TEORÍA DE JUEGOS (2da. Parte) M. En C. Eduardo Bustos Farías

Transcripción

1 TEORÍA DE JUEGOS (2da. Parte) M. En C. Eduardo Bustos Farías 1

2 TEORIA DE JUEGOS: ANTECEDENTES 1928: Von Newman Desarrolla la Teoría de Juegos PUBLICACION DE Theory and Practice of Games and Economical Behavior 194?:WALD INCORPORA TJ A LA TEORIA DE DECISIONES 194?: DATZING Y BELLMAN LA TOMAN EN CUENTA EN PROGRAMACION LINEAL Y DINAMICA 1

3 JUEGOS DE DOS PERSONAS DE SUMA CERO 3

4 JUEGO: CARACTERISTICAS ESTRATEGIA DEL JUGADOR 1. ESTRATEGIA DEL JUGADOR 2. LA MATRIZ DE PAGOS 2

5 TEORIA DE JUEGOS DE NEGOCIOS? SITUACIONES DE CONFLICTOS DE NEGOCIOS EN EL TIEMPO. PARTICIPANTES: DOS COMPETIDORES CON PENSAMIENTO LOGICO O RACIONAL. JUGADORES ELIGEN ESTRATEGIAS SOLO PARA PROMOVER SU BIENESTAR SIN COMPASION POR EL OPONENTE. 5

6 JUEGOS DE SUMA CERO LOS INTERESES DE LAS DOS PERSONAS SON OPUESTOS. LA SUMA DE LAS GANANCIAS DE UNO ES EXACTAMENTE LA SUMA DE LAS PERDIDAS DEL OTRO. AMBOS COMPETIDORES TIENEN IGUAL CAPACIDAD E INTELIGENCIA. 6

7 EJEMPLO DOS POLITICOS ESTAN DE VISITA A EU Y CONTIENDEN POR LA PRESIDENCIA DE UN PAIS LATINO. LOS DIAS QUE SIGUEN SERAN CRUCIALES PARA EL ÉXITO O LA DERROTA. HAY DOS CIUDADES (MEX Y GUAD) QUE SON CLAVES. PARA EVITAR PERDIDAS DE TIEMPO ESTAN PLANEANDO VIAJAR EN LA NOCHE Y PASAR UN DIA COMPLETO EN CADA CIUDAD O, DOS DIAS EN SOLO UNA DE LAS CIUDADES. NINGUNO DE LOS POLITICOS SABE POR ADELANTADO LO QUE REALIZARA EL OTRO. EL RESULTADO DE LAS POSIBLES ESTATEGIAS SE 7 PROPORCIONA PARA EL POLITICO 1.

8 ESTRATEGIAS ESTRATEGIA 1: PASAR UN DIA EN MEX Y OTRO EN GUAD. ESTRATEGIA 2: PASAR AMBOS DIAS EN MEX. ESTRATEGIA 3: PASAR AMBOS DIA EN GUAD. 8

9 MATRIZ DE PAGOS POLITICO 1 ESTRATEGIA CANTIDAD DE VOTOS GANADOS POR EL POLITICO 1 (EN UNIDADES DE 1000 VOTOS) POLITICO

10 ESTRATEGIAS DOMINADAS JUGADOR 2 ESTRATEGIA JUGADOR JUGADOR 2: NO TIENE JUGADOR 1: ESTRATEGIA 3 ES DOMINADA POR LA 1 10

11 VALOR DEL JUEGO EL PAGO QUE SE OBTIENE PARA EL JUGADOR 1 CUANDO AMBOS JUEGAN DE MANERA OPTIMA. JUEGO JUSTO: EL VALOR DEL JUEGO ES 0. 11

12 CRITERIO MINIMAX JUGADOR 2 ESTRATEGIA JUGADOR QUE OPCION ESCOGE CADA JUGADOR DE MANERA QUE LA MAYOR PERDIDA POSIBLE SEA MINIMIZADA? 12

13 CRITERIO MINIMAX JUGADOR 2 ESTRATEGIA MÍNIMO JUGADOR MÁXIMO VALOR MAXIMIN PUNTO SILLA VALOR MINIMAX SE SELECCIONA LA OPCION 2 VALOR DEL JUEGO= 0 (JUEGO JUSTO). 13

14 PUNTO SILLA MINIMAX= MINIMAX PUNTO SILLA ->NINGUN JUGADOR PUEDE APROVECHAR LA ESTRATEGIA CONOCIDA DE SU OPONENTE -> SOLUCION ESTABLE 14

15 SOLUCIONES SIN PUNTO SILLA JUGADOR 2 ESTRATEGIA MÍNIMO JUGADOR MÁXIMO maximin minimax 15

16 El pago esperado 16

17 17

18 18

19 Solución gráfica de juegos (mx2) Considere el siguiente juego: B A

20 El juego no tiene un punto silla. Sean y1 y y2 (=1- y1) dos estrategias mixtas de B. Estrategia pura de A Pagos esperados para B 1-2y y y y

21 Graficando se obtiene: v*= 8/3 rectas y1 = 2/3 Minimax 21

22 POR WINQSB 22

23 Ejemplo 1. Método simplex Considere el siguiente juego (3x3): B A

24 Solución para B El mínimo de renglón es -3 y el máximo de columna es 3 Como el valor mínimo es -3 el valor del juego puede ser negativo o cero, se agrega una constante K a todos los elementos de la matriz, por lo menos igual al número más grande de la matriz, por ejemplo k=5. La matriz se convierte en: 24

25 Matriz modificada B A

26 El problema de programación lineal de B que se deriva de esta matriz es: Max W = Y1 + Y2 + Y3 S.A. 8Y1 + 4Y2 + 2Y3 <= 1 2Y1 + 8Y2 + 4Y3 <= 1 1Y1 + 2Y2 + 8Y3 <= 1 Y1, Y2, Y3 >= 0 26

27 Solución por Winqsb 27

28 Datos importantes 28

29 Estrategias óptimas para B V*=1/w k = 1/ = Y1*=y1/w =.071/.229 = Y2*=y2/w =.056/.229 = Y3*=y3/w =.102/.229 = (.311,.244, 0.444) Nótese que suman 1. 29

30 Estrategias óptimas para A Resolviendo el dual del problema anterior se tiene: Z = W =.229 X1 = X2 = X3 = En consecuencia: X1* = X1/Z = X2* = X2/Z = X3* = X3/Z = (.444,.244,.311). Nótese que suman 1 30

31 Ejemplo 2. Sea la matriz de consecuencias para el juego (2x2): Jugador 1 Jugador 2 B1 B2 A1 0 ½ A

32 Solución por programación lineal Como el valor maximin = 0, se procede a resolver: MAX Z = Y1 + Y2 S.A. 0Y Y2 <= 1 1Y1 + 0Y2 < = 1 Y1, Y2 >= 0 32

33 Solución por Winqsb: planteamiento 33

34 Datos importantes 34

35 Estrategias óptimas Estrategias óptimas del jugador 2 V* = 1/3 Y1* = 1/3 Y2* = 2/3 Para obtener las estrategias óptimas del jugador 1 resolvemos por simplex dual y se tiene: X1* = 2/3 X2* = 1/3 (0.66, 0.33), véase que suman 1. 35

36 Ejemplo 3. Solución por PL Considere el juego (4x2) A B

37 Solución: planteamiento Como el valor maximin = 2 >= 0, la estrategia óptima del jugador B se obtiene resolviendo el siguiente problema de programación lineal. MAX z = Y1 + Y2 s.a. 2Y1 + 4Y2 <= 1 2Y1 + 3Y2 <= 1 3Y1 + 2Y2 <= 1-2Y1 + 6Y2 <= 1 Y1, Y2 >= 0 37

38 Método simplex Resolviendo por el método simplex Z = Y1 = 0.25 Y2 = Valor de juego V* = 1/Z = 2.66 La estrategia óptima de B es: (Y1/V1*, Y2/V2*) = (0.66, 0.33) Para el jugador A su estrategia óptima resulta al resolver el problema dual: (0.33, 0, 0.66, 0) 38

39 DOMINANCIA 39

40 Estrategia dominante Se dice que una estrategia es dominante cuando es la mejor opción del jugador para todas las posibles opciones del contrincante (similarmente para varios contrincantes). 40

41 Dominancia Algunas veces una fila o columna de la matriz de pagos carece de efectividad para influir sobre las estrategias óptimas y el valor del juego Una estrategia pura P es dominada por una estrategia pura Q si, para cada estrategia pura del oponente, el pago asociado con P no es mejor que el pago asociado con Q. Ya que una estrategia pura dominada no puede ser nunca parte de una estrategia óptima, el renglón o columna correspondiente en la matriz del juego debe ser eliminada 41

42 Ejemplo 1. Dominancia I II Observe las filas 1 y 2, la 2 no desempeña ningún papel de importancia en la estrategia de P1 4 > 3-8 > -9 7 > 2-2 > -3 42

43 Por lo tanto la probabilidad asociada a ella será cero. La solución del juego anterior sería la misma si la matriz de pago fuera I II

44 Ejemplo 2. Dominancia Determine si alguna de las estrategias puras del problema de la ubicación de los supermercados en los pueblos A, B y C pueden descartarse por dominación. La matriz del juego era: I II A B C A B

45 Solución El jugador I puede descartar ubicarse en A, ya que las consecuencias de esta estrategia siempre son menores o iguales a las consecuencias de B 67.5 > > = 80 El jugador II puede descartar A y C, ya que son inferiores a B. La matriz es: 45

46 II I A B A B C La matriz de consecuencias se reduce al valor en que coinciden ambas tablas BB. Lo que indica que el supermercado I debe ubicarse en el pueblo B y controlar el 65% de los negocios y la cadena II ubicarse en el mismo pueblo y manejar el 35% de los negocios restantes 46

47 Estrategia dominante, ejemplo Dos compañías de autobuses, A y B tienen la misma ruta entre dos ciudades, por lo que están en una lucha por una mayor parte del mercado. Se supone que las compañías A y B consideran las tres mismas estrategias para ganar una mayor parte relativa del mercado como sigue: a1 o b1: Sirve refrescos durante el viaje. a2 o b2: Introduce autobuses con aire acondicionado. a3 o b3: Anuncia diariamente en estaciones de televisión en las dos ciudades. 47

48 Estrategia dominante, ejemplo (cont) Se supone que cada compañía no puede emplear mas de una de estas estrategias al mismo tiempo y que las tres estrategias tienen idénticos costos La tabla abajo indica los puntos porcentuales de mercado que gana a. b 1 b 2 b 3 a a a

49 Estrategia dominante, ejemplo (cont) Análisis de casos para ver si A tiene estrategia dominante Si B elige 1 (columna izq.), la mejor opción de A es 2 (u=2). Si B elige 2 (columna cen.), la mejor opción de A es 2 (u=0). Si B elige 3 (columna der.), la mejor opción de A es 2 (u=10). b 1 b 2 b 3 a a a La estrategia dominante de A es jugar 2 (aire acondicionado) 49

50 Estrategia débilmente dominante Decimos que una estrategia es débilmente dominante cuando no es peor que ninguna otra estrategia. Es lo mismo que decir que es la mejor o al menos igual a otra. Ojo: Una estrategia dominante es también débilmente dominante; lo contrario no es cierto. 50

51 Estrategia dominante, ejemplo (cont) Análisis de casos para ver si B tiene estrategia dominante Si A elige 1 (renglón sup.), la mejor opción de B es 2 (u=-2). Si A elige 2 (renglón cen.), la mejor opción de B es 2 (u=0). Si A elige 3 (renglón inf.), las mejores opciones de B son 1 y 2 (u=-5). b 1 b 2 b 3 a a a B tiene una estrategia débilmente dominante 51

52 Ejercicio, estrategia dominante Se consideran dos ladrones L 1 y L 2 se dedican a la compra-venta de productos robados. Han pactado entre ellos que uno deje la mercancía en un lugar determinado, mientras que el otro deja el dinero en otro lugar. Los dos recogerán después su paquete respectivo Ambos pueden tomar cualquiera de las siguientes acciones: a 1 o b 1 a 2 o b 2 Dejar el paquete con la mercancia ó dinero Dejar el paquete sin la mercancia ó dinero 52

53 Ejercicio, estrategia dominante La matriz que se genera es la siguiente: a 1 a 2 b 1 b 2 Elegir los valores de los elementos de la matriz, tal que L 1 tenga una estrategia débilmente dominante y L 2 tenga una estrategia débilmente dominante 53

54 Puntos de equilibrio En muchos juegos ningún jugador tiene una estrategia dominante. Sin embargo, hay combinaciones de estrategias que son razonables para los jugadores, en el sentido de que a ninguno le conviene cambiar su estrategia. A estas celdas de la matriz del juego se les llama equilibrio de Nash 54

55 Ejemplo de juego con punto de equilibrio (cont) Se supone que las compañías A y B consideran las tres mismas estrategias para ganar una mayor parte relativa del mercado como sigue: a1 o b1: Sirve refrescos durante el viaje. a2 o b2: Introduce autobuses con aire acondicionado. a3 o b3: Anuncia diariamente en estaciones de televisión 55

56 Ejemplo de juego con punto de equilibrio (cont) Cambiamos los puntos de la tabla de modo que ningún jugador tiene una estrategia dominante: b 1 b 2 b 3 a a a

57 Puntos de equilibrio.- ejemplo b 1 b 2 b 3 a a a Sin embargo, el punto (a 2,b 2 ) es de equilibrio: Al jugador A no le conviene cambiar de a 2 (u=-8) a a 3 (u=-10) o a a 1 (u=-11). Al jugador B no le conviene cambiar de b 2 (u=-8) a b 1 (9) o a b 3 (u=-6) 57

58 Ejemplo de juego de suma cero con mas de un equilibrio Considérese la siguiente matriz: b 1 b 2 b 3 Mínimo de la fila a a a Máximo de la columna Aquí se tienen dos puntos de equilibrio; uno corresponde a a 2 y b 1, y el otro corresponde a a 2 y b 2. 58

59 Ejercicio, equilibrio Se consideran dos ladrones L 1 y L 2 se dedican a la compraventa de productos robados. Han pactado entre ellos que uno deje la mercancía en un lugar determinado, mientras que el otro deja el dinero en otro lugar. Los dos recogerán después su paquete respectivo Ambos pueden tomar cualquiera de las siguientes acciones: a 1 o b 1 Dejar el paquete con la mercancía ó dinero a 2 o b 2 Dejar el paquete sin la mercancía ó dinero a 3 o b 3 No dejar el paquete 59

60 Ejercicio, equilibrio La matriz que se genera es la siguiente: a 1 a 2 a 3 Máximo de la columna b 1 b 2 b 3 Mínimo de la fila Elegir los valores de los elementos de la matriz, tal que exista un punto de equilibrio de Nash 60

61 JUEGOS DE DOS PERSONAS QUE NO SON DE SUMA CERO 61

62 JUEGOS Y DECISIONES ESTRATÉGICAS Juegos que no son de suma cero Pueden ser: Cooperativos. Si los jugadores pueden negociar contratos obligatorios que les permitan planear estrategias conjuntas No Cooperativos: Si no son posibles la negociación y la aplicación de un contrato obligatorio. Equilibrio en juegos que no son de suma cero Tipos de Equilibrio: De estrategia dominante De Nash 62

63 El equilibrio de estrategias Dominantes Estoy haciendo lo mejor que puedo sin importar lo que tu hagas Tu estas haciendo lo mejor que puedes sin importar lo que yo haga. 63

64 El equilibrio de Nash Yo estoy haciendo lo mejor que puedo dado lo que tu estas haciendo Tu estas haciendo lo mejor que puedes dado lo que yo estoy haciendo. 64

65 Juegos no cooperativos de dos personas de suma no cero En los juegos de suma no cero las celdas de la matriz tienen dos números, uno para la ganancia del jugador de los renglones y el otro para la ganancia del jugador de las columnas. 65

66 Ejemplo 1. Juegos que no son de suma cero Dos empresas A y B venden productos competidores están decidiendo si han de emprender campañas de publicidad o no. No negocian entre ellos, pero ambas se verán afectadas por la decisión de su competidora. Analizar: Si es un juego cooperativo o no El equilibrio de estrategia dominante El o los equilibrios de Nash 66

67 Empresa A Hacer Publicidad No Hacer Publicidad Empresa B Hacer No Hacer Publicidad Publicidad 10, 5 15, 0 6, 8 10, 2 67

68 Solución Es no cooperativo, ya que las empresas no negocian Para la empresa A la estrategia pura dominante es hacer publicidad, (No importa lo que haga B, tiene pagos mayores a lo de B 10 > 5 y 15 > 0). Para la empresa B una estrategia pura dominante es hacer publicidad ya que sus pagos 5 y 8 son mayores a los de no hacer publicidad 0 y 2. Como ambas estrategias coinciden para este juego no cooperativo la estrategia dominante es hacer publicidad. El equilibrio de Nash se obtienen en aquellos puntos donde cada jugador esta haciendo lo mejor que puede dadas las acciones del oponente. También coincide con la estrategia de que ambas empresas hagan publicidad, cada empresa esta satisfecha y no tiene ningún incentivo para cambiarla. 68

69 Ejemplo 2. Juegos que no son de suma cero Dos jugadores eligen águila o sol en su moneda y la muestran al oponente. Analizar: Si es un juego cooperativo o no La estrategia dominante El equilibrio de Nash 69

70 Jugador B A S A 1, -1-1, 1 Jugador A S -1, 1 1, -1 70

71 Solución No es un juego cooperativo ya que cada jugador elige que mostrar y ello le de una ganancia o una perdida. No pueden ponerse de acuerdo los jugadores ya que cada uno busca su beneficio Las estrategias puras dominantes para A son obtener AA ó SS. Las estrategias puras dominantes para B son obtener AS ó SA. No hay equilibrio de estrategias dominantes en este juego. No hay un equilibrio de Nash en estrategias puras ya que ninguna combinación de A ó S dejan satisfechos simultáneamente a ambos jugadores. 71

72 Ejemplo 3. Juegos que no son de suma cero Dos prisioneros son atrapados in fraganti. Son encerrados en celdas separadas, no pueden comunicarse. No saben que hará el otro. Analizar Si el juego es cooperativo o no El equilibrio de estrategias dominantes El equilibrio de Nash 72

73 Prisionero B Prisionero A Confiesa No Confiesa Confiesa -5, -5-5, -10 No -10, -5-2, -2 Confiesa 73

74 Solución Es no cooperativo ya que no pueden ponerse de acuerdo La estrategia dominante para cada prisionero es confesar sin importar lo que haga el otro El equilibrio de Nash también seria confesar, considerando lo que haga el otro prisionero. 74

75 Juegos no cooperativos de dos personas de suma no cero, ejemplo Dilema del prisionero Sean dos jugadores, en este caso son prisioneros A y B Tienen dos opciones: confesar el delito o no. Si A y B confiesan A y B 3 años Si A confiesa y B no A libre y B 5 años Si B confiesa y A no B libre y A 5 años Si A y B niegan A y B 1 año 75

76 Dilema del prisionero La información anterior se puede representar a través de un arreglo matricial de la siguiente forma: Coopera (con su cómplice) Jugador B Traiciona (a su cómplice) Jugador Coopera A Traiciona

77 Dilema del prisionero (cont) Cada jugador tiene aquí una estrategia dominante Veamos el caso del jugador B, por supuesto, no sabe qué alternativa va a elegir A. A B le conviene traicionar a A porque esta es una estrategia dominante. Coopera (con su cómplice) Jugador B Traiciona (a su cómplice) Jugador Coopera A Traiciona

78 Dilema del prisionero (cont) Veamos ahora lo que sucede con A, que de acuerdo con la estrategia dominante le conviene traicionar. Coopera (con su cómplice) Jugador B Traiciona (a su cómplice) Jugador Coopera A Traiciona

79 Dilema del prisionero (cont) Como vemos la estrategia de traicionar es una estrategia dominante para ambos, aunque terminan peor que si ambos se hubieran puesto de acuerdo para no confesar. Dos individuos que persiguen sus intereses personales, se ven guiados a un resultado adverso para ambos salvo que existan normas que impidan la traición. El resultado es una solución de equilibrio. 79

80 Qué tipo de estrategias garantizan la cooperación entre individuos que persiguen su propio interés? Las estrategias que priorizaron la cooperación en lugar de tratar de aprovecharse del otro jugador generan mejores resultados, demostrando que aun cuando dos jugadores tienen en cuenta solamente sus intereses, les conviene cooperar entre sí. 80

81 Teoría de juegos con n personas 81

82 Un juego con n jugadores es un juego con n personas. Un juego de n personas se especifica con la función característica de ese juego. Para cada conjunto de jugadores S, la función V característica de un juego de la cantidad V(S) que pueden estar seguros de recibir los miembros de S sin ayuda alguna de los jugadores que no están en S. 82

83 Ejemplo 1: Juego de n personas. Juan Torres inventó un fármaco nuevo, pero no lo puede fabricar solo. Puede vender su fórmula a la empresa 2 ó a la 3. La empresa afortunada compartirá un millón de dólares de ganancias con Juan. Determine la función característica para este juego. 83

84 Solución Sea Juan Torres el jugador 1, la empresa 2 el jugador 2 y la empresa 3 el jugador 3. Su función característica es: V({}) = V({1}) = V({3}) = V({2,3}) = 0 V({1,2}) = V({1,3}) V({1,2,3}) = 1 millón de dólares 84

85 Ejemplo 2. Juego de n personas Cuatro propietarios tienen muchas bolsas de basura y deben tirarlas en el terreno de la coalición de propietarios, esta coalición recibe una recompensa de b. Determine la función característica para este juego. 85

86 Solución Lo mejor que pueden hacer los miembros de la coalición es tirar toda su basura en los terrenos de quienes no están en s. Así, la función característica para este juego está representada por: V({S}) = -(4- S ), si S < 4 V({1,2,3,4}) = -4, si S = 4 Donde S es el número de jugadores en S. 86

87 Ejemplo 3. Juego de n personas El jugador 1 es propietario de un terreno, y lo valúa en $10,000. El jugador 2 es un fraccionador que puede urbanizar el terreno y aumentar su valor a $20,000. El jugador 3 es un fraccionador que puede aumentar el valor a $30,000. No hay otros compradores. Determine la función característica del juego. 87

88 Solución Cualquier coalición que no contenga al jugador 1 tiene un valor de $0. Cualquier otra coalición tiene un valor igual al máximo que tiene el miembro de la coalición transmite al terreno. V({1}) = 10,000 V({}) = V({2}) = V({3}) = 0 V({1,2}) = 20,000 V({1,3}) = 30,000 V({2, 3}) = 0 V({1,2,3}) = 30,000 88

89 Propiedades de los juegos de n personas Tenemos 2 subconjuntos cualesquiera de los conjuntos A y B tales que A y B no tienen jugadores en común (A^B = 0). Entonces para cualquiera de los ejemplos anteriores, y para cualquier juego de n personas, la función característica debe satisfacer: V(A U B) < V(A) + V(B) A esta propiedad se le llama superaditividad 89

90 Hay muchos conceptos de solución para juegos de n personas. Uno de ellos debería indicar la recompensa que recibirá cada jugador. De modo mas formal, sea X = {X1,X2,.Xn} Un vector tal que el jugador i recibe una recompensa Xi. A tal vector le llamamos recompensa. Un vector de recompensa X no es candidato razonable de solución a menos que satisfaga w 90

91 V(N) = X1 + X2.. +Xn (Racionalidad de grupo)..(1) Xi > V({i}), Vi. (Racionalidad Individual).. (2) Si X satisface ambas condiciones decimos que X es una imputación. La ecuación 1 dice que cualquier vector razonable de recompensa debe dar a todos los jugadores una cantidad que sea igual a la cantidad que se puede alcanzar mediante la coalición de todos los jugadores. La ecuación (2) quiere decir que el jugador i debe recibir una recompensa cuando menos tan grande como la que puede obtener solo, que es V{i} 91

92 Ejemplo 1. Imputación X(Dólares) Es X una imputación? (10 000, , ) No se viola (2) (5 000, 2 000, 5 000) No, X < V({1}) y se viola (2) (12 000, , 1 000) No se viola (2) (11 000, , ) No se viola (2) 92

93 BIBLIOGRAFÍA Taha, Investigación de Operaciones. 5a. Ed. Bronson, Investigación de Operaciones. Serie Schaum. Pindyck y Rubenfeld. Microeconomía. México, Limusa Noriega. Muntaner, Nestor. Apuntes de Investigación Operativa. UTN. 93