Glosario Ejercicios Propuestos Probabilidad: Una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Experimento: Cualquier proceso que genere resultados bien definidos. Espacio muestral: El conjunto de todos los puntos muestrales (resultados experimentales) posibles. Punto muestral: El resultado individual de un experimento Requisitos básicos de probabilidad: Dos principios o requisitos que restringen la forma en que se efectúan las asignaciones de probabilidad: 1. Para cada resultado experimental E i, 0 P( E i ) 1; y 2. P ( E 1 ) + P ( E 2 ) +... + P ( E n ) = 1. Método clásico: Método de asignar las probabilidades basado en la hipótesis de que los resultados experimentales son igualmente posibles. Método de frecuencia relativa: Un método de asignar las probabilidades con base en la experimentación o en datos históricos. Método subjetivo: Método de asignar las probabilidades con base en el juicio Evento: Un conjunto de puntos muestrales o resultados experimentales. Complemento del evento A: El evento que contiene todos los puntos muestrales, no existentes en el evento A Diagrama de Venn: Dispositivo gráfico para representar el espacio muestra y las operaciones que involucran eventos. Unión de eventos A y B: El evento que contiene todos los puntos muestrales existentes en A, en B o en ambos. Intersección de eventos A y B: El evento que contiene todos los puntos muestrales existentes, tanto en A como en B. Ley aditiva: Una ley de probabilidades utilizada para calcular la probabilidad de una unión:p(au B) = P(A) + P(B) - P(A B). Para eventos mutuamente excluyentes, P(A B) = 0, y por tanto, P(AU B) = P(A) + P(B) eventos mutuamente excluyentes: Eventos que no tiene ningún punto muestral en común: esto es, A B = vacío y P(A B) = 0 Probabilidad condicional: La probabilidad de que un evento suceda, dado otro evento, haya ocurrido. La probabilidad condicionada de A, dado B, es P(A/B) = P(A B) / P(B) Probabilidad conjunta: La probabilidad de la intersección de dos eventos. Tabla de probabilidades conjuntas: Tabla utilizada para mostrar probabilidades conjuntas y marginales. Probabilidades marginales: Los valores en los márgenes de la tabla de probabilidades conjuntas, que proporcionan la probabilidad de cada evento por separado. Eventos dependientes: Dos eventos A y B, donde P(A/B) P(A) o P(B A) P(B); esto es, la probabilidad de que en un evento sea alterado o afectado al saberse que ocurre otro evento. Eventos independientes: Dos eventos A y B donde P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B); esto es, eventos que no tienen influencia uno sobre otro. Ley de multiplicación: Una ley de probabilidad utilizada para calcular la probabilidad de una intersección: P(A B) = P(A)*P(B/A) o bien P(A B) = P(B)*P(A/B). En el caso de eventos independientes, se reduce a P(A B) = P(A)*P(B). Probabilidades previas: Probabilidades iniciales de eventos. Probabilidades posteriores: Probabilidades de eventos revisadas con base en información adicional. Teorema de Bayes: Método utilizado para calcular probabilidades posteriores. 144
Ejercicios 1. En un proceso de control de calidad, el inspector selecciona una pieza terminada para inspección. El inspector a continuación determina si la pieza tiene algún defecto importante, un defecto menor o no tiene defectos. Considere la selección y la clasificación de la pieza como un experimento. Enliste los puntos muestrales para el experimento. 2. Un experimento con tres resultados ha sido repetido 50 veces, y E 1 ocurrió 20 veces, E 2 13 veces y E 3 17 veces. Asigne probabilidades a los resultados. a. Qué método utilizó? b. Por qué? 3. El administrador de un gran multifamiliar aporta el siguiente estimado de probabilidad subjetiva sobre el número de departamento ocupados que existiría el mes que sigue: Enliste los puntos muestrales de cada uno de los eventos siguientes y proporcione la probabilidad de a. Ningún departamento desocupado. b. Por lo menos 4 departamentos estén desocupados. Departamentos desocupado Probabilidad 0 0.05 1 0.15 2 0.35 3 0.25 4 0.10 5 0.10 c. 2 o menos departamentos estén desocupados. 4. En una encuesta de nuevos registros a programas de maestría, se obtuvieron los siguientes datos sobre el estado conyugal de los estudiantes. a. Qué método recomendaría usted para asignar probabilidades al estado conyugal de un nuevo estudiante de maestría? b. Muestre sus asignaciones de probabilidades. Estado conyugal Frecuencia Soltero 1,106 Casado 826 Otros (separado, viudo o divorciado) 106 Total 2,038 145
5. Strom Construction ha licitado en 2 contratos. El propietario ha identificado los resultados posibles y ha asignado subjetivamente las probabilidades siguientes: a. Son estas asignaciones de probabilidades válidas? Por qué sí o por qué no? b. Qué tendría que hacerse para que fueran válidas las asignaciones de probabilidades. Resultado Obtener Obtener Experimental contrato 1 contrato 2 Probabilidades 1 Si Si 0.15 2 Si No 0.15 3 No Si 0.30 4 No No 0.25 6. Una muestra de 100 clientes de Montana Gas and Electric resultó en la siguiente distribución mensual de frecuencia de cargos mensuales. a. Supongamos que A es el evento en que los cargos mensuales sean de 150 dólares o más. Determine P(A). b. Supongamos que B sea el evento en que los cargos mensuales sean menores de 150 dólares. Cantida ($) Número 0-49 13 50-99 22 100-149 34 150-199 26 200-249 5 Determine P(B). 7. Suponga que un espacio muestra contiene 5 resultados experimentales igualmente posible: E1, E2, E3, E4, E5 Supongamos que A= {E1, E2} B= {E3, E4} C= {E2, E3,E5} a. Encuentre P(A), P(B), y P(C). b. Encuentre P(A U B). Son A y B mutuamente excluyentes? c. Encuentre A c, C c, P(A c ), y P(C c ). 146
d. Encuentre A U B c y P(A U B c ). e. Encuentre P(B U C). Ejercicios Propuestos 8. Supongamos que A= al evento en que una persona corra 5 millas o más por semana B= al evento en que una persona muera de una enfermedad cardíaca C= al evento en que una persona muera de cáncer Además, suponga que P(A) = 0.01, P(B) = 0.25, y P(C) = 0.20 a. Son los eventos A y B mutuamente excluyentes? Puede usted determinar P(A B)? b. Son los eventos B y C mutuamente excluyente? Encuentre la probabilidad de que una persona muera de una enfermedad cardíaca o de cáncer. c. Encuentre la probabilidad de que una persona muera de causas distintas al cáncer. 9. Una empresa farmacéutica llevó a cabo un estudio para evaluar el efecto de una medicina para el alivio de alergias. Para tal estudio se seleccionaron 250 pacientes quienes presentaban síntomas que incluían ojos irritados y transtornos epidérmicos. Estos 250 pacientes recibieron el nuevo medicamento. Los resultados del estudio son como sigue: 90 de los pacientes tratados experimentaron mejora total en los ojos, 135 se curaron de su afección cutánea y 45 experimentaron tanto alivio total en los ojos y curación total en la piel. a. Cuál es la probabilidad de que un paciente que toma el medicamento experimente alivio en uno de los dos síntomas o en ambos? 10. Un estudio de 100 estudiantes a los cuales se les concedió becas universitarias mostró que 40 tenían trabajos a tiempo parcial, 25 habían llegado a la lista del rector el semestre anterior y 15 a la vez tuvieron trabajo a tiempo parcial y llegaron a las lista del rector. a. Cuál fue la probabilidad de que un estudiante haya tenido un trabajo a tiempo parcial o haya estado en la lista del rector? 11. Supongamos que A es un evento en que el método principal de transportación de una persona hacia y desde el trabajo sea en automóvil y B es un evento en que el método principal de transporte de una persona hacia y desde el trabajo sea en autobús. Suponga que en una ciudad grande P(A) =0.45 y P(B) = 0.35 a. Son los eventos A y B mutuamente excluyentes? Cuál es la probabilidad de que una persona utilice un automóvil o un autobús al ir y al regresar del trabajo? b. Encuentre la probabilidad de que el método principal de transportación de una persona sea algún medio distinto a un autobús. 147
12. Para dos eventos A and B, P(A) = 0.5, P(B) = 0.60 y P(A B) = 0.40 a. Encuentre P(A/B). b. Encuentre P(B/A) c. Son A y B independientes? Por qué sí o por qué no? 13. En una encuesta de estudiantes de maestría, se obtuvieron los siguientes datos como la primera razón de los estudiantes para solicitar admisión a la escuela en la cual estaban inscritos. a. Desarrolle la tabla de probabilidades conjuntas con estos datos b. Utilice las probabilidades marginales de la calidad, costo o conveniencia de la escuela y otros para comentar sobre la razón de mayor importancia para seleccionar una escuela. Razón para aplicar Costo o Calidad de Conveniencia la escuela de la escuela Otros Totales Status de Tiempo completo 421 393 76 890 matrícula Tiempo parcial 400 593 46 1039 Total 821 986 122 1,929 c. Si un estudiante asiste tiempo completo, cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela sea la primera razón para escoger una escuela? d. Si un estudiante asiste tiempo parcial, cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela sea la primera razón para escoger una escuela? e. Digamos que A es el evento en que un estudiante es de tiempo completo y B el evento en que el estudiante registra la calidad de la escuela como primera razón para aplicar. Son los eventos A y B independientes? Justifique su respuesta. 14. Se efectuó una encuesta sobre propietarios de automóviles entre 200 familias de Houston. El resultado del estudio sobre la propiedad de automóviles de manufactura estadounidense o extranjera fue: a. Muestre la tabla de probabilidades conjuntas para estos datos. b. Utilice las probabilidades marginales para comparar la propiedad de vehículos estadounidenses y de importación. 148
Es usted propietario de un vehículo estadounidense? si no Totales Es usted propietario de un si 30 10 40 auto de importación? no 150 10 160 Totales 180 20 200 c. Cuál es la probabilidad de que un familia sea propietaria a la vez de un vehículo estadounidense y uno de importación? d. Cuál es la probabilidad de que una familia posea vehículo (o vehículos), ya sea(n) estadounidense o de importación? e. Si una familia es propietaria de un vehículo estadounidense, cuál es la probabilidad de que también sea propietaria de un vehículo de importación. f. Si una familia es propietaria de un vehículo de importación, cuál es la probabilidad de que también sea propietaria de una vehículo estadounidense? g. Son la propiedad de vehículos estadounidenses y de importación eventos independientes? Explique. 15. La Texas Oil Company tiene un arreglo limitado de asociación en el cual pequeños inversionistas pueden reunir recursos para invertir en programas de exploración petrolera a gran escala. En la fase de perforación exploratoria, la selección de localizaciones para nuevos pozos se basa en estructura geológica de los sitios de perforación propuestos. La experiencia muestra que la probabilidad de encontrar una estructura tipo A en el sitio de un pozo productivo es de 0.40. La empresa también sabe que 50% de los pozos se perforan en localizaciones con una estructura tipo A. Finalmente, 30% de todos los pozos perforados resultan productivos. a. Cuál es la probabilidad de que se perfore un pozo en una estructura tipo A y que sea productivo? b. Si el proceso de perforación empieza en una localización que tenga una estructura tipo A, cuál es la probabilidad de tener un pozo productivo en dicha localización? c. Es el descubrimiento de un pozo productivo independiente de la estructura geológica tipo A? Explique 16. Un agente de compras ha colocado un pedido urgente para una materia prima específica con 2 proveedores distintos, A y B. Si ninguno de los pedidos se entrega en 4 días, el proceso de producción deberá detenerse hasta que llegue por lo menos uno de los pedidos. La probabilidad de que el proveedor A pueda entregar el material en 4 días es de 0.55. La probabilidad de que el proveedor B pueda entregar el material en 4 días es de 0.35. a. Cuál es la probabilidad de que ambos proveedores entreguen el material en 4 día? Dado que se trata de 2 proveedores, suponga que existe independencia. b. Cuál es la probabilidad de que por lo menos 1 de los proveedores entregue el material en 4 días? 149
c. Cuál es la probabilidad de que se tenga que detener el proceso de producción en 4 días por falta de materia prima (esto es, ambos pedidos están atrasados)? 17. Una investigación de mercado de 800 personas reveló los siguientes hechos sobre la capacidad de recordar un anuncio televisivo de un producto en particular y la adquisición de dicho producto. Digamos que T es el evento de la venta de la persona que recuerda el comercial de televisión y B el evento de adquirir o comprar el producto. Pudo recordar el No pudo recordar el anuncio de televisión anuncio de televisión Totales Adquirió el producto No Adquirió el producto Totales 160 (0.2) 80 (0.1) 240 (0.3) 240 (0.3) 320 (0.4) 560 (0.7) 400 (0.5) 400 (0.5) 800 a. Encuentre P(T), P(B) y P(T B). b. Son T y B eventos mutuamente excluyentes? Utilice valores de probabilidad para su explicación. c. Cuál es la probabilidad de que una persona que recuerde haber visto el anuncio de televisión haya adquirido el producto? d. Son T y B eventos independientes? Utilice valores de probabilidad para explicar. e. Comente sobre el valor del anuncio en función con su relación a la adquisición del producto. 18. En la evaluación de un programa de capacitación de ventas, una empresa descubrió que de 50 vendedores que el año pasado recibieron bonificación, 20 habían asistido a un programa especial de capacitación de ventas. La empresa tiene 200 vendedores. Digamos que B = el evento en que un vendedor llega a tener una bonificación y S = evento en que un vendedor asista al programa de capacitación de ventas. a. Determine P(B), P(S/B) y P(S B). b. Suponga que 40% de los vendedores han asistido al programa de capacitación. Cuál es la probabilidad de que un vendedor llegue a bonificación, dado que dicho vendedor asistió el programa de capacitación de ventas? c. Si la empresa evalúa el programa de capacitación en función de su efecto sobre la probabilidad de que un vendedor reciba una bonificación, Cuál es su evaluación del programa de capacitación? Comente sobre el hecho de si B y S son eventos dependientes o independientes. 19. Una compañía ha estudiado el número de accidentes con pérdida de tiempo ocurridos en su planta de Brownsville, Texas. Los registros históricos muestran que el año pasado 6% de los empleados tuvieron accidentes con pérdidas de tiempo. La administración cree que durante el año actual el 150
programa especial de seguridad reducirá los accidentes de los empleados hasta 5%; además, espera que el 15% de aquellos empleados que el año pasado tuvieron accidentes con pérdida de tiempo, tendrán durante el año actual un accidente con pérdida de tiempo. a. Qué porcentaje de los empleados tendrán accidentes con pérdidas de tiempo en ambos años? b. Qué porcentaje de los empleados tendrán por lo menos un accidente con pérdida de tiempo en el período de 2 años? 20. Las probabilidades previas de los eventos A1, A2, A3 son P(A1) = 0.20, P(A2) =0.50 y P(A3) =0.30. Las probabilidades condicionales del evento B dados A1, A2 y A3 son P(B/A1)=0.50 ; P(B/A2)= 0.40 y P(B/A3)=0.30 a. Calcule P(B A1), P(B A2), y P(B A3). b. Aplique el teorema de Bayes para calcular la probabilidad posterior P(A2/B). c. Utilice el procedimiento tabular de aplicación del teorema de Bayes para calcular P(A 1 /B). P(A 2 /B) y P(A 3 /B). 21. Una empresa de asesoría ha presentado una cotización para un gran proyecto de investigación. La administración de la empresa inicialmente pensó que existía una posibilidad del 50-50 de ganar la licitación. Sin embargo, el departamento al que se sometió la licitación subsecuentemente ha solicitado información adicional sobre la misma. La experiencia indica que en 75% de las licitaciones de éxito y en 40% de las licitaciones sin éxito, este departamento ha solicitado información adicional. a. Cuál es la probabilidad previa de la licitación tenga éxito ( es decir, antes de recibir la solicitud de información adicional)? b. Cuál es la probabilidad condicional de una solicitud de información adicional, dado que finalmente la licitación va a tener éxito? c. Calcule la probabilidad posterior de que la licitación tenga éxito, dado que se ha recibido una solicitud de información adicional. 23. Una empresa petrolera adquirió una opción sobre tierras en Alaska. Estudios geológicos preliminares han asignado las siguientes probabilidades previas. P(petróleo de alta calidad) = 0.50 P(petróleo de calidad media) = 0.20 P(ningún petróleo) = 0.30 a. Cuál es la probabilidad de encontrar petróleo? b. Después de una perforación de 70 metros en el primer pozo, se lleva a cabo una prueba de suelos. Las probabilidades de encontrar el tipo particular de suelo identificado como A en la prueba son: 151
P(suelo tipo A/petróleo de alta calidad) = 0.20 P(suelo tipo A/petróleo de calidad media) = 0.80 P(suelo tipo A/ningún petróleo) = 0.20 Cómo debe la empresa interpretar la prueba de sueldos? Cuáles serán las probabilidades revisadas y cuál la nueva probabilidad de descubrir petróleo? 24. El Wayne Manufacturing Company adquiere una pieza específica de los proveedores A, B y C. El proveedor A suministra 60% de las piezas, B 30% y C 10%. La calidad de las piezas varía entre proveedores, siendo las tasas defectuosas de las piezas A, B, y C 0.25%, 1% y 2% respectivamente. Las piezas se utilizan en uno de los productos principales de la empresa. a. Cuál es la probabilidad de que el producto principal de la empresa sea ensamblado con una pieza defectuosa? Para su resolución utilice el procedimiento tabular al teorema de Bayes. b. Cuando se encuentre una pieza defectuosa, cuál será el proveedor más probable? 25. M.D. Computing (volumen 8, núm. 5 1991) descubre el uso del teorema de Bayes y de la probabilidad condicional en el diagnóstico médico. Las probabilidades previas de las enfermedades se basan en el juicio por parte del médico de factores como la localización geográfica, la influencia estacional y la ocurrencia de epidemias. Suponga que se piensa que un paciente tiene 1 de 2 enfermedades, identificadas como D1 y D2 con P(D1)= 0.60 y P(D2)=0.40 y que la investigación médica ha demostrado que existe una probabilidad asociada con cada síntoma que puede acompañar a dichas enfermedades. Suponga que, dadas las enfermedades D1 y D2 las probabilidades de que un paciente tenga los síntomas, S1, S2 o S3 se muestra a continuación: Después de encontrar que cierto síntoma está presente, el diagnóstico médico puede apoyarse encontrando las probabilidades revisadas de que el paciente tenga cada una de las enfermedades específicas. Calcule las probabilidades posteriores de cada una de las enfermedades para los resultados médicos Síntomas S 1 S 2 S 3 Enfermedades D 1 0.15 0.10 0.15 P(S 3 \D 1 ) D 2 0.80 0.15 0.03 siguientes: a. El paciente tiene el síntoma S1 b. El paciente tiene el síntoma S2 c. El paciente tiene el síntoma S3 d. En el caso que el paciente con el síntoma S1 de la parte (a), suponga que también está presente el síntoma S2. Cuáles serán las probabilidades revisadas de D1 y de D2? 152
Nota: Las siguientes fórmulas le pueden ayudar a responder algunas proguntas. Mutuamente Excluyente: P(A B) = 0 No Mutuamente Excluyente: P(A B) 0 Independencia Estadística Dependencia Estadística P(A/B) = P(A) P(A^B) = P(A)*P(B) P(A/B) = P(A^B)/P(B) P(A^B) =P(A/B) * P(B) P(A/B) P(A) P(A)*P(B) P(A^B) 153