Teoría de Juegos Solución Examen Final

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1 Teoría de Juegos Solución Examen Final Marcela Eslava 5 de noviembre de 016 Instrucciones No contestamos preguntas durante el examen No se permite el uso de calculadoras, celulares ni ningún otro aparato eléctrico o electronico, ni de notas de clase o apuntes. Tiene hasta las 8:50 am para responder Calificaremos tanto los resultados finales como los argumentos con que los soporte. Certifico haber respondido este examen con honestidad, sin utilizar ayudas no permitidas. Firma: 1

2 1. Considere dos productores del mismo bien que se enfrentan en un mercado y enfrentan una curva de demanda dada por P = 8 Q donde Q es la cantidad total vendida en el mercado y est de las cantidades de las dos firmas: Q = q 1 + q. dada por la suma Las dos empresas enfrentan curvas de costos dadas por C i = c i q i, donde i = {1, } y c i = 4. Cada empresa escoge su respectiva cantidad, q i con el objetivo de maximizar sus beneficios. La empresa i = 1 escoge su cantidad en el periodo t = 1. Luego de observar esta escogencia, la empresa escoge q. Luego de que las dos cantidades se revelan, las empresas realizan las ventas y reciben sus beneficios. a. (0. puntos) Escriba y explique la función objetivo de cada empresa. Función de beneficios de la firma i: b. (0.8 puntos) Encuentre el Equilibrio Perfecto de Subjuegos. Desarrolle su procedimiento de manera cuidadosa (y que sea clara para quien califica) y al final de éste escriba tanto las cantidades que las firmas producen en este equilibrio como las estrategias que juegan en él. El EPS se encuentra utilizando el procedimiento de inducción hacia atrás. Empezamos encontrando en t= la función de mejor respuesta de la firma i= ante cualquier estrategia de i=1. 4 Lo primero es determinar si la función, es cóncava en. 4 0

3 Como la segunda derivada de la función, es negativa, entonces se concluye que la función es cóncava en, motivo por el cual se sabe que la firma i= maximiza su utilidad cuando: Ahora, en t=1la firma i=1 conoce la mejor respuesta de la firma i= y por ende maximiza la siguiente función de beneficios: Reemplazando la ecuación (1) en : Miramos si es cóncava en : Como la segunda derivada de la función es negativa, entonces se concluye que la función es cóncava en, motivo por el cual se sabe que la firma i=1 maximiza su utilidad cuando: 0 3

4 0 De acuerdo con los resultados obtenidos anteriormente se puede concluir que: Cantidades producidas en el EPS:, 1 Estrategias que se juegan en el EPS:,. Ahora suponga que el mismo juego se juega de manera simultánea: los dos jugadores escogen sus cantidades al tiempo. a. (0.4 puntos) Qué concepto de equilibrio utilizaría la teoría de juegos clasica que hemos estudiado para solucionar este juego? Cómo se define el equilibrio según ese concepto? Utilizaría el concepto de Equilibrio de Nash (EN). Según el concepto de EN el equilibrio se define como un conjunto de estrategias que son mejores respuestas mutuas, es decir, es un conjunto de estrategias tal que ningún jugador tiene incentivos a desviarse de manera unilateral. b. (0.3 puntos) Encuentre el o los equilibrios según ese concepto. Si las dos firmas juegan de forma simultánea, cada una maximiza la siguiente función de beneficios: 4 La función de mejor respuesta (MR) de cada una de las firmas ante cualquier cantidad que produzca la otra firma será: La ecuación () es la función de mejor respuesta de la firma i ( 4 ).

5 Por simetría, se tiene que : 3 El EN es donde se encuentran o intersecan las funciones de mejor respuesta de los jugadores. Por tanto, para encontrarlo en esta situación solo basta con reemplazar (3) en () Dado lo anterior, la firma i producirá en el EN: Por ende, para este juego el, c. (0.3 puntos) Comparando su respuesta en este punto con la del anterior, responda lo siguiente: Existe una ventaja de tener la oportunidad ser el primero que mueve? Explique. SE CALCULAN LOS BENEFICIOS DE AMBAS FIRMAS EN EL JUEGO DINÁMICO. SE MUESTRA QUE LOS BENEFICIOS SON MAYORES PARA QUIEN JUEGA DE PRIMERAS. SE CONCLUYE QUE HAY VENTAJA DE MOVER DE PRIMERO EN LUGAR DE MOVER DE SEGUNDO. 5

6 3. Introduzca ahora la siguiente modificación al juego estático del punto previo: cada uno de los jugadores conoce su propio costo marginal c i. La firma i = 1 conoce que c = 4, pero la firma desconoce c 1. Sobre el costo de su contrincante, solo sabe que puede tomar valores de, 4, o 6 con iguales probabilidades: 1/3 4 1/3 6 1/3 a. (1 punto) Encuentre el Equilibrio de Bayes Nash de este juego. Desarrolle su procedimiento de manera cuidadosa (y que sea clara para quien califica) y al final de éste escriba el equilibrio. La firma 1 conoce su propio costo y el de su contrincante. Por lo tanto, maximiza su utilidad y su función de reacción es similar a la encontrada en el numeral.a 8 8 8, Por su parte, la firma no sabe a qué competidor enfrenta. Entonces solo puede maximizar su utilidad esperada, dado que su utilidad depende también de las acciones del otro y no sabe de qué tipo es ese otro. 6

7 Así, la firma maximizará: Esto nos lleva a la siguiente función de reacción: 4 4 El equilibrio de este juego es donde se cruzan las ecuaciones 1,,3 y 4. En particular, usando las ecuaciones (1) a (3), en ese equilibrio =. Note que esta expresión es igual a la función de reacción de la firma 1 que la firma anticiparía si supiera con certeza que 4. Cruzando esta expresión con la ecuación (4), obtenemos el siguiente equilibrio de Bayes Nash:

8 b. (0.5 puntos) Suponga que en realidad c 1 = 4 (pero i = no lo sabe al momento de escoger q ). Cuáles son las cantidades que se producen en este caso y los beneficios que cada firma obtiene? Las cantidades de equilibrio serían en este caso: Los beneficios de cada firma serían: c. (0.5 puntos) Una vez la firma i = se entera de que c 1 = 4 decide que de haberlo sabido antes de escoger q habría hecho una movida diferente de la que hizo? De acuerdo, con la respuesta del punto, si la firma i= hubiese sabido desde un inicio que c 1 = 4, hubiera escogido, en equilibrio, la misma movida del Equilibrio de Bayes Nash que acabamos de encontrar. Así, la movida hubiera sido la misma. d. (0.5 puntos) Responda las preguntas b y c, ahora suponiendo que c 1 = 6 (pero i = no lo sabe al momento de escoger q ). Qué cambia y por qué, cuando c 1 = 6 en lugar de c 1 = 4? En este caso, con información incompleta, las cantidades de EBN son: Los beneficios de cada firma serían:

9 4 8 9 Entre tanto, como la función de reacción de una firma con información completa está dada por, 8 Si = 6 y = 4, y ambas firmas lo saben de antemano, el equilibrio involucrará las cantidades:, 1 0 La firma 1 obtendrá un pago nulo, mientras que la firma se quedará con todo el mercado y tendrá ganancias de 4. Así, la firma sí hubiera hecho una movida diferente de la que hizo, si hubiera conocido de antemano el alto costo de la firma 1. De hecho, la firma 1 también hubiera escogido una movida diferente si se hubiera enfrentado a una competidora que conocía su alto costo, comparando con el caso en que la firma 1 tiene el mismo alto costo pero su competidora no lo sabe.. e. (0.5 puntos) En clase habíamos enfatizado que introducir información imperfecta era útil solo porque los agentes cambiaban sus decisiones con respecto al caso sin informacion incompleta. Se observa esa utilidad en este ejemplo? Explique su respuesta. Para el analista el caso en que c 1 = 4 resulta paradójico: el resultado del juego con información incompleta es idéntico al del juego con información completa. Introducir esta complejidad en el modelo no tiene ninguna utilidad analítica. Esto se da por la peculiaridad de que c 1 = E c 1, junto con el hecho de que la función de utilidad es lineal en la decisión del otro jugador, es decir: hay neutralidad frente al riesgo. Note que cuando c 1 = 6 1 el resultado del juego sí se altera al introducir información incompleta, pues la variable desconocida toma un valor diferente a su expectativa. Bono: Puede anticipar que su respuesta en el punto e cambiaría en caso de que hubiésemos supuesto en todo este examen que la función de costos es 9

10 C i = c i qi en lugar de C i = c i q i? Explique. La peculiaridad de que bajo información incompleta el jugador se comporta igual que bajo información completa pero en valor esperado se deriva del hecho de que el agente tiene utilidad lineal en la variable sobre la cual hay incertidumbre (en este caso la cantidad del otro), lo que lo hace neutral al riesgo. Si la función de utilidad no fuera lineal en esa cantidad, sino cóncava en ella, habría aversión al riesgo, y el jugador se comportaría con mayor cautela por el sólo hecho de enfrentar ese riesgo. Introducir curvatura en la función de costos no lograría este efecto porque es función sólo de la cantidad propia, sobre la cual no hay incertidumbre. 4. Suponga ahora que el juego estático entre estas dos empresas no tiene información incompleta y que c i = 4 para ambas empresas (es decir, parta del juego del punto ). Suponga también que se juega de esa manera en un primer periodo, pero hay un segundo periodo (t = ) en que entra a participar una tercera firma. En t = se repite el oligopolio, pero con las tres participantes. Esto es conocido desde el inicio del juego por las dos firmas originales y por la tercera firma, que antes de entrar a participar en t= observa las cantidades que ambas firmas originales produjeron en el primer periodo. En t= la curva de demanda está dada por: P = 8 Q = 8 (q 1 + q + q 3 ) Los beneficios de las firmas se les entregan al final de cada periodo: a las dos firmas originales (i = {1, }) se les entregan los beneficios del primer periodo al final de éste (antes del periodo ), y a las tres participantes se les entregan los beneficios del periodo al final del mismo. Las firmas i = {1, } al inicio del juego se preocupan por su corriente descontada de ingresos totales: π i,t=1 + δπ i,t=, donde δ es un factor de descuento intertemporal. Suponga que la tercera firma no conoce los costos de las demás y solo sabe que, para i = 1, 1

11 1/3 4 1/3 6 1/3 Las dos firmas originales tienen información completa en todos los periodos. Estos supuestos sobre la información que cada quien tiene son conocidos por todos los jugadores desde el inicio del juego. Por ejemplo, al inicio de los tiempos i = {1, } saben que en el periodo entrar una tercera competidora que no tiene información completa sobre los costos de las dos competidoras originales. Responda las siguientes preguntas con base en la intuición sobre juegos dinámicos de información incompleta que discutimos en la última clase (no esperamos desarrollos formales, pero sí una discusión bien estructurada): a. (0.5) Comparado con el caso en que solo participan i = 1, en todos los periodos, y no tienen información incompleta (punto ), cambia la cantidad que en equilibrio escogen estas dos firmas para el periodo 1? Por qué? Explique de manera detallada. Uno espera que la cantidad de equilibrio cambie. En el primer periodo las firmas 1 y tienen incentivos de hacerse pasar por eficientes (independientemente de su tipo), produciendo una mayor cantidad, para que la firma 3 cambie sus creencias sobre el tipo de las otras dos firmas y produzca una menor cantidad en el segundo periodo. Con esto, la firma 1 y lograrán obtener mayores beneficios en el segundo periodo. Para que lo anterior sea cierto se requerirá un δ cercano a 1, para que la firmas 1 y estén dispuestas a sacrificar beneficios presentes por ganancias futuras. b. (0.5) Cambiaría su respuesta en a si la firma 3 entrara con información perfecta (y todos supieran desde el inicio que esto será así)? Si la firma 3 entra con información completa, la respuesta del numeral a cambia. Las firmas 1 y no tienen incentivos a hacerse pasar por eficientes pues todos los jugadores conocen su costo real y el de los otros, y por lo tanto, cuál será la producción óptima. Luego, uno espera que en el primer periodo las firmas 1 y produzcan las cantidades halladas en el segundo punto, pues no hay ningún beneficio de distorsionar esa decisión óptima. Note que, en el punto a, la información incompleta introdujo un nexo entre los dos periodos que no habría existido sin ella; transformó en verdaderamente dinámico 1

12 (intertemporal) un juego que bajo información completa sería la sucesión de dos juegos estáticos. 1