Juegos Repetidos Alvaro J. Riascos Villegas Universidad de los Andes Mayo de 2016 Contents 1 Introducción 2 2 Ejemplo horizonte finito 2 3 Horizonte infinito 2 4 Equilibrios de Nash 4 5 Equilibrios Perfectos en Subjuegos 5 6 Aplicaciones 5 6.1 Oligopolio............................... 5 6.1.1 Cournot con información perfecta.............. 5 6.1.2 Cournot con información imperfecta............ 7 6.1.3 Bertrand........................... 7 A Principio de una única desviación es suficiente 7 Notas de clase basadas en Mas-Colell et.al [1995], Myerson, R. [1990] y Vega - Redondo,F [2003], Zamir, Sh. [2010] en The Second Brazilian Workshop of the Game Theory Society in honor of John Nash. 1
1 Introducción Dos conceptos nuevos surgen cuando consideramos que un juego puede repetirse un número finito o infinito de veces: Coordinación y reputación. La caracteríca principal de los juegos repetidos es que cada vez que se deben tomar acciones, el juego es el mismo. Cuando las acciones o el juego que se juega van cambiando el modelo es el que se conoce como juegos estocásticos. La repetición finita de un juego puede introducir equilibrios nuevos (EN, EPS), diferentes a jugar siempre el equilibrio del juego estático. Entre mayor sea el horizonte más equilibrios pueden surguir. 2 Ejemplo horizonte finito Ejemplo 1 Considere el siguiente juego repetido dos veces: 1\2 D C D 1,1 4,0 C 0,4 3,3 En este juego, todos los equilibrios del juego repetido implican jugar (D, D) en cada etapa. Sin embargo, la estrategia C puede utilizarse por fuera del camino de equilibrio. Por ejemplo considere la siguiente estrategia para cada jugador 1: En la primera etapa jugar D y en la segunda etapa, si el adversario jugó D jugar D de lo contrario jugar la mixta: ( 1 8, 7 8 ). Ahora a diferencia del ejemplo anterior donde todos los equilibrios son equivalentes en términos del resultado, puede ocurrir que surjan equilibrio nuevos. Ejemplo 2 Considere el siguiente juego repetido dos veces: 1\2 D C P D 1,1 4,0-1,0 C 0,4 3,3-1,0 P 0,4 3,3-2,-2 El único equilibrio del juego estático es (D, D). Sin embargo existen nuevos equilibrios del juego dinámico. Jugar C en la primera etapa y si el oponente juega C en la primera etapa jugar D. Caso contrario jugar D. 3 Horizonte infinito Ejemplo 3 Considere un juego repetido una infinidad de veces del juego estático: 2
1\2 D C D -10,-10 0,-12 C -12,0-1,-1 y suponga que la utilidad de cada jugador es de la forma: π δ i = δ t 1 π i (1) donde π i es el pago para i de acuerdo al juego estático. Considere la siguiente estrategia (trigger strategy): 1. En t 1 jugar C si ningún jugador ha jugado D en t 1 o antes. 2. Caso contrario jugar D. Si δ 2 3 entonces esta estrategia es un equilibrio de Nash. Por simplicidad supongamos δ = 2 3. Para ver esto, obsérvese que el pago en el equilibrio propuesto π es: 1 π = ( 2 3 )t 1 ( 1) = 3 (2) Ahora, si alguien intenta desviarse en t 0 = 0 entonces su pago será: t 0 1 ( 2 3 )t 1 ( 1) + 0 + t=t 0+1 ( 2 3 )t 1 ( 10) < 3. (3) Obsérvese que solamente hemos considerado desviaciones del equilibrio en una sola iteración del juego. Para una demostración de que esto es suficiente véase el Apéndice a estas notas. El modelo general que vamos a considerar es el siguiente. El juego estático lo denotamos por (N, (A i ), (W i )). Este juego se repite en varias ocasiones y todos los jugadores pueden observar lo que todos han jugado en el pasado. Las funciones de pago que vamos a considerar son de la forma: π δ = (1 δ) δ t 1 π i (4) Denotamos este juego repetido una infinidad de veces por R δ (W ). 1 Donde hemos utilizado que n xt 1 = 1 xn 1 x 3
4 Equilibrios de Nash Sea V = Conv{v R n : v = (W 1 (a 1 )...W n (a n ), a i A i }. Estos son los pagos posibles del juego estático incluyendo la posibilidad de que los jugadores utilicen un mecanismo de coordinación estocástico. Sea v i el menor valor al que puede ser forzado i si todos los demás coordinan para castigarlo. Esto es: v i = min α i i max αi i W i (α i, α i ) (5) v i puede interpretarse como una restricción de racionalidad individual ya que cualquier valor menor puede ser bloqueqdo por i. Teorema 1 (Equilibrio de Nash en Horizonte Infinito) Sea(v 1,...v 1 ) V, v i > v i para todo i. Entonces si δ es lo suficentemente grande, existe un equilibrio de Nash del juego R δ (W ) con pago v i para cada jugador. Prueba. Por simplicidad supongamos que existen a i A i tal que v i = W i (a 1,..., a n ). 2 Sea (α1, i..., αn) i la estrategias que implementan el valor minmax para el jugador i. Ahora considere la estrategia para el jugador i: en t jugar a i si antes de ningún jugador j se ha desviado de forma unilateral de jugar a j. Caso contrario jugar α j i donde j es el pirmer jugador que se desvió de forma unilateral. Este es un equilibrio de Nash. Si i intenta desviarse en en t 0 a a i el pago es: t 0 1 (1 δ) δ t 1 W (a i, a i ) + (1 δ)δ t0 1 W (a i, a i ) + (1 δ) t=t 0+1 δ t 1 W (α i i, α i i) (6) (1 δ t0 1 )v i + (1 δ)δ t0 1 W (a i, a i ) + δ t0 v i (7) donde a i es la mejor respuesta de i en el juego estático a a i. Sea f(δ) = (1 δ)v i + (1 δ)δ t0 1 W (a i, a i ) + δ t0 v i y obsérvese que lim δ 1 f(δ) = v i < v i. Luego si δ es lo sufientemente cerca de 1 no existen incentivos a desviarse. Ejemplo 4 Considere los juegos estáticos de la página 290 de Vega - Redondo. En ambos casos el valor minmax en estrategias puras para cada jugador es 1. En el primer juego es posible implementar el pago eficiente (4, 4). En el segundo ejemplo, obsérvese que solo hay un equilibrio de Nash en el juego estático. Ahora en el juego repetido es posible implementar el pago (2, 2) que es inferior a jugar el equilibrio de Nash del juego estático en todas las repeticiones del juego. 2 En este caso se puede definir v i utilizando únicamente estrategias puras. 4
Ejemplo 5 Considere el juego: 1\2 A B A 3,3-1,4 B 4,1 ɛ, ɛ Si ɛ > 0 la estrategia del gatillo es un SPE. Si ɛ > 0 y los agentes no son lo suficientemente pacientes, la estrategia del gatillo no es SPE. El mensage es que los equilibrios de los juegos repetidos nos son robustas a pequenñas perturbaciones del juego. 5 Equilibrios Perfectos en Subjuegos Sea ṽ i el menor pago que el jugador i puede llegar a tenr en un algún equilibrio de Nash del juego estático. Debe ser claro que ṽ v i. El teorema principal dice que si tenemos un vector de pagos (v 1,..., v n ) tal que v i > ṽ i entonces si δ es lo suficientemente grande, existe un equilibrio perfecto en subjuegos del juego repetido R δ (W ) que implementa este vector de pagos. 6 Aplicaciones 6.1 Oligopolio 6.1.1 Cournot con información perfecta Esta aplicación pone de manifiesto como un grupo de empresas puede sostemer un cartel de forma implícita. Tenemos n firmas que producen un bien homogéneo. F : R R denota la demanda agregada. Suponemos que satisface la ley de la demanda. La función inversa la denotamos por P : R R Cada firma tiene una función de costos creciente C i : R + R +. Por simplicidad vamos a suponer que todas la firmas son homogéneas. El conjunto de estrategias de cada firma es el nivel de producción q i. El pago neto Π i (q i, q i ) = P (Q)q i C i (q i ), donde Q es la oferta total que suponemos se agota completamente en el mercado. Denotamos por x c el producto de cada firma en el equilibrio de Nash simétrico del juego estático donde las firma compiten a la Cournot. Si las firmas pudieran coordinar creiblemente en un nivel de producción eficiente y simétrico entonces ellas podrían resolver el problema de maximización de la suma de los beneficios de cada firma. Denotaremos este nivel de producción eficiente por x m. 5
Supongamos que la función de demanda inversa es lineal: max{0, M dq} (8) y los costos marginales son constantes e iguales a c. Entonces los nivles de producción respectivos son: x c = M c (n + 1)d (9) y x m = M c 2nd (10) Obviamente, con más de dos firmas: x c > x m Si las firmas anticipan que competiran durante un número finito de periodos, sabemos que no van a surgir arreglos colusivos creíbles: el único equilibrio perfecto en subjuegos es replicar el equilibrio del juego estático. Si anticipan que van a competir de forma indefinida y si son lo suficientemente pacientes, estos pueden coordinar para sustentar el equilibrio eficiente x m. En efecto, la estrategia: Jugar siempre x m excepto si alguien se ha desviado con anterioridad en cuyo caso se juega siempre x c, es un equilibrio que implementa el pago simétrico de colusión perfecta. El problema con esta estrategia es que primero, en general el castigo de desviarse en algún periodo (hacia el equilibrio de Nash del juego estático) no tiene consecuencias cuantitativamente muy importantes y segundo, está sustentada en una amenaza de castigo excesivamente prolongado que no pareceria muy razonable dado que los agentes tienen también una infinidad de tiempo para renegociar en caso de que esto suceda. Otro tipo de estrategias que mitigan estos dos problemas (castigos más relevantes y más cortos) son las estrategias de garrote y zanahoria (Abreu [1986]). Estas estrategias consistent en en escoger un nivel de producción lo suficientemente bajo para que tenga efectos importantes en el el beneficio de las firmas (cuando todas producen esa cantidad). Llamamos este el nivel producción de castigo. La estrategia se define ahora así: En el primer periodo todos juegan x m. En cualquier otro periodo: Si todos han jugado x m, jugar x m. Si todos en el periodo anterior se han castigado entonces retornar a x m. Cualquier otro caso castigar. 6
6.1.2 Cournot con información imperfecta 6.1.3 Bertrand A Principio de una única desviación es suficiente Fijemos un jugador i y un conjunto de estrategias (γ i,t ),... para los demás jugadores. Sea (γ i,t ),... una estrategia del jugador i y π el pago asociado cuando todos juegan (γ i,t ),...,i=1,...n. Supongamos que el jugador i tiene una estrategia (γ i,t ),... tal que el pago asociado es π > π cuando el usa esta estrategia y todos los demás usan (γ i,t ),... Entonces existe una estrategia (γ i,t ),... para el jugador i tal que: 1. γ i,t = γ i,t para todo t excepto un único valor de t = T. 2. π > π donde π es el pago de i cuando el usa la estrategia (γ i,t ),... y los demás usan (γ i,t ),... Para ver esto obsérvese que si π > π entonces no puede ser cierto que para todo t: π t (γi,t, γ i,t ) π t(γ i,t, γ i,t ). Sea T cualquier t para el cual: π T (γi,t, γ i,t ) < π T (γ i,t, γ i,t ) entonces la estrategia (γ i,t ),... para el jugador i tal que: 1. γ i,t = γ i,t para todo t T 2. γ i,t = γ i,t para t = T satisface las propiedad deseada. 7