Teoría de las decisiones y de los juegos Asignatura: Profesores: Sjaak Hurkens y Flip Klijn Examen: 6 de febrero de 2008

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1 Teoría de las decisiones y de los juegos Asignatura: 50 Profesores: Sjaak Hurkens y Flip Klijn Examen: 6 de febrero de 008 Observaciones: Versión: Duración: 3 horas Documentos autorizados: ninguno Teléfonos móviles: apagados y guardados No se permite hacer el examen con lapiz No se permite arrancar hojas Dar el resultado final sin explicaciones no será considerado como una respuesta válida P.. (0 puntos) Considera el juego en forma normal G = {N; S A, S B ; u A, u B } donde N = {A, B} es el conjunto de jugadores, S A = {a, a, a 3, a 4 } y S B = {b, b, b 3, b 4 } los conjuntos de estrategias. Los pagos están resumidos en la matriz de pagos: A\B b b b 3 b 4 a (, 0) (, 7) (8, ) (3, 6) a (5, 5) (0, 8) (6, 3) (0, 4) a 3 (3, 0) (0, 5) (, 3) (6, 4) a 4 (4, ) (3, ) (3, 6) (4, ) (a) Cuáles son las estrategias estrictamente dominadas de A? Y, cuáles son las estrategias estrictamente dominadas de B? Solución: Ninguna estrategia del jugador A es estrictamente dominada. Por ejemplo, la estrategia a no es estrictamente domindada ya que ninguna otra estrategia le da siempre un pago estrictamente mayor. (Porque u A (a, b 3 ) u A (a i, b 3 ) para i =, 3, 4.) Solamente las estrategias b y b 4 del jugador B son estrictamente dominadas. De hecho, la estrategia b domina ambas estrategias: u B (a j, b ) > u B (a j, b ) y u B (a j, b ) > u B (a j, b 4 ) para j =,, 3, 4. También lo hemos indicado en la matriz de pagos (los pagos de las estrategias dominadas han sido subrayados, y los pagos de la estrategias que las domina en negrita): A\B b b b 3 b 4 a (, 0) (,7) (8, ) (3, 6) a (5, 5) (0,8) (6, 3) (0, 4) a 3 (3, 0) (0,5) (, 3) (6, 4) a 4 (4, ) (3,) (3, 6) (4, )

2 (b) Cuáles son las estrategias que sobreviven la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas? Determina el juego resultante G. Solución: Ya hemos visto en el apartado (a) que se pueden eliminar las estrategias b y b 4 del jugador B. Por tanto, el juego efectivo se ha reducido a un juego de 4, la matriz del cual es la siguiente: A\B b b 3 a (, 7) (8, ) a (0, 8) (6, 3) a 3 (0, 5) (, 3) a 4 (3, ) (3, 6) Repetimos la eliminación de estrategias dominadas. Vemos que las únicas estrategias dominadas en el juego reducido son las estrategias a y a 3 del jugador A tal y como hemos indicado en la figura izquierda: A\B b b 3 a (, 7) (8, ) a (0, 8) (6, 3) a 3 (0, 5) (, 3) a 4 (3, ) (3, 6) A\B b b 3 a (, 7) (8, ) a 4 (3, ) (3, 6) Por tanto, el juego reducido después de eliminar estas estrategias es el juego a la derecha. Se comprueba directamente que en este juego no hay estrategias dominadas. Por tanto, este es el juego que queda después de la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas. (c) Determina todos los equilibrios de Nash en estrategias puras del juego G (el juego original). Solución: Sabemos que en un equilibrio de Nash ningún jugador utilizará ninguna estrategia eliminada en el apartado (b). Por tanto, solamente hemos de considerar el juego reducido después de la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas. Ahora hemos de buscar las mejores respuestas a las estrategias puras de este juego. Por ejemplo, si el jugador B utiliza su estrategia b entonces la mejor respuesta del jugador A es a 4 ya que le da un pago de 3 mientras que su (única otra) estrategia a solamente le da un pago de 4. Subrayamos 3 en la matriz de pago para indicarlo. Si hacemos lo mismo con las otras estrategias puras de ambos jugadores obtenemos todas las mejores respuestas: A\B b b 3 a (, 7) (8, ) a 4 (3, ) (3, 6) Vemos que en ninguno de los 4 perfiles (a, b ), (a, b 3 ), (a 4, b ) y (a 4, b 3 ) ambos jugadores dan al mismo la mejor respuesta. Es decir, en cada uno de los 4 perfiles algún jugador dispone de una desviación profitable. Por tanto, no hay equilibrio de Nash en estrategias puras. Por ejemplo, el perfil (a, b ) no es equilibrio de Nash ya que el jugador A puede mejorar (estrictamente) su pago si utiliza la estrategia a 4 en lugar de a.

3 P.. (5 puntos) Considera el juego en forma normal G = {N; S A, S B ; u A, u B } donde N = {A, B} es el conjunto de jugadores, S A = {a, a } y S B = {b, b } los conjuntos de estrategias. Los pagos están resumidos en la matriz de pagos: A\B b b a (, 9) (9, 3) a (4, 4) (4, 8) (a) Calcula las funciones de mejores respuestas y represéntalas gráficamente. Solución: Sea (p, p) (o simplemente p) la estrategia de jugar la estrategia a con probabilidad p y la estrategia a con probabilidad p. Sea (q, q) (o simplemente q) la estrategia de jugar la estrategia b con probabilidad q y la estrategia b con probabilidad q. Calculamos las correspondencias R i de mejores respuestas para ambos jugadores. Para hallar las mejores respuestas del jugador A fijemos la estrategia q del jugador B. El jugador A es indiferente entre jugar a y a si y sólo si u A (a, q) = u A (a, q), lo cual es equivalente a q + 9( q) = 4q + 4( q) = 4, o sea, q = Es 7 fácil verificar que si q < 0.7; R A (q) = [0,] si q = 0.7; 0 si q > 0.7. Para hallar las mejores respuestas del jugador B fijemos la estrategia p del jugador A. El jugador B es indiferente entre jugar b y b si y sólo si u B (p, b ) = u B (p, b ), lo cual es equivalente a 9p + 4( p) = p + 7( p), o sea, p = = 0.4. Es fácil 5 verificar que 0 si p < 0.4; R B (p) = [0,] si p = 0.4; si p > 0.4. La representación gráfica de las funciones R A y R B viene dada por la Figura. q mejor respuesta R B 0.7 mejor respuesta R A 0.4 p Figura : Juego, problema : R A y R B 3

4 (b) Determina todos los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas y los pagos correspondientes. Solución: Utilizando la representación gráfica (la Figura ) de las correspondencias de mejor respuesta vemos que su intersección es el conjunto {(, 5 )}. Por tanto el único equilibrio de Nash del juego original es 5 7 (( 5, 35 ), (57, 7 ) ). Los pagos correspondientes son ( u A ( 5, 3 5 ), (5 7, ) ( 7 ) = u A a, ( 5 7, ) 7 ) = = 8 u B ( ( 5, 3 5 ), (5 7, 7 ) ) = u B (( 5, 3 5 ), b ) 7 = 4, = = 30 5 = 6. 4

5 P.3. (0 puntos) Considera el juego en forma extensiva de la Figura. d b d 3 (,, ) 3 b 3 d (6, 3, ) b d 3 (3, 3, 3) 3 b 3 (3,, 4) 3 d 3 (,, ) b 3 (4,, 0) Figura : Juego, problema 3 (a) Indica si les afirmaciones siguientes son verdaderas V o falsas F. Tacha (es decir, elimina/borra) las respuestas incorrectas. Solución: (i) Es un juego de información perfecta. VX F (ii) Es un juego de memoria perfecta. V FX (iii) Es un juego de suma zero. VX F (b) Cuál es el conjunto de estrategias del jugador 3? Solución: S 3 = {d 3, b 3 }. (c) Cuántos subjuegos hay? Solución: Uno. (El juego completo.) (d) Indica si les afirmaciones siguientes son verdaderas V o falsas F en relación a lo que los jugadores pueden ver en el momento de decidir su acción. Tacha (es decir, elimina/borra) las respuestas incorrectas. Solución: (i) no puede ver las acciones de y 3 V FX (ii) no puede ver las acciones de 3 V FX (iii) 3 no puede ver las acciones de V FX (iv) 3 puede ver las acciones de pero no las de VX F 5

6 (e) Calcula los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en estrategias puras, especificando el perfil, la trayectoria y los pagos. Solución: Como hay un solo subjuego, solamente hemos de calcular los EN de este juego. Primero buscamos el juego en forma normal correspondiente. Hay tres jugadores (, y 3) y hacemos que el jugador escoja la fila, el jugador escoja la columna y el jugador 3 la matriz. d 3 \ d b d (,, ) (3, 3, 3) b (,, ) (,, ) b 3 \ d b d (6, 3, ) (3,, 4) b (4,, 0) (4,, 0) Buscamos las mejores respuestas a todas las estrategias puras de todos los jugadores. Por ejemplo, la mejor respuesta del jugador a las estrategias (b, d 3 ) de los jugadores y 3 es d (ya que d le da un pago de 3, mientras b le da un pago de ). Otro ejemplo, la mejor respuesta del jugador 3 a las estrategias (d, b ) de los jugadores A y B es d 3 (ya que d 3 le da un pago de 4, mientras b 3 le da un pago de 3). Indicamos todas las mejores respuestas en negrita: d 3 \ d b d (,,) (3,3, 3) b (,,) (,,) b 3 \ d b d (6,3, ) (3,,4) b (4,, 0) (4,, 0) Hay un solo perfil en el que todos los jugadores dan la mejor respuesta a las estrategias de los demás jugadores: (b, d, d 3 ). Por tanto, el único equilibrio de Nash perfecto en subjuegos es (b, d, d 3 ). La trayectoria es b d 3 y los pagos (,, ). (f) Supón ahora que 3 puede observar todas las acciones de y antes de decidir. Representa el nuevo juego en forma extensiva (árbol). Determina los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en estrategias puras, especificando el perfil, la trayectoria y los pagos. Solución: Ahora el juego en forma extensiva es el de la Figura 3. Como es un d b d 3 (,, ) 3 b 3 d (6, 3, ) b d 3 (3, 3, 3) 3 b 3 (3,, 4) 3 d 3 (,, ) b 3 (4,, 0) Figura 3: Juego, problema 3f juego de información perfecta (ningún conjunto de información tiene más de un nodo de decisión), el EPS se halla por inducción hacia atrás, tal y como se ha 6

7 (3,, 4) d b (,, ) d 3 (,, ) 3 b 3 d (6, 3, ) b d 3 (3,, 4) (3, 3, 3) 3 b 3 (3,, 4) (,, ) 3 d 3 (,, ) b 3 (4,, 0) Figura 4: Juego, problema 3f: EPS indicado en la Figura 4. Concluimos que el único equilibrio de Nash perfecto en subjuegos es (d, b, d 3 b 3 d 3 ). La trayectoria es d b b 3 y los pagos (3,, 4). 7

8 P.4. (0 puntos) Dos duopolistas operan en un mercado a la Cournot con una demanda inversa dada por P (Q) = max{0, 4 Q}, donde Q = q + q y q i 0 es la cantidad producida por la empresa i. La empresa tiene la función de coste lineal C (q ) = q, y la empresa tiene la función de coste lineal C (q ) = 3q. (a) Es (q, q ) = (0, 0) un equilibrio de Nash? Explica cuidadosamente la respuesta. (b) Existe un equilibrio de Nash (q, q) con q > 0 y q > 0? Si hay un equilibrio, especifica el perfil. Si no hay un equilibrio, explica cuidadosamente por qué no. (c) Existe un equilibrio de Nash (q, q ) = (q, 0) con q > 0? Si hay un equilibrio, especifica el perfil. Si no hay un equilibrio, explica cuidadosamente por qué no. (d) Existe un equilibrio de Nash (q, q ) = (0, q ) con q > 0? Si hay un equilibrio, especifica el perfil. Si no hay un equilibrio, explica cuidadosamente por qué no. Solución: Sea π i (q, q ) el pago (los beneficios) de la empresa i. Entonces, donde c = y c = 3. π i (q, q ) = max{0, 4 q q }q i c i q i, (a) Supongamos que (q, q ) = (0, 0) es un EN. Considera la desviación q = ǫ > 0 donde ǫ es una cantidad pequeña. Como (0, 0) es un EN, la desviación no es profitable: π (q, 0) π (0, 0) = 0. Si ǫ > 0 es suficientemente pequeño (es decir, muy cerca de 0), entonces 4 ǫ > 0. Luego, π (q, 0) = max{0, 4 q 0}q q = max{0, 4 ǫ 0}ǫ ǫ = (4 ǫ)ǫ ǫ = (3 ǫ)ǫ Concluimos que para ǫ > 0 suficientemente pequeño, (3 ǫ)ǫ 0. Como ǫ > 0, (3 ǫ) 0 para ǫ > 0 suficientemente pequeño. Por tanto, 3 0, una contradicción! Por tanto, (0, 0) no es un equilibrio. Es decir, no hay un equilibrio del tipo (a). (b) Supongamos que (q, q ) con q > 0 y q > 0 es un EN. Notamos primero que 4 q q > 0. Pues, si 4 q q 0 cada empresa i tiene una desviación profitable (producir 0): π i (q, q ) = max{0, 4 q q }q i c iq i = 0q i c iq i < 0, 8

9 mientras producir q i = 0 conlleva el pago 0. Como 4 q q > 0, hay un (pequeño) intervalo de valores de q > 0 alrededor de q (tal intervalo existe porque q > 0) con 4 q q > 0. En este intervalo la función de pago del jugador tiene la siguiente forma π (q, q ) = max{0, 4 q q }q q = (4 q q )q q. () Dado que (q, q) es un EN, el jugador no tiene incentivos para desviarse. En otras palabras, dada la estrategia q del jugador, q es débilmente mejor que cualquier otra estrategia en el intervalo que consideramos (alrededor de q ). Por tanto, q maximiza () en dicho intervalo. Por consiguiente, q satisface la CPO correspondiente: 4 q q = 0. () Por tanto, q = 3 q (3) Utilizando los mismos argumentos llegamos a una conclusión similar para la cantidad q : q = q y sustituyendo (3) en (4), ( ) 3 q q =, obtenemos (después de unos cálculos sencillos) q = 3 < 0, lo que supone una contradicción al supuesto que q > 0. Por tanto, concluimos que no hay un equilibrio del tipo (b). (c) Supongamos que (q, q) = (q, 0) con q > 0 es un EN. Notamos primero que 4 q > 0. Pues, si 4 q 0 la empresa tiene una desviación profitable (producir 0): π (q, 0) = max{0, 4 q 0}q q = 0q q < 0, mientras producir q = 0 conlleva el pago 0. Como 4 q > 0, hay un (pequeño) intervalo de valores de q > 0 alrededor de q (tal intervalo existe porque q > 0) con 4 q > 0. En este intervalo la función de pago del jugador tiene la siguiente forma π (q, 0) = max{0, 4 q }q q = (4 q )q q. (5) Dado que (q, 0) es un EN, el jugador no tiene incentivos para desviarse. En otras palabras, dada la estrategia q = 0 del jugador, q es débilmente mejor que cualquier otra estrategia en el intervalo que consideramos (alrededor de q ). 9 (4)

10 Por tanto, q maximiza (5) en dicho intervalo. Por consiguiente, q satisface la CPO correspondiente: 3 q = 0. (6) Por tanto, q = 3 Se comprueba fácilmente que (4 q q ) = (4 3 0 ) = 5 > 0. Por tanto, π (q, q ) = max{0, 4 q q }q q = 5 q q ( ) 3 = > 0 = π (0, q). La última desigualdad junto con (6) y el hecho de que π (q, 0) = q para q 4 nos lleva a la conclusión que si q = 0, entonces la función de pago q π (q, 0) del jugador tiene la forma de la Figura 5. Por tanto, q = 3 es mejor respuesta π (q, 0) ( 3 ) q Figura 5: Problema 4, caso (c) a q = 0. 0

11 Ahora vamos a verificar si q es mejor respuesta a q = 3. Primero notamos que para q 5, π (q, q ) = max{0, 4 q q }q 3q = 0q 3q < 0 (7) Ahora estudiamos qué pasa si 0 q < 5. Está claro que π (q, 0) = 0. (8) Además, la derivada de la función de pago (de una variable, q ) es π (q, q ) q = (4 q q )q 3q q = 4 q q 3 = q < 0. Esto, junto con (7) y (8) nos hace concluir que la función de pago q π (q, q ) del jugador tiene la forma de la Figura 6. Vemos que q = 0 es mejor respuesta π (q, q ) q Figura 6: Problema 4, caso (c) a q = 3. Por tanto, hay un solo equilibrio de Nash del tipo (c): ( ) 3, 0. (d) Supongamos que (q, q ) = (0, q ) con q > 0 es un EN. Notamos primero que 4 q > 0. Pues, si 4 q 0 la empresa tiene una desviación profitable (producir 0): π (0, q ) = max{0, 4 0 q }q 3q = 0q 3q < 0,

12 mientras producir q = 0 conlleva el pago 0. Como 4 q > 0, hay un (pequeño) intervalo de valores de q > 0 alrededor de q (tal intervalo existe porque q > 0) con 4 q > 0. Para este intervalo la función de pago del jugador tiene la siguiente forma π (0, q ) = max{0, 4 0 q }q 3q = (4 q )q 3q. (9) Dado que (0, q) es un EN, el jugador no tiene incentivos para desviarse. En otras palabras, dada la estrategia q = 0 del jugador, q es débilmente mejor que cualquier otra estrategia en el intervalo que consideramos (alrededor de q ). Por tanto, q maximiza (9) en dicho intervalo. Por consiguiente, q satisface la CPO correspondiente: 4 q 3 = 0. Por tanto, q = Se comprueba fácilmente que (4 q q ) = ( 4 0 ) = 7 > 0. Por tanto en el caso de una desviación q suficientemente pequeño), = ǫ > 0 del jugador (con ǫ π (q, q ) = max{0, 4 ǫ q }q q = (4 ǫ q)q q ( ) 5 = ǫ ǫ > 0. Por tanto, el jugador tiene una desviación profitable (producir q le da un pago superior que q). Concluimos que no hay un equilibrio del tipo (d). Resumiendo, hay un solo equilibrio de Nash (del tipo (c)). El perfil estratégico es ( ) 3, 0.

13 P.5. (0 puntos) Consideramos el juego dinámico de jugadores que consiste en jugar dos veces el juego G estático, dado por la siguiente tabla de pagos: \ L C R T (3, ) (0, 0) (5, 0) M (, ) (, ) (3, ) B (, ) (a, ) (4, 4) donde a es una constante. Los jugadores escogen simultáneamente una acción en la primera etapa. Luego observan el resultado y escogen de nuevo simultáneamente una acción en la segunda etapa. Suponemos que no hay descuento (es decir que el pago final es la suma de los pagos de las dos etapas). (a) La Figura 7 muestra (parcialmente) la representación en forma extensiva. Faltan Figura 7: Problema 5, juego los conjuntos de información. Indícalos (sólo en la parte representada en la Figura 7). Solución: Véase la Figura 8. (b) Cuántas estrategias tiene cada jugador? Solución: El jugador tiene un conjunto de información en la primera etapa y 9 conjuntos de información en la segunda etapa. En cada conjunto de información tiene que elegir entre las tres acciones T, M y B. Por tanto, tiene 3 0 = estrategias. Utilizando el mismo argumento (!), el jugador también tiene 3 0 = estrategias. (c) Cuántos subjuegos hay? Solución: Hay 0 subjuegos. En la Figura 7 cada nodo del jugador define un subjuego, y cada subjuego empieza en un nodo del jugador. 3

14 Figura 8: Problema 5, juego: conjuntos de información (d) Supón que a =. Cuáles son los pagos correspondientes a los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en estrategias puras? Solución: Si a = entonces el juego estático es el siguiente: \ L C R T (3, ) (0, 0) (5, 0) M (, ) (, ) (3, ) B (, ) (, ) (4, 4) Hemos indicado las mejores respuestas en negrita. Hay un único EN: (T, L). Por tanto, un teorema del Tema 3 (la Diapositiva 43) nos dice que el juego dinámico tienen un único resultado perfecto en subjuegos: en cada etapa se juega (T, L). Luego, los pagos son (3, ) + (3, ) = (6, ). (e) Supón que a = 0. Existe algún equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (en estrategias puras) en el que los jugadores obtienen los pagos (4, 4) en la primera etapa? En caso afirmativo, especificar el perfil estratégico completo y explicar cuidadosamente por qué es un equilibrio. En caso negativo, explicar cuidadosamente por qué no. Solución: Sí, en el siguiente equilibrio perfecto en subjuegos los jugadores obtienen los pagos (4, 4) en la primera etapa. Si a = 0 entonces el juego estático es el siguiente: \ L C R T (3, ) (0, 0) (5, 0) M (, ) (, ) (3, ) B (, ) (0, ) (4, 4) 4

15 Hemos indicado las mejores respuestas en negrita. Hay dos EN: (T, L) y (M, C). Podemos aprovechar la existencia de un segundo EN para obtener los pagos (4, 4) en la primera etapa. (Veáse también el Ejemplo 3.9 del Tema 3.) Estrategia s del jugador : Jugar B en la primera etapa; Si se ha jugado (B, R) en la primera etapa, jugar T en la segunda etapa. En caso contrario, jugar M. Estrategia s del jugador : Jugar R en la primera etapa; Si se ha jugado (B, R) en la primera etapa, jugar L en la segunda etapa. En caso contrario, jugar C. Está claro que en el perfil (s, s ) los jugadores obtienen los pagos (4, 4) en la primera etapa (y (3, ) en la segunda). Veamos porque estas estrategias constituyen un EPS. En cada subjuego que empieza en la segunda etapa: el perfil (s, s ) inducen a un EN del subjuego, a saber, o bien (T, L) o bien (M, C). En la primera etapa el juego efectivo es \ L C R T (4, 3) (, ) (6, ) M (3, 3) (, 4) (4, 3) B (4, 3) (, 3) (7, 5) Uno de los 3 tres equilibrios de Nash es (B, R), el perfil de acciones prescritas por las estrategias (s, s ). Por tanto, (s, s ) es un EPS. 5

16 P.6. (5 puntos) Considera el siguiente juego con información incompleta entre los jugadores y. El azar determina si los pagos de los jugadores son como en la matriz X o como en la matriz Y. La matriz X tiene probabilidad 3/4 de ser seleccionada mientras la matriz Y tiene probabilidad /4 de ser seleccionada. El jugador es informado sobre qué matriz ha sido seleccionada, pero el jugador no sabe cuál es la matriz seleccionada. El jugador elige entre las acciones A y B mientras jugador elige simultáneamente entre las acciones I y D. Los pagos son los que se dan en la matriz seleccionada por el azar. / I D A (3,6) (,3) B (,) (,3) Matriz X / I D A (4,) (3,3) B (0,6) (,) Matriz Y (a) Calcula el pago esperado de cada jugador en caso de que el jugador elige la estrategia A y el jugador elige la estrategia DD. Solución: u (A, DD) = (3/4)() + (/4)(3) =.5 y u (A, DD) = (3/4)(3) + (/4)(3) = 3. (b) Cuál es la mejor respuesta para el jugador cuando el jugador elige A? Cuál es la mejor respuesta para el jugador cuando el jugador elige B? Solución: Obviamente MR (A) = ID y MR (B) = DI. (c) Calcula todos los equilibrios Bayesianos en estrategias puras. Solución: Visto lo visto, sólo tenemos que calcular la mejor respuesta del jugador contra ID y contra DI. Ahora bien, MR (ID) = A (porque u (A, ID) = 3 y u (B, ID) = 5/4). Así mismo, MR (DI) = A (porque u (A, DI) = 7/4 y u (B, DI) = 6/4). Por tanto, el único equilibrio Bayesiano en estrategias puras es (A, ID). 6