INDUCCION MATEMATICA RECURSION- DIVIDE Y VENCERAS

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1 GUIA II INDUCCION MATEMATICA RECURSION- DIVIDE Y VENCERAS Donald Ervin Knuth Nacido el 10 de enero de 1938, es uno de los más renombrados científicos de la computación, profesor emerito de la Universidad de Stanford. Es conocido como autor de múltiples volúmenes: El arte de la programación de computadoras, considerado como una referencia en el área de ciencias de la computación, prácticamente fue el creador del análisis de algoritmos y contribuyo significativamente a varias ramas de teoría de las ciencias de la computación Objetivos de aprendizaje 1. Conocer las técnicas de inducción matemática 2. Conocer La técnica de recursividad y recurrencias 3. Conocer La técnica divide y vencerás I INDUCCION MATEMATICA Consideremos que la proposición P(n) definida en un dominio. Se desea demostrar que P(n) es verdadera para todo n en el dominio. Si verificamos que: 1 P(k) es verdadera, para k un entero (positivo, negativo o cero) fijo. 2 Si P(h) es verdadera para todo h > k llamada (hipótesis inductiva) implica que P(h+1) es verdadera. 3 P(n) es verdadera para todo n en su dominio. Quiere decir que si se cumple los pasos 1 y 2 entonces por el principio de inducción afirmamos que se cumple el paso 3, es decir P(n) es verdadera para todo n. Augusto Cortez Vásquez Pag. 1/20

2 Ejemplo 1 i n = n. (n + 1) 2 sea el enunciado P(n) = n = n. (n + 1) 2 1 para n = 1 P(1) = 1 = 1. 2 = supongamos que para n=h > 1, P(h) es verdadera hipótesis inductiva es decir P(h) = h = h.(h + 1) 2 tenemos que 3 P(h + 1) = h + h+1 = ( h) + h+1 = h.(h + 1)+h+1 2 = (h+1). (h+2) 2 por el principio de inducción matemática se sigue que P(n) es verdadera para todo n 1. Ejemplo 2 i 3 i sea el enunciado P(n) = n 3 =( n) 2 1 para n = 1 P(1) = 1 3 = 1 2 = 1 2 Supongamos que para n=h>1, P(n) es verdadera hipótesis inductiva. es decir P(h)= h 3 =( h) 2 tenemos que : 3 P(h + 1) = h 3 = ( h 3 )+ (h+1) 3 = ( h) 2 +(h+1) 3 = ( h+ h+1) 2 por el principio de inducción matemática se sigue que P(n) es verdadera para todo n 1. Augusto Cortez Vásquez Pag. 2/20

3 Ejemplo 3 FUNCION CUADRADO(A) C 0 S 0 MIENTRAS (C < A) S S + A C C + 1 FIN MIENTRAS RETORNAR(S) A A 2 El algoritmo recibe como entrada A y devuelve S= A 2 Sea la proposición P(n) : S n = A * C n donde S n y C n son los valores de S e C después de haber pasado por el ciclo MIENTRAS i veces. para n = 0 P(0) : S 0 = 0 = A x C 0 = A * 0 porque S e B no han pasado aún por el ciclo MIENTRAS Para n = h 0 supongamos que P(h) : es verdadero para h 0 S h = A x C h hipotesis inductiva para n = h+1 se tiene: S h+1 = S h + A...(a) C h+1 = C h (b) De aquí se tiene que: Reemplazando h.i. en (a) S h+1 = A * C h + A = A * (C h +1 ) = A x C h+1 por (b) luego, se cumple S h+1 = A * C h+1 por lo cual P(n) es verdadero para todo n Augusto Cortez Vásquez Pag. 3/20

4 II Recursion La recursión es un método que, directa o indirectamente, se hace una llamada así mismo. Esto puede parecer un circulo vicioso: cómo un método F puede resolver un problema llamándose a si mismo? La clave esta en que el método F se llama así mismo pero en instancias diferentes, mas simples, en algún sentido adecuado Ejemplo Los ficheros en un computador se almacenan generalmente en directorios. Los usuarios pueden crear directorios, que a su vez almacenan mas ficheros y directorios. Suponga que deseamos examinar cada fichero de un directorio D, incluyendo todos los ficheros de sus subdirectorios ( y sus subdirect orios, y así sucesivamente). Esto se puede hacer examinando recursivamente los ficheros de cada subdirectorio junto con todos los ficheros en el directorio D. La recursión es una técnica que se utiliza en la vida cotidiana La recursión es un concepto fundamental en matemáticas e informática. La definición mas sencilla es que una función se llama recursiva si se llama a si mismo. Una función recursiva es aquella función que se define en términos de si mismo. Una programa o función recursiva requiere una condición de terminación que autorice al programa o función a dejar de llamarse a si mismo. Los lenguajes de programación mas conocidos permiten la implantación de algoritmos recursivos. Esta es una metodología que se emplea para la solución de problemas de computación y en muchos casos facilita resolverlos. Augusto Cortez Vásquez Pag. 4/20

5 Ejemplo 4 Definicion recursiva de tren TREN : Locomotora + Vagones Vagones : Vagon + Vagones / Vagon Ejemplo 5 Sea S(N) : suma de los N primeros números. S(N) puede definirse : Forma recursiva S(1) = 1 S(N) = S(N-1) +N Forma explicita S(N) = N*(N+1) /2 Entero Suma() Leer N Escribir S(N) Algoritmo iterativo Entero S(Entero N) S=0 Para i desde 1 hasta N S = S +i Para Retornar( S) Algoritmo recursivo Entero S(Entero N) Algoritmo recursivo Si N = 1 Retornar 1 Sino Retornar( S(N-1)+N) si La función Suma lee N y luego escribe S(N) que es la suma de los N primeros números Augusto Cortez Vásquez Pag. 5/20

6 Debemos tener en cuenta que la recursión no siempre es apropiada. En ocasiones las llamadas recursivas consumen tiempo y limitan el valor de N para el cual se puede ejecutar el programa. No es conveniente, por ejemplo usar la recursión para sustituir un simple bucle. Ejemplo 6 Definición: Una función f es recursiva si en su cuerpo contiene una aplicación de f, es decir, si se puede activarse a si misma. Si la llamada sucede dentro de la propia función se dice que es directamente recursiva. En cambio si la función llama a otra y esta a su vez llama a la primera se dice que es recursión indirecta. El objetivo del programa recursivo, es realizar una serie de llamadas hasta que la secuencia se define en un punto. Las directrices para una función recursiva son: Funcion Potencia(a:entero; n:natural) dev (p:entero) Caso n=0 retornar 1 Caso n >0 return a * Potencia(a,n-1) Accion Principal() Leer a,n Escribir Potencia(a,n) Cada vez que se hace una llamada recursiva en una función, el programa deberá comprobar que se satisface una condición básica con un determinado parámetro puesto al valor mínimo. Cada vez que se hace la llamada a la función, los parámetros enviados a la misma, deberán ser de algún modo más simple, es decir, su valor tender a la condición básica. Ejemplo 7 La función Factorial puede ser desarrollada iterativamente o recursivamente. Matemáticamente de define como: N! = N (N-1)! Para N>1 1!=1 Ejemplo 8: la secuencia de fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 8,... los cuales se determinan por la función: Augusto Cortez Vásquez Pag. 6/20

7 Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2) si n>1, Fib(n)=1 si n <= 1 fib(int n) { if(n==0 n==1) return 1; /* condición básica */ else return (fib(n-1)+fib(n-2)); /* doble llamada */ } Para fib(4) se tienen las siguientes entradas y salidas. En este caso se puede observar que la solución planteada de fibonacci es impracticable para valores de n grandes. Cada fib() realiza dos llamadas, por lo que el número de llamadas aumenta en proporción geométrica. Conviene usar recursión siempre? Que pasa con la memoria? Caso iterativo para fibonacci Fib(int i) { int i,j,k; if(n>0) { i=0; j=1; for(k=2; k<=n; k++) { j=j+i; i=j-i; } return(j); else return(0); } Ejemplo 9 Sumar los elementos de un vector (Desarrollar en clase) Forma iterativa a) Se recorre el vector de izquierda a derecha sumando uno a uno sus elementos b) También puede hacerse el recorrido de derecha a izquierda Forma recursiva c) Se recorre el vector de izquierda a derecha en forma recursiva sumando uno a uno sus elementos d) También puede hacerse el recorrido en forma recursiva de derecha a izquierda e) Puede hacerse también una suma dicotómica Augusto Cortez Vásquez Pag. 7/20

8 Ejemplo 10 Sumar los elementos de una lista enlazada (Desarrollar en clase) Relación de recurrencia La relación de recurrencia a n+1 = 3 a n para n 0 no define una única progresión geométrica, pues la secuencia: 7,21,63,189, también satisface la relación. Para distinguir una sucesión particular descrita necesitamos conocer uno del término de la sucesión. Por tanto a n+1 = 3 a n n 0 donde a 0 = 5 define 5, 15, 45, 135. Mientras que a n+1 = 3 a n n 0 donde a 0 = 3 define 3, 19, 27, 81. Recurrencia homogénea Una recurrencia es homogénea con coeficientes constantes, si tiene la forma a 0 t n + a 1 t n-1 + a 2 t n a k t n-k = 0 para todo a i constante en donde los t i son los valores que estamos buscando. La combinación lineal de los t n-i es igual a 0. Ejemplo 11 a n = a n 1 + a n 2 podemos reescribir a n - a - n 1 - a - n 2 = 0 Rec. homogenea la recurrencia corresponde a la serie de fibonacci. Donde K = 2, a 0 = 1 a 1 = a 2 = -1 Podemos remplazar t n por x n donde x es uma constante desconocida por el momento a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n a k x n = 0 La ecuación se satisface si x = 0 siendo la solución trivial en caso contrario la ecuación se satisface si existe k tal que a 0 x k + a 1 x k-1 + a 2 x k a k = 0 ecuacion característica P(x) : a 0 x k + a 1 x k-1 + a 2 x k a k polinômio característico Augusto Cortez Vásquez Pag. 8/20

9 Las raíces de esta ecuación están en alguno de los tres casos siguientes: r 1, r 2 son números reales distintos r 1, r 2 son números complejos conjugados r 1, r 2 son números reales iguales en todos los casos r 1, r 2 son las raíces características Ejemplo 12 a n +a n-1-6a n-2 = 0 donde n 2 a 0 =1 a 1 = 2 P(x) : x 2 + x 6 polinômio característico Cuya solución esta dada por (x+3)(x-2) Con raíces r 1 = 2 y r 2 = -3 La solución general es de la forma a n = c 1 r n n 1 + c 2 r 2 = c 1 2 n + c 2 (-3) n cuando n = 0 a 0 = 1= c c 2 (-3) 0 = c 1 + c 2 (a) cuando n = 1 a 1 = 2 = c c 2 (-3) 1 = 2c 1-3 c 2 (b) resolviendo (a) y (b) c 1 = 1 y c 2 = 0 por tanto a n = 2 n para n 0 Es la única solución de la recurrencia dada. Recurrencia no homogénea Una recurrencia es no homogénea cuando la combinación lineal no es igual a cero, es decir, no es cierto que toda la combinación lineal de las soluciones sea una solución a 0 t n + a 1 t n-1 + a 2 t n a k t n-k = b n P(n) P(n) es um polinomio en n para todo b, a i constante Ejemplo 13 a n 2 a n 1 = 3 n b=3 P(n) = 1 (a) Augusto Cortez Vásquez Pag. 9/20

10 multiplicando (a) por 3 3a n 6 a n 1 = 3 n+1 (b) Sustituyendo n por n-1 en (b) 3a n-1 6 a n 2 = 3 n (c) Restando (a) y (c) a n 5 a n a n-2 = 0 (d) (d) es uma ecuacion homogenea y se resuelve com la técnica antes expuesta. Solucion de una recurrencia mediante remplazos sucesivos Ejemplo 14 Consideremos la siguiente serie S : 2, 5, 8, 11, Se quiere hallar la suma de los N primeros numeros de la serie S puede definirse de la siguiente forma a n = a n para n > 1 a 1 = 2 Asi n a n Augusto Cortez Vásquez Pag. 10/20

11 olucion Accion Principal() iterativa Leer N Escribir SUMA(N) Solución recursiva Accion Principal() Leer N S=0 Para i desde 1 hasta N S = S + SUMA(i) Para Escribir S Accion SUMA(K) S=2 V=5 Para i desde 1 hasta K-1 S=S+V V=V +3 Para Retornar S Accion SUMA(K) Si k=1 Retornar 2 Sino Retornar SUMA(K-1) + 3 Si De que orden es el algoritmo? a n = a n 1 +3 a 1 = 2 (a) esta recurrencia puede resolverse mediante la característico o mediante reemplazos sucesivos técnica de polinomio si remplazamos n con n-1 en (a) tenemos a n-1 = a - n 2 +3 (b) substituímos (b) en (a) tenemos a n = a - n = a n 2 +3 * 2 (c) nuevamente si remplazamos n con n-1 en (a) tenemos a n-2 = a - n 3 +3 (d) sustituimos (d) en (c) a n = a - n *2 = a n 3 +3 * 3 em general a n = a n k +k * 3 si hacemos K = n-1 tenemos Augusto Cortez Vásquez Pag. 11/20

12 a n = a 1 +(n-1) * 3 y como a 1 = 2 tenemos finalmente a n = 2 +3 * (n-1) Así decimos que el algoritmo con ecuación de recurrencia es de orden O(3n) Divide y venceras La técnica divide y vencerás muestra que es posible dividir un problema en subproblemas, y que a su vez estos se subdividen en mas subproblemas y combinar entonces las soluciones de los subejemplares para resolver el caso original. Durante esta subdivisión pueden ocurrir que aparezcan ejemplares de problemas duplicados, si no prestamos atención a esta duplicación, podríamos obtener una solución no eficiente. La técnica de programación dinámica consiste en atender a cada subejemplar y guardar su solucion para su uso posterior, consiguiendo así un algoritmo eficiente. El objetivo de la programación dinámica es evitar que un cálculo se repita dos veces, y para ello se mantiene una tabla de resultados conocidos que se vaya llenando a medida que se resuelven los subcasos. Mientras que el método divide y vencerás es un método descendente de refinamientos progresivo. Se ataca de inmediato el caso completo, dividiéndolos en subcasos más pequeños, a medida que progresa el algoritmo. La programación dinámica es un método ascendente, se empieza con los subcasos más pequeños, y por tanto más sencillos, combinando sus soluciones, obteniendo así las soluciones para los subcasos de tamaño cada vez mayores, hasta que finalmente se llega a la solución del caso original. Para resolver cada subproblema se tienen dos alternativas: El subproblema es suficientemente pequeño para dar una solución o El subproblema todavía es de gran tamaño el cual se debe dividir aplicando recursivamente la técnica. Los algoritmos divide y vencerás son algoritmos recursivos que constan de dos partes: Dividir: se resuelve recursivamente problemas mas pequeños (excepto, por supuesto los casos bases) Vencer : La solución al problema original se consigue a partir de las soluciones a los subproblemas. Tradicionalmente las rutinas en las que el algoritmo contiene al menos dos llamadas recursivas se llaman divide y vencerás, al contrario que las rutinas cuyo texto contiene solamente una llamada recursiva. Además los subproblemas deben ser disjuntos (mas exactamente, esencialmente sin superposiciones) para evitar los costos excesivos que ya se vieron en el calculo recursivo de los números de fibonacci Algoritmo DivideyVencerás( limite del problema) Augusto Cortez Vásquez Pag. 12/20

13 Si la condición define un caso suficientemente simple entonces Dar la solución del caso simple Sino Dividir el problema en subproblemas DivideyVencerás( límite del subproblema 1) DivideyVencerás( límite del subproblema n) _si Ejemplo 15 Multiplicación de enteros grandes Sea X = Y = Podemos hacer X =X 1 X 2 Y=Y 1 Y 2 Entonces X * Y = X 1 *Y 1 * (X 1 *Y 2 + X 2 *Y 1 ) * Y 1 *Y 2 Ejemplo 16 Multiplicación de matrices Ejemplo 17 Torres de Hanoi // Traslada m anillos mas pequeños desde la barra i hasta la barra j Funcion Hanoi(m,i,j,) Si m>0 Hannoi(m-1, i, 6 - i - j) Escribir i, j Hannoi(m-1, 6-i-j, j) Si Accion Principal() Leer m Escribir Hanoi(m,1,3) a n = numero de veces que se utiliza (o ejecuta) la instrucción escribir en una llamada a Hanoi() Augusto Cortez Vásquez Pag. 13/20

14 a n = 1 n = 0 2a n otro caso a n - 2a n 1-1 = 0 Resolver Ejemplo 18 MERGESORT La recursión puede utilizarse para desarrollar algoritmos subcuadraticos [WEISS, 2000]. Un algoritmo divide y vencerás en el cual se resuelven recursivamente dos problemas con la mitad del tamaño, con una sobrecarga de O(N), es un algoritmo O(NLOg N). Mergesort es uno de estos algoritmos, ofreciendo una mejor cota, al menos a nivel teórico, que las afirmadas para Shellsort. [CORTEZ 1999] EL algoritmo Mergesort consta de tres pasos: 1 Si el numero de elementos a ordenar es 0 o 1, finalizar 2 Ordenar recursivamente las dos mitades del vector 3 Mezclar las dos mitades ordenadas en un vector ordenado. El algoritmo realiza lo siguiente Accion Merge_Sort(S,i,j) Si i = j retornar M=(i+j)/2 Merge_Sort(S, i, m) Merge_Sort(S, m+1, j) Merge(S, i, m, j, C) Para k dese i hasta j S k = C k Para Para afirmar que el algoritmo es O(N Log N), es suficiente demostrar que la mezcla ordenada de dos vectores ordenados puede realizarse en tiempo lineal. En la siguiente subsección veremos como mezclar dos vectores A y B, colocando el resultado en un tercer vector. Después mostraremos una implementación sencilla de mergesort. La rutina de mezcla es la piedra angular de muchos algoritmos de ordenación externa. Augusto Cortez Vásquez Pag. 14/20

15 private static void mergesort (int [] a, int [] Temp, int izq, int der) { if(izq < der ) int centro (izq + der ) / 2; mergesort (a, temp, izq, centro) mergesort (a, temp, centro +1, der) mezclar (a, temp, izq, centro+1, der) } private static void clasificar (int [] a) { int [] temp = new int [a.length]; mergesort (a,temp,0,a.length-1); } private static void mezclar (int [] a, int [] temp, int posizq, int posder, int posfin ) { int finizq = posder -1 int posaux = posizq int numelem = posfin posder +1 // ciclo principal While( posizq <=finizq && posder <= posfin) if(a[posizq].menorque(a[posder])) temp[posaux++] = a[posizq++]; else temp[posaux++] = a[posder++]; // copia el resto de la primera mitad While( posizq <=finizq ) temp[posaux++] = a[posizq++]; // copia el resto de la segunda mitad While( posder <=posfin ) temp[posaux++] = a[posder++]; // copia el vector temporal en el original for(int i = 0; i < numelem ; i++, posfin--) a[i] = temp[i] } Augusto Cortez Vásquez Pag. 15/20

16 Análisis del método de intercalación es un ejemplo clásico de las técnicas con que se analizan las rutinas recursivas De que orden asintótico es el Merge_Sort? El algoritmo realiza dos llamadas recursivas de orden T(n/2), y una llamada a intercala de orden O(n), por tanto Tenemos que T(n) = 2T(n/2) +n Sustituimos n por n/2 2T(n/2) = 2 (2T(n/4) +n) = 4 T(n/4) + n Remplazamos en (a) T(n) = 4T(n/4) +2n (a) (b) Sustituimos n por n/4 4T(n/4) = 4 (2T(n/8) +n) = 8 T(n/8) + n Remplazamos en (b) T(n) = 8T(n/8) +3n Sucesivamente, tenemos que T(n) = 2 k T(n/2 k ) +kn (c) Hacemos k = log n En (c) luego n = 2 k T(n) = nt(1) +n log n = n + nlog n Por tanto el algoritmo es de orden O(nlog n) TEOREMA El ordenamiento por fusion es O(n log n) en el peor de los casos Otro metodo de demostrar que Merge_Sort es de orden O(nlogn) Tenemos que T(n) = 2T(n/2) +n (a) Dividiendo (a) entre n obtenemos T(n) / n = T(n/2) / (n/2) +1 (b) Haciendo n = n/2 en (b) obtenemos T(n/2) / (n/2) = T(n/4) / (n/4) +1 (c) Haciendo n = n/4 en (b) obtenemos T(n/4) / (n/4) = T(n/8) / (n/8) +1 (c) Augusto Cortez Vásquez Pag. 16/20

17 Si seguimos tenemos finalmente T(2) / 2 = T(1) / 1 +1 (d) Si sumamos ambos lados de todas las ecuaciones, tenemos T(n)/n = T(1)/ Como T(1) = 1, y hay log n unos en el lado derecho, tenemos T(n)/n = 1 + log n Multiplicamos por n y tenemos T(n) = n + n log n Por tanto Merge_Sort es de orden O(nlogn) Ejercicios Propuestos 1 Proporcione 3 ejemplos de proposiciones matemáticas. Demuéstrelas por el método de inducción matemática 2 Probar por el método de inducción que: a) FUNCION ABC(Q, Y) INICIO A 1 Mientras ( Y > 0 ) A A *Q Y Y - 1 FIN MIENTRAS Retornar A RETORNAR El algoritmo recibe como entrada Q y Y, y devuelve A = Q Y Sea la proposición P(n) : A n * Q Y n = Q Y donde A n y Y n son los valores de A y Y después de haber pasado por el ciclo MIENTRAS n >=0 veces. b) FUNCION COMPARA(N, B) INICIO A N D B MIENTRAS D > 0 A A + B Augusto Cortez Vásquez Pag. 17/20

18 D D - 1 FIN MIENTRAS Retornar A El algoritmo recibe como entrada N y B, y devuelve: A = N+ B 2 3 Construya un algoritmo para hallar el cociente de dos enteros sin realizar divisiones. Demuestre por inducción que el algoritmo funciona 4 Construya un algoritmo para hallar el producto de dos enteros sin realizar multiplicaciones. Demuestre por inducción que el algoritmo funciona RECURSION 5 Defina los siguientes conjuntos en forma recursiva a) El conjunto de todas las expresiones aritméticas b) El conjunto de los números enteros positivos múltiplos de K c) El conjunto de todas las proposiciones del calculo proposicional. 6 Construya un algoritmo recursivo para a) Sumar los elementos de un vector b) Invertir el orden de un vector c) Comparar si dos listas son iguales o no d) Hallar la suma de los elementos de un vector en forma recursiva dicotómica 7 Resuelva las siguientes recurrencias por el método de polinomio característico y por el método de reemplazos sucesivos a) a n = 2a n 1 a 0 = 1 b) a n = 2a n 1 +5 a 0 = 2 8 Dada la secuencia 4, 6, 14, 26, construya un algoritmo recursivo y otro no recursivo para hallar la suma de los n primeros terminos de la secuencia. Compare los algoritmos y comente. 9 Especifique la solución. De que orden es el algoritmo? Construya el algoritmo. Determine el orden y compare el orden obtenido con lo que supuso. a. Intercalar dos vectores ordenados en uno igualmente ordenado b. Multiplicar dos matrices c. Hallar el producto de los elementos de la matriz diagonal 10 Especifique, implemente y evalúe a. Algoritmo de Hanoi Augusto Cortez Vásquez Pag. 18/20

19 b. Suma dicotómica de un vector 11 Especifique, implemente y evalúe a. Ordenamiento MergeSort (clasificación divide y vencerás) b. Hallar la subsecuencia de suma máxima (divide y vencerás) c. Búsqueda dicotómica en un vector d. Comparar si dos vectores son iguales e. Verificar si dos matrices tienen por lo menos una fila con los mismos elementos REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 1. [HERNANDEZ 2001] Hernández, R.; Lázaro, J.C.; Dormido, R.; Ros, S. Estructura de Datos y Algoritmos ; Prentice Hall 2001, Madrid España. 2. [BRASSARD 1998] Brassard,G. Bratley,P. Fundamentos de Algoritmia, Prentice Hall 1998 Madrid 3. [CORTEZ 1999] Cortez Vásquez, augusto. Matemática Discreta, UNMSM FISI Lima [CORTEZ 2002] Cortez Vásquez, augusto. Algorítmica y Programación, UCSS Lima [CORTEZ 2002] Cortez Vásquez, augusto. Estructura de datos y algoritmos, estructuras no lineales, URP Lima [GRASSMANN 1996] Grassmann W., Tremblay J. Matemática Discreta y Lógica ; Prentice Hall [GRIMALDI 1994] Grimaldi Ralph Matemáticas Discreta y Combinatoria ; Addison-Wesley [GUTIERREZ 1993] Gutiérrez Xavier Franch Estructuras de datos, Especificación, diseño e implementación ; Edición UPC Barcelona España [JAIME 2002] Jaime, Alberto. Estructuras de datos y Algoritmos ; Prentice Hall 2002 Bogota D.C. 10 [JOHNSONBAUGH 1999] Johnsonbaugh Richard Mateamticas Discretas ; Prentice Hall 1999, Pags. 11 [LIPSCHUTZ 1987] Lipschutz Seymour Estructura de datos, Mc Graw- Hill, [CARMONA 1999] Carmona, Poyato Angel y Otros Estructuta de Datos, Caja Sur Universidad de Cordova España 1999 Augusto Cortez Vásquez Pag. 19/20

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