Parte I. Iniciación a los Espacios Normados

Parte I Iniciación a los Espacios Normados

Capítulo 1 Espacios Normados Conceptos básicos Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E en R que satisface las tres propiedades siguientes: 1. x = 0 si y sólo si x = 0 2. λx = λ x, λ K, x E 3. x + y x + y, x, y E Al número real x se le denomina norma del vector x y se dice que el par (E, ) es un espacio normado. Ejemplos 1.1 (1) Las únicas normas sobre R son el valor absoluto y sus múltiplos positivos. En efecto, sea una norma cualquiera sobre R y sea k = 1. Entonces x = x 1 = x 1 = k x. (2) En R n las normas más utilizadas son ( n ) 1/p (x 1,..., x n ) p = x i p, p 1 i=1 (x 1,..., x n ) = max{ x 1,..., x n }. La comprobación, en las del tipo p, de la tercera propiedad de norma se basa en la desigualdad de Hölder (Ver ejercicio 1A), aunque para el caso p = 2 3

4 Espacios Normados 1.1 cabe una demostración alternativa, basada en la desigualdad de Cauchy- Schwartz. La 2 es la norma de la geometría euclídea, ella forma parte del importante grupo de normas que se derivan de un producto escalar y que vamos a estudiar a continuación: (3) Normas Euclídeas (o Prehilbertianas). Definición 1.2 Si E es un espacio vectorial real, un producto escalar sobre E es una aplicación, : E E R que cumple las siguientes condiciones: 1. x, x > 0, para x 0. 2. x, y = y, x, para todos x, y E. 3. λx, y = λ x, y. 4. x + y, z = x, z + y, z. A partir de un producto escalar se puede definir una norma sin más que tomar x = x, x 1/2. Para demostrarlo necesitamos establecer antes la desigualdad de Cauchy-Schwartz: (1.1) x, y E, x, y x y. En efecto, sean x, y dos vectores no nulos de E. Entonces, según la condición 1 de la definición de producto escalar, x + λy, x + λy 0, λ por lo que de la bilinealidad del mismo se deduce que λ 2 y, y + 2λ x, y + x, x 0, λ. equivalentemente (1.2) λ 2 y 2 + 2λ x, y + x 0, λ. Es bien conocido que un polinomio de segundo grado, ax 2 + bx + c, tiene signo constante si y sólo si su discriminante, b 2 4ac, es menor o igual que 0, Aplicado esto al polinomio (en λ) (1.2), resulta inmediatamente la desigualdad buscada. Comprobemos ya que x = x, x 1/2 es una norma. Las dos primeras condiciones de norma se obtiene directamente de la definición. Veamos pues la tercera: x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + y 2 + 2 x, y x 2 + y 2 + 2 x y = ( x + y ) 2.

1.2 Espacios Normados 5 En particular, si consideramos en R n x, y = n i=1 x iy i, la norma asociada es x = x, x 1/2 = ( el producto escalar habitual: n x 2 i ) 1/2 = x 2. Sea ahora E = C[0, 1], el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo compacto [0,1]. Sobre este espacio puede definirse muchas normas de interés: (4) Definiendo un producto escalar en E mediante la fórmula: f, g = 1 0 i=1 f(t)g(t)dt, (La única condición de producto escalar que no es trivial de comprobar es la primera, es decir que el producto escalar de una función no nula por sí misma es estrictamente positivo (ejercicio)) se construye, siguiendo el procedimiento descrito antes, una norma euclídea También son normas sobre E: ( 1 1/2 f = f, f 1/2 = f (t)dt) 2. 0 (5) (6) f = 1 0 f(t) d t. f = max{ f(t) : t [0, 1]}. Esta última norma se conoce como norma de la convergencia uniforme: Es claro que una sucesión de funciones de este espacio {f p } converge en el sentido de esta norma a la función f si y sólo si converge uniformemente i.e., si, para ε > 0, existe un índice ν tal que, si p ν, entonces f p (x) f(x) < ε para todo x. (7) Otros espacios normados habituales del Análisis son los espacios l p, p 1 y l (ver ejercicio 1B). l p, es el espacio vectorial de las sucesiones de K de potencia p-ésima sumable, es decir de las sucesiones (x n ) tales que xn p <, dotado de la norma x n p = ( xn p) 1/p.

6 Espacios Normados 1.2 l, es el espacio vectorial de las sucesiones acotadas de números reales (o complejos) con la norma del supremo, es decir: (x 1, x 2,..., x n,...) = sup{ x 1, x 2,..., x n,...}. De la definición de norma se deducen las siguientes propiedades adicionales: 4. x 0, x E. 5. x = x, x E. 6. x y x + y. 7. x y x y ( x + y ). Las propiedades 5 y 6 son evidentes. La propiedad 4 se obtiene así: 0 = x x x + x = 2 x x 0. Por último observemos que 7 equivale a que x y x y x y, desigualdades éstas que se prueban fácilmente a partir de la condición (3) de norma. 1.3 Toda norma lleva asociada de forma natural una distancia d definida por d(x, y) = x y. Esta distancia posee dos propiedades especiales: (i) d es invariante por traslaciones, es decir d(x, y) = d(x + a, y + a), cualesquiera que sean los puntos x, y, a E. (ii) d es absolutamente homogénea por homotecias, es decir d(λx, λy) = λ d(x, y). Ambas propiedades se comprueban de forma inmediata. Recíprocamente, es fácil ver que toda distancia sobre un espacio vectorial E que tengan las propiedades (i) y (ii) induce una norma sobre E (concretamente, x = d(x, 0)). La estructura de espacio normado Puesto que en un espacio normado se superponen dos estructuras, una algebraica, la de espacio vectorial, y otra topológica, la inducida por la métrica, todos los conceptos y propiedades asociadas a ellas admiten una formulación en este nuevo marco. Redefinamos, por ejemplo, los conceptos:

1.5 Espacios Normados 7 Bola abierta, B(a, r) = {x : x a < r}. Análogamente bola cerrada, B[a, r] y esfera, S[a, r]. Sucesión convergente. {x n } x si para cada ε > 0 existe un índice ν tal que si n ν entonces x n x < ε. Función continua en un punto. f : E F es continua en el punto x 0 si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si x x 0 < δ entonces f(x) f(x 0 ) < ε. Análoga definición para función uniformemente continua. Función lipschitziana. La función f : E F se dice lipschitziana si existe una constante k > 0 tal que f(x) f(y) k x y. Isometría. f es una isometría si f(x) f(y) = x y. Proposición 1.4 Toda propiedad topológica, uniforme o lipschitziana que tenga una bola abierta (cerrada), la tienen todas las bolas abiertas (cerradas). En particular si la bola cerrada unidad, B[0, 1], es compacta entonces toda bola cerrada es compacta. Demostración. Consideremos la aplicación T : E E definida por T (x) = a + rx. Esta aplicación es un homeomorfismo lipschitziano, ya que es lipschitziana: e inversible: T (x) T (y) = a + rx (a + rx) = r x y, T 1 (y) = a r + 1 r y. Y puesto que T 1 resulta del mismo tipo que T, esta aplicación también es lipschitziana. Así pues T es un homeomorfismo lipschitziano que, además, lleva la bola unidad en la bola con centro en a y radio r, ya que trivialmente B[a, r] = a + rb[0, 1]. Se tiene pues que toda propiedad a lo sumo lipschitziana de la bola unidad es también propiedad de cualquier otra bola, de lo que se deduce ya lo que queríamos. 1.5 A continuación vamos a reseñar algunas propiedades algebraicotopológicas de los espacios normados.

8 Espacios Normados 1.5 1. Ningún subespacio vectorial propio tiene puntos interiores. 2. Un espacio normado es localmente compacto si y sólo si la bola cerrada unidad es compacta. 3. Ningún espacio normado puede ser compacto. 4. Todo espacio normado es conexo (por arcos) y localmente conexo (por arcos). 5. La adherencia de la bola abierta es la bola cerrada del mismo centro y radio. 6. Un conjunto abierto es conexo si y sólo si es conexo por arcos. La primera de estas propiedades es geométricamente intuitiva (Visualizase en el plano euclídeo). Formalmente es así: En primer lugar observemos que si L es un subespacio vectorial propio, 0 no es interior a L. En efecto, si x L, entonces en toda bola centrada en 0 existe algún vector λx proporcional a x. Trasladar a cualquier otro punto la situación del 0 es un sencillo ejercicio. (2) Prácticamente ha sido demostrada ya. Si la bola cerrada unidad es compacta, entonces cualquier bola cerrada es compacta, luego cada punto admite un entorno compacto, es decir que E es localmente compacto. Recíprocamente, si a admite un entorno V compacto, entonces también es compacta cualquier bola cerrada con centro en a contenida en V, y por la proposición 1.4, la bola cerrada unidad es compacta. Que no puede existir un espacio normado compacto es obvio. Todo espacio normado es un conjunto no acotado (si x 0 se pueden encontrar proporcionales a x de norma tan grande como se quiera). La propiedad (5) se deja como ejercicio. Las demás propiedades las comentamos más ampliamente a continuación. Conexión en espacios normados En un espacio normado tiene sentido considerar varias formas de conexión, algunas de ellas de naturaleza puramente algebraica. Definición 1.6 Se denomina segmento de extremos a, b, al conjunto [a, b] = {a + t(b a): t [0, 1]} = {(1 t)a + tb: t [0, 1]}. El conjunto A se dirá convexo si para cada par de puntos de A, el segmento que los une está totalmente contenido en A.

1.9 Espacios Normados 9 Proposición 1.7 Toda bola es un conjunto convexo. Demostración. Sean x, y dos puntos de la bola B(a, r) y sea z = (1 t)x+ty un punto del segmento [x, y]. Entonces z a = (1 t)x + ty ((1 t)a + ta (1 t) x a + t y a < (1 t)r + tr = r. Proposición 1.8 Todo espacio normado es conexo (por arcos) y localmente conexo. Demostración. Todo espacio normado es conexo por arcos, ya que para cada par de puntos x, y de E el segmento [x, y] define un arco (aplicación continua de un intervalo compacto de R en E) que une al punto x con el punto y. Este arco es la aplicación continua ϕ: [0, 1] E, definida por ϕ(t) = a + t(b a). Para demostrar que E es localmente conexo, observemos en primer lugar que por ser cada segmento un arco, se tiene trivialmente que cada conjunto convexo es conexo por arcos. Luego, de la proposición anterior resulta que para cada punto x de E, las bolas centradas en x constituyen una base de entornos conexos de x. El concepto de segmento admite una generalización natural Definiciones 1.9 (i) Llamaremos Poligonal de vértices x 0, x 1,..., x n al conjunto n 1 i=0 [x i, x i+1 ], o indistintamente a la aplicación (claramente continua) ϕ: [0, n] E definida por ϕ(t) = x i + (t i)(x i+1 x i ), si t [i, i + 1]. (ii) Un conjunto A se dirá conexo por poligonales si cada par de puntos x, y A se pueden conectar mediante una poligonal contenida en A y de extremos x e y. Es claro que convexo conexo por poligonales conexo por arcos conexo.

10 Espacios Normados 1.10 Proposición 1.10 En un espacio normado E, un conjunto abierto U es conexo si y sólo si es conexo por poligonales (a fortiori si y sólo si es conexo por arcos). Demostración. Sea U un abierto conexo y a un punto de U. Llamemos A al conjunto de puntos de U que se pueden conectar con a mediante una poligonal contenida en U. Vamos a demostrar que A es un conjunto a la vez abierto y cerrado en el subespacio topológico U. Esto implicará, en virtud de la conexión de U, que A coincide con U (A es no vacío ya que al menos el punto a A). A es abierto: Sea x A y sea B(x, r) una bola centrada en x y contenida en U. Esta bola debe estar contenida íntegramente en A, pues cada punto y de la misma se conecta con el centro x mediante el segmento [y, x], y x con a mediante una poligonal, luego también y se conecta con a mediante una poligonal. A es cerrado en U: Mediante un razonamiento análogo al anterior, se prueba que U \ A es un conjunto abierto. Ejercicios 1A Sean p, q números reales positivos tales 1/p + 1/q = 1 (observar que en estas condiciones p y q deben ser mayores que 1). (a) Demostrar la desigualdad: xy 1 p xp + 1 q yq, x, y 0. Indicación. Escribir xy = e 1 p ln xp + 1 q ln yq y tener en cuenta que la función e x es convexa. (b) (Desigualdad de Hölder) Utilizar el apartado anterior para demostrar que ( n n ) 1/p ( n ) 1/q x i y i x i p y i q. i=1 i=1 En otros términos, x, y x p y q, x = (x 1,..., x n ); y = (y 1,..., y n ). Indicación. Suponer en una primera etapa que x p = 1, y q = 1 y demostrar que entonces x, y 1. (c) Demostrar que x p = ( n i=1 x i p ) 1/p es una norma sobre R n. 1B Sea p un número real mayor o igual que 1 y denotemos por l p al conjunto de sucesiones de números reales (x n ) tales que n=1 x n p <. Definamos también l como el conjunto de las sucesiones acotadas de números reales. i=1

1F Espacios Normados 11 (a) Probar que l p y l son espacios vectoriales y que la expresiones x p = ( n=1 x n p ) 1/p ; x = sup x n n N definen sendas normas sobre l p y l (b) Demostrar que la adherencia en l del conjunto de sucesiones que tienen todos sus términos nulos, salvo un número finito de ellos, es c 0 : el espacio vectorial de sucesiones reales que convergen a 0. (c) Probar que l no es separable pero c 0 sí. 1C Demostrar que si es una norma sobre R n tal que (*) (u 1,..., u n ) 1 u i 1, entonces x i x, para cada x = (x 1,..., x n ) R n. Dar ejemplos de normas que no satisfagan la condición (*) para ningún i. 1D Estudiar si las expresiones siguientes definen una norma sobre R 2 : 1. (x, y) = 4x 2 + y 2. 2. (x, y) = x + y. 3. (x, y) = x + 3 x 3 + y 3. 4. (x, y) = (x y) 2 + y 2. 1E Demostrar que el conjunto {(x, y) R 2 : x + y < 1} no es convexo (hacer un dibujo de este conjunto). Deducir de ello que (x, y) = ( x + y ) 2 no es una norma sobre R 2 qué condición falla? 1F Sean (E i, i = 1, 2,..., n) una familia finita de espacios normados y empleemos la notación común para designar a las normas de E i. (a) Demostrar que (x 1,..., x n ) = n α i x i, α i 0, i=1 (x 1,..., x n ) = x 1 2 +... + x n 2 son normas sobre E = E 1... E n. (b) Utilizar lo anterior para demostrar que es una norma sobre R 3. (x, y, z) = (2 x + y ) 2 + z 2

12 Espacios Normados 1G 1G Sea (E, ) un espacio normado. Estudiar si la aplicación de E en sí mismo, f(x) = x x, es continua, uniformemente continua o lipschitziana. 1H Encontrar una norma sobre R 2 para la que la esfera unidad sea la elipse de ecuación x 2 + 4y 2 = 4. 1I (a) Probar que en un espacio normado un conjunto A es acotado si y sólo si existe una constante k tal que x k, para todo x de A. (b) Demostrar que en C[0, 1] todo conjunto acotado mediante la norma es también acotado mediante la norma f 1 = 1 f(t) dt. Es cierto el 0 recíproco? (c) Sea A = {P n (t) = t+1/2 t 2 +...+1/n t n : n N} Es A un conjunto acotado para estas normas? 1J Sea F un espacio vectorial cerrado del espacio normado E. Probar que al espacio vectorial cociente E/F se le dota de estructura de espacio normado definiendo x + F = inf{ x + y : y F } = d(x, F ). 1K Sea (E, ) un espacio normado y sea d(x, y) = x y Puede ser d la distancia discreta? 1L (a) Probar que d(x, y) = x y 1 + x y es una distancia sobre R invariante por traslaciones, pero que no es absolutamente homogénea por homotecias. (b) Probar que d(x, y) = 3 x 3 y 3 es una distancia sobre R absolutamente homogénea por homotecias, pero no invariante por traslaciones. (c) Si d es una distancia sobre el espacio vectorial E, que no es invariante por traslaciones o absolutamente homogénea, puede ser la aplicación x d(x, 0) una norma sobre E. 1M Probar que la bola abierta unidad de un espacio normado E es homeomorfa a todo el espacio E. Indicación. Probar que la aplicación T (x) = establece el homeomorfismo buscado. x 1 + x

1T Espacios Normados 13 1N Sea E un espacio normado y f una aplicación continua de E en R tal que f(x) 0 para todo punto x E. Probar que entonces, o bien f(x) > 0 para cada x, o bien f(x) < 0 para cada x Es válida esta conclusión si se sustituye en lo anterior E por la esfera unidad? 1O (a) Probar que un espacio normado es completo (se dice entonces que es de Banach) si y sólo si su bola cerrada unidad es completa. (b) Probar que un espacio normado es separable si y sólo si la bola unidad es separable. 1P Sea {x n } con x n 0 para todo n, una sucesión de Cauchy en un espacio normado. (a) Probar que la sucesión de números reales { x n } es convergente. Sea α su límite. (b) Probar que si α > 0 entonces la sucesión { x n x n } es de Cauchy. (c) Demostrar con un ejemplo que si α = 0, la sucesión { x n x n } no es necesariamente de Cauchy. 1Q Sea {x n } una sucesión convergente a 0 en un espacio normado. Probar que también converge a 0 la sucesión: y n = x 1 + x 2 +... + x n n 1R Sea E el espacio normado C[0, 1] dotado de la norma de la convergencia uniforme y A = {f : f(0) = f(1) = 1; f = 1}. (a) Calcular la adherencia y el interior de A. (b) Es A un conjunto conexo? (c) Es A compacto? 1S Sea E un espacio vectorial sobre R. Demostrar que una aplicación : E R es una norma si y sólo si satisface las condiciones 1 y 2 de norma y la bola unidad {x: x 1} es un conjunto convexo. o 1T Sea A un conjunto convexo de un espacio normado tal que A. Probar que cl (A) = cl ( A). o Indicación. Probar que si a A, o x A entonces el segmento [a, x) A. o