Expresiones algebraicas
Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas Elementos de una expresión algebraica Números de cualquier tipo Letras Signos de operación: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones Ejemplos a + 1 21a + 4b 2x 6y + z Valor numérico de una expresión algebraica Se halla sustituyendo sus letras por números y obteniendo su resultado. El valor numérico de una expresión algébrica depende de los valores concretos que reciban las letras. Por ejemplo, el valor numérico de la expresión algebraica 4x 2y + 6, cuando x = 5 e y = 2, es 4 5 2 2 + 6 = 22. Utilidad de una expresión algebraica Igualdad entre expresiones algebraicas Simplificar una situación real en la que se han de realizar operaciones entre cantidades conocidas y cantidades desconocidas. Elementos de una igualdad Dos expresiones algebraicas, denominadas miembros. Un signo igual, =, interpuesto entre ambas. Ejemplos 2a + 3 = 3 3 a 2b = a c + 2 Tipos de igualdades Verdadera: si la expresión algebraica del miembro de la izquierda puede convertirse en la del de la derecha, aplicando las propiedades de las operaciones. Por ejemplo: a 4b 2a + 5a b = 4a 5b Falsa: si la expresión algebraica del miembro de la izquierda no puede convertirse en la del de la derecha. Por ejemplo: 4a 5b + 2 = 4a 5b + 7 Ecuaciones Definición Igualdades entre expresiones algebraicas, especialmente aquellas cuya falsedad o certeza no pueden establecerse fácilmente. Solución de una ecuación Valores numéricos que transforman la ecuación en una igualdad entre expresiones numéricas verdadera. Por ejemplo, si se sustituyen las incógnitas de 2x + 4y 5 = 4x 5y, por 2 en el caso de la x, y por 1 en el caso de la y, obtendremos 2 2 + 4 1 5 = 4 2 5 1, y ambos miembros resultan 3. Ecuaciones equivalentes Ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones.
Propiedades de la suma Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Propiedades de las expresiones algebraicas El resultado de sumar dos números en cualquier orden es siempre el mismo: a + b = b + a Si se suman tres números cualquiera, pueden agruparse como se desee: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro de la suma El elemento neutro de la suma de números es el 0, ya que si se suma este número a cualquier otro número, el resultado es el mismo número: a + 0 = a Elemento opuesto El elemento opuesto de c es c, ya que c + ( c) = 0 Propiedades de la multiplicación Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Elemento neutro de la multiplicación Elemento inverso Propiedad distributiva de la suma respecto del producto a (b + c) = a b + a c La resta y la división La resta La división Utilidad Ejemplo Dos números pueden multiplicarse en cualquier orden, y el resultado siempre es el mismo: a b = b a Si se multiplican tres números cualquiera, se pueden agrupar como se desee, porque el resultado siempre es el mismo: a b c = (a b) c = a (b c) El elemento neutro de la multiplicación es el 1, ya que si se multiplica cualquier número por 1, el resultado siempre es el mismo número inicial: a 1 = a El elemento inverso de un número cualquiera (que no sea 0) es aquel número que multiplicado con éste da 1 (el elemento neutro de la multiplicación): el elemento inverso de c es (1/c), ya que c (1/c) = = 1 Las propiedades de la resta son semejantes a las de la suma, sólo debe recordarse que la resta es la suma con el opuesto: a b = a + ( b) Las propiedades de la división son semejantes a las de la multiplicación; sólo debe recordarse que la división es una multiplicación por el inverso (siendo b 0): a 1 = a b b La aplicación de las propiedades Se utilizan para simplificar expresiones algebraicas. Aplicando las propiedades de las operaciones, puede llegarse a la conclusión de que: a 4b 2a + 5a b es igual a 4a 5b
Qué es una expresión algebraica y cuál es su utilidad? Una expresión algebraica contiene números, letras y signos de operación. Las letras de una expresión algebraica deben tratarse como si fueran números, y por ello pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, siguiendo las mismas reglas que los números. Las expresiones algebraicas permiten expresar operaciones entre cantidades desconocidas, sustituyendo el valor desconocido por una letra. Al igual que una expresión numérica, una expresión algebraica contiene números y signos de operación entre ellos. Ahora bien, una expresión algebraica también introduce letras, que operan entre sí o con otros números. Un ejemplo de expresión algebraica es: a 2 3 c + 5 d 7 a y Las letras de una expresión algebraica deben tratarse como si fueran números: se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, cumpliendo, como veremos, las mismas propiedades de las operaciones entre números. Las expresiones algebraicas se pueden usar en problemas reales, en los que se desconoce el valor de algún elemento. Así, por ejemplo, si una persona va de compras y adquiere 3 Kg de limones a 1,09 el Kg, y 2 Kg de patatas a 0,78 el Kg, para calcular el valor de la compra, es evidente que debe hacerse: 3 1,09 + 2 0,78 Ahora bien, si no se supiera el valor del Kg de limones, ni el valor del Kg de patatas, podría asociarse cada valor a una letra (siempre que sea posible, relacionada con el nombre; por ejemplo, l para los limones, y p para las patatas); el valor de la compra sería igual a: 3 l + 2 p Esta expresión algebraica permite calcular el valor de la compra en el momento en el que se conozcan los precios de los limones y de las patatas, sustituyendo las dos letras por sus valores reales. Normalmente, al multiplicar un número por una letra no se pone el signo de multiplicación, sino que se sobreentiende que se trata de un producto, de manera que la expresión algebraica anterior también puede escribirse como: 2l + 3p Las letras de una expresión algebraica también pueden sustituirse por números. Por ejemplo, en la expresión algebraica 4x 2y + 6 se puede sustituir la letra x por el valor 3, y la letra y, por el valor 4. En este caso, la expresión algebraica se transformaría en: 4 3 2 4+ 6 x y El valor numérico de la expresión algebraica 4x 2y + 6 cuando la x es 3 e y es 4, es igual a 4 3 2 4 + 6, es decir, es igual a 10. En definitiva, un valor numérico de una expresión algebraica se halla sustituyendo sus letras por números y hallando su resultado. Es evidente que el valor numérico de una expresión algébrica depende de los valores concretos que reciban las letras. Así, por ejemplo, la expresión algebraica anterior, 4x 2y + 6 cuando x = 5 e y = 2, su valor numérico es igual a 4 5 2 2 + 6 = 22 cuando x = 3 e y = 1, su valor numérico es igual a 4 ( 3) 2 ( 1) + 6 = 4 cuando x = 2 e y = 5, su valor numérico es igual a 4 ( 2) 2 5 + 6 = 12 1
Cuáles son los elementos básicos y las propiedades de las expresiones algebraicas? Los sumandos de una expresión algebraica se denominan términos y cada letra se denomina variable. Una expresión algebraica puede convertirse en otra equivalente aplicando las propiedades de las operaciones entre letras y números, que son las mismas que las propiedades de las operaciones entre números reales. Una expresión algebraica está formada por varias sumas (es sabido que las restas son sumas con el opuesto) de ciertos productos mixtos (o, incluso, divisiones, aunque, por el momento, no se utilizarán divisiones con denominadores que contengan letras) de números y letras. Cada uno de los sumandos se denomina término. Por ejemplo: a 3 c + 2d 5ax tiene 4 términos: a, 3c, 2d y, el último, 5ax, y las variables son a, c, d, x. Como puede observarse, los signos de multiplicación, ó, se pueden eliminar entre variables o entre números y variables. Las propiedades de la suma y la multiplicación de números y letras son las propiedades conocidas de las operaciones entre números reales: Elemento neutro de la suma: el 0 es el elemento neutro de la suma porque sumado a cualquier otro símbolo o número no lo modifica: a + 0 = 0 + a = a Elemento neutro del producto: el 1 es el elemento neutro del producto porque multiplicado a cualquier otro símbolo o número no lo modifica: a 1 = 1 a = a a es el opuesto de a porque sumados el resultado es el elemento neutro de la suma: a + ( a) = ( a) + a = 0 1/a es el inverso de a (siendo a 0) porque su producto es el elemento neutro del producto: a 1/a = 1/a a = 1 La resta es la operación que consiste en sumar el opuesto: a b = a + ( b) La división es la operación que consiste en multiplicar por el inverso (siendo b 0): a 1 = a b b Conmutativa de la suma. La suma de dos elementos no depende del orden en el que se realiza: a + b = b + a Asociativa de la suma. La suma de tres elementos no depende del orden en el que se realicen las distintas sumas: 2
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa del producto. El producto de dos elementos no depende del orden en el que se realiza: a b = b a Asociativa del producto. El producto de tres elementos no depende del orden en el que se realicen los distintos productos: a b c = (a b) c = a (b c) Distributiva del producto respecto a la suma. Un producto de un elemento por una suma puede descomponerse como la suma de los productos del elemento por cada uno de los sumandos: a (b + c) = (b + c) a = a b + a c Cómo se aplican las propiedades para simplificar una expresión algebraica? La simplificación de una expresión algebraica consiste en su reducción al mínimo número de términos posible, utilizando las propiedades de las operaciones en expresiones algebraicas. Aunque las propiedades pueden aplicarse en orden distinto, el resultado final suele ser muy parecido. Con el fin de simplificar una expresión algebraica de cierta longitud, se deben aplicar las propiedades de la suma, resta, multiplicación y división. La simplificación consiste en la conversión de la expresión original en otra que sea equivalente, pero con el mínimo número de términos posible. Veámoslo en un ejemplo; se debe simplificar: a 4b 3a + 5a b Aunque la manera de simplificar no es única (las propiedades pueden aplicarse en otro orden), generalmente, el resultado final es muy semejante: 1) Se resuelve la suma 3a + 5a, utilizando la propiedad distributiva: Por lo tanto, 3a + 5a es igual a (( 3) + 5) a igual a 2a a 4b 3a + 5a b es igual a a 4b +2a b 2) Por la propiedad conmutativa, podemos agrupar los términos con a y los términos con b: a 4b +2a b es igual a a + 2a 4b 1b 3) Elemento neutro de la suma, por la que a = 1 a a 4b +2a b es igual a 1a + 2a 4b 1b 4) Por la propiedad distributiva aplicada dos veces, una a los términos con a y otra a los términos con b: 3
simplificando un poco más, 1a + 2a 4b 1b es igual a (1+2) a + ( 4 1) b 1a + 2a 4b 1b es igual a 3a 5b En definitiva, a 4b 3a + 5a b es equivalente a 3a 5b Esta última expresión, al ser más breve que la anterior, facilita su manipulación. Por lo tanto, es recomendable simplificar toda expresión algebraica, de la misma manera que se simplifica una fracción que no es irreducible o se halla el resultado de una expresión numérica. Qué son las igualdades entre expresiones numéricas y las igualdades entre expresiones algebraicas, y cómo puede saberse si son verdaderas o falsas? Una igualdad entre expresiones numéricas está formada por dos expresiones numéricas y un signo de igualdad interpuesto entre ambas, y pueden ser verdaderas o falsas. Una igualdad entre expresiones algebraicas está formada por dos expresiones numéricas y un signo de igualdad interpuesto entre ambas, y pueden ser verdaderas o falsas, pero muchas de ellas no son ni verdaderas ni falsas. Una igualdad entre expresiones numéricas está formada por dos expresiones numéricas, denominadas miembros de la igualdad, y un signo de igualdad (=) interpuesto entre ambas. Las igualdades pueden ser verdaderas o falsas: Una igualdad numérica es verdadera si el resultado del miembro de la izquierda es igual al resultado del miembro de la derecha. Por ejemplo: 3 4 5 = 38 15 2 1 ya que tanto el resultado de la derecha, como el de la izquierda es 7. En este caso, se dice que ambas expresiones numéricas son iguales. Una igualdad numérica es falsa si el resultado del miembro de la izquierda no es igual al resultado del miembro de la derecha. Por ejemplo, es falsa esta igualdad: 4 ( 2) + 8 = 3 7 11 ya que el resultado de la izquierda es 0, mientras que el resultado de la derecha es 74. De manera semejante a una igualdad numérica, una igualdad entre expresiones algebraicas está formada por dos expresiones algebraicas, denominadas miembros de la igualdad, y un signo de igualdad (=) interpuesto entre ambas. Las igualdades algebraicas pueden ser verdaderas o falsas: Una igualdad algebraica es verdadera si la expresión algebraica del miembro de la izquierda puede convertirse en la del de la derecha aplicando las propiedades de las operaciones. Por ejemplo: a 4b 2a + 5a b = 4a 5b es una igualdad verdadera porque a 4b 2a + 5a b se puede transformar de manera sencilla en 4a 5b, usando las propiedades de las operaciones. Una igualdad algebraica es falsa si la expresión algebraica del miembro de la izquierda no puede convertirse en la del de la derecha. Por ejemplo: 4
3a 5b + 2 = 3a 5b + 7 es una igualdad falsa porque 3a 5b + 2 no puede nunca resultar 3a 5b + 7. Ahora bien, una igualdad algebraica puede no ser ni verdadera ni falsa. Por ejemplo: 2a 5b 4 = 3x + y en este caso, no puede afirmarse que la expresión de la derecha pueda transformarse en la de la izquierda, ni tampoco que esto sea imposible. Este tipo de igualdades son las que propiamente pueden denominarse ecuaciones. Qué es una ecuación y qué es una solución de una ecuación? Una igualdad entre expresiones algebraicas también puede denominarse ecuación, aunque las igualdades entre expresiones algebraicas más interesantes son aquellas cuya falsedad o certeza no puede establecerse fácilmente. La solución de una ecuación se compone de aquellos números que, sustituyendo a las incógnitas, permiten transformar la ecuación en una igualdad verdadera. Una igualdad entre expresiones algebraicas también puede denominarse ecuación. En este caso, las letras se denominan incógnitas. Así, por ejemplo, son ecuaciones: 4a 2b + c = 3a 6b + 7 2x + 2y +8 = 2x + 7 En el primer caso, las incógnitas son a, b y c; en el segundo caso, x e y. Cada uno de los sumandos de cada uno de los miembros se denomina término; el número que multiplica a cada término se denomina coeficiente; un término que no contiene ninguna incógnita se denomina término numérico o término independiente. Las incógnitas de cada miembro de una ecuación pueden sustituirse por valores numéricos. Por ejemplo, en la ecuación 2x + 4y 5 = 4x 5y pueden sustituirse, la x por 1, y la y por 5: 21 + 45 5= 41 55 x y x y De esta manera, la ecuación se transforma en una igualdad entre expresiones numéricas. En este caso, la igualdad numérica resultante es falsa porque el miembro de la izquierda resulta 17, mientras que el de la derecha resulta 21. Este proceso también se denomina sustitución de las incógnitas de una ecuación por números y, como se ha visto, puede dar lugar a una igualdad numérica verdadera o falsa. Al sustituir las incógnitas de una ecuación por ciertos valores, las igualdades numéricas resultantes pueden ser: Falsas, como en el último ejemplo. Verdaderas. Por ejemplo, si se sustituyen las incógnitas de 2x + 4y 5 = 4x 5y, por 2 en el caso de la x, y por 1 en el caso de la y, obtendremos: 2 2 + 4 1 5 = 4 2 5 1 y ambos miembros resultan 3. Así pues, se trata de una igualdad numérica verdadera. En este caso se dice que se ha hallado una solución de la ecuación. Así, esta solución de la ecuación 2x + 4y 5 = 4x 5y se compone del cambio de la x por 5
2, y de la y por 1; dicho de otra manera, x = 2 e y = 1 es una solución de la ecuación anterior. Se debe tener en cuenta que: Una solución de una ecuación debe otorgar un valor a cada una de sus incógnitas. Una ecuación puede tener más de una solución. Por ejemplo, en el caso de la ecuación anterior, 2x + 4y 5 = 4x 5y, otra solución podría ser x = 11 e y = 3, ya que 2 11 + 4 3 5 = 4 11 5 3. Qué son las ecuaciones equivalentes, y cómo pueden hallarse ecuaciones equivalentes a una dada? Se dice que dos (o más) ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Aunque no es siempre sencillo determinar si dos ecuaciones son equivalentes, se puede encontrar de manera sencilla una ecuación equivalente a otra dada; sólo es necesario sumar, restar, multiplicar o dividir ambos miembros de esta ecuación por un mismo número. Esta manipulación de una ecuación permite encontrar sus soluciones. Dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se denominan equivalentes. Por ejemplo, las ecuaciones: 7x 3 = 6x 4 14x 6 = 12x 8 son equivalentes, ya que la solución en ambos casos es x = 1. Veámoslo: 7 ( 1) 3 = 6 ( 1) 4 el resultado en ambos miembros es 10 14 ( 1) 6 = 12 ( 1) 8 el resultado en ambos miembros es 20 Por lo tanto, x = 1 resuelve ambas ecuaciones, lo que confirma que son ecuaciones equivalentes. No siempre resulta fácil hallar un procedimiento para determinar si dos ecuaciones son equivalentes. En todo caso, es interesante saber cómo puede transformarse una ecuación para obtener otra que sea equivalente porque es una de las manipulaciones que permiten encontrar soluciones de una ecuación. Estos son los procedimientos usuales: Sumando o restando a ambos miembros el mismo número. Por ejemplo, si a la ecuación 7x 3 = 6x 4 se le resta 2 a ambos lados, la ecuación resultante es: 7x 3 2 = 6x 4 2 se obtiene: 7x 5 = 6x 6 y se puede comprobar fácilmente que la solución en ambos casos es x = 1, por lo que se puede afirmar que 7x 3 = 6x 4 y 7x 5 = 6x 6 son ecuaciones equivalentes. Multiplicando o dividiendo ambos miembros por el mismo número. Por ejemplo, si los miembros de la ecuación 7x 3 = 6x 4 se multiplican por 3 se obtiene: 3 (7x 3) = 3 (6x 4) 6
es decir: 21x 9 = 18x 12 y puede comprobarse de manera fácil que ambas ecuaciones tienen por solución x = 1. Es decir, 7x 3 = 6x 4 y 21x 9 = 18x 12 son ecuaciones equivalentes. Es evidente que restando (o dividiendo) ambos miembros de una ecuación con el mismo número, se obtendrá una ecuación equivalente a la primera. Por ejemplo, si se resta 5 a ambos miembros de la ecuación 7x 3 = 6x 4, se obtiene: 7x 3 5 = 6x 4 5 7x 8 = 6x 9 Así pues, 7x 3 = 6x 4 y 7x 8 = 6x 9 son ecuaciones equivalentes. De la misma manera, si ambos miembros de la ecuación 8x 4 = 6x 10 se dividen entre 2, la ecuación resultante es equivalente: 8x 4 6x 10 = 2 2 4x 2 = 3x 5 Es decir, 4x 2 = 3x 5 es equivalente a 8x 4 = 6x 10. En qué consiste la resolución de una ecuación? La resolución de una ecuación consiste en la busca de todas las soluciones de una ecuación. La dificultad en la resolución depende de muchos factores, entre ellos: el número de incógnitas y el grado de la ecuación. A veces, sólo es posible encontrar una aproximación de alguna de las soluciones, en cuyo caso se dice que se ha encontrado una solución numérica de la ecuación. La busca de las soluciones de una ecuación se denomina resolución de una ecuación, y suele ser un problema matemático no siempre fácil de abordar. En todo caso, cierto tipo de ecuaciones, con unas características muy concretas, tienen una resolución relativamente sencilla y metódica. Las características que determinan la dificultad en la resolución de una ecuación son: El número de incógnitas de la ecuación; cuanto menor es el número de incógnitas, más sencilla resulta su resolución. Así, las más usuales tienen 1, 2 ó, como mucho, 3 incógnitas, aunque si no se dice explícitamente lo contrario, el término ecuación designa las ecuaciones con un sola incógnita. El grado de la ecuación: cada término de una ecuación tiene varias incógnitas multiplicándose; este número es el grado del término. Por ejemplo, el término 2xy 2 tiene 3 incógnitas multiplicándose (una x y dos y ), luego su grado es 3. El grado de una ecuación es el máximo grado de los términos que forman la ecuación. Así, por ejemplo, el grado de 3xy 2a + 5x 2 y 2 = x + 11a 2 x es igual a 4, ya que el término con más incógnitas es 5x 2 y 2, y tiene 4 (dos x, y dos y). Puede decirse, en general, que cuanto menor es el grado de una ecuación, más sencilla es su resolución. 7
La complejidad de una ecuación puede impedir su resolución exacta. En estos casos se puede intentar la resolución numérica, es decir, la resolución con valores aproximados. Por ejemplo, la ecuación x 3 3x + 2 = x 5 no es una ecuación sencilla de resolver de manera exacta. Una solución numérica de esta ecuación puede ser x = 2,5891, ya que sustituyendo en la ecuación se obtiene: ( 2,5891) 3 3( 2,5891) + 2 = ( 2,5891) 5 7,5886 7,5891 es decir, los resultados son muy próximos. Por ello, se trata de una solución numérica. La busca de soluciones numéricas de una ecuación es uno de los problemas matemáticos que ha experimentado un gran avance, debido a la utilización cada vez más generalizada de potentes ordenadores que permiten realizar gran cantidad de cálculos en poco tiempo. 8
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