UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE ECONOMIA TEORIA DE JUEGOS Profesora: Marcela Eslava. Parcial 1 8 de marzo de 2010

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1 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FAULTAD DE EONOMIA TEORIA DE JUEGOS Profesora: Marcela Eslava Parcial 1 8 de marzo de 2010 NOMBRE: SOLUIÓN Tiene hasta las 3:20 pm para responder. No puede usar calculadora ni celular. No responderemos preguntas durante el examen Se le pide consignar algunas respuestas directamente en este cuestionario; esas respuestas deben quedar consignadas en esfero. Las demás respuestas y procedimientos pueden estar en la hoja adicional y pueden estar en lápiz. 1. Suponga que en el sistema tradicional de transporte público en Bogotá la administración distrital y los transportadores se enfrentan en el siguiente juego estático. El Distrito toma unas medidas de control para tratar de minimizar abusos relacionados con la Guerra del centavo. Algunos de estos abusos son la conducción de buses a altas velocidades, el sobrecupo en los buses y la recogida de pasajeros fuera de las paradas designadas. Por su parte, los transportadores deciden en qué medida obedecer las reglas que prohíben estas prácticas. on fines analíticos modelaremos esta situación de forma muy simplificada. En particular, supondremos que el gremio de los transportadores, al que modelaremos como un sólo jugador, decide el nivel de abusos, que designaremos con la letra A. Por su parte, el Distrito decide el nivel de controles,. Las decisiones se toman de manera simultánea y cada jugador conoce la función de pagos del otro. La función de pagos de los transportadores es tal que la utilidad marginal para los transportadores de incrementar su nivel de abusos se reduce cuando los controles suben. En particular, su función de utilidad es: A U T = ln A Mientras tanto, la función de pagos del Distrito está dada por: 25* U D = 2 * A 2 El juego permite a los transportadores escoger cualquier valor positivo de A y al Distrito escoger cualquier valor positivo de.

2 a. (0.5 puntos) Puede aplicar el Teorema de Nash para afirmar que este juego tiene al menos un equilibrio de Nash? Explique. Responda en el espacio a continuación El Teorema de Nash garantiza la existencia de EN en juegos finitos en los que se permiten estrategias mixtas. Este juegos no es finito, porque los jugadores pueden escoger entre infinitas posibles estrategias. Tampoco permite estrategias mixtas. Por tanto, no se puede aplicar ese Teorema para anticipar la existencia de Equilibrio de Nash en este juego. A=1/ b. (0.5 puntos) Encuentre la función de reacción de los Transportadores. Haga los cálculos en la hoja adicional y escriba la función de reacción que encontró en el espacio a continuación. c. (0.5 puntos) Encuentre la función de reacción del Distrito. Haga los cálculos en la hoja adicional y escriba la función de reacción que encontró en el espacio a continuación. =A/25 d. (0.5 puntos) Encuentre todos los Equilibrios de Nash de este juego. Haga los cálculos en la hoja adicional y escriba el o los Equilibrios de Nash que encontró en el espacio a continuación. EN: A=5, = Suponga ahora que la administración distrital se propone cambiar ese esquema tradicional de transporte público, para lo cual busca introducir el Sistema

3 Integrado de Transporte Público (SITP). El SITP buscaría organizar y centralizar la prestación del servicio. afectando a los transportadores, que derivan rentas altas en el sistema tradicional. Los transportadores presionan entonces para que el Distrito adopte condiciones más favorables a ellos con el nuevo sistema. Vamos a analizar un juego en el que primero los transportadores deciden cómo ejercer esa presión: yéndose a paro (P) o negociando (N). Una vez esta decisión se toma y es observada por todos, el Distrito decide si cede a las peticiones de los transportadores () o se mantiene firme en las condiciones iniciales que diseñó para el SITP (F). Si el Distrito cede, los transportadores mantendrán el poder que les permite cometer los abusos descritos en el punto 1. Los pagos están resumidos en la siguiente tabla, donde la primera columna lista las posibles combinaciones de acciones, empezando por la de los transportadores: (Acción de T, Acción de D) U T U D (P,) A+1-2-A (P,F) (N,) A -A (N,F) 0 0 En la tabla, A corresponde al nivel de abusos; mientras no se le indique lo contrario déjelo simplemente expresado como A, sin asignarle ningún valor. Note que en caso de que el Distrito ceda habrá ganancias para transportadores relacionadas con A y pérdidas para el Distrito relacionadas con A. a. (0.5 puntos) Escriba el árbol de juego correspondiente. Responda en el espacio a continuación. D (A+1,-2-A) P F (-1,-10) T D (A,-A) N F (0,0)

4 b. (0.5 puntos) Asígnele al parámetro A en estos pagos el nivel de Equilibrio de Nash que encontró para A en el punto 1 (por ejemplo: si en el punto 1 el Equilibrio de Nash que encontró tenía A=2, asigne a los transportadores un pago de 3 en este juego cuando se juega (P,), y así sucesivamente). Encuentre el o los Equilibrios Perfectos de Subjuegos (EPS) de este juego usando esos pagos. Desarrolle su procedimiento, de forma clara, en la hoja adjunta. Escriba en el espacio a continuación el o los EPS que encontró. Los transportadores juegan P, el Distrito juega si los T jugaron P, F si jugaron N OJO: si usted decidió denotar este EPS de forma reducida, por ejemplo (P, (,N)) se le exigirá definir su notación c. (0.5 puntos) Suponga que queremos buscar ahora un EPS de este juego donde los transportadores hagan lo opuesto de lo que usted encontró que hacen en el punto b (hagan paro si usted encontró un EPS sin paro, negocien si usted encontró un EPS con paro). Qué niveles de A serían compatibles con ese resultado? Explique de forma cuidadosa, clara y ordenada en la hoja adicional (le sugiero pensar antes de escribir, con base en el árbol de juego del punto 2a, y consignar su respuesta sólo cuando la tenga clara). Del árbol de juego en la parte note: Si el Distrito cede cuando los transportadores hacen paro, a los transportadores siempre les convendrá hacer paro, pues A+1>A y A+1>0 (dado que el espacio de acciones está restringido a A>0). Si en cambio el Distrito es firme cuando hacen paro, siempre les convendrá negociar, pues -1<0 y -1<A. Entonces, lo que se necesita para tener un equilibrio sin paro es que el alcalde sea firme cuando hay paro, lo cual requiere que su pago de ser firme cuando hay paro sea mayor que su pago de ceder cuando hay paro: -2-A<-10. Es decir, se necesita A>8 para tener un equilibrio perfecto de subjuegos sin paro. (Este punto también se puede responder haciendo inducción hacia atrás en el árbol del punto 1a. Se llega a la misma respuesta, lo cual no es sorprendente porque intuición de la respuesta que sugerimos es una intuición de inducción hacia atrás). 3. Retome el problema estático del punto 1, pero suponga ahora que la función de utilidad de los transportadores es: U T = ln A A Mantenga el resto de los supuestos idénticos a los del punto 1. a. (0.5 puntos) Encuentre la condición de primer orden que caracteriza la movida óptima de los transportadores. Haga los cálculos en la hoja adicional y escriba la condición que encontró en el espacio a continuación (1/A)-1 = 0

5 b. (0.5 puntos) Demuestre que en este caso el A que cumple con la condición anterior domina estrictamente todas las demás posibles estrategias de los transportadores. Asegúrese de dejar en claro cómo se define una estrategia estrictamente dominante. Responda de forma cuidadosa, clara y ordenada en la hoja adicional (le sugiero pensar antes y consignar su respuesta cuando la tenga clara). Una estrategia de los transportadores domina estrictamente todas las demás estrategias de los transportadores si les genera mayor utilidad que sus demás estrategias, sin importar lo que el Distrito está haciendo. En este caso, la condición de primer orden implica que A=1 maximiza la utilidad de los transportadores sin importar el nivel de. Además, es un máximo único, lo que implica que genera estrictamente más utilidad que las demás opciones. Es decir, A=1 domina estrictamente todas las demás estrategias de los transportadores. c. (0.5 puntos) Encuentre todos los Equilibrios de Nash de este juego. Haga los cálculos en la hoja adicional y escriba los equilibrios que encontró en el espacio a continuación. ombinando la condición de primer orden para los transportadores en el punto 3a con la condición de primer orden para el Distrito (que sigue siendo la del punto 1c), se obtiene el siguiente EN: A=1, =(1/25)