Resistencia de Materiales

Tema 5 - Deflexión en Vigas Resistencia de Materiales Tema 5 Deflexión en vigas

Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica Ecuación diferencial de la elástica Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida en el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura: 1 M ( x) = ρ (5.1.1) Donde ρ es el radio de curvatura, E el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, I el momento de inercia de la sección transversal de la viga y M(x) el momento flector al que está sometida la misma. Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga ( x ).

Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto P(x,y) puede determinarse mediante la expresión 1 = ρ d2y dx 2 dy 1 + dx 2 3 2 (5.1.2) Donde, dada la relación y = f(x) : dy dx Corresponde a la primera derivada de la función d 2 y Corresponde a la segunda dx 2 derivada de la función

Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que: 1 d 2 y M ( x) = 2 = ρ dx (5.1.3) Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

Sección 2 Método de Doble Integración Método de Doble Integración Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

Sección 2 - Método de Doble Integración Recordando la ecuación diferencial de la elástica: d 2 y M ( x) = 2 dx (5.1.3) El producto E I se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de x antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a x. Planteamos: x dy E I = M ( x) dx + C1 dx 0 (5.2.1)

Sección 2 - Método de Doble Integración x dy E I = M ( x) dx + C1 dx 0 (5.2.1) Donde C1 es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación: dy = tg (θ ) θ dx (5.2.2) De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud x de la viga.

Sección 2 - Método de Doble Integración Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos: x E I y ( x) = M ( x) dx + C1 dx + C2 0 0 x (5.2.3) Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia x medida desde un extremo de la viga. El término C2 es una constante de integración que, al igual que C1, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.

Sección 2 - Método de Doble Integración En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones: Del apoyo en A puede establecerse: x = LA y = 0 Y, debido al apoyo en B : x = LB y = 0 Debido al empotramiento A : x = LA y = 0 x = LA θ = 0

Sección 3 - Método de Area de Mometo Método de Área de Momento El método de área-momento proporciona un procedimiento semigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga. La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar. Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas y momentos concentrados. El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas para preparar diagramas de momento flector.

Sección 3 - Método de Area de Mometo La figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado dos puntos cualquiera ( A y B ) y se han trazado rectas tangentes a los mismos. Puede observarse que θb/a es el ángulo que forma la tangente que pasa por el punto B respecto a la que pasa por A. De forma análoga se define el ángulo θa/b. Es importante notar que ambos tienen la misma magnitud, y se miden en sentido contrario. Recordando que las deflexiones son muy pequeñas, podemos plantear la ecuación de la elástica de la forma: d dy dθ M ( x) = = dx dx dx (5.3.1)

Sección 3 - Método de Area de Mometo Si integramos la expresión anterior, obtenemos: θb dθ = θa xb M ( x) x E I dx A (5.3.2) Planteando que: θb/ A = θb θ A (5.3.3) Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma: θb/ A xb M ( x) = dx xa (5.3.4)

Sección 3 - Método de Area de Mometo θb/ A xb M ( x) = dx xa (5.3.5) Esta ecuación es la base del primer teorema del método de área de momento: El ángulo entre dos rectas tangentes a dos puntos cualquiera sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama M/(E I) entre esos dos puntos

Sección 3 - Método de Area de Mometo Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable la aproximación: dt x dθ (5.3.6) Donde dθ es el ángulo que existe entre dos tangentes de dos puntos separados una distancia dx y x es la distancia medida desde el punto A hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir dθ queda: dt = x M ( x) dx (5.3.7)

Sección 3 - Método de Area de Mometo Finalmente, al integrar la expresión anterior queda: xb t A/ B M ( x) = x dx xa (5.3.8) Lo cual puede rescribirse de la forma: xb M ( x) dx xa t A/ B = xa (5.3.9) Donde xa es la distancia (medida sobre la dirección x ) que existe entre el punto A y el centroide del área bajo la curva M E/I.

Sección 3 - Método de Area de Mometo La ecuación 5.3.9 supone la base del segundo teorema de área momento: La desviación vertical de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es igual al momento de área bajo el diagrama ME/I entre los puntos A y B. Este momento se calcula respecto al punto A donde va a determinarse la desviación vertical ta/b.

Sección 3 - Método de Area de Mometo De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto B respecto a la tangente que pasa por A. Para ello, se calcularía el momento de área bajo el diagrama ME/I respecto al punto B, es decir: xa tb / A M ( x) = xb dx xb (5.3.9) Donde xb es la distancia que existe desde el punto B hasta el centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuación es positivo, el punto B (en el que se calcula la deflexión) se encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el A (y viceversa).

Sección 4 - Método de Tres Momentos Método de Tres Momentos Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier número de apoyos. De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la viga. En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. Luego pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones. En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos desconocidos. Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinación de cargas.

Sección 4 - Método de Tres Momentos Consideremos una viga cargada como se muestra en la figura. Se han elegido tres puntos cualquiera sobre la viga ( 1, 2 y 3 ), donde realizaremos cortes transversales y estableceremos las cargas a las que están sometidas estas secciones, manteniendo las que están aplicadas sobre los tramos L12 y L23.

Sección 4 - Método de Tres Momentos Se tendría entonces: Note que los momentos flectores ( M1, M2, M3 ) se han dispuesto en su sentido positivo, según el convenio establecido. Las fuerzas cortantes V2i y V2d no son necesariamente iguales; depende de la condición de apoyo ó carga que exista en el punto 2.

Sección 4 - Método de Tres Momentos Luego, planteamos las cargas y los momentos flectores de forma separada, agregando y quitando fuerzas, como se muestra en la figura. En el caso mostrado, se ha asumido que M2 < M1 y M2 < M3.

Sección 4 - Método de Tres Momentos Posteriormente, se realizan los diagramas de momento flector para los casos anteriormente mostrados. Recordamos nuevamente que se ha asumido M2 < M1 y M2 < M3.

Sección 4 - Método de Tres Momentos Ahora, observemos una representación exagerada de la curva elástica entre los puntos 1 y 3. Puede notarse que se cumple la relación de triángulos: h1 t1/ 2 t3 / 2 h3 = L12 L23 (5.4.1)

Sección 4 - Método de Tres Momentos Posteriormente podemos establecer las expresiones de deflexión de los puntos 1 y 3 respecto a la tangente que pasa por 2 : x2 t1/ 2 t1/ 2 = 1 M ( x) = x1 dx x1 1 1 1 2 M L L + M L L + A x 2 1 12 3 12 2 2 12 3 12 12 1 (5.4.2) x2 M ( x) dx x3 t3 / 2 = x1 t3 / 2 = 1 1 2 1 1 M L L + M L L + A x 23 3 2 2 23 3 23 2 3 23 3 23 (5.4.3)

Sección 4 - Método de Tres Momentos Finalmente, al sustituir t1/2 y t3/2 en la ecuación 5.4.1, se obtiene: M 1 L12 + 2 M 2 ( L12 + L23 ) + M 3 L23 + 6 A12 x1 6 A23 x3 + = L12 L23 h1 h3 6 E I + L12 L23 (5.4.4) Esta ecuación expresa la una relación general entre los momentos flectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama ecuación de los tres momentos. Si los puntos 1, 2 y 3 están al mismo nivel en la viga flexionada, los términos h1 y h3 se anulan, con lo cual el miembro derecho de la ecuación se hace cero.