Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción permitida bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU.

Capítulo 2 Ecuaciones y desigualdades 2.1. Ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas. Las variables que constituyen los miembros de una ecuación pueden representar cantidades físicas que modelan fenómenos particulares o pueden ser cantidades abstractas. Ejemplos: Caida de un cuerpo: Ecuación en y: Ecuación en x: Ecuación de las lentes: s = 1 2 gt2 + v 0 t 3y + 5 = 0 1 x + 1 = x + 2 1 f = 1 p + 1 q 1

2 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ecuación en z: Capital más interés: 3z 2 + z = 1 z A = P + P rt Terminología Definición Ejemplo Ecuación en x Igualdad que contiene la variable x x x 2 = 3x + 1 Solución o raíz, de una ecuación en x Resolver una ecuación en x Un número, digamos b, que al sustituirlo por x nos da una igualdad. Encontrar todas las soluciones de la ecuación b = 2 es solución de la ecuación: x 2 16 = 10 x Las soluciones de x 2 + x 2 = 0, que equivale a resolver (x + 2)(x 1) = 0, son x = 2 y x = 1 Teorema 2.1.1 Para todo par de variables P y Q, P Q = 0 P = 0 ó Q = 0 Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: Lineal: Cuadrática: Ecuación en x: 2x + 5 = 0 9x 2 8x + 1 = 0 1 x + 1 = x + 2

2.1. ECUACIONES 3 Expresión racional (reducible a lineal): 3 7x 2 = 6 2x + 1 Expresión racional (reducible a cuadrática): 4 x 3 = 5 6 + 5 3x 9 No es lineal ni cuadrática: x 3 x 2 + x 1 = 0 2.1.1. Ecuación lineal Son ecuaciones que se pueden escribir en la forma ax + b = 0 (2.1) donde a 0. Sólo poseen como solución a x = b a. Ejemplo 2.1.2 Resuelva la ecuación 5x + 3 = 25 + x. 5x + 3 = 25 + x 5x = 28 + x 4x = 28 x = 7 ecuación original sumamos 3 a ambos lados sumamos x a ambos lados dividimos entre 4 a ambos lados 2.1.2. Ecuación cuadrática Son ecuaciones que se pueden escribir en la forma ax 2 + bx + c = 0 (2.2)

4 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES Esta ecuación admite tres posibles tipos de soluciones (o raíces): dos números reales diferentes; un número real doble, o dos números complejos conjugados, dependiendo de que su discriminante = b 2 4ac sea positivo, cero o negativo respectivamente. Existen varios métodos para encontrar las soluciones de (2.2) y uno de e- llos, el que a continuación presentamos, se basa en el método de completación de cuadrados. Consideramos ax 2 + bx + c = 0 con a 0. En el caso a = 0, (2.2) se reduce a la ecuación lineal (2.1). Dividimos entonces ambos lados de (2.2) entre a x 2 + b a x + c a = 0, pasamos a restar el término independiente x 2 + b a x = c a y sumamos a ambos lados de la última igualdad la mitad del coeficiente que acompaña a x elevado al cuadrado ( completamos el cuadrado ): x 2 + b ( ) 2 b a x + = c ( ) 2 b 2a a + (2.3) 2a El lado izquierdo de (2.3) es un cuadrado perfecto, y para el lado derecho de (2.3) tenemos x 2 + b ( ) 2 ( b a x + = x + b ) 2 (2.4) 2a 2a c ( ) 2 b a + = c 2a a + b2 4ac + b2 = 4a2 4a 2 Al igualar (2.4) y (2.5) obtenemos ( x + b ) 2 = b2 4ac 2a 4a 2 = b2 4ac 4a 2 (2.5)

2.1. ECUACIONES 5 luego y por tanto x + b 2a = ± b2 4ac b2 4ac = ± 4a 2 2a x = b 2a ± b2 4ac 2a = b ± b 2 4ac 2a Las soluciones van a estar dadas por x = b + b 2 4ac 2a y x = b b 2 4ac 2a. (2.6) y van a depender del signo del discrimante = b 2 4ac: Si = b 2 4ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas. Si = b 2 4ac = 0 la ecuación tiene sólo una solución que es real. Si = b 2 4ac < 0 la ecuación tiene dos soluciones complejas. Ejemplo 2.1.3 Resuelva la ecuación x + 1 3x + 2 = x 2 2x 3 x + 1 3x + 2 = x 2 2x 3 ecuación original (x + 1)(2x 3) = (x 2)(3x + 2) pasamos a multiplicar los denominadores 2x 2 x 3 = 3x 2 4x 4 desarrollamos los productos x 2 3x 1 = 0 pasamos todo al lado izquierdo Al aplicar (2.6) a la última ecuación con a = 1, b = 3 y c = 1 obtenemos las soluciones x = 3 + 13 2 y x = 3 13 2.

6 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES 2.1.3. Solución de problemas Las siguientes son algunas recomendaciones para la solución de problemas. Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la cantidad desconocida (o incógnita). Relacione los datos conocidos con la incógnita a través de una ecuación. Resuelva la ecuación y compruebe las soluciones obtenidas. Ejemplo 2.1.4 Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3 cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60 cm 3? Paso 1. identificamos los datos e incógnitas del problema: Ancho = L cm Largo = 2L cm Cortes = 3 cm Paso 2. Relacionamos los datos y las incógnitas a través de una ecuación: Volumen de la caja = base altura

2.2. DESIGUALDADES 7 Paso 3. Planteamos la ecuación, la resolvemos y verificamos las soluciones: 3(2L 6)(L 6) = 60 L 2 9L + 8 = 0 (L 8)(L 1) = 0 y entonces L = 8 ó L = 1. Con L = 1 no es posible construir una caja con las dimensiones pedidas, mientras que con L = 8 sí. La solución es por tanto L = 8. 2.2. Desigualdades Una desigualdad es un enunciado en el que dos cantidades o expresiones no son necesariamente iguales. Como ejemplos podemos citar x < 2, a b + c, 3x 2 x + 5 > 0, etc. Al sustituir las variables de una desigualdad por números podemos obtener expresiones verdaderas o falsas. Por ejemplo, al sustituir x = 2 en 4x 1 > 0 obtenemos la proposición verdadera 7 > 0, mientras que al sustituir x = 0 obtenemos la proposición falsa 1 > 0. Si al sustituir un número en una desigualdad obtenemos una proposición verdadera, se dice que dicho número es una solución de la desigualdad. Resolver una desigualdad signfica encontrar todas sus soluciones. Algunas desigualdades no poseen soluciones, por ejemplo x 2 < 0 no posee soluciones reales porque todo número real al cuadrado es mayor o igual a cero. Otras desigualdades como 1 < x < 3 poseen infinitas soluciones, a saber, todo número real x entre 1 y 3. Al conjunto formado por todas las soluciones de esta desigualdad lo denotamos por ( 1, 3) y se le denomina intervalo abierto. Si a y b son números reales tales que a < b, los siguientes son otros posibles tipos de intervalos: (a, b) = {x R : a < x < b}. [a, b] = {x R : a x b}. [a, b) = {x R : a x < b}. (a, b] = {x R : a < x b}. (a, ) = {x R : x > a}. [a, ) = {x R : x a}. (, b) = {x R :< x < b}. (, b] = {x R :< x b}. (, ) = {x : < x < }.

8 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES Las siguientes propiedades nos ayudarán a resolver desigualdades. Proposición 2.2.1 (Propiedades de las desigualdades) Para todo a, b, c R se satisfacen las siguientes propiedades. a 2 0. a < b = a + c > a + b. c > 0 y a < b = ac < bc. c < 0 y a < b = ac > bc. a > 0 = 1 a > 0. a < 0 = 1 a < 0. Ejemplo 2.2.2 Resuelva la desigualdad x 2 x 6 1 x 0. Factorizamos el numerador y aplicamos la ley de los signos a (x + 2)(x 3) (1 x) 0. La imagen presentada a continuación muestra como cambian los signos para cada una de las expresiones que componen la fracción. La solución está dada por el conjunto (, 2] (1, 3]

2.2. DESIGUALDADES 9 Recordemos que el valor absoluto de un número real x está dado por { x si x 0 x = x si x < 0 Las siguientes propiedades relacionan el valor absoluto con las desigualdades. Proposición 2.2.3 (Desigualdades con valor absoluto) x a a < x < a x a x a ó x a Estas propiedades nos permiten resolver el siguiente tipo de desigualdades con valor absoluto. Ejemplo 2.2.4 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 x 2 < 2 (2.7) La primera propiedad de la proposición (2.2.3) nos permite escribir (2.7) como que equivale a 2 < x + 4 x 2 2 < x + 4 x 2 < 2 y x + 4 x 2 < 2 y resolvemos cada una de estas desigualdades con el método gráfico mostrado en el ejemplo anterior. La solución total será la intersección de las soluciones de cada una de las desigualdades. Para la primera desigualdad tenemos 0 < 2 + x + 4 x 2 = 0 < 3x x 2 Los cambios de signo para cada una de las expresiones que componen la fracción se muestran a continuación

10 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES y el conjunto solución está dado por Para la segunda desigualdad tenemos S 1 = (, 0) (2, + ) (2.8) x + 4 x 2 2 < 0 = 8 x x 2 < 0 Los cambios de signo para cada una de las expresiones que componen la fracción se muestran a continuación y el conjunto solución está dado por S 2 = (, 2) (8, + ) (2.9) (2.9) La solución de (2.7) está dada por la intersección de las soluciones (2.8) y S = S 1 S 2 = (, 0) (8, + )

2.3. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 11 2.3. Sistema de coordenadas rectangulares Vimos ya como a cualquier número real se le puede asociar un punto sobre la recta numérica y cualquier punto sobre la recta puede representarse como un número real de manera única. En esta sección veremos como asociar a un par ordenado (x, y) de números reales un punto en el plano y viceversa. Iniciamos introduciendo un par de rectas numéricas perpendiculares que se cortan en el origen. A la recta horizontal se le denomina eje x y a la recta vertical se le denomina eje y y dividen el plano coordenado en cuatro partes llamadas primer cuadrante, segundo cuadrante, tercer cuadrante y cuarto cuadrante que se enumeran en el sentido contrario a las manecillas del reloj. A cada punto del plano se le puede asignar un par ordenado (a, b) donde a es la coordenada x (absisa) y b es la coordenada y (ordenada). Por ejemplo, al punto P que aparece en la figura le asignamos el par ordenado (3, 5).

12 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES Así como a un par de puntos a y b de la recta numérica se le puede asignar una distancia d(a, b) = b a, a un par de puntos P 1 y P 2 en el plano se les puede asignar una distancia d(p 1, P 2 ) por medio del teorema de Pitágoras. Proposición 2.3.1 (Fórmula de la distancia) La distancia d(p 1, P 2 ) entre dos puntos P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) del plano cartesiano está dada por d(p 1, P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (2.10) Observemos que d(p 1, P 2 ) > 0 y d(p 1, P 2 ) = d(p 2, P 1 ). Consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.3.2 Determine la distancia entre los puntos A( 3, 6) y B(5, 1). d(a, B) = (5 ( 3)) 2 + (1 6) 2 = 8 2 + ( 5) 2 = 64 + 25 = 89 Para un par de puntos a y b en la recta numérica podemos encontrar el punto medio entre a y b por medio de a+b. De manera análoga, para un par de puntos P 2 1 y P 2 en el plano es posible encontrar el punto medio del segmento de recta que une dichos puntos. Proposición 2.3.3 (Fórmula del punto medio) El punto medio M del segmento de recta con extremos en P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) está dado por ( x1 + x 2, y ) 1 + y 2 (2.11) 2 2

2.4. GRÁFICAS DE ECUACIONES 13 Consideremos los siguientes ejemplos. Ejemplo 2.3.4 Halle el punto medio del segmento con extremos en A( 5, 0) y B( 3, 2). Por la fórmula de punto medio (2.11) tenemos ( x1 + x 2, y ) ( 1 + y 2 5 + ( 3) =, 0 + ( 2) ) = ( 4, 1) 2 2 2 2 Ejemplo 2.3.5 Dado A( 3, 8), encuentre las coordenadas del punto B tal que C(5, 10) es el punto medio del segmento AB. La incógnita del problema es el punto B(x, y). Como C es el punto medio del segmento AB, por (2.11) ( 3 + x (5, 10) =, 8 + y ) 2 2 por lo cual 5 = 3 + x 2 = 10 = 3 + x = x = 13, 10 = 8 + y 2 = 20 = 8 + y = y = 28, y por tanto el punto solicitado es B(13, 28). 2.4. Gráficas de ecuaciones Aunque en los ejemplos antes vistos, las ecuaciones resueltas involucraban sólo una variable, existe una gran variedad de situaciones donde dos o más variables se relacionan por medio de una ecuación. Las variables relacionadas en una ecuación pueden representar cantidades que sirven para modelar fenómenos de la vida diaria. Resolver una ecuación nos puede permitir modelar fenómenos de interés. Por ejemplo, las soluciones de una ecuación que relaciona el flujo de temperatura a lo largo de una barra metálica durante el tiempo nos puede permitir conocer la temperatura en un punto de la barra en un tiempo futuro.

14 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES En ocasiones, la información numérica contenida en una ecuación resulta más ilustrativa cuando se presenta por medio de gráficas. Podemos citar por ejemplo el COL20, un indicador de rentabilidad o liquidez que refleja las variaciones de los precios de las 20 acciones más liquidas de la Bolsa de Valores de Colombia, donde el nivel de liquidez de cada compañía determina su ponderación. La figura muestra las fluctuaciones del COL20 durante octubre y noviembre del 2008. Su valor inicial es equivalente a 1.000 puntos y su primer cálculo se realiza el día 15 de Enero de 2008. La gráfica de una ecuación en dos variables x e y es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación. Por ejemplo el punto (1, 0) pertenece a la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = 1 mientras que (2, 3) no, puesto que 2 2 + 3 2 1. Surge entonces la pregunta de cómo trazar la gráfica de una ecuación. Ejemplo 2.4.1 Trace la gráfica de la ecuación y = x + 1. Ubicaremos algunos puntos de la gráfica por medio de la ecuación. Por ejemplo, si x = 1, y = 1 + 1 = 2. x y 3 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 3

2.4. GRÁFICAS DE ECUACIONES 15 Ejemplo 2.4.2 Trace la gráfica de la ecuación y = x 2 1. En la tabla aparecen algunos de los puntos que utilizamos para trazar la gráfica. Por ejemplo, si x = 2, y = 2 2 1 = 3. x y 2 3 1,5 1,25 1 0 0 1 0 1 1 0 1,5 1,25 2 3 La gráfica de la figura anterior es una parábola. El punto más bajo (0, 1) es el vértice de la párabola. Ejemplo 2.4.3 Encuentre los puntos de corte de la gráfica de la ecuación y = 4x 2 5 con el eje x y el eje y. Para los puntos de intersección con el eje x, tenemos que y = 0 y por tanto y = 4x 2 5 = 0 = 4x 2 5 = 4x 2 = 5 = x 2 = 5 5 = x = ± 4 2 y así los puntos de corte de la parábola y = 4x 2 5 con el eje x están dados por ( ) ( ) 5 5 2, 0 y 2, 0. Para los puntos de intersección con el eje y, tenemos que x = 0, por lo cual y = 4x 2 5 = y = 5 y por tanto sólo hay un corte con el eje y dado por (0, 5).

16 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ejemplo 2.4.4 Trace la gráfica de la ecuación y = x 3. En la tabla aparecen algunos de los puntos que utilizamos para trazar la gráfica. Por ejemplo, si x = 1, y = 1 3 = 1. x y 1,5 3,375 1,2 1,728 1 1 0 0 1 1 1,2 1,728 1,5 3,375 Las gráficas de las ecuaciones anteriores presentan cierta simetría. Por ejemplo, para la parábola y = x 2 1, su gráfica está dada por el conjunto G = {(x, y) : y = x 2 1} y observemos que la parte izquierda de la gráfica (cuando x < 0) coincide con su parte derecha (cuando x > 0). Esto es así porque (x, y) G = y = x 2 1 = ( x) 2 1 = x 2 1 = y = ( x, y) G. Se dice que la gráfica G de una ecuación en dos variables x e y es simétrica con respecto al eje y si (x, y) G = ( x, y) G. Para la ecuación y = x 3, su gráfica está dada por el conjunto G = {(x, y) : y = x 3 }

2.4. GRÁFICAS DE ECUACIONES 17 y observemos la simetría de la parte izquierda de la gráfica (cuando x < 0) con su parte derecha (cuando x > 0). En este caso (x, y) G = y = x 3 = ( x) 3 = x 3 = y = ( x, y) G. Se dice que la gráfica G de una ecuación en dos variables x e y es simétrica con respecto al origen si (x, y) G = ( x, y) G. Finalmente, la gráfica G de una ecuación también puede ser simétrica con respecto al eje x si se satisface: Como ejemplo consideremos (x, y) G = (x, y) G. Ejemplo 2.4.5 Trace la gráfica de la ecuación y 2 = x. 2.4.1. Ecuación de la circunferencia Sea C(h, k) un punto del plano y r > 0. Una circunferencia con centro en C y radio r es el conjunto de todos los puntos del plano que se encuentran a una distancia r del punto C. Por consiguiente, un punto del plano P (x, y) está sobre la circunferencia si, y sólo si, d(p, C) = r, i.e., (x h)2 + (y k) 2 = r

18 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES y por tanto la circunferencia está formada por todos los puntos del plano (x, y) que satisfacen (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 (2.12) Ejemplo 2.4.6 Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (0, 3) y tiene como centro a C(3, 0). Conocemos el centro de la circunferencia (h = 3, k = 0) y el radio está dado por r = d(c(3, 0), P (0, 3)). Luego y por tanto r = d(c(3, 0), P (0, 3)) = (3 0) 2 + (0 3) 2 = 3 2 (x 3) 2 + (y 0) 2 = (x 3) 2 + y 2 = 18. ( 3 ) 2 2 A la ecuación (2.12) se le denomina ecuación estándar de la circunferencia. En el ejemplo anterior la ecuación estándar viene dada por (x 3) 2 + y 2 = 18

2.4. GRÁFICAS DE ECUACIONES 19 que también se puede expresar como x 2 6x + y 2 9 = 0. En general, al desarrollar los productos en la ecuación estándar (2.12), toda circunferencia se puede expresar matemáticamente como x 2 + y 2 + ax + by + c = 0. (2.13) El procedimiento de completación de cuadrados nos permite obtener la ecuación estándar de una circunferenca (2.12) a partir de una ecuación como en (2.13), como lo ilustra el ejemplo dado a continuación. Ejemplo 2.4.7 Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es 2x 2 + 2y 2 12x + 4y 15 = 0. Empezamos simplificando la ecuación (dividimos entre 2 a amabos lados): agrupamos completamos cuadrados x 2 + y 2 6x + 2y 15 2 = 0, (x 2 6x) + (y 2 + 2y) = 15 2, por lo cual ( x 2 6x + 9 ) + ( y 2 + 2y + 1 ) = 15 2 + 9 + 1, (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 35 2 y por tanto, al comparar con la ecuación estándar (2.12) obtenemos que el centro de la circunferencia está dado por C(h, k) = C(3, 1) y su radio está dado por r = 35 2 = 70 2

20 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES 2.4.2. Rectas Consideraremos rectas en el plano cartesiano y utilizaremos los métodos algebraicos ya vistos para estudiar sus propiedades. Dada una recta l en el plano, buscamos una ecuación general cuya gráfica corresponda con l y recíprocamente, dada una ecuación de una recta, nos interesa determinar su gráfica. En el ejemplo (2.4.1) se muestra una recta que corresponde a la gráfica de la ecuación y = x + 1. Esta ecuación es un caso particular de una ecuación general que a continuación veremos. Sea l una recta no paralela al eje y y P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) puntos distintos sobre l. La pendiente m de l se define como m = y 2 y 1 x 2 x 1 Si l es paralela al eje y, la pendiente no está definida. La pendiente nos indica que tan inclinada puede estar una recta. Rectas horizontales tienen pendiente cero, mientras que para rectas verticales no está definida la pendiente. El siguiente ejemplo ilustra algunas de las situaciones que se pueden presentar. Ejemplo 2.4.8 Trace la recta que pasa por cada par de puntos y encuentre su pendiente m. 1. P 1 ( 4, 1) y P 1 (3, 4). 2. P 1 ( 3, 3) y P 2 (1, 1). 3. P 1 ( 3, 3) y P 2 (2, 3). 4. P 1 ( 2, 1) y P 2 ( 2, 3).

2.4. GRÁFICAS DE ECUACIONES 21 (a) m = 4 ( 1) 3 ( 4) = 5 7 (b) m = 1 3 1 ( 3) = 2 4 = 1 2 (c) m = 2 2 2 ( 3) = 0 (d) Pendiente no definida La pregunta ahora es cómo hallar la ecuación de una recta. Supongamos que l es una recta no vertical que pasa por P 1 (x 1, y 1 ) con pendiente m y que P (x, y) es un punto arbitrario de l distinto de P 1. Por la definición de pendiente, y por tanto m = y y 1 x x 1 y y 1 = m(x x 1 ). (2.14) A la ecuación (2.14) se le conoce como la forma punto-pendiente para la ecuación de una recta. Ejemplo 2.4.9 Encuentre la ecuación de la recta que interseca al eje y en 2 y tiene pendiente m = 4/5.

22 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES La recta pasa por el punto P 1 (0, 2). De (2.14) con m = 4/5 obtenemos y 2 = 4 5 (x 0) = y = 4 5 x + 2. La forma punto-pendiente (2.14) de una recta puede epxresarse como y y 1 = m(x x 1 ) = y y 1 = mx mx 1 = y = mx + y 1 mx } {{ } 1 constante y obtenemos una ecuación de la forma y = mx + b (2.15) con b = y 1 mx 1 constante. A (2.15) se le llama forma pendiente-intersección para la ecuación de la recta. Cuando x = 0, y = b y por tanto b representa el punto de intersección de la gráfica con el eje y. En el ejemplo anterior la recta corta al eje y en (0, 2). 2.5. Funciones Las funciones son un tipo de correspondencia matemática que establece una relación entre elementos de dos conjuntos. Podemos encontrar situaciones por ejemplo en las que se establecen diversos tipos de relaciones: A cada ciudadano se le asigna un único número de identificación (cédula, etc.) A cada producto en un supermercado se le asigna un número (código de barras). A cada punto del espacio en una habitación se le asigna una temperatura. Una función f de un conjunto X en un conjunto Y es una correspondencia denotada por f : X Y tal que a todo elemento x X le asigna exactamente un elemento y Y. Al conjunto X ( conjunto de salida ) se le denomina dominio de la función mientras que al conjunto Y ( conjunto de llegada ) se le denomina codominio. A

2.5. FUNCIONES 23 un elemento x X del dominio se le denomina argumento de la función f y el elemento que se le asigna a x se le denomina la imagen de x a través de f y se denota por f(x). El conjunto de todas las imagenes de una función es un subconjunto del codominio Y llamado rango de la función y está dado por y se le acostumbra a denotar por f(x). R = {f(x) : x X}. Dos funciones f y g son iguales si tienen los mismos dominios y codominios y si f(x) = g(x) para todo x en el dominio. Consideremos los siguientes ejemplos. Ejemplo 2.5.1 Dominio = X = {1, 2, 3, 4}. Codominio = Y = {a, b, c, d}. Rango = f(x) = {b, d}. Los valores de la función vienen indicados por las flechas: f(1) = b, f(2) = c, f(3) = d y f(4) = b. En este ejemplo dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen: f(1) = f(4) = b, mientras que a ningún elemento del dominio se le asignó el elemento a Y del codominio. Esta correspondencia es una función. Ejemplo 2.5.2 En este ejemplo al elemento 1 X no se le asignó elemento alguno en Y y por tanto esta correspondencia no es una función. Lo mismo ocurre con el elemento 4 X.

24 CAPÍTULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ejemplo 2.5.3 En este ejemplo a diferencia del anterior, a todo elemento en X se le asignan elementos en Y sin embargo al elemento 3 X se le asignan dos elementos distintos en Y y por tanto esta correspondencia no es una función. Ejemplo 2.5.4 Considere la función f : R R tal que f(x) = x 2 + 4. Evalúe la función en los puntos a continuación pedidos y determine el rango de la función. f( 1) f( 2) f( x) f(a + b) f(a + h) f(a) h f(x) = x 2 + 4 implica f( 1) = ( 1) 2 + 4 = 1 + 4 = 3 f( 2) = ( 2) 2 + 4 = 2 + 4 = 2 f( x) = ( x) 2 + 4 = x 2 + 4 = f(x) f(a + b) = (a + b) 2 + 4 = a 2 2ab b 2 + 4 y para el último punto f(a + h) f(a) h = (a + h)2 + 4 ( a 2 + 4) h = a2 2ah h 2 + 4 + a 2 4 h 2ah h2 h( 2a h) = = h h = 2a h.

2.5. FUNCIONES 25 Finalmente, como x 2 0 para todo x R, x 2 0 = x 2 + 4 4 y por tanto el rango de la función es el conjunto de todos los reales positivos menores o iguales a cuatro: (, 4) Si una función se define por medio de una expresión tipo y = f(x), como en el ejemplo anterior, y no se especifique el dominio de la misma, asumieremos que éste viene dado por el conjunto de todos los valores de x para los cuales f(x) esté definida. Ejemplo 2.5.5 Determine el dominio de la siguientes funciones. g(x) = x 2 h(x) = 3 x 2 3 f(x) = x + 5 g(x) = x 2. El dominio de g es R y su rango (o imagen) es R + {0}. h(x) = 3 x 2 9. Su dominio son todos los reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea 0. Es decir, {x R : x 3 ó x 3}. f(x) = x + 5. El dominio de f son los reales x tales que x + 5 0. Es decir, {x R : x 5} = [ 5, + )