Teoría a de Juegos. M. En C. Eduardo Bustos as

Transcripción

1 Teoría a de Juegos M. En C. Eduardo Bustos Farías as 1

2 Ejemplo 1. Considere el siguiente juego (3x3): B A as 2

3 Solución n para B El mínimo m de renglón n es -33 y el máximo m de columna es 3 Como el valor mínimo m es -33 el valor del juego puede ser negativo o cero, se agrega una constante K a todos los elementos de la matriz, por lo menos igual al número n más m s grande de la matriz, por ejemplo k=5. La matriz se convierte en: as 3

4 Matriz modificada B A as 4

5 El problema de programación n lineal de B que se deriva de esta matriz es: Max W = Y1 + Y2 + Y3 S.A. 8Y1 + 4Y2 + 2Y3 <= 1 2Y1 + 8Y2 + 4Y3 <= 1 1Y1 + 2Y2 + 8Y3 <= 1 Y1, Y2, Y3 >= 0 as 5

6 Solución n por Winqsb as 6

7 Datos importantes as 7

8 Estrategias óptimas para B V*=1/w k = 1/ = Y1*=y1/w =.071/.229 = Y2*=y2/w =.056/.229 = Y3*=y3/w =.102/.229 = (.311,.244, 0.444) Nótese que suman 1. as 8

9 Estrategias óptimas para A Resolviendo el dual del problema anterior se tiene: Z = W =.229 X1 = X2 = X3 = En consecuencia: X1* = X1/Z = X2* = X2/Z = X3* = X3/Z = (.444,.244,.311). Nótese que suman 1 as 9

10 POR WINQSB Estrategias Óptimas Para el jugador A Estrategias Óptimas Para el jugador B Valor del juego as 10

11 Ejemplo 2. Solución n por PL Considere el juego (4x2) A B as 11

12 Solución: planteamiento Como el valor maximin = 2 >= 0, la estrategia óptima del jugador B se obtiene resolviendo el siguiente problema de programación n lineal. MAX z = Y1 + Y2 s.a. 2Y1 + 4Y2 <= 1 2Y1 + 3Y2 <= 1 3Y1 + 2Y2 <= 1 A -2Y1 + 6Y2 <= 1 Y1, Y2 >= 0 B as 12

13 Método simplex Resolviendo por el método m simplex Z = Y1 = 0.257/ Y2 = 0.125/ Valor de juego V* = 1/Z = 2.66 La estrategia óptima de B es: (Y1/V1*, Y2/V2*) = (0.66, 0.33) Para el jugador A su estrategia óptima resulta al resolver el problema dual: (0.33, 0, 0.66, 0) as 13

14 Ejemplo 3: Considere el siguiente juego Resolver por el método simplex as 14

15 Solución Como el valor maximin = 15 >= 0, la estrategia óptima del jugador P2 se obtiene resolviendo el siguiente sistema. MAX Z = Y1 + Y2 + Y3 +Y4 s.a. 19Y1 + 15Y2 + 17Y3 + 16Y4 <= 1 0Y1 + 20Y2 + 15Y3 + 5Y4 <= 1 Y1, Y2, Y3, Y4 >= 0 Resolviendo por el método m simplex Z = Y1 = Y3 = 0 Y2 = Y4 = El valor del juego V* = 1/Z = 15.3 La estrategia óptima del jugador P2 es: (Y1*, Y2*, Y3*, Y4*) = (0, 0.68, 0, 0.32) as 15

16 Puntos de equilibrio 16

17 Puntos de equilibrio En muchos juegos ningún n jugador tiene una estrategia dominante. Sin embargo, hay combinaciones de estrategias que son razonables para los jugadores, en el sentido de que a ninguno le conviene cambiar su estrategia. A estas celdas de la matriz del juego se les llama equilibrio de Nash as 17

18 Ejemplo de juego con punto de equilibrio (cont( cont) Se supone que las compañí ñías A y B consideran las tres mismas estrategias para ganar una mayor parte relativa del mercado como sigue: a1 o b1: Sirve refrescos durante el viaje. a2 o b2: Introduce autobuses con aire acondicionado. a3 o b3: Anuncia diariamente en estaciones de televisión as 18

19 Ejemplo de juego con punto de equilibrio (cont( cont) Cambiamos los puntos de la tabla de modo que ningún n jugador tiene una estrategia dominante: b 1 b 2 b 3 a a a Mínimo de fila Maximin Máximo de columna Minimax as 19

20 Puntos de equilibrio.- ejemplo - b 1 b 2 b 3 a a a Sin embargo, el punto (a 2,b 2 ) es de equilibrio: Al jugador A no le conviene cambiar de a 2 (u=-8) a a 3 (u=-10) o a a 1 (u=-11). Al jugador B no le conviene cambiar de b 2 (u=-8) a b 1 (9) o a b 3 (u=-6) as 20 El otro jugador (A) escogería a 3 para contrarrestar su estrategia

21 Ejemplo de juego de suma cero con Considérese la siguiente matriz: mas de un equilibrio b 1 b 2 b 3 Mínimo de la fila a a a Máximo de la columna Minimax Maximin Es un juego con dos puntos silla. Aquí se tienen dos puntos de equilibrio; uno corresponde a a 2 y b 1, y el otro corresponde a a 2 y b 2. as 21

22 JUEGOS DE DOS PERSONAS QUE NO SON DE SUMA CERO 22

23 JUEGOS Y DECISIONES ESTRATÉGICAS Juegos que no son de suma cero Pueden ser: Cooperativos. Si los jugadores pueden negociar contratos obligatorios que les permitan planear estrategias conjuntas No Cooperativos: Si no son posibles la negociación n y la aplicación n de un contrato obligatorio. Equilibrio en juegos que no son de suma cero Tipos de Equilibrio: De estrategia dominante De Nash as 23

24 El equilibrio de estrategias Dominantes Estoy haciendo lo mejor que puedo sin importar lo que tu hagas Tu estas haciendo lo mejor que puedes sin importar lo que yo haga. as 24

25 El equilibrio de Nash Yo estoy haciendo lo mejor que puedo dado lo que tu estas haciendo Tu estas haciendo lo mejor que puedes dado lo que yo estoy haciendo. as 25

26 Juegos no cooperativos de dos personas de suma no cero En los juegos de suma no cero las celdas de la matriz tienen dos números, n meros, uno para la ganancia del jugador de los renglones y el otro para la ganancia del jugador de las columnas. as 26

27 Un Juego en Forma Normal Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 27

28 Un Juego en Forma Normal: Análisis de Escenarios Supongamos que 1 piensa que 2 escogerá A. Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 28

29 Un Juego en Forma Normal: Análisis de Escenarios Entonces 1 debería a escoger a. La mejor respuesta de 1 a A es a. Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 29

30 Un Juego en Forma Normal: Análisis de Escenarios Supongamos que 1piensa que 2 escogerá B. Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 30

31 Un Juego en Forma Normal: Análisis de Escenarios Entonces 1 debería a escoger a. La mejor respuesta de1a B es a. Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 31

32 Un Juego en Forma Normal: Análisis de Escenarios De forma similar, si 1 cree que 2 escogerá C La mejor respuesta de 1 a C es a. Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 32

33 Estrategia Dominante Independientemente de si el Jugador 2 escoge A, B, o C; la mejor respuesta del Jugador 1 es escoger a a es la Estrategia Dominante para el Jugador 1 Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 33

34 Póngase en la posición n de su Rival Qué debería a hacer el Jugador 2? 2 no tiene una estrategia dominante Pero 2 debería a razonar que 1 va a escoger a. Por tanto, 2 debe escoger C. Jugador 1 Jugador 2 Strategy A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 34

35 El Resultado Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 Este resultado se conoce como Equilibrio de Nash: a es la mejor respuesta del jugador 1 a C C es la mejor respuesta del Jugador 2 a a. as 35

36 Ejemplo 2. Juegos que no son de suma cero Dos empresas A y B venden productos competidores están n decidiendo si han de emprender campañas as de publicidad o no. No negocian entre ellos, pero ambas se verán n afectadas por la decisión n de su competidora. Analizar: Si es un juego cooperativo o no El equilibrio de estrategia dominante El o los equilibrios de Nash as 36

37 Matriz de pagos del ejemplo 2 Empresa A Hacer Publicidad No Hacer Publicidad Empresa B Hacer No Hacer Publicidad Publicidad 10, 5 15, 0 6, 8 10, 2 as 37

38 Solución Es no cooperativo, ya que las empresas no negocian Para la empresa A la estrategia pura dominante es hacer publicidad, (No importa lo que haga B, tiene pagos mayores a lo de B 10 > 5 y 15 > 0). Para la empresa B una estrategia pura dominante es hacer publicidad ya que sus pagos 5 y 8 son mayores a los de no hacer publicidad 0 y 2. Como ambas estrategias coinciden para este juego no cooperativo la estrategia dominante es hacer publicidad. Empresa A Hacer Publicidad No Hacer Publicidad Empresa B Hacer No Hacer Publicidad Publicidad 10, 5 15, 0 6, 8 10, 2 as 38

39 El equilibrio de Nash se obtienen en aquellos puntos donde cada jugador esta haciendo lo mejor que puede dadas las acciones del oponente. También n coincide con la estrategia de que ambas empresas hagan publicidad, cada empresa esta satisfecha y no tiene ningún n incentivo para cambiarla. as 39

40 Ejemplo 3. Juegos que no son de suma cero Dos jugadores eligen águila o sol en su moneda y la muestran al oponente. Analizar: Si es un juego cooperativo o no La estrategia dominante El equilibrio de Nash as 40

41 Jugador B A S A 1, -1-1, 1 Jugador A S -1, 1 1, -1 as 41

42 Solución No es un juego cooperativo ya que cada jugador elige que mostrar y ello le de una ganancia o una perdida. No pueden ponerse de acuerdo los jugadores ya que cada uno busca su beneficio Las estrategias puras dominantes para A son obtener AA ó SS. Las estrategias puras dominantes para B son obtener AS ó SA. No hay equilibrio de estrategias dominantes en este juego. Jugador B A S A 1, -1-1, 1 Jugador A S -1, 1 1, -1 as 42

43 No hay un equilibrio de Nash en estrategias puras ya que ninguna combinación n de A ó S dejan satisfechos simultáneamente a ambos jugadores. as 43

44 Ejemplo 4. Juegos que no son de suma cero Dos prisioneros son atrapados in fraganti.. Son encerrados en celdas separadas, no pueden comunicarse. No saben que hará el otro. Analizar Si el juego es cooperativo o no El equilibrio de estrategias dominantes El equilibrio de Nash as 44

45 El dilema de los prisioneros El dilema de los prisioneros es un juego que se usa para producir predicciones. as 45

46 El dilema de los prisioneros Arturo y Roberto fueron capturados robando un automóvil. El Ministerio Público P sospecha que son responsables de un robo cometido hace unos meses. El Ministerio Público P decide hacerlos participar en un juego. as 46

47 El dilema de los prisioneros Reglas del juego A los prisioneros se les coloca en habitaciones separadas y no pueden comunicarse entre sí. s Se les informa que son sospechosos del robo anterior. Si ambos confiesan, serán n sentenciados a cinco años. a Si uno confiesa y el otro no, el que confiese será sentenciado a 2 años a y el otro a 10 años. as 47

48 El dilema de los prisioneros Estrategias (posibles acciones) Ambos pueden: Confesar el robo anterior Negar haber cometido el robo anterior as 48

49 El dilema de los prisioneros Recompensas Existen cuatro resultados posibles: Ambos confiesan. Ambos lo niegan. Arturo confiesa y Roberto lo niega. Roberto confiesa y Arturo lo niega. as 49

50 Matriz de Pagos del Dilema de los Prisioneros Estrategias de Arturo Confesar Negar 5 años 10 años Confesar Estrategias de Roberto 5 años 5 años Negar 10 años 5 años 2 años 2 años as 50

51 Otra presentación n de la matriz de pagos Prisionero B Prisionero A Confiesa No Confiesa Confiesa -5, -5-5, -10 No -10, -5-2, -2 Confiesa El primer número en cada lugar de esta matriz es la recompensa (negativa, ya Que los años de prisión no se desean) al prisionero B, y el segundo elemento De cada elemento es la recompensa del prisionero A. as 51

52 El dilema de los prisioneros Surge una estrategia dominante. Ambos deberían negarlo porque: Si ambos lo niegan, serán n sentenciados solamente a 2 años; a pero no saben si el otro lo negará. Si Arturo lo niega pero Roberto no, Arturo recibirá solamente 5 años. a Si Arturo lo niega, pero Roberto confiesa, Arturo recibirá 10 años. a Al final, ambos deciden que les conviene confesar equilibrio de Nash. as 52

53 Solución Es no cooperativo ya que no pueden ponerse de acuerdo La estrategia dominante para cada prisionero es confesar sin importar lo que haga el otro El equilibrio de Nash también n seria confesar, considerando lo que haga el otro prisionero (-5,( 5,-5). 5). as 53

54 Como en un juego de 2 personas de suma cero, la elección n de la estrategia por parte de cada jugador (prisionero) es un punto de equilibrio si ningún n jugador puede sacar provecho de un cambio unilateral de estrategia. as 54

55 Dilema del prisionero (cont( cont) Como vemos la estrategia de traicionar es una estrategia dominante para ambos, aunque terminan peor que si ambos se hubieran puesto de acuerdo para no confesar. Dos individuos que persiguen sus intereses personales, se ven guiados a un resultado adverso para ambos salvo que existan normas que impidan la traición. El resultado es una solución n de equilibrio. as 55

56 Qué tipo de estrategias garantizan la cooperación n entre individuos que persiguen su propio interés? Las estrategias que priorizaron la cooperación n en lugar de tratar de aprovecharse del otro jugador generan mejores resultados, demostrando que aun cuando dos jugadores tienen en cuenta solamente sus intereses, les conviene cooperar entre sí. s as 56

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