la figura se puede Instituto de Matemática y Física 214 Universidad de Talca

12 Resumen de contenidos Operaciones con vectores del plano A continuación se describirán las operaciones con vectores, conocidas sus componentes rectangulares. Dados los vectores u = OA = (a x, a y ) y v = OB = (bx, b y ). a) Suma de vectores. La suma de los vectores u y v obtenida analíticamente, es el vector que se obtiene sumando las componentes correspondientes de los vectores. u + v = (ax, a y ) + (b x, b y ) = (a x + b x, a y + b y ) Observaciones. El vector resultante obtenido coincide con el vector OP determinado geométricamente donde OP es la diagonal del paralelogramo OAP B. La diferencia entre los vectores dados, es el vector: u v = (a x b x, a y b y ). b) Multiplicación por un escalar. El producto de un vector u = OP = (a x, a y ) por un número real c es el vector: c u = c (a x, a y ) = (c a x, c a y ) Instituto de Matemática y Física 215 Universidad de Talca

13 Resumen de contenidos c > 0: los vectores u y c u tienen igual dirección y sentido c < 0: los vectores u y c u tienen igual dirección y sentido contrario Producto punto y Ángulo entre dos vectores Definición. Sean u = OA = (a x, a y ) y v = OB = (bx, b y ) dos vectores en el plano. El producto punto entre u y v, denotado por u v es el número real: u v = (ax, a y ) (b x, b y ) = a x b x + a y b y Nota. El símbolo u v se lee u punto v. Teorema. Si θ es el ángulo que forman los vectores u = (a x, a y ) y v = (b x, b y ), entonces: u v = u v cos θ Ángulo entre dos vectores. La siguiente fórmula, que se deduce del teorema anterior, permite determinar el ángulo θ que forman los vectores u = (a x, a y ) y v = (b x, b y ): cos θ = a xb x + a y b y u v Instituto de Matemática y Física 216 Universidad de Talca

14 Resumen de contenidos Esta fórmula es muy utilizada en aplicaciones de los vectores. Por ejemplo, para determinar el ángulo formado por los segmentos brazo y antebrazo conociendo los vectores que definen la posición de ambos. Instituto de Matemática y Física 217 Universidad de Talca

15 Ejemplos 9.5. Ejemplos 1. Usando en las propiedades geométricas de un paralelogramo, responder las preguntas que se señalan, considerando el paralelogramo ABCD de la figura, donde I y J son los puntos medios de AB y CD respectivamente. a) Señalar dos vectores iguales al vector AI, y dos vectores con la misma dirección, el mismo módulo que AI pero con sentido contrario. b) Graficar y describir los vectores u = AB + BC y v = AB + AD. c) Graficar un vector que represente la suma AJ + BI. d) Determinar el vector BA BC. e) Determinar el vector AB + BC + CD + DA. Solución: a) Los vectores IB, JC son iguales al vector AI ya que tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido. Los vectores BI, CJ, IA tienen la misma dirección, el mismo módulo y sentido contrario que AI. b) Ambas sumas representan el mismo vector ya que BC = AD. AB + BC = AC c) Como BI = JD, luego AJ + BI = AJ + BI AB + AD = AC Instituto de Matemática y Física 218 Universidad de Talca

16 Ejemplos d) AB BC = AB + CB = DB e) AB + BC + CD + DA = O. 2. Dados los vectores u, v y w representados geométricamente, en los casos que muestra la figura: A) B) Construir un representante del vector u + v + w en cada caso. Solución: A) B) 3. Determinar el módulo y las componentes de cada vector considerados en el caso (A) del ejercicio precedente, considerando que el lado de cada cuadradito de la grilla tiene longitud 1 cm. Solución: Instituto de Matemática y Física 219 Universidad de Talca

17 Ejemplos u = = 2 Componentes del vector u : (1, 1). v = = 13 Componentes del vector v : (2, 3). w = = 5 Componentes del vector w : (1, 2). 4. Trazar cada vector, considerando los elementos que lo definen y presentar las componentes analíticas respectivas: a) 5km/h, norte b) 8N (Newton), sudeste Solución: a) b) v 1 = 5(cos 90, sin 90 ) v 2 = 8(cos 315, sin 315 ) v 1 = (0, 5) v 2 (5.657, 5.657) 5. Dibujar y describir analíticamente el vector opuesto de cada uno de los vectores del ejercicio anterior. Solución: a) b) v 1 = 5(cos 270, sin 270 ) v 2 = 8(cos 135, sin 135 ) v 1 = (0, 5) v 2 ( 5.657, 5.657) Instituto de Matemática y Física 220 Universidad de Talca

18 Ejemplos 6. Dados los vectores u y v de la figura: a) Representar geométricamente la suma u + v y la diferencia u v. b) Hallar las componentes analíticas de los vectores u y v. c) Determinar determinar las componentes analíticas de los vectores suma y diferencia de la parte (a). Solución: a) Representación geométrica de u + v y de u v : Notar que: u v = OA OB = OA + BO = BO + OA = BA cuyo vector posición es OC. b) ( 3 ) u = 5(cos 30, sin 30 ) = 5, 1 (4.330, 2.5) 2 2 ( v = 4(cos 120, sin 120 ) = 4 1, ) 3 ( 2, 3.464) 2 2 c) Componentes de u + v : u + v = 5(cos 30, sin 30 ) + 4(cos 120, sin 120 ) = (2.330, 5.964) Instituto de Matemática y Física 221 Universidad de Talca

19 Ejemplos Componentes de u v : u v = 5(cos 30, sin 30 ) 4(cos 120, sin 120 ) = (6.330, 0.964) 7. Representar gráficamente y analíticamente un vector que exprese una fuerza de 10 N (Newton) en la dirección 30 este-norte. Solución: Sea F = OA el vector que representa la fuerza de 10 N en la dirección de 30 este-norte. a) Representación gráfica de F b) Representación analítica de F = OA. Las componentes analíticas del vector OA son: 3 a x = 10 cos 30 = 10 2, a y = 10 sen 30 = luego: o bien: F = (5 3, 5) (8.66, 5) F = 5 3 i + 5 j. 8. Sean los vectores u = (3, 2), v = ( 4, 1). Calcular: a) El módulo de cada vector. b) El vector suma u + v y su módulo. c) El vector diferencia u v. d) El vector w tal que 2 u 3 v + w = O. e) El ángulo que forman los vectores u y v. Solución: Instituto de Matemática y Física 222 Universidad de Talca

20 Ejemplos a) u = (3) 2 + ( 2) 2 = 13 v = ( 4) 2 + (1) 2 = 17 b) u + v = (3, 2) + ( 4, 1) = (3 4, 2 + 1) = ( 1, 1) u + v = ( 1) 2 + ( 1) 2 = 2. c) u v = (3, 2) ( 4,, 1) = (3 + 4, 2 1) = (7, 3) d) Si 2 u 3 v + w = O entonces w = 2 u + 3 v. w = 2(3, 2) + 3( 4, 1) = ( 18, 7). e) Sea θ el ángulo que forman los vectores u y v. Luego: cos θ = u v u v Como: u v = (3)( 4) + ( 2)(1) = 14 Reemplazando en la fórmula se obtiene: cos θ = u = 13, v = , de donde θ = arcos ( 0, ) Luego: θ Sea u = 3 i 5 j, denotado también, u = (3, 5). a) Verificar que los vectores u y v = 12 7 i j tienen la misma dirección 1. b) Determinar el ángulo que forman los vectores u y w = i j Solución: a) Como v = 4 7 u se tiene que u y v tienen la misma dirección (o son colineales). b) Sea θ el ángulo que forman los vectores u y w. Luego cos θ = u w u w 3 3 = 0, de donde θ = /25 = 10. Dos fuerzas F 1 y F 2 aplicadas en un mismo punto de un objeto tienen intensidades (o módulos) de 5 N (Newton) y 7 N respectivamente, y forman ángulos 60 o y 30 o con el semieje positivo de las abscisas respectivamente. Calcular: a) La fuerza resultante y su módulo. 1 Tienen también el mismo sentido? Instituto de Matemática y Física 223 Universidad de Talca

21 Ejemplos b) El ángulo que forma la fuerza resultante con el eje X. Solución: a) ( F 1 = 5(cos 60, sin 60 1 ) = 5, ) 3 (2.5, 4.330) = 2.5 i j 2 2 F 2 = 7(cos 30, sin 30 ) (6.0622, 3.5) = i j La fuerza resultante es: F = (2.5 i j ) + (6.062 i j ) = i j y su módulo es F 11,603. b) El ángulo θ que forma la fuerza resultante con el eje X es: ( ) θ = atan Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60 o al Oeste del Norte. Determinar el módulo y la dirección del desplazamiento resultante del auto. Solución: Sean OA y AB los vectores que representan los desplazamientos del auto. Un dibujo que representa la situación planteada es: Luego: OA = (0, 20) = 20 j AB = u = 35(cos 150, sin 150 ) ( , 17.5) = i j El vector resultante es: R = OA + AB = (20j) + ( i j ) Instituto de Matemática y Física 224 Universidad de Talca

22 Ejemplos R = i j Luego: El módulo de R es: R = (17.5) 2 + (37.5) 2 48,2 km La dirección de R se determinará calculando el ángulo θ que forma con el semieje positivo de las abscisas. Como tan θ = , luego: θ = atan ,9o. 12. Equilibrio en Física. Un sólido es sometido a dos fuerzas F 1 y F 2 de igual intensidad, 10 N. Sus líneas de acción forman un ángulo de 60. Calcular la intensidad de la fuerza F 3 que hay que aplicar al sólido para que quede en equilibrio. Nota. La condición de equilibrio es: F 1 + F 2 + F 3 = 0. Solución: Representar la fuerza F 1 por el vector OA en el semieje positivo de las abscisas, y la fuerza F 2 por el vector OB tal que AOB = 60. Como las fuerzas F 1 y F 2 tienen igual intensidad, 10 N, se tiene que: OA = OB = 10 Para resolver el problema hay que determinar el punto E tal que la F 3 = OE y cumpla la condición: OA + OB + OE = 0 Luego: OE = ( OA + OB) a) Representación gráfica de la solución Fuerzas F 1 y F 2 Punto D tal que OB = AD Instituto de Matemática y Física 225 Universidad de Talca

23 Ejemplos OA + OB = OD F3 = OE = OD b) Solución analítica OA = (10, 0) OB = (10 cos 60, 10 sen 60 ) = (10 1 3, 10 ) = (5, 5 3) 2 2 OA + OB = (15, 5 3) Luego: OE = (15, 5 3) = ( 15, 5 3) OE = ( 15) 2 + ( 5 3) 2 = ,321. Por lo tanto, la intensidad de la fuerza F 3 es aproximadamente de 17,321 N. Instituto de Matemática y Física 226 Universidad de Talca

24 Ejercicios 9.6. Ejercicios 1. Determinar la veracidad o falsedad de cada enunciado, justificando su respuesta: a) Si u = v, es siempre verdadero que u = v? b) Si u = v, es siempre verdadero que u = v? 2. La figura presenta un hexágono regular ABCDEF de centro O: Determinar, usando las letras que aparecen en la figura: a) Dos vectores iguales al vector AB. b) Dos vectores opuestos al vector OE. c) Si los vectores AB y BC son iguales. d) Un representante del vector AB + CD. e) Si AB + BC CD es igual al vector 2 AB. 3. Sean u = (3, 4) y v = (6, 8) dos vectores en el plano. a) Graficar cada vector y determinar el módulo de cada uno. b) Determinar las componentes de los vectores u + v y u v. c) Determinar el ángulo que forman los vectores u + v y u v. d) Determinar el vector w tal que 2 u 4 v + w = En cada caso los vectores tienen la misma dirección. Determinar a partir del gráfico una relación u = c v donde c es un número real. Instituto de Matemática y Física 227 Universidad de Talca

25 Ejercicios a) b) c) d) 5. Sea u el vector ( 4, 5) y P el punto (6, 2). a) Graficar el vector posición de u y calcular su módulo. b) Graficar el vector P Q que representa a u, con punto inicial en P, y determinar las coordenadas de Q. 6. Sean los vectores u = AB, v = BC y w = CD tales que A = (2, 3), B = (5, 1), C = ( 1, 3) y D = (3, 4). a) Graficar cada vector en el plano coordenado b) Determinar el vector posición de cada vector. c) Determinar el módulo de cada vector. d) Calcular los vectores 2 u ; u v + w, 3 u + 2 v 1 2 w. 7. La figura presenta tres vectores en el plano, tal que la longitud del lado de cada cuadradito de la grilla es 1cm: a) Calcular el módulo de cada vector. b) Sea t = 3 u + 2( u w ) 2 1 v. Construir el vector t y determinar su módulo. Instituto de Matemática y Física 228 Universidad de Talca

26 Ejercicios 8. Construir cada vector, considerando los elementos que lo definen y determinar sus componentes analíticas: a) 12m/s, 95 b) 2.5m/s 2, 335 c) 7m, Un sólido es sometido a dos fuerzas F 1 y F 2 de igual intensidad: F 1 = F 2 = 10N, tal que sus direcciones forman un ángulo de 90. Calcular la intensidad de la fuerza F 3 que habría que aplicar al sólido para que quede en equilibrio. Es decir, para que F 1 + F 2 + F 3 = Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: F 1 = 6N, F 2 = 3N y F 3 = 4N, que forman, respectivamente, los siguientes ángulos con el semieje positivo de las abscisas: 45 o, 30 o y 60 o. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el ángulo que forma con el semieje positivo OX. 11. Dos pequeñas lanchas ayudan a que un barco salga de su embarcadero. Una de las lanchas está tirando de él con una fuerza de 150 N, mientras que la otra lo hace con una fuerza de 200 N. La primera lancha toma una dirección que forma un ángulo de 30 o con la recta AB. Qué dirección debe tomar la otra lancha para que el barco salga en la dirección de A hacia B? 9.7. Respuesta a los ejercicios 1. a) Verdadero. b) Falso, ya que por ejemplo los vectores u = (1, 0) y v = (0, 1) tienen el mismo módulo y sus direcciones son distintas. 2. a) Por ejemplo OC y ED. b) Por ejemplo DC y OB. Instituto de Matemática y Física 229 Universidad de Talca

27 Ejercicios c) No son iguales ya que tienen direcciones distintas. d) AB + CD = AO e) Si, es correcto. 3. a) u = 5 y v = 10. b) u + v = (9, 4) y u v = ( 3, 12). c) El ángulo que forman los vectores u + v y u v es 127,999 o. d) w = (2 u 4 v ) = (18, 40). 4. a) u = 5 3 v. b) u = 2 3 v c) u = 6 5 v. d) u = 2 3 v 5. a) u = 41. b) Si Q = (a, b) entonces P Q = (a, b) (6, 2) = ( 4, 5). Luego Q = (2, 3). 6. b) u = (3, 4), v = (6, 4), w = (4, 1) 7. a) u = 5, v = 2, w = 2 2. b) t = 5 u 1 2 v 2 w. 8. a) b) c) v 1 = ( 1,046, 11,954) v 2 = (2,265, 1,056) v 3 = (0, 7) 9. La intensidad de la fuerza F 3 debería ser de 10 2 N. 11. La dirección que debe tomar la otra lancha para que el barco salga en la dirección de A hacia B es tal que forma un ángulo θ = arcsin ,024 con la recta AB. Instituto de Matemática y Física 230 Universidad de Talca