Qué es la Teoría Matemática de Control

Qué es la Teoría Matemática de Control Constanza Sánchez de la Vega Departamento de Matemática, Facultad de Cs. Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires. 21 de Octubre de 2009

Controlar Controlar un objeto significa influenciar su comportamiento de manera de alcanzar un fin deseado. Para implementar esta influencia, los ingenieros construyen dispositivos que incorporan distintas técnicas matemáticas. Estos dispositivos van desde los acueductos romanos máquina de vapor de Watt hasta sofisticados controladores de microprocesadores que se encuentran entre los objetos que consumimos como ser: reproductores de CD autos o en la industria robótica aeronavegación (pilotos automáticos)

Un ejemplo sencillo - El tanque de agua Tenemos un cilindro 3 metros de altura (H = 3) 2 metros de diámetro (r = 1) Si le ponemos agua a razón de 1 litro cada 30 segundos, es decir 120 litros por hora. La altura h de agua alcanzada en el tanque está controlada por la cantidad de agua que dejamos entrar en el tanque. El volumen del cilindro viene dado por Vol = r 2 h.

El tanque de agua Recordemos: r = 1 y entonces Vol = h. En una hora entran 120 litros de agua. 1 metro cúbico equivale a 1.000 litros. 1 hora 120 litros Vol = 0, 12m 3 h = 0,12 0,0382 m. 10 horas 1200 litros Vol = 1, 2m 3 h = 1,2 0, 382m. 72 horas 8640 litros Vol = 8, 64m 3 h = 8,64 2, 75m. Si llamamos estado a la altura de agua que hay en el tanque y control a la cantidad de litros de agua que entra en el tanque, vemos que h = estado del sistema depende de C(t) = 120 t = control donde t es la cantidad de horas h(c(t)) = C(t) 1000

El concepto de Optimización Si pienso que la cantidad de agua que sale de la canilla depende del esfuerzo que se haga, entonces entre todas las formas que tengo de llenar el tanque hasta una cierta altura prefijada, puedo buscar la que produzca menor esfuerzo en un tiempo dado, o la que tarde menos tiempo. Figura: Bomba manual de agua

El concepto de Controlabilidad Fijados un tiempo en el que quiero que se llene el tanque y una altura hasta donde quiero llenarlo, puedo preguntarme si hay alguna manera de llenarlo de manera de cumplir con esos requisitos. Si la cantidad máxima de agua por minuto que puedo poner en el tanque es de 5 litros. Podré llenarlo hasta la altura máxima en 1 día? Recordemos que: La altura del tanque es de 3 metros. El Volumen total del tanque es 3 m 3 9, 4m 3 = 9400 lts. 24 horas equivalen a 1440 minutos y 1440 5 = 7200. Si ahora la cantidad máxima de agua por minuto que puedo poner en el tanque es de 7 litros, vemos que hay muchas maneras de llenar el tanque hasta el tope en 1 día (1440 7 = 10080).

El concepto de Feedback o Retroalimentación Si el tanque tuviera un flotador, éste mide en todo momento la altura del agua en el tanque y corta el ingreso de agua cuando ésta llega a la altura máxima. Este mecanismo, observa el estado del sistema en cada momento, a partir de lo cual se decide cómo determinar el control. Si el tanque tuviera una pérdida o un exceso de agua ingresando por alguna falla, el flotador permitiría mantener el nivel de agua deseado, en contraposición con un control predeterminado que fuera programado para llenar el tanque sin la existencia de un flotador. En este caso el control se determina en cada momento y permite corregir las desviaciones del comportamiento deseado.

Los acueductos romanos Figura: El acueducto de Segovia Los romanos diseñaron un sistema de esclusas (un dispositivo por el que el agua fluye por debajo de una puerta) para mantener el nivel de agua constante.

Regulador de velocidad Las necesidades para la navegación tuvieron una fuerte influencia en los científicos y las investigaciones tecnológicas durante los siglos XVII y XVIII. En el siglo XVIII, se construyeron unos molinos de viento para controlar la velocidad de navegación. La idea fue utilizar dos pelotas enganchadas en un eje que giraba junto con el molino de viento, de manera que la fuerza centrífuga hiciera que se elevaran. Este movimiento de elevación hacía desplazar un eje que afectaba la posición de las velas.

Máquina de vapor Durante la Revolución Industrial, con la adaptación de James Watt en 1769 de los controladores de velocidad a las máquinas de vapor, los mecanismos de control se hicieron muy populares. Figura: Máquina a vapor de Watt

Modelo económico En 1928, Frank P. Ramsey, matemático inglés, desarrollo un modelo económico que lleva su nombre. En este modelo se asume que k es el capital c es el consumo f (k) es la producción a partir de un capital k Por lo tanto, si dejo pasar un período de tiempo desde t = t 0 hasta t = t 1 = t 0 + 1, la relación entre el consumo y el capital viene dado por k(t 1 ) = k(t 0 ) + f (k(t 0 )) c(t 0 ). O dicho de otra manera, la variación del capital es: dk dt = f (k) c. Es decir, el consumo controla el estado del capital.

Modelo económico El modelo de Ramsey, planteaba que una persona busca maximizar su consumo intertemporalmente y por lo tanto dado un capital inicial, se preguntaba como debía ser el mejor consumo en cada momento en un cierto período de tiempo.

Aterrizaje de un cohete Queremos aterrizar un cohete suavemente, es decir, con velocidad 0, en una cierta superficie. h(t) es la altura del cohete respecto de la superficie. u(t) es la propulsión instantánea hacia arriba producido por el encendido de los motores. g es la fuerza de gravedad. m(t) es la masa del cohete.

Aterrizaje de un cohete Como el combustible se consume con el encendido de los motores, la masa del cohete va decreciendo, asumimos que en forma proporcionalmente negativa a la propulsión. Es decir, la variación de la masa respecto del tiempo viene dada por dm = k u. dt Por otro lado, sabemos que la velocidad v(t) es la variación de la posición, en este caso la altura h(t). Y la aceleración a(t) es la variación de la velocidad. Luego por la Ley de Newton, se tiene que m(t) a(t) = Fuerza = u(t) g m(t)

Aterrizaje de un cohete El sistema queda descripto por las ecuaciones dh dt = v, h(0) = h 0 dv dt = g + u m, v(0) = v 0 dm dt = k u, m(0) = m 0 El estado del sistema en cada momento, que en este caso viene dado por la masa m(t) y la altura h(t) están controlados por la propulsión del motor u(t). Se busca determinar la propulsión de los motores necesario para que el cohete aterrice en la superficie suavemente en un cierto tiempo t f de manera que se consuma la menor cantidad de combustible posible. Es decir, se quiere determinar el control u de manera que h(t f ) = 0, v(t f ) = 0 y la pérdida de masa del cohete: m(0) m(t f ) sea mínima. Se puede tomar t f dado o libre.

Algunas aplicaciones Robótica: procesos de control que permiten que un robot camine o tome un objeto. Industria aeroespacial: control activo en las alas de los aviones para volver el perfil más aerodinámico. mecanismos de feedback para el piloto automático. Medicina: diseño de mecanismos de suministro de insulina equipados de chips de control. control de la intensidad de una cierta terapia a utilizar para minimizar una función que mide la patología del tumor. Tecnología: mecanismos de control en los reproductores de CD que permite alcanzar altas velocidades de rotación sin afectar la estabilidad del disco.

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