Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 1 Resumen El objetivo principal de este proyecto es la realización de una aplicación informática que resuelva una red radial trifásica de cuatro nudos propuesta por el IEEE (The Institute of Electrical and Electronics Engineers), donde el elemento central de la red es el transformador. El uso de la aplicación es sencillo e intuitivo, aunque se requieren ciertos conocimientos de los sistemas eléctricos de potencia. El programa incluye la posibilidad de sugerir los parámetros a introducir y de seleccionar el transformador y el motor de inducción de una base de datos. Por otro lado, en los anexos se incluye un manual de la aplicación desarrollada. Para poder implementar dicha aplicación se han elaborado tres modelos matemáticos del transformador trifásico en condiciones de régimen permanente para las tres topologías más habituales del circuito magnético (transformador de tres columnas, banco de transformadores y transformador de cinco columnas) y para las diferentes conexiones de los devanados del primario y del secundario (estrella aislada, estrella conectada rígidamente a tierra, estrella conectada a tierra a través de impedancia y triángulo). Dichos modelos se diferencian en el grado de detalle con que se modeliza el núcleo del transformador que, con creciente grado de complejidad, son: núcleo ideal, núcleo lineal y núcleo no lineal. Estos modelos del transformador se han validado con la red comentada anteriormente, resolviendo un flujo de cargas armónico y comparándose los resultados obtenidos con los de la misma red implementada en PSPICE, donde en esta última la modelización del transformador se realiza en base a la referencia [1] de la bibliografía.
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Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 3 Índice Resumen 1 Índice 3 1 Introducción 7 1.1 Motivación del proyecto... 7 1.2 Objetivos... 7 2 Generalidades del transformador trifásico 9 2.1 Introducción... 9 2.2 Tipo de conexiones. Propiedades... 11 2.3 Índice horario. Grupo de conexión... 12 2.4 Valores nominales. Placa de características... 14 3 El transformador trifásico en régimen permanente desequilibrado 17 3.1 Centro de gravedad del sistema de tensiones trifásico... 17 3.2 Componentes simétricas... 18 3.3 Topología del circuito magnético... 2 3.4 La corriente magnetizante y su contenido armónico... 2 3.5 Funcionamiento en régimen desequilibrado... 22 3.5.1 Ecuaciones a resolver y modelo del transformador...22 3.5.2 Banco de transformadores en régimen desequilibrado...23 3.5.3 Transformador de tres columnas en régimen desequilibrado...23 3.5.4 Transformador de cinco columnas en régimen desequilibrado...24 3.5.5 Características y campo de aplicación de los grupos de conexión...24 4 Modelos del transformador trifásico 27 4.1 Circuito eléctrico y circuito magnético en el dominio del tiempo... 27 4.1.1 Transformador de tres columnas...28 4.1.1.1 Ecuaciones en valores reales...28 4.1.1.2 Ecuaciones en valores reducidos a pu...3 4.1.2 Banco de transformadores...33 4.1.2.1 Ecuaciones en valores reales...33 4.1.2.2 Ecuaciones en valores reducidos a pu...34 4.1.3 Transformador de cinco columnas...34 4.1.3.1 Ecuaciones en valores reales...34 4.1.3.2 Ecuaciones en valores reducidos a pu...35 4.2 Reluctancia no lineal del hierro y curva de saturación (relación φ - f)... 36
4 Memoria 4.2.1 Reluctancia no lineal del hierro en valores reales: R q (f q )... 36 4.2.2 Reluctancia no lineal del hierro en valores reducidos a pu: τ q (f q )... 37 4.3 Modelos del transformador trifásico desconectado en régimen permanente38 4.3.1 Transformador con núcleo ideal (despreciando el hierro)... 39 4.3.2 Transformador con núcleo lineal... 44 4.3.3 Transformador con núcleo no lineal... 47 4.3.4 Formulación general para los tres modelos... 5 4.4 El transformador trifásico conectado en régimen permanente... 5 4.4.1 Matriz de conexión... 51 4.4.2 Tensión del neutro de la conexión en estrella... 55 5 Cálculo de la corriente magnetizante del transformador trifásico con núcleo no lineal 59 5.1 Transformador con núcleo no lineal desconectado... 59 5.1.1 Transformador de tres columnas... 6 5.1.2 Banco de transformadores... 63 5.1.3 Transformador de cinco columnas... 65 5.2 Transformador con núcleo no lineal conectado... 67 5.3 Expresión del Jacobiano... 69 5.3.1 Jacobiano del transformador de tres columnas... 69 5.3.2 Jacobiano del banco de transformadores... 7 5.3.3 Jacobiano del transformador de cinco columnas... 71 5.4 Obtención fasorial de la corriente magnetizante... 72 6 Mejora en el cálculo de la corriente magnetizante 75 7 Método de h-newton 79 7.1 Formulación del método de h-newton... 79 7.2 Algoritmo del método de h-newton... 81 8 Validación de los modelos y ejemplos 85 8.1 Red IEEE 4... 86 8.2 Modificación en la Red IEEE 4: mejora del modelo del transformador... 89 8.3 Modificación en la Red IEEE 4: motor de inducción como carga... 89 8.3.1 Modelos del motor de inducción en régimen permanente... 9 8.3.1.1 Modelo de jaula sencilla... 9 8.3.1.2 Modelo de doble jaula... 95 8.3.2 Determinación del punto de funcionamiento... 97 8.4 Validación de los modelos mediante la Red IEEE 4... 98 8.4.1 Transformador con núcleo lineal... 99
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 5 8.4.1.1 Carga PQ...1 8.4.1.2 Motor de inducción como carga...13 8.4.2 Transformador con núcleo no lineal...17 8.4.2.1 Carga PQ...19 8.4.2.2 Motor de inducción como carga...112 8.5 Otros ejemplos: influencia de las conexiones... 118 8.5.1 Grupo de conexión Yy1...119 8.5.2 Grupo de conexión Yd3...123 8.5.3 Grupo de conexión YNd3...126 8.5.4 Grupo de conexión Dy9...131 8.5.5 Conclusiones...135 Conclusiones 137 Bibliografía 139
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Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 7 1 Introducción 1.1 Motivación del proyecto El transformador es un elemento clave en los sistemas eléctricos de potencia porque permite trabajar con las tensiones y corrientes adecuadas en cada situación. Éste, forma parte tanto del subsistema de generación como del de transporte y del de distribución. Teniendo en cuenta que las redes reales no son perfectamente simétricas, y dado que cada vez existe una mayor contaminación armónica debido a la creciente presencia de cargas no lineales, resulta de gran interés para las compañías eléctricas modelizar la red en estas condiciones. Uno de los elementos de la red que se debe modelizar en detalle es el transformador trifásico. Su modelización debe tener en cuenta tanto las conexiones de los devanados como el hecho de que dicho transformador también se trate de un elemento no lineal debido a la saturación de su núcleo magnético que, si bien esta no linealidad produce efectos despreciables en la mayoría de situaciones (y, por lo tanto, se puede despreciar), se pueden dar otras situaciones en las que su comportamiento no lineal influencie en gran medida el del resto de la red. Es por esto que un modelo matemático detallado del transformador trifásico puede ser de gran utilidad en el sector eléctrico, por lo que se ha implementado una aplicación informática que resuelva un caso particular de este tipo de redes, siendo el transformador el elemento principal y el objetivo de estudio. Por otro lado, no se tiene conocimiento de que existan en la actualidad programas informáticos que tengan en cuenta el comportamiento no lineal del transformador en régimen permanente y que también consideren todas las conexiones de forma exhaustiva, ya que normalmente se suele considerar únicamente la conexión YNyn para el banco de transformadores. Tampoco se tiene conocimiento de artículos en la literatura científica que desarrollen los modelos comentados. 1.2 Objetivos Teniendo clara cual es la motivación del proyecto, los objetivos de éste se centran en la realización de un programa informático que resuelva una red radial de cuatro nudos y en la modelización matemática del transformador en régimen permanente para diferentes grados de detalle del núcleo del mismo, así como las diferentes conexiones de los devanados.
8 Memoria El programa utilizado para implementar la aplicación informática debe tener herramientas de cálculo potentes y permitir la realización de una interfaz gráfica. Estos requisitos los cumple MATLAB, por lo que se decide utilizar este paquete informático para realizar dicha aplicación. Una parte importante del proyecto se dedica a la validación de los modelos de transformador descritos en la memoria. Para validarlos se utiliza PSPICE debido a que se tiene como referencia un modelo no lineal del transformador de tres columnas, al cual, realizándole algunas modificaciones se puede obtener el de cinco columnas y el del banco de transformadores.
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 9 2 Generalidades del transformador trifásico En este capítulo se pretende dar una visión global del transformador trifásico como máquina eléctrica, es decir, se va a explicar a nivel constructivo como se forma y a dar definiciones básicas que permitan entender el resto de la memoria del proyecto, [2]; en cambio, no se van a exponer las ecuaciones matemáticas que rigen su comportamiento porque se explicarán en apartados posteriores. 2.1 Introducción Un transformador es una máquina eléctrica estática que transfiere energía eléctrica de un circuito eléctrico llamado primario a otro llamado secundario. Mediante esta transferencia eléctrica, se transforma la tensión y corriente del circuito primario (u p y i p ) en otra tensión y corriente del circuito secundario (u s y i s ). Una de las características de los transformadores es su reversibilidad, es decir, que también se puede alimentar por el secundario y ceder energía al lado del primario. Para realizar dicha transferencia de energía eléctrica, un transformador trifásico está formado por tres pares de circuitos eléctricos acoplados magnéticamente mediante un flujo común, es decir, por tres pares de bobinas acopladas. Para crear un flujo común entre dos pares de bobinas acopladas se utiliza un núcleo de hierro u otro material ferromagnético, ya que este tipo de material posee una permeabilidad magnética elevada que facilita la conducción del flujo a través de él. Dicho flujo debe ser variable en el tiempo para que un devanado induzca tensión en el otro y, por lo tanto, también debe ser variable en el tiempo la corriente que lo cree. Los tipos de transformadores trifásicos que se estudiarán son los de columnas, es decir, aquellos cuyos núcleos están formados por varias columnas de un material ferromagnético. Los tipos de transformadores de columnas son tres: banco de transformadores, Figura 2.1, transformador de tres columnas, Figura 2.2, y transformador de cinco columnas, Figura 2.3. En dichas figuras se puede observar a los tres tipos de transformadores desconectados, donde en cada columna se sitúan los pares de bobinas acopladas del primario (nombre de las fases en mayúsculas) y del secundario (nombre de las fases en minúsculas).
1 Memoria A B C A a B b C c a b c Figura 2.1. Banco de transformadores (tres transformadores monofásicos) desconectado A B C A a B b C c a b c Figura 2.2. Transformador de tres columnas desconectado A B C A a B b C c a b c Figura 2.3. Transformador de cinco columnas o acorazado desconectado Los transformadores de tres y de cinco columnas derivan del banco de transformadores y representan un ahorro económico, de peso y de pérdidas; sobre todo el transformador de tres columnas, que es el más utilizado. Pero éste presenta un inconveniente, ya que crea una asimetría en los circuitos magnéticos de tres columnas debido a que la columna central
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 11 es más corta que las otras dos, aunque su efecto es poco perceptible en carga, sobre todo con materiales de elevada permeabilidad. Esta asimetría magnética se evita con la estructura de cinco columnas, que tiene los circuitos magnéticos de las tres fases más parecidos. 2.2 Tipo de conexiones. Propiedades Los devanados del primario y del secundario de un transformador trifásico se pueden conectar de tres maneras diferentes: estrella (Y), triángulo (D) y zig-zag (Z). Las dos primeras conexiones son las que se pueden utilizar en la aplicación informática desarrollada, es por ello que únicamente se explicarán sus propiedades y no las de la conexión zig-zag. En la Figura 2.4 se puede observar un ejemplo de conexión de los devanados en un transformador de tres columnas, donde el primario se ha conectado en estrella (Y) y el secundario en triángulo (d). A B C a b c Figura 2.4. Transformador de tres columnas en conexión estrella-triángulo (grupo de conexiónyd5) De forma general, la conexión en estrella (Y) presenta las siguientes propiedades: - Permite tener el neutro accesible. - La corriente de línea coincide con la corriente de cada devanado. - Cada devanado soporta la tensión sencilla o de fase (tensión fase-neutro). - No soporta los desequilibrios que provoca la alimentación de cargas no simétricas, puesto que deforma la onda de tensión.
12 Memoria De igual manera, la conexión en triángulo (D) se caracteriza por lo siguiente: - No puede tener neutro. - La corriente de cada devanado es la de línea dividida por 3. - Cada devanado soporta la tensión compuesta o de línea (tensión fase-fase). - Soporta bien los desequilibrios que provoca la alimentación de cargas no simétricas. Además, para igual tensión de línea e igual potencia, cada devanado de la conexión en triángulo debe tener 3 veces más espiras que en estrella, debido a que la tensión de cada devanado es superior. En cambio, la sección de los devanados de la conexión en triángulo debe ser 3 inferior que en estrella, ya que la intensidad que circula por cada devanado es inferior. Por lo tanto, la cantidad de cobre necesaria al dimensionar los devanados cuando se conectan en estrella o en triángulo es la misma. De forma general, las características que se atribuyen a las diferentes maneras de conectar los devanados del primario y del secundario son: - La conexión Y-Y se utiliza poco debido a los problemas de desequilibrios comentados anteriormente. - Las conexiones Y-D y D-Y funcionan razonablemente bien frente a cargas desequilibradas, ya que el triángulo redistribuye parcialmente el desequilibrio entre las fases. Se escoge una conexión u otra en función de si se desea tener el neutro accesible en el primario o en el secundario. - La conexión D-D se comportan bien con cargas desequilibradas, aunque la ausencia de neutro resulta a veces un inconveniente si se utiliza para distribución. Si se trata de un banco trifásico, tiene la ventaja de que se puede quitar un transformador para realizar operaciones de mantenimiento o reparación, mientras que los restantes pueden seguir trabajando (aunque dando menor potencia). 2.3 Índice horario. Grupo de conexión En un transformador trifásico, las tensiones de las bobinas de cada columna pueden estar en fase (desfase º) o en contrafase (desfase 18º). Al conectar los devanados del primario y del secundario en estrella, triángulo o zig-zag aparecen desfases diferentes según la conexión.
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 13 El índice horario es el ángulo de la tensión entre dos fases del primario con la tensión entre las fases de igual nombre del secundario, por ejemplo, entre U AB y U ab. Dicho índice horario se refiere a un transformador alimentado por el lado de tensión más elevada con un sistema trifásico simétrico de secuencia directa. Nótese que el índice horario representa el desfase entre tensiones del primario y del secundario cuando el transformador está en vacío. Debido a las simetrías de los sistemas trifásicos, se puede deducir que cualquier desfase será múltiplo de π/6 sea cual sea la conexión. Como hay entonces 12 desfases posibles, se han asimilado a un reloj que con la manecilla larga en las 12, dirección del fasor de la tensión entre dos fases del lado de más alta tensión, y la manecilla corta en la dirección del fasor de la tensión entre las mismas fases del lado de más baja tensión. Por ejemplo, un desfase entre las fases de las tensiones de 11π/6 rad corresponde a un índice horario 11. Para obtener, por ejemplo, el índice horario del transformador de la Figura 2.4 se debe proceder de la siguiente manera: cada una de las tres columnas tiene un flujo común para los devanados del primario y del secundario, por lo que, por ejemplo, fijándose en la columna dφa A y en la posición de los terminales correspondientes se tiene que: uan () t = Np y dt a () = uca t Ns dt dφ, por lo que UAN y U ca tienen la misma fase, es decir, fase(u AN ) = fase(u ca ). Ahora se debe dibujar un diagrama fasorial que cumpla la relación de igualdad de fases como el de la Figura 2.5a y fijarse en dos tensiones análogas del primario y del secundario, por ejemplo, U AN y U an, obteniendo el diagrama fasorial de la Figura 2.5b, que indica que el desfase entre dichas tensiones es de 15º (5π/6 rad), es decir, índice horario 5. A U AN IH 5 c U AN U ca U bc b n N ωt U CN U BN U an C U ab a B (a) (b) Figura 2.5. Diagrama fasorial de la conexión de la Figura 2.4
14 Memoria Una vez visto como se calcula en índice horario de una conexión, se debe definir el concepto de grupo de conexión de un transformador, que indica el tipo de devanados y el índice horario del mismo. Suele constar de dos letras y un número: - La primera letra indica la conexión del devanado de más alta tensión (independientemente de si trabaja como primario o como secundario) y se escribe en mayúsculas. - La segunda letra indica la conexión del devanado de menor tensión y se escribe en minúsculas. - El número es el índice horario (entre y 11). Por lo tanto, el grupo de conexión del transformador de la Figura 2.4 es Yd5, puesto que tiene el devanado de más alta tensión conectado en estrella, el de menor tensión conectado en triángulo y el desfase existente entre tensiones análogas del primario y del secundario es de 5π/6 rad (índice horario 5). Otra nomenclatura más completa del grupo de conexión consiste en añadir una N (o una n) después de la letra del devanado correspondiente si el neutro está accesible en la placa de conexiones. Por ejemplo, Dyn5, YNd11, etc. Los grupos de conexión utilizados normalmente son: Dd, Yy, Dz, Dy5, Yd5, Dd6, Yy6, Dz6, Dy11, Yd11 e Yz11. 2.4 Valores nominales. Placa de características Los valores nominales de una máquina eléctrica son aquellos para los cuales ha sido diseñada, es decir, aquellos con los cuales se obtiene el mayor rendimiento posible de ella. Los más importantes de un transformador diseñado para trabajar en régimen senoidal son: - Potencia nominal. - Tensión nominal del primario y del secundario. - Intensidad nominal del primario y del secundario. - Relación de transformación. - Frecuencia nominal.
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 15 La potencia nominal, S N, es la potencia aparente trifásica (VA, kva o MVA) que se obtiene a partir de la tensión nominal y la corriente nominal de ambos devanados del transformador. Se calcula como SN = 3UNpINp = 3UNsI Ns (2.1) Indica la potencia activa máxima que puede suministrar el secundario del transformador con carga resistiva y régimen permanente sin que el calentamiento sea perjudicial para el transformador. En condiciones intermitentes de funcionamiento (conexiones y desconexiones periódicas), el transformador puede suministrar hasta 1,5 veces la potencia nominal. El motivo es que durante el tiempo de desconexión el transformador se enfría hasta la temperatura ambiente (u otra intermedia entre la de funcionamiento y la ambiente), y un transformador frío puede suministrar una potencia superior a la nominal mientras se calienta hasta alcanzar su temperatura máxima. Las tensiones nominales del primario y del secundario, U Np y U Ns, son las tensiones de línea que se deben aplicar al transformador para que funcione correctamente en régimen permanente sin deterioro de sus devanados. En condiciones intermitentes de funcionamiento, se pueden admitir sobretensiones de 1,5 veces la tensión nominal. Las intensidades nominales del primario y del secundario, I Np y I Ns, son las intensidades máximas de línea que puede consumir y suministrar el transformador sin deterioro de sus devanados. En condiciones intermitentes se pueden admitir sobrecargas. La relación de transformación, r t, es la relación entre las tensiones de línea del primario y del secundario cuando el transformador trabaja en vacío. Se suele calcular como la relación entre el número de espiras del primario y del secundario incluyendo en conexiones Y el factor 3, o lo que es lo mismo, la relación entre U Np y U Ns : Dd: Dy: UNp Np UNp 3 Np Np rt = = Yy: rt = = = UNs Ns UNs 3 N N s s (2.2) U N U 3 N rt = = = = U N Np p Np p Yd: rt Ns 3 N U s Ns s La frecuencia nominal, f N, es la frecuencia a la que corresponden el resto de valores nominales. Los valores nominales de un transformador son unos valores de funcionamiento, pero también puede funcionar correctamente con otros valores diferentes, por ejemplo:
16 Memoria - puede suministrar potencias inferiores a la nominal (las potencias están fijadas por la carga) o, lo que es lo mismo, puede suministrar intensidades inferiores a la nominal, que es lo que normalmente sucede; - puede trabajar a tensiones inferiores a la nominal, aunque no podrá suministrar entonces la potencia máxima (sí podrá suministrar la intensidad máxima); - puede trabajar a otra frecuencia, aunque si es superior se producirán mayores pérdidas en el hierro, con lo que la potencia máxima será inferior a la nominal. La placa de características de un transformador trifásico contiene, entre otros, los valores nominales expuestos anteriormente y datos sobre los ensayos de vacío y de cortocircuito, es decir: - Potencia nominal: S N. - Tensiones nominales del primario y del secundario: U Np y U Ns. - Intensidades nominales del primario y del secundario: I Np y I Ns. - Relación de transformación: r t. - Frecuencia nominal: f N. - Datos del ensayo en vacío, es decir, la potencia y la corriente en valores reales y en pu: W o e i o. - Datos del ensayo en cortocircuito, es decir, la potencia y la tensión en valores reales y en pu: W cc y ε cc. - Tipo de conexión y existencia del neutro, por ejemplo, Dyn.
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 17 3 El transformador trifásico en régimen permanente desequilibrado Tal como se explica en [3], el transformador trifásico se diseña para trabajar en régimen senoidal y en condiciones equilibradas (sistema simétrico de tensiones en el primario y carga equilibrada en el secundario). En este caso, los flujos de las tres fases son senoidales y la suma de ellos es nula. Sin embargo, los armónicos de la corriente magnetizante pueden provocar que los flujos y las tensiones no sean senoidales. Esta situación depende de la conexión de los devanados y de la topología del circuito magnético. Por otro lado, muchos transformadores trifásicos trabajan en régimen desequilibrado, generalmente porque las cargas que alimentan no son equilibradas y, con menor frecuencia, porque las tensiones de alimentación no son simétricas y/o equilibradas. El comportamiento del transformador en estas condiciones también depende de la conexión de los devanados y de la topología del circuito magnético. 3.1 Centro de gravedad del sistema de tensiones trifásico En un sistema trifásico de tensiones se pueden definir dos propiedades geométricas que lo caracterizan: la simetría y el equilibrio de dicho sistema. Para comprobar estas propiedades se debe dibujar un diagrama fasorial de la tensiones, es decir, un diagrama que contenga tanto las tensiones sencillas (U AN, U BN y U CN ) como las tensiones compuestas (U AB, U BC y U CA ). Si las tensiones compuestas forman un triángulo equilátero, (es decir, si los módulos de las tensiones compuestas son iguales), se dice que el sistema de tensiones es simétrico y, en caso contrario, asimétrico. En el centro de gravedad (cdg) del triángulo ABC que forman las tensiones compuestas (punto G, intersección de las medianas) la suma de las tensiones sencillas es nula, entonces, si el neutro del sistema coincide con el cdg de dicho triángulo, se dice que el sistema de tensiones es equilibrado, y en caso contrario, desequilibrado: N G U U U = (Sistema de tensiones equilibrado) AN BN CN N / G U U U (Sistema de tensiones desequilibrado) AN BN CN (3.1) En la Figura 3.1 se pueden observar diferentes sistemas trifásicos de tensión que combinan las propiedades de simetría y equilibrio expuestas anteriormente.
18 Memoria C N G A B Simétrico y equilibrado C N G A B Simétrico y desequilibrado C B N G Asimétrico y equilibrado A C B N G A Asimétrico y desequilibrado Figura 3.1. Sistemas de tensión trifásicos 3.2 Componentes simétricas Tal como se describe en [4], Fortescue desarrolló el método de las componentes simétricas con el objetivo de facilitar el estudio de sistemas polifásicos desequilibrados mediante la transformación de éstos en el sumatorio de sistemas polifásicos equilibrados. La matriz de transformación de Fortescue y su inversa se definen como: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 a a, 2 F= F = F = 1 a a 2 3 3 2 1 a a 1 a a (3.2) donde 2 3 e j π a =. Al aplicar la inversa de dicha transformación sobre cualquier magnitud de un sistema trifásico (tensiones, corrientes, flujos, etc.) en variables de fase (A, B, C), ésta la convierte en variables de secuencia (, 1, 2), es decir, variables de secuencia homopolar (), directa (1) e inversa (2). Entonces, si en régimen permanente se cuenta con una magnitud trifásica x en variables de fase que representa alguna de las magnitudes explicadas, se puede convertir en variables de secuencia, x F, como x 1 1 1 xa xa x B x C 1 1 2 1 2 xf = F x x 1 1 a a x B xa axb a x = C 3 = 2 3 (3.3) 2 x 2 1 a a x C xa a xb ax C Obsérvese que en el caso particular de que x A = x B = x C únicamente existiría la componente homopolar x, ya que el término 1 a a 2 que aparecería en la componente directa x 1 e inversa x 2 es nulo. Obsérvese también, que en el caso de tener unas magnitudes fasoriales simétricas y equilibradas (x A, x B = a 2 x A, x C = a x A ), únicamente existiría la componente directa x 1, en este caso de valor x 1 = x A.
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 19 Se puede saber si un sistema de tensiones trifásico U AN, U BN y U CN es equilibrado calculando la tensión homopolar U : 1 U = ( UAN UBN UC N ) 3 (3.4) Si no existe dicha tensión, el sistema es equilibrado; en caso contrario, es desequilibrado. El cálculo de la tensión homopolar U equivale a comprobar (3.1). También se puede comprobar fácilmente que la tensión homopolar es la tensión entre el cdg (G) y el neutro (N): U = U. GN Una magnitud a tener en cuenta en un transformador trifásico es el flujo homopolar. En este caso, al no ser siempre senoidal, se generaliza su calculo como 1 3 φ () t = ( φ A () t φ B() t φ C() ) t (3.5) Este flujo puede aparecer en condiciones desequilibradas, desplazando el neutro de las conexiones en estrella (Y) y dando lugar a sistemas desequilibrados. El uso de la transformación de Fortescue se fundamenta en el hecho de que dicha transformación diagonaliza matrices circulantes. Una matriz Z es circulante si se cumple: ZA ZB ZC Z circulante Z = ZC ZA Z B (3.6) ZB ZC Z A Por lo tanto, si en régimen permanente se tiene una matriz Z circulante en variables de fase, que podría ser una matriz de impedancias, y se le aplica la transformación de Fortescue, se obtiene una matriz Z F en variables de secuencia como ZA ZB ZC Z = ZC ZA Z B ZB ZC Z A ZA ZB ZC 1 2 ZF = F ZF= ZA a ZB azc 2 ZA azb a Z C (3.7) Esta propiedad permite que un sistema trifásico con alimentación senoidal desequilibrada, cuya matriz de impedancias Z sea circulante, se pueda estudiar como tres sistemas trifásicos equilibrados.
2 Memoria 3.3 Topología del circuito magnético El circuito magnético puede influir en el funcionamiento del transformador en condiciones desequilibradas porque puede imponer (o no imponer) una restricción a los flujos de las tres columnas. En concreto, al considerar los tres tipos de transformadores trifásicos: - Como los tres circuitos magnéticos del banco de transformadores (Figura 2.1) son independientes, no imponen ninguna restricción a los flujos de las tres columnas. Es decir, en un banco de transformadores puede existir flujo homopolar ya que la suma de los flujos no tiene porqué ser nula. - El circuito magnético del transformador de tres columnas (Figura 2.2) fuerza que la suma de los flujos en cada instante sea nula. En realidad, la suma de flujos en un transformador real de tres columnas no es estrictamente nula, debido al flujo que se cierra a través del aire o a través de la armadura. Sin embargo, este flujo es pequeño porque este circuito magnético tiene una elevada reluctancia magnética. Este flujo también se denomina de dispersión. En resumen, en caso de existir flujo homopolar en un transformador de tres columnas, es de valor muy pequeño. - Como el circuito magnético del transformador de cinco columnas (Figura 2.3) no impone la limitación a los flujos de las tres columnas, su comportamiento es bastante parecido al del banco de transformadores. 3.4 La corriente magnetizante y su contenido armónico Para que se establezca el flujo magnético en el núcleo de un transformador, éste debe consumir una cierta intensidad que se suele denominar corriente de vacío, i o (t), porque coincide aproximadamente con la corriente que consume el transformador cuando está en vacío. Dicha corriente de vacío se calcula en un transformador trifásico para cada devanado k como: iok () t = Npipk ( t) Nsis k ( t) ( k = a, b, c) (3.8) donde - i pk (t) e i sk (t) son las corrientes del primario y del secundario del devanado k, y - N p y N s son el número de espiras de los devanados del primario y del secundario.
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 21 Una pequeña parte de la corriente de vacío se debe a las pérdidas del núcleo, i Fe (t), pero la mayor parte es la que, propiamente hablando, crea el flujo magnético. Es la denominada corriente magnetizante, i m (t). Dicha corriente magnetizante se calcula en un transformador trifásico para cada devanado k como: imk () t = io k ( t) ife k ( t) io k ( t) = Npip k ( t) Nsis k ( t) ( k = a, b, c) (3.9) La corriente magnetizante (y la de vacío) de un transformador real no es senoidal, y su contenido armónico puede ser causa de un mal funcionamiento del mismo. Dicha corriente magnetizante no es senoidal porque los transformadores se diseñan para trabajar cerca del codo de la curva B-H (o φ-i m ), por lo que están ligeramente saturados. Si la tensión de alimentación es senoidal, el flujo también lo es y, por lo tanto, la corriente magnetizante (y la de vacío) presenta la típica forma de campana que se muestra en la Figura 3.2a. φ k φ k Flujo Flujo Corriente magnetizante i mk Corriente magnetizante i mk (a) (b) Figura 3.2. Relación entre el flujo en el hierro y la corriente magnetizante en una columna k del transformador trifásico con hierro no lineal: (a) tercer armónico en la corriente como consecuencia de que el flujo es senoidal, y (b) tercer armónico en el flujo como consecuencia de que la corriente magnetizante es senoidal En el espectro armónico de esta corriente magnetizante destacan la onda fundamental y un alto contenido del tercer armónico (que puede variar entre el 1% saturación normal y el 6% muy saturado de la onda fundamental), mientras que la amplitud del resto de armónicos es mucho menor y, por lo tanto, no se suelen considerar.
22 Memoria Si, por el contrario, se tuviera una corriente magnetizante senoidal, entonces quien tendría el contenido del tercer armónico sería el flujo (como se muestra en la Figura 3.2b) y, por lo tanto, las tensiones inducidas en ambos devanados también tendrían un tercer armónico. 3.5 Funcionamiento en régimen desequilibrado 3.5.1 Ecuaciones a resolver y modelo del transformador Para resolver numéricamente un problema general de un transformador trifásico en condiciones desequilibradas hay que resolver el sistema de ecuaciones compuesto por: - las ecuaciones eléctricas y las ecuaciones magnéticas del transformador (por ejemplo, en un transformador de cinco columnas, se plantean las ecuaciones magnéticas correspondientes a las cinco columnas del transformador, Figura 2.3), - las restricciones debidas a las conexiones de ambos devanados (por ejemplo, la suma de corrientes es nula en una estrella aislada), y - las ecuaciones de la alimentación y de la carga. El transformador trifásico se puede modelizar con diferentes grados de complejidad dependiendo del detalle con el que se representa el hierro. Las formas más habituales de modelización, de mayor a menor complejidad, son: - considerar que el hierro no es lineal (apartado 4.3.3), - considerar que el hierro es lineal (apartado 4.3.2), - despreciar el hierro (apartado 4.3.1), pero considerando la rama longitudinal del esquema equivalente (R p, R s, L dp y L ds ), y - despreciar el hierro y despreciar también la rama longitudinal del esquema equivalente: se trata del transformador ideal. En los apartados indicados anteriormente se explicarán las tres primeras formas de modelizar el transformador trifásico obviando la del transformador ideal que es trivial. Está claro que cuanto mayor es la complejidad del modelo del transformador mejores son los resultados obtenidos, sobre todo si existe un grado de saturación considerable. Pero cabe decir, que para realizar un estudio en condiciones desequilibradas es crucial la topología del circuito magnético, puesto que es posible que el flujo neto no sea nulo, a diferencia de lo que sucede en condiciones equilibradas.
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 23 3.5.2 Banco de transformadores en régimen desequilibrado La utilización del banco de transformadores en condiciones desequilibradas es poco apropiada cuando en el primario se realiza la conexión en estrella aislada y en el secundario la conexión en estrella aislada o en estrella con neutro, ya que existe flujo homopolar que deforma las tensiones del primario y del secundario. Por lo tanto, es habitual que en un banco de transformadores se realice en alguno de los dos devanados la conexión en triángulo porque elimina dicho flujo homopolar y no deforma las tensiones del primario ni del secundario. En particular, se puede analizar el mal comportamiento del banco de transformadores en conexión Yyn alimentando cargas desequilibradas (entre las fases y el neutro) de la siguiente manera: - Si la carga está poco desequilibrada, el flujo homopolar desplaza los neutros del primario y del secundario, por lo que se dice que hay tensión homopolar en el secundario. Esta situación no es deseable, porque el neutro debe estar situado en el cdg. - Si la carga está muy desequilibrada (el caso extremo de desequilibrio es poner una sola carga entre una fase y el neutro), el desplazamiento del neutro es tan grande que el transformador se satura, por lo que las tensiones y los flujos dejan de ser senoidales. 3.5.3 Transformador de tres columnas en régimen desequilibrado Debido a la topología del transformador de tres de columnas, que fuerza que la suma de flujos en cada instante sea muy pequeña (flujo homopolar pequeño), es apropiada su utilización en cualquier tipo de conexión de los devanados del primario y del secundario, excepto en la conexión Yyn cuando la carga está muy desequilibrada. Se pueden analizar las conexiones Yyn e Yy, en las que la utilización del banco de transformadores no era apropiada, en el transformador de tres columnas de la siguiente manera: - Conexión Yyn: si la carga está poco desequilibrada, el neutro prácticamente no se desplaza. Si la carga está muy desequilibrada, el neutro se desplaza, aunque no tanto como para que el transformador se sature (como sucede con el banco de transformadores).
24 Memoria - Conexión Yy: prácticamente elimina el tercer armónico de flujo motivado por la ausencia de tercer armónico de corriente magnetizante. Por ello, los flujos y las tensiones son prácticamente senoidales. En la práctica, este transformador se utiliza con la conexión Yyn cuando la carga no está muy desequilibrada. Si está muy desequilibrada, se debe acudir a la conexión Dyn. 3.5.4 Transformador de cinco columnas en régimen desequilibrado La topología del transformador de cinco columnas no impone ninguna limitación a los flujos de las tres columnas (todo lo contrario a lo que ocurre con el transformador de tres columnas) y, es por eso que su comportamiento en condiciones desequilibradas es muy parecido al del banco de transformadores, y por lo tanto, todo lo explicado para el banco de transformadores es válido para este tipo de transformador. 3.5.5 Características y campo de aplicación de los grupos de conexión A modo de resumen, se ha elaborado la Tabla 3.I que describe cómo es el comportamiento de cada uno de los tipos de transformadores en condiciones desequilibradas y para cada una de las conexiones en estrella o en triángulo. Con ( ) se indican las combinaciones en las que se deforman las tensiones o se desplazan los neutros.
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 25 Tabla 3.I. Resumen del comportamiento de los grupos de conexión Banco de transformadores / Transformador de 5 columnas Transformador de 3 columnas Tensiones sencillas de ambos devanados de valor elevado y con Yy tercer armónico, y ambos neutros flotan (existe tercer armónico de flujo). No hay problema con tercer armónico de flujo (lo elimina la topología). Tensiones compuestas senoidales. ( ) Carga poco desequilibrada Neutro secundario no está en cdg (flujo homopolar). ( ) No hay problema con flujo homopolar (lo elimina la topología). Yyn Carga muy desequilibrada Tensiones y flujos deformados (saturación originada por flujo homopolar). ( ) Neutro secundario no está en cdg (flujo homopolar). ( ) Dd Dy, Dyn Yd No hay neutros. Neutro secundario está en cdg (triángulo elimina flujo homopolar). Neutro primario está en cdg (triángulo elimina flujo homopolar). En la elección de un grupo de conexión (formado por la conexión de ambos devanados más el índice horario) no sólo se tienen que tener en cuenta las propiedades de comportamiento de la Tabla 3.I, sino que también hay que considerar el siguiente aspecto tecnológico: la estrella se prefiere al triángulo cuando las tensiones son elevadas (porque el aislamiento por espira es menor) y las corrientes son pequeñas, mientras que el triángulo se prefiere a la estrella cuando las corrientes son elevadas (porque la sección de los conductores es menor y son más fáciles de trabajar) y las tensiones son pequeñas. Por último, también se debe tener en cuenta que la norma UNE 2-11 recomienda el uso preferente de los grupos de conexión Yy, Dy11e Yd11. Toda esta información permite definir el campo de aplicación de los grupos de conexión: Estrella-estrella. Es de uso muy reducido. Si es de tres columnas, únicamente se puede utilizar cuando no hay grandes desequilibrios. Si es un banco, es necesario que la carga esté
26 Memoria totalmente equilibrada. Es adecuado para conectar cargas de pequeña potencia a tensiones primarias elevadas. Triángulo-estrella. Muy utilizado como transformador de distribución por la accesibilidad del neutro y porque admite todo tipo de cargas desequilibradas. También es útil como transformador elevador al principio de línea. Estrella-triángulo. Es útil como transformador reductor al final de línea.
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 27 4 Modelos del transformador trifásico En este capítulo se presentan los modelos implementados para el estudio del transformador trifásico en régimen permanente. En primer lugar, se consideran transformadores trifásicos con tres topologías diferentes para el circuito magnético: topología de tres columnas, topología de cinco columnas y banco de transformadores monofásicos. En segundo lugar, se proponen tres niveles de modelización para el núcleo magnético, con creciente grado de detalle: núcleo ideal, núcleo lineal y núcleo no lineal. En total, resultan nueve modelos diferentes para el transformador trifásico. Este capítulo se estructura en cuatro apartados: en el primero se formulan las ecuaciones en el dominio del tiempo de los circuitos eléctricos y magnéticos para las tres topologías consideradas. En el segundo apartado se describe la expresión analítica utilizada para representar la reluctancia no lineal de cada columna del transformador. Esta expresión depende únicamente de cuatro parámetros que pueden obtenerse experimentalmente y tienen una interpretación física clara. En el tercer apartado se presentan los tres niveles de modelización del núcleo magnético. En este apartado y en el siguiente se supone que el transformador se encuentra en régimen permanente. Todos los modelos presentados se formulan con el transformador desconectado, es decir, sin haber realizado conexión alguna en sus devanados. Por ello, en el último apartado se explica mediante unos ejemplos la modelización de las conexiones del transformador. 4.1 Circuito eléctrico y circuito magnético en el dominio del tiempo El comportamiento de un transformador queda definido con la resolución de sus ecuaciones eléctricas y magnéticas. Dichas ecuaciones relacionan las tensiones, las intensidades y los flujos del transformador. Cuando estas ecuaciones se pueden representar mediante circuitos equivalentes, como es el caso de los modelos presentados en este trabajo, se deben resolver estos circuitos equivalentes. Como se comentará más adelante para cada topología de transformador, las ecuaciones del circuito eléctrico y del circuito magnético se reducen a por unidad (pu) para eliminar el número de espiras que forman los devanados del primario y del secundario, puesto que dichos valores no se suelen conocer, a no ser que los indique el fabricante. Los transformadores de las tres topologías comentadas poseen el mismo circuito eléctrico, pero diferente circuito magnético. Por lo tanto, las ecuaciones eléctricas son las mismas, y, en cambio, las ecuaciones magnéticas son diferentes.
28 Memoria 4.1.1 Transformador de tres columnas 4.1.1.1 Ecuaciones en valores reales Las ecuaciones en valores reales que definen el comportamiento eléctrico de los seis devanados del transformador trifásico de tres columnas son d dφq upq = Rp Ldp ipq Np dt dt d dφq usq = Rs Lds isq Ns dt dt ( q = 4,5,6) (4.1) donde - i pq, i sq, u pq y u sq son las corrientes y tensiones del devanado q del primario y del secundario, - φ q es el flujo por unidad de espira que circula por la columna q del hierro, - N p y N s son los números de espiras del primario y del secundario, - R p, R s, L dp y L ds son las resistencias internas e inductancias de dispersión del primario y del secundario. Estas ecuaciones se pueden representar mediante el circuito eléctrico de la Figura 4.1 y son comunes para los transformadores de las tres topologías (transformador de tres columnas, banco de transformadores y transformador de cinco columnas). Para simplificar los cálculos, en estas ecuaciones no se han considerado las pérdidas en el hierro. u p4 R p L dp L ds R s u s4 i p4 i s4 u p5 R p L dp L ds R s u s5 i p5 i s5 u p6 R p L dp L ds R s u s6 i p6 i s6 d Np dt φ4 dφ5 dφ6 dφ6 dφ5 dφ4 Np Np Ns Ns Ns dt dt dt dt dt Figura 4.1. Circuito eléctrico del transformador trifásico con los devanados sin conectar
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 29 En la figura anterior, Figura 4.1, se puede observar que los devanados del primario (subíndice p) y del secundario (subíndice s) están desconectados, es decir, no se ha realizado conexión alguna en ellos. Para considerar las pérdidas en el hierro se pueden añadir tres resistencias en paralelo con las tensiones inducidas del primario o con las del secundario. En la Figura 4.2 se muestra el circuito magnético en valores reales del transformador trifásico de tres columnas. φ 4 φ 5 φ 6 φ d R 4 ( f 4 ) f 4 R 5 ( f 5 ) f 5 R 6 ( f 6 ) f 6 R d f d N p i p4 N p i p5 N p i p6 N s i s4 N s i s5 N s i s6 Figura 4.2. Circuito magnético del transformador de tres columnas Las ecuaciones que definen el comportamiento magnético del transformador trifásico de tres columnas se deducen del circuito anterior, resultando Ni Ni = i = f f ppq ssq mq q d φ φ φ φ = 4 5 6 d ( q = 4,5,6) (4.2) donde - N p i pq y N s i sq son las fuerzas magnetomotrices del devanado q del primario y del secundario, - i mq es la corriente magnetizante del devanado q, - f q = R q (f q )φ q es el potencial magnético de la columna q del hierro, donde R q (f q ) es la reluctancia no lineal de dicha columna, que a su vez depende de f q, - f d = R d φ d es el potencial magnético del circuito d. En esta topología de transformador, este circuito representa el circuito de dispersión que se cierra a través del aire, donde
3 Memoria R d es la reluctancia lineal de dicho circuito, que posee un valor constante, y φ d es el flujo de dispersión que circula por dicho circuito. 4.1.1.2 Ecuaciones en valores reducidos a pu Puesto que en un transformador real no se suelen conocer los números de espiras de los devanados del primario, N p, ni del secundario, N s, no se puede trabajar en valores reales y se han de eliminar los números de espiras. Por otro lado, aunque se conocieran los números de espiras, siempre se suele trabajar en valores reducidos, siendo la reducción más empleada la reducción a pu, cuyos valores base se muestran en la Tabla 4.I. Tabla 4.I. Valores base de la reducción a pu S B = S N 3 ω B = 1 U Bp U = U Np Np 3 estrella triángulo U Bs U = U Ns Ns 3 estrella triángulo I Bp S B B = IBs = UBp UBs S Z Bp = ( U ) 2 Bp S B Z Bs = ( U ) 2 Bs S B ZBp ZBs L Bp = L Bs = ω ω B UBp UBs φ B = = N ω N ω p B s B B 2 2 p ωb Ns ωb N R B = = Z Bp Z Bs FB = NpIBp = NsIBs
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 31 Utilizando los valores base anteriores, las variables que intervienen en el circuito eléctrico, Figura 4.1, y en el circuito magnético, Figura 4.2, se reducen como se muestra en la Tabla 4.II y Tabla 4.III. Tabla 4.II. Reducción de las variables presentes en el circuito eléctrico del transformador trifásico, con q = 4, 5, 6 Variables reales upq, u sq ipq, i sq Rp, R s Ldp, L ds i mq Variables reducidas r pq u, u r sq r i, i rp, r s ldp, l ds i r pq r sq mq Tabla 4.III. Reducción de las variables presentes en el circuito magnético del transformador trifásico, con q = 4, 5, 6 Variables reales φ q φ d f q f d R q R d Variables reducidas r φ q r φ d r f q r f d τ q τ d Por lo tanto, utilizando los valores base anteriores, las variables del circuito eléctrico de la Figura 4.1 quedan reducidas como se muestra en la Figura 4.3 y las del circuito magnético de la Figura 4.2 quedan reducidas como se muestra en la Figura 4.4, teniendo en cuenta que, por simplicidad, se omiten los superíndices r en todas las variables reducidas de la Tabla 4.II y de la Tabla 4.III.
32 Memoria u p4 r p l dp l ds r s u s4 i p4 i s4 u p5 r p l dp l ds r s u s5 i p5 i s5 u p6 r p l dp l ds r s u s6 i p6 φ4 φ5 φ6 d dt i m4 i m5 i m6 d dt d dt i s6 Figura 4.3. Circuito eléctrico reducido a pu del transformador trifásico con los devanados sin conectar φ 4 φ 5 φ 6 φ d τ 4 ( f 4 ) f 4 τ 5 ( f 5 ) f 5 τ 6 ( f 6 ) f 6 τ d f d i p4 i p5 i p6 i s4 i s5 i s6 Figura 4.4. Circuito magnético reducido a pu del transformador de tres columnas Por lo tanto, las ecuaciones reducidas que definen el comportamiento eléctrico del transformador trifásico, Figura 4.3, son d dφq upq = rp ldp ipq dt dt d dφq us q = rs lds is q dt dt ( q = 4,5,6) (4.3) y las que definen el comportamiento magnético del transformador de tres columnas, Figura 4.4, son
Aplicación informática con para la modelización del transformador trifásico... 33 i i = i = f f pq sq mq q φ φ φ φ = 4 5 6 d ( q = 4,5,6 ) d (4.4) 4.1.2 Banco de transformadores 4.1.2.1 Ecuaciones en valores reales Como se ha supuesto que el circuito eléctrico para las tres topologías es el mismo, las ecuaciones que definen el comportamiento eléctrico del banco de transformadores son las que se muestran en (4.1) y se representan mediante la Figura 4.1. El circuito magnético en valores reales del banco de transformadores se muestra en la Figura 4.5. Como se puede observar, se diferencia del circuito magnético del transformador de tres columnas, Figura 4.2, en la reluctancia del circuito d, R d. Dicha reluctancia en esta topología tiene valor nulo, resultando tres circuitos magnéticos independientes, que corresponden a los tres transformadores monofásicos que forman el banco de transformadores. φ 4 φ 5 φ 6 R 4 ( f 4 ) f 4 R 5 ( f 5 ) f 5 R 6 ( f 6 ) f 6 N p i p4 N p i p5 N p i p6 N s i s4 N s i s5 N s i s6 Figura 4.5. Circuito magnético del banco de transformadores Al ser tres circuitos magnéticos independientes, no hay interacción entre los flujos φ 4, φ 5, φ 6 y, por lo tanto, el sistema (4.2) queda reducido a la primera ecuación, pero imponiendo que f d = (f d = R d φ d ), debido a que en este caso R d =. Es decir, Ni Ni = i = f ppq ssq mq ( q = 4,5,6 ) q (4.5)
34 Memoria 4.1.2.2 Ecuaciones en valores reducidos a pu El circuito eléctrico del banco de transformadores en valores reducidos a pu es el de la Figura 4.3, que se corresponde con las ecuaciones de (4.3). El circuito magnético del banco de transformadores con sus valores reducidos se muestra en la Figura 4.6. Dicho circuito puede obtenerse a partir del circuito magnético reducido del transformador de tres columnas, Figura 4.4, imponiendo τ d = ; o reduciendo las variables del circuito magnético de la Figura 4.5. φ 4 φ 5 φ 6 τ 4 ( f 4 ) f 4 τ 5 ( f 5 ) f 5 τ 6 ( f 6 ) f 6 i p4 i p5 i p6 i s4 i s5 i s6 Figura 4.6. Circuito magnético reducido a pu del banco de transformadores Por lo tanto, las ecuaciones del circuito anterior son i i = i = f pq sq mq ( q = 4,5,6) q (4.6) 4.1.3 Transformador de cinco columnas 4.1.3.1 Ecuaciones en valores reales Se vuelve a insistir en que se ha supuesto que los transformadores de las tres topologías poseen el mismo circuito eléctrico y, que, por lo tanto, las ecuaciones del circuito eléctrico del transformador de cinco columnas son las mostradas en (4.1) y se representan mediante el circuito de la Figura 4.1. El circuito magnético en valores reales del transformador de cinco columnas se muestra en la Figura 4.7. Al igual que en el banco de transformadores, este modelo se obtiene a partir del de tres columnas, pero ahora imponiendo que la reluctancia del circuito d, R d, es no