CAPÍTULO III 13 ALGUNAS PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO Conocimientos previos: - Suponemos conocido lo siguiente: a) El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos dados A y B, es una recta, llamada mediatriz de AB, que es perpendicular a AB en su punto medio. b) El lugar geométrico de los puntos del interior de un ángulo que equidistan de los lados del mismo, es una semirrecta llamada bisectriz del ángulo. c) Lugar geométrico = conjunto de puntos que cumplen una determinada condición. d) Segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas son iguales. e) Al cortar dos paralelas por una secante, se obtienen: ángulos alternos internos, iguales. ángulos alternos externos, iguales. ángulos correspondientes, iguales ángulos conjugados, suplementarios. f) Los criterios de congruencia de triángulos: 1) Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo que forman, son congruentes. 2) Si dos triángulos tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos contiguos, son congruentes. 3) Si dos triángulos tienen respectivamente iguales los tres lados, son congruentes. (Congruentes = superponibles mediante un movi miento). g) La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto. - También se supone conocido lo siguiente: Trazar: la mediatriz de un segmento; Ia perpendicular a una recta desde un punto cualquiera del plano; y la para lela a una recta que pase por un punto dado; usando como herramientas la regla y el compás.
14 Teorema III-1 Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto, llamado circuncentro, que es el centro de la cir cunfe rencia circunscrita al triángulo. Dem.: Sea un triángulo ABC. La mediatriz de AB y de BC se cortan en un punto O, que equidista de A y de B (por ser la mediatriz de AB); equidista de B y de C por; ser la mediatriz de BC; luego equidis ta de A, B y C y con centro en él se puede trazar una circunferencia circunscrita al triángulo: Teorema III- 2 Las tres bisectrices interiores de un triángulo se cortan en un punto, llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Dem.: La bisectriz del ángulo A y la del ángulo B se cortan en I; el cual punto equidista de AB y AC; de BC y BA; luego equidista de CA y CB y está también en la bisectriz del ángulo C. Por distar igual de 3 rectas, puede trazarse con centro en él una circunferencia tangente a las tres; y situada den tro del triángulo (circunferencia inscrita).
Teorema III - 3 Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. (altura = perpendicular trazada desde cada vértice al lado opuesto). 15 Dem : Por cada vért ice del triángulo ABC se trazan para lelas al lado opuesto, las cuales forman un nuevo triáng ulo. Las alturas de ABC se convierten en las mediatrices de A'B'C', (Pues B'C = CA' = AB) que por tanto se cortan en un punto.
EJERCICIOS CAPÍTULO III 16 Nota: Para las construcciones gráficas se supondrá que sólo se usan la regla y el compás. La notación de los elementos de un triángulo será habitualmen te así: - a, b y c, lados. - A, B y C, vértices opuestos (en el mismo orden). A ˆ,ˆ ˆ - By C, ángulos. - h a, h b, h c, alturas. - m, m a b, m c, medianas. Método de los lugares geométricos Usando este método se pueden resolver muchos problemas de construcciones geométricas. Consiste en determinar dos lugares geométricos en los que debe hallarse un punto buscado (conocidos por las condiciones que debe cumplir dicho punto). En la intersección de los dos lugares geomé tricos debe hallarse el punto que se busca. Figuras auxiliare s Para hacer el análisis de un problema de construcciones gráficas, es una gran ayuda una figura auxiliar, construida suponiendo el problema resuelto. En esa figura auxiliar se identifican las relaciones entre ele mentos de la solución. Con esas relaciones, puede hacerse a continuación la síntesis, o construcción de la figura buscada a partir de los elementos que se conocen.
17 Ejercicios resueltos III-1. Construir un triángulo conociendo a, b y c. Resolución: Construimos una figura auxiliar suponiendo el problema re suelto: Observamos en ella que A está a distancia c de B. O sea, A está en una circunferencia de centro B y radio c. Esta circunferencia es el primer lugar geométrico de A. Por análogo motivo, A está también en otra circunferencia de centro C y radio b (segundo lugar geométrico de A). En la intersección de las 2 circunferencias está el Punto A. Como 2 circunferencias secantes se cortan en los 2 puntos, habrá 2 soluciones, en general. Si las circunferencias no se cortaran, no habría solución posible. Hecho ya el análisis anterior, podemos pasar a la síntesis usando los datos siguientes: a b c
18 Colocamos a en posición; sus dos extremos son B y C. Desde B trazamos una circunferencia de radio c y desde C otra de radio b; en su intersección está A, que unido con B y C, re suelve el problema: Se obtienen 2 soluciones, A 1 BC y A 2 BC, triángulos congruentes (por tener los 3 lados respectivamente iguales). III - 2. Construir un triángulo conociendo a, b y A. Resolución: Suponiéndolo resuelto: es).
19 Observamos que A y C están a distancia b; que B está en el 2 º lado del ángulo A (una recta, primer lugar geométrico de B); y que B está a distancia a de C (o sea, en una circunferencia de centro C y radio a, que es el segundo lugar geométrico de B). Donde se corten dich a recta y dicha circunferencia, estará el punto B. Como la intersección de una recta con una circunferencia puede ser dos puntos, un punto, o ningún punto, puede haber dos soluciones, una, o ninguna. Datos: Colocamos b en posición; sus extremos son A y C; y sobre el extremo A construimos el ángulo  Trazamos una circunferencia de centro C y radio a; corta a la recta, en nuestro caso, en 2 puntos B 1 y B 2, obteniendo dos soluciones: AB 1 C y AB 2 C, dos triángulos diferentes (y no congruentes) que cumplen las especificaciones de los datos:
20 Ejercicios propuestos Construir un triángulo conociendo: III-3 a, b y ma. III -4. a, b y h a. III - 5. III - 6. Construir un paralelogramo conociendo las diagonales y el ángulo que forman. Construir la bisectriz de un ángulo: a) de vé rtice accesible. b) de vértice inaccesible (los lados del ángulo se cortan fuera de los límites del dibujo). III -7. Trazar la perpendicular a una recta desde un punto P, usando sólo la regla y el compás. III - 8. Trazar la paralela a una recta por un punto P, usando sólo regla y compás. III - 9. Dadas 2 rectas paralelas a y b y un punto P cualquiera situado entre ellas, trazar una circunferencia tangente a a y b y que pase p or P. III -10. Dadas 2 rectas paralelas a y b y una circunferencia c, trazar una circunferencia que sea tangente a a, b y c.