Tema 6: Campo Eléctrico

Física º Bachilleato Tema 6: Campo Eléctico 6.1.- Intoducción En el capítulo anteio vimos que cuando intoducimos una patícula en el espacio vacío, ésta lo modifica, haciendo cambia su geometía, de modo que ota patícula que se sitúa en él, estaá sometida a una acción debida a la defomación poducida po la pimea, es deci; las patículas inteaccionan po medio de los campos que ellas cean. Dijimos también que llamamos campo a toda egión del espacio tal que en cada uno de sus puntos se ponen de manifiesto valoes iguales o distintos de una magnitud física. Campo Eléctico es un campo vectoial de fuezas cuya magnitud activa es la caga. 6..- Caga Eléctica Es una magnitud escala. En los poblemas de inteacción electostática suponemos que la caga de un cuepo está concentada en el cento de éste, po lo que hablaemos de cagas puntuales. La unidad de caga es el Culombio [C] y como es una unidad muy gande se suelen utiliza submúltiplos. Existe ota unidad de caga que es el Fanklin. (1 C=3 10 9 uee) 6.3.- Ley de Coulomb La ley de Coulomb, nos indica que la fueza de atacción o epulsión ente dos cagas puntuales 1 y sepaadas una distancia, es diectamente popocional al poducto de sus cagas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa. Esta fueza es un vecto que tiene como diección la ecta que une el cento de cada una de las cagas y se calcula mediante la expesión: F 1 F 1 F 1 F 1 1 F F 1 1 1 F K ˆ Donde el vecto ˆ es un vecto unitaio en la diección de la ecta que une las dos cagas, y K es una constante que depende del medio eléctico intepuesto ente las cagas, soliendo expesase de la siguiente foma: 1 K 4 o Con lo que la Ley de Coulomb queda: 1 1 F ˆ 4 es una constante denominada pemitividad elativa, o constante dieléctica elativa del medio. es ota constante que ecibe el nombe de constante dieléctica del vacío o pemitividad del vacío. o o Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-1

Física º Bachilleato El poducto de ambas: o se llama constante dieléctica absoluta del medio intepuesto ente cagas. En el S.I. el valo de o es: 1 1 1 o 8,8 10 C N m 9 4 9 10 Sustituyendo este valo en la expesión geneal de Coulomb, tendemos: ue es la expesión más usual de la ley de Coulomb. 1 F K 9 10 1 1 9 1 1 4 o 9 4 9 10 En la siguiente tabla apaecen eseñados los valoes de las constantes dielécticas elativas y absolutas de algunos dielécticos: Sustancia o Vacío 1 8,85 10-1 - C N -1 m Aie 1,0006 8,85 10-1 - C N -1 m Agua 81 717 10-1 - C N -1 m Cuando tabajemos en el vacío, que eso seá lo más habitual, la ley de Coulomb seá: Donde K=9 10 9 - N m C 1 F K ˆ El signo de la fueza, depende del signo de las cagas elécticas. Si las cagas son del mismo signo la fueza es positiva (epulsiva) y si tienen signos opuestos es negativa (atactiva). Ejemplo 1: Calcula con qué fueza se epelen dos cagas puntuales positivas de 5 y mico culombios, situadas en el vacío a una distancia de 3 mm. 6 6 9 5 10 C 10 C 4 F 9 10 N m C 10 N 3 1 3 10 m Ejemplo : Dos cagas elécticas iguales, a 0 cm de distancia ente sí, en el vacío, se epelen con 1N de fueza. cuánto valen las cagas elécticas?. Como ambas cagas son iguales, la ley de Coulomb es de la foma: F K K F 1N po tanto, si despejamos, tenemos: 10 m,1 C K 9 Nm 9 10 C 6.4.- Campo Eléctico Una caga eléctica en el espacio cea un campo eléctico, que es diectamente popocional a la caga eléctica e invesamente popocional al cuadado de la distancia que sepaa el cento de la caga del punto donde se calcula el campo eléctico. Es una magnitud vectoial que se mide en [N/C] y se calcula mediante la expesión: 1 E ˆ 4 o Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-

Física º Bachilleato El campo eléctico es un vecto que tiene como diección la ecta que une el cento de la caga con el punto donde se calcula y el sentido depende del signo de la caga que cea el campo, si ésta es positiva el sentido del campo se aleja de la caga y si ésta es negativa va diigida hacia la caga. El sentido de las líneas de campo depende del signo de las cagas elécticas, si es negativa van diigidas hacia las cagas (igual que en una masa las líneas de campo gavitatoio) y si es positiva se diigen hacia fuea de la caga eléctica. La densidad de las líneas de campo está elacionada con la intensidad del campo. El vecto campo es tangente a las líneas de campo en cada punto 6.5.- Potencial Eléctico El potencial eléctico de una caga en un punto se define como el tabajo (cambiado de signo) necesaio paa desplaza una caga de 1 C desde el infinito hasta ese punto. Es una magnitud escala que se mide en voltios [V] y se calcula: 1 V 4 Donde es la distancia desde el cento de la caga al punto donde se calcula el potencial. 6.5.1.- Difeencia de Potencial La difeencia de potencial ente dos puntos de un campo, es la difeencia ente los potenciales de dichos puntos. Imaginemos dos puntos 1 y de un campo eléctico, de potenciales V 1 y V espectivamente. o Si una caga positiva se desplaza espontáneamente desde el punto 1 al, el tabajo ealizado po las fuezas del campo seá positivo. W 1 '( V 1 V) 0, po lo tanto V1 V Si po el contaio es necesaio ealiza un tabajo conta las fuezas del campo seá negativo, W1 0, y po lo tanto V1 V Si la caga es negativa sucedeá lo contaio. En esumen, una caga positiva se desplazaá espontáneamente en el sentido de los potenciales dececientes y una negativa en el de los cecientes. La foma de calcula la difeencia de potencial ente dos puntos es: 1 1 V V V Ed Si el campo eléctico es homogéneo, podemos saca E de la integal y quedaá: Po tanto: V V V Ed E d E 1 1 1 1 V V V E 1 1 Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-3

Física º Bachilleato 6.6.- Supeficies Equipotenciales Se denomina supeficie equipotencial al luga geomético de los puntos del campo en los que el potencial toma un mismo valo. Las ecuaciones de esas supeficies se obtienen haciendo V(x,y,z)=cte. Se caacteizan po: El tabajo ealizado al taslada una caga desde un punto a oto de una misma supeficie equipotencial es nulo. Las supeficies equipotenciales cotan pependiculamente a las líneas de fueza. 6.7.- Pincipio de Supeposición El campo y el potencial elécticos ceado en un punto del espacio po un sistema de cagas puntuales espectivamente es la suma (vectoial en el caso del campo, escala en el caso del potencial) de los campos o de los potenciales ceados en aquel punto po cada una de las masas po sepaado. E E E E E... E A i 1 3 n i V V V V V... V F F F F F... F A i 1 3 n i A i 1 3 n i 6.8.- Enegía Potencial Electostática Es la enegía que tiene un sistema fomado po dos cagas 1 y sepaadas una distancia. Es una magnitud escala que se mide en Julios [J] y se calcula mediante la expesión: E p 1 1 4 o La elación ente enegía potencial el potencial y el tabajo que ealiza el sistema paa move desde A hasta B es la siguiente: W ( V V ) E A B p 6.9.- Flujo del Campo Eléctico. Teoema de Gauss El flujo a tavés de una supeficie imaginaia situada en el inteio de un campo eléctico viene dado po la expesión: E ds o lo que es lo mismo: d EdS Siendo E el valo del campo existente en el elemento de supeficie ds. En el caso de que la supeficie sea ceada, la expesión se conviete en: EdS. La unidad de flujo eléctico es el voltio po meto. (V m) Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-4

Física º Bachilleato S Imaginemos una caga positiva puntual, situada dento de una supeficie ceada como la de la figua. Tomando como cento la caga, podemos taza una supeficie esféica cualquiea, de adio. Las líneas de fueza que ataviesan esta supeficie esféica son las mismas que ataviesan la supeficie oiginal. Ahoa bien, estas líneas son pependiculaes a la supeficie esféica (po lo que E y ds tienen el mismo sentido) y, a la vez, la intensidad del campo eléctico es la misma en todos los puntos de dicha supeficie, po lo que el flujo valdá: 1 EdS EdS E ds ES E 4 4 4 o o Donde hemos utilizado que la supeficie de una esfea se calcula como 4. Si dento de esta supeficie existiean vaias cagas, entonces cada una de ellas tendía su popio flujo, po lo que el flujo total seía la suma de cada uno de los flujos poducidos po cada caga. ue es la expesión matemática del teoema de Gauss. S El flujo neto que ataviesa una supeficie ceada (supeficie gaussiana) en un campo eléctico es igual a la suma algebaica de las cagas elécticas enceadas en su inteio dividida ente la constante dieléctica del medio en que se encuentan las cagas. i i Si este medio se tataa del vacío, la expesión del teoema de Gauss quedaía de la foma: o Ejemplo 3: Una caga eléctica puntual de +μc se encuenta situada en el cento geomético de un cubo de m de aista. El medio es el vacío. Calcula: a) La intensidad del campo en el cento de una de las caas. b) El flujo a tavés del cubo. c) El flujo a tavés de una caa. 6 10 C 4 El campo eléctico vendía dado po: E K K 1,8 10 N / C 1m El flujo a tavés de cubo, como este es una supeficie ceada, estaíamos en paaje de utiliza el teoema de Gauss, po tanto: 6 10 C 5, 6 10 Vm 1 1 o 8,85 10 CN m Paa el tece apatado, y po simetía, el flujo a tavés de una caa, seá la sexta pate del flujo total: 4 3,77 10 Vm 6 6.10.- Aplicaciones del Teoema de Gauss El teoema de Gauss pemite calcula la expesión del campo electostático ceado po algunas distibuciones de caga. Deben se cuepos que posean cieta simetía (esféica, cilíndica, plana), en los que podamos tene una idea de la diección que llevaán las líneas de campo en cada punto. El objetivo que se pesigue al aplica este teoema es el de pode despeja E de la fómula EdS S Paa lo que es peciso que E tenga un valo constante en toda la supeficie y que además sea pependicula a ésta. Así: Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-5

Física º Bachilleato EdS EdS cos E ds ES, donde α solo puede toma los valoes S S S 0 Si despejamos E, nos quedaá: E S Y en la que S es el valo de la supeficie gaussiana utilizada, y es la caga total que queda enceada dento de ella. 6.10.1.- Campo eléctico en un punto póximo a la supeficie de un conducto cagado en Equilibio Supongamos un conducto cuya densidad supeficial de caga sea: está en equilibio, el campo eléctico seá pependicula a la supeficie. d. Ya que el conducto ds Si tazamos una pequeña supeficie gaussiana en foma de cilindo, una de cuyas bases, de áea ds, está dento del conducto y ota fuea. El flujo solo atavesaá la base exteio del cilindo puesto que dento el campo es nulo, po encontase su caga en la supeficie. Aquí tenemos que el flujo es: E Peo como además sabemos que: deds EdS da d Entonces: EdS d E ds da dq Si despejamos el campo E = eléctico: 0 En un punto muy póximo a la supeficie de un conducto en equilibio electostático el campo es igual a la densidad de caga dividida ente la constante dieléctica del medio. 6.10..- Campo eléctico ceado po una coteza esféica conductoa de adio R El cuepo que va a cea el campo tiene simetía esféica. Sabemos que las líneas de campo ián en diección adial y que el valo del campo dependeá exclusivamente de la distancia al cento de la esfea. La supeficie gaussiana que andamos buscando debe se pependicula a las líneas de campo y mantene constante el valo de E en todos sus puntos: es claamente una esfea de adio cualquiea (siempe mayo que el adio R de la esfea). En el inteio: Ya que las cagas se sitúan siempe sobe la supeficie extena del conducto, el campo en el inteio es nulo ya que no encontaemos ninguna supeficie ceada que contenga cagas en su inteio. Si <R, E 0 En el exteio de la coteza: Si constuimos una supeficie de Gauss de adio >R, concéntica con la coteza, y aplicamos el teoema de Gauss: EdS EdS E ds ES E 4 1 Así que despejando E tenemos: E 4 ue es la expesión po todos conocida. Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-6

Física º Bachilleato El campo eléctico en el exteio de una coteza esféica cagada es el mismo que esulta al supone toda la caga situada en el cento de dicha coteza esféica. En la misma coteza: Cogiendo de nuevo una supeficie gaussiana con >R, obtenemos el mismo esultado que el caso anteio. 1 Si R, E 4 Teniendo en cuenta que, la expesión anteio queda: E 4 R 6.10.3.- Campo eléctico ceado po una esfea maciza de adio R unifomemente cagada en su inteio. En el exteio: Si tazamos una supeficie gaussiana de adio >R, que englobe a la esfea y concéntica con ella, aplicando luego el teoema de Gauss, tendemos: Así que despejando E tenemos: EdS EdS E ds ES E 4 1 Si >R, E 4 En el inteio: Consideemos ahoa una supeficie gaussiana de adio <R, concéntica con la esfea. Sea la caga enceada en su inteio. La densidad volúmica de caga vendá dada po: 4 ds 3 R 3 E 3 4 3 4 3 Tendemos que: ' 3 3 4 3 3 R R 3 Si aplicamos Gauss a dicha supeficie gaussiana, esulta: 3 3 ' EdS EdS E ds ES E 4 R Y po consiguiente; 1 Si <R, E 3 4 R 3 R 6.10.4.- Campo eléctico ceado po un hilo conducto cagado de longitud infinita Sea un hilo conducto infinitamente lago, cuya densidad lineal de caga designaemos po. Paa calcula el campo ceado po este conducto a una distancia de él constuimos una supeficie gaussiana cilíndica, concéntica con el hilo, de adio y de altua l. La caga contenida dento de esta supeficie es, y, como el campo es pependicula al hilo, el flujo ataviesa la supeficie lateal y las bases del cilindo. Aplicando el teoema de Gauss, como en las bases el vecto E y ds son pependiculaes, en ellas el flujo seá nulo y tendemos que: l EdS EdS E ds ES E l De donde: 1 E Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-7

Física º Bachilleato 6.10.5.- Campo eléctico ceado po un plano infinito cagado unifome Constuimos una supeficie gaussiana consistente en un cilindo de bases S y cuyas paedes sean pependiculaes al plano. El flujo solo atavesaá las dos bases del cilindo, pues su supeficie lateal es un tubo de fueza. De acuedo con el teoema de Gauss, tenemos: EdS EdS E ds E S De aquí se deduce que: E S Obsevamos que el campo obtenido no depende de la distancia al plano. Se tata, po tanto, de un campo unifome y pependicula al plano, epesentable mediante líneas de fueza ectas, paalelas y unifomemente espaciadas. Cuando colocamos dos láminas planas cagadas, con cagas iguales peo de signo contaio, tenemos un apaato eléctico denominado condensado. En esta situación, el campo ente las placas seá la suma de los campos (pincipio de supeposición), con lo que: E E1 E Con la caacteística de que en el exteio del condensado, E se anula. E + + + + + + E + = / 0 E E + + E = 0 + + + + + + + E = / 0 E= / 0 d E + E E + + E = 0 A Ejemplo 4: Una supeficie esféica de adio R 1 =1m, odea a una caga de 5 10 8 C situada al lado de ota caga de 3 10 8 C. a) Cuál seá el flujo neto a tavés de dicha supeficie? B) Si aumentamos el adio de la esfea a R =4m, Cuál seá entonces el flujo neto? K a) El flujo a tavés de una supeficie ceada que enciea una caga total es E S 4 4K, po tanto: 4K 4 9 10 N m C 5 3 10 C 61,9 N C m 9 8 1 b) El flujo seá el mismo poque las líneas de campo que ataviesan una supeficie, también ataviesan a la ota. Además, po sabemos po el teoema de Gauss, que el flujo solo depende de la caga enceada y no del tamaño de la supeficie. El signo negativo del flujo indica que el campo apunta hacia el inteio de la supeficie. Ejemplo 5: Calcula el campo eléctico debido a una distibución lineal de caga de longitud infinita y densidad lineal de caga 9 10 C / m a una distancia =1m, usando el teoema de Gauss. Paa calcula el campo ceado po este conducto a una distancia de él constuimos una supeficie gaussiana cilíndica, concéntica con el hilo, de adio y de altua l. La caga contenida dento de esta supeficie es, y, como el campo es pependicula al hilo, el flujo ataviesa la supeficie lateal y las bases del cilindo. Aplicando el teoema de Gauss, como en las bases el vecto E y ds son pependiculaes, en ellas el flujo seá nulo y tendemos que: l EdS EdS E ds ES E l De donde despejando E, nos da: 1 E K 18 N / C 4 Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-8

Física º Bachilleato 6.11.- Acción de un campo eléctico sobe patículas cagadas en movimiento Una patícula de masa m, cagada con una caga q, que está en una egión donde hay un campo eléctico, expeimenta una fueza igual al poducto de su caga po la intensidad del campo eléctico F qe e Si la caga es positiva, expeimenta una fueza en el sentido del campo. Si la caga es negativa, expeimenta una fueza en sentido contaio al campo. Si el campo es unifome, la fueza es constante y también lo es, la aceleación. Aplicando la segunda ley de Newton y las ecuaciones del movimiento ectilíneo unifomemente aceleado, obtenemos la velocidad de la patícula en cualquie instante o después de habese desplazado una deteminada distancia. qe Fe q E ma a m 1 v vo at x xo vo t at De foma altenativa, podemos aplica el pincipio de consevación de la enegía, ya que el campo eléctico es consevativo. La enegía potencial electostática, q Ep K q V se tansfoma en enegía cinética Ec 1 mv. Siendo V la difeencia de potencial existente ente dos puntos distantes x, sabemos que en un campo eléctico unifome V E x, y de aquí: 1 1 q V mv mv o Además de esto, podía dase el caso en el que nos encontáamos situaciones en las que se mezclaan campo eléctico y campo gavitatoio, paa las cuales aplicaíamos el pincipio de consevación de enegía, o paa las cuales haíamos un planteamiento dinámico del poblema. 6.1.- Nociones sobe campo Electostático en la mateia 6.1.1.- Campo electostático poducido po un dipolo Se entiende po dipolo un cuepo neuto (nomalmente una molécula) en el que las cagas positiva y negativa están sepaadas. Existiá entonces un campo eléctico ente ambas cagas, cuyo sentido va desde la positiva a la negativa. Una sustancia cuyas moléculas son dipolos se dice que es pola. Po ejemplo: agua, HCl, NH 3, En caso contaio seá apola. Ejemplos: metano (CH 4 ), benceno(c 6 H 6 ), oxígeno(o ) 6.1..- Conductoes y aislantes Podemos hace una clasificación de las sustancias según su compotamiento fente a un campo eléctico. Así, distinguimos ente Conductoes y Dielécticos o aislantes. Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-9

Física º Bachilleato 6.1..1.- Conductoes Son cuepos que pueden conduci la coiente eléctica a su tavés (po ejemplo los metales).poseen cagas libes (electones móviles). Fundamentalmente son metales de tansición, con estuctua de enlace metálico (los electones de la subcapa d de los átomos foman una "nube electónica"). Los mejoes conductoes: Ag, Au, Cu. Decimos que un conducto está en equilibio electostático cuando no hay movimiento de cagas en su inteio, es deci, F e 0. Po tanto, si no tenemos fueza eléctica neta en el conducto, el campo eléctico E en el inteio del conducto es nulo. Definimos la Capacidad de un conducto ( C ) como la elación ente caga acumulada y potencial almacenado po el conducto. Es deci, la capacidad nos indica cuánta caga almacena el conducto po cada voltio de potencial al que se le somete. C V Sus unidades son el Voltio/Coulombio = Faadio. 6.1...- Dielécticos Son cuepos que no dejan pasa la electicidad a su tavés. No poseen electones móviles y nomalmente son compuestos covalentes, de foma que los electones están estingidos a un átomo o molécula, siendo muy difícil que puedan cicula po el mateial. Po tanto, no pueden conduci la coiente eléctica. Según el tipo de molécula distinguimos dos tipos: Dielécticos polaes: Sus moléculas son dipolos, tienen cagas sepaadas y campo eléctico inteno. Dielécticos apolaes: En sus moléculas no existe sepaación de cagas, no son dipolos. 6.13.- Analogías ente campo eléctico y campo gavitatoio Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-10

Física º Bachilleato 6.14.- Resolución de Poblemas y ejecicios 1.- Sobe una cicunfeencia de adio R se encuentan seis cagas elécticas positivas igualmente espaciadas: cinco, de valo q, y la sexta de valo 4q. Halla: a) La intensidad del campo eléctico en el cento de la cicunfeencia. b) El potencial electostático en ese punto. c) El tabajo necesaio paa situa una caga de q en el cento de la cicunfeencia. d) La disposición que debeían tene las cagas paa que el campo eléctico esultante en el cento de la cicunfeencia sea nulo. a) Paa calcula la intensidad del campo eléctico en el cento, como todas las cagas son iguales y las distancias de todas ellas al cento también, todas se anulan excepto en la diección que une las cagas 4 y : 4 3 K E E4 E K K R R R O E R La esultante, tendá la diección de la caga sobe esa misma línea Vectoialmente, como el ángulo que foma E con la hoizontal es de 60, entonces: 4 3 K ˆ ˆ 3 K cos ˆ 3ˆ E i sen j i j 1, 35 10 ˆi 3 ˆ j N C R 3 3 R R 10 1 b) Paa calcula el potencial en el cento, no tenemos más que suma los potenciales de cada una de las cagas: 9 10 V Vi K 8,1 10 V R R c) Paa calcula el tabajo necesaio paa taslada una caga q, po supuesto positiva, al cento de la cicunfeencia desde el infinito donde V=0: 9 18 K 11 WO qvo V V o K 1,6 10 J R R R Claamente este tabajo seá positivo. d) Paa que el campo eléctico en O esultante fuea nulo, simplemente había que eajusta la posición de la caga 4, puesto que las otas se compensan. Llamando R a la nueva distancia al cento, sobe la misma ecta, de la caga 4, e igualando ambos campos elécticos, tenemos: 4 E4 K R 1 4 4 1 E E K K R R R R E K R 4 1 1 Opeando un poquito llegamos a: R 1 R 1 R 1 R 1 4 R 1 R Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-11

Física º Bachilleato Po tanto si alejamos la caga 4 una distancia igual al Radio sobe la misma línea que la une con el cento, tendemos el sistema en equilibio, y el campo eléctico seá nulo en el cento O..- Dos esfeillas sumamente pequeñas, de 0 g de masa cada una y cagadas negativamente con la misma caga, están situadas en el extemos de dos hilos de seda de 1 cm de longitud, suspendidos del mismo punto. En la posición de equilibio cada hilo foma con la vetical un ángulo de 30º. A) Calcula la tensión de los hilos en la posición de equilibio. B) Halla la caga de cada esfea. C) Si se descaga una de las esfeillas, calcula la velocidad de la ota cuando pasa po la vetical. D) Si se desea que al descagase una de las esfeillas la ota pemanezca en la misma posición de equilibio inicial, halla el valo, en módulo, l=1 cm diección y sentido, del campo eléctico que seá necesaio aplica. F e P=0, N T ψ=30 1 x 1 sen30 a) En el esquema de la izquieda, hemos epesentado la situación dada po el enunciado del poblema, en él, vemos que las fuezas que actúan sobe cada una de las esfeas son el peso, la fueza electostática y la Tensión del hilo. Como dice que el sistema está en equilibio, utilizando la segunda Ley de Newton llegamos a: F i 0 i En el eje x: Fe Tx T sen30 P En el eje y: P Ty Tcos 30, despejando T, tenemos: T 0,6N cos 30 b) Paa calcula la caga, sustituimos en la pimea ecuación: Fe Tx 0, 6 sen30 0,113N Po tanto; Fe 0,113 N q1 q q Como sabemos que Fe K, y que las cagas son iguales, tenemos: F d e K, si despejamos el valo d de la caga y sustituimos, llegamos a: Fe d 0,113 N 10 m q 3, 54 10 9 k 9 10 Nm C Donde la distancia d ente las cagas la hemos calculado, haciendo x 0, 01sen45 0, 005m, y po tanto: d x 0,01m Como en el enunciado dicen que ambas cagas son negativas, entonces: 8 C q 3, 54 10 8 C c) Si una se descaga, la ota se cae. La velocidad con que la bola llega a la vetical la calculaemos utilizando el pincipio de consevación de enegía: Paa lo cual necesitamos sabe h: E E M A M B A 1 m v B mgh v B g h 3 3 h 0, 01m 0, 01 m cos 30 0, 01m 8, 66 10 m 1, 34 10 m Po tanto 3 vb gh 9, 81 m/ s 1, 34 10 m 0,16 m/ s d) Paa halla el campo eléctico, como sabemos la fueza eléctica: F 0,113 N, sabemos la caga, y también sabemos que F qe, despejamos E y nos queda: e Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-1

Física º Bachilleato F 0,113N E 3,19 10 N C 8 q 3, 54 10 C 6 1 Po tanto el campo eléctico seá opuesto a la Fueza electostática. Como hemos tabajado con la patícula de la deecha, y la fueza electostática se diige hacia la deecha, entonces el campo se diige hacia la izquieda. 3.- Disponemos de tes bolitas esféicas conductoas idénticas, A, B y C, de adio tan pequeño, que se pueden considea puntuales. Las dos pimeas esfeillas están fijas a una distancia l=100 cm y tienen caga eléctica negativa, siendo la de A cinco veces mayo que la B. La esfeilla C se encuenta inicialmente en el estado neuto y se puede move libemente po la ecta AB hoizontal. A) Cogemos la bolita C con unas pinzas aislantes y la ponemos en contacto con la A, dejándola luego en libetad. Detemina la posición en que dicha bolita C quedaá en equilibio. B) Volvemos a coge la bolita C con las pinzas, poniéndola en contacto con la B y dejándola posteiomente libe. Detemina la nueva posición de equilibio. a) Sea q la caga de B y 5q la de A. Si ponemos en contacto las cagas A y C, estas llegaán al equilibio, de foma que compatián su caga. Po tanto: 5 l = 1 m qa' qb' q Tenemos que en el equilibio, el campo ceado po F F la A ha de se igual al ceado po la B. d 5 A=5q q EA K 5 5 d 1-d 1 EA EB K K d (1 d) d (1 d) EB K (1 d) Opeando un poquito llegamos a: (1 d) 1 1 d 5 5 d d 5 5d d d 0,613 m 5 5 Po tanto, la posición de equilibio estaá a 0,613 metos de la Bola A. 5 5 q q 7 B) Si ahoa ponemos en contacto la B con la C, tendemos: qa ' q y qb' qc' q 4 Tenemos que en el equilibio, el campo ceado po la A ha de se igual al ceado po la B. 5 EA K d 5 7 5 7 4 4 E 7 A EB K K d (1 d) d (1 d) 4 E B K (1 d) Opeando un poquito llegamos a: (1 d) 1 d 7 10 10 10d 7d d 0,544 m d d 10 7 10 7 4 5 Po tanto, la posición de equilibio estaá a 0,544 metos de la Bola A. 4.- Un electón se lanza con una velocidad de 10 7 ms -1 y peneta en la egión compendida ente dos conductoes hoizontales, planos y paalelos, de 8 cm de longitud y sepaados ente sí 1 cm, en la que existe un campo eléctico unifome. El electón peneta en la egión po un punto Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-13

Física º Bachilleato equidistante de los dos conductoes planos y, a la salida, pasa justamente po el bode del conducto supeio. a) Razona qué tipo de movimiento descibiá el electón. b) Calcula el campo eléctico que existe ente los conductoes y la difeencia de potencial ente ellos. (datos: q e = -1,6 10-19 C ; me = 9,1 10-31 kg) a) Tenemos una combinación de dos movimientos, un MRU sobe el eje hoizontal y un MRUA sobe el eje vetical. Cuya combinación nos da un movimiento Paabólico. b) En el movimiento en el eje X, al no actua ninguna fueza: e - + - E l=8cm F qe d=1 cm x v MRU... t x xo vt Calculamos el tiempo que tada el electón en cuza los dos conductoes: x 0,08m t 8 10 7 1 v 10 ms 9 s En el eje Y como actúa la fueza electostática en sentido contaio al campo, puesto que la caga es negativa, tenemos un movimiento: v vo at MRUA 1 y y o v ot t at Conocido el tiempo y la distancia, calculo la aceleación: 1 y 5 10 m y at a 1,56 10 ms t 8 10 m s 3 14 9 Conocida la aceleación y aplicando la segunda ley de Newton, tenemos que: F ma F ma qe ma Despejando la intensidad del campo, tenemos: e 31 14 ma 9,1 10 kg 1,56 10 ms E 888, 5 N / C 19 q 1, 60 10 C Po tanto el campo eléctico es : E 888,5 ˆj NC 1 Como sabemos que el potencial viene dado po: V K q, y el campo eléctico po: E K q 1 V compaamos ambas expesiones llegamos a: E V, quiee esto deci que despejando V:, si V E 888,5 0,01 8,885V Y ésta seía la difeencia de potencial ente ambas placas: V 8,885V 5. Aceleamos un electón desde el eposo mediante una difeencia de potencial de 10 kv. a) Analiza enegéticamente el poceso, calculando la velocidad que alcanza el electón. Realiza un esquema, indicando el movimiento ealizado po el electón, y la disposición de los puntos de mayo y meno potencial. Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-14

Física º Bachilleato b) Repeti el apatado anteio paa un potón, y paa un neutón (datos: m p m n = 1,66 10-7 kg ; m e = 9,1 10-31 kg ; e = 1,6 10-19 C) a) El incemento de enegía potencial del electón al pasa del punto 1 al punto es: Como la enegía mecánica se conseva, tenemos que: E q V V p e 1 E E M1 M O lo que es lo mismo: E E E E c1 p1 c p E E E E c1 c p p1 Po tanto, el incemento de enegía cinética es igual peo de signo contaio al incemento de enegía potencial. E q V V c e 1 Como en el punto 1 la velocidad del electón es ceo, entonces O lo que es lo mismo: E 0, y entonces: c1 E E E E q V V c c c1 c e 1 1 m v q V V e e e Despejando la velocidad del electón en el punto, tenemos: 1 Sustituyendo valoes, tenemos: V e e q V V m 1 e V e qe V V 1, 6 10 C 10 V m 19 4 1 7 1 5,93 10 ms 31 e 9,1 10 kg Como dice que la difeencia de potencial ente los puntos 1 y es de 10 4 V, y como V V V1, podemos afima que el punto tiene un potencial mayo que el punto 1. b) Este apatado es simila al anteio, peo ahoa paa el caso de un potón y de un neutón. El incemento de enegía potencial del potón al pasa del punto 1 al punto es: Como la enegía mecánica se conseva, tenemos que: E q V V p p 1 E E M1 M O lo que es lo mismo: E E E E c1 p1 c p E E E E c1 c p p1 Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-15

Física º Bachilleato Po tanto, el incemento de enegía cinética es igual peo de signo contaio al incemento de enegía potencial. E q V V c p 1 Como en el punto 1 la velocidad del potón es ceo, entonces O lo que es lo mismo: E 0, y entonces: c1 E E E E q V V c c c1 c p 1 1 m v q V V p p p Despejando la velocidad del potón en el punto, tenemos: 1 Sustituyendo valoes, tenemos: V p p q V V m 1 p V p qp V V 1, 6 10 C 10 V m 19 4 1 6 1 1, 39 10 ms 7 p 1, 66 10 kg Igual que antes, como la difeencia de potencial ente los puntos 1 y es de 10 4 V, y como V V V1, podemos afima que el punto tiene un potencial mayo que el punto 1. c) En el caso del neutón, como es una patícula sin caga, tenemos que: E q V V p n 1 0 Y si no hay vaiación de E p, tampoco la hay de E c, poque la patícula no se mueve. 6.15.- Relación de Poblemas 1- Calcula la fueza de atacción ente un ión clouo y un ión sodio a una distancia de 10-8 cm el uno del oto, si se encuentan a) En el vacío b) En agua (ε = 81) Solución: a) (5,76 10-9 N) b) (7,11 10-11 N).- Dos patículas α (He ++ ), están sepaadas 10-14 m. Calcula la fueza electostática con la que se epelen, la fueza gavitatoia con la que se ataen y compaa ambas ente sí. (datos m α = 6,68 10-7 kg ; q e = - 1,6 10-19 C) Solución: Fe = 9,16 N ; F g =,98 10-35 N 3.- Dos esfeas muy pequeñas (de adio despeciable) pesan 4 N cada una y están suspendidas de un mismo punto po sendos hilos de 5 cm de longitud. Al caga cada una de las esfeas con la misma caga negativa, los hilos se sepaan y, en la situación de equilibio, foman un ángulo de 45º con la vetical. Calcula el valo de la caga. Solución: = -1,46 10-6 C 4.- Un cuepo cuyo peso es 1 N está cagado con μc. A qué distancia sobe él debe colocase oto cuepo cagado con 3 μ C, de signo contaio, paa que el pimeo no caiga po la acción de su peso? Solución: 0,3 m Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-16

Física º Bachilleato 5.- Una caga positiva de μc está en el oigen de un sistema de coodenadas. Calcula: a) Campo eléctico en el punto (,3) m y fueza electostática ejecida sobe una patícula cagada con - μc situada en dicho punto. b) Potencial eléctico V en un punto P situado a 4 m del oigen (consideando V = 0) c) Cuánto tabajo debe se ealizado po un agente exteio paa lleva una caga de 3 μc desde el infinito hasta P? Solución: A) E = (768 i + 115 j) N/C ; Fe =-1,54 10 i -,3 10-4 j N ) b) (V = 4500 V) c) (Wext = -We = 0,0135 J) 6.- Dos cagas elécticas puntuales, la una A tiple que la ota B, están sepaadas un meto. Detemina el punto en que la unidad de caga positiva está en equilibio cuando: a) A y B tienen el mismo signo b) A y B tienen signos opuestos c) Se anulaá el potencial electostático en dichos puntos? Razona. Solución: a) A = 0,64 m, B = 0,37 m b) A =,37 m, B = 1,37 m 7.- Dos cagas q 1 =μc y q =4 μc están situadas, espectivamente, en los puntos (0,) y (0,-) m. Calcula: a) Campo y potencial electostáticos en el punto (4,0) m. b) Tabajo necesaio paa taslada una caga de 6 μc desde el infinito hasta el punto (4,0) m. Solución: a) E =415 i + 40,5 j N/C ; V=1075 V b) Wext = -We = 0,07 J 8.- El potencial ceado po una caga puntual a cieta distancia de ella es de 600 V y el campo eléctico en el mismo punto es 00 N/C. Cuál es la distancia a la caga desde el punto? Cuál es el valo de la caga? Solución: = 3 m, = 10-7 C 9.- Una caga puntual cea un campo electostático. Al taslada una caga q desde un punto A al infinito, se ealiza un tabajo de 5 J. Si se taslada desde el infinito hasta oto punto C, el tabajo es de -10 J. a) ué tabajo se ealiza al lleva la caga desde el punto C hasta el A? En qué popiedad del campo electostático se basa la espuesta? b) Si q = - μc, Cuánto vale el potencial en los puntos A y C? Solución: a) W CA = 5 J b) V A =-,5 10 6 V; V B =5 10 6 V 10.- Aceleamos un electón desde el eposo mediante una difeencia de potencial de 10 kv. a) Analiza enegéticamente el poceso, calculando la velocidad que alcanza el electón. Realiza un esquema, indicando el movimiento ealizado po el electón, y la disposición de los puntos de mayo y meno potencial. b) Repeti el apatado anteio paa un potón, y paa un neutón. (datos: m p m n =1,66 10-7 kg ; m e =9,1 10-31 kg ; e = 1,6 10-19 C) Solución: a) v = 5,93 10 7 m/s) b) potón: v = 1,39 10 6 m/s ; neutón: no se acelea 11.- Una patícula de caga 6 10-6 C se encuenta en eposo en el punto (0,0). Se aplica un campo eléctico unifome de 500 NC-1, diigido en el sentido positivo del eje OY. a) Desciba la tayectoia seguida po la patícula hasta el instante en que se encuenta en el punto A, situado a m del oigen. Aumenta o disminuye la enegía potencial de la patícula en dicho desplazamiento?, en qué se conviete dicha vaiación de enegía? b) Calcule el tabajo ealizado po el campo en el desplazamiento de la patícula y la difeencia de potencial ente el oigen y el punto A. Solución: We = 6 10-3 J ; V O -V A = 1000 V 1.- Una esfea unifomemente cagada tiene un potencial de 450 V en su supeficie y a una distancia adial de 0 cm de la supeficie, el potencial es de 150 V. Calcula el adio de la esfea y su caga. Solución: R=0,1 m, =5 10-9 C Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-17

Física º Bachilleato 13.- Una esfea de 8 cm de adio posee una caga eléctica de - 0,3 μc. Calcula: a) Potencial en un punto de la supeficie. b) Campo y potencial en un punto situado a 1 cm de la supeficie. Solución: a) V sup =-33750 V ; b) E = 67500 N/C, V = -13500 V 14.- Una caga de 4 μc está distibuida unifomemente sobe una supeficie esféica de 10 cm de adio. Calcula: a) Tabajo necesaio paa aleja adialmente una caga de -3 μc desde un punto situado a 10 cm de la supeficie esféica, una distancia de 5 cm. b) En qué puntos seía nulo el campo si colocamos una caga puntual de 6 μc a 0 cm de distancia de la supeficie esféica? Solución: a) Wext = -We = 0,108 J b) 1 = 0,135 m ; = 0,165 m 15.- Calcula la enegía del electón de un átomo de hidógeno en su estado fundamental (según el modelo de Böh) (Datos: m e = 9,1 10-31 kg, = a 0 = 0,53 10-10 m Solución: E=-13,56 ev 16.- Una caga de +1 μc se coloca a 1 cm de un alambe lago delgado, cagado con +5 μc/m. Calcula la fueza que el alambe ejece sobe esa caga. Calcula la difeencia de potencial existente ente ese punto y oto situado a 3 cm del alambe. ué tabajo hay que ealiza paa lleva la caga dada desde este punto al anteio? Y al evés?. Solución: F=9N, V=1,8 10 4 V, W=0,018 J, W=-0,018 J 17.- Un electón peneta en un campo eléctico unifome, de 10 5 V/m, pependiculamente a sus líneas de fueza, con una velocidad inicial de 10 4 m/s. Calculad la aceleación que expeimenta el electón, la ecuación de la tayectoia que descibe, y su velocidad al cabo de 1 s de peneta en ese campo. (q e =1.6 10-19 C; m e =9.11 10-31 Kg) Solución: 1.76 10 16 m/s ; y=8.78 10 7 x ; 1.76 10 16 m/s. 6.16.- Paa sabe más 18.- Supón una caga puntal de μc. ué fueza de atacción ejeceá sobe ota caga de 3 000 uee, de signo contaio, situada en el vacío, a 3 cm de distancia? Solución: F = 0 N. 19.- Cuál seia la fueza de atacción en el poblema anteio si el medio intepuesto ente las cagas fuese azufe? La pemitividad elativa del azufe es 4. Solución: F = 5 N. 0.- Dos cagas elécticas iguales, a cm de distancia en el vacío, se epelen con 100 dyn de fueza. Cuánto valen las cagas elécticas? Solución: 1.- Un cuepo de 100 g está cagado con 10 000 uee. A qué distancia de él debe colocase oto cuepo cagado con 100 000 uee de signo contaio paa que el pimeo no caiga po la acción de su peso? 0 3 nc Solución: = 1 m..- Cuál es la fueza eléctica y la gavitatoia ente dos patículas alfa situadas en el vacío a 1 o A de distancia? Calcula también la elación ente ambas fuezas. La caga de la patícula es 3, 10-19 C y su masa es de 6,6 10-7 Kg. Solución: F e = 9, 10-8 N; F g =,9 10-43 N; F e /F g = 3, 10 35. 3.- Tes cagas iguales de μc cada una se sitúan en el vacío sobe los vétices de un tiángulo ectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm. Cuánto vale la fueza que actúa sobe la caga situada en el vétice del ángulo ecto? Solución: F = 11,47 N. Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-18

Física º Bachilleato 4.- Supón que las cagas de μc del poblema anteio se sitúan en los vétices de un tiángulo equiláteo de 10 cm de lado. ué fueza actuaá sobe cada una de ellas? Solución: F = 6,4 N. 5.- Tes cagas de μc cada una están situadas en los vétices de un tiángulo ectángulo isósceles. Se sabe que la fueza que actúa sobe la caga situada en el vétice del ángulo ecto vale 5,66 10 3 N. Cuánto miden los catetos del tiángulo? Solución: 1 = 3 mm. 6.- La caga de una esfea metálica A vale +0,066 μc y una segunda esfea metálica B tiene una caga de 0,06 μc. Las dos esfeas, que pueden considease puntuales, se ponen en contacto un momento. Se pegunta la fueza que actúa ente ellas cuando se sepaan nuevamente hasta que disten ente sí 30 cm. Solución: F = 4 10-5 N. 7.- Disponemos de tes bolitas esféicas conductoas idénticas, A, B y C, de adio tan pequeño, que se pueden considea puntuales. Las dos pimeas esfeillas están fijas a una distancia l=100 cm y tienen caga eléctica negativa, siendo la de A cinco veces mayo que la B. La esfeilla C se encuenta inicialmente en el estado neuto y se puede move libemente a la ecta AB hoizontal. A) Cogemos la bolita C con unas pinzas aislantes y ponemos en contacto con la A, dejándola luego en libetad. Detemina la posición en que dicha bolita C quedaá en equilibio. B) Volvemos a coge la bolita C con las pinzas, poniéndola en contacto con la B y dejándola posteiomente libe. Detemina la nueva posición de equilibio. Solución: a) a 0,613 m de la A; b) a 0,544 m de la A. 8.- Si situamos una caga positiva de μc en el oigen de coodenadas, encontamos que expeimenta una fueza de 8 10-4 N en la diección positiva del eje OX. A) Cuál es el valo y el sentido del campo eléctico en dicho punto? b) Cuál seía la fueza que se ejeceía en dicho punto sobe una caga negativa de 6 μc? Solución: a) E = 400 i (SI); b) F = -,4 10-3 i (SI). 9.- ué exceso de electones había que añadise a una esfea conductoa (en el vacío) de 10 cm de diámeto paa que en un punto muy póximo a su supeficie haya un campo de 10-3 N/C?. Solución: n = 1,74 10 3 electones. 30.- Tenemos un campo eléctico unifome, diigido veticalmente de abajo hacia aiba, cuya intensidad es de 10 4 N/C. a) Calcúlese la fueza ejecida po este campo sobe un electón. b) Compáese la fueza ejecida con el peso del electón. c) Calcúlese la velocidad que adquiiá el electón cuando haya ecoido 1 cm patiendo del eposo. D) Calcúlese le enegía cinética adquiida. E) Calcúlese el tiempo que necesita paa ecoe la distancia de 1 cm. (Datos: e = 1,6 10-19 C; m e = 9,1 10-8 g.) Solución: a) F = 1,6 10-15 N; b)f/p = 1,76 10 14 ; c)v = 5,93 10 6 m/s; d)e c = 1,6 10-17 J; e)t = 3,37 10-9 s. 31.- Dos cagas elécticas puntuales, una de + 1 3 nc y ota de - nc, distan ente sí 10 cm en vacío. Halla la 3 intensidad del campo eléctico en el punto medio del segmento que une ambas cagas. Y si las dos cagas fuean positivas? Solución: E = 3,6 10 3 N/C; E = 1, 10 3 N/C. 3.- De dos hilos de 1 cm de longitud, sujetos al mismo punto del techo, cuelgan dos esfeillas iguales, de 1 gamo de masa cada una. Se cagan idénticamente ambas esfeillas, con lo cual se epelen hasta que sus hilos foman ente si un ángulo de 90º. Halla el valo de la caga eléctica comunicada a cada esfea. Solución: = ±1,475 μc.. 33.- Dos esfeillas sumamente pequeñas, de 0 g de masa cada una y cagadas negativamente con la misma caga, están situadas en los extemos de dos hilos de seda de 1 m de longitud, suspendidos del mismo punto. En la posición de equilibio cada hilo foma con la vetical un ángulo de 30º. A) Calcula la tensión de los hilos en la posición de equilibio. B) Halla la caga de cada esfea. C) Si se descaga una de las esfeillas, Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-19

Física º Bachilleato calcula la velocidad de la ota cuando pasa po la vetical. D) Si se desea que al descagase una de las esfeillas la ota pemanezca en la misma posición de equilibio inicial, halla el valo, en módulo, diección y sentido, del campo eléctico que seá necesaio aplica. Solución: A) T=0,6 N; B) =-3,54 μc; C) v=1,6 m s -1 ; D) E=3,19 10 4 N/C, en la misma diección y sentido contaio al de la fueza que antes actuaba. 34.- Disponemos de dos globos exactamente iguales, de masas muy pequeñas, que, tas se llenados con helio en condiciones nomales de tempeatua y pesión, se unen mediante dos hilos, a los que se ata un cuepo de 8 g. En el cento de ambos globos se colocaon peviamente dos cagas elécticas positivas iguales,. Tas alcanza el equilibo, el conjunto adquiee la disposición que se indica en la figua. Detemina: A) La tensión en los hilos, B) La caga. Solución: A) T=4,9 10 - N; B) = 1,7 μc. 8 m 1 m 35.- Dos pequeños péndulos elécticos están sujetos del mismo punto y sus espectivos hilos de suspensión, de masa despeciable, son de la misma longitud, de tal foma que ambas esfeas están en contacto. Se cagan las dos esfeas con la misma caga, epeliéndose hasta que los hilos de ambos péndulos foman un ángulo de 90. Detemina que facción de la caga oiginal han pedido cuando el ángulo ente ambos se educe a 60º. Solución: / = 0,463. 36.- Supongamos dos cagas positivas e iguales sepaadas po una distancia a. Po el punto medio del segmento que las une se taza un plano pependicula al segmento. El luga geomético de los puntos de dicho plano en que la intensidad de campo es máxima es, po azón de simetía, una cicunfeencia. Calcula su adio. a Solución:. 37.- Si en un campo eléctico abandonamos libemente una caga eléctica, se desplazaá siguiendo la línea de fueza que pasa po el punto inicial? 38.- Una esfea metálica conductoa tiene una densidad supeficial de caga de 8,85 10-8 C m -. Calcula el adio de dicha esfea, sabiendo que la intensidad del campo eléctico ceado po ella en un punto situado exteiomente a m de su supeficie es 3 600 N/C. Solución: R = 3 m. C 4nC y A -4nC x o B -4nC 39.- Halla el vecto intensidad de campo en el cento de masas del tiángulo equiláteo de la figua, cuyo lado mide 3 m, estando situadas en sus vétices las cagas que se indican. Solución: E = 7 i (SI). 40.- Si se toma la tiea como oigen de potenciales, po qué en la definición de esta magnitud decimos que V = 0 paa? 41.- Una caga de 600 fánklines cea un campo eléctico en el vacío. Calcula: A) La intensidad en un punto del campo situado a 3 mm de la caga; B) El potencial en dicho punto; C) La fueza con que el campo actúa sobe una caga puntual de 1 μc colocada en dicho punto. Solución: A)E = 10 8 N/C; B) V = 6 10 5 V; C)F = 00 N. 4.- Una caga de 5 μc cea un campo eléctico en el aie. A) Cuánto vale el potencial en dos puntos situados a 3 cm y 5 cm, espectivamente, de la caga?. B) ué tabajo se ealiza al taslada una caga de μc desde un punto a oto? Solución: A)V 1 = 1,5 10 6 V; V = 9 10 5 V; B)W = 1, J. Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-0

Física º Bachilleato 43.- Dos cagas puntuales de +5 10-9 C se encuentan situadas en los puntos (3,0) y (-3,0), espectivamente, estando sus coodenadas expesadas en metos. Calcula el campo y el potencial electostáticos en el punto (0, 4). Solución: E = 14,4 j (N/C); V = 90 V. 44.- En los puntos de la figua, efeidos a un sistema plano de ejes coodenados y que coesponden a los vétices de un hexágono egula de 5 cm de lado, están situadas las y + + cagas que se indican (=1 nc). Halla el valo del campo eléctico x en el oigen de coodenadas, que coincide con el cento del hexágono. Solución: E = - 14 400 j (SI). + - - - 45.- Dadas dos cagas de +3 10-9 C y -4 10-9 C, colocadas, espectivamente, en los puntos (4,0,0) y (0,0,4), calcula: A) el potencial eléctico en el punto (0,3,0); B) el tabajo necesaio paa lleva una caga de pueba (1C) desde este punto al (0,0,0). Las coodenadas están expesadas en metos. Solución: a)v = -1,8 V; B)W = 0,45 J (ealizado po las fuezas del campo). 46.- Detemina el campo eléctico y el potencial en el punto P, vétice ecto de un tiángulo ectángulo de catetos 3 y 4 metos, sabiendo que la caga más lejana es de -4μC y la más cecana es de μc. Calcula el tabajo necesaio paa tanspota una caga =-3μC desde el punto P hasta el punto medio de la hipotenusa. Solución: E p = 3,01 10 3 N/C; V p = -3 10 3 V; W = -1,6 10 - J (conta las fuezas del campo) 47.- Se tienen dos cagas elécticas puntuales: 1 = 0 nc y = -0 nc, situadas en la base de un tiángulo isósceles de lados iguales 4 metos y base 6. Calcula: A) el potencial eléctico en el vétice supeio (sin caga); B) el tabajo que es necesaio ealiza paa taslada una caga puntual de +4 nc desde el punto B, situado en la base del tiángulo y a metos de la caga negativa, hasta el punto A. Solución: a)v A = 0 V; B)W = -1,8 10-7 J (conta las fuezas del campo). 48.- En un punto situado a una cieta distancia de una caga puntual el potencial eléctico es de 1 00 V y el campo eléctico en ese mismo punto es 400 N/C. Detemina el valo de la caga y a qué distancia de ella está situado el punto en cuestión. Solución: = 4 10-7 C; = 3 m. 49.- En los puntos (1, 0) y (0, 1) de un sistema catesiano plano, cuyas dimensiones se expesan en metos, existen dos cagas fijas de +1/9 y -1/3 μc, espectivamente. A) el valo de la intensidad del campo eléctico en el oigen de coodenadas. Hágase un esquema vectoial clao; B) el valo del potencial eléctico en el oigen y en el punto (1, 1); C) el tabajo necesaio paa taslada una caga de +3 μc desde el oigen al punto (1, 1). Solución: A) E = -1 000 i + 3 000 j (SI); B) V (0,0) = - 000 V; V (1,1) = - 000 V; C) W = 0 J. 50.- Dos gotas de agua, aisladas, de adios 0,5 mm y 0,8 mm, están cagadas con 40 uee y 50 uee, espectivamente. Dichas gotas eúnen paa oigina una sola gota. Calcula: a) El adio de esta gota; B) La caga total que adquiee; C) El potencial en un punto de su supeficie. Solución: a) R = 8,6 10-4 m; b) = 90 uee; c) V = 3,14 10 5 V. 51.- Dos pequeñas esfeas metálicas, A y B, cuyos adios espectivos son: A = 1 cm y B = 4 cm, colocadas a 1 m de distancia en el vacío y cagadas con electicidades del mismo signo, se epelen con una fueza de 10-3 N. Se las pone en contacto y se las coloca luego a una distancia igual a la cuata pate de antes, siendo entonces la fueza de epulsión ente ellas de 5,76 10-3 N. Calcula: A) la caga inicial de las dos esfeas; B)el potencial eléctico que tienen al final. Solución: a) A = 1/3 μc; B =/3 μc; b) V = 1,8 10 5 V. Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-1

Física º Bachilleato 5.- Una misma cantidad de electicidad se distibuye en una esfea de adio 10 cm y en ota de adio 0 cm. Calcula: a) La elación de densidades elécticas; b) La elación ente los espectivos potenciales en cada una de las supeficies. Solución: a) σ 1 /σ = 4; b) V 1 /V =. 53.- Se tienen dos cagas iguales y de signos contaios, situadas la pimea,, en el punto (0, 0, 0) y la segunda, -, en el punto (0,, 0). Detemínese la función escala del potencial en cada punto del campo. Calcúlese, asimismo, la ecuación de la supeficie equipotencial. 1 Solución: V ; el plano y = 1. 4 o x y z x ( y ) z 54.- La intensidad de un campo eléctico vaia según la expesión: E = x 3 3x (SI). Calcula la difeencia de potencial ente dos puntos A y B, deteminados po las coodenadas X A = 0 y X B = m. Solución: V B V A = 4V. 55.- En el oigen de coodenadas se encuenta situada una caga puntual positiva de nc, mientas que ota puntual, negativa, de 5 nc, está fija, sobe el eje de odenadas, a 4 m del oigen. Detemina: A) la intensidad de campo eléctico en el punto A, situado a 3 m del oigen sobe el eje de abscisas; b) El tabajo que es necesaio ealiza paa taslada una caga de nc desde B, cuyas coodenadas son (6, 8) metos, a A. Solución: a) E 0,9i1, 44 j (SI); b) W = -,88 10-9 J (conta las fuezas del campo). 56.- El potencial eléctico en un punto viene dado po la ecuación: V = 4x + y z 3 en la que V se expesa en voltios y las coodenadas x, y, z en metos. Detemina el vecto intensidad de campo eléctico en el punto (,-1,1). Solución: E 4i4j 3k 57.- Calcula el flujo de campo eléctico que ataviesa un hemisfeio de adio R, situado en el inteio de un campo E unifome y paalelo al eje del hemisfeio. Solución: R E. 58.- Ocho cagas iguales de 5 10-4 C se encuentan en los vétices de un cubo egula de 1 m de lado. En el cento del cubo se encuenta situada una novena caga de valo -7 10-3 C. Si consideamos una supeficie esféica con cento coincidente con el del cubo y adio R, calcula el flujo del campo eléctico ceado a tavés de dicha supeficie, en los siguientes supuestos: a)el adio de la esfea tiene un valo R 1 = 0,5 m; B)el adio de la esfea vale R = m. Solución: a) = -7,9 10 8 V m; b) = -3,4 10 8 V m. 59.- Dos cagas elécticas puntuales, de 3 μc, se encuentan fijas en los puntos de coodenadas (, 0) y (0, 1) soltamos una patícula de 30 gamos de masa y caga 0,5 μc. ué velocidad tendá está patícula al pasa po el punto (0, 3)? Considea despeciables las fuezas gavitatoias. Las coodenadas están expesadas en metos. Solución: v = 0,555 m/s. 60.- Una bolita de 1 g cagada con +5μC pende de un hilo que foma 60 con la vetical en una egión en la que existe un campo eléctico unifome en diección hoizontal. a) Explique con ayuda de un esquema qué fuezas actúan sobe la bolita y calcule el valo del campo eléctico. b) Razone qué cambios expeimentaía la situación de la bolita si: 1) Se duplicaa el campo eléctico. ) Si se duplicaa la masa de la bolita. Solución: a) T= 10 - N, F e =1,73 10 - N, E=3,46 10 3 N C -1 b) 1) Aumenta α, Aumenta T ) Disminuye α, Disminuye T 61.- Tes cagas de 1, - y 1μC se encuentan en los tes vétices consecutivos (3,0); (3,3); (0,3) de un cuadado de 3m de lado. Calcula: a) La intensidad del campo eléctico y el potencial en el cuato vétice. Raúl González Medina 011 Campo Eléctico VI-