Actividad 9. Razones y Proporciones. Introducción En ocasiones requerimos realizar operaciones empleando proporciones. Imagina que necesitas preparar el desayuno en tu casa, donde se quedaron a dormir varios amigos, y se les antojó desayunar hot cakes, y necesitas preparar 12 hot cakes. Tú tienes la receta sólo para hacer 8, por lo que debes hacer uso de tus conocimientos matemáticos. La receta para 8 hot cakes es la siguiente: 2 tazas de harina, 2 huevos, una taza y media de leche y 2 cucharadas de mantequilla. Cuáles deben ser las cantidades para preparar 12? 1
Introducción El concepto de proporcionalidad es uno de los más aplicados hoy en día por toda la población, ya que nos genera una buena medida intuitiva y de aplicación común. Se aplica para medir la relación entre magnitudes. Por lo que podemos calcular la cantidad de ingredientes que se requiere para preparar los 12 hot cakes a partir del concepto de proporcionalidad. Este problema se puede resolver como una regla de tres simple (concepto que aprenderás en esta actividad), y las cantidades a emplear serán: 3 tazas de harina, 3 huevos, dos tazas y un cuarto de leche y 3 cucharadas de mantequilla. Objetivos Al finalizar la actividad serás capaz de: Determinar los conceptos de razón y proporción. Aplicar el principio de proporción para resolver problemas aritméticos. 2
Razones y proporciones Vamos a recordar algunos conceptos, el primero de ellos es qué es una razón? Una razón es la relación que existe entre dos valores de la forma a b Ejemplo 1: Se hizo una encuesta entre 28 personas para ver si estaban de acuerdo con el resultado de la final de fútbol entre el Santos Laguna y el Cruz Azul, donde 7 personas manifestaron no estar de acuerdo. Vamos a plantear la razón: 7 personas en desacuerdo 28 personas encuestadas Razones y proporciones Recuerda que una fracción se entiende mejor si se simplifica, por lo que nos queda: 7 28 7 / 7 28 / 7 Esto se interpreta como 1 de cada personas no estuvieron de acuerdo. 1 3
Proporción El segundo concepto es qué es una proporción? Una proporción es la igualdad de dos razones. a c b d Se entiende: a es a b como c es a d. Una propiedad importante de las proporciones es: Dos razones son proporcionales si el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a y d se llaman extremos b y c se llaman medios ( a )( d) (b)(c) Proporciones Ejemplo 2: Comprobar que ambas razones son proporcionales. 16 8 4 2 Se entiende 16 es a 8 como 4 es a 2. Vamos a comprobarlo cómo? Comprobando la propiedad anteriormente descrita, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. 4
Proporciones Por lo que debemos realizar productos cruzados y comprobar que el resultado sea el mismo para decir si son o no proporcionales. 16 8 ( 16)(2) 32 Ambas razones son proporcionales entre sí. 4 2 (8)(4) 32 Regla de tres simple Una aplicación muy útil en las proporciones es el uso de la regla de tres simple. El cual a partir de tres cantidades conocidas se requiere obtener una cuarta que mantengan la proporción entre las razones. Esta regla se basa en el principio fundamental de las proporciones. (a)(d) =(b)(c) Ejemplo 3: Se tiene un cuarto que mide m de ancho por 8 m de largo y se quiere construir otro que mantenga la misma proporción, se sabe que el ancho del nuevo cuarto es de 7m, cuánto debe medir el largo?
Regla de tres simple El planteamiento será es a 8 como 7 es a? Esta interrogante le asignaremos la letra x 7 8 x La regla de tres simple me dice que los productos cruzados que tengan pareja se multiplican (se indican con la flecha) y se divide por el que no la tiene por lo que el valor de x será: Regla de tres simple x (7)(8) 6 11.20 m. Quiere decir que para que los cuartos sean proporcionales debe medir 7m x 11.20m. En ingeniería a este concepto se le llama escala. 6
Regla de tres simple Otra forma de resolver el problema, es planteando la siguiente tabla. Ancho Largo Referencia 8 Cuarto nuevo 7 x Para obtener el valor de x se multiplican los factores cruzados y se divide entre el factor que no tiene pareja. x (7)(8) 11.20 Por lo que el cuarto nuevo debe medir 7m x 11.20 m, para que guarden la misma proporción. Reglas de tres simple Ejemplo 4: Voy al supermercado y quiero comprar naranjas, el ciento de ellas cuesta $ 7.0 si solo tengo $20.00 cuántas naranjas puedo comprar? Volvemos a plantear nuestra tabla. N de Costo naranjas referencia 100 $ 7.0 compra x $ 20.00 7
Reglas de tres simple Realizamos la operación: (100)(20) x 7.0 34.78 Como no puedo compra 34.78 naranjas debo comprar sólo 34 naranjas. Proporciones Ejemplo : Si un litro de leche me cuesta $11.0 cuánto me costarán 8lts? Cantidad Costo Referencia 1 11.0 Calculo nuevo 8 x Realizamos la operación: x (8)(11.0) 1 92 Por lo que deberé pagar $92.00 por los 8 lts. de leche. 8
Bibliografía Zamora Muñoz, Salvador, Gerardo Vázquez Monroy y Lorenzo Sánchez Álvarez. Matemáticas I Álgebra Bachillerato. México: ST Editorial, 2007. (ISBN 970-9807-366). Créditos Diseño de contenido: Ing. Raquel Ramírez Peláez Coordinador de área: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED Edición de contenido: Lic. Miriam Gómez Moore, MED Edición de texto: Lic. Alejandra Zaragoza Scherman Diseño Gráfico: Miguel Angel Reynosa Castro, MANM 9